Cvičení z matematické analýzy 3
Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními
koeficienty
13. 3. 2019
MA2BP.CAN3
4. cvičení
□        g ►  < -E ►  < =
13. 3. 2019
Náplň 4. cvičení
Literatura
■ Hájek, J., Dula, J.; Cvičení z matematické analýzy - Obyčejné diferenciální rovnice. MU Brno, 1998.
■ Kuben, J.; Obyčejné diferenciální rovnice. UP Olomouc, 1995.
MA2BP.CAN3
4. cvičení
□        g ►  < -E ►  < =
13. 3. 2019       2 /
Opakovaní z minulého cvičení
Při řešení homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty ay" + by' + cy = 0 (*) postupujeme tak, že vyřešíme tzv. charakteristickou rovnici aX2 + bX + c = 0, tzn. najdeme kořeny
Ai, A2
■ jsou-li Ai, A2 dva různé reálné kořeny, má obecné řešení homogenní rovnice (*) tvar y = C\ eAlX +C2 eA2X
■ má-li charakteristická rovnice dvojnásobný kořen Ai = A2, má obecné řešení homogenní rovnice (*) tvar y = C\ eAlX + C2xeAlX
■ je-li Ai52 = Ol ±     má obecné řešení homogenní rovnice (*) tvar
y = Q eax cos fix + C2 eax sin fix
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019
LDR (2. řádu) s pravou stranou (nehomogenní)
Řešení metodou variace konstant
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019
LDR (2. řádu) s pravou stranou (nehomogenní)
Řešení metodou variace konstant
Platí: OŘNLDR = OŘHLDR + PŘNLDR
(O - obecné, R - řešení, N - nehomogenní, H - homogenní)
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019
LDR (2. řádu) s pravou stranou (nehomogenní)
Řešení metodou variace konstant
Platí: OŘNLDR = OŘHLDR + PŘNLDR
(O - obecné, R - řešení, N - nehomogenní, H - homogenní)
Při řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty s pravou stranou ay" + by' + cy = f(x) postupujeme následovně:
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019
LDR (2. řádu) s pravou stranou (nehomogenní)
Řešení metodou variace konstant
Platí: OŘNLDR = OŘHLDR + PŘNLDR
(O - obecné, R - řešení, N - nehomogenní, H - homogenní)
Při řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty s pravou stranou ay" + by' + cy = f(x) postupujeme následovně:
■v
najdeme ORHLDR: y = C\y\ + C2J/2
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019
LDR (2. řádu) s pravou stranou (nehomogenní)
Řešení metodou variace konstant
Platí: OŘNLDR = OŘHLDR + PŘNLDR
(O - obecné, R - řešení, N - nehomogenní, H - homogenní)
Při řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty s pravou stranou ay" + by' + cy = f(x) postupujeme následovně:
najdeme ORHLDR: y = C\y\ + C2J/2
PŘNLDR hledejme ve tvaru yp = C\(x)yi + C2(x)y2
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019
LDR (2. řádu) s pravou stranou (nehomogenní)
Řešení metodou variace konstant
Platí: OŘNLDR = OŘHLDR + PŘNLDR
(O - obecné, R - řešení, N - nehomogenní, H - homogenní)
Při řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty s pravou stranou ay" + by' + cy = f(x) postupujeme následovně:
najdeme ORHLDR: y = C\y\ + C2J/2
PŘNLDR hledejme ve tvaru yp = C\(x)yi + C2{x)y2
vypočítáme y'p = C[(x)yi + Ci{x)y[ + C!1{x)y2 + C2{x)y!1
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019
LDR (2. řádu) s pravou stranou (nehomogenní)
Řešení metodou variace konstant
Platí: OŘNLDR = OŘHLDR + PŘNLDR
(O - obecné, R - řešení, N - nehomogenní, H - homogenní)
Při řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty s pravou stranou ay" + by' + cy = f(x) postupujeme následovně:
najdeme ORHLDR: y = C\y\ + C2J/2 PŘNLDR hledejme ve tvaru yp = C\(x)yi + C2(x)y2 vypočítáme ýp = C[(x)yľ + Cľ(x)y[ + C!1(x)y2 + C2{x)y!1 klademe C[(x)yi + C2(x)y2 = 0
(abychom v y^ nepracovali s druhou derivací neznámých funkcí)
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019
LDR (2. řádu) s pravou stranou (nehomogenní)
Řešení metodou variace konstant
Platí: OŘNLDR = OŘHLDR + PŘNLDR
(O - obecné, R - řešení, N - nehomogenní, H - homogenní)
Při řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty s pravou stranou ay" + by' + cy = f(x) postupujeme následovně:
najdeme ORHLDR: y = C\y\ + C2J/2 PŘNLDR hledejme ve tvaru yp = Ci(x)yi + C2(x)y2 vypočítáme y'p = C[(x)yľ + Cľ(x)y[ + C!1(x)y2 + C2{x)y!1 klademe C[(x)yi + C2(x)y2 = 0
(abychom v y^ nepracovali s druhou derivací neznámých funkcí) vypočítáme y£ = C'1{x)y'1 + Ci{x)y'{ + C^(x)y^ + C2(x)y^
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019
LDR (2. řádu) s pravou stranou (nehomogenní)
Řešení metodou variace konstant
dosadíme-li do původní rovnice yp,yřp a yřp, dostaneme po úpravě
cí(x)y{ + c&x)/2 = f(x)
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019 5
LDR (2. řádu) s pravou stranou (nehomogenní)
Řešení metodou variace konstant	
0 dosadíme-li do původní rovnice yp,yřp a yřp,	dostaneme po úpravě
cí(x)y{ + c&x)/2 = f(x)	
Q pro C{(x), C^x) dostáváme soustavu	
q(x)yi + q(x)y2 =	0
	f(x)
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019 5
LDR (2. řádu) s pravou stranou (nehomogenní)
Řešení metodou variace konstant	
0 dosadíme-li do původní rovnice yp,yřp a yřp,	dostaneme po úpravě
cí(x)y{ + c&x)/2 = f(x)	
Q pro C{(x), C^x) dostáváme soustavu	
q(x)yi + q(x)y2 =	0
	f(x)
odkud určíme C[(x) a C^(x)	
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019       5 /
LDR (2. řádu) s pravou stranou (nehomogenní)
Řešení metodou variace konstant	
0 dosadíme-li do původní rovnice yp,yřp a yřp,	dostaneme po úpravě
cí(x)y{ + c&x)/2 = f(x)	
Q pro C{(x), C^x) dostáváme soustavu	
q(x)yi + q(x)y2 =	0
	f{x)
odkud určíme C[(x) a C^(x)	
□ vypočítáme Ci(x) a C2(x)	
(volíme nulové integrační konstanty)	
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019       5 /
LDR (2. řádu) s pravou stranou (nehomogenní)
Řešení metodou variace konstant
dosadíme-li do původní rovnice yp,yřp a yp, dostaneme po úpravě
cí(x)y{ + c&x)/2 = f(x)
pro C{(x), C^x) dostáváme soustavu
Cí(x)yi + Q(x)y2 = 0 C[(x)/1 + C^(x)/2=f(x)
odkud určíme C[(x) a C^(x)
vypočítáme Ci(x) a C2(x)
(volíme nulové integrační konstanty)
OŘNLDR má tak tvar   y = Ci(x)yi + C2(x)y2 + yp
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019 5
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
□    g ► < -e ► < =
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
[y = Ci ex +Ĺ2xex +xex In |x|]
MA2BP.CAN3
□        g ►  < -E ►  < =
4. cvičení
13. 3. 2019
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
y" - 7y' + 12y = 5
[y = Ci ex +C2xex +xex In |x|]
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
y" - 7y' + 12y = 5
[y = Ci ex +C2xex +xex In |x|] y= de3x+C2e4x+^;
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
y y
2/ + y = í
7 y' + 12y = 5
y" -2y' +y = x"V
[y = Q ex +C2xex +xex In |x|] y= de3x+C2e4x+^;
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
y y
2/ + y = í
7 y' + 12y = 5
y" -2y' +y = x"V
[y = Q ex +C2xex +xex In |x|] y= de3x+C2e4x+^ [y = Q ex +C2X ex — ex In |x| — ex]
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
y" - 7y' + 12y = 5
y" - 2/ + y = x"V
y" + y =
sin x
[y = Ci ex + C2xex +xex In |x|] y= Cle3x+C2e4x+^ [y = Ci ex +C2xex — ex In |x| — ex]
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice
y" - 7y' + 12y = 5
y" - 2/ + y = x"V
y" + y =
sin x
[y =
[y = Ci ex + C2xex +xex In |x|]
>= Cie3*+C2e4*+i] [y = Ci ex +C2xex — ex In |x| — ex] Ci sin x + C2 cosx — x cosx + sin x In | sin x|]
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019
Řešení metodou neznámých koeficientů
■ Metoda vychází z předchozí metody, jen partikulární řešení volíme konkrétněji, s ohledem na pravou stranu.
MA2BP.CAN3
4. cvičení
□        g ►  < -E ►  < =
13. 3. 2019       7 /1
Řešení metodou neznámých koeficientů
Metoda vychází z předchozí metody, jen partikulární řešení volíme konkrétněji, s ohledem na pravou stranu.
Pravá strana ve tvaru polynomu
□    g ► < -e ► < =
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019       7 /1
Řešení metodou neznámých koeficientů
Metoda vychází z předchozí metody, jen partikulární řešení volíme konkrétněji, s ohledem na pravou stranu.
Pravá strana ve tvaru polynomu
nejprve se budeme věnovat rovnicím s pravou stranou ve tvaru polynomu: ay" + by' + cy = P(x), kde P(x) je polynom stupně n
j
MA2BP.CAN3 4. cvičeni 13. 3. 2019       7 /1
Řešení metodou neznámých koeficientů
Metoda vychází z předchozí metody, jen partikulární řešení volíme konkrétněji, s ohledem na pravou stranu.
Pravá strana ve tvaru polynomu
nejprve se budeme věnovat rovnicím s pravou stranou ve tvaru polynomu: ay" + by' + cy = P(x), kde P(x) je polynom stupně n
■v
najdeme ORHLDR: y = C\y\ + Ĺ2y2
j
MA2BP.CAN3 4. cvičeni 13. 3. 2019       7 /1
Řešení metodou neznámých koeficientů
Metoda vychází z předchozí metody, jen partikulární řešení volíme konkrétněji, s ohledem na pravou stranu.
Pravá strana ve tvaru polynomu
nejprve se budeme věnovat rovnicím s pravou stranou ve tvaru polynomu: ay" + by' + cy = P(x), kde P(x) je polynom stupně n
najdeme ORHLDR: y = C\y\ + Ĺ2Y2
PŘNLDR hledejme ve tvaru
■ Yp — Q(x)> jestliže 0 není kořen charakteristické rovnice
■ Yp — xkQ(x), je-li 0 k-násobný kořen charakteristické rovnice
kde Q(x) je polynom stupně n, avšak s neznámými koeficienty (např. Axn + Bx"'1 + Cxn~2 + ...)
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019       7 /1
Řešení metodou neznámých koeficientů
Metoda vychází z předchozí metody, jen partikulární řešení volíme konkrétněji, s ohledem na pravou stranu.
Pravá strana ve tvaru polynomu
vypočítáme ýp a y£
MA2BP.CAN3 4. cvičeni 13. 3. 2019       8 /1
Řešení metodou neznámých koeficientů
Metoda vychází z předchozí metody, jen partikulární řešení volíme konkrétněji, s ohledem na pravou stranu.
Pravá strana ve tvaru polynomu
□ vypočítáme y'p a y£
□ dosadíme yp,yfp a     do původní rovnice a upravíme
MA2BP.CAN3 4. cvičeni 13. 3. 2019       8 /1
Řešení metodou neznámých koeficientů
Metoda vychází z předchozí metody, jen partikulární řešení volíme konkrétněji, s ohledem na pravou stranu.
Pravá strana ve tvaru polynomu
vypočítáme y'p a y£
dosadíme yp,yp a yp do původní rovnice a upravíme
pokud jsme počítali správně, vyjde rovnice s polynomy na obou stranách
MA2BP.CAN3 4. cvičeni 13. 3. 2019       8 /1
Řešení metodou neznámých koeficientů
Metoda vychází z předchozí metody, jen partikulární řešení volíme konkrétněji, s ohledem na pravou stranu.
Pravá strana ve tvaru polynomu
vypočítáme y'p a y£
dosadíme yp,yp a yp do původní rovnice a upravíme
pokud jsme počítali správně, vyjde rovnice s polynomy na obou stranách
víme, že dva polynomy se rovnají právě tehdy, když
■ jsou stejného stupně
■ koeficienty u stejných mocnin jsou stejné
MA2BP.CAN3 4. cvičeni 13. 3. 2019       8 /1
Řešení metodou neznámých koeficientů
Metoda vychází z předchozí metody, jen partikulární řešení volíme konkrétněji, s ohledem na pravou stranu.
Pravá strana ve tvaru polynomu
vypočítáme ýp a y£
dosadíme yp,yfp a yp do původní rovnice a upravíme
pokud jsme počítali správně, vyjde rovnice s polynomy na obou stranách
víme, že dva polynomy se rovnají právě tehdy, když
■ jsou stejného stupně
■ koeficienty u stejných mocnin jsou stejné
OŘNLDR má tak tvar   y = Ciyi + C2y2 + Q(x) (Q(x) má již dopočítané konkrétní koeficienty)
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019       8 /1
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice:
□    g ► < -e ► < =
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice:
y" - 7/ + 12y = 5
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice:
y" - 7/ + 12y = 5
y=C1e3x+C2e*x+^
12J
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice:
g y» _ lyi + 12y = 5
B y" + 4/ + 5y = 5x2 - 32x + 5
y = de3*+C2e4*+^
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019       9 /
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice:
y" - 7/ + 12y = 5
y=C1e3x+C2e*x+^
12J
y" + 4y' + 5y = 5x2 - 32x + 5
y — C\ e 2x cos x + C2 e 2x sin x + x2 — 8x + 7
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice:
y" - 7/ + 12y = 5
y=de3x+C2e4x+£
12 J
y" + 4y' + 5y = 5x2 - 32x + 5
y = Ci e 2x cos x + C2 e 2x sin x + x2 — 8x + 7
y" + y' - 2y = 6x2
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice:
y" - 7/ + 12y = 5
y=de3x+C2e4x+£
12 J
y" + 4y' + 5y = 5x2 - 32x + 5
y" + y' - 2y = 6x2
y = Ci e 2x cos x + C2 e 2x sin x + x2 — 8x + 7
y = d e~2x +C2 ex -3x2 - 3x - §"
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice:
y" - 7/ + 12y = 5
y=de3x+C2e4x+£
12 J
y" + 4y' + 5y = 5x2 - 32x + 5
y = Ci e 2x cos x + C2 e 2x sin x + x2 — 8x + 7
0 y" + y' - 2y = 6x2 Q y" + 3/ = 9x
y = Ci e~2x +C2 ex -3xz - 3x - ^
2J
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice:
y" - 7/ + 12y = 5
y=de3x+C2e4x+^
12 J
y" + 4y' + 5y = 5x2 - 32x + 5
y = Ci e 2x cos x + C2 e 2x sin x + x2 — 8x + 7
0 y" + y' - 2y = 6x2 Q y" + 3/ = 9x
y = Ci e~2x +C2 ex -3xz - 3x - ^
y = Ci + C2 e
2J
"3x+§X2 -X
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice:
y" - 7/ + 12y = 5
y=de3x+C2e4x+£
12 J
y" + 4y' + 5y = 5x2 - 32x + 5
y = Ci e 2x cos x + C2 e 2x sin x + x2 — 8x + 7
0 y" + y' - 2y = 6x2 Q y" + 3/ = 9x g y" + 4y' - 5y = 1
y = Ci e~2x +C2 ex -3xz - 3x - if
y = Ci + C2 e
2J
"3x+§X2 -X
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019 9
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice:
y" - 7/ + 12y = 5
y=C1e3x+C2e*x+^
12J
y" + 4y' + 5y = 5x2 - 32x + 5
y — C\ e 2x cos x + C2 e 2x sin x + x2 — 8x + 7
9 y" + y' - 2y = 6x2 □ y" + 3y' = 9x
g   y" + 4y/ _ 5y = 1
y = d e"2x +C2 ex -3x2 - 3x
y = Ci + C2 e
"3x+§x2 y = Cie"5x+C2ex
_ 9" 2.
— X
1 5
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019 9
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice:
y" - 7/ + 12y = 5
y=de3x+C2e4x+£
12 J
y" + 4y' + 5y = 5x2 - 32x + 5
y = Ci e 2x cos x + C2 e 2x sin x + x2 — 8x + 7
y" + /-2y = y" + 3y' = 9x
y" + 4y' - 5y y" + y = 2x3
- 6x2
y = Ci e~2x +C2 ex -3x2 - 3x
y = Ci + C2 e
= 1
-x + 2
"3x+|x2 y = Cie"5x+C2ex
_ 2"
2. — X
1 5
MA2BP.CAN3
4. cvičení
13. 3. 2019 9
Příklady
Určete obecné řešení diferenciální rovnice:
y" - 7/ + 12y = 5
y=de3x+C2e4x+£
12 J
y" + 4y' + 5y = 5x2 - 32x + 5
y = Ci e 2x cos x + C2 e 2x sin x + x2 — 8x + 7
y" + /-2y = y" + 3y' = 9x
y" + 4y' - 5y y" + y = 2x3
- 6x2
= 1
-x + 2
y
= Ci e~2x +C2 ex -3x2 - 3x - §
y
= Ci + C2 e
"3x+§x2 - x"
y =
y = Cie-5x+C2ex-i Ci cosx + C2 sin x + 2x3 — 13x + 2
MA2BP.CAN3
□        g ►  < -E ►  < =
4. cvičení
13. 3. 2019 9