Cvičení z matematické analýzy 3 Nekonečné číselné řady
10. 4. 2019
MA2BP.CAN3
6. cvičení
□        g ►  < -E ►  < =
10. 4. 2019
Nekonečné číselné rady
□ S
Základní pojmy
Definice: nekonečná číselná rada, posloupnost částečných součtů, součet rady
MA2BP.CAN3
6. cvičení
□        g ►  < -E ►  < =
10. 4. 2019
Základní pojmy
Definice: nekonečná číselná rada, posloupnost částečných součtů, součet rady
■ Nechť {3n}^=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol
J2^Li an = 3i + a2 + ...xse nazývá nekonečná číselná řada.
MA2BP.CAN3
6. cvičení
□        g ►  < -E ►  < =
10. 4. 2019
Základní pojmy
Definice: nekonečná číselná rada, posloupnost částečných součtů, součet rady
■ Nechť {3n}^=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol
J2^Li an = 3i + a2 + ...xse nazývá nekonečná číselná řada.
■ Výraz {sn}(^=11 kde sn = a\ +    + • • • + 3n se nazývá posloupnost částečných součtů řady J2T=i 3n-
MA2BP.CAN3
6. cvičení
□        g ►  < -E ►  < =
10. 4. 2019
Základní pojmy
Definice: nekonečná číselná rada, posloupnost částečných součtů, součet rady
■ Nechť {3n}^=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol
J2^Li an = 3i + a2 + ...xse nazývá nekonečná číselná řada.
■ Výraz {sn}(^=11 kde sn = a\ +    + • • • + 3n se nazývá posloupnost částečných součtů řady J2T=i 3n-
■ Jestliže existuje lim^ooSn = s, nazývá se součet řady Y^nLi an\ íada J27=i an konverguje.
MA2BP.CAN3
6. cvičení
10. 4. 2019
Základní pojmy
Definice: nekonečná číselná rada, posloupnost částečných součtů, součet rady
■ Nechť {3n}^=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol
J2^Li an = 3i + a2 + ...xse nazývá nekonečná číselná řada.
■ Výraz {sn}(^=11 kde sn = a\ +    + • • • + 3n se nazývá posloupnost částečných součtů řady J2T=i 3n-
■ Jestliže existuje lim^ooSn = s, nazývá se součet řady Y^nLi an\ íada J27=i an konverguje.
■ V opačném případě (li m n—sn neexistuje, nebo je lim^—^oo sn — ±00) řada YľnLi an součet nemá; říkáme, že ^^Li sn diverguje.
MA2BP.CAN3
6. cvičení
10. 4. 2019
Základní pojmy
Definice: nekonečná číselná rada, posloupnost částečných součtů, součet rady
Nechť {an}(^1 je posloupnost reálných čísel. Symbol
J2^Li an = 3i + a2 + ...xse nazývá nekonečná číselná řada.
Výraz {sn}(^=11 kde sn = a\ + a^ + • • • + 3n se nazývá posloupnost částečných součtů řady J2T=i an-
Jestliže existuje lim^oo sn = s, nazývá se součet řady Y^nLi an\ íada J27=i an konverguje.
V opačném případě (li m n—sn neexistuje, nebo je lim^—^oo sn — ±00) řada an součet nemá; říkáme, že an diverguje.
Věta (Nutná podmínka konvergence): Jestliže řada J2n=ian konverguje, pak lirrin^ooan = 0.
MA2BP.CAN3
6. cvičení
10. 4. 2019
Příklady
Určete součet rady
MA2BP.CAN3
6. cvičení
□        g ►  < -E ►  < =
10. 4. 2019
Příklady
Určete součet řady
□        g ►  < -E ►  < =
•fy <\ (y
MA2BP.CAN3
6. cvičení
10. 4. 2019
Příklady
Určete součet řady
I
1_ I   ,   I _ I ,
*      2   '  4      8 ^ ' ' '
2 L3J
□      g ► < -e ► < =
•fy <\ (y
MA2BP.CAN3
6. cvičení
10. 4. 2019
Příklady
Určete součet řady
1 -
1 -
I i i _ i .
2^4      8 T ' ' '
V3 + 3      3V3 +
I
2 L3J
MA2BP.CAN3
6. cvičení
10. 4. 2019
Příklady
Určete součet řady
1 -
1 -
I i i _ i .
2^4      8 T ' ' '
V3 + 3      3V3 +
2 L3
I
MA2BP.CAN3
6. cvičení
10. 4. 2019
Příklady
Určete součet řady			
U      ±      2      4 8		■2_ .3.	
B     1     1 + 1      1 +	"3-VŠ" 2		
„      V^oo 3n+2n 151      l^n=l 6"			
MA2BP.CAN3
6. cvičení
□        g ►  < -E ►  < =
10. 4. 2019
Příklady
Určete součet rady			
U      ±      2      4 8		■2_ .3.	
B     1     1 + 1      1 +	"3-VŠ" 2		
„      V^oo 3n+2n 151      l^n=l 6"		3-.2.	
MA2BP.CAN3
6. cvičení
□        g ►  < -E ►  < =
10. 4. 2019
Příklady
Určete součet řady
1_ I   ,   I _ I ,
*      2   '  4      8 ^ ' ' '
1 _ JL i I
1        y/3 ^ 3
3\/3
+
2 L3
3 L2
Vyjádřete ve tvaru zlomku
MA2BP.CAN3
6. cvičení
10. 4. 2019
Příklady
Určete součet řady
1_ I   ,   I _ I ,
*      2   '  4      8 ^ ' ' '
1 _ JL i I
1        y/3 ^ 3
3\/3
+
v^oo 3n+2n
I
2 L3
3-V3
3 L2
Vyjádřete ve tvaru zlomku
-0,12
MA2BP.CAN3
6. cvičení
10. 4. 2019
Příklady
Určete součet řady
1_ I   ,   I _ I ,
*      2   '  4      8 ^ ' ' '
1 _ JL i I
1        y/3 ^ 3
3\/3
+
v^oo 3n+2n
I
2 L3
3-VŠ
3 L2
Vyjádřete ve tvaru zlomku
-0,12
33 J
MA2BP.CAN3
6. cvičení
10. 4. 2019
Příklady
Určete součet řady
1_ I   ,   I _ I ,
*      2   '  4      8 ^ ' ' '
1 _ JL i I
1        y/3 ^ 3
3\/3
+
v^oo 3n+2n
I
2 L3
3-VŠ
3 L2
Vyjádřete ve tvaru zlomku
-0,12
33 J
0,078
MA2BP.CAN3
6. cvičení
10. 4. 2019
Příklady
Určete součet řady
1_ I   ,   I _ I ,
*      2   '  4      8 ^ ' ' '
1 _ JL i I
1        y/3 ^ 3
3\/3
+
v^oo 3n+2n
I
2 L3
3-VŠ
3 L2
Vyjádřete ve tvaru zlomku
-0,12
33 J
0,078
71 900 J
MA2BP.CAN3
6. cvičení
10. 4. 2019
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky
MA2BP.CAN3
6. cvičení
□        g ►  < -E ►  < =
10. 4. 2019
Příklady
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky
Určete součet řady
MA2BP.CAN3
6. cvičení
10. 4. 2019
Příklady
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky.
Určete součet řady
Eoo n n=l 2n
MA2BP.CAN3
6. cvičení
10. 4. 2019
Příklady
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky
Určete součet řady
D      En=l 2n iSn 2Sn)
MA2BP.CAN3
6. cvičení
10. 4. 2019
Příklady
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky
Určete součet řady
Eoo n n=l 2n
[2]
MA2BP.CAN3
6. cvičení
10. 4. 2019
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky
Určete součet řady
MA2BP.CAN3
6. cvičení
10. 4. 2019
Příklady
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky
Určete součet řady
Eoo n n=l 2n
(s„ - log 2s„)
[2]
MA2BP.CAN3
6. cvičení
10. 4. 2019
Příklady
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky
Určete součet řady				
n    v00 —	{Sn ~	2Sn)	[2]	
		- log 2s„)	1 L(i-/ogr2)2j	
MA2BP.CAN3
6. cvičení
10. 4. 2019
Příklady
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky
Určete součet řady
Eoo n n=l 2n
Eoo r?(sina)n_1 n=l 3"
(s„ - log 2sn)
[2]
(l-log2)2
MA2BP.CAN3
6. cvičení
10. 4. 2019
Příklady
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky
Určete součet řady
Eoo n n=l 2"
E^i«0og2)»-1
Eoo r?(sina)n_1 n=l ~
3"
(S/7 2^n)
(s„ - log 2s„)
(S" S33s")
[2]
(l-/og2)2
MA2BP.CAN3
6. cvičení
10. 4. 2019
Příklady
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky
Určete součet řady
Eoo n n=l 2"
E^i«0og2)»-1
Eoo r?(sina)n_1 n=l ~
3"
(S/7 2^n)
(s„ - log 2s„)
(S" S33s")
[2]
(l-/og2)2 3
(3—sina)2
MA2BP.CAN3
6. cvičení
10. 4. 2019
Příklady
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky
Určete součet řady
Eoo n n=l 2n
Eoo r?(sina)n_1 n=l 3"
Eoo 1 n=l
{Sn ~	2S")
{Sn ~	log 2s„)
{Sn ~	sin a c \ 3 bn)
[2]
(l-log2)2 3
(3—sina)2
MA2BP.CAN3
6. cvičení
10. 4. 2019
Příklady
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky.
Určete součet řady
Eoo n n=l 2n
Eoo r?(sina)n_1 n=l 3"
Eoo 1 n=l
(s„ - log 2sn)
[2]
(l-/o^2)2 3
(3—si n a)2
n(n+l)       n n+1
MA2BP.CAN3
6. cvičení
10. 4. 2019
Příklady
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky
Určete součet řady
□		n 2"
		"(log 2)
		r?(sin a)n~ 3"
□	2^n=l	1 n(n+l)
n-1
(s„ - log 2s„)
[2]
(l-/o^2)2 3
(3—s/na)2
[i]
MA2BP.CAN3
6. cvičení
10. 4. 2019
Příklady
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky
Určete součet řady
Eoo n n=l 2n
Eoo r?(sina)n_1 n=l 3"
Eoo 1 n=l
Eoo 1 n=l n(n+3)
(s„ - log2s„)
[2]
(l-/oř2)2 3
(3—sina)2
[1]
MA2BP.CAN3
6. cvičení
10. 4. 2019
Příklady
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky
Určete součet řady
Eoo n
n=l 2n
Eoo r?(sina)n_1 n=l 3"
Eoo 1
n=l n(n+l)
Eoo 1
n=l n(n+3)
(s„ - log2s„)
n(n+l) 1
1
n+1
[2]
(l-/o^2)2 3
(3—s/na)2
[i]
n(/7+3)       3n 3(n+3)
MA2BP.CAN3
6. cvičení
10. 4. 2019
Příklady
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky
Určete součet řady
Eoo n
n=l 2n
Eoo r?(sina)n_1 n=l 3"
Eoo 1
n=l n(n+l)
Eoo 1
n=l n(n+3)
(s„ - log2s„)
n(n+l) 1
1 n
n+1
[2]
(l-/o^2)2 3
(3—s/na)2
[i]
n(/7+3)       3n 3(n+3)
MA2BP.CAN3
6. cvičení
10. 4. 2019
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky
Určete součet řady
Eoo n n=l 2n
Eoo r?(sina)n_1 n=l 3"
Eoo 1 n=l
Eoo 1 n=l n(n+3)
Eoo 1 n=l (n+l)(n+4)
(s„ - log2s„)
n(n+l) 1
1 n
n+1
n(n+3)       3n 3(n+3)
[2]
(l-/dff2)2 3
(3—sina)2
[i]
MA2BP.CAN3
6. cvičení
10. 4. 2019
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky
Určete součet řady
Eoo n n=l 2n
Eoo r?(sina)n_1 n=l 3"
Eoo 1 n=l
Eoo 1 n=l n(n+3)
Eoo 1 n=l (n+l)(n+4)
(s„ - log2s„)
n(n+l) 1
1 n
n+1
n(n+3)       3n 3(n+3)
[2]
(l-/dff2)2 3
(3—sina)2
[i]
(n+l)(n+4) - 3(n+l) 3(n+4)
MA2BP.CAN3
6. cvičení
10. 4. 2019
V následujících příkladech využijeme
■ úpravy výrazu sn (hledáme "snadno" vyčíslitelný výraz sn — ksn);
■ rozklad výrazu an na parciální zlomky.
Určete součet řady
Eoo n n=l 2n
Eoo r?(sina)n_1 n=l 3"
Eoo 1 n=l
Eoo 1 n=l n(n+3)
Eoo 1 n=l (n+l)(n+4)
(s„ - log2s„)
n(n+l) 1
n(n+3) 1
1
n+1
3n
3(n+3) 1
[2]
(1-/Qff2)2
3
(3—sina)2
[i]
(n+l)(n+4) - 3(n+l) 3(n+4)
	"13"
	.36.
MA2BP.CAN3
6. cvičení
10. 4. 2019