1.014.45 7 Vydavatelství Univerzity Palackého J. Kuben OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE v Olomouc 1995 Předmluva Tato skripta jsou určena zejména pro posluchače inženýrského studia, lze je však použít i v jiných typech studia, kde se přednáší tato látka v obdobném rozsahu. Skripta obsahují standardní partie teorie obyčejných diferenciálních rovnic, které tvoří nezbytnou část matematického vzdělání inženýra. Hlavní pozornost je věnována tzv. elementárním metodám řešení, tj. praktickým výpočetním algoritmům. Text si ale rovněž všímá přesného zavádění pojmů a správné formulace základních teoretických výsledků o těchto rovnicích. Důkazy nejsou vzhledem k rozsahu skript v naprosté většině prováděny. Na ukázku jsou uvedeny některé z nesčetných aplikací diferenciálních rovnic. V určitých částech text mírně přesahuje běžný kurs a aspoň pro orientaci se zmiňuje o dalších oblastech, kterými se zabývá vlastní teorie diferenciálních rovnic. Sem patří zvláště závěrečný oddíl, věnovaný rovnicím s nespojitou pravou stranou. Vzhledem k tomu bude možné skripta využít i pro eventuální přednášky vybraných partií z obyčejných diferenciálních rovnic v doktorandském studiu. Pro hlubší zájemce o teorii obyčejných diferenciálních rovnic uvádím následující orientační (a velmi stručný) přehled doporučené literatury: Mezi poměrně přístupné práce patří [17, 18, 20, 29]. Práce [21, 22] obsahují pěkný a přesný výklad tzv. elementárních metod včetně důkazů. Hlubokým zájemcům lze pak doporučit [5, 6, 14]. Jde však o velice náročné texty (zvláště [6] a [14]), které jsou určeny profesionálním matematikům s potřebným předběžným vzděláním. Ve všech uvedených pracích lze nalézt další literaturu o obyčejných diferenciálních rovnicích, která je nesmírně rozsáhlá. Předkládaná skripta byla vysázena pomocí počítače PC užitím systému IATgX. Obrázky ve druhém vydání byly nakresleny převážně pomocí programu METAFONT. I když tvorba zdrojového souboru je časově poměrně náročná, vzhled textuje odměnou za vynaloženou námahu. Autor doufá, že podoba skript usnadní čtenáři studium a ten ocení nejen vzhled skript ale snad i jejich obsah. Na závěr bych chtěl poděkovat doc. RNDr. Zdeňku Šmardovi, CSc. z FE VUT Brno a RNDr. Vladimíru Vetchému, CSc. z katedry matematiky VA Brno za pečlivé pročtení prvního vydání skript a odstranily mnohé chyby a nepřesnosti, deny menší vzhledové úpravy a opraveny v zadáních příkladů a výsledcích. Brno, 15. 4. 1995 a řadu připomínek, které zlepšily text Ve druhém vydání byly navíc prove-některé překlepy, nepřesnosti a chyby Jaromír Kuben ii Obsah Předmluva i Obsah iii Seznam obrázků v 1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu 1 1.1 Úvod.................................. 1 1.2 Kvalitativní teorie diferenciálních rovnic 1. řádu ......... 2 1.2.1 Základní pojmy........................ 2 1.2.2 Existence a jednoznačnost řešení.............. 6 Cvičení ................................ 9 1.3 Elementární metody řešení . .................... 10 1.3.1 Rovnice se separovanými proměnnými........... 11 1.3.2 Homogenní rovnice................'....... 15 1.3.3 Rovnice tvaru y' = f(ax + by + c) ............. 16 1.3.4 Rovnice tvaru y> = /(gf%fe).............. 18 1.3.5 Lineární rovnice ....................... 21 V/ 1.3.6 Bernoulliova rovnice 'j.................... 25 } 1.3.7 Exaktní rovnice a integrační faktor............. 27 Cvičení ................................ 34 y 1.4 Ukázky aplikací rovnic prvního řádu................ 36 Cvičení ................................ 44 2 Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů 47 2.1 Kvalitativní teorie.......................... 47 2.2 Lineární rovnice n-tého řádu .................... 50 2.2.1 Úvodní poznámky...................... 50 2.2.2 Vlastnosti lineárních rovnic................. 54 2.2.3 Homogenní rovnice....................... 55 2.2.4 Snížení řádu lineární rovnice ................ 57 2.2.5 Homogenní rovnice s konstantními koeficienty....... 58 iii 2.2.6 Nehomogenní rovnice, variace konstant .......... 62 2.2.7 Metoda neurčitých koeficientů................ S5 2.2.8 Eulerova rovnice~^...................... 72 Cvičení ............................ 74 2.3 Ukázky aplikací rovnic vyšších řádů ................ 76 3 Systémy obyčejných diferenciálních rovnic 82 3.1 Kvalitativní teorie.......................... 82 3.2 Lineární systémy........................... 86 3.2.1 Homogenní systémy..................... 88 3.2.2 Nehomogenní systémy.................... 90 3.3 Lineární systémy s konstantními koeficienty............ 93 3.3.1 Eliminační metoda...................... 94 3.3.2 Užití normálního systému vektorů............. 98 3.3.3 Výpočet exponenciály matice................ 103 3.3.4 Metoda neurčitých koeficientů................ 108 Cvičení ................................ 112 3.4 Lineární systémy s nespojitými koeficienty............. 115 3.5 Ukázky aplikací systémů diferenciálních rovnic .......... 121 Literatura 124 Rejstřík 126 iv Seznam obrázků 1.1 Lineární element diferenciální rovnice................ 3 1.2 Směrové pole rovnice y' = x2 + y2 ................. 5 1.3 Eulerův polygon ........................... 5 1.4 Řešení rovnice y' = 2y/fj/j...................... 7 1.5 Nejednoznačnost řešení........................ 7 1.6 Řešení rovnice y' = — 2xy...................... 13 1.7 Obecné řešení rovnice y' — 2 v^TyJ.................. 14 1.8 Obecné řešení rovnice x + y + xy' = 0............... 17 1.9 Obecné řešení rovnice y' = 2y + x.................. 26 1.10 Příklady oblastí............................ 28 1.11 Elektrický obvod........................... 43 2.1 Počáteční úloha pro rovnici druhého řádu............. 49 2.2 Kmity pružiny ............................ 78 2.3 Matematické kyvadlo......................... 78 2.4 Elektrický obvod........................... 79 2.5 Průběh řešení lineárního oscilátoru................. 81 3.1 Po částech spojitá funkce ...................... 117 3.2 Řešení počáteční úlohy y" + y = sgnx, y(7r) = 0, y'(ir) = l . . . 120 3.3 Mechanická soustava......................... 121 3.4 Elektrický obvod........................... 123 v 1 Kapitola 1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu 1.1 Úvod Obyčejnými diferenciálními rovnicemi1 rozumíme rovnice, v nichž se vyskytují neznámé funkce jedné proměnné, a to včetně svých derivací (alespoň nějaké derivace neznámé funkce se musí v rovnici vyskytnout; jinak by šlo o tzv. funkcionální rovnice). Úkolem je tyto funkce určit. Uvedeme několik příkladů takových rovnic. 1- y' = V Řešením je zřejmě např. funkce y = ex ale rovněž jakákoliv funkce tvaru y — cex, kde c G R je libovolná konstanta. 2. y" = -y Řešením jsou například funkce y = sinx, y = cosx ale též funkce tvaru y — Ci cosx + C2 sinx, kde C], C2 € R jsou libovolné konstanty. 3. 2y'y2 - (y')3 - e3x = 0 Řešením je např. funkce y — ex. 4. y"y2 + y' + y2 sin x — cos x = 0 Řešením je např. funkce y — sinx. Již z předchozích příkladů je vidět obrovskou různorodost těchto rovnic. Obyčejné diferenciální rovnice třídíme podle jejich řádu, což je nejvyšší derivace neznámé funkce, která se v rovnici vyskytuje. Tedy rovnice z 1. a 3. příkladu jsou prvního řádu, rovnice z 2. a 4. příkladu jsou druhého řádu. 1 Diferenciální rovnice, v nichž neznámé funkce mají více proměnných, se nazývají parciální. 2 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Řešením obyčejné diferenciální rovnice rozumíme funkci, která vyhovuje dané rovnici na nějakém intervalu. Z 1. a 2. příkladu je vidět, že takových řešení může být více, dokonce nekonečně mnoho. Jedno konkrétní řešení nazýváme partikulární řešení. Podaří-li se nám najít univerzální vzorec, ve kterém jsou zahrnuta všechna partikulární řešení, mluvíme o obecném řešení. Podrobněji, obecné řešení bude vzorec obsahující jednu nebo více libovolných konstant, jejichž konkrétními volbami dostaneme všechna možná partikulární řešení dané rovnice. Počet konstant odpovídá v podstatě řádu rovnice. Lze např. ukázat, že y = cex, c G R, je obecné řešení výše uvedené rovnice y' — y. Obyčejné diferenciální rovnice mají rozsáhlé aplikace. Některé si uvedeme v průběhu dalšího výkladu. S mnohými se setkáte v řadě dalších předmětů, jako mechanika, fyzika, pružnost, pevnost, základy elektrotechniky, předměty specializace atd. Bez nadsázky lze říci, že diferenciální rovnice patří k jedné z nej významnějších oblastí, co se týká aplikací matematiky. S vývojem jejich teorie je spjata řada jmen významných matematiků minulosti i současnosti, včetně československých matematiků. Jelikož není naším úkolem dělat historický přehled, omezíme se na to, že v dalším výkladu uvedeme na vhodných místech aspoň jména se základními faktografickými údaji těch matematiků, kteří jsou spjati s počátky teorie obyčejných diferenciálních rovnic. 1.2 Kvalitativní teorie diferenciálních rovnic 1. řádu 1.2.1 Základní pojmy Nechť F(x, y, z) je funkce tří proměnných, která je definovaná na otevřené množině íž C R3. Pak rovnice F(x,y,y') = 0 (1.1) se nazývá obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu v implicitním tvaru s neznámou 2/0*0. Definice 1.1 Nechť h(x) je funkce definovaná na otevřeném intervalu J. Pak h(x) se nazývá řešení rovnice (1.1) na J, jestliže h(x) má derivaci, pro každé x G J je (x, h(x), h'(x)) € fž a platí F[x, h(x), h'(x)] = 0, x e J. Při vyšetřování vlastností obyčejných diferenciálních rovnic je důležitý případ, kdy lze z rovnice (1.1) osamostatnit y', tj. získat tzv. explicitní tvar obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu y' = f(x,y), (1.2) kde f(x, y) je funkce dvou proměnných definovaná na otevřené množině O C R2. 1.2 Kvalitativní teorie diferenciálních rovnic 1. řádu 3 Osamostatnění y' není někdy jednoznačné. Pak rovnici v implicitním tvaru odpovídá (lokálně) více rovnic v explicitním tvaru. Např. rovnice y'2-x2 = 0 je ekvivalentní dvěma rovnicím y' = x, y' = -x. Ne vždy je prakticky (tj. pomocí elementárních funkcí) možné rovnici (1.1) rozřešit vzhledem k y'. Jako obecný nástroj zde slouží věta o implicitní funkci —viz např. [7]. V dalším budeme předpokládat, že rovnice má tvar (1.2). Jestliže y(x) je řešení rovnice (1.2), které v bodě xQ má hodnotu y0, tj. y{xQ) = y o (říkáme, že řešení prochází bodem (xQ, yQ)), pak musí platit y'(x0) = f[x0,y(x0)] = f(x0,y0). Jestliže tedy řešení prochází bodem (x0,y0), jsme schopni říci, i když nemáme vzorec y(x), jaká je směrnice tečny (tj. derivace) k y{x) v bodě (x0,y0). Je to totiž právě číslo f(x0,y0). Z toho důvodu zavádíme následující pojmy. < y yo j v o x Obr. 1.1: Lineární element diferenciální rovnice Definice 1.2 Trojice čísel (x0,y0, f(x0,y0)), (x0,y0) G fž, se nazývá lineární element diferenciální rovnice (1.2). Množina všech lineárních elementů dané diferenciální rovnice tvoří její směrové pole. Každý lineární element můžeme znázornit jako vázaný vektor (šipku) umístěný do bodu (x0,y0), přičemž přímka určená tímto vektorem má směrnici f{x0,y0) — viz obr. 1.1, kde tg v = f{x0,y0). Tento vázaný vektor lze předem zkonstruovat v každém bodě (x0,y0) E íž. Funkce y(x) je pak řešením rovnice (1.2) právě tehdy, když má následující vlastnost: 4 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu V každém bodě, kterým y(x) prochází, je příslušný vázaný vektor tečný ke grafu funkce y(x). Tuto vlastnost lze využít k vytvoření představy, jak asi řešení dané rovnice vypadá. Sestrojíme hustou síť bodů a v nich nakreslíme lineární elementy. Ty nám ukazují, jak asi řešení probíhají. Příklad 1.1 Sestrojte směrové pole rovnice y' = x2+y2 a načrtněte tvar řešení. Řešení: Určíme množiny bodů, které odpovídají stejným hodnotám směrnice k. Ty získáme řešením rovnice x2 + y2 — k. Zřejmě musí být k > 0. Pro k = 0 dostaneme jediný bod (0,0), v němž je tečna vodorovná, tj. je to osa x. Pro k = 1 dostaneme body na kružnici x2+y2 = 1, v nichž tečny svírají s osou x úhel arctg 1 = f • Pro k = 2 dostaneme body na kružnici x2+y2 = 2, v nichž tečny svírají s osou x úhel arctg 2 = 1,1071. Pro k = | dostaneme body na kružnici x2+y2 = =, v nichž tečny svírají s osou x úhel arctg \ = 0,4636 atd. Situace je znázorněna na obr. 1.2, v němž jsou rovněž načrtnuta tři řešení. Podrobněji je možné zjistit, že každé řešení je rostoucí a je definované pouze na ohraničeném otevřeném intervalu, v jehož krajních bodech má nevlastní limity. Na závěr sé ještě stručně zmíníme o tzv. Eulerových2 polygonech. Nechť je x0 < x\ < • • ■ < xn, n > 1. Pokusíme se přibližně najít řešení y(x) na intervalu přičemž předpokládáme, že y(xo) = yo- Sestrojíme přímku, která prochází bodem (x0, y0) a má směrnici f(x0, yQ). Ta protne přímku x = x\ v bodě (xi,yi). Nyní sestrojíme přímku, která prochází bodem {x\,yi) a má směrnici f(xi,yi). Ta protne přímku x = x^ v bodě (£2,2/2) atd. Lomená čára určená body (xq, yo), (xi, yi),..., (xn, yn) se nazývá Eulerův polygon. Situace je zachycena na obr. 1.3. V teorii diferenciálních rovnic jsou důležité následující tři otázky: — zda má daná rovnice vůbec nějaké řešení, — pokud nějaké řešení má, kolik je jich celkem, — jak lze řešení nalézt. Odpověď na tyto otázky bude částečně zodpovězena v následujících odstavcích. 2Leonard Euler (1707- 1783) (čti ojler) — švýcarský matematik, fyzik, mechanik a astronom. Působil převážně v Petrohradě. Jeden z největších matematiků všech dob. Napsal kolem 850 prací (včetně mnohodílných monografií). Ovlivnil všechny základní matematické disciplíny . Od r. 1766 byl slepý (diktoval svým žákům). 1.2 Kvalitativní teorie diferenciálních rovnic 1. řádu 5 Obr. 1.3: Eulerův polygon 6 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu 1.2.2 Existence a jednoznačnost řešení Již z úvodních příkladů na str. 1 je zřejmé, že zcela běžné rovnice mají nekonečné mnoho řešení. Klást si proto otázku, zda řešení je jediné, není rozumné. Jednoznačnost je třeba chápat jiným způsobem a to tak, že na řešení budeme mít ještě další požadavky. Rovněž je třeba zpřesnit vlastnost mít řešení. Definice 1.3 Nechť (xo,yo) € Cl. Pak úloha najít řešení y(x) diferenciální rovnice (1.2), které je defhované na nějakém intervalu I obsahujícím bod x0 a které splňuje tzv. počáteční podmínku y(xo) = yo, se nazývá Cauchyova? počáteční úloha. Bude nás zajímat, za jakých podmínek bude mít počáteční úloha řešení a kdy bude toto řešení jediné. Věta 1.1 (Existenční) Nechť f(x,y) je spojitá na otevřené množině Cl. Pak pro každé {xo,yo) 6 Cl má úloha y' = f(x,y), y(xo) = yo (1.3) alespoň jedno řešení. Spojitost tedy zaručuje, že každým bodem prochází alespoň jedno řešení, definované na nějakém (obecně dostatečně krátkém) intervalu.Nezajímá nás zatím, jak moc lze tento interval „natáhnout". Toto řešení však nemusí být jediné, jak ukazuje následující příklad. Příklad 1.2 Uvažujme rovnici y' = 2y/\y\. Ověřte, že tato rovnice má (mimo jiná) řešení y = 0 a řešení tvaru „ _ / (x~c)2, x>c, Vc X 0, x c je y'c = 2{x — c) = 2\J(x — c)2 = 2^/yl. Tedy počáteční úloha V' = 2y/\y~\, 2/(0) = 0 f (x — c]^ J ^ c, má nekonečně mnoho řešení, a to !/ = 0 a j/c = < — ',c>0 — viz obr. 1.4. 0, x < c, 3Augustin Louis Cauchy (1789-1857) (čti koši) — vynikající francouzský matematik. Napsal přes 700 prací. Položil základy soudobé matematiky, především analýzy. 1,2 Kvalitativní teorie diferenciálních rovnic 1. řádu 7 y x2 (x - l)2 (x - 2,5)2 (s - 4)2 (x - c)2 —^---^ 2,5 4 c x O 1 Obr. 1.4: Řešení rovnice y' — 2y|y) Je zřejmé, že pokud prochází daným bodem (^o,?/o) yíce různých řešení, která se „rozvětvují" v daném bodě, mají všechna tato řešení v bodě (xo,yo) společnou tečnu — viz obr. 1.5. Nezajímá nás, zda se řešení rozvětvuje někde „dál". To vystihuje následující definice. Definice 1.4 Řekneme, že počáteční problém (1.3) má jediné řešení, jestliže pro každá dvě jeho řešení y%(x), y2(x) existuje vhodné číslo S > 0 takové, že pro x e (x0- 6,x0 + 5) je yx(x) = y2{x). x Obr. 1.5: Nejednoznačnost řešení 8 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Tedy v dostatečně malém okolí bodu xq se musí řešení shodovat. Existuje řada podmínek, které zaručují jednoznačnost. Nejznámější je tzv. Lipschitzovcr podmínka (lokální): Existují konstanta K > 0 a okolí O bodu (xo,yo), O C fž, takové, že pro každé dva body (x, y{) G O, (x, y2) G O je \f{x,yi) - f{x,y2)\ 0 je dostatečně malé číslo. Dále definujme: yi{x) = ž/o+ / f[s,yo(s)]ds, J Xq V2(x) =■ yo+ / f[s,yi(s)]ds, J Xn 4Rudolf Otto Sigismund Lipschitz (1832-1903) (čti lipšic) — významný německý matematik. Zabýval se diferenciálními rovnicemi, teorií čísel, vícerozměrnou geometrií a dalšími oblastmi. Pracoval rovněž v hydrodynamice a analytické mechanice. 5Stefan Banach (1892-1945) — vynikající polský matematik. Jeden ze zakladatelů funkcionální analýzy. Patří k nejvýznamnějším matematikům tohoto století. 1.2 Kvalitativní teorie diferenciálních rovnic 1. řádu 9 yn+i(x) = yQ+ f[s,yn(s)]ds, J X0 Lze dokázat, že posloupnost funkcí {yri(x)}^L0 konverguje stejnoměrně k (jedinému) řešení úlohy (1.3). Funkce yn(x), n = 0,1,2,..., se nazývají postupné aproximace. Definice 1.5 Řešení y{x) rovnice (1.2), které má tu vlastnost, že v každém jeho bodě je porušena jednoznačnost, se nazývá singulární. Nebudeme se detailně zabývat vyšetřováním tohoto pojmu — viz např. [23, str. 19] nebo [29, str. 128]. Všimněte si pouze, že řešení y = 0 rovnice y' = 2y/\y\ vyšetřované na str. 6 je singulární. Cvičení 1. Znázorněte směrové pole následujících rovnic a načrtněte průběh některých řešení. sl) y' = yjx2 + y2 b) y' = x + y2 c) y' = x2 + y d) y' = sin(x + y) e) y' = \x\ + \y\ f) y' = p x + y 2. Najděte prvé dva členy posloupnosti postupných aproximací následujících počátečních úloh. l))y' = x2 + y2, 3/(0) = 0 (b)}' = x - y, 2/(1) = 0 c)y' = xy, 2/(1) = 2 d) y' = V-, 2/(1) =-1 x e) 2/' = -, 2/(1) = -1 Výsledky: r&) y0(x) = 0, 2/i(x) = ä£, y2(x) = ^ + Ŕ 2 i , > „3 Ji b) y0(x) = 0, yi(x) = \ - i, y2(x) = + \ - § - f c) 2/o(x) = 2, 2/i(x) = a:3 + 1/ y2(x) = ^ + ^ + | d) yo(x) = -1, y\{x) — — 1 - ln:r, ?/2(a0 = —1 — lna; — | ln2 £ e) yQ(x) = -1, i/i(x) = - ± y2(x) - -1 + ln 2 - ln(a:2 + 1) 10 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu 1.3 Elementární metody řešení Jak jsme se již zmínili, je z hlediska uživatele (inženýra) nej důležitější určit řešení dané rovnice. Ideální by bylo samozřejmě najít obecné řešení každé rovnice. To však bohužel není možné. Nejprve je třeba si uvědomit, co se obvykle rozumí slovy „najít řešení". Většinou si pod tím představujeme „konečný vzoreček" pro y(x), tj. přesněji vyjádření y(x) jako elementární funkce — viz [12], str. 11. Uvažujme nyní speciální rovnici tvaru y'= /(*). Zřejmě jde o nalezení neurčitého integrálu funkce f(x). Z integrálního počtu je známo, že všechna řešení této úlohy mají tvar y(x) = j f{x)dx + c, což je obecné řešení uvedené rovnice. Stejně tak je ovšem dobře známo, že i kjlyž f(x) je velmi jednoduchá elementární funkce, nemusí být J f (x) dx elementární funkce. Z toho tedy vyplývá, že když už tak jednoduchou diferenciální rovnici nelze řešit ve třídě elementárních funkcí, tím spíše to nelze čekat v obecném případě u rovnice (1.2). Dokonce neuspějeme, když bychom připustili vyjádření obsahující elementární funkce a jejich neurčité integrály (tzv. řešení pomocí kvadratur).Tento negativní výsledek vyplývá z prací S. Liea6. Naštěstí to ovšem neznamená, že žádné konkrétní diferenciální rovnice nelze řešit v konečném tvaru. Naopak. Řadu jednoduchých rovnic, které jsou významné v aplikacích, lze řešit ve třídě elementárních funkcí nebo alespoň pomocí kvadratur. Neexistuje ovšem žádné kritérium, jak poznat, zda danou rovnici tímto způsobem řešit lze nebo ne. V dalším oddílu jsou uvedeny nej důležitější typy rovnic, které lze v uvedeném smyslu vyřešit. Jde o tzv. elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Velmi podrobný přehled lze nalézt v [10]. Z předchozích odstavců vyplývá důležitost tzv. kvalitativních metod v teorii diferenciálních rovnic. Jde o zkoumání vlastností řešení dané rovnice, aniž máme explicitní vzorce řešení, což je, jak bylo naznačeno, nejčastější situace. Jde tedy o to, jak získat informace o řešeních rovnice pouze z vlastností pravých stran f(x, y) rovnice y' = f(x, y). I když teprve tady začíná vlastní teorie obyčejných diferenciálních rovnic, jsou bohužel hlubší poznatky z těchto partií zcela mimo rámec našich skript. Patří sem mimo jiné např. výsledky odstavce 1.2.2 týkající se existence a jednoznačnosti řešení. Nepatrnou ukázkou jsou rovněž tvrzení, která jsou uvedena bez důkazu na závěr příkladu 1.1. Např. to, že řešení jsou rostoucí, plyne z toho, že zřejmě až na bod (0,0) je vždy y'(x) > 0. Rovnice 6Marius Sophus Lie (1842-1899) (čti li) — norský matematik. Zabýval se teorií grup a diferenciální geometrií. Zavedl tzv. Lieovy grupy a jejich invarianty. Tento pojem je velmi významný v mnoha odvětvích soudobé matematiky a teoretické fyziky. 