Cvičení z matematické analýzy 3 Alternující rady 24. 4. 2019 MA2BP.CAN3 8. cvičení □ i3i - = 24. 4. 2019 Náplň cvičení Literatura ■ Hájek, J., Dula, J.; Cvičení z matematické analýzy - Nekonečné řady. MU Brno, 1994. ■ Došlá, Z., Novák, V.; Nekonečné řady. MU Brno, 2013. MA2BP.CAN3 8. cvičení 24. 4. 2019 Alternující řady MA2BP.CAN3 8. cvičeni 24. 4. 2019 3 / Základní pojmy MA2BP.CAN3 8. cvičení 24. 4. 2019 Základní pojmy Alternující řada Nekonečná řada Xl^Li an se nazývá alternující, jestliže pro Vn £ N platí sgn a„+i = -sgn a„ MA2BP.CAN3 8. cvičení □ i3i - = 24. 4. 2019 Základní pojmy Alternující řada Nekonečná řada Xl^Li an se nazývá alternující, jestliže pro Vn £ N platí sgn a„+i = -sgn a„ Kritérium konvergence (Leibnizovo) Nechť an je nerostoucí posloupnost kladných čísel. Pak alternující řada (—l)n_1an konverguje právě tehdy, když platí lim^oo an = 0. Věta má tvar ekvivalence, znamená to tedy (mimo jiné), že ■ je-li lim^oo an = 0, pak řada J2T=i (-l)"-1^ konverguje; ■ vlastnost lim^oca^ = 0 je nutná i dostatečná podmínka konvergence řady Eľ=i(-ir^ n MA2BP.CAN3 8. cvičení 24. 4. 2019 Absolutní konvergence číselných řad MA2BP.CAN3 8. cvičení 24. 4. 2019 Absolutní konvergence číselných řad Konverguje-li řada YlT=i \an\* konverguje i řada YlT=ian j MA2BP.CAN3 8. cvičení 24. 4. 2019 Absolutní konvergence číselných řad Konverguje-li řada YlT=i 3n , konverguje i řada YlT=i an- J Absolutní/neabsolutní k< Dnvergence J ■ Říkáme, že řada YímLi an konverguje absolutně, jestliže konverguje rada l^n=l 3n\- ■ Říkáme, že řada Y^nLi an konverguje neabsolutně, jestliže řada Y!£=i an konverguje a řada Y^T=i la"l diverguje. -_______ ' MA2BP.CAN3 8. cvičení □ rS1 ~ = 24. 4. 2019 5 / Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady MA2BP.CAN3 8. cvičení 24. 4. 2019 6 / Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady U 2^n=l 3n-l MA2BP.CAN3 8. cvičení 24. 4. 2019 6 / Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady Eoo n=l (-1) n-l 3n-l [konverguje neabsolutně] MA2BP.CAN3 8. cvičení □ i3i - = 24. 4. 2019 6 / Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady oo (-1) n=l n-1 3n-l [konverguje neabsolutně] 2^n=l (2n-l)3 MA2BP.CAN3 8. cvičení □ i3i - = 24. 4. 2019 6 / Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady n-l v-^oo (-1) l^n=l 3n-l [konverguje neabsolutně] 2^n=l (2n-l)3 [konverguje absolutně] MA2BP.CAN3 8. cvičení □ i3i - = 24. 4. 2019 6 / Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady n-l v-^oo (-1) l^n=l 3n-l 2^n=l (2n-l)3 [konverguje neabsolutně] [konverguje absolutně] l^n=l 5n-2 MA2BP.CAN3 8. cvičení □ i3i - = 24. 4. 2019 6 / Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady n-l v-^oo (-1) l^n=l 3n-l 2^n=l (2n-l)3 [konverguje neabsolutně] [konverguje absolutně] l^n=l 5n-2 [diverguje] MA2BP.CAN3 8. cvičení □ i3i - = 24. 4. 2019 6 / Příklady Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady l^n=l 3n-l 2^n=l (2n-l)3 l^n=l 5n-2 Voo (-1)" [konverguje neabsolutně] [konverguje absolutně] [diverguje] MA2BP.CAN3 8. cvičení 24. 4. 2019 6 Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady n-l v-^oo (-1) l^n=l 3n-l 2^n=l (2n-l)3 l^n=l 5n-2 [konverguje neabsolutně] [konverguje absolutně] [diverguje] (-1)" [diverguje] MA2BP.CAN3 8. cvičení 24. 4. 2019 6 / Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady oo (-1) EOO n=l n-l 3n-l oo (-1) n=l n-l (2A7-1)3 ("I) n-l EOO _ n=l 5n-2 Voo (-1)" n [konverguje neabsolutně] [konverguje absolutně] [diverguje] [diverguje] Voo (-1)" MA2BP.CAN3 8. cvičení □ i3i - = 24. 4. 2019 6 / Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady D 2^n=l (_l)n-l 3n-l [konverguje neabsolutně] 2^n=l (_l)n-l (2n-l)3 [konverguje absolutně] sr^oo 2^n=l 5n-2 [diverguje] □ sr^oo 2^n=l (-ir tyt [diverguje] sr^oo 2^n=l (-1)" 1 + A7 [konverguje neabsolutně] MA2BP.CAN3 8. cvičení □ i3i - = 24. 4. 2019 6 / Příklady Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady n-l v-^oo (-1) l^n=l 3n-l 2^n=l (2n-l)3 l^n=l 5n-2 Voo (-1)" Voo (-1)" voo (-1)" Z^n=l H\/~H [konverguje neabsolutně] [konverguje absolutně] [diverguje] [diverguje] [konverguje neabsolutně] MA2BP.CAN3 8. cvičení 24. 4. 2019 6 Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady D 2^n=l (_l)n-l 3n-l [konverguje neabsolutně] 2^n=l (_l)n-l (2n-l)3 [konverguje absolutně] sr^oo 2^n=l 5n-2 [diverguje] □ sr^oo 2^n=l (-1)" tyt [diverguje] sr^oo 2^n=l (-ir 1 + A7 [konverguje neabsolutně] sr^oo 2^n=l n\fň [konverguje absolutně] MA2BP.CAN3 8. cvičení □ rS1 ~ = 24. 4. 2019 6 / Příklady Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady l^n=l 3n-l [konverguje neabsolutně] 2^n=l (2n-l)3 [konverguje absolutně] l^n=l 5n-2 [diverguje] Voo (-1)" [diverguje] Voo (-1)" Z^n=l 1+n [konverguje neabsolutně] voo (-1)" [konverguje absolutně] spoo (-l)nlnn MA2BP.CAN3 8. cvičení □ i3i - = 24. 4. 2019 6 / Příklady Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady D l^n=l 3n-l [konverguje neabsolutně] 2^n=l (2n-l)3 [konverguje absolutně] l^n=l 5n-2 [diverguje] □ Voo (-1)" [diverguje] Voo (-1)" [konverguje neabsolutně] voo (-1)" [konverguje absolutně] spoo (-l)nlnn [konverguje neabsolutně] MA2BP.CAN3 8. cvičení 24. 4. 2019 6 Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady oo n= 1 3n-l oo (_l)n-l n= 1 (2n-l)3 oo ( — n= 1 5n-2 oo (-1)" n= 1 oo (-ir n= 1 1 + A7 oo n= 1 n^fň oo (-l)nlnn n= 1 n oo {-!)" n= 1 n—In n [konverguje neabsolutně] [konverguje absolutně] [diverguje] [diverguje] [konverguje neabsolutně] [konverguje absolutně] [konverguje neabsolutně] MA2BP.CAN3 8. cvičení 24. 4. 2019 6 Rozhodněte o konvergenci (absolutní/neabsolutní) řady oo (_l)n-l n= 1 3n-l oo (_l)n-l n= 1 (2n-l)3 oo ( — n= 1 5n-2 oo (-ir n= 1 oo (-ir n= 1 1 + A7 oo n= 1 n^fň oo (-l)nlnn n= 1 n oo {-!)" n= 1 n—In n MA2BP.CAN3 8. cvičení [konverguje neabsolutně] [konverguje absolutně] [diverguje] [diverguje] [konverguje neabsolutně] [konverguje absolutně] [konverguje neabsolutně] [konverguje neabsolutně] 24. 4. 2019 6 Domácí úkol - soubor cvičení 10 Určete součet řady d/ 1-2 ^ 2-3 ^ 3-4 ^ ' ' ' b) Z)n=l (a7+6)(a7+2) <0 E~i(-i)BáSy Zjistěte, je-li splněna nutná podmínka konvergence řady 3 n- g -r 27 n- 81 -r • • • Rozhodněte o konvergenci řady + 13 \/3 V2^ VŠ^š v^ší oo 2n-a7! b) E~ i ^ W Z^a7=1 (n+l)ln(n+l) Rozhodněte o (ne)absolutní konvergenci či divergenci řady n=U (2n-l)2 MA2BP.CAN3 8. cvičení 24. 4. 2019 7 /1