Cvičení z matematické analýzy 3
Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními
koeficienty
27. 3. 2019
MA2BP.CAN3 10. cvičení 27. 3. 2019       1 /7
. cvičení
Lineární diferenciální rovnice 2. řádu - další typy pravé strany Literatura
■ Hájek, J., Dula, J.; Cvičení z matematické analýzy - Obyčejné diferenciální rovnice. MU Brno, 1998.
■ Kuběn, J.; Obyčejné diferenciální rovnice. UP Olomouc, 1995.
MA2BP.CAN3 10. cvičeni 27. 3. 2019       2 /7
Řešení NLDR s KK metodou neznámých koeficientů
Pravá strana ve tvaru eqx -Pn{x)
MA2BP.CAN3
10. cvičení
27. 3. 2019       3 /7
Řešení NLDR s KK metodou neznámých koeficientů
Pravá strana ve tvaru eqx - Pni*)
■ Rovnice ve tvaru ay" + by' + cy = eqx -Pn(x), kde Pn(x) je polynom stupně n
MA2BP.CAN3
10. cvičení
27. 3. 2019       3 /7
Řešení NLDR s KK metodou neznámých koeficientů
Pravá strana ve tvaru eqx - Pni*)
■ Rovnice ve tvaru ay" + by' + cy = eqx -Pn(x), kde Pn(x) je polynom stupně n
□ najdeme OŘHLDR: y = C\y\ + C^yi
MA2BP.CAN3
10. cvičení
27. 3. 2019       3 /7
Řešení NLDR s KK metodou neznámých koeficientů
Pravá strana ve tvaru eqx -Pn{x)
■ Rovnice ve tvaru ay" + by' + cy = eqx -Pn(x), kde Pn(x) je polynom stupně n
□ najdeme OŘHLDR: y = C\y\ + C^yi B PŘNLDR hledáme ve tvaru
■ Yp — eQX Qn(x)> jestliže q není kořen charakteristické rovnice
■ Yp — xk eqx Qn(x), je-li q k-násobný kořen charakteristické rovnice kde Qn{x) je polynom stupně n s neznámými koeficienty
MA2BP.CAN3
10. cvičení
27. 3. 2019       3 /7
Řešení NLDR s KK metodou neznámých koeficientů
Pravá strana ve tvaru eqx -Pn{x)
■ Rovnice ve tvaru ay" + by' + cy = eqx -Pn(x), kde Pn(x) je polynom stupně n
□ najdeme OŘHLDR: y = C\y\ + C^yi B PŘNLDR hledáme ve tvaru
■ Yp — eQX Qn(x)> jestliže q není kořen charakteristické rovnice
■ Yp — xk eqx Qn(x), je-li q k-násobný kořen charakteristické rovnice kde Qn{x) je polynom stupně n s neznámými koeficienty
B vypočítáme y'p a y^, dosadíme yp,yfp a y p do původní rovnice a upravíme
MA2BP.CAN3
10. cvičení
27. 3. 2019       3 /7
Řešení NLDR s KK metodou neznámých koeficientů
Pravá strana ve tvaru eqx -Pn{x)
■ Rovnice ve tvaru ay" + by' + cy = eqx -Pn(x), kde Pn(x) je polynom stupně n
□ najdeme OŘHLDR: y = C\y\ + C^yi B PŘNLDR hledáme ve tvaru
■ Yp — eQX Qn(x)> jestliže q není kořen charakteristické rovnice
■ Yp — xk eqx Qn(x), je-li q k-násobný kořen charakteristické rovnice kde Qn{x) je polynom stupně n s neznámými koeficienty
B vypočítáme y'p a y^, dosadíme yp,yfp a y p do původní rovnice a upravíme
□ pokud jsme počítali správně, vyjde po úpravě a vykráčení výrazem eqx rovnice s polynomy na obou stranách, odkud dopočítáme neznáme koeficienty polynomu Qn{x)
MA2BP.CAN3
10. cvičení
27. 3. 2019       3 /7
Řešení NLDR s KK metodou neznámých koeficientů
Pravá strana ve tvaru eqx -Pn{x)
■ Rovnice ve tvaru ay" + by' + cy = eqx -Pn(x), kde Pn{x) je polynom stupně n
□ najdeme OŘHLDR: y = C\y\ + C^yi B PŘNLDR hledáme ve tvaru
■ Yp — eQX Qn(x)> jestliže q není kořen charakteristické rovnice
■ Yp — xk eqx Qn(x), je-li q k-násobný kořen charakteristické rovnice kde Qn{x) je polynom stupně n s neznámými koeficienty
B vypočítáme y'p a y^, dosadíme yp,yfp a y p do původní rovnice a upravíme
□ pokud jsme počítali správně, vyjde po úpravě a vykráčení výrazem eqx rovnice s polynomy na obou stranách, odkud dopočítáme neznáme koeficienty polynomu Qn{x)
m OŘNLDR má tvar   y = Cľyľ + C2y2 + (xk) eqx Qn(x)
MA2BP.CAN3
10. cvičení
27. 3. 2019       3 /7
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice:
MA2BP.CAN3 10. cvičeni 27. 3. 2019       4 /7
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice:
_ ^2x
y"-2y'+y = e
□ g ►   < -E ►   < =
MA2BP.CAN3
10. cvičení
27. 3. 2019       4 /7
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice:
_ ^2x
y" - 2yř+y = e
y = Ci ex +Ĺ2xex + e
2x
MA2BP.CAN3
10. cvičení
27. 3. 2019       4 /7
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice:
_ ^2x
y"-2y'+y = e
y = Q ex + C2X ex + e
2x
y" + y' - 2y = 3x ex
MA2BP.CAN3
10. cvičení
27. 3. 2019       4 /7
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice:
_ ^2x
y"-2y'+y = e y" + y'-2y = 3xe
y = Q ex + C2X ex + e
2x
y = Ci e"2x +C2 ex + (|x2 - ±x) ex"
MA2BP.CAN3
10. cvičení
27. 3. 2019       4 /7
Řešení NLDR s KK metodou neznámých koeficientů
Pravá strana ve tvaru mcospx + nsin px, m, n, p <G R
MA2BP.CAN3 10. cvičeni 27. 3. 2019       5 /7
Řešení NLDR s KK metodou neznámých koeficientů
Pravá strana ve tvaru mcospx + nsin px, m, n, p <G R
■ Rovnice ve tvaru ay" + by' + cy = m cos kx + nsin /cx
MA2BP.CAN3 10. cvičeni 27. 3. 2019       5 /7
Řešení NLDR s KK metodou neznámých koeficientů
Pravá strana ve tvaru mcospx + nsin px, m, n, p <G R
■ Rovnice ve tvaru ay" + by' + cy = m cos kx + nsin /cx □ najdeme OŘHLDR: y = C\y\ + C^yi
MA2BP.CAN3 10. cvičeni 27. 3. 2019       5 /7
Řešení NLDR s KK metodou neznámých koeficientů
Pravá strana ve tvaru m cos px + n sin px, m, n, p G
Rovnice ve tvaru ay" + by' + cy = m cos kx + n sin kx
■v
najdeme ORHLDR: y = C\y\ + C^yi PŘNLDR hledáme ve tvaru
■ Y p — ^cos kx + B sin kx, jestliže ±ki nejsou kořeny char. rovnice
■ Y p — x{Acos> kx + B sin kx), jsou-li ±ki kořeny charakteristické rovnice
□     g ► < -e ► < =
MA2BP.CAN3
10. cvičení
27. 3. 2019       5 /7
Řešení NLDR s KK metodou neznámých koeficientů
Pravá strana ve tvaru m cos px + n sin px, m, n, p G
Rovnice ve tvaru ay" + by' + cy = m cos kx + n sin kx
■v
najdeme ORHLDR: y = C\y\ + C^yi PŘNLDR hledáme ve tvaru
■ Y p — ^cos kx + B sin kx, jestliže ±ki nejsou kořeny char. rovnice
■ Y p — x{Acos> kx + B sin kx), jsou-li ±ki kořeny charakteristické rovnice
vypočítáme y'p a y'p, dosadíme yp,y'p a y'p do původní rovnice a upravíme
□    g ► < -e ► < =
MA2BP.CAN3
10. cvičení
27. 3. 2019       5 /7
Řešení NLDR s KK metodou neznámých koeficientů
Pravá strana ve tvaru m cos px + n sin px, m, n, p G
Rovnice ve tvaru ay" + by' + cy = m cos kx + n sin kx
■v
najdeme ORHLDR: y = C\y\ + C^yi PŘNLDR hledáme ve tvaru
■ Y p — ^cos kx + B sin kx, jestliže ±ki nejsou kořeny char. rovnice
■ Yp — x(Acos kx + B sin kx), jsou-li ±ki kořeny charakteristické rovnice
vypočítáme y'p a yp, dosadíme yp,yfp a yp do původní rovnice a upravíme
porovnáním obou stran rovnice dopočítáme koeficienty A, B
□    g ► < -e ► < =
MA2BP.CAN3
10. cvičení
27. 3. 2019       5 /7
Řešení NLDR s KK metodou neznámých koeficientů
Pravá strana ve tvaru m cos px + n sin px, m, n, p G
Rovnice ve tvaru ay" + by' + cy = m cos kx + n sin kx
■v
najdeme ORHLDR: y = C\y\ + C^yi PŘNLDR hledáme ve tvaru
■ Y p — ^cos kx + B sin kx, jestliže ±ki nejsou kořeny char. rovnice
■ Yp — x(Acos kx + B sin kx), jsou-li ±ki kořeny charakteristické rovnice
vypočítáme y'p a y'p, dosadíme yp,y'p a y'p do původní rovnice a upravíme
porovnáním obou stran rovnice dopočítáme koeficienty A, B OŘNLDR má tvar   y = dyi + C2y2 + (x)(Acoskx + B sin kx)
□    g ► < -e ► < =
MA2BP.CAN3
10. cvičení
27. 3. 2019       5 /7
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice:
MA2BP.CAN3 10. cvičeni 27. 3. 2019       6 /7
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice:
y" -Ay = 3sin2x
□ g ►   < -E ►   < =
MA2BP.CAN3
10. cvičení
27. 3. 2019       6 /7
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice:
y"-4y = 3sin2x
y=Cie 2x +C2xe2x — | sin 2x
8
MA2BP.CAN3
10. cvičení
27. 3. 2019       6 /7
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice:
y"-4y = 3sin2x
y" _ 2yř + 10y = 37 cos3x
y=Cie 2x +C2xe2x — | sin 2x
8
MA2BP.CAN3
10. cvičení
27. 3. 2019       6 /7
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice:
y"-4y = 3sin2x
y=Cie 2x +C2xe2x — | sin 2x
8
y" _ 2y; + 10y = 37 cos3x
[y = Ci ex cos 3x + C2 ex sin 3x + cos 3x — 6 sin 3x]
MA2BP.CAN3
10. cvičení
27. 3. 2019       6 /7