MA0007 I 4. června 2019 | str. 1
Každý úkol (označen +) je hodnocen 6 body; celkem můžete získat 54 bodů (+ bonusy). K ústní zkoušce je potřeba alespoň polovina.
Konstrukce doprovoďte stručným komentářem tak, aby bylo zřejmé pořadí a hlavně korektnost vašich úvah. U dotýkajících se objektů musí být zřejmá zejména konstrukce dotykových bodů.
1. Je dána úsečka AB, jejíž velikost představuje jednotku.
+ Sestrojte úsečky s velikostmi xi a x2 tak, aby platilo xi ■ x2 = 1 a xi + x2 = 3.
+ Svoji konstrukci zdůvodněte, tj. vysvětlete, na které poznatky se v jednotlivých krocích odkazujete.
2. Je dána kružnice, její vnitřní bod M a jím procházející dvě přímky; průsečíky těchto přímek s kružnicí jsou po obvodu označeny A, B, C a D. Dále jsou dány útržky důkazu jedné související věty.
+ Rozpoznejte a zformulujete tuto větu; uspořádejte, příp. doplňte útržky tak, aby byl důkaz úplný.
• a = S.
• AM ■ CM = BM ■ DM.
• AM : DM = BM : CM.
• \x = v.
• Symboly a, S, /i, v označují po řadě velikosti úhlů MAB, MDC, AMB, CMD.
• Trojúhelníky ABM a DCM jsou podobné.
MA0007 I 4. června 2019 | str. 2
3. Jsou dány kružnice a, b, c. Kružnice se navzájem dotýkají v bodech T, U, V, přičemž U je středem kružnice c.
+ Zvolte (vhodně) kružnici T, která má střed v bodě V; sestrojte obrazy a, b, c vzhledem ke kruhové inverzi určené kružnicí T.
+ Určete počet všech kružnic, které se dotýkají a, b, c; všechny takové kružnice sestrojte.
MA0007 I 4. června 2019 | str. 3
4. Body A', B' a D' jsou obrazy vrcholů pravidelného pětiúhelníku ABCDE vzhledem k nějakému afinnímu zobrazení.
+ Sestrojte obrazy vrcholů C a, E.
5. + Vyjmenujte vlastnosti obecných projektivních zobrazení; popište základní projektivní zobrazení a jejich určující prvky; uveďte nějaké konkrétní příklady jejich užití.
MA0007 I 4. června 2019 | str. 4
6. Je dán středový průmět krychle, jejíž stěna ABFE se zobrazuje ve skutečné velikosti. Dále jsou dány body K a L, a to tak, že K e CD a L e EFGH.
+ Sestrojte řez krychle rovinou určenou body K, L a směrem hran kolmých ke stěně ABFE. + Sestrojte skutečné velikosti úseček KC, KB a KL.
Bonus
+ Rozdělte krychli rovinou rovnoběžnou s některou její stěnou tak, aby vzniklé dvě části měly stejné objemy jako dvě části určené řezem v předchozí úloze.