1.3 Elementární metody řešení 11 y' = x2 + y2, která je zde vyšetřována, je speciálním případem tzv. Riccatiho' rovnice. Z výsledků, které o ní dokázal J. Liouville8, vyplývá, že v našem případě ji nelze řešit ve třídě elementárních funkcí — viz [29]. Dalším důsledkem je význam numerických metod. V praxi se nelze spokojit s tím, že řešení nelze získat explicitně, a nezbývá pak, než získat řešení přibližně. S problematikou numerického řešení obyčejných diferenciálních rovnic se setkáte v přednáškách z numerické matematiky — viz např. [8, 9, 19, 25]. V následujícím přehledu jsou všechny rovnice až na jednu uvedeny ve tvaru y' = f(x,y). Je tedy třeba konkrétní rovnici na tento tvar upravit a pak zvažovat, zda je některého z uvedených typů. Tato fáze dělá studentům největší potíže. Je třeba procházet uvedené typy jeden po druhém, nejlépe zhruba v uvedeném pořadí, a porovnávat, zda jde o daný typ. Je možné, že konkrétní rovnice spadá současně do více typů. Pak dáme přednost tomu, který má jednodušší postup řešení. Rovněž je třeba upozornit, že následující výklad není vždy absolutně přesný a je především zaměřen na formalismus řešení uvedených typů rovnic. 1.3.1 Rovnice se separovanými proměnnými Obyčejnou diferenciální rovnici 1. řádu nazýváme rovnice se'separovanými proměnnými, jestliže má tvar y' = f(x)g{y). (1.4) Předpokládejme, že / a g jsou spojité funkce na nějakých otevřených intervalech a g(y) ^ 0. Pak lze ukázat, že je zaručena existence a jednoznačnost řešení a že každé řešení dostaneme následujícím postupem: Dosadíme y' = p- a dostaneme ■J dx t = '«»<»>■ Odseparujeme proměnné, tj. převedeme např. vše s y na levou stranu a vše s x na pravou stranu. Vyjde /(•'•) dx. g(y) Získanou rovnost zintegrujeme. Dostaneme dy g(y) f(x) dx. 7Jacopo Francesco Riccati (1676-1754) (čti rikati) — italský matematik a mechanik. Zabýval se integrálními a diferenciálními rovnicemi mechaniky. Jeden z vícečlenné rodiny italských matematiků stejného příjmení. 8Joseph Liouville (1809-1882) (čti liuvil) — významný francouzský matematik. Zasáhl do téměř všech oblastí tehdejší matematiky. 12 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Nechť G(y) je primitivní funkce k a F(x) je primitivní funkce k f (x). Pak obecné řešení má tvar G(y) = F(x) + c, kde c G i? je integrační konstanta. Přesné zdůvodnění uvedeného postupu je založeno na substituci v neurčitém integrálu a větě o implicitní funkci — viz [20, str. 8]. Řešení tedy dostaneme v implicitním tvaru a ne vždy se nám podaří osamostatnit neznámou funkci y(x). Dále si všimněme, že jestliže g(y0) — 0 pro nějaké yQ G R, je y(x) = y0 konstantní řešení rovnice (1.4), neboť na levé straně je y'{x) — (yQ)' = 0 a na pravé straně -je f(x)g[y(x)] = f{x)g(y0) = 0. Poznamenejme, že toto řešení někdy může být singulární — viz např. [20, str. 9]. Poznámka 1.1 Je na čase, abychom se zmínili obecně o řešení počátečního problému (1.3). Jediný způsob, který se naučíme, bude ten, že nejprve najdeme obecné řešení. To bude u rovnic 1. řádu obsahovat jednu neznámou konstantu. Tu určíme tak, že do obecného řešení dosadíme počáteční podmínku. Postup bude ilustrován v následujícím příkladu. Příklad 1.3 Řešte počáteční problém y' — —2xy, y(0) = 2. Řešení: Jde o rovnici typu (1.4), kde f(x) = —2x, g(y) = y. Nejprve budeme muset najít obecné řešení. Protože v našem případě je g(y) = y — 0 právě pro y = 0, je jedním řešením y = 0. Pro y 0 postupně dostaneme dy dx dy V = -2xy = — 2x dx — = —2 I xdx y \n\y\ = -x2 + K a po odlogaritmování x2 „K e e Číslo eK reprezentuje kladnou konstantu. Snadno se ověří, že označíme-li eK = C a připustíme-li, že C G Ä je libovolná (i nula a záporná), lze vynechat absolutní hodnotu. Tedy obecné řešení biide mít tvar y = Ce~x\ CeR. Všimněte si, že v tomto vzorci je zahrnuto i řešení y = 0. 1.3 Elementární metody řešení 13 Obr. 1.6: Řešení rovnice y' = —2xy Nyní najdeme řešení počátečního problému. Dosazením podmínky y(0) — 2 do obecného řešení dostaneme 2 = Ce-°2 C = 2. Tedy hledané partikulární řešení je y = 2e~x'2. Situace je znázorněna na obr. 1.6. Příklad 1.4 Najděte obecné řešení rovnice y' — 2\f\y\ — viz přík. 1.2 na str. 6. Řešení: Jde opět o rovnici tvaru (1.4), kde f(x) — 1, g(y) = 2y/\y~\. Přitom g(y) je definovaná pro každé y G R a g(y) = 2y/\y~\ — 0 právě tehdy, když \y\ = 0, tj. když y = 0. Proto y = 0 je řešení. Pro y ^ 0 je Vypočteme nejprve integrál na levé straně. Pro y > 0 je: 14 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Pro y < 0 je (použijeme substituci): Tento výsledek můžeme zapsat jediným vzorcem y/\y\sgn.y. Nyní z (1.5) dostaneme y/\y \ sgn y = x + c. Protože pro y ^ 0 je \f\y\ > 0, musí mít x + c stejné znaménko jako y. V horní polorovině y > 0 tedy dostaneme y/y — x + c, x > -c, =4> t/ = (.x + c)2, ar > -c, a podobně v dolní polorovině y < 0 dostaneme ~V~V — x + c, x < — c, y = —(x + c)2, x <—c. Řešení je tedy tvořeno částmi parabol — viz obr. 1.7. Přitom y = 0 je singulární řešení, jak již bylo dříve zjištěno v příkladu 1.2. 1.3 Elementární metody řešení 15 Poznámka 1.2 Rovnice, které se nějakou úpravou dají převést na rovnice tvaru (1.4), se nazývají separovatelné. Většina dalších rovnic bude právě tohoto typu. 1.3.2 Homogenní rovnice Definice 1.6 Funkce g(x, y) definovaná na R+ xR+ se nazývá homogenní (řádu nula), jestliže pro každé t > 0 platí g(tx,ty) = g(x,y). Je-li g(x,y) homogenní, pak volbou t = j dostaneme g(x,y) — g(~x, ^y) = g(l, ^). Označíme-li f (z) = g(l,z), docházíme k závěru, že každou homogenní funkci lze napsat ve tvaru /(^), kde / je vhodná funkce. Rovnici (1.2) nazýváme homogenní, jestliže její pravá strana je homogenní, tj. má-li (po úpravě) tvar ✓ = /g). (1.6) Tato rovnice se pak řeší zavedením nové neznámé funkce u{x) substitucí u(x) — Odtud máme y(x) = xu(x) a tedy y'(x) = u(x) + xu'(x). Po dosazení vyjde (u píšeme bez argumentu x) u + xu' = f(u) a po úpravě dostaneme / _ f{u) - u u , x což je diferenciální rovnice se separovanými proměnnými, kterou už umíme řešit. Po vyřešení této rovnice se musíme vrátit k původní neznámé y(x). Poznámka 1.3 Z postupuje zřejmé, že musí být i/O, Často se stává, že tato podmínka vznikne až uměle během úprav a po návratu k původní proměnné opět zmizí, takže řešení existují i pro x = 0. Zda tomu tak skutečně je, je třeba vždy konkrétně ověřit. Příklad 1.5 Najděte obecné řešení rovnice x + y + xy' = 0. Řešení: Nejprve osamostatníme y'. Dostaneme ^ x x To je homogenní rovnice, kde f(u) = — 1 — u. Zavedeme substituci y — xu, y' = u + xu'. Vyjde , / 2«+ 1 u + xu = — 1 — u u =--r, x 16 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu což je rovnice se separovanými proměnnými. Při označení u' == obdržíme postupně du 2u +1 eřw cte a po integraci 2u + 1 2u + 1 / 0, 2w + l " ~ J 2u + l Vypočteme substitucí integrál vlevo: /-—— = 2du = dt dx x 2u + l Tedy du = ^dt - /— = -ln \t = -ln 2u + 1 2 ./ t 2 11 2 1 1 ln \2u + 1| = — ln\x\ + Inc. Po odlogaritmování dostaneme V\2u+T\ \x\ Osamostatněním u vyjde postupně (přeznačíme c2 = K) -2 \,K ^ K-x2 \2u + 1 = -77 2x2 Nyní dosadíme y = xu a přeznačíme y = L. Vyjde Ä" - x2 K-x' 2x2 2x L . x x ~ 2' (1.7) Vyloučili jsme případ 2u + 1 = 0. Rovnice (1.7) má konstantní řešení u — — \ a tedy původní rovnice má řešení y — xu = x{—\) — — f, což je zahrnuto v předchozím vzorci pro L — 0. Obecné řešení má tedy tvar L x y = ---, x^O, LgR. x 2 Výsledek je znázorněn na obr. 1.8. 1.3.3 Rovnice tvaru y' = f(ax + by + c) Jde o rovnice tvaru y' = f(ax + by + c), (1.8) kde a, 6, c € R, ab ^ 0. Tyto rovnice nemají speciální název. Řešíme je jednoduchou substitucí u(x) — ax + by(x) + c. 1.3 Elementární metody řešení 17 Pro derivaci vyjde / / \ t//\ / ^ M (x) = a + by (x) y=—-—. b Po dosazení vyjde iľ - a . . a po osamostatnění má rovnice tvar m' = bf(u) + a, což je rovnice se separovanými proměnnými. Po jejím vyřešení se musíme vrátit k původní proměnné. Příklad 1.6 Najděte obecné řešení rovnice y' = -. x + y -2 Řešení: Zřejmě jde o rovnici typu (1.8), kde f (z) = ~, a — b = 1, c = —2. Zavedeme substituci u = x + y — 2, tj. u! = 1 + y', odkud máme y' = u' — 1. Po dosazení vyjde u'-l = - u'=l—, MO. (1.9) 18 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Tato rovnice má separované proměnné, tj. postupně dostáváme du 1 + u udu dx u 1 + u dx, « + 1^0, a po integraci Je /udu f , —-—du = [——-- du = /(1--) du = u — ln II + u\. 1 + u J 1 + u 7 1 + u' 1 1 .. Tedy u — ln |1 + u\ = x + C a po návratu k původní neznámé dostáváme x + y - 2 - ln |1 + x + y - 2| = x + C. Označíme-li C + 2 — K, vyjde y — K = m\x + y — 1\ a po odlogaritmování a přeznačení e~K = L máme eyL = x + y — 1. Vyloučili jsme případ u + 1 = 0. Rovnice (1.9) má řešení u — — 1 a tedy pro původní neznámou dostáváme x + y-2 = -l y = 1 - x, což je, jak se snadno přesvědčíme, rovněž řešení, které je zahrnuto v předchozím vzorci pro L — 0. Obecné řešení (v implicitním tvaru) je tedy Ley = x + y - 1, L e R. 1.3.4 Rovnice tvaru y' = /(Qlic+^y+ci) 9 J v d2X + 02y+C2 ' Jde o rovnici tvaru , aix + biy + ci y =/(-_, i.)» 'a2i + b2y + c2 kde Oi, 6i, Cj G R, i = 1, 2. Budeme předpokládat, že (1.10) ai &i 02 &2 #0. 1.3 Elementární metody řešení 19 Pokud je totiž tento determinant roven nule, je možné rovnici převést na tvar (1.8). Vskutku. Pak je totiž jeden (nechť je to např. první) řádek násobkem druhého a tedy existuje vhodné k £ R tak, že gxx + bxy + ci _ k(a2x + b2y) + Ci a2x + b2y + c2 a2x + b2y + c2 a rovnici lze řešit substitucí z(x) = a2x + b2y(x). Pokud je determinant nenulový, provedeme posunutí souřadnic x = t + m, y(x) — u(t) + n. tak, aby pravá strana rovnice (1.10) měla tvar /(°^+^). Mění se tedy nezávisle proměnná x i závisle proměnná y. Po dosazení za x a y do čitatele a jmenovatele pravé strany (1.10) dostaneme vzhledem k žádanému tvaru, že má platit aj(í + m) + bi(u + n) + c.i = a,-í + biu, i = 1, 2, tj- ciim + bxn + ci = 0, a2m + b2n + c2 — 0. Tato soustava má právě jedno řešení, protože matice soustavy má hodnost 2, tj. je regulární. Označme dále i dy du ^ dx' dt Podle věty o derivaci složené funkce platí , _ dy dy dt d{u + n) d(x — m) . ^ dx dt dx dt dx Po dosazení přejde rovnice (1.10) v rovnici 1 ait 4- b\U u ~a2t + b2u' což je homogenní diferenciální rovnice. Příklad 1.7 Najděte obecné řešení rovnice xy' + 2yy' — 6 + 2>x + 3y — 3y' = 0. Řešení: Osamostatníme nejprve y'. Vyjde y'(x + 2y — 3) = 6 — 3.x — 3y 20 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu a tedy y' = 6 — 3x — 3y x + 2y-3^Q. x + 2y-3 ' Jde o rovnici typu (1.10), kde a\ = —3, b\ = —3, ci = 6, a2 (1.11) 1, b2 = 2, c2 = -3, tedy -3 -3 1 2 = — 3 0. Vyřešíme soustavu —3ra — 3n + 6 = 0, m + 2n - 3 = 0. Dostaneme m = n = 1. Označme X = t + 1, 2/ = w + 1 a po dosazení do (1.11) a úpravě obdržíme homogenní rovnici —3č — 3u u = t + 2u -3-3? 1 + 2? Položíme u{ť) = tv(t). Pak « = » + íia dostáváme -3 - 3v v + tv l + 2ť^0. l + 2v Po osamostatnění ú vyjde rovnice se separovanými proměnnými 1 2v2 + 4v + 3 v = t 1 + 2v Nyní položíme v = odseparujeme neznámé a integrujeme. Dostaneme dv ~dl 1 2v2 + 4v + 3 1 l + 2v 1 + 2v ľdt 2v2 + 4v.+ 3 V~ 7 ť Integrál na levé straně je z racionální ryze lomené funkce, která má ve jmenovateli kvadratický trojčlen s komplexními kořeny. Je to tedy parciální zlomek, který je nutné před integrací upravit — viz [33]. 2v + l ±(4v + 4)-l 1 4u + 4 2v2 + 4v + 3 2v2 + 4v + 3 2 2v2 + 4u + 3 2 (v + l)2 + \ ' První zlomek vede na logaritmus, druhý na arkustangens. Celkově vyjde -ln|2w2 + 4f+ 3| £á 1 k v + 1 - v 2 arctg 2 /1 ln lil + ln C. 1.3 Elementární metody řešení 21 Nyní musíme dosadit původní proměnné, tj. í = x — 1, v = j = ^—j- Vyjde 1 IV— 1 \ 2 V — 1 Po úpravě a odlogaritmování vyjde při označení C2 = K 2y2 + Sx2 + Axy - l(te - 8y + 9 = e^arct§ ^^i^, což je „obecné" řešení rovnice (1.11) v implicitním tvaru. Všimněte si, že tento vzorec nedává řešení procházející body tvaru (1, y). Rovněž uvažovaná podmínka x + 2y — 3 jí- 0 vznikla až během úprav a v původní rovnici není. Chybějící řešení by bylo možné získat řešením rovnice dx x + 2y — 3 dy 6 — 3a; — 3y ' v níž je zaměněn význam x a y, tj. x — x (y). 1 r~x + y ---p arctgv2- V2 x - 1 = -ln b - II + lnC. 1.3.5 Lineárni rovnice Jde o velmi jednoduchou rovnici tvaru y' = a(x)y + b(x). (1.12) Vlastností této rovnice si všimneme mnohem podrobněji, než jsme to dělali u předchozích typů. Bude to proto, že tato rovnice má řadu důležitých vlastností, které budou analogicky platit u lineárních rovnic vyšších řádů a u lineárních systémů, se kterými se setkáme později. Věta 1.3 Nechť funkce a(x) a b(x) jsou spojité na intervalu I. Nechť x o E I a yo E R jsou libovolná čísla. Pak počáteční problém ij - a(x)y + b(x), y{x0) = y0 má právě jedno řešení a to existuje na celém intervalu I. Důkaz: Rovnice (1.12) je speciálním případem rovnice (1.2), kde volíme f(x,y) = a(x)y + b(x). Protože ^ = a(x) je spojitá funkce na / x R, má podle věty 1.2 počáteční problém právě jedno řešení. Lze ukázat, že toto řešení je možné prodloužit na celý interval /. Definice 1.7 Rovnice (1.12) se nazývá homogenní, jestliže b(x) = 0 na I. V opačném případě se nazývá, nehomogenní. Poznámka 1.4 Nezaměňujte homogenní lineární rovnici s rovnicí homogenní ve smyslu (1.6). Jde o dva zcela odlišné pojmy. V dalším budeme předpokládat, že a(x) a b(x) jsou spojité, a všimneme si postupně vlastností řešení homogenní a nehomogenní rovnice. 22 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Homogenní rovnice Všimněme si, že rovnice y' = a{x)y (1.13) má vždy tzv. triviální řešení y = 0. Z předchozí věty plyne, že jestliže y(xo) = 0, pak díky jednoznačnosti je nutně y(x) = 0 pro každé x E I. Tedy netriviální řešení nikdy neprotíná osu x a vzhledem ke spojitosti je buď celé nad nebo celé pod osou x. Další důležitá vlastnost je obsahem následující věty. Věta 1.4 Nechť yi{x), y2(x) jsou řešení rovnice (1.13) a c E R. Pak také yi(x) + y2{x) a cyi(x) jsou řešení rovnice (1.13). Důkaz: Je y'x = a(x)yi, y'2 = a(x)y2, a tedy (q/i)' = cy[ = ca(x)yi = a(x)(q/i). Tedy yx + y2 i cyx splňují (1.13). Obsah předchozí věty lze shrnout tak, že součet dvou řešení a násobek řešení číslem jsou opět řešení. Tento fakt znamená, že množina řešení rovnice (1.13) tvoří vektorový prostor. Z jednoznačnosti řešení počátečního problému pro rovnici (1.13) snadno plyne, že tento prostor má dimenzi 1. Platí tedy Věta 1.5 Nechť yo(x) je netriviální řešení rovnice (1.13). Pak obecné řešení této rovnice má tvar Řešení rovnice (1.13) lze najít velmi snadno. Jde totiž o rovnici se separovanými proměnnými. Tedy (yi + yi)' - y[ + y'z = a(x)yi + a(x)y2 = a(x)(y1 + y2) a y(x) = cy0(x), c e R. dy_ dx Dále a po odlogaritmování vyjde y = ce a(x) dx 1.3 Elementární metody řešení 23 Nehomogenní rovnice Věta 1.6 Nechť yi(x) je řešení rovnice y' = a(x)y + bi(x) a y2(x) je řešení rovnice y' = a(x)y + b2(x), x e I, a ci, c2 £ R- Pak funkce ciyi(x) + c2y2[x) je řešením rovnice y' = a(x)y + ctb^x) + c2b2{x). Důkaz: Tvrzení je bezprostředním zobecněním věty 1.4 a i jeho důkaz je zcela analogický. Výsledek obsažený v předchozí větě se nazývá princip superpozice. Věta 1.7 Nechť yo(x) je netriviální partikulární řešení rovnice (1.13) a y\{x) je partikulární řešení rovnice (1.12). Pak obecné řešení rovnice (1.12) má tvar y = cy0(x) + yi(x), c G R. Důkaz: Z principu superpozice lehce plyne volbou b1(x) — b(x), b2(x) = 0, cx = 1, C2 = c, že cy0(x) + yi(x) je řešení rovnice (1.12). Je-li naopak y(x) nějaké řešení rovnice (1.12), pak y(x) — y\{x) je řešení rovnice (1.13). To plyne opět z principu superpozice volbou b\(x) = b2(x) — b(x), C\ = 1, c2 = — 1. Tedy podle věty 1.5 existuje c tak, že y{x) — y\{x) = cyo(x), tj. y(x) = cyo(x) + yi(x). Protože y(x) bylo libovolné, dává uvedený vzorec skutečně obecné řešení. Z předchozí věty vyplývá důležitý princip. Označme OŘHLDR ........ obecné řešení homogenní lineární dif. rovnice PRHLDR ........ partikulární řešení homogenní lineární dif. rovnice OŘNLDR ........ obecné řešení nehomogenní lineární dif. rovnice PŘNLDR ........ partikulární řešení nehomogenní lineární dif. rovnice Pak OŘNLDR=OŘHLDR+PŘNLDR Co se týká praktického řešení, vyplývá z předchozího vztahu, že stačí najít obecné řešení homogenní rovnice, což již umíme, neboť jde o rovnici se separovanými proměnnými, a partikulární řešení nehomogenní rovnice, což zatím neumíme. K řešení druhé úlohy poslouží následující metoda. \ 24 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Variace konstanty Je to postup sloužící k nalezení partikulárního řešení rovnice (1.12). Je třeba již mít obecné řešení cyfí(x) homogenní rovnice (1.13). Pokusíme se nahradit konstantu c vhodnou funkcí k(x) (odtud název variace konstanty) a najít řešení ve tvaru V = k(x)y0(x). Vypočteme y' = k'(x^no(x) + k(x)y'0(x) a po dosazení do (1.12) dostaneme k'(x)yQ(x) + k(x)y'0(x) = a(x)k(x)y0(x) + b(x). Protože y'Q(x) = a(x)yo(x) (je to totiž řešení (1.13)), musí platit k'(x)y0(x) = b(x). Jelikož yo(x) ^ 0, máme a po integraci k'{x) b(x) k(x) = f yo{x) b{x) dx. yo{x) Zjistili jsme tedy, že takovou funkci k(x) lze vždy najít. Postup nalezení obecného řešení demonstrujeme na následujícím příkladu. Není rozumné pokoušet se pamatovat si výsledný vztah pro k(x). Ten vždy odvodíme pro konkrétní rovnici. § Příklad 1.8 Najděte obecné řešení rovnice y' = 2y + x. Řešení: Jde o lineární rovnici s a(x) = 2, b(x) = x, I. Vyřešíme homogenní rovnici y' = 2y. Jde o rovnici se separovanými proměnnými, tedy dx J y J tedy ln \y\ = 2x + lne a po odlogaritmování dostáváme obecné řešení homogenní rovnice 2x y = ce . 1.3 Elementární metody řešení 25 II. Najdeme partikulární řešení nehomogenní rovnice ve tvaru y = k(x)e2x. Je y' = k'(x)e2x + 2k(x)e2x. Dosadíme a dostaneme k'{x)e2x + 2k(x)e2x = 2k{x)e2x + x a odtud po osamostatnění k'(x) k'(x) = xe~2x. Metodou per partes vypočítáme k(x) = Jxe 2x dx 2 4 u = x u = 1 x _2t 1 / _2ľ , / -2r i _2t = --e + - / e dx > = e-2x v — _Le-*z 2 2 Integrační konstantu jsme volili nulovou. Tedy partikulární řešení nehomogenní rovnice má tvar y = k{x)e2x = (--e-2x - -e-2x) e2x = -| - \. J y ' V 2 4 2 4 Obecné řešení nehomogenní rovnice je pak y = ce2x - 2* _ £ _ i 2 4' Průběh řešení je znázorněn na obrázku 1.9. 1.3.6 Bernoulliova9 rovnice Jde o rovnici tvaru y' = a{x)y + b(x)yr, (1.14) kde r g R. Zajímavé jsou případy, kdy r^l (jinak by šlo o homogenní lineární rovnici) a r ^ 0 (jinak by šlo o nehomogenní lineární rovnici). Existuje více metod řešení. Ukážeme si způsob, který připomíná variaci konstant. Přitom předpokládáme, že a(x) a b(x) jsou spojité na nějakém intervalu I. Nechť cyo(x) je obecné řešení homogenní lineární rovnice y' = a{x)y. Pak řešení rovnice (1.14) budeme hledat ve tvaru y = k{x)yQ{x), kde k(x) je vhodná funkce. Po zderivování a dosazení vyjde k'(x)y0(x) + k(x)y'0(x) = a(x)k(x)y0(x) + b{x)kr (x)ifQ(x), 9 Johann Bernoulli (1667-1748) (čti bernuli) — významný švýcarský matematik. Pracoval v matematické analýze, teorii diferenciálních rovnic, teorii čísel, variačním počtu, mechanice atd. Jeden z rozsáhlé rodiny významných matematiků téhož jména (přes 10 osob). 26 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu tj. po úpravě k'(x)=b(x)kr(x)yr0-1{x), což je rovnice se separovanými proměnnými pro k(x), kterou již umíme vyřešit. Všimněte si, že pro r > 0 má rovnice řešení y = 0. ■í^Cwcl. Příklad 1.9 Najděte obecné řešení rovnice y' = |y + x^/y, y > 0, x / 0. Řešení: Jde o rovnici (1.14), kde a(x) = |, 6(x) = x, r = |. Najdeme nejprve obecné řešení rovnice x Dostaneme — = -y /— = 4 /— => ■ ln|y| = 41n|x| + lne dy A fdy f dx — = -y =r- a po odlogaritmování 4 7/ = C£ . Řešení naší rovnice tedy budeme hledat ve tvaru • y = &(x)a;4. 1.3 Elementární metody řešení 27 Po dosazení dostaneme (proměnnou x u k vynecháváme) k'x4 + 4kx3 = -kx4 + xVkx1, x x Řešením této rovnice vyjde dk s/k ľ dk ľ dx dx x J y/k J x ' Tedy &2 2 > 2 / _ \ j- = ln |x| + c k(x) = í ln \/\x\ + L) c kde L - .-,. Obecné řešení má tedy tvar y = xi (ln yf\z\ + L\ , L G R. Dále je řešením funkce y = 0. 1.3.7 Exaktní rovnice a integrační faktor Rovnice, kterými jsme se dosud zabývali, měly tvar (1.2). Někdy se ovšem zadávají diferenciální rovnice i v jiné podobě — pomocí diferenciálů. Tvar takové rovnice je P{x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (1.15) kde P(x,y) a Q(x,y) jsou nějaké funkce. Pro Q(x,y) ^ 0 je možné rovnici převést na tvar dy _ P(x,y) dx Q{x,y) ' což je rovnice typu (1.2) pro neznámou funkci y(x), a pro P(x, y) ^ 0 je možné ji převést na tvar dx _ Q(x,y) dy P(x, y) ' což je opět rovnice typu (1.2), ale pro neznámou funkci x(y). Případ, kdy P i Q jsou současně v nějakém bodě nulové, nebudeme uvažovat. Vlastnosti těchto rovnic úzce souvisejí s autonomními rovinnými systémy diferenciálních rovnic prvního řádu — viz [14, str. 52]. My si všimneme pouze speciálního případu rovnice (1.15). 28 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu jednoduše souvislá oblast oblast, která není jednoduše souvislá Obr. 1.10: Příklady oblastí Definice 1.8 Rovnice (1.15) se nazývá exaktní, jestliže výraz na levé straně je totálním diferenciálem, tj. jestliže existuje funkce F(x,y) tak, že Funkce F(x, y) se pak nazývá kmenová. Je otázkou, jak se ověří, že nějaký výraz představuje totální diferenciál. Odpověď na tuto důležitou otázku, která rovněž souvisí s nezávislostí křivkového integrálu na integrační cestě, je obsažena v následující větě. Věta 1.8 Nechť P (x, y) a Q(x,y) jsou spojité v jednoduše souvislé oblasti íž a mají zde spojité parciální derivace 9P^yV^ o, Pak následující výroky jsou ekvivalentní: i) Výraz P(x, y) dx + Q(x, y) dy je totální diferenciál. Poznámka 1.5 Oblastí íž rozumíme otevřenou souvislou množinu Í1, tj. otevřenou množinu, jejíž libovolné dva body lze spojit křivkou ležící celou v O. Oblast íž se nazývá jednoduše souvislá, jestliže s každou jednoduchou uzavřenou křivkou C ležící v íl leží v Q i vnitřek křivky C. Tedy nepřesně řečeno souvislost otevřené množiny znamená, že je „z jednoho kusu", a jednoduše souvislá oblast „nemá otvory" — viz obr. 1.10. U exaktní rovnice je možné napsat snadno vzorec obecného řešení. Věta 1.9 Nechť rovnice (1.15) je exaktní a F(x, y) je příslušná kmenová funkce. Pak výraz F(x,y) = c, ceR je obecným řešením této rovnice v implicitním tvaru. dF(x, y) = P(x, y) dx + Q(x, y) dy. ii) Platí dP(x,y) _ dQ(xty) dy dx (x,y) e Q. 1.3 Elementární metody řešení 29 Podmínka ii) z věty 1.8 nám dává efektivní kritérium, jak poznat, že rovnice (1.15) je exaktní. Abychom však mohli použít větu 1.9, je třeba si říci, jak najdeme příslušnou kmenovou funkci. Výsledek nebudeme formulovat do věty, ale popíšeme odpovídající postup. Protože dF(x,y) dF(x,y) dF(x, y) = ——— dx + ——— dy musí platit dF(x, y) = P(x, y) dx + Q(x, y) dy, dF(x,y) dF(x,y) - P{x, y),---= Q(x, y), dx dy resp. ve stručnější symbolice Fx = P, Fy = Q. (1.16) Integrací těchto rovnic lze F najít. Zvolíme libovolnou z těchto rovnic, např. první. Dostáváme FX = P F(x,y) = j P(x,y)dx + C(y). Přitom integrál JP(x, y) dx chápeme jako závislý na parametru y. Dále je třeba si uvědomit, že integrační „konstanta" C nemusí být obecně číslo, ale funkce závislá na druhé proměnné, tj. v našem případě na y ( zkoušku správnosti totiž děláme parciálním derivováním podle x, při němž sebesložitější funkce závislá jen na y se derivuje na nulu). Zbývá určit funkci C(y). To uděláme dosazením do zbývající, tj. v našem případě do druhé rovnice v (1.16). Uvědomme si při tom, že fP(x,y) dx již bude nějaká konkrétní funkce. Dostaneme dy dy Ve vzniklé rovnici se musí vyrušit neznámá, která není proměnnou funkce C, tj. v našem případě x. Pokud se tak nestane, jsou dvě možnosti — buď jsme udělali početní chybu nebo jsme zapomněli ověřit, zda rovnice (1.15) je skutečně exaktní (všimněte si, že část postupu až po toto místo lze udělat s libovolnou rovnicí tvaru (1.15), ne jen exaktní; že postup k ničemu nevede, bohužel zjistíme až v tomto okamžiku). Tedy pro neznámou funkci C(y) dostane obyčejnou diferenciální rovnici se separovanými proměnnými (obsahující dokonce jen nezávisle proměnnou y) , , v d ÍP(x,y)dx C {y) = Q(x, y) dy ' Postup ukážeme na příkladu. 30 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Příklad 1.10 Najděte obecné řešení rovnice 1 + 2x ) dx - (+ 1 I dy = 0. \V J \y2 Řešení: Zřejmě musí být y ^ 0. Tím nám z celé roviny zůstanou dvě otevřené poloroviny y > 0 a y < 0, které jsou očividně jednoduše souvislé; rovnici uvažujeme v každé polorovině zvlášť . Ověříme nyní, zda jde o exaktní rovnici. Máme P(x, y) = - + 2x Py =--j ' y y x i Q(x, y) = —r - 1 Qx = —ä • y2 yl Protože Py — Qx, je rovnice exaktní. Nyní určíme kmenovou funkci F(x,y). Musí platit: Fx = - + 2x, V x (1.17) Fy = -4-l. y2 Z první rovnice dostaneme postupně F(x,y) = J(^ + 2x^J dx=^+x2+ C(y). Tedy z dílčího výsledku vychází Fy = -f2+C>(y) a po dosazení do druhé rovnice v (1.17) dostáváme -~2 + C'(y) = --2 - 1 C(y) - -1 => C(y) = - ídy= -y, y1 y1 J kde v posledním integrálu jsme volili nulovou integrační konstantu. Celkově je F(x,y) = - + x2 - y V a obecné řešení naší rovnice má tvar x i n *• —h x — y = c, c G K. y 1.3 Elementární metody řešení 31 Integrační faktor Všimněme si rovnice Zde x dx + y dy = 0. P = x, Q = y Py = 0, Qx = 0 Py = a jde tedy o exaktní rovnici. Vynásobíme-li tuto rovnici x, dostaneme rovnici x2 dx + xydy = 0. Nyní je P = x2, Q = xy =^> Py = 0, Qx = y Py / Qa. a rovnice již není exaktní. Obě rovnice jsou z našeho hlediska zcela rovnocenné (pro i / 0), avšak zatímco jedna je exaktní, druhá není. Příklad ukazuje, že vlastnost „být exaktní" je nesmírně citlivá a dá se snadno porušit např. pouhým vynásobením nějakou funkcí. Současně ovšem vzniká opačná otázka: Nebylo by možné rovnici, která není exaktní, vynásobit nějakou funkcí tak, aby nová rovnice již byla exaktní? Funkce, která má tuto vlastnost, se nazývá integrační faktor. Pokusme se zjistit, jak by takový integrační faktor M(x, y) měl vypadat. Uvažujme rovnici (1.15), která není exaktní, tj. Py ^ Qx. Chceme najít funkci M(x,y) tak, aby rovnice P(x, y)M{x, y) dx + Q(x, y)M(x, y) dy = 0 byla exaktní. Za předpokladu existence potřebných derivací dostáváme, že musí platit dP(x,y)M{x,y) = dQ(x,y)M(x,y) dy dx což po provedení derivací a vynechání argumentů x a y dává gM+P™*M+Q™ (1,8) dy oy ox ox To je tzv. parciální lineární diferenciální rovnice prvního řádu pro neznámou funkci M(x,y). Z teorie těchto rovnic vyplývá, že za předpokladů spojitosti P, Q, Py a Qx a podmínky \P\ + \Q\ > 0 existuje (alespoň lokálně) její řešení — viz např. [14, str. 280] nebo [17, str. 239]. Bohužel řešení této rovnice je v podstatě ekvivalentní řešení rovnice (1.15). Obecně tedy integrační faktor efektivně nedokážeme najít. V některých speciálních případech to však lze, jak si nvní ukážeme. 32 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Předpokládejme, že integrační faktor M(x, y) závisí jen na jedné proměnné. Uvažujme nejprve případ M — M(x). Pak ^ = 0 a z rovnice (1.18) vyjde po úpravě dM = fdP dQ\M dx \ dy dx ) ' tj- dM 9P _ SQ dx _ dy dx M~ Q ■ {í j Protože levá strana této rovnice závisí jen na x, je možné najít integrační faktor závislý jen na x v případě, že /yg je funkcí pouze x. Pak je (1.19) rovnicí se separovanými proměnnými pro neznámou funkci M (a:). Podobně když M = M(y) a tedy ^ = 0, vyjde z (1.18) analogicky dM dQ dP dy _ dx dy /-. ori\ M ~ P ' což vyžaduje, aby výraz Vxp v byl funkcí pouze y. Pak je (1.20) rovnicí se separovanými proměnnými pro neznámou funkci M(y). D^lší speciální případy lze nalézt např. v [15, str. 13] nebo rovněž ve cvičení 9 na str! 35. Příklad 1.11 Najděte obecné řešení rovnice (2xy2 + y) dx — xdy = 0. Řešení: Máme P = 2xy2 + y, Q = —x a Py = 4xy + 1, Qx = -1 Py^Qx a rovnice tedy není exaktní. Pokusíme se najít integrační faktor. Předpokládejme nejprve, že M — M (x). Pak pravá strana (1.19) má obsahovat jen x, což dává v našem případě Py - Qx _ 4xy + 2 Q -x Integrační faktor tohoto tvaru tedy nelze nalézt. Nechť nyní M = M(y). Pak pravá strana v (1.20) musí obsahovat jen y, což dává pro naši rovnici Qx -Py = -4xy - 2 = -2(2xy + 1) = _2 P 2xy2 + y y(2xy + l) y' 1.3 Elementární metody řešení 33 a je tedy možné integrační faktor tohoto tvaru najít. Z (1.20) dostáváme 2 dM 2 dM dy My My a po integraci dy J% = -*f± InlMI^lnlyl+lnc . Po odlogaritmování vyjde M(y) = -|. y Zvolme např. c = 1. Pak integrační faktor je M(ž/) = i Po vynásobení zadané rovnice integračním faktorem dostaneme 1 \ x 2x H— ) dx--k dy = 0. y J y1 ZdeP = 2.T+i, Q = -fr a tedy Py 9 ) 9 '* Py Qa; a jde skutečně o exaktní rovnici. Najdeme kmenovou funkci F(x,y). Pro ni máme Fx = 2x+-, y F = -- y2' Integrací např. první rovnice vychází F(x, y) = J \2x + dx = x2 + ^ + C(y). Dosadíme-li tento dílčí výsledek do druhé rovnice, dostaneme 0-~ + C(y) = -4 =* C(y) = 0. Po integraci je C%) = J0dy = K, K e R. 34 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu V tomto případě tedy C{y) je vlastně přímo konstanta. Volíme-li např. K — 0, vychází F(x, y) = x2 + - y a obecné řešení má (implicitní) tvar x2 + - = L, L e R. y Poznámka 1.6 Všimněte si, že rovnici z předchozího příkladu je možné upravit na tvar dx x což je Bernoulliova rovnice pro y(x). Cvičení V následujících příkladech najděte obecné řešení daných rovnic; pokud je zadána počáteční podmínka, najděte příslušné partikulární řešení. 1. Rovnice se separovanými proměnnými. ^x + yy' = 0 * b).j- -x = Q ľ rc)y + xy + xy'-xyy' = 0 d) y'smx = y lny, y(-) = 1 .1 (« / -; e) 2(1 + ex)yy' = ex, y(0) = 0 f) xy2 + x + yy' - x2yy' = 0 g) xyy' = 1 - x2 h) >/l - y2 + yy'\/l - x2 = 0 2. Homogenní rovnice. ■a)y' = - + K 1 b)y'(3x2-y2) = 2xy y x c) y' = -—- d) {xy' - y) arctg - = x, y(l) = 0 x — y x , y2-2xy-x2 , /-=——x e)V = y* + 2xy-x*' VÍ) = ~ f) xy' - y = sjx2 + y2 3. Rovnice tvaru y' = f(ax + by + c). a) y'= 2x + y~X (ň y' = 3x-2y + 5 ; y 4x + 2y + 5 ~; y y c) y' = cos(x - y) ld)y'=———, y(l) = 0 x -f- zy 1.3 Elementární metody řešení 35 4. Rovnice tvarn y> = /(g|±^). . , 2y - x - 5 , 2(y + 2)2 a) IT = —-7~T~Ä b) y = 7—^--2 2x - y + 4 7 (x + y - 1)' 2x - y + 1 x - 2y + 1 2t- — i/ + i c) y' - -ÍJ— d) -2x + 3y - 7 + 4xy' - 5yy' + 13y' = 0 5. Lineárni rovnice. la) y' + 2y - 4x b) y' + 2xy = xe~x2 c) x2y' + y - 2xy — x2 d) x(y' - y) = (1 + x2)ea: e) (1 + x2)y' - 2xy = (1 + x2)2 * f) xy' + y - ex = 0, y(0) - 2 y i g) xy'--— = x, y(l) = 0 h)y'-ytgx =-, y(0) = 0 x + 1 cos x 6. Bernoulliova rovnice. a) y' + 2xy = 2x3y3 b) xy' + y = y2 ln x c) 2xyy' - y2 = x2 d) x2y2y' 4- xy3 = 1 7. Exaktní rovnice. a) (2x3 - xy2) dx + (2y3 - x2y) dy = 0 b) -£^-5 - (^^2 ~ *) ^ = 0 c) ey dx+(xey - 2y) dy = 0 d) (1 + x Vx2 + y2) dx + (y/x2 + y2 - l)y dy = 0 8. Integrační faktor. a) (x2 + y) dx — x dy — 0 b) y(l + xy) dx — xdy — 0 c) - dx + (y3 — ln x) dy = 0 d) (x cos y — y sin y) dy + (x sin y + y cos y) dx = 0 x 9. Najděte podmínky, za nichž má rovnice P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 integrační faktor ve tvaru a) M = M (x + y) b) M = M(x • y) 10. Různé. a)x2y' + 3-2xy = 0 b)^^=tg^ 36 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu e) 8y + lOx + 5yy' + 7xy' = O g) x3y' = y{y2 + x2) i) (x2 + y2 + 2x) dx + 2ydy = 0 x + 1 h) yxy 1 dx + xy ln x dy — O j) y' = (x + y)2 Výsledky: l.a) a;2 + y2 = C, b) y = Cx, c) ln|xy| + x - y = C, y. = O, d) y = 1, e) 2ey2 — ex + 1, i) 1 + y2 = C(l - x2), g) x2 + y2 = ln|x[X+ C, h) \A - 2/2 = arcsinx + c. 2.a) í/2 = x2(C + lnx2), b) y2 - x2 = Cy3, y = O, c) arctgf = C + ln yx2 + y2, d) \/x2 + y2 = e*arctS*, e) y = -x, f) a;2 = C2 + 2Cy. 3.a) -5x + 10y + 71n |10x + by + 9| = C, b) -6x + 4y -7 = Ce~2x, c) x+ cotg^ = C, y = x, d) (x + 2y + 2)2 = 9e2^. 4.a) (x+y-1)3 = C(x-y+3), b) e-2arctS^ = C(y+2), c) x2-xy+y2+x-y = C, d) (y-2x-9)2(y-x-3) = C. 5.a) Ce-2*+2x-l, b) e-x2(C+^), c) Cx2e*+.x2, d) e*(ln |x| + ^) + Ce*, e) (x + C)(l + x2), f) s^=i, g) ^(x - 1 + ln |x|), h) 6.a) £ = Ce2*2 + x2 + ±, b) y(l + lnx + Cx) = 1, c) x2 - y2 = Cx, d) y3 = ž + £-7-a)x4 -xV+y4 = c'b)1 + arct§ f = c>c)xeV - y2 = C> d) y(x2 + yi)z+x-±y2 = C. 8.a) x-| = C, b) x2 + ^ = C, c) Ý + ^ = C, d) (x sin y + y cos y — siny)éx = C. 9.a) Výraz ®pZqv niusí být funkcí x + y, b) Výraz Qp~P£ musí být funkcí xy. 10.a) y = Cx2 + -, b) sinÄ = Cx, c) (1 + x2)(l + y2) = Cx2, d) y = Ce"e* + e* - 1, e) (x + y)2(2x + y)3 = C, f) V = (i+sKC+mu+si). S) * = Ce~^> h) ^ = C> i) + »V = C-j) y = -x+ tg(x + C). 1.4 Ukázky aplikací rovnic prvního řádu Jak jsme se již zmínili v úvodu, diferenciální rovnice mají řadu aplikací. V současnosti to již není jen ve fyzice a technických disciplínách, ale i v biologii, ekologii a chemii a pronikají též do ekonomie a dalších společenských věd. Ukážeme si formou příkladů některé aplikace. Řadu dalších lze nalézt v početné literatuře, z níž uvádíme jako malou ukázku např. [5, 11, 15, 23, 28]. Příklad 1.12 (Rozpad radioaktivního materiálu) Je známo, že rychlost rozpadu rádia je přímo úměrná okamžitému množství rádia. P-eloměr rozpadu izotopu rádia 2Jf-Ra je 1590 let, tj. počáteční množství se za tuto dobu zmenší na polovinu. Určete, za jak dlouho se počáteční množství sníží o 25%. Řešení: Nechť y{ť) je množství rádia v čase t. Pak pro rychlost rozpadu platí y = ky, 1.4 Ukázky aplikací rovnic prvního řádu 37 kde k > O je konstanta úměrnosti. Nechť v čase t = 0 je množství rádia rovno j/o- Pak y(0) = y0, y(1590) = i y0 a máme určit ři tak, aby / \ 3 y(h) = -2/0- Diferenciální rovnice pro y(t) je homogenní lineární rovnice, tj. rovnice se separovanými proměnnými. Tedy = ky — = kdt => ln \y\ — kt + ln c a po odlogaritmování y = cekt. Z počáteční podmínky v í = 0 určíme yo = y(0) = cek-° = c a hledané partikulární řešení je y(t) = yoekt. Dosadíme-li do tohoto vztahu t = 1590, dostaneme \ y0 = 2/(1590) = y0e1590fc \ = e1590fc. Logaritmováním dostaneme -ln2 = 1590/fc =>- fc = 1590 Konečně pro t\ máme Odtud vypočteme \yo = y{t1)=yQe^ | = c^. 3 lnf ln - = Hi ři = —^ = 660. 4 « Ke snížení o 25% tedy dojde asi za 660 let. 38 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Příklad 1.13 (Rychlost chemické reakce) Uvažujme dvě chemikálie A a B, které navzájem reagují. Předpokládejme, že při vytváření nového produktu se kombinuje jedna molekula z A s jednou molekulou z B. Určete rychlost chemické reakce, víte-li, že je přímo úměrná součinu okamžitých koncentrací reagujících látek. Řešení: Nechť x(t) resp. y (t) je koncentrace (v molekulách na litr) v čase t látky A resp. látky B. Nechť a = x(Q) > 0, b = y(0) > 0 jsou počáteční koncentrace. Protože se spolu kombinuje po jedné molekule, klesají obě koncentrace touž rychlostí, tj. dx dy 1ti ~ li' Úbytek z (i) koncentrace látky A resp. B v čase t je pak dán vztahem z(t) = a - x(t) resp. z(t) = b- y{t). (1.21) Odtud máme dz dx dy dt dt dt Výraz % nazýváme rychlost reakce. Zadání nám říká, že platí dz Tt=kxy> kde k > 0 je konstanta úměrnosti (kterou lze experimentálně určit). Dosadíme-li za x a y z (1.21), dostaneme pro z(t) diferenciální rovnici z' = k(a-z)(b-z), z(0) = 0. To je rovnice se separovanými proměnnými, tedy ^ = k(z - a)(z - b) =4> t-^-— = kdt dt v /v ' (z-a)(z-b) a po integraci dz = k dt. (z — a)(z — b) Integrál na levé straně je z racionální lomené funkce. Po jednoduchém rozkladu na parciální zlomky vyjde pro a^b I dZ /( —-"A) ^=^r(ln|^-a|-ln!z-6|). J \ z — a z — b J a — o {z — a) (z — b) Tedy 1 i z — a , , . -r ln-- = kt + In c. a — b z — o 1.4 Ukázky aplikací rovnic prvního řádu 39 Po odlogaritmování vyjde Z Z a - ca-b£k(a-b)t_ z-b Z počáteční podmínky z(0) — 0 dostaneme 0 ~ ° _ ca-be0 ^ O = ca-b ^ c ■ « N ; 6 (!)' 0-6 6 V6 Po dosazení a osamostatnění 2 postupně máme * - « « fc(-6)« ^ 62 - «6 = ose***"*** - a^0"6)', e z-b b tj- gfc(a-6)í _ 2 ;?(£) = ač) —r?—rr:-r- Rychlost reakce je tudíž dz _ kjg- b)efe(a-fe)t(Qefc(a-ž')í - 6) - (efc(«-&)t _ \)ak{a - b)ek^a-b^ fc(a - ft)efe(a-b)ŕ(aefc(a-^t - & - ae^""6)* + a) ab- = kab(a — b)' (aek(a-b)t _ byz gfc(a— b)t (aefc-(a-b)ť _5)2' Pro a = 6 je ate /\ . 2 , 1 — {z — a) dz — (z — a)2 J ' z — a takže 1 --= kt + c. z — a Z počáteční podmínky dostaneme 1 „ 1 = 0 + c ==*■ c= - 0. — a a a tedy 1,1 a --= fcí H— =>■ z —a = —- 2 — a a aH + 1 takže a a kt z\ ) ~a~ akt + l ~ akt+ľ Pak rychlost reakce je dz 9, l(akt + 1) — tak a?k - alk- v dt (akt + l)2 (akt+l)' 40 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Příklad 1.14 (Smíchávání) Velká nádrž obsahuje 100 hl slané vody, v níž je rozpuštěno 50 kg soli. Do nádrže vtéká rychlostí 6 hl/min slaná voda obsahující 2 kg soli na jeden hl. Směs, která je promícháváním neustále udržována homogenní, vytéká z nádrže rychlostí 4 hl/min. Určete výsledné množství soli v nádrži po uplynutí t min. Řešení: Označme y{ť) množství soli v kg, které je v nádrži v čase t, t > 0. Nádrž obsahuje v čase t zřejmě 100 + (6 - 4)t hl vody. Koncentrace v tomto okamžiku bude kg/m. 100 + 2í 67 Nechť ro > 0 je pevné a ŕ > čo- Pak během časového intervalu {to,t) přibude v nádrži kg soli a ubude kg soli. Tedy musí platit 6 • 2 • (t - tQ) = / 6-2 y(s) ds 100 + 2s ds y(t) = y(t0) + I2(í -t0)-4 f J to y{s) 100 + 2s ds. Když tuto rovnost zderivujeme podle t (s použitím věty o derivování integrálu jako funkce horní meze), dostaneme y'(t) = 12- 100 + 2t (1.22) což je hledaná diferenciální rovnice. Tuto rovnici nyní vyřešíme. Jde o nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. I. Homogenní rovnice je dy dt 4y 100 + 2t a po integraci Protože dt dy = -4 y dt 4dt 100 + 2t 100 + 2t I 100 + 2t 2t + 100 = u 2dt = du dt = \ du du 1 — = - ln \u\ u 2 1 1 -ln|100 + 2í|, 2 1.4 Ukázky aplikací rovnic prvního řádu 41 vyjde po integraci tj. hx\y \ = -21n|100 + 2r| + lnc, * (100+ 2í)2" II. Partikulární řešení nehomogenní rovnice najdeme ve tvaru K{t) Je y'it) = V^ (100+ 2r)2' 2T(í)(100 + 2r)2 - Kit) • 2(100 + 2ř)2 (100+ 2í)4 Po dosazení do rovnice (1.22) vyjde K'(t)(100 + 2t)2 - 4(100 + 2ť)K{ť) (100+ 2í)4 12- 4K(ť) K'{t) (100+ 2r)3 (100 + 2t)2 = 12. Tedy K(t) = 12 /(100 + 2t)2 dt = 100 + 2t = u 2dt = clu dt I du 6 / u du = 2u3 = = 2(100 + 2tf. Partikulární řešení tudíž je y 2(100 + 2í)3 (100 + 2Í)2 takže obecné řešení rovnice (1.22) je y(t) = ;ioo + 2í)2 Protože y(0) = 50, dostaneme pro c rovnici = 2(100+ 2í), + 2(100 + 2ř). 50 100' 200 c = -150 • 1002 = -15 • 10°. Množství soli je tedy dáno funkcí y(t) = 2(100 + 2í) 15 ■ 105 (100 + 2ť)2 42 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Příklad 1.15 (Složitý úrok) Nechť částka Aq je investována při úrokové míře k% za rok, přičemž úrok je připisován spojitě. Ukažte, že hodnota investic A(t) po ř letech je řešením lineární homogenní rovnice dA k dt 100 A, A(0) = A0. (1.23) Řešení: Předpokládejme, že úrok je získáván s mírou k% za rok a je připisován n krát za rok. Puk množství An(t), které je součtem úroku a jistiny, je na konci t let dáno vztahem An(t) = A0 1 + k 1 n 100 n t = Ar 1 + k 1 n 100 Nyní je přirozené definovat Protože je vyjde A(t) = lim An(t). n—í-oo / Cť\n lim 1 + - = e°> a 6 -R, n-yoo \ n J A(t) lim 1 + n—¥oo k_\_' n 100 To je ale právě řešení počáteční úlohy (1.23), jak se lze snadno přesvědčit dosazením. Příklad 1.16 (Elektrický obvod) Ideální napěťový zdroj o konstantním napětí U napájí sériovou kombinaci rezistoru o odporu R ohmů a induktoru o in-dukčnosti L henry — viz obr. 1.11. Sestavte a vyřešte diferenciální rovnici pro proud i(t) odebíraný ze zdroje. Řešení: Podle druhého Kirchhoffova zákona je algebraický součet všech napětí v uzavřeném obvodu roven nule. Označme i(t), t > 0, proud v ampérech, který obvodem prochází. Pak L *| je napětí na induktoru a Ri je napětí na rezistoru. Tedy L^- + Ri-U = 0, dt tj. i'(t) + ji(t) = j, i(0)=iO) (1.24) kde Íq je velikost proudu na počátku. Jde o nehomogenní lineární rovnici prvního řádu. 1.4 Ukázky aplikací rovnic prvního řádu 43 U L R Obr. 1.11: Elektrický obvod tj- I. Pro homogenní rovnici máme di R . di R dt L i L R dt [di R ľ , /t—z/* ln \i\ — - — í + lne Li II. Partikulární řešení nehomogenní rovnice najdeme ve tvaru i(t) =K(t)e-$t. Po dosazení dostaneme tj- Odtud K'(t)e-Tt - K{ť)e-^- + -K{t)e~ ^ = -, takže partikulární řešení je ** = s = ds cří -i/ a . U s U nt 6 d3=Re =ReL ' E7 r i(í)= Re G t „-9-1 U T1 — — R Obecné řešení rovnice (1.24) pak je i(t) = ce~Ll + R 44 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Z počáteční podmínky dostáváme U . U Ř Průběh proudu je tudíž popsán funkcí Příklad 1.17 (Siločáry) Nechť F(x, y) = (P(x, y), Q(x,y)) je nenulové rovinné silové pole, které je definované na otevřené množině íž. Odvoďte diferenciální rovnici pro siločáry, víte-li, že tečna k siločáře je v každém bodě souhlasně ko-lineární s vektorem síly v tomto bodě. Řešení: Nechť C je siločára, která má parametrické rovnice ( 0. Tedy (p'(ť0),V'(*o)) = A(P(x0,y0)3Q(a:o,2/o)). Protože F^O, nejsou P a, Q současně nulové. Nechť např. P(xo>ž/o) 0. Pak i !/j'(ŕo) ^ 0 a C je v okolí bodu xq grafem funkce proměnné x, tj. y(x). Podle věty o derivaci funkce dané parametricky — viz např. [12, str. 110] —je '( \ = dy _ j^C*o) _ AQ(.x-0,?yo) _ Q(gp,ž/o) ^ X° cíx x'(í0) AP(x0,2/o) P(^'o,'í/o)' Odtud dostáváme, že y(x) vyhovuje rovnici Q(x, y) dx - P(x, y) dy = 0. Analogicky se zváží případ Q{xq, yo) ý 0- Předchozí rovnice se obvykle zapisuje ve tvaru dx dy P(x,y) = Q{x,yY Cvičení 1. Uvažujme homogenní chemickou reakci, v níž působí jedna látka. Nechť na počátku reakce, tj. pro i = 0, je koncentrace rovna a > 0. Je-li a — x(t) koncentrace v čase t, je podle Wilhelmyho zákonu rychlost reakce rovna dx u \ 1.4 Ukázky aplikací rovnic prvního řádu 45 kde k > O je konstanta úměrnosti. Určete x(t). [x(t) = a(l — e ■kf< 2. Uvažujme dvě chemikálie A a B, které navzájem reagují. Předpokládejme, že při vytváření nového produktu se váže jedna molekula z A se dvěma molekulami z B. Určete rychlost chemické reakce, víte-li, že je přímo úměrná součinu okamžité koncentrace látky A a druhé mocniny okamžité koncentrace látky B — viz příklad 1.13. Nápověda: Je f = 2 f. z' = k(a- z)(b-2z)2, 2(0) = 0; (2a - b)2 1 In 2z a — z 1 + 1 + S(a - z)2 8a< {2a -b)(b- 2z) {2a - b)2 b2 - 2ab kt pro 2a = b kt pro 2a ^ b, 3. Najděte řešení počáteční úlohy Li' + Ri = u, i(0) = Íq, kde L > 0, R > 0, U a Íq jsou dané konstanty. Je to rovnice pro proud i = i(t) v ampérech v obvodu obsahujícím induktor o indukčnosti L (v henry), rezistor o odporu R (v ohmech) a ideální zdroj o napětí U (ve voltech). Nechť L, U a z'o jsou konstanty a R je parametr, kterým se proud reguluje; tedy i — i(t,R). Dokažte, že Ut lim i(t, R) = i(t, 0) = — + to R-+0+ L pro každé t. 4. Předpokládejme, že radioaktivní izotop stroncia 90Sr se rozpadá exponenciálně podle rovnice y' = — ay, a > 0. Určete konstantu a a čas, za který se sníží množství stroncia ze 100% na 10%, víte-li, že poločas rozpadu je 28,1 roku. a = Jaj = 0, 025; t = 93, 3 roku 5. Velká nádrž obsahuje 100 hl vody, v níž je rozpuštěno 50 kg soli. Do ní přitéká rychlostí 3 hl/min roztok obsahující 2 kg soli v jednom lil. Směs je mícháním udržována homogenní a vytéká stejnou rychlostí z nádrže. Jak mnoho soli je v nádrži po 30 min.? [117, 5 kg] 6. Nádrž obsahuje 50 hl vody, v níž je rozpuštěno 20 kg soli. Do nádrže je přidávána čistá sůl rychlostí 1 kg/min. Směs je udržována homogenní a vytéká z nádrže rychlostí 2 hl/min. Jak mnoho soli je v nádrži po 10 min.? Jaká je v té 46 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu době koncentrace? [19,7 kg; 0,66 kg/hl] 7. Velká nádrž A obsahuje na počátku 60 hl vody a 40 hl alkoholu. Do nádrže přitéká voda rychlostí 3 hl/min a alkohol rychlostí 1 hl/min. Směs, která je důkladně promíchávaná, teče do druhé nádrže B rychlostí 3 hl/min. Nádrž B obsahovala na počátku 100 hl vody. Směs je v nádrži B mícháním udržovaná homogenní a vytéká z ní rychlostí 2 hl/min. Jak mnoho alkoholu je v každé nádrži po 50 min.? Která nádrž nakonec (tj. pro velká ť) obsahuje více alkoholu? [A: 41,9 hl; B: 33,1 hl; B] 47 Kapitola 2 Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů 2.1 Kvalitativní teorie Doposud jsme se zabývali diferenciálními rovnicemi prvního řádu. Nyní si všimneme i rovnic vyšších řádů. Protože řada pojmů a výsledků bude obdobná jako u rovnic prvního řádu, budeme v této části poněkud stručnější. Nechť n € N a f(x, Zq, Zi, ..,, zn) je funkce n + 2 proměnných definovaná na otevřené množině fž C rn+2. Pak rovnice f(x,y,y',.,.,y^) = (l (2.1) se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru s neznámou y(x). Definice 2.1 Nechť h(x) je funkce definovaná na otevřeném intervalu J. Pak h(x) se nazývá řešení rovnice (2.1) na J, jestliže h(x) má derivace až do řádu n, pro každé x e J je (x, h(x), h'(x),..., h(n\x)) G íž a platí F x,h(x)1h,(x),.,.,h^(x) 0, x € J. Je-li možné z rovnice (2.1) osamostatnit nejvyšší derivaci neznámé, tj. je-li možné ji upravit na tvar y^=f{x,y,y',...,y(n-% (2.2) kde f(x,zo,Zi,...,zn-i)]e nějaká funkce n + 1 proměnných definovaná na otevřené množině Q C rn+1, mluvíme o obyčejné diferenciální rovnici n-tého řádu v explicitním tvaru. Tento tvar je pro vyšetřování vlastností řešení vhodnější. 48 Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádxí Poznámka 2.1 Uvědomte si, že (2.2) je speciální případ (2.1), kde F(x,Z0, .... Zn-i,Zn) = Zn - f(x,Z0, Z„_l). U rovnic prvního řádu bylo velmi užitečným pojmem směrové pole. I u rovnic n-tého řádu by bylo možné udělat analogii. Taje však v prostoru dimenze n+1, což při našem elementárním přístupu nemá názorný efekt, a proto se touto otázkou nebudeme zabývat. Naopak důležité-.; ^oli bude opět hrát počáteční úloha. Definice 2.2 Nechť je dána (n + l)-tice (xo, yo, j/i,..., yn-l) £ Cl. Pak úloha najít řešení y{x) rovnice (2.2), které je definované na nějakém intervalu / obsahujícím xq a takové, že Úfa) = ž/0, y'(x0) = yi,.. .,'í/(n~L)(x0) = Jřn-1, se nazývá Cauchyova počáteční úloha. V daném bodě Xq tedy předepisujeme hodnotu řešení a jeho derivací až do řádu n — 1 včetně. Např. pro rovnici druhého řádu y" = f(x,y,y') (2.3) hledáme řešení y(x) splňující podmínky y(xo) — yo, y'(xo) — yi, kde {xo,yo,yi) je daná trojice čísel. Geometricky je y(xo) — yo zadaná funkční hodnota a y'(xo) = y\ směrnice tečny ke grafu funkce y(x) v bodě [xo,y(x0)} = (x0,y0). Požadujeme tedy na rozdíl od rovnic prvního řádu, aby hledané řešení nejen procházelo daným bodem, ale mělo i předepsanou tečnu — viz obr. 2.1, kde tg a = y\. Pro obecné n je vlastně zadán úsek Taylorova rozvoje funkce y(x) v bodě x0. Pro n = 2 si rovněž ukážeme jednu z možných fyzikálních interpretací. Jestliže y(x) vyjadřuje závislost dráhy y na čase x, pak y'(x) je okamžitá rychlost v čase x a y"(x) je okamžité zrychlení v čase x. Fyzikálně řečeno tedy podmínka y(x0) = yo zadává počáteční polohu a podmínka y'(x0) = yi počáteční okamžitou rychlost (vždy v čase x0). S rovnicí (2.3) se v aplikacích setkáváme velice často, neboť jde o matematický zápis druhého Newtonova zákona. Speciálního případu této rovnice si podrobněji všimneme později — viz str. 77. Bude nás opět zajímat, zda počáteční úloha má řešení a zda je toto řešení jediné. Přitom jednoznačnost chápeme analogicky jako u rovnic prvního řádu — viz definice 1.4. Zformulujeme nejprve, co budeme chápat slovy, že funkce f(x. Zq, ..., zn-i) splňuje v bodě (xq, yo,..., yn-i) £ Cl lokálně Lipschitzovu podmínku: 2.1 Kvalitativní teorie 49 Obr. 2.1: Počáteční úloha pro rovnici druhého řádu Existuje konstanta K > 0 a okolí O bodu (xq, yo,..., yn-i)> O C O, tak, že pro každé dva body (xq, a0, ai,..., an_i) € O, (x0, b0,6i,..., 6n-i) e O platí |/(x0,a0,ai, • •. ,an_i)-/(xo,&o,&i, • • -,&n-i)| < K(\a0-b0\-\-----h|an-i-&n-i|)- Přitom okolím bodu (xq, yo,..., yn-i) rozumíme libovolnou otevřenou kouli v Rn+l se středem v tomto bodě. Lipschitzova podmínka je např. splněna, existují-li lokálně ohraničené parciální derivace J^-,..., q~^_ - v Í2, což je splněno např., jsou-li tyto derivace spojité v O. Věta 2.1 (O existenci a jednoznačnosti) Nechť f(x,zQ,zi,...,zn-i) je spojitá na otevřené množině íž C Rn+1. Pak pro každé (x0, yo,yi, ■ ■ ■, yn-i) £ ^ má počáteční úloha alespoň jedno řešení. Je-li navíc v každém bodě Q splněna lokálně Lipschitzova podmínka, je toto řešení jediné. S rovnicí (2.2) se ještě setkáme ve 3. kapitole, kde si všimneme její souvislosti se systémem diferenciálních rovnic. y (n)=f(x,y,y',.,.,y(n-V), y(xQ) = y0, y'(x0) = Vi,• •. {n-1)(xQ) = yn-i, 50 Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů 2.2 Lineární rovnice n-tého řádu 2.2.1 Úvodní poznámky Tak jako u rovnic prvního řádu i u rovnic vyšších řádů nás budou především zajímat otázky nalezení (obecného) řešení. Je ovšem přirozené čekat, že potíže spojené s touto úlohou u rovnic prvního řádu — viz str. 10 — se zde ještě zvýší. Zatímco u rovnic prvního řádu jsme byli schopni uvést alespoň některé typy rovnic, které je možné řešit pomocí kvadratur, je u rovnic n-tého řádu, kde n > 2, škála podobných rovnic podstatně chudší. Mezi takové rovnice patří např. y(n) = /(*), (2.4) kde obecné řešení dostaneme n-násobnou integrací, tj. y(x) = JÍ'--(j^Jf(x)dx + c^dx + c^---Sjdx + cn = *-v-' n-krát = di + d2x + ■ ■ ■ dn-ix71'1 + J '(^J f(x) dx^j ••• dx. n-krát Příklad 2.1 Najděte obecné řešení rovnice y'" = sinx. Řešení: Trojnásobnou integrací postupně dostáváme y"(x) = J sinx dx = — cosx + c\, y'(x) = J{— cosx + ci) dx = — sinx + c\x + c2, y(x) = J(— sinx + c\x + c2) dx = cos x + ci~^ + c2% + C3. Označíme-li d% = ^, d2 — c2, di = C3, má obecné řešení tvar y = di + d2x + d3x2 + cos x. Jiným takovým typem je rovnice tvaru y^ = f(x,y^). Tu substitucí z(x) = y^n~1\x) převedeme na rovnici prvního řádu z' = /(x,z). Pokud tuto rovnici dokážeme vyřešit, dostaneme y(x) ze z(x) pomocí (n — l)-ná-sobné integrace, neboť jde o rovnici typu (2.4). 2.2 Lineární rovnice n-tého řádu 51 Příklad 2.2 Najděte obecné řešení rovnice y" = (y')2. Řešení: Položíme z(x) = y'(x). Po dosazení dostaneme z' = z2, což je rovnice se separovanými proměnnými. Pro z ^ 0 je ^ = z2 ==> ^ = dx ==> / Z"2 dz = ; dx zz J Po integraci vyjde = x + c ==>■ z=--, cen. —1 x + c Kromě toho má rovnice řešení z = 0. Pro y(x) máme tedy rovnici ✓ - 1 cc 4- c jejíž integrací dostaneme /dx - ==> y — — ln \x + cl + d. x + c Dále řešení z = 0 odpovídá Ž/' = 0 =4> y = k, k£ R. Celkově má tedy naše rovnice řešení y — — ln\x + c\ + d, x ^ — c, kde c, d £ R a y = k, k E R. Některé další typy rovnic lze nalézt např. v [10]. V tomto oddíle se budeme zabývat tzv. lineárními rovnicemi, a to podrobněji, než jsme dosud zkoumali předchozí rovnice (i když většinu tvrzení opět nebudeme dokazovat). Otázkou je, proč zrovna tyto rovnice si zasluhují takovou pozornost. Důvody jsou dva. Jednak je poměrně snadné uvést řadu jejich vlastností. Zkoumat ovšem něco jen proto, že je to celkem snadné, by mohlo být samoúčelné, pokud by příslušné výsledky nebyly k něčemu užitečné. A tomu tak v tomto případě skutečně je. Druhým důvodem totiž je, že lineárními rovnicemi lze přibližně nahradit (aspoň lokálně) nelineární rovnice. Pokusíme se naznačit, v čem tzv. linearizace spočívá. Uvažujme rovnici F(x,y,y',...,yW) = 0. (2.5) 52 Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů Příslušnou funkci F(x, Zq, z\, ..., zn) nahradíme při pevném x Taylorovým rozvojem stupně jedna v okolí nějakého bodu (yo,yi,... ,yn); jde tedy vlastně o náhradu totálním diferenciálem. Platí F(x,z0,zu...,zn) = F{x,yQ,y1,...,yn) + dF(x,yo,y1,...,yn)+ (2.6) + R(x,z0,zi,... ,zn), kde zbytek R(x, %Qi Z\, . . . , zrl ) je pro (z0, ...,zn) „blízké" (y0,.... ,y„) „malý". Přitom platí x dF(x,y0,... ,yn) dF{x,y0,...,yn) f . dF(x,y0,...,yn) =-—g^Q-(zq-Vo) + ---+-tt^-—-(zn-yn). Nechť h(x), x G J, je řešení rovnice (2.5). Protože čísla y0,... ,yn mohou ve (2.6) záviset na x (rozvoj jsme dělali vždy při pevném x), lze v (2.6) volit za střed rozvoje (h(x)Ji'(x),..., /i(ti)(.t)). Pak vzhledem k tomu, že h(x) splňuje (2.5), má (2.6) s tímto středem tvar F(x,z0,....,zn) = ^-Q{zo-h(x))+--- + ~(zn-h^(x))+ (2.7) + R(x, z0,...,zn), kde dF dF{x,h(x),h'(x),...,h^(x)) . -=---:--, i = 0.1,----n. dzi ozi Po dosazení (2.7) do (2.5) dostáváme ^- [y - h{x)) +~' + ^ [f* ~ ^ Ixý) + n[x,V^ ,... = Q. Připomeňme, že tato rovnice má řešení y = h(x), tedy je R(x,h(x),ti(x),...thP)(xÝ)=0, xeJ. (2.8) Zaveďme nyní novou neznámou u(x) = y(ar) — /i(x). Pak u'(*) = y'(x) -tí(x),...,uW(x) = y{n)(x) - h^(x) a předchozí rovnice nabývá tvar dF 8F , OF (n) ~u+—u'+ ■■■ +—vSn>+ (2.9) dz0 dzx dzn y ' + R (x, u + h(x),u' + h'(x),..., u^n) + h{n) (x)\ = 0. Tato rovnice má vzhledem k (2.8) řešení u(x) = 0. 2.2 Lineární rovnice n-tého řádu 53 Uvažujme nyní, co by se stalo, kdybychom v takto upravené rovnici zanedbali výraz R (x, u + h(x), u' + h'(x),..., u^n' + (x)) , který je pro u(x) „blízké" nule „malý". Rovnice (2.9) pak přejde v rovnici + + |5>>= 0, (2.10) kde f£, i = 0,1,... , n, jsou konkrétní funkce proměnné x nezávisející na u. Jak dále uvidíme, rovnice (2.10) je právě zmíněná lineární rovnice. Říkáme, že rovnice (2.10) vznikla z rovnice (2.5) linearizací v okolí jejího řešení h(x). Je-li y(x) řešení (2.5), vyjadřuje u(x) odchylku y(x) od pevného řešení h(x), a tedy rovnice (2.9) je diferenciální rovnicí pro tuto odchylku. Otázkou nyní je, jaký je vztah mezi řešeními rovnic (2.9) a (2.10). Lze ukázat, že pokud R (x,u + h(x),u' + h'(x),..., + h^(x)) , je „malé", tj. pokud u je „blízké" nule, jsou řešení (2.9) a (2.10) „přibližně" stejná. Jinými slovy řešení rovnic (2.9) a (2.10), která jsou „blízká nule", jsou přibližně stejná. To vyplývá z významné skupiny tzv. vět o spojité závislosti na počátečních podmínkách a parametrech — viz např. práce [6, str. 93], [14, str. 224,231], [18, str. 178], [29, str. 326] a pod. Princip linearizace je velmi významný a v inženýrské praxi často využívaný. Mnohdy je však používán velmi nepřesně, což může vést k naprosto nesprávným závěrům. Je třeba mít na paměti, že zdaleka ne všechna řešení rovnic (2.9) a (2.10) jsou „přibližně stejná", ale pouze ta, která jsou „dostatečně blízká nule". Kardinální otázkou je, co znamená pro konkrétní rovnici být „dostatečně blízký nule" a být „přibližně stejný". Dále není obvykle možné uvažovat řešení na příliš dlouhém intervalu — zhruba řečeno, čím delší interval uvažujeme, tím bližší nule musí řešení být. Rozhodně by se každý, kdo chce linearizaci používat, měl důkladně seznámit s výše zmíněnými větami, aby přesně věděl, co lze od této metody očekávat a co ne. Linearizací lze získat ve speciálnějších případech i podrobnější informace, např. o chování v okolí stacionárních řešení a pod. — viz např. [3, str. 409], [6, str. 144], [17, str.217], [29, str. 87] a pod. Celá tato problematika je bohužel mimo rámec těchto skript. Inženýři se mnohdy domnívají, že není nutné studovat nelineární rovnice, protože je stačí linearizovat a řešení lineárních rovnic vzít za přibližné řešení původních nelineárních rovnic. To je naprosto mylná představa. Existují vlastnosti, které se u lineárních rovnic vůbec nevyskytují, a je tedy naprosto nemožné posuzovat tyto vlastnosti u nelineárních rovnic na základě jejich linearizací. Stačí připomenout např. otázku nelineárních kmitů. Zatímco autonomní nelineární rovnice druhého řádu může mít jediné periodické řešení, homogenní lineární rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty má buď všechna řešení periodická, nebo žádné. Ze se takové rovnice v praxi vyskytují, dokazuje např. tzv. van der 54 Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů Polova rovnice y" + n(y2 - \)y' + y = O, p e R, popisující kmity elektronického oscilátoru nebo její zobecnění, tzv. Liénardova rovnice y" + f(y)yl + g(y) = o, která se objevuje v akustice a v poslední době v biologii ve spojitosti s otázkami modelování biologických systémů. Zájemce o vlastnosti těchto rovnic odkazujeme např. na [14, str. 295] nebo [20, str. 86]. 2.2.2 Vlastnosti lineárních rovnic Rovnici tvaru M*)v(n)(aO + bn-itäv^H*) + ■■■ + h(x)y'{x) + b0{x)y = g(x), kde bi(x), i — 0,1,...,n a g(x) jsou funkce, nazýváme lineární diferenciální rovnice n-tého řádu. Budeme předpokládat, že bn(x) ^ 0. Pak je možné rovnici vydělit tímto koeficientem a při označení a,i(x) = i = 0,1,...,ra — 1, a f (x) = nabude rovnice tvaru + an-i{x)y(n-V + ■■■ + ai(x)y' + a0{x)y = f(x). (2.11) V dalším se budeme zabývat rovnicemi právě tohoto tvaru. Rovnice (2.11) se nazývá homogenní, jestliže f(x) = 0, a nehomogenní v opačném případě. Platí následující výsledek týkající se počáteční úlohy. Věta 2.2 Nechť funkce di(x), i = 0,1,..., n — 1, a f(x) jsou spojité na intervalu J. Nechť x q s J a yo, y\,..., yn-i £ R jsou libovolná čísla. Pak rovnice (2.11) má právě jedno řešení y(x) splňující počáteční podmínky y(xo) =yo, y'{x0) =yi,.--,y{n~1)(xQ) = yn-i- Toto řešení existuje na celém intervalu J. Pro další výklad bude výhodné zavést následující označení: jgř(„) = y(») + On-iCaOyí"-1* + • • • + ax{x)y' + a0(x)y. Zobrazení Jzř přiřazující funkci y novou funkci, danou levou stranou rovnice (2.11), budeme nazývat operátor. Pak (2.11) má tvar #(v) = /(*)• Podobně jako v odstavci 1.3.5 se dokáže tzv. princip superpozice. 2.2 Lineární rovnice n-tého řádu 55 Věta 2.3 Nechťyi(x) je řešení rovnice -žf(y) = f\(x) o, y2(x) je řešení rovnice á?{y) — Í2{x) (tedy levé strany obou rovnic jsou stejné). Pak pro libovolná a, P £ R je funkce y(x) — ay\(x) + j3y2(x) řešením rovnice J?(y) = ah(x) + f3f2(x). Dále si všimneme samostatně homogenní a nehomogenní rovnice. Uvidíme, že řada vlastností je analogická jako u rovnic prvního řádu. Důkazy proto vesměs neuvádíme. 2.2.3 Homogenní rovnice Jde o rovnici tvaru yW + an^{x)y^ + ■■■ + ai{x)y' + a0(x)y = 0. (2.12) Z principu superpozice vyplývá následující významný výsledek. Věta 2.4 Jsou-li yi(x) a y2(x) dvé řešení rovnice (2.12) a c G R, pak také funkce y\(x) + y2(x) a cy\{x) jsou řešení rovnice (2.12). Tedy řešení rovnice (2.12) tvoří vektorový prostor. Jeho dimenze je n. Poznámka 2.2 Chápeme-li operátor Jzř jako zobrazení z vektorového prostoru funkcí majících spojitou n-tou derivaci na J do vektorového prostoru funkcí spojitých na J, snadno se ověří — viz následující příklad — že jde o lineární operátor. Funkce y{x) je řešením (2.12) právě tehdy, když Jzř(y) = 0, tedy když y(x) je prvkem jádra operátoru Jzř. Předchozí věta pak říká, že defekt Jžř (tj. dimenze jádra) je roven číslu n. Příklad 2.3 Ověřte, že operátor -žf(j/) = y" + ai(x)y' + a0(x)y je lineární. Řešení: Je %{V\ + Ví) = (yi + 2/2)" + al(x) (yx + y2)' + aQ (x) {yx + y2) = y'{ + y2' + a1(x)y[ + +ai{x)y2+a0(x)yl+aQ(x)y2 = yi+a1(x)y[+a0(x)yi+y2+al(x)y2 + a0{x)y2 = = JŠf(yi) + ^(y2). Tedy Jzř je aditivní. Dále pro a G R je ££ (ay) = (ay)" + ai(x)(ay)' + a0(x)ay = a(y" + ai(x)y' + a0(x)y) = aáf(y). Operátor Jzř je tedy i homogenní, tj. celkově je lineární. V každém vektorovém prostoru konečné dimenze existuje báze. Libovolný prvek tohoto prostoru je pak lineární kombinací prvků této báze. Vybereme tedy n lineárně nezávislých řešení yi(x),..., yn(x) rovnice (2.12). Pak každé řešení rovnice (2.12) má tvar y(x) = cxyi{x) +----hcnyn(x), (2.13) 56 Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů kde Ci,____, cn jsou libovolná reálná čísla. Vzorec (2.13) tedy dává obecné řešení rovnice (2.12). Bázi y±(x),... ,yn(x) nazýváme fundamentální systém rovnice (2.12). Všimneme si nyní toho, jak lze posoudit nezávislost řešení rovnice (2.12). Z n-tice řešení vytvoříme determinant W(yi,...,yn) = Tento determinant se nazývá Wroňského10 determinant neboli wronskián. Lze ukázat, že wronskián je řešením jisté lineární rovnice prvního řádu. V důsledku toho platí: Věta 2.5 Buď je W(y\,.... yn) = 0 na J, nebo je W(yi,..., yn) ý 0 na J ■ Tento výsledek dává smysl následujícímu tvrzení. Věta 2.6 Množina n řešeníyi,... ,yn rovnice (2.12) je lineárně nezávislá právě tehdy, když W(yi,..., yn) ^ 0 na J. Stačí tedy ověřit pro konkrétní xq E J, zda je W[yi(xo),.... yn(xo)] roven nule nebo ne. Na konkrétní volbě xq nezáleží. Wronskián je totiž buď pořád nulový nebo pořád nenulový. Poznámka 2.3 Předchozí kritérium nezávislosti neplatí obecně pro n-tici funkcí, která není řešením nějaké rovnice. Obecně lze tvrdit, že z uvažované podmínky W(y\,..., yn) ^ 0 na J plyne nezávislost funkcí yi,.... yn. Opak však obecně neplatí. Pokuste se najít takový příklad. Vzorec (2.13) nám udává obecné řešení rovnice (2.12). Problémem však zůstává, jak najít nějaký fundamentální systém. Ukazuje se opět bohužel, že i když jsou koeficienty elementárními funkcemi, nemusí existovat fundamentální systém složený z elementárních funkcí. Explicitně najít fundamentální systém lze jen někdy. Nej významnější je případ, kdy koeficienty a0,..., an-i jsou konstantní; tímto případem se budeme v další části zabývat. O rovnici (2.12) s nekon-stantními koeficienty existuje velice rozsáhlá literatura. Vynikajících výsledků dosáhl v této oblasti brněnský matematik Borůvka11 a jeho žáci — viz např. [1] a [16]. 10 Jozef Maria Wroriški-Hoene (1776-1853) (čti vroňski-hóne) — polský matematik a filosof. Zabýval se základy matematiky a teorií algebraických a diferenciálních rovnic. 11 Otakar Borůvka (1899) — významný český matematik, akademik ČSAV. Pracoval v oblasti projektivní diferenciální geometrie, teorie grup a od začátku 50. let se zabývá obyčejnými diferenciálními rovnicemi. VÍ y i (n-l) 112 y'2 n-l (n-l) 2.2 Lineární rovnice n-tého řádu 57 2.2.4 Snížení řádu lineární rovnice Známe-li jedno řešení yo(x) rovnice (2.12), lze snížit její řád, tj. převést ji na rovnici (n — l)-ního řádu. Předpokládejme, že yo(x) ^ 0 pro x e /, kde / C J je interval. Hledejme řešení (2.12) ve tvaru y(x) = yQ(x)u(x). Lze ověřit, že po výpočtu derivací a dosazení do (2.12) vyjde y0(x)u^ + bn-jix)^1-^ + ...+ bl(x)u'+ + 5n) (je) + an-i(x)y^n 1} (x) + ■■■ + aQ(x)y0(x) u = 0. Přitom bi(x), i — l,...,n — 1, jsou funkce vyjádřené pomocí funkcí yo(x) a ai(x),..., an-i(x). Protože výraz v hranaté závorce je nulový, a yo(x) ^ 0, dostáváme pro u rovnici yo{x) yo(x) Nyní můžeme položit u'(x) = v{x). Pro v(x) pak máme rovnici (n — l)-ního řádu + hzMv(n-2) + . . . + b_Mv = Q (2 14) yo{x) yo{x) Obvykle postupujeme tak, že řešení (2.12) hledáme ve tvaru y(x) = y0(x) / v(x)dx. Po dosazení se výrazy s integrálem zruší a zůstane přímo rovnice (2.14). Lze ověřit, že je-li Vi(x),... ,vn-i(x) fundamentální systém rovnice (2.14), je y0(x), y0(x)Jvi (x) dx,.... y0(x)jvn-i(x) dx fundamentální systém (2.12) — viz [14, str. 103]. Příklad 2.4 Najděte obecné řešení rovnice y" H—y---y = 0, x > 0. víte-li. x xl že má řešení yo(x) = x2. Řešení: Řešení hledáme ve tvaru y(x) — x2Jvdx. Pak y' = 2xjv dx + x2v => y" = 2 jv dx + 2xv + 2xv + x2v' 58 Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů a po dosazení máme 2Jv dx + Axv + x2v' + ^Jv dx + xv — ájv dx = 0, tj. po úpravě v' + -v = 0. X To je lineární homogenní rovnice prvního řádu, tj. rovnice se separovanými proměnnými. Tedy dv 5 dv _ 5 f dv _ ľ 5 dx x v x I v I x ' takže ln |v| = — 5 ln \x\ + lne =4> v(x) x5 Volme např. c = —4. Pak u(x) = "^ŕ a druhé řešení rovnice je -4 , . o x"4 1 yi(x) = x2 / —r- dx = —4x2 7 £5 -4 x2' Obecné řešení má tudíž tvar / \ 2 ^2 y(x) = c\X + —z, x > 0. X1 Všimněte si, že výsledek platí i pro x < 0. Poznámka 2.4 i) Zcela analogicky lze postupovat v případě nehomogenní rovnice, známe-li řešení příslušné homogenní rovnice. Nově vzniklá rovnice nižšího řádu je opět nehomogenní. ii) Podobně, známe-li k nezávislých řešení rovnice (2.12), 1 < k < n, lze (2.12) za jistých předpokladů převést na rovnici řádu n — k. Detaily lze nalézt např. v [6, str. 49] nebo [14, str. 348]. 2.2.5 Homogenní rovnice s konstantními koeficienty Půjde nám o nalezení fundamentálního systému rovnice y + an-iy(n_1) + • • • + aiy' + a0y = 0, (2.15) kde cii E r, i — 0,1,..., n — 1. Vyjdeme z příkladu pro rovnici druhého řádu y" + axy' + a0y = 0. 2.2 Lineární rovnice n-tého řádu 59 Pokusme se najít řešení této rovnice ve tvaru y = e , kde A je vhodné číslo. Vypočteme y' = AeAx y" = A2eA* a po dosazení obdržíme A2eAx + aiAeA* + a0eA* = 0. Protože eXx ^ 0, musí A splňovat rovnici A2 + aiA + a0 — 0. To je (algebraická) kvadratická rovnice, kterou umíme snadno vyřešit. Ukazuje se, že i v obecném případě rovnice (2.15) je situace obdobná. K rovnici (2.15) přiřadíme algebraickou rovnici Xn + an_!A"_1 + • • • + aiA + a0 = 0. (2.16) Tato rovnice se nazývá charakteristická rovnice diferenciální rovnice (2.15). Levou stranou této rovnice je polynom stupně n. Z algebry je známo — viz např. [13, str. 64] — že tato rovnice má v komplexním oboru právě n kořenů, z nichž některé mohou být stejné (tzv. vícenásobné kořeny). Přitom komplexní kořeny se vyskytují vždy po dvojicích (tzv. komplexně sdružené kořeny), které mají stejnou násobnost. Reálné kořeny mohou ale nemusí existovat. Nyní platí: Nechť A g i? je /c-násobný reálný kořen rovnice (2.16), k > 1. Pak funkce Vl(x) = eXx, y2(x) = xeXx,.. .,yk(x) = xk~leXx jsou řešeními rovnice (2.15). Nechť q ± (3i g C je komplexně sdružená dvojice /c-násobných komplexních kořenů rovnice (2.16), k > 1, a, f3 g R, (3 ^ 0. Pak funkce yi(x) — eax cos fix, y^{x) = xeax cos(5x, ..., y2k-\{x) = xk~1eax cos (3x, y2{x) = eax s'm(3x, y4(x) = xeax smfix, ..., y2k{x) —xk~1eaxs'mpx jsou řešeními rovnice (2.15). Sestrojíme nyní popsaným způsobem ke každému kořenu rovnice (2.16) odpovídající řetězec řešení. Celkem budeme mít (po přečíslování) n řešení rovnice (2.15) yi(x),.. .,yn(x). Věta 2.7 Množina řešení zkonstruovaná popsaným způsobem tvoří fundamentální systém rovnice (2.15). 60 Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů Poznámka 2.5 Máme tedy zdánlivě efektivní postup, jak najít potřebný fundamentální systém. Zdánlivost spočívá v tom, že obecně neumíme určit kořeny algebraické rovnice (2.16) stupně n > 5. Přitom pro n = 3 a n = 4 je to velmi komplikované — viz např. [13, str. 67]. Použití numerických metod je zde problematické — počítat násobné kořeny numericky (tj. i určit jejich násobnost) lze těžko, což nám vadí. Násobné kořeny totiž často výrazně ovlivňují chování řešení rovnice (2.15). V'^ Nyní si na příkladech ukážeme použití vyložené teorie. Příklad 2.5 Najděte obecné řešení rovnice y" + y' — 6y = 0. Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici A2 + A - 6 = 0. Její kořeny jsou Al,2 — -1 ± v7! + 24 -1±5 A] — 2, A2 — —3. Oba kořeny jsou reálné a jednoduché, tedy ke každému přísluší jedno řešení. Proto funkce yx{x) = e2x a y2(x) = e-3x tvoří fundamentální systém. Obecné řešení je pak y(x) = cľe2x + c2e-3x. Vypočítáme pro zajímavost wronskián. Vyjde W(y i,y2) yi yi y'i V2 ,2i „ — 3a; = -Se~x - 2e~ 2e2x -3e-3x pro každé :r G R, což potvrzuje to, co jsme si o wronskiánu řekli. -oe~x ŕ 0 Příklad 2.6 Najděte obecné řešení rovnice y" — Ay1 + 13y = 0. Řešení: Charakteristická rovnice je A2 -4A + 13 = 0. Její kořeny jsou 4±y/16^52 4±6i Alj2 = -z-= —^— — 2±óz. I 2.2 Lineární rovnice n-tého řádu 61 K této dvojici komplexně sdružených kořenů (a = 2, (3 = 3) přísluší řešení yi(x) = e2x cosdx a yi{x) — e2xún3x. Obecné řešení je y(x) = cie cos 3a; + c2e2x sin Sx. Příklad 2.7 Najděte obecné řešení rovnice y^ + 2y^ + y'" = 0. Řešení: Charakteristická rovnice je A5 + 2A4 + A3 = 0. Po úpravě je A3(A2 + 2A + 1) = A3(A + l)2 = 0. Tato rovnice má trojnásobný kořen Ai^a = 0 a dvojnásobný kořen A^s = —1. Trojnásobnému kořenu odpovídá trojice řešení yi(:ř)=e0* = l, y2(x) = xe0x = x, y3(x) = x2e0x = x2 a dvojnásobnému kořenu odpovídá dvojice řešení y4(x) = e~x, y-0(x)=xe~x. Obecné řešení je y(x) — ci + c2x + c3x2 + c4e~x + c5xe~x. Příklad 2.8 Najděte obecné řešení rovnice ?/4' + 2y" + y = 0. Řešení: Charakteristická rovnice je A4 + 2A2 + 1 = 0. Tu lze upravit na tvar (A2 + l)2 = 0. Rovnice A2 + 1 = 0 má komplexní kořeny ±i, tedy naše charakteristická rovnice má dvojnásobnou dvojici komplexně sdružených kořenů ±i. Fundamentální systém je tvořen čtveřicí funkcí 2/1 (x) = e0x cos lx = cos a;, y3(x) = xeQx cos la; = a; cos a;, yi(x) — e^sinla; = sinx, y±{x) = xeQx sinlx = xsinx, a obecné řešení je yix) — ci cos x + C2 sin x + C3X cos x + c4x sin x. 62 Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů Poznámka 2.6 U komplexních kořenů obvykle volíme 0 > 0. To není nutné. Např. v předchozím příkladu by /3 = —1 dalo yi(x) — cos(—x) — cos a; a y2{x) = sin(—x) — — sin a;. Tedy až na přeznačení konstant {c% a C4 by byly opačné) se nic nestane. Poznámka 2.7 Z předchozího vyplývá, že řešení rovnice (2.15) je lineární kombinací funkcí tvaru xkeax cos/fa resp. xkeax sin/fa, kde k je celé nezáporné číslo. Takové funkce se nazývají kvazipolynomy. K těmto funkcím vždy existuje Laplaceův obraz, který je racionální ryze lomenou funkcí — viz např. [30]. Tyto rovnice lze tedy snadno řešit užitím Laplaceovy transformace. 2.2.6 Nehomogenní rovnice, variace konstant Jde o rovnici tvaru y(B> + a^iOr)^"-1) + ■ ■ • + a0(x)y = f(x). (2.17) Z principu superpozice vyplývá následující věta, jejíž důkaz je obdobný jako u věty 1.7. Věta 2.8 Nechť y\(x)yn(x) je fundamentální systém homogenní rovnice (2.12) a yo(x) je partikulární řešení rovnice (2.17). Pak obecné řešení rovnice (2.17) má tvar y(x) = ciyi(x) H-----h cnyn(x) + y0{x), ci,..., cn G R. Jinými slovy obecné řešení nehomogenní rovnice je rovno součtu obecného řešení homogenní rovnice a partikulárního řešení nehomogenní rovnice. Tento princip jsme již použili u lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu — viz str. 23. Připomeňme si jeho symbolickou podobu: OŘNLDR=OŘHLDR+PŘNLDR Obecné řešení homogenní rovnice umíme (u rovnic s konstantními koeficienty) najít. Ukážeme si nyní postupně dva způsoby, jak najít partikulární řešení yo(#) nehomogenní rovnice. V tomto oddíle si všimneme univerzální metody, která je platná i pro rovnice s nekonstantními koeficienty. Předpokládá ovšem, že známe fundamentální systém příslušné homogenní rovnice (který však u rovnice s nekonstantními koeficienty neumíme najít). 2.2 Lineární rovnice n-tého řádu 63 Variace konstant Myšlenka metody je obdobná jako u rovnice prvního řádu, tj. v obecném řešení homogenní rovnice se snažíme zaměnit konstanty C\,..., cn vhodnými funkcemi K\(x),..., Kn{x) a hledat řešení yo(x) nehomogenní rovnice ve tvaru y0(x) = Ki{x)yi(x) + K2(x)y2(x) H-----h Kn(x)yn(x). Odvození si ukážeme pro jednoduchost na rovnici druhého řádu y" +a1{x)y' + a0(x)y = f(x). (2.18) Nechť yi(x) a y2(x) jsou nezávislá řešení příslušné homogenní rovnice, tj. y'/+ aí(x)y'i + ao(x)yi = 0, i = 1, 2. (2.19) Hledejme řešení ve tvaru y0(x) = Ki{x)yi(x) + K2(x)y2(x). Vypočteme první derivaci (pro stručnost nepíšeme argument x). Vyjde y'0 = K[yi + Kiy[ + K'2y2 + K2y'2. Při výpočtu druhé derivace bychom dostali druhé derivace neznámých funkcí. Požadujme proto, aby [K'iyi +K^y2=jL__i Ze takovou podmínku můžeme splnit, uvidíme níže. Pak máme y'Q = Kiy[ + K2y'2 =^ y'J = K'iy[ + KlV'{ + K'2y'2 + K2yl Po dosazení do (2.18) a úpravě vyjde K'iy[ + Kxy'( + K'2y'2 + K2y'{ + a^K^'i + K2y'2) + a0(Kiyi + K2y2) = f(x), K[y[ + K'2y'2 + K\ (y" + aiy[ + a0yi) + K2{y'{ + aiy'2 + a0y2) = f(x). Vezmeme-li v úvahu (2.19), dostaneme \Ktä + K'%y2 = f{x). Celkově tedy máme pro deriýace neznámých funkcí 7\"J "a K'2 soustavu lineárních rovnic K[yi + K2y2 = 0, K[y'1+K'2y2 = f(x). 64 Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů Determinant matice soustavy je wronskián yi y2 y'i y'i který je nenulový, a proto má naše soustava jediné řešení (které můžeme získat např. Cramerovým pravidlem). Z K[ a K'2 dostaneme K\ a K2 integrací. To ovšem nemusí být možné ve třídě elementárních funkcí. Až na tento problém je však celý algoritmus metody variace konstant efektivní. V obecném případě dostaneme pro K[,..., K'n soustavu rovnic K[yi + ■'•• + K'nyn = 0, K[y[ +•••+ K'ny'n = 0, : : : (2-20) K[y{r2) +■■■+ K'Jn~2) = 0, Kívf* +■••+ Ky{n-1] = m, pro niž platí totéž, co pro předchozí speciální případ rovnice druhého řádu. ex Příklad 2.9 Najděte obecné řešení rovnice y" — 2y' + y x2 + l Řešení: I. Nejprve vyřešíme homogenní rovnici y" - 2y' + y = 0. Charakteristická rovnice je A2-2A + 1 = 0 =^> (A-1)2 = 0. Kořen je dvojnásobný Ai,2 = 1. Fundamentální systém tedy je yi(x) = ex, y2{x)=xex a obecné řešení homogenní rovnice je y(x) = ciex + c2xex. II. Použijeme variaci konstant a řešení budeme hledat ve tvaru yQ(x) = Ki(x)ex + K2(x)xex. Systém (2.20) má tvar K[ex + K'2xex = 0, K[ex + K'2{ex + xex) = . [ 2.2 Lineární rovnice n-tého řádu 65 Po vykráčení ex vyjde K[ + K'2x = 0, K[ + K2(l + x) = x2 + 1 Odečtením rovnic dostaneme K' x2 + 1 Z první rovnice pak máme -xlíó = — x- 1 -x x2 + 1 x2 + 1 Tedy (volíme nulové integrační konstanty) Ä'i (x) = / = - dx = U ; J x2 + l x2 + 1 ŕ 2x dx = dí xdx = f 1 fdŕ 7 ln lil = - ln \Jx2 + 1. x2 + l arctgx. Partikulární řešení nehomogenní rovnice tudíž je yo(x) = —ex ln \Jx2 + 1 + xe^ arctgx a obecné řešení má pak tvar y(x) — Ciex + c2xex - ex ln \Jx2 + 1 + xe* arctgx, ci, c2 G i?. 2.2.7 Metoda neurčitých koeficientů Tato metoda je použitelná pouze pro rovnice s konstantními koeficienty. Navíc pravá strana f(x) musí mít speciální tvar, uvedený níže. Vzhledem k tomu, že takové rovnice se v aplikacích velmi často vyskytují a tato metoda je obvykle výrazně rychlejší než variace konstant, dáváme jí u těchto rovnic přednost. Uvažujme rovnici + an-n/n-V + ... + aiy' + a0y = f(x), (2.21) jejíž lineární části přísluší charakteristická rovnice An + an_iAn_1 +.••• + aiA + a0 = 0. (2.22) Probereme postupně typy pravých stran f{x) od nejjednodušších k nejsloži-tějším. . f*v, -^fA* 66 Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů 1. f(x) = Pn(x), kde Pn(x) je polynom stupně n. Předpokládejme, že číslo 0 je ^-násobným kořenem charakteristické rovnice (2.22). Přitom k = 0 znamená, že tato rovnice nemá kořen 0. Pak rovnice (2.21) má partikulární řešení tvaru y0(x) = xkQn(x), kde Qn(x) je vhodný polynom stupně n s neznámými koeficienty. Příklad 2.10 Najděte obecné řešení rovnice y" — y = x. Řešení: I. Homogenní rovnice je y"-y = o, příslušná charakteristická rovnice je A2 - 1 = 0. Ta má dva jednoduché reálné kořeny Ai,2 = ±1, a tudíž obecné řešení homogenní rovnice je y(x) = cľex + c2e~x. II. Pravá strana nehomogenní rovnice je polynom P(x) = x stupně n = 1. Tedy Q(x) bude obecný polynom stupně 1, tj. Q(x) = ax + b. Charakteristická rovnice nemá kořen 0, proto k = 0. Tudíž yo(x) = x°(ax + b) = ax + b. Odtud y'0 = a ==>• y'ó = 0 a po dosazení vyjde 0 - (ax + b) = x -ax - b = x. Z algebry je známo, že k tomu, aby se dva polynomy rovnaly pro každé x e R, je nutné a stačí, aby měly stejný stupeň a stejné koeficienty u týchž mocnin x. Porovnáváním dostáváme obecně soustavu lineárních rovnic. V našem případě je to: x1 : -a = 1 =>• a = -1, x° : -6 = 0 => b = 0. Partikulární řešení je Vo(x) = -x a obecné řešení nehomogenní rovnice je pak y(x) = ciex + c2e~x - x. 2.2 Lineární rovnice n-tého řádu_67 Příklad 2.11 Najděte obecné řešení rovnice y" — y' = x. Řešení: I. Homogenní rovnice je y" -y' = o, příslušná charakteristická rovnice je A2-A = 0 A(A - 1) = 0. Ta má dva jednoduché reálné kořeny Ai = 0. A2 = 1 a obecné řešení homogenní rovnice tedy je y(x) = cie0x + c2ex = Ci + c2ex. II. Analogicky jako v příkladu 2.10 je Q(x) = ax + b. Avšak charakteristická rovnice má jednoduchý kořen 0, proto k = 1. Tedy yo(x) = x (ax + b) = ax2 + bx. Odtud y'0 = 2ax + b y% = 2a a po dosazení vyjde 2a - (2ax + b) = x => -2ax + 2a - b = x. Porovnáním vyjde x1 : -2a = 1 => a = -|, x° : 2a-b = 0 ==> b = 2a = -1. Partikulární řešení nehomogenní rovnice je y0(x) = x í-^x - lj = -X-x2 - x a její obecné řešení je y(x) = ci + c2ex - ^x2 - x. 2. f(x) = Pn(x)eOLX, kde Pn(x) je polynom stupně n a o; € R. Předpokládejme, že číslojaje fc-násobným kořenem charakteristické rovnice (2.22); k — 0, nemá-li tento kořen. Pak rovnice (2.21) má partikulární řešení tvaru y0(x)=xkQn(x)eax, kde Qn(x) je vhodný polynom stupně n s neznámými koeficienty. 68 Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů Příklad 2.12 Najděte obecné řešení rovnice y'" — 2y" = 3e2x. Řešení: I. Homogenní rovnice je v"' - 2y" = o, příslušná charakteristická rovnice je A3-2A2 = 0 A2(A-2) = 0. Ta má tři reálné kořen^ Ai)2 = 0, A3 = 2. Tedy obecné řešení homogenní rovnice je y{x) = C!e0x + c2xe0x + c3e2x = cx + c2x + c3e2x. II. Pravá strana f(x) = 2>e2x je typu polynom krát exponenciála; přitom polynom P(x) = 3 je stupně n = 0 a a = 2. Tudíž Q(x) = a (konstanta). Dále číslo 2 je jednoduchým kořenem charakteristické rovnice, tedy k = 1. Proto y0(x) = x1ae2x = axe2x. Odtud y'Q = ae2x+2axe2x ==> y'0' = 2ae2x+2ae2x+4axe2x = Aae2x+Aaxe2x => y'0" = 8ae2x + 4ae2x + Saxe2x = 12ae2x + 8axe2x a po dosazení vyjde 12ae2x + 8axe2x - 2(Aae2x + Aaxe2x) = 3e2x =» 4ae2x = 3e2x. Protože e2x ^ 0, dostaneme po krácení, že 3 4a = 3 a = -. 4 Partikulární řešení nehomogenní rovnice je y0{x) = '^xe2x a její obecné řešení je y(x) = ci + c2x + c3e2x + ^are2a\ 3. f(x) = PTn(x)eaa: cos(3x -\- Qn(x)eax sin/3x, kde Pm(x) je polynom stupně m, Qn(x) je polynom stupně n a, a, (3 E R. Předpokládejme, že číslo a + {3i je fc-násobným kořenem charakteristické rovnice (2.22); k = 0, nemá-li tento kořen. Pak rovnice (2.21) má partikulární řešení tvaru y0(x) = xh [Rs(x)eax cosflx + Ss(x)eax sin fix], kde s = max{m,n} (je-li Pm(x) = 0, je s = n, je-li Qn(x) = 0, je s = m) a Rs(x) a 5s(x) jsou vhodné polynomy stupně s s neznámými koeficienty. 2.2 Lineární rovnice n-tého řádu 69 Poznámka 2.8 i) I když je Pm(x) nebo Qn(x) nulový, tj. pravá strana obsahuje jen kosinus nebo jen sinus, je nutné do řešení zahrnout Rs(x) i Ss(x), tj. část s kosinem i sinem. ii) Všimněte si, že typ 3 v sobě zahrnuje pro (3 — 0 typ 2 (cos Ox = 1, sin Ox = 0). Dále typ 2 v sobě pro a = 0 zahrnuje typ 1 (e0x = 1). iii) Ve všech typech nesmíme zapomínat na faktor xk\ jeho opomenutí způsobí, že při porovnávání koeficientů dostaneme sporný systém lineárních rovnic. iv) Všimněte si, že u této metody lze najít partikulární řešení jako první, tj. i když neznáme obecné řešení homogenní rovnice; zda je číslo a + (3i kořenem charakteristické rovnice, ověříme dosazením. v) Lze dokázat, že dva kvazipolynomy — viz poznámka 2.7 — se rovnají právě tehdy, když obsahují tytéž členy s týmiž koeficienty; jde o zobecnění věty o rovnosti dvou polynomů. Důkaz viz např. [20, str. 38]. V našem případě tedy budeme porovnávat koeficienty u cos x, sin x, x cos x, x sin x atd. vi) Z předchozích výsledků vyplývá, že všechna řešení nehomogenní rovnice s konstantními koeficienty mající na pravé straně kvazipolynom jsou opět kvazipolynomy. Tedy na její řešení lze použít Laplaceovu transformaci — viz poznámka 2.7. Příklad 2.13 Najděte obecné řešení rovnice y" + 4y = ex cos2x, y(0) = 1, y'(0) = 0. Řešení: I. Homogenní rovnice je y" + 4y = 0, její charakteristická rovnice je A2 + 4 = 0. Její kořeny jsou Ai^ = ±2i Obecné řešení má tvar y(x) — Cie cos 2x + C2e0x sin 2x = c\ cos 2x + c2 sin 2x. II. Pravá strana /(x) = ex cos2x je třetího typu; přitom P(x) = 1, m = 0, Q(x) = 0, a = 1, 0 = 2. Tudíž s = .0, R(x) = a, S(x) = b. Dále číslo 1 + 2i není kořenem charakteristické rovnice, tedy k = 0. Proto yo(x) — x°(aex cos 2x + bex sin 2x) = aex cos 2x + bex sin 2x. Odtud y'Q = aex cos 2x - 2(26^ sin 2x + bex sin 2x + 2bex cos 2x = = (a + 2b)ex cos2x + (b - 2a)ex sin2x, y'ó = (a + 2b)ex cos 2x - 2(a + 26)6* sin 2x + (b - 2a)ex sin 2x + + 2(b - 2a)ex cos 2x = (46 - 3a)ex cos 2x - (4a + Sb)ex sin 2x 70 Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů a po dosazení vyjde (46 - 3a)ex cos 2x - (4a + 36)ex sin 2x+ + 4aex cos 2x + 4bex sin 2x = ex cos 2x, tj- (a + 46)ex cos 2x + (-4a + b)ex sin 2x = ex cos 2x. Porovnáním vyjde: ex cos2x : a + 46 = 1, ex sin2x : -4a + 6 = 0. Tato soustava má jediné řešení a = ^, 6 = ^. Partikulární řešení je 1 4 yQ(x) = —ex cos 2a: + — ex sin2x a obecné řešení nehomogenní rovnice je 1 4 y(x) — Ci cos 2a; + c2 sin 2a: + — ex cos 2x + — ex sin 2a\ yv ' 17 17 Nyní dosadíme počáteční podmínky. Dostaneme Ž/W = ci + — = 1 ci = —. Dále vypočítáme 1 2 y'(x) = -2ci sin2x + 2c2 cos2x + — ex cos 2a: - — ex sm.2x + 4 8 H--ex sin 2a: + — ex cos 2.x. 17 17 Po dosazení dostaneme í/'(0) = 2C2+i + A=o =» „,--£. Hledané partikulární řešení je 16 9 1 4 y[x) = — cos 2x — — sin 2a; + —e31 cos 2x + —ex sin 2x. Příklad 2.14 Najděte obecné řešení rovnice y'" + 2y" 4- y' = x1 + siná:. Řešení: I. Homogenní rovnice je iT + 2y" + y' = 0, 2.2 Lineární rovnice n-tého řádu 71 charakteristická rovnice je A3 + 2A2 + A = 0 A(A + 1)2 = 0. Její kořeny jsou Ai = 0, A2,3 = —1. Tudíž obecné řešení je y(x) = cxe0x + cie~x + c3xe~x = cx + c2e~x + c3xe~x. II. K určení partikulárního řešení nehomogenní rovnice použijeme princip superpozice — viz věta 2.3. Položme fi(x) — x2, /2(x) = sinx. První část pravé strany /i(x) = x2 je typu 1, kde n = 2, tedy bude Q(x) = ax2 + 6x + c. Protože charakteristická rovnice má jednoduchý kořen 0, je k = 1. Pak l/O \ Q O yi(^) — ^ (a;£ + 6x + c) = ax + bx +cx. Odtud yí = 3ax2 + 26x + c =£■ y" = 6ax + 26 => y"' = 6a a po dosazení máme 6a + 12ax + 46 + 3ax2 + 26x + c = x2, tj- 3ax2 + (12a + 26)x + 6a + 46 + c = x2. Porovnáním vyjde x2 : 3a = 1 a = I, x1: 12a+ 26 = 0 =» 6 =-2, x°: 6a + 46 + c = 0 c = 6. Partikulární řešení je yi(x) = ^x3 - 2x2 + 6x. Druhá část pravé strany fy(x) — sinx je typu 3, kde P(x) = 0, Q(x) = 1, n = 0, a = 0, /3 = 1, a tedy s = 0, Ä(x) = a, S(x) = 6. Protože číslo 0 + lz = i není kořenem charakteristické rovnice, je k = 0. Pak 3/2(^0 — x°(acosx + 6sinx) = a cos x + 6 sinx. Odtud y 2 = — asinx+6cosx y2' = — a cos x — 6 sin x =>■ y'/' = a sinx — 6 cos x a po dosazení vyjde a sin x — 6 cos x — 2a cos x — 26 sin x — a sin x + 6 cos x = sin x, 72 Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů —2a cos x — 2b sin x = sin x. Porovnáním vyjde: cos o;: —2o = 0 ==> a = 0, Partikulární řešení je sinx : -26=1 b =-\. V2{x) = -^sinx. Partikulární řešení celé naší rovnice je pak yi(x) + y2(x) = ^x3 - 2x2 + 6x - ^sinx a obecné řešení je y(x) = ci + c2e_;c + c3xe_a: + ^-x3 - 2x2 + 6x - - sinx. o — Poznámka 2.9 Vraťme se k fyzikální interpretaci rovnice y" + axy' + a2y = /(ar), kde /(x) je kvazipolynom. Pokud vyjde A; > 0, tj. je třeba zvýšit stupeň uvažovaných polynomů, jde o tzv. rezonanci. Homogenní rovnice popisuje tzv. vlastní kmity soustavy, kdežto nehomogenní rovnice popisuje tzv. nucené kmity soustavy. Prakticky řečeno, o rezonanci jde, pokud pravá strana nehomogenní rovnice je řešením homogenní rovnice. 2.2.8 Eulerova rovnice Jde o lineární rovnici s nekonstantními koeficienty tvaru xVn)+«n-ixn-1y(n-1) + --- + aixž/' + a0y = /(x), x > 0, (2.23) kde a,i, i = 0,...,n — 1, jsou reálná čísla. Tuto rovnici lze zavedením nové nezávisle proměnné t vztahem x = eŕ, tj. t = ln x, převést na lineární rovnici s konstantními koeficienty. Označme y(x) = y(eř) = u(t), tj. y(x) = ix(lnx). Pro derivaci dostáváme podle pravidel pro derivování složené funkce , dy du dt _ . 1 dx dt dx xJ „ d2y d(ů • i) du 1 . / 1 \ dii dt 1 . 1 . ..1 1 . V = t4 = , = ----bul--r = — •------g • U = U -s--ô U dx2 dx dx x X x2 J dt dx x x2 x1 xz atd. 2.2 Lineární rovnice n-tého řádu 73 Např. pro rovnici druhého řádu x2y" + a-íxy' + a0y = f(x) (2.24) vychází x 2 1 tj- ú + (ai - l)ů + aQu = /(e ), (2.25) což je skutečně rovnice s konstantními koeficienty. Tento výsledek platí pro libovolné n. Obecně dostaneme rovnici kde bi G R, i = 0,1,..., n — 1. Je-li Ui(ŕ),..., un(t) fundamentální systém rovnice (2.26), lze snadno ověřit, že ui(lnx),..., un(\nx) je fundamentální systém rovnice (2.23). Výpočet vyšších derivací y je poměrně pracný. Je však možné získat charakteristickou rovnici příslušnou ke (2.26) přímo z koeficientů rovnice (2.23). Např. pro rovnici (2.25) je charakteristická rovnice Skutečně obecně platí — viz [14, str. 130], že An + fcn-iA"-1 + • ■ • + M + b0 = A(A - 1) • • • (A - n + 1)+ + an_iA(A - 1) • • • (A - n + 2) + • ■ ■ + a2A(A - 1) + a^X + a0. Použití si ukážeme na příkladu. Příklad 2.15 Najděte obecné řešení rovnice x3y'" + x2y" + 3xy' — 8y = 0. Řešení: Položme x — et. Po transformaci vznikne lineární homogenní rovnice, jíž přísluší charakteristická rovnice u W + &n-iu(n-1) + ••■• + 6iŮ + 6o = /(cť), (2.26) A2 + (ai - l)A + a0 = 0, tj. A(A - 1) + aiA + a0 = 0. A(A - 1)(A - 2) + A(A - 1) + 3A - 8 = 0, tj- 2A2 + 4A - 8 = 0. Transformovaná rovnice je tedy ú -2u + 4ú- 8u = 0. Tu jsme však ani nepotřebovali vypisovat. 74 Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů Charakteristická rovnice má celočíselný kořen Ai = 2 (ten lze najít postupem uvedeným např. v [13, str. 68]). Po vydělení kořenovým činitelem A — 2 dostaneme rovnici A2 + 4 = 0, která má kořeny A2,3 = ±2i. Transformovaná rovnice má tudíž fundamentální systém Ui(t) — e2í, u2(f) = cos2t, us(t) = sin2í, a tedy původní rovnice má fundamentální systém y-í(x) = Mi (lna;) = e21nx = x2, y2(x) = u2(lnx) = cos 2 ln x, Vs(x) — us(hix) = sin21nx. Obecné řešení naší rovnice je y (x) = cix2 + c2 cos 2 ln x + C3 sin 2 ln x. Poznámka 2.10 Analogicky lze zřejmě postupovat i pro x < 0, pouze se zvolí substituce x — —er. Ne vždy je nutné provádět to prakticky. Např. v předchozím příkladu stačí upravit výsledek na tvar y{x) = c\x2 + c2 coslnx2 + C3sinlnx2, který je definovaný pro každé x 7^ 0. Cvičení 1. Najděte obecné řešení rovnic vyšších řádů. a) y'" = - b) y(7> = e2x c) x2ym = (y")2 d) y'" = (y")3 e) xy& = y<4> f) (1 + x^)y" + y>2 + 1 = 0 2. Najděte obecné řešení následujících rovnic, znáte-li jedno resp. dvě partikulární řešení. , 2 . „ , . sinx a) y" + - y + y = 0, yx{x) =- x x b) xV + x?/ + í x2 - -J y = 0, t/x (x) = 14 c) y" + -1/'--^y = 0, yi(x) = x x xá d) 4xy" + 2y' + y = 0, yx (x) = cos a/í e) (2x - x2)y" + (x2 - 2)y' + 2(1 - x)y = 0, yx(x) = ex f) x3y;// — 3x2y" + 6xy' — 6y = 0, yi(x) = x, y2(x) = x2 V následujících příkladech najděte obecné řešení, a pokud jsou dány počáteční podmínky, i příslušné partikulární řešení. 2.2 Lineární rovnice n-tého řádu 75 3. a) y" + 2y' - 3y = O b) y" + 4y = O c) y" - 6y' + 9y = O d) 3y" + 4y' = O, y(O) = O, y'(0) - -1 e) 2y" + y'-y = 0 f) y" + 2y' + y = O, y(O) = 2, y'(0) = -1 g) y" - 4y' + 13y = O li) y" + 4y' + 5y = O, y(7r) = -1, y'(7r) = 5 i) y" - 6y' = O j) y" = O, y(2) = 3, y'(2) = -1 4. a) y"' + 9y' = O b) yW - 13y" + 36y = O c) y W - 8y" + 16y = 0 d) y'" - 3y" + 3y' — y = O c) 64y(§) + 48y(6) + 12yW + y" = O f) y(5) — y' = O, y(0) = O, y'(0) = 1, y"(0) - O, y"'(0) = 1, yí4)(0) = 2 5. Variace konstant e a) y"-2y' + y=- b) y" + 4y = 1 x sin2 x 1 2 — 2r c) y" + 3y' + 2y = -—- d) y'" + 2y" = ex + 1 x 6. Speciální pravé strany a) y" - 6y' + 9y = 2x2 - x + 3 b) y" - 2y' + 2y = 2x c) y" + 4y' - 5y = 1 d) 2y" + 5y' = 5x2 - 2x - 1 e) 2y" + y' - y = 2ex f) y" - y = e"x g) y" - 4y' + 4y = 3e2x li) y" - 7y' + 6y = sin x i) y" + y — cos x j) y" — 3y' + 2y = sin 2x 4- cos 2x k) y" + 4y' + 4 = xe2x' 1) y" - 4y = e21' sin 2x m) v" + y = x srn -T n) y" ~~ %' + 2y = x — e_2a; + i o) y" + y = 5 - 3 cos2x + ex p) y" - y' = 2(1 - x), y(0) - O, y'(0) = 1 q) y(5> - 3yW -f- 2y'" = 8x - 12 r) y'" - 3y' - 2y = sin x + 2 cos x s) y'" - 4y" + 3y' = x2 + xe2x t) y'" + 2y" + y' = -2xe~2x, y(0) = 2, y'(0) = 1, y"(0) = O 7. Eulerova rovnice a) x2y" - 9xy' + 21y = O b) x2y" + xxj + y = x c) y" - - + \ = - d) x2y" - 2xy' + 2y + x - 2x3 - O e) x3y"' + xxj - y = O f) x4y W + 6x3y/// + 5x2y" - xy' + y = ln2 x - 4 Vys/ed/jy: 1. a) x2 ln |x| + ci + c2x + c3x2, b) + cľ + c2x + c:ix2 + c4x3 + c5x4 + c6x5 + +c7x6, c) Ci ^- + c2x + C3 - c2 (x + ci) ln |x + ci|, d) | \/(ci ~~ 2x)3 + C2X + c3; e) ci+c2x+c3x2+C4X3+C5X5. f) -^ + 4pin|l+cix|+c2. 2. a) Cl^+c2^ b) "7=(ci cos x + c2 sinx), c) cxx2 + d) Ci cos -y/x + c2 sin ^/x, e) c\cx + c2x2, 76 Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů f) cix + c2x2 + C3X3. 3. a) c\ex + c2e~3x, b) cicos2x + c2sm2x, c) cie3x + c2xe3x, d) ci + c2e~3x; -§ + |e~3x, e) cie_:r + c2e^x, f) cie~x + c2xe~x: 2e~x + xe~x, g) cie2x cos3x+C2e2x sin3x, h) cie_2x cos x+C2e_2x sinx; e2^~x\cosx—3 sinx), i) ci +C2e6x, j) ci +c2x; 5 — x. 4. a) ci cos 3x + c2 sin3x + C3, b) c\e2x + c2e~2x + +c3e3x + c4e~3x, c) (ci + c2x)e2x + (c3 + c4x)e~2x, d) (ci + c2x + c3x2)ex, e) (ci + c2x + c3x2) co* f + (c4 + c5x + c6x2) sin | + c7 + c8x, f) Ciex + c2e~x + +C3 cos x + C4SUIX + c5; ex + cos x — 2. 5. a) c\ex + c2xex + xexln|x|, b) Ci cos2x + C2 sin2x —cos2xln | sinx| — (x + 77 cotgx) sin2x, c) c\e~x + c2e,~2x Jr + (e~x + e~2x) ln(ex + 1), d) ci +• c2x + c3e~2x + ln |x|. 6. a) (ci 4- c2x)e3x + + |x2 + ^x + b) ex(ci cosx + c2sinx) + x + 1, c) ciex + c2e~5x - |, d) ci +c2e~ix + |x3 - §x2 + ^x, e) Cie~x + c2e* +ex. f) cxex +c2e~x - §e_x, g) (ci + c2x)e2x + §x2e2x, h) cie6x+c2ex + íq sinx+^ cosx, i) Ci cosx+c2 sinx-H + Tjxsinx, j) ciex -f-c2e2x - | sin2x + — cos2x, k) (ci + c2x)e~2x + (|g - ^>)e2x, 1) cie_2x + c2e2x' — ^e2x(sin2x + 2cos2x), m) rci — ^\ cos x + (c2 + f) sinx, n) ciex + c2e2x + \x + | — ^e_2a:, o) cicosx + c2sinx + 5 + cos2x + \ex, p) Ci + c2ex + x2; ex + x2, q) C\ + c2x + c3x2 + c4ex + c5e2x + |x4, r) Cie2x + + (c2 + c3x)e-x - i sinx, s) d + c2ex + c3e3x + §(3x2 + 12x + 26) + }(1 - 2x)e2x, t) ci + c2e-x + c3xe~x + (« + §) e~2x; e-x(x - 4) + f + (x + f) e"2*. 7. a) cix3 + c2x7, b) I + ci cos ln |x| + c2 sinln |x|, c) Cix + c2x ln |x| + x ln |x|, d) xln |x| + cix + c2x2 + x3, e) Cix + c2xln |x| + C3xln2 |x|, f) cxx + c2xlnx + + zl + c4 ina:+ in2£. XX 2.3 Ukázky aplikací rovnic vyšších řádů Rovnice vyšších řádů mají rozsáhlé aplikace. Připomeňme jen, že se vyskytují v mechanice, teorii pružnosti, teorii elektrických obvodů a mnoha dalších. Na obalu monografie [14] je možné najít následující citát: Fyzikální zákony se nejjednodušeji a nejpřirozeněji formulují ve tvaru diferenciálních rovnic; proto diferenciální rovnice studovali největší matematikové a matematičtí fyzikové od dob Newtonových. G. BIRKHOFF — G. C. ROTA Při studiu dalších předmětů teoretického základu inženýra i předmětů specializace si sami ověříte, že uvedený citát je pravdivý. Není možné, aby v tomto omezeném textu byly uvedeny všechny možné ukázky aplikací diferenciálních rovnic. Omezíme se pouze na jeden typ rovnice, 2.3 Ukázky aplikací rovnic vyšších řádů 77 na který vede řada důležitých úloh. Jde o rovnici lineárního oscilátoru y" + 2ay' + b2y = 0, a > 0, b > 0. (2.27) Je to homogenní lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty . Všimneme si nejprve úloh, které vedou na tuto rovnici. 1. Kmity pružiny. Uvažujme pružinu o tuhosti k > 0, na níž je zavěšena kulička o hmotnosti m > 0. Vychýlením z rovnovážné polohy začne kulička kmitat. Předpokládejme dále, že na pohyb působí odpor, který je úměrný okamžité rychlosti. Nechť součinitel odporu je c > 0. Označme y(t) výchylku z rovnovážné polohy v čase t — viz obr. 2.2. Předpokládáme-li, že jde o malé kmity, plyne z druhého Newtonova zákona, že . , c . k my = -cy - ky => y H--y H--y = 0; m m přitom ý je okamžitá rychlost a y je okamžité zrychlení. Označíme-li a = 2^' k = \fi, dostáváme pro y(t) rovnici (2.27). 2. Matematické kyvadlo Uvažujme kuličku o hmotnosti m > 0 zavěšenou na vlákně délky / > 0, jehož hmotnost je zanedbatelná. Vychýlením z rovnovážné polohy začne kulička kmitat (v rovině). Označme ip(t) úhlovou odchylku od rovnovážné polohy v čase t měřenou v radiánech — viz obr. 2.3. Na kuličku působí gravitační síla mg, kde g je gravitační konstanta. Její složka odpovídající směru tečny ke kružnici je —mašiny. Označíme-li délku oblouku na kružnici odpovídající úhlu

p rovnici (2.27), kde a = 0. Kdybychom uvažovali i odpor prostředí, dostali bychom obdobně jako u pružiny rovnici (2.27), kde a > 0. Všimněte si rovněž, že náhrada sin 0 ohmů a in-duktor o indukčnosti L > 0 henry. V čase t = 0 je k obvodu připojen kapacitor o kapacitě C > 0 faradů nabitý na hodnotu u(0) — viz obr. 2.4. Označme i(t) proud v ampérech, který obvodem prochází v čase t. Napětí na indukto-ru, rezistoru a kapacitoru při průchodu proudu i(t) je postupně Li'(t), Ri(t) a tAt JQi(s) ds + u(0). Z druhého Kirchhoffova zákona dostaneme 1 ŕ Li'{t) + Ri(t) + - / i(s) ds + u(0) = 0 a po derivaci a úpravě Li" + Ri' + ^ i = 0 i" + yi' + -— i = 0. Označíme-li a = b = ^7^. dostaneme pro i rovnici (2.27). Všimneme si nyní podrobněji rovnice (2.27). Ta popisuje tzv. vlastní kmity lineárního oscilátoru. Charakteristická rovnice je A2 + 2aA + b2 - 0. 2.3 Ukázky aplikací rovnic vyšších řádů 79 L /YYY ~3r^í = o 1 ^ R Obr. 2.4: Elektrický obvod I. Jestliže a = 0, je A + b a obecné řešení má tvar . 0 ± V0 - 4o2 Ai,2 =---= ±tb y(x) = ci cos bx -f- C2 sin bx. Jde o tzv. harmonický lineární oscilátor. Vzorec obecného řešení je s ohledem na aplikace obvykle vhodnější upravit na jiný tvar. Je-li y(x) netriviální řešení, je c\ + c\ > 0 (aspoň jeden koeficient je nenulový), a tedy lze psát 2/0*0 cj + 4 Cl Zvolme -nyní úhel 97 tak, aby smtp = V 4 + 4 Cl cos bx + C2 sin bx cos 9? = c2 Takový úhel vždy existuje. Označme ještě A = y^cf + ef > 0. Pak y(x) — A(sin b2, je . -2a ± \/4a2 - 4ft2 r--- Ai,2 =---= -a ± \Jaz - V, což jsou reálné různé kořeny. Obecné řešení je y(x) = Cie(-°+V*2-«>2)*. + C2e(-a-^a*-b*)x_ 80 Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů Jde o neperiodické kmity, které nazýváme silně tlumené. III. Je-li a2 = b2, je -2a ± VÔ Ai,2 =---= -a, což je dvojnásobný reálný kořen. Obecné řešení je y(x) = (ci + c2x)e~ax. Jde o neperiodické kmity, které se nazývají kriticky tlumené. IV. Je-li a2 < b2, je Aj.,2 = —a ± i\/f>2 — a2, což je dvojice komplexně sdružených kořenů. Označíme-li \/fr2 — a2 = u? > 0, je obecné řešení tvaru y(x) = c\e~ax coswx + c2e_a:i: sincja;. Analogicky jako u harmonického oscilátoru lze tento výsledek upravit na tvar y(x) = Ae~ax sin(W + ip), A > 0. Jde o periodické kmity, který se nazývají slabě tlumené (ovšem sama funkce Ae~ax sin(cja: + y =—>~ o X Silně tlumené kmity Kriticky tlumené kmity Slabě tlumené kmity Obr. 2.5: Průběh řešení lineárního oscilátoru 82 Kapitola 3 Systémy obyčejných diferenciálních rovnic 3.1 Kvalitativní teorie Dosud jsme se zabývali jedinou diferenciální rovnicí o jedné neznámé funkci. V této závěrečné kapitole si všimneme případu n diferenciálních rovnic o n neznámých, kde n > 1 je přirozené číslo. Pro jednoduchost se omezíme jen na systémy v explicitním tvaru. Dále se omezíme na rovnice obsahující pouze první derivace neznámých funkcí, což, jak naznačíme níže v poznámce 3.1, není na újmu obecnosti. Uvažujme n funkcí fi(x, zi,..., zn), h(x,z1,...,zn),...,fn(x,zi,...,zn), které jsou definované na otevřené množině íl C Rn+1. Systémem n diferenciálních rovnic prvního řádu o n neznámých funkcích yi(x),..., yn(x) nazýváme soustavu tvaru y'i = fi(x,yi,y2,---,yn), y'i = f2(x,yi,y2,...,yn), . (3-1) y'n = fntx,y1,y2,...,yn)- Definice 3.1 Nechť (hi(x), fi2(x),..,, hn(x)) je n-tice funkcí definovaných na otevřeném intervalu J. Tato n-tice se nazývá řešením systému (3.1), jestliže každá funkce hi(x), i = 1,..., n, má derivaci na J, pro každé x € J je splněno (x, hi(x),..., hn(x)) E fl a platí 3.1 Kvalitativní teorie 83 h[ (x) = fi[x,hi(x),...,h„. (x)], h2Íx) = f2[x,hi(x),...,hn(x)], h'Áx) fn[x,hi(x),...,hn(x)] pro každé x € J. Zdůrazněme ještě jednou, že jedním řešením systému (3.1) je n-tice funkcí; za každou neznámou y i musíme dosadit jednu funkci h{(x). Dalším pojmem, který zavedeme, bude počáteční úloha. Definice 3.2 Nechť je dána (n + l)-tice (xq, ci, ..., cn) G O. Pak úloha najít řešení (yi(x),..., yn{x)) systému (3.1), které je definované na nějakém intervalu I obsahujícím xq a takové, že yi(x0) = ci, y2(xo) = c2, ..., yn{xQ) = cn, se nazývá Cauchyova počáteční úloha pro systém (3.1). V daném bodě x0 tedy předepisujeme hodnotu každé složky řešení. Zápis systému (3.1) je dost těžkopádný. Proto budeme používat následující vektorovou symboliku. Označme y = (s/i,• • -,yn)T a / = (/i,...,/n)T; zde T značí transponovanou matici, tj. řádek se mění na sloupec a naopak. Tedy / chápeme jako zobrazení Q do Rn, které (n+l)-tici čísel (x,yi,..., yn) — (x, y) přiřadí n-tici čísel f(x,y) = ( h(x,y) \ fn(x,y) ( h{x,yi,-.-,yn) \ \ fn(x,yi, ...,yn) ) Dále derivací matice, jejíž prvky jsou funkce, budeme rozumět matici, jejíž prvky jsou derivace prvků původní matice, tj. např. y'{x) = \ yn(x) J í y[(x) \ V Vn(x) J Nyní je možné systém (3.1) zapsat velice snadně jako y' = f(x,y). (3.2) 84 Systémy obyčejných diferenciálních rovnic Na obou stranách této vektorové rovnice jsou sloupce. Porovnáme-li jejich prvky, dostaneme právě systém (3.1). Všimněte si, že formálně vypadá zápis (3.2) jako jedna rovnice prvního řádu v explicitním tvaru — viz (1.2) na str. 2. To je obrovská přednost, která nesmírně usnadňuje zápis systémů diferenciálních rovnic. Podobně, označíme-li c = (ci,..., cn)T, lze Cauchyovu počáteční úlohu stručně zapsat takto: y' = f(x,y), y(x0) = c. (3.3) Dále si ukážeme, že diferenciální rovnici n-tého řádu v explicitním tvaru lze chápat jako speciální případ (3.1). Jde o rovnici y^ = f(x,y,y',...,y^). (3.4) Označme yi = y, 2/2 = 2/, ••■ ,2/n = ž/(n-1)- Platí tudíž y[ = y' = 2/2, 2/2 = y" = 2/3, = 2/(n-x) = yn, y'n = 2/(n) = / (s, y,y',..., j/(n 1]) = /(z,yi,2i(x)yi + • ■ ■ + a2n(x)yn + h(x), y'2 (3.6) y'n^i = an-ii(z)yi + ••• + an-ín(x)yn + bn-i(x), = anl(x)yi + ••• + ann(x)yn + bn(x) y'n se nazývá lineární systém obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu. Tento systém se nazývá homogenní, jestliže platí, že bi(x) = 0, i = 1,..., n. Pokud alespoň jedna funkce bi(x) není identicky nulová, nazývá se systém nehomogenní. Protože zápis (3.6) je velice komplikovaný, pokusíme se opět použít maticovou symboliku. Označme 1 au(x) . ■ ain(x) ~\ ( h(x) \ A(x) = '■ , B(x) = \ anl(x) . &nn{x) ) \ bn(x) J , y (x) = í ž/i (z) \ yn (x) 86 Systémy obyčejných diferenciálních rovnic Úplné řešení je tedy právě to řešení, jehož definiční obor již není možné zvětšit. Platí pro ně obdoba věty 3.2. Věta 3.3 Nechť f (x, y) je spojitá na íž. Pak pro každé (xq, c) GÍ2 má počáteční úloha y' = f(x,y), y{x0) = c alespoň jedno úplné řešení. Splňuje-li navíc fýx,y) v každém bodě Q lokálně Lipschitzovu podmínku, je toto úplné řešení jediné. Výsledky o úplném řešení lze podstatně prohloubit, avšak to je již mimo rámec těchto skript. Zájemce odkazujeme např. na práce [14, str. 22] nebo též [20, str. 36]. 3.2 Lineární systémy Tak jako ve druhé kapitole, i zde se omezíme na studium lineárních systémů. Jejich význam by bylo možné zdůvodnit podobně jako u jedné rovnice vyššího řádu — viz str. 51. I zde lze provést linearizaci, tj. nahradit pravé strany (3.1) totálním diferenciálem se středem v nějakém řešení a pak zanedbat zbytek. Detaily provádět nebudeme. Stejně tak by bylo možné hovořit o spojité závislosti řešení na počátečních podmínkách a parametrech. Literatura uvedená v kapitole 2 na str. 53 se týká převážně i systémů. A nyní již přejdeme ke studiu lineárních systémů. Systém tvaru = an(af)yi + • • • + o,in(x)yn + h(x), = a2i(x)y1 + • • • + a2n(x)yn + b2(x), (3.6) y'n^i = an-u(x)yi + ••• + an-ln(x)yn + 6n_i(x), y'n = «ni(*)l/i + •".+ a1in(x)yn + bn(x) se nazývá lineární systém obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu. Tento systém se nazývá homogenní, jestliže platí, že bi(x) = 0, i = 1,..., n. Pokud alespoň jedna funkce b{(x) není identicky nulová, nazývá se systém nehomogenní. Protože zápis (3.6) je velice komplikovaný, pokusíme se opět použít maticovou symboliku. Označme A(x) = f tiii(x) \ ani(x) ain(x) \ , B(x) = í yi(x) \ \ yn{x) ) 3.2 Lineární systémy 87 Matici A(x) budeme nazývat maticí koeficientů systému (3.6), B (x) sloupcem pravých stran a y(x) sloupcem neznámých. Nyní lze snadno ověřit, že (3.6) je ekvivalentní zápisu y' = A(x)y + B(x), (3.7) kde A(x)y značí součin dvou matic, + značí součet matic a derivace se provádí po složkách. Věta 3.4 Nechť maticové funkce A(x) a B(x) jsou spojité na otevřeném intervalu I. Pak pro každé Xo G / a c G Rn má počáteční úloha y' = A(x)y + B(x), y(x0) = c, právě jedno (úplné) řešení, které je definované na celém I. V dalším budeme automaticky předpokládat (pokud nebude výslovně řečeno jinak), že A(x) a B(x) jsou spojité. Pro lineární systémy rovněž platí princip superpozice. Důkaz je obdobný jako u jedné rovnice prvního řádu. Věta 3.5 Nechť yx(x) je řešení systému y' = A(x)y + Bi(x) a y2(x) je řešení systému y' = A(x)y + B2(x). Nechťci, c2 G R. Pak sloupec ciy^x^ + ^y^x) je řešení systému y' — A(x)y + cxBx(x) + c2B2{x). Všimněme si vztahu lineární diferenciální rovnice n-tého řádu a systému. Použijeme-li na rovnici y^ + an^(x)y^ + ■■■ + ax(x)y' + a0(x)y = b(x) (3.8) postup uvedený na str. 84, má systém odpovídající systému (3.5) tvar 2/2, y'x Vn-l = Vn Tedy A(x) 2/3, = -a0(x)y1 - ax(x)y2 - a2{x)y3 Vn, an-x(x)yn + b(x). (3.9) 0 1 o 0 1 o o o o 0 0 0 \ -a0(x) -ax(x) -a2(x) 0 1 -an_2(x) -an_i(x) ) 88 Systémy obyčejných diferenciálních rovnic B (x) = í o \ O Odpovídající systém (3.9) je tudíž rovněž lineární a velice speciálního tvaru. Naopak každému systému tvaru (3.9) odpovídá jedna rovnice n-tého řádu tvaru (3.8). V tomto smyslu jsou tedy (3.8) a (3.9) ekvivalentní. 3.2.1 Homogenní systémy Jde o systémy tvaru y'i o.n{x)y\ + ... + ain(x)yT tj. maticově y' = A(x)y. (3.10) y'n ~ o>m{x)y\ + ••• + ann(x)yn, Z věty 3.4 a z principu superpozice bezprostředně snadno vyplývá volbou B\(x) = B2(x) = 0 následující věta. Věta 3.6 Jsou-li yi(x) a y2{x) dvě řešení systému (3.10) a c E R, pak také yi(x) + y2{x) a cyx(x) jsou řešení tohoto systému. Tedy řešení systému (3.10) tvoří vektorový prostor. Jeho dimenze je n. Poznámka 3.2 Označíme-li áf zobrazení, které n-tici funkcí (ve sloupci) y(x) — (yi(x),..., yn(x))T majících spojité první derivace přiřadí novou n-tici funkcí y'(x) — A(x)y(x), tj. Jžf(y) = y' — A(x)y, snadno se ověří, že jde o lineární zobrazení vektorového prostoru V\ n-tic funkcí se spojitou první derivací do vektorového prostoru V2 n-tic spojitých funkcí. Tedy y(x) je řešení (3.10) právě tehdy, když Jž?(y) = 0, tj. když y je prvkem jádra Jzř. Předchozí věta říká, že defekt Jzf je n. Z věty 3.4 pak dále plyne, že ke každému spojitému sloupci B{x) E V2 existuje y(x) E V\ tak, že Jz?(y) = B(x). Tedy Jzř je zobrazení V\ na V2, tj. tzv. surjekce. Zvolme nyní nějakou bázi yx{x),..., yn{x) v prostoru řešení rovnice (3.10). Označme Vi(x) = (yu(x),y2i{x),... ,yni(x)y 1, ,n. Tuto bázi nazýváme fundamentální systém soustavy (3.10). Matice / yn(x) ■ ■. yin(x) \ Y(x) = \ ym{x) ynn(x) ) 3.2 Lineární systémy 89 sestavená ze sloupců Vi{x),..., yn(x), se nazývá fundamentální matice systému (3.10). Dále pro libovolnou n-tici řešení y1(x),..., yn(x) definujeme yu(x) ... yin(x) ynl(x) ... Vnn(x) Tento determinant nazýváme wronskián. Platí Věta 3.7 Buď je W(yt,..., yn) = 0 na I, nebo je W(yí,..., yn) ^ 0 na I. Tento výsledek dává smysl následující větě. Věta 3.8 Množina n řešení y1?..., yn systému (3.10) je lineárně nezávislá právě tehdy, když W(y1,.... yn) / 0 no J. K ověření této podmínky tedy podobně jako u rovnice n-tého řádu stačí ověřit, že v jednom konkrétním x,q e I je Wfy^xo),..., yn(xo)} ^ 0. Z předchozí věty dále plyne Věta 3.9 Fundamentální matice Y(x) je regulární, tj. existuje k ní inverzní matice Y~l(x). Z věty 3.6 dostáváme rovněž následující důležité tvrzení. Věta 3.10 Je-li y ^x),... ,yn(x) fundamentální systém soustavy (3.10), je obecné řešení (3.10) tvaru y(x) = cxyx{x) +----\-cnyn(x), cx,..., cn € R. (3.11) Označíme-li c— (c\,..., cn), lze obecné řešení zapsat ve tvaru y(x) = Y(x)c, (3.12) kde Y(x) je fundamentální matice. Zbývá tedy určit nějaký fundamentální systém. Bohužel, výsledek je obdobný jako u jedné lineární rovnice řádu n > 2. Obecně neumíme najít fundamentální systém složený z elementárních funkcí, i když koeficienty aij{x) jsou elementární funkce. Tuto úlohu jsme v podstatě schopni zvládnout, pokud jsou a;j(x) konstanty. Tím se budeme zabývat později. W(yi,...,yn) = 90 Systémy obyčejných diferenciálních rovnic 3.2.2 Nehomogenní systémy Jde o systém tvaru y' = A(x)y + B(x). (3.13) Použitím principu superpozice z věty 3.5 se snadno ověří (podobně jako v důkazu věty 1.7, která se týká jedné rovnice prvního řádu), že platí Věta 3.11 Nechť y i(x),... ,yn(x) je fundamentální systém homogenní soustavy y' = A(x)y a y0{xj je partikulární řešení systému (3.13). Pak obecné řešení systému (3.13) má tvar y(x) = ciyx{x) H-----V cnyn(x) + yQ(x), cu ..., cn € R. To lze maticově zapsat ve tvaru y(x) = Y(x)c + y0(x), kde Y(x) je fundamentální matice a c — (c±,..., cn)T. Opět tedy platí důležitý princip, se kterým jsme se již dvakrát setkali. Označme OŘHSLDR........obecné řešení homog. syst. lineár. dif. rovnic PŘHSLDR........partikulární řešení homog. syst. lineár. dif. rovnic OŘNSLDR........obecné řešení nehomog. syst. lineár. dif. rovnic PŘNSLDR........partikulární řešení nehomog. syst. lineár. dif. rovnic Pak OŘNSLDR=OŘHSLDR+PŘNSLDR Předpokládáme-li, že známe fundamentální systém příslušné homogenní soustavy, zbývá popsat, jak najdeme partikulární řešení nehomogenního systému. Univerzální metodou je znovu variace konstant. Variace konstant Myšlenka je obdobná jako u jedné rovnice, tj. nahradit v obecném řešení (3.11) konstanty ci,... ,cn vhodnými funkcemi K\(x),..., Kn(x) a najít partikulární řešení rovnice (3.13) ve tvaru y0(x) = Ktixjy^x) + ■■■ + Kn(x)yn(x). Dosadíme tento tvar do rovnice (3.13). K tomu nejprve určíme y'0(x). Vzhledem k tomu, že -derivace matice se provádějí po složkách, ověří se velmi snadno, že pro derivaci součtu a součinu dvou matic platí naprosto obdobné vzorce jako 3.2 Lineární systémy 91 pro derivaci součtu a součinu dvou funkcí. Podrobněji, jsou-li M(x) a N(x) dvě matice, které lze sečítat resp. násobit a jejichž prvky mají derivace, platí (M(x)+N(x))' = M'(x)+N'(x), (M(x)N(x))' = M'(x)N(x)+M(x)N'(x). Označme ještě K{x) = {Kx{x),..., Kn(x))T. Pak y0(x) = Y(x)K(x) y'0(x) = Y'(x)K(x) + Y(x)K'(x), kde ^(a?) je fundamentální matice. Po dosazení do (3.13) vychází Y'{x)K{x) + Y(x)K'(x) = A{x)Y{x)K{x) + B(x), tj. (vynecháme x) Y'K + YK' = AYK + B. Protože Y' — AY, je Y'K = AYK, a tedy K' musí splňovat rovnici YK' = B. Jelikož Y(x) je regulární, existuje inverzní matice Y~l(x), kterou vynásobíme předchozí rovnost zleva. Vyjde K'(x) = Y~\x)B{x). Chápeme-li integrál z matice opět tak, že ho provádíme po složkách, lze psát K{x) = JY~1{x)B{x)dx (3.14) (určíme jednu konkrétní primitivní funkci, tj. volíme např. nulové integrační konstanty). Pak y0(x) = Y(x) JY-\x)B{x)dx a obecné řešení rovnice (3.13) má tvar y{x) = Y{x)c + Y{x) jY-1(x)B(x)dx, (3.15) kde c je libovolný sloupec konstant. Postup budeme ilustrovat na příkladu. Nejprve však ještě uvedeme následující celkem samozřejmou poznámku. Poznámka 3.3 Co se týká praktického řešení počáteční úlohy (homogenního nebo nehomogenního systému), postupujeme jako u jedné rovnice, tj. nejprve najdeme obecné řešení a pak dosadíme počáteční podmínky a určíme konstanty, což vede na řešení lineárního algebraického systému rovnic, který má jediné řešení. 92 Systémy obyčejných diferenciálních rovnic Příklad 3.1 Ověřte, že yx(x) srn x cos x y-ž(x) cos x srn x x x x je fundamentální systém homogenní soustavy příslušné k Vl —---h 2/2 + 2 srn x, x 2/2 ^ Q x > °> 2/2 = -2/1--+ 2 cos x, X a najděte jeho obecná řešení. Řešení: Po dosazení do příslušných homogenních rovnic vyjde pro yx x smx (- x cos x — sin x x^ 1 sin x cos x ---+-. x x x ^ cos X ^' -x sm x — cos x x2 sin x 1 cos x XXX a pro y2 — cosx X x sin x + cos x x^ 1 / cosx\ sinx ---+-, x V x / x sinx x x cos x — sin x x2 _ ^ cos x j 1 sinx X x tedy yx i t/2 Jsou řešení homogenního systému. Označme Y(x) = smx x cosx X cos x sin x , B(x) 2 sinx 2 cosx x X Protože detY(x) sin2 x i cos2 a a;2 a:2 — 1 = A- ^ 0 pro x > 0, je Y(x) fundamentální matice. Dále vypočteme Y (x). Postupně máme (viz např. [32, str. 43]) / sinx cosx \ adj Y(x) x x cos x sin x x X 7 a tedy x sm x x cos x -xcosx xsinx 3.3 Lineární systémy s konstantními koeficienty 93 Nyní podle vzorce (3.15) určíme Y (x)B(x) = x smx -xcosx xsinx 2s'mx 2 cos a: 2x sin2 x + 2x cos2 x — 2x sin x cos x + 2x sin x cos x Tedy Y~l{x)B{x)dx Partikulární řešení má proto tvar f2xdx fOdx 2x 0 x2 0 yQ(x) = Y(x) JY-í(x)B(x)dx = a obecné řešení je y(x) = Y(x)c + yQ(x) = tj. / sm x x cos x cos x \ x sin a: V x 0 .2 x sm x xcosx x x / smx x cos x cosx \ x sinx V Cl C-2 xsmx xcosx x x smx cosx ?/i (x) = ci- — C2- + xsinx, y2{x) = ci x cosx x .x smx C2-— + xcosx, Ci, c2 € i?. 3.3 Lineární systémy s konstantními koeficienty Jak jsme se již zmínili, neumíme obecně najít fundamentální systém homogenní soustavy, pokud jsou koeficienty skutečně funkcemi x. V případě, že jde o konstanty, je situace výrazně příznivější, neboť jsme schopni v podstatě efektivně najít fundamentální systém (až na problém nalezení kořenů polynomů). Uvažujme tedy systém = oiiž/i + • • • + aínyr. ani ž/i + • • ■ + annyn, tj. maticově y' — Ay, (3.16) kde A je konstantní matice. Ke standardním metodám patří postup založený na Jordánově12 kanonickém tvaru matice, který ovšem vyžaduje znalost 12Marie Edmond Camille Jordán (1832-1922) (čti žordan) — významný francouzský matematik. Zabýval se matematickou analýzou, algebrou, teorií funkcí, topologií, krystalografií, kinematikou, stabilitou, geometrickou pravděpodobností, teorií čísel a diferenciálními rovnicemi. Jeden z tvůrců moderní matematiky. 94 Systémy obyčejných diferenciálních rovnic Weierstrassovy teorie elementárních dělitelů. Dále je to postup využívající normální systém vektorů matice, který vyžaduje znalost Weyrovy14 teorie a Weyrových charakteristik. Jak teorie elementárních dělitelů, tak jí ekvivalentní Weyrova teorie patří do lineární algebry a jde o relativně složité výsledky. Jejich znalost je mimo rámec běžných znalostí, které inženýři z této oblasti mívají. Z toho důvodu úplný popis obecného řešení systému (3.16) činí potíže. My si ukážeme nejprve tzv. eliminační metodu, která je sice co do algoritmu jednoduchá, ale nedají se dost dobře teoreticky popsat komplikace, které mohou nastat. Proto se pro větší systémy nehodí. Dále si všimneme metody využívající normální systém vektorů, ale jen ve speciálních případech. V posledních letech se objevily nové, velice účinné metody, které bohužel zatím nejsou příliš rozšířené. Lze říci, že jsou jednodušší než výše zmíněné metody (mají podstatně menší nároky na znalosti hlubších partií lineární algebry). Jsou vesměs založeny na Cayleyově15-Hamiltonově16 větě. My si uvedeme alespoň jednu velmi elegantní ukázku. 3.3.1 Eliminační metoda Tato metoda je použitelná i na nehomogenní systémy tvaru Ví - «112/1 + •■• + ainVn + ai(x), : (3.17) Vn = aniVi + ■•■ + annyn + an(x), kde ciij jsou konstanty a oti(x) jsou funkce, mající dostatečný počet derivací. Princip spočívá v tom, že se systém n rovnic prvního řádu převede na jedinou lineární rovnici n-tého řádu (s konstantními koeficienty). Naznačíme si nyní postup. I. Zvolíme jednu rovnici v (3.17), např. první, a tu zderivujeme. Vyjde y'{ = anž/í H----+ ainVn + a[(x). Do pravé strany této rovnice dosadíme za y[,..., y'n ze (3.17). Po úpravě dostaneme nějakou rovnici tvaru y'l - biV\ H-----I- bnyn + p(x), h e R, i = l,...,n. 13Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897) (čti vajrštras) — významný německý matematik. Zabýval se matematickou analýzou, analytickými funkcemi, variačním počtem, diferenciální geometrií a lineární algebrou. Jeden z největších matematiků všech dob. 14Eduard Weyr (1852-1903) (čti vejr) — český matematik. Zabýval se projektivní geometrií křivek a ploch, algebrou, teorií matic a matematickou analýzou. 15Artur Cayley (1821-1895) (čti keli) — anglický matematik. Zabýval se algebrou, algebraickou geometrií a teorií invariantů. Zahájil rozpracování teorie matic. 16William Rowan Hamilton (1805-1865) (čti hemilton) — irský matematik. Zabýval se matematickou optikou, mechanikou a variačním počtem. Vymyslel kvaterniony a zavedl pojem vektor. Pracoval též v geometrii, algebře a diferenciálních rovnicích. Ve 13 letech mluvil obstojně třinácti jazyky. 3.3 Lineární systémy s konstantními koefícienty 95 II. Získanou rovnici opět zderivujeme, tj. dostaneme rovnici y»> = blyll + ... + bny>n + P'(x)r a do ní znovu dosadíme ze (3.17) za y'x,..., y'n. Vyjde 2/i = cií/i + • • • + CnVn + -y(x), Ci G R, i = 1,...,n. III. Tento postup opakujeme, až dostaneme rovnici 2/i = di2/i + • • • + dnyn + 8(x), d; G R, i = l,...,n. IV. Nyní máme soustavu rovnic tvaru Ž/í = «ii2/i + ■ • ■ + alnyn + a(x) y'x = hyi + ■■■ + bnyn + p(x) (3.18) 2/i = ^i2/i + •■• + dnyn + ó(x). Z tohoto systému postupně vyloučíme neznámé y\,..., yn, a to tak, že nejprve z první rovnice v (3.18) vypočteme např. y2 a dosadíme do zbývajících rovnic. Tím se počet rovnic o jednu sníží a nebude zde již y2. Nyní opět z první ze zbývajících rovnic, tj. z té, která obsahuje y", vypočteme např. 2/3, dosadíme do ostatních atd. Nakonec nám vyjde jedna rovnice n-tého řádu pro y\(x). Najdeme obecné řešení této rovnice, které bude obsahovat n konstant. V. Obecný tvar y\{x) dosadíme do levých stran v (3.18) a ze vzniklých rovnic již pouze algebraicky vypočítáme y2(x),..., yn(x). Úskalím této metody je, že v kroku IV. se může stát, že nedojdeme až k y[n\ ale již dříve nastane situace, kdy všechny neznámé y2, ■ ■ ■ ,yn se vyruší. Tedy pro yi(x) tudíž dostaneme rovnici nižšího řádu než n. Její obecné řešení bude proto obsahovat méně než n konstant. Pak nezbývá než dosadit yi(x) do (3.17) a obdobně jako pro yi(x) vytvořit z těchto rovnic diferenciální rovnici pro y2(x). To se může několikrát opakovat. Musíme pokračovat tak dlouho, až dostaneme n integračních konstant. Jinými slovy, může se stát, že se systém nepodaří převést na jednu rovnici n-tého řádu ale na několik rovnic nižších řádů (součet jejich řáduje ovšem n ). Je obtížné popsat, kdy tato situace nastane. Souvisí to jednak s tím, pro kterou neznámou budeme vytvářet diferenciální rovnici a zda jsou některé složky vlastních vektorů (viz níže) v řádku odpovídajícím zvolené neznámé nulové, jednak se strukturou normálního systému vektorů. Příklad 3.2 Najděte obecné řešení systému y'i = %x - 3-Í/2 4- sinx, y'2 = 2yi - i/2 - 2cosx. 96 Systémy obyčejných diferenciálních rovnic Řešení: Vytvoříme např. rovnici pro y\. Derivací první rovnice vyjde y" = %í - + cos x . , s. %cí ru~ - - - a tedy 'broaltP y » - Ti y'{ = 4(4yi — 3j/2 + sinx) — 3(2yi — y2 — 2cosx) + cos x = = ICh/i — 9í/2 + 4 sin x + 7 cos x. Ze systému á> yi = - 3y2 + sinx, ^ ig, y'{ = 10yi - 9y2 + 4sinx + 7cosx . .. } ' ' nyní vyloučíme y2. Odečteme-li trojnásobek první rovnice od druhé, dostaneme I y'{ — Sy'i = — 2yi+sinx + 7cosx ==> y'[ — 3y[ +2yi = 7cosx-fsinx. (3.20) Charakteristická rovnice je l2 OA n n . 3±y/9^8 3±1 í 1 A2-3A + 2 = 0^ Alj2=-^-= —= {2 • Obecné řešení rovnice (3.20) je y(x) = cxex + c2e2x. Partikulární řešení budeme hledat ve tvaru yo (x) = a cos x + 6 sin x. Je y'0 = — a sinx + 6 cos x =í> yó' — — a cos x — 6 sin x a po dosazení do (3.20) máme —acosx — b sinx + 3a sin x — 36 cos x + 2a cos x + 26 sin x = 7 cos x + sinx, (a — 36) cos x + (3a + b) sin x = 7 cos x + sin x. Tedy musí platit a - 36 = 7 „ , , , => a = 1, 6 = -2. 3a + o — l Celkově ;yi(x) = c\ex + c2e2x + cos x — 2 sin x. 3.3 Lineární systémy s konstantními koefícienty 97 Dosazením za yi(x) do první rovnice v (3.19) určíme y2(x). Vyjde Ciex + 2c2e2x — sin x — 2 cos x = = 4c1ex + Ac2e2x + 4 cos x - 8 sin x - 3y2 + sin x, tj- 2 y2(x) = c\ex + -c2e2x + 2 cos re — 2sinx. Maticově výsledek zapíšeme takto: / \_( c\ex + c2e2x + cosx — 2sinx \ V^X'~\ ciex + §c2e2x + 2cosx-2sinx ) ~ f l \ x , / 1 \ 2í , / cosx —2 sin x \ = Cl(l )e +CH| J6 +Ucosx-2sinx J" Tedy fundamentální systém homogenní soustavy je yi = (ex,exf, y2 = {e2x2-e2x)T a partikulární řešení nehomogenního systému je y q = (cos x — 2 sin x, 2 cos x — 2 sin x)T. \ Příklad 3.3 Najděte obecné řešení systému VÍ. = — 3ž/i + 4y2 - 22/3, 2/2=2/1 + s/3, 2/3 = 62/i - %2 + 5y3. Řešení: Vytvoříme rovnici pro y\. Derivujeme první rovnici a po dosazení vyjde I/i =-3yí + 4yi-2y£ = = -3(-3?/i + 4y2 - 22/3) + 4(x/i + 2/3) - 2(62/1 - 63/2 + 5y3) - 2/1. Pro yi tedy dostáváme (ani není třeba psát systém (3.18) a provádět eliminaci), že y" - 2/1 - 0. Charakteristická rovnice A2 — 1 = 0 má kořeny Aii2 = ±1 a obecné řešení má tvar t/l (x) = cxex + c2e~x. Po dosazení do první rovnice máme ciex - c2e~x = -3ciex - Sc2e~x + 4y2 - 2y3 98 Systémy obyčejných diferenciálních rovnic a odtud 2/3 = 2t/2 - 2cľex - c2e~x. Z druhé rovnice pak vyjde y'2 = ctex + c2e~x + 2y2 - 2cxex - c2e~x =>■ y2 = 2y2 - cxex. To je lineární rovnice prvního řádu. Charakteristická rovnice je A — 2 = 0, tj. A = 2, a obecné řešen' homogenní rovnice je y = c3e2x. Dále určíme partikulární řešení nehomogenní rovnice. Pravá strana — c\ex je typu konstanta krát exponenciála, přitom číslo +1 není kořenem charakteristické rovnice. Řešení lze proto najít ve tvaru y0 = aex. Po dosazení vyjde aex = 2aex — c\ex =^ a = 2a — ci =í> a — c\. Obecný tvar y2 je tudíž 1/2 (z) = c3e2x + cxex. Zbývá určit algebraicky y3. To lze např. z druhé rovnice zadání, odkud ihned vyjde 1/3=2/2-2/1 = 2c3e2a; + Cie* - Ciex - c2e~x = -c2e~x + 2c3e2x. Maticový zápis je cxex + c2e~x y(x) = | c\tx + c3e2x - c2e~x + 2c3e2x Poznámka 3.4 Jak se můžete snadno přesvědčit, v předchozím příkladu by při osamostatnění kterékoliv neznámé došlo k „rozpadnutí" na jednu rovnici druhého řádu a jednu rovnici prvního řádu. Je snadné si představit, že u systému s větším počtem neznámých by se za této situace stala eliminační metoda velmi nepřehlednou a pracnou. 3.3.2 Užití normálního systému vektorů V předchozích dvou příkladech bylo vidět, že systémy měly za řešení výrazy typu y — zeXx, kde z byl sloupec konstant. Pokusme se ověřit, kdy má systém y' = Ay (3.21) 3.3 Lineární systémy s konstantními koefícienty 99 řešení tohoto tvaru. Po dosazení dostávame (snadno se po složkách ověří, že platí běžná pravidla pro derivování) (zeXx)' = AzeXx => XzeXx = AzeXx =► Az = Xz, neboť eXx # 0. To však znamená, že A musí být vlastní číslo matice A a, z k němu příslušný vlastní vektor — viz např. [24]. Problémem je, zda je možné najít dostatečný počet řešení tohoto tvaru tak, aby tvořila fundamentální systém. To úzce souvisí s otázkou, zda je možné z vlastních vektorů matice A vytvořit bázi v Rn. Překážkou může ovšem rovněž být, že některá (dokonce všechna) vlastní čísla matice A mohou být komplexní, i když prvky A jsou reálná čísla. Všimneme si nejprve tohoto úskalí. Jestliže A G C\R je vlastní číslo matice A, pak vzhledem k tomu, že charakteristický mnohočlen matice A má reálné koeficienty, je i A vlastní číslo A (pruh značí komplexně sdružené číslo). Dále se snadno ověří, že jestliže z je vlastní vektor odpovídající A (kde složky z jsou obecně komplexní čísla), je ž vlastní vektor odpovídající A (složky ž" jsou čísla komplexně sdružená ke složkám z). Dále je možné bez obtíží ověřit, že teorie, kterou jsme uvedli pro lineární systémy prvního řádu, může být v případě komplexních koeficientů bez problémů přenesena do komplexního oboru. Přesněji řečeno, nezávisle proměnná x zůstává reálná, ale hodnoty funkcí yi{x) jsou komplexní čísla. Přitom derivaci provádíme zvlášť z reálné a zvlášť z imaginární složky. Zbývá ještě vyjasnit, co budeme rozumět exponenciálou z komplexního čísla. Nechť A = a + 0i, a, (5 e R, je komplexní číslo. V teorii komplexních funkcí komplexní proměnné se odvozuje tzv. Eulerův vztah _____- Označme a Sz reálnou a imaginární část komplexního čísla z (u vektorů budeme opět chápat po složkách). Platí » z+ž o z~z 2 ' 2«' tj. 3? z i Q z je lineární kombinací z až. Nyní můžeme shrnout: Je-li A 6 C \ R vlastní číslo matice A, jemuž přísluší vektor z, má systém (3.21) dvojici řešení y1 = zeXx, y2 = žeXx, a tudíž má i řešení yi = ^±^=XzeXx a y2=yi_h = zze^. 100 Systémy obyčejných diferenciálních rovnic Důležité je, že yx a y2 již mají reálné složky. Např. systém y[ = 2i/i - 3t/2, a y'2 = 3y, + 2y2 :: /+ má charakteristický mnohočlen [E je jednotková matice) (3.22) \A-\E\ = Jeho kořeny jsou 2 - A -3 3 2-A = (2-A)2+ 9 = A2-4A + 13. 4 ±^16 - 52 4ÍÍV36 Najdeme charakteristický vektor z = (z%, z2)T příslušný Ai. Pro něj musí platit -3iz\ — 3z2 = 0, 3zi — 3iz2 = 0. Druhá rovnice je ž-násobkem první. Zvolíme-li např. z% — 1, vyjde 22 = —i, tj. z = (1, — i)T. Máme tudíž řešení ý\ = zeXlX 1 ,(2+3í)a 2 -? 1 4.? 9 1 -> e (cos 3x + i sin 3x) = e2a: cos 3x + ie2x sin 3x e2x sin 3a; — ze2a; cos 3x J Z něho dostaneme dvojici reálných řešení Ví = ^Vi = e2x cos 3x e2x sin 3x y2 = sj/j. = e2a: sin 3x -e2:c cos 3a; Nyní již můžeme zformulovat příslušnou větu. Věta 3.12 Nechť Ai,..., An jsoíí vlastní čísla matice A (mohou být i stejná) a zi,... ,zn jsou k nim příslušné vlastní vektory. Předpokládejme, že tyto vektory jsou lineárně nezávislé. Pak sloupce Vl = ZleXíX, y2 = z2ex*x,..., yn = znex"x tvoří fundamentální systém soustavy (3.21). Přitom dvojice komplexně sdružených řešení je možné výše popsaným způsobem nahradit dvojicemi reálných řešení. Předpoklad o nezávislosti vlastních vektorů je zejména splněn, jsou-li vlastní čísla navzájem různá. 3.3 Lineární systémy s konstantními koeficienty 101 Použití věty budeme ilustrovat na příkladech. Příklad 3.4 Najděte obecné řešení systému y'i = Ví + ž/3, = V\ + Ž/3, yi + ž/2- y's Řešení: Charakteristická rovnice je \A-\E\ = -A 1 1 1 -A 1 1 1 -A = -A3 + 3A + 2 = 0. Celočíselný kořen může být pouze mezi čísly ±1, ±2. Snadno se ověří, že Ai = —1. Po vydělení kořenovým činitelem A + 1 vyjde kvadratická rovnice A2 — A — 2 = 0, která má kořeny A2 = —1, A3 = 2. Nyní najdeme vlastní vektory příslušné dvojnásobnému kořenu Aij2 = —1. í/é>(f-Jr: Pro z = (zi, z3)T dostaneme systém (A + E)z — 0, tj. zi + z2 + z3 = 0, zi + z2 + z3 = 0, zi + z2 + z3 = 0, Jde vlastně o jednu rovnici o třech neznámých. Její obecné řešení je z3 = t, z2 = s, zx = -t-s, t, s e R. Volbou t = 0, s = — 1 resp. í = — 1, s — 0 dostaneme dvě nezávislá řešení zi = (i, -i, o)T, *2 =,(i,o,-i)y Kořenu A3 = 2 odpovídá systém (A — 2E)z = 0, tj. -22i + z2 + z3 = 0, Zi - 222 + ^3 = 0, z\ + «2 — 2z3 = 0. Gaussovou eliminační metodou vypočteme 2 1 1 °Y i i 1 1 -2 1 o ~ 1 0 -3 3 ° 1 1 -2 0/ 1 V o 3 -3 -2 1 1 0 -1 1 Její obecné řešení je Z3 = t, z2 = t, zi = t, t e R. 102 Systémy obyčejných diferenciálních rovnic Volbou t — 1 dostaneme z3 — (1,1,1)T. Obecné řešení naší soustavy je 2x y = cizie ■L+c2z2e " + c3z3e' = r i ^ í 1 \ cl -i e~x + c2 ° 1 x o ; -1 / Tedy Ví c\e e x +c3 + c2e x + c3e2x, 2/2 = -cie 2/3 = c2e" + c3e2x, + c3e2x. Příklad 3.5 Najděte obecné řešení systému (3.22). Řešení: Na str. 100 jsme nalezli dvě řešení, která podle věty 3.12 tvoří fundamentální systém. Proto obecné řešení má tvar Vx = cie2xcos3x + c2eZx sin 3a;, y2 — c\e2x sin 3a; — c2e2x cos 3a;. y = cií/i + c2y2, tj. Podstatně komplikovanější situace nastává, když není možné vytvořit bázi z vlastních vektorů. K tomu dojde, když algebraická násobnost některého vlastního čísla A (tj. násobnost tohoto čísla jako kořenu charakteristické rovnice) je ostře větší než jeho geometrická násobnost (tj. počet parametrů, které vyjdou při řešení systému (A — XE)z = 0) — viz [24, str. 193]. V tomto případě je třeba doplnit nezávislou soustavu vlastních vektorů na tzv. normální systém,; což je relativně obtížné. Zájemce odkazujeme např. na [31], kde lze najít početní algoritmus, nebo na [24]. Vyčerpávající výklad včetně důkazu věty o fundamentálním systému lze najít v [2]. My si pouze naznačíme postup (předpokládá se, že čtenář zná pojem normálního systému vektorů). Nechť A je vlastní číslo, k němuž přísluší /c-členný řetězec tzv. 'zobecněných vlastních vektorůjzi,..., zk\ platí tedy (A- XE)zk = zk_u (A- XE)z2 = zu (A-XE)Zl = 0, tj- z\ je vlastní vektor. Pak k sloupců yx = zxeXx, y2 = (xzx + z2)eAx', y3 i . i '--------- —~- — ■■< y zi + xz2 + z3\ eAx, . í/fc = In/ i \ •-) -í 1 /rxr , V/ I fc-1 21 + a; fc-2 (ifc-1)! (fc-2)! ' z2 H-----h zfc e „Aa; K? \ *~ Z. \ ^ i i * •? i t -A \ C- ! -o l 3.3 Lineární systémy s konstantními koefícienty 103 tvoří lineárně nezávislá řešení soustavy (3.21). Lze dokázat, že systém sloupců, který sestavíme tímto způsobem ze všech řetězců zobecněných vlastních vektorů, tvoří fundamentální systém soustavy (3.21). Rovněž lze použít náhradu dvojice komplexně sdružených řešení dvojicí reálných řešení (postup je analogický obratu, který jsme si uvedli na str. 99). Všimněte si,že tato metoda připomíná situaci s násobnými kořeny u lineární rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty — viz str. 59. Tam však bylo řešení podstatně jednodušší. Příklad 3.6 Najděte obecné řešení systému y i = 17?/! + 9y2, y'i = -252/1 - 13y2- Řešení: Charakteristická rovnice je \A-\E\ = 17- A 9 -25 -13 - A A2-4A + 4 = (A-2)2 = 0. Ta má dvojnásobný kořen Ai)2 = 2. Pro vlastní vektor z = (zi,z2)T máme soustavu (A — 2E)z = 0, tj. 15*i + 9z2 = 0, —25zi — 15z2 = 0. Protože jedna rovnice je násobkem druhé, je její obecné řešení tvaru z2 = t, z\ — -|t, t e R. Volbou t = 5 vyjde zx = (-3,5)r. Další nezávislý vlastní vektor nemáme. Pokusíme se tedy najít zobecněný vlastní vektor, který bude řešením soustavy (A - 2E)z2 = z%, tj. 15zi + 9z2 = -3, —25zx — 15z2 = 5. Rovnice jsou opět lineárně závislé a jejich obecné řešení je z2 = t, zx — ~l^3t • Volbou t = 3 vyjde z2 = (—2, 3)T. Fundamentální systém bude 2x _ I _3 \ 2x „, _ /■ 1 _ \2x _ ( —3x — 2 \ 2a a obecné řešení má tvar yx = -3cxe2x - (3x + 2)c2e2x, y2 = 5Cle2x + (5x + 3)c2e2x. 3.3.3 Výpočet exponenciály matice Všimněme si systému (3.21), když n = 1, tj. když jde o jedinou rovnici tvaru y' = Ay, kde A je číslo. To je homogenní lineární rovnice, kterou řešíme jako rovnici se separovanými proměnnými. Tedy — = Ay => m|y| = Ar + lne y(z) = ce'4x. 104 Systémy obyčejných diferenciálních rovnic Tedy fundamentální „matice" (je jednorozměrná) je eAx. Ukazuje se, že i v obecném případě je možné zapsat fundamentální matici ve tvaru exponenciály, je však třeba nejprve vhodně definovat, co exponenciální funkcí z matice budeme rozumět. Vyjdeme ze známého rozvoje funkce eť, ŕ G R, do Taylorovy řady. Platí t t t2 ŕ n=0 Dosadíme do této řady za t formálně matici Ax. Vyjde (za 1 dáme jednotkovou matici E): ^ (Ax)n „ Ax A2x2 A3x3 n=0 Dostáváme nekonečnou řadu matic. Ta představuje po složkách n2 nekonečných řad funkcí jedné reálné proměnné. Lze ukázat, že všechny tyto řady jsou konvergentní pro každé x G R. Jejich součty vytvoří po složkách novou matici, která se označuje e^x. Ta je definovaná pro každé x G R a platí (eAx)' = AeAx, kde derivaci provádíme jako normálně po složkách. Z předchozího vztahu bezprostředně plyne, že sloupce matice eAx tvoří řešení systému (3.21). Navíc zřejmě eA0 _ 2^ tj. tyto sloupce jsou lineárně nezávislé (pro x = 0 a tudíž podle věty 3.7 pro každé x G R) a představují tedy fundamentální systém. Matice e^x je pak fundamentální maticí systému (3.21), která je v nule rovna jednotkové matici. Máme tedy velice elegantní a stručné označení fundamentální matice systému (3.21). Tento zápis má ale i další přednosti. Pro libovolné čtvercové matice C a D, které jsou zaměnitelné (tj. CD = DC), totiž platí C D C + D D C Odtud volbou C = Ax, D — — Ax plyne eAxe-Ax = eO = E ^ (eAx) 1 =e-Ax_ Tedy inverzní matice k exponenciále z Ax je exponenciála z — Ax. Použijme tento výsledek na variaci konstant. Ze vzorce (3.15) dostaneme y(x) = eAxc + eAx Je AxB(x) dx. 3.3 Lineární systémy s konstantními koefícienty 105 Pokusme se vzorec upravit tak, aby dával přímo řešení počáteční úlohy s počáteční podmínkou y(#o) = Uq- Za tím účelem zapíšeme sloupec konstant c ve tvaru e~ x°yQ a zvolíme tu primitivní funkci k e~AxB(x), která je v Xq rovna nulovému sloupci, tj. / e~AsB(s) ds. Vyjde Jxr, y(x) = eAxe-Ax°y0 + eAx !\-AsB{s) ds = = eA(x-x0)yo+ í\A(x J XQ s) B{s) ds. (3.23) Poznámka 3.5 Pro čtenáře obeznámeného s Laplaceovou transformací je vhodné připomenout, že vztah (3.23) má značný význam v teorii systémů, které jsou popsané soustavou lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty. Zde B{x) má většinou charakter vstupu. Obvykle se zde předpokládá, že xq = 0, y(xo) = y0 = 0 (systém je na počátku v klidu) a x > 0. Pak y(x)= fXeA(x's)B(s)ds. Jo Integrál na pravé straně má tvar konvoluce. Pro Laplaceův obraz potom platí áf{y(x)} = <č{eAx * B(x)} = JŽf{eAx} • Jf{B(x)}; zde * značí konvoluci. Matice Jž?{eAx} se nazývá přenosová. Tedy Laplaceův obraz výstupu je roven součinu přenosové matice a Laplaceova obrazu vstupu. Vraťme se však k otázce nalezení explicitního tvaru eAx. Existuje řada postupů, jak definovat a vyčíslit funkce (ne jen exponenciálu) z matic — viz např. [4, str. 83-99]. Matici eAx lze např. určit tak, že najdeme dosud uvedenými metodami fundamentální systém soustavy (3.21), pro nějž platí Vi(0) ( 1 \ 0 V o ) Va(0) / 0 \ 1 V0 / y»(o) / o \ o V i 7 Odpovídající fundamentální matice tvořená těmito sloupci je vzhledem k jednoznačnosti řešení počáteční úlohy právě eAx. Existují však i elegantnější metody, založené na následující větě. Věta 3.13 (Cayley-Hamilton) Jestliže A je libovolná čtvercová matice a ci = 0, c2 = 0, c3 = 2c3-2c2+ci = 1 Hledané řešení je 2 y(x) = \x2e-x y'(x) = (a; - 5* V. y"(x) = (1 - 2x + ^V- Dále určíme *i(:r)\ /331\ / Jaré- \ /(l + x+k2)e" 22(a?) = 310 (x-\x2)e'x = (x + x2)e-:c 23(x)/ \1 0 0/ \(i-2x+|a;2)e-xy \ I^e— Konečně vypočítáme 4 -4 Tedy (l+x+ lx2)e-x j Q j Q I + (a: + X2)^* í 1-2 2 + + \x2e~x Obecné řešení má tudíž tvar 2/1 = [c\(l - x) + c2x - 2c3x]e' y2 = [cix + c2(l - x) + 2c3x]e~ y3 - [cix - c2x + c3(l + 2x)]e~ 108 Systémy obyčejných diferenciálních rovnic 3.3.4 Metoda neurčitých koeficientů K nalezení partikulárního řešení nehomogenní rovnice máme univerzální metodu variace konstant. Ta je však někdy dost pracná. U lineárních rovnic n-tého řádu s konstantními koeficienty jsme viděli, že je v případě speciálního tvaru pravé strany možné najít partikulární řešení mnohem snáze metodou neurčitých koeficientů. To lze udělat i u systému tvaru kde A je konstantní matice a prvky B(x) jsou kvazipolynomy. Všimneme si postupně některých speciálních případů. Věta 3.15 Necht B (x) je sloupec, jehož složky jsou polynomy stupně nejvýše m. Nechť nula je k-násobný kořen charakteristické rovnice matice A. Pak existuje partikulární řešení systému (3.24), jehož složky jsou polynomy stupně nejvýše m + k. Poznámka 3.6 i) Platí, že k = 0 právě tehdy, když det i^O. ii) Číslo k by šlo obecně zmenšit. Lze za něj volit násobnost čísla nula jako kořene tzv. minimálního polynomu — viz např. [2, str. 93], který má stejné kořeny jako charakteristický polynom, ale jejich násobnost je stejná nebo menší než u charakteristického polynomu. Je to nenulový polynom 'tp(X) nejmenšího stupně, pro nějž ifi(Á) = 0. Není však příliš snadné určit minimální polynom a navíc v elementárním kursu matic nejsou studovány jeho vlastnosti (pokud je vůbec zaveden). iii) Všimněte si, že na rozdíl od jedné rovnice vyššího řádu nelze u systémů předpokládat, že složky řešení jsou tvaru xkPm(x), kde Pm(x) je polynom stupně m. V řešení mohou být s nenulovými koeficienty i nižší mocniny než k-té. iv) Věta platí, i když prvky A a popřípadě koeficienty polynomů ve složkách B(x) jsou komplexní čísla. Příklad 3.8 Najděte partikulární řešení systému Sloupec obsahuje nejvýše lineární polynom, tedy m = 1, k = 0. Musí proto existovat řešení tvaru y' = Ay + B(x), (3.24) y[ = 2yt - 3í/2 + x, y'2 = 2/i + 42/2 - 1. Řešení: Je det A 2 1 2/i = ax + b, 2/2 = cx + d Vi = a, 2/2 = c- 3.3 Lineární systémy s konstantními koefícienty 109 Po dosazení dostaneme a = 2(ax + 6) - 3(cx + d) + x x(-2a + 3c) + a - 26 + 3d = x, c = ax + 6 + 4(cx -h cř) — 1 x(-a - 4c) - 6 + c - 4d = -1. Porovnáním koeficientů vyjde -2a + 3c = 1 -a-4c = 0 4 20 1 , 28 o = ——-, c = —, a a-26 + 3d = 0 11' 121' 11' 121 -6 + c-4d = -1 Partikulární řešení tedy je 4 20 1 28 Ví = -77 x+ t^t, 2/2 = 773: + 11 121' " 11 121 Podobně lze postupovat, když B(x) obsahuje exponenciály nebo siny a kosiny. Vzhledem ke značné komplikovanosti výpočtů však obvykle postupujeme jinak. Věta 3.16 Nechť sloupec pravých stran je tvaru eaxPm(x), kde a G C a složky sloupce Pm(x) jsou polynomy stupně nejvýše m. Pak substituce y = eaxu převede systém y' = Ay + eaxPm(x) v nehomogenní systém, kde složky sloupce pravých stran jsou polynomy stupně nejvýše m. Důkaz: Protože y'(x) = {eaxu(x))' = aeaxu{x) + eaxu'{x), vyjde po dosazení aeaxu + eaxu' = Aeaxu + eaxPm(x), z čehož po úpravě a vykráčení výrazem eax ^ 0 vyjde u'= (A-aE)u +Pm(x). (3.25) Příklad 3.9 Najděte partikulární řešení systému Vi = Vi ~ 22/2 + ex, y'2 = yi + 2y2 + xex. Řešení: Substitucí y = exu přejde podle věty 3.16 náš systém v systém (3.25), tj. u'j = - 2u2 + 1, u2 = u\ + u2 + x. 110 Systémy obyčejných diferenciálních rovnic Ten má podle věty 3.15 (m = 1, k — 0) řešení tvaru u\ = ax + b, u2 = cx + d ==> tt^ = a, u'2 = c a po dosazení vychází a = -2(car + d) + 1, c = ax + b + cx + d + x. Porovnáním koeficientů dostaneme 2c = 0 ~alu=l a==~1' 6sí-1' C = °' d=L -6-d=0 Tedy u\ — —x — 1, ii2 = la partikulární řešení daného systému je yi = -(x + l)ex, y2 = ex. Nakonec si všimneme případu se siny a kosiny. Užitím předchozí věty a Eu-lerova vzorce se snadno odvodí následující tvrzení. Věta 3.17 Nechť a, P E R a P (x) je sloupec, jehož prvky jsou polynomy. Je-li y — Vi + iy2 řešení systému y' = Ay + P(x)e(a+^x, je yx = %ly řešením systému y' = Ay + P{x)eax cos fix a y2 — 9 y je řešením systému y' = Ay + P(x)eax sm(3x. Příklad 3.10 Najděte partikulární řešení systému VÍ = V2 + cosx, y2 = vi - V2- o ***** Řešení: Položme a — 0, j5 = 1, P{x) = (1,0)T. Podle věty 3.17 budeme řešit systém .. y[= y2 + éx, - • ' " y'2 = vi - yi- Nyní zavedeme podle věty 3.16 substituci y = uelx. Systém (3.25) má tvar u'x = —iui + u2 + 1, u'2 = «1 - (1 + i)tí2. 3.3 Lineární systémy s konstantními koeficienty 111 Ten má podle věty 3.15 (m = 0, k = 0) řešení tvaru «i = a, ii2 = b, a, b E C. Po dosazení vyjde 0 = -ia + b + 1, 0 = a - (l + i)b. Z druhé rovnice dosadíme a — (1 + i)b do první a dostaneme o = -i(i + i)b+b + i =» b = —. = —,—^— _2_i K ' 2-i (2-ť)(2 + «) 5 5 1 3 Pak a — (1 + i)b =----z. Proto 5 5 Ul = + 3i)eia:, w2 = --(2 + zV*. 5 0 Pomocí Eulerova vztahu vyjde Wi = —1(1 + 3i)(cosx + isinx) — cos x + | sin x + i (—| cos x — | sinx) , «2= —1(2 + z)(cosx + isinx) = -| cos x + | sinx + i (— | cos x - | sinx). Vypočteme reálné části (viz věta 3.17) a dostaneme hledané řešení: 1 3 cn 2 1 • yi = íR wi = — - cos x + - sm x, y2 = KUz = — cos x + - sin x. 5 5 5 5 Poznámka 3.7 Je-li B(x) součtem několika typů speciálních pravých stran, použijeme princip superpozice — viz věta 3.5. Např. bychom rozdělili x2 + ex cos 2x — 4 sin x B(x) = | 2 — cos x + 6ex 3ex ,2 o \ cosx 0 + 3 a určili postupně pět partikulárních řešení. Poznámka 3.8 i) Z předchozích výsledků vyplývá, že všechna řešení systému (3.24), kde složky B(x) jsou kvazipolynomy, jsou opět kvazipolynomy. Speciálně to tedy platí pro homogenní systémy. To umožňuje využít pro řešení Laplaceovu transformaci. Srovnejte s poznámkami 2.7 a 2.8, vi) o kvazipolynomech u homogenních a nehomogenních lineárních diferenciálních rovnic vyšších řádů. ii) Jak jsme již konstatovali dříve, jsou uvedené metody efektivní jen zdánlivě. 112 Systémy obyčejných diferenciálních rovnic U systémů větších rozměrů totiž obecně ztroskotáme na nalezení kořenů charakteristické rovnice. Přesto jsou tyto výsledky nesmírně důležité. Dávají nám totiž velmi podrobné informace o struktuře řešení systémů s konstantními koeficienty (které často slouží jako aproximace nelineárních systémů). To umožňuje usuzovat na chování těchto lineárních systémů. Např. existují metody, které umožňují efektivně a celkem snadno zjistit, zda všechny kořeny (charakteristického) polynomu leží ve vymezené části komplexní roviny, např. vlevo od imaginární osy (tzv. Hurwitzovo17 kritérium — viz [20, str. 61]). To ovšem znamená, že všechny složky řešení obsahuji exponenciály tvaru eax se záporným a. Pak pro x —¥ +oc konvergují všechna řešení k nule. To je podstatná informace u reálných systémů (jsou tzv. asymptoticky stabilní, tj. mají tendenci se ustalovat). Cvičení V následujících příkladech najděte obecné řešení daných systémů. Pokud jsou dány počáteční podmínky, určete příslušné partikulární řešení. •á4 d) 2/i 42/1 - 2y2 2/1 + 2/2 2yi - By2 2/i - 2y2 b) y\ 2/2 ž/i 2/2 2/i + 2/2 -2yx + 3y2 2yi + 2/2 -2/1 + 42/2 2/i = 2/2 = f) y} = 2/2 = -32/1 + 22/2 -22/1 + 2/2 2/1 -Ž/i 22/2 22/2 ž/i Vi ~ 2/2 + 2/3 a) 2/2 = 2/1 + 2/2- 2/3 - 2/2 + 2ř/3 2/3 2/i = c) 2/2 = 2/3 = ž/i = e) 2/2 = 2/3 = 2/i = g) 2/2 = 2/3 = 2yi + 2/2 2?/2 + 4y3 2/1 - 2/3 -2/1 + 2/2 - 2/2 + 42/3 2/1 - 42/3 2/2 - 2/3 2/2 2/3 2/i (0) = 6 2/2(0) = -1 2/3(0) = 4 2/i b) 2/2 2/3 2/i d) 2/2 = 2/3 2/i f) 2/2 = 2/3 2/i 2/1 - 2/2 - 2/3 2/1 + 2/2 32/i + 2/3 -2/2 + 2/3 2/1 - 2/3 -2/1 + 2/2 -2/1 - 2/2 - 2/3 2/1 + 2/2 + 2/3 -2/1 -2/2-2/3 h) 2/2 2/3 -2/1 + 2/2 2/2 2/1 + 2/2 17Adolf HurWitz (1859-1919) (čti hurvic) — německý matematik. Zabýval se teorií funkcí, algebrou a teorií čísel. 3.3 Lineární systémy s konstantními koefícienty 113 a) c) y'2 22/1 - 2/2 + 2 42/1 - 2y2 + 2 2/i = 2yi - y2 2/2 - -2/1 + 22/2 - öe^sinx b) d) I/i = 32/1 + 22/2 + 4e5* 2/2 = 2/1 + 22/2 2/í = Ž/l + 2/2 +1 + e* 2/2 = 3Ž/1 - Ž/2 4. a) 2/2 = -ž/l - 2/2 + » - 2/2 - 2/3 -2/3+2; 6j/i = ž/i + 72/2 - 5y3 + 10ea b) 2y'2 = -í/1 - y2 + 2/3 3y3 = ž/i - 2y2 + y3 + e* a) ž/i = ž/2 = ž/3 = i4 = - y2 + y3 -2yi + y2 + y3 - y4 2yi - 2/2 - ž/3 + ž/4 2y2 - 2j/3 ž/i y2 ž/i - 2y3 + 2j/4 b\ y2 - "ž/1 + y2 + