přednáška 07: některá význačná diskrétní i spojitá rozdělení psti Literatura: šFajmon, Růžičková: Matematika 3, kapitoly 11-12. š šOtipka, Šmajstrla: Pravděpodobnost a statistika – online text z Ostravy na adrese homel.vsb.cz/~oti73/cdpast1/ šKapitola: Rozdělení p-sti DNV (diskrétní náhodná veličina) š Rozdělení p-sti SNV (spojitá náhodná veličina) š Při matematickém popisu jakékoli náhodné veličiny zhruba potřebujeme projít šest základních otázek EX = expected value of X DX = dispersion of X Podívejme se na pět základních diskrétních rozdělení psti, která jsou tak důležitá, že mají svůj vlastní název: D1: diskrétní rovnoměrné rozdělení psti (discrete uniform distribution) D1: diskrétní rovnoměrné rozdělení psti (discrete uniform distribution) D1: diskrétní rovnoměrné rozdělení psti (discrete uniform distribution) šX= co padne na kostce š šZnačíme zhruba: X ~ Ro(1,2,…,n) Příklad D1= diskrétního rovnoměrného rozdělení psti: D2: alternativní rozdělení psti: (alternative distribution) šiii) Pstní funkce: p(1)= p š p(0)= 1-p š šObrázek – popřípadě na tabuli D2: alternativní rozdělení psti: (alternative distribution) š šiv) Kumulativní pstí funkce = distribuční funkce F(x): š šMá pouze dva schody obecně různých výšek (1-p) a p š šviz obr na tabuli š D2: alternativní rozdělení psti: (alternative distribution) D2: alternativní rozdělení psti: (alternative distribution) a)X= počet šestek, které padnou při jednom hodu kostkou (0 nebo 1) b)X= počet voličů, kteří budou volit kandidáta AB na prezidenta, pokud se ptáme jen jednoho voliče (tj. nabývá pouze hodnot 0 nebo 1) c)X= počet „úspěchů“ při jednom opakování experimentu (nabývá pouze hodnoty 0 = neúspěch, 1 = úspěch) d) šZnačíme zhruba: X ~ Alt(p) š Příklady D2 = alternativního rozdělení psti: D3: binomické rozdělení psti: (binomial distribution) D3: binomické rozdělení psti: (binomial distribution) š šiv) Kumulativní pstí funkce = distribuční funkce F(x): š šMá schody různých výšek š šviz obr na tabuli nebo obdelníčkový graf BARPLOT v jazyku R š D3: binomické rozdělení psti: (binomial distribution) D3: binomické rozdělení psti: (binomial distribution) a)X= počet šestek z N hodů kostkou … př 11.1- str. 169 b)X= počet voličů, kteří budou volit kandidáta AB na prezidenta, pokud se ptáme N nezávislých (náhodně vybraných) voličů … př.11.2.str. 170 c)X= počet „úspěchů“ při N nezávislých opakováních experimentu d) šZnačíme zhruba: X ~ Bi(N,p) š Příklady D3 = binomického rozdělení psti: š šX= počet šestek z N hodů kostkou … př 11.1- str. 169 Ø px <- dbinom(0:4,4,1/6) # spocte psti Bi (N=4, p=1/6) Øplot(px,pch=16) # nakresli pstni funkci, “pch=16” jsou tucne tecky šPopis osy x je posunuty, nevim jak to spravit ØFx <- pbinom(0:4,4,1/6) # spocte schody distribucni funkce (kumul.fce) Øbarplot(Fx, col=6:7) # nakresli distrib fci F – horni strany tech obdelnicku šcol=6:7 … pouze meni barvu obdelnicku … strida barvy 6 a 7 š š Ø Bi (N,p) v jazyku R: š Ø qbinom(0.95, 4,1/6) # spocte 0.95-kvantil hodnot rozd Bi (N=4, p=1/6) š Øgenbi <- rbinom(1000,4,1/6) # do vektoru genbi nahodne vygeneruje 1000 hodnot rozdeleni Bi(4,1/6) …. rbinom = random binom š Øtable(genbi) # spocitaji se cetnosti nahodne gener hodnot velic X š š Ø Bi (N,p) v jazyku R: kvantily a generování hodnot D4: geometrické rozdělení psti: (geometric distribution) D4: geometrické rozdělení psti: (geometric distribution) š šiv) Kumulativní pstí funkce = distribuční funkce F(x): š šMá schody různých výšek, schodů je nekonečně mnoho, ale nesměřují až „do nebe“, nýbrž jsou stále menší a schodiště stoupá pouze k hodnotě 1 š šviz obr na tabuli nebo obdelníčkový graf BARPLOT v jazyku R š D4: geometrické rozdělení psti: (geometric distribution) D4: geometrické rozdělení psti: (geometric distribution) a)X= počet hodů kostkou před prvním padnutím šestky b)X= počet dnů bezporuchového provozu před první poruchou linky (pst poruchy linky v každém dni je stále stejná a nezávislá na předchozích dnech … podobný př. 9.12 z kapitoly 9, ale s tím rozdílem, že hodnoty jsou posunuty o jednu jednotku, protože veličina X tam do počtu dnů zahrnuje i den, ve kterém nastala první porucha š šZnačíme zhruba: X ~ Geom(p) š Příklady D4 = geometrického rozdělení psti: š šX= počet hodů kostkou před prvním padnutím šestky Øx <- c(0:30) # je def pro nekonecne mnoho x, ale pocitac se musi omezit na konecne mnoho Øpx <- dgeom(x,1/6) # spocte psti Geom (p=1/6) pro hodnoty z vekt x Øplot(px,pch=16) # nakresli pstni funkci, “pch=16” jsou tucne tecky šPopis osy x je posunuty, nevim jak to spravit ØFx <- pgeom(x,1/6) # spocte schody distribucni funkce (kumul.fce) Øbarplot(Fx, col=6:7) # nakresli distrib fci F – horni strany tech obdelnicku šcol=6:7 … pouze meni barvu obdelnicku … strida barvy 6 a 7 š š Ø Geom(p) v jazyku R: pozor, ve vzorcích p=5/6, ale R potrebuje p=1/6 (tj. R uziva spise 1-p) š Ø qgeom(0.95,1/6) # spocte 0.95-kvantil hodnot rozd Geom (p=1/6) š Øgengeom <- rgeom(1000,1/6) # do vektoru gengeom nahodne vygeneruje 1000 hodnot rozdeleni Geom(1/6) …. rgeoom = random geom š Øtable(gengeom) # spocitaji se cetnosti nahodne gener hodnot velic X š š Ø Geom(p) v jazyku R: kvantily a generování hodnot D5: Poissonovo rozdělení psti: (Poisson distribution) D5: Poissonovo rozdělení psti: (Poisson distribution) š šiv) Kumulativní pstí funkce = distribuční funkce F(x): š šMá schody různých výšek, schodů je nekonečně mnoho, ale nesměřují až „do nebe“, nýbrž jsou stále menší a schodiště stoupá pouze k hodnotě 1 š šviz obr na tabuli nebo obdelníčkový graf BARPLOT v jazyku R š D5: Poissonovo rozdělení psti: (Poisson distribution) D5: Poissonovo rozdělení psti: (Poisson distribution) Příklady D5 = Poissonova rozdělení psti: š š19: diskrétní rovnoměrné rozdělení psti š20: Alternativni rozdělení psti š21: Binomické rozdělení psti š22: geometrické rozdělení psti š23: Poissonovo rozdělení psti š š Rekapitulace otázek: Nyní se podívejme na tři spojitá rozdělení psti S1: Exponenciální rozdělení psti (exponential distribution) S1: Exponenciální rozdělení psti (exponential distribution) S1: Exponenciální rozdělení psti (exponential distribution) S1: Exponenciální rozdělení psti (exponential distribution) Příklad S1= exponenciálního rozdělení psti: š Ø qexp(0.95, 4) # spocte 0.95-kvantil hodnot rozd Exp (λ =4) š Øgenexp <- rexp(1000,4) # do vektoru genexp nahodne vygeneruje 1000 hodnot rozdeleni Exp(4) …. rexp = random exponential š Øtable(genexp) # spocitaji se cetnosti nahodne gener hodnot velic X š š Ø ši) X = veličina, kterou měříme v intervalu (a;b) … každá z hodnot intervalu má stejnou šanci být naměřena š šii) X ∊ (a;b) S2: Rovnoměrné spojité rozdělení psti (uniform distribution) S2: Rovnoměrné spojité rozdělení psti (uniform distribution) S2: Rovnoměrné spojité rozdělení psti (uniform distribution) S2: Rovnoměrné spojité rozdělení psti (uniform distribution) a)X= doba příchodu člověka, o které nemáme žádnou informaci, pouze že přijde v daném intervalu b)X= množství zboží koupeného v daný den MĚŘENO NA VÁHU – a prodáváme nově v dané lokalitě, nemáme informaci o tom, kolik se prodá … jakékoli prodané množství je stejně pravděpodobné š šZnačíme zhruba: X ~ Ro(a;b) Příklad S2= rovnoměrného rozdělení psti: š šX= blíže neurčená doba dodání balíku v intervalu (8 hod; 16 hod) Øx<- seq(8,16,0.01) # ulozi do vektoru x dostatecne mnoho bodu z int Øplot(x,x-x+1/8,type=“l”) #oklamani R, aby nakreslil konstantni funkci 1/8 Øw<-seq(0,8,0.01); y<-seq(16,24,0.01) š# w,x,y … intervaly pro ruzne vzorce distribucni funkce Øplot(c(w,x,y), c(w-w+0,x/8-1,y-y+1) # nakresli distrib fci F … museli jsme ji spocitat a zadat vzorcem š Ø Ro(a;b) v jazyku R: š Ø qunif(0.95, 8,16) # spocte 0.95-kvantil hodnot rozd Ro(8:16) š Øgenunif <- runif(1000,8,16) # do vektoru genunif nahodne vygeneruje 1000 hodnot rozdeleni Ro(8,16) …. runif = random uniform š šPro vytvoření rozumných četností bychom museli z vektoru genunif vytvořit intervalové rozdělení četností – viz cvičení 2 š Ø Ro(a;b) v jazyku R: kvantily a generování hodnot S3: Normální rozdělení psti (normal distribution) S3: Normální rozdělení psti (normal distribution) S3: Normální rozdělení psti (normal distribution) S3: Normální rozdělení psti (normal distribution) š šX= výška stromu v lese se střední hodnotou 50 m a směro odchylkou 5 m Øx<- seq(30,70,0.01) # ulozi do vektoru x dostatecne mnoho bodu z intervalu (30; 70) Øplot(x,dnorm(x,mean=50,sd=5)) # vykresleni hustoty f Ø Øplot(x, pnorm(x,mean=50,sd=5)) # nakresli distrib fci F š Ø š š24: exponenciální rozdělení psti š25: spojité rovnoměrné rozdělení psti š26: normální rozdělení psti … tato otázka ještě není ukončena š š š Rekapitulace otázek: