Cvičení z matematické analýzy 3 Kritéria konvergence 24. 4. 2019 MA2BP.CAN3 7. cvičení □ i3i - = 24. 4. 2019 Náplň cvičení Literatura ■ Hájek, J., Dula, J.; Cvičení z matematické analýzy - Nekonečné rady. MU Brno, 1994. ■ Došlá, Z., Novák, V.; Nekonečné rady. MU Brno, 2013. MA2BP.CAN3 7. cvičení 24. 4. 2019 Kritéria konvergence řad s kladnými členy MA2BP.CAN3 7. cvičeni 24. 4. 2019 Základní pojmy Kritéria konvergence MA2BP.CAN3 7. cvičení 24. 4. 2019 Základní pojmy Kritéria konvergence Nutná podmínka konvergence: Jestliže řada J2^Li an konverguje, pak platí lim^oo an = 0. Věta má tvar implikace, znamená to tedy, že ■ je-li lim^oo an ^ 0, pak řada J27=i an diverguje; ■ vlastnost lim^oo an = 0 obecně není dostatečná pro to, aby řada Yl^Li an konvergovala. MA2BP.CAN3 7. cvičení 24. 4. 2019 —/ m Základní pojmy Kritéria konvergence Nutná podmínka konvergence: Jestliže řada J2^Li an konverguje, pak platí lim^oo an = 0. Věta má tvar implikace, znamená to tedy, že ■ je-li lim^oo an ^ 0, pak řada J27=i an diverguje; ■ vlastnost lim^oo an = 0 obecně není dostatečná pro to, aby řada Yl^Li an konvergovala. Srovnávací: nechť an < bn platí pro Vr? £ N, pak ■ Je_l' Z^A7=i an divergentní, je i 2_-,n=1 "n divergentní; ■ Je_l' J2^Li bn konvergentní, je i Yl^Li an konvergentní. MA2BP.CAN3 7. cvičení 24. 4. 2019 —/ m Základní pojmy Kritéria konvergence Nutná podmínka konvergence: Jestliže řada J2^Li an konverguje, pak platí lim^oo an = 0. Věta má tvar implikace, znamená to tedy, že ■ je-li lim^oo an ^ 0, pak řada J27=i an diverguje; ■ vlastnost lim^oo an = 0 obecně není dostatečná pro to, aby řada Yl^Li an konvergovala. Srovnávací: nechť an < bn platí pro Vr? £ N, pak ■ Je_l' Z^A7=i an divergentní, je i 2_-,n=1 "n divergentní; ■ Je_l' J2^Li bn konvergentní, je i Yl^Li an konvergentní. Podílové: nechť od jistého r?o G N platí pro Vr? G N, n > r?o än+l 3n 3n+l 3n < 1, pak Yl^Li an Je konvergentní; > 1, pak Yl^Li an Je divergentní. MA2BP.CAN3 7. cvičení 24. 4. 2019 Základní pojmy Kritéria konvergence - pokračovaní MA2BP.CAN3 7. cvičení 24. 4. 2019 5 / Základní pojmy Kritéria konvergence - pokračovaní ■ Limitní podílové: jestliže existuje lim^oo = q, pak ■ Yl^Li an Je konvergentní pro 0 < q < 1; ■ Yľ^Ĺi an Je divergentní pro q > 1; ■ je-li c/ = l, nelze o konvergenci či divergenci podle tohoto kritéria rozhodnout. MA2BP.CAN3 7. cvičení 24. 4. 2019 5 / Základní pojmy Kritéria konvergence - pokračovaní ■ Limitní podílové: jestliže existuje lim^oo = q, pak ■ Yl^Li an Je konvergentní pro 0 < q < 1; ■ Yľ^Ĺi an Je divergentní pro q > 1; ■ je-li c/ = l, nelze o konvergenci či divergenci podle tohoto kritéria rozhodnout. ■ Odmocninové: nechť od jistého r?o G N platí pro Vr? G N, n > r?o ■ ^fdTn < 1, pak Yl^Li 3n Je konvergentní; ■ \/^ň > 1» Pak a" je divergentní. MA2BP.CAN3 7. cvičení 24. 4. 2019 5 / Základní pojmy Kritéria konvergence - pokračovaní ■ Limitní podílové: jestliže existuje lim^oo = q, pak ■ Yľ^Ĺi an Je konvergentní pro 0 < q < 1; ■ J2^Li an Je divergentní pro q > 1; ■ je-li q = 1, nelze o konvergenci či divergenci podle tohoto kritéria rozhodnout. ■ Odmocninové: nechť od jistého r?o G N platí pro Vr? G N, n > r?o ■ 1. pak an je divergentní. ■ Limitní odmocninové: jestliže existuje lim^oo ^/ä^ = q, pak ■ zC^=i an Je konvergentní pro 0 < q < 1; ■ J27=i an Je divergentní pro q > 1; ■ je-li q = 1, nelze o konvergenci či divergenci podle tohoto kritéria rozhodnout. MA2BP.CAN3 7. cvičení 24. 4. 2019 5 / Základní pojmy Kritéria konvergence - dokončení MA2BP.CAN3 7. cvičení 24. 4. 2019 Základní pojmy Kritéria konvergence - dokončení ■ Integrálni kritérium: Necht pro řadu Y^=ian s kladnými členy existuje spojitá funkce f (x), pro kterou platí: ■ f (x) je nerostoucí na intervalu (K, oo) pro nějaké /(El; ■ od jistého a?o G N platí pro V a? no: f (n) = an Existuje-li vlastní limita limt^oo f k f(x)dx, řada J2^Li an konverguje. Je-li limt^oQ JlK f(x)dx = oo, řada J2T=i a" diverguje. MA2BP.CAN3 7. cvičení 24. 4. 2019 6 / Rozhodněte o konvergenci rady MA2BP.CAN3 7. cvičeni 24. 4. 2019 7 /1 Příklady Rozhodněte o konvergenci řady MA2BP.CAN3 7. cvičení 24. 4. 2019 7 /1 Příklady Rozhodněte o konvergenci rady MA2BP.CAN3 7. cvičení 24. 4. 2019 7 /1 Příklady Rozhodněte o konvergenci řady n=l s/a Eoo 1 n=l nn [dlVeľgUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] MA2BP.CAN3 7. cvičení 24. 4. 2019 7 /1 Příklady Rozhodněte o konvergenci řady n=l s/a Eoo 1 n=l nn [dlVeľgUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] [konverguje (podlesrov. krit. s řadou ^)] MA2BP.CAN3 7. cvičení < □ ► < r^P ► < -E ► < -E ► E -o q, o 24. 4. 2019 7 /1 Příklady Rozhodněte o konvergenci řady EOO JL_ n=l s/a Eoo 1 n=l nn Eoo 1 n=l In n [dlVeľgUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] [konverguje (podlesrov. krit. s řadou ^)] MA2BP.CAN3 7. cvičení 24. 4. 2019 7 /1 Rozhodněte o konvergenci řady Eoo JL_ n=l s/a Eoo 1 n=l nn Eoo 1 n=l In n [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] [konverguje (podlesrov. krit. s řadou ^)] [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] MA2BP.CAN3 7. cvičení 24. 4. 2019 7 /1 Rozhodněte o konvergenci rady Eoo _1_ n=l x/7, [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] EOO 1 n=l nn [konverguje (Podi e srov. krit. s řado u ^t)] EOO 1 n=l In n Eoo 1 n=l (n+l)3" [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] □ [S MA2BP.CAN3 7. cvičení 24. 4. 2019 7 /1 Rozhodněte o konvergenci rady Eoo JL_ n=l s/a Eoo 1 n=l nn sr^oc 1 Z-^n=l In n Eoo 1 n=l (n+l)3n [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] [konverguje (podlesrov. krit. s řadou ^)] [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] [konverguje (podle srov. krit. s řadou J2 ^r)] MA2BP.CAN3 7. cvičení 24. 4. 2019 7 /1 Rozhodněte o konvergenci rady Eoo JL_ n=l s/a Eoo 1 n=l nn sr^oc 1 Z-^n=l In n Eoo 1 n=l (n+l)3n Eoo n n=l 7P [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] [konverguje (podlesrov. krit. s řadou ^)] [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou)] [konverguje (podle srov. krit. s řadou J2 ^r)] MA2BP.CAN3 7. cvičení 24. 4. 2019 7 /1 Rozhodněte o konvergenci řady Eoo _i_ Eoo 1 n=l nn v^oo 1 Z-^n=l In n Eoo 1 n=l (n+l)3n Eoo n n=l 7P [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou) [konverguje (podlesrov. krit. s řadou ±r) [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou) [konverguje (podle srov. krit. s řadou J2 ±r) [konverguje (podle podílového krit.) MA2BP.CAN3 7. cvičení 24. 4. 2019 7 /1 Rozhodněte o konvergenci řady Eoo n=l y/h Eoo 1 n=l nn sr^oc 1 Z-^n=l In n Eoo 1 n=l (n+l)3n Eoo n n=l 2P 32n+l [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou) [konverguje (podlesrov. krit. s řadou ^) [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou) [konverguje (podle srov. krit. s řadou J2 57t) [konverguje (podle podílového krit.) □ 3 5 ^^(V MA2BP.CAN3 7. cvičení 24. 4. 2019 7 /1 Příklady Rozhodněte o konvergenci řady A7=l EOO 1 n=l nn v^oo 1 Z^n=l In n Eoo 1 n=l (n+l)3n Eoo n n=l 7P v^oo 32n+1 [dlVeľgUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou) [konverguje (podlesrov. krit. s řadou ±r) [dlVergUje (podle srov. krit. s harmonickou řadou) [konverguje (podle srov. krit. s řadou J2 57f) [konverguje (podle podílového krit.) [diverguje (podle podílového krit.) MA2BP.CAN3 7. cvičení 24. 4. 2019 7 /1 Příklady Rozhodněte o konvergenci rady MA2BP.CAN3 7. cvičení 24. 4. 2019 8 /1 Příklady Rozhodněte o konvergenci řady ( n n MA2BP.CAN3 7. cvičení 24. 4. 2019 8 /1 Příklady Rozhodněte o konvergenci řady ( n n [konverguje (Podie odm. krit.)] MA2BP.CAN3 7. cvičení 24. 4. 2019 8 /1 Příklady Rozhodněte o konvergenci řady Eoo / n n=l \2n+l Eoo _7P_ n=l n [konverguje (Podie odm. krit.)] MA2BP.CAN3 7. cvičení 24. 4. 2019 8 /1 Příklady Rozhodněte o konvergenci řady Eoo (_n_ \ n n=l \2n+l Eoo _7P_ n=l [konverguje (Podie odm. krit.)] [konverguje (Podie odm. krit.)] MA2BP.CAN3 7. cvičení <□► < r^P ► < -E ► < -E ► E -o q, o 24. 4. 2019 8 /1 Příklady Rozhodněte o konvergenci řady Eoo (_n_ \ n n=l \2n+l Eoo _7P_ n=l oo Sn=l n In n [konverguje (Podie odm. krit.)] [konverguje (Podie odm. krit.)] MA2BP.CAN3 7. cvičení 24. 4. 2019 8 /1 Příklady Rozhodněte o konvergenci řady Eoo (_n_ \ n n=l \2n+l Eoo _7P_ n=l oo Sn=l n In n [konverguje (Podie odm. krit.)] [konverguje (Podie odm. krit.)] [diverguje (Podi e srovn. resP. integr . krit.)] MA2BP.CAN3 7. cvičení 24. 4. 2019 8 /1 Příklady Rozhodněte o konvergenci řady Eoo (_n_ \ n n=l \2n+l Eoo n=l 2n OO Sn=l n In n oo n Sn=3 n4-9 [konverguje (Podie odm. krit.)] [konverguje (Podie odm. krit.)] [diverguje (Podi e srovn. resp. integr . krit.)] MA2BP.CAN3 7. cvičení <□► < r^P ► < -E ► < -E ► E -o q, o 24. 4. 2019 8 /1 Příklady Rozhodněte o konvergenci řady n n Eoo n=l 2n OO Sn=l n In n oo n Sn=3 n4-9 [konverguje (Podie odm. krit.)] [konverguje (Podie odm. krit.)] [dlVergUje (podlesrovn. resp. integr. krit.)] [konverguje (podle srovn. krit.) MA2BP.CAN3 7. cvičení <□► < r^P ► < -E ► < -E ► E -o q, o 24. 4. 2019 8 /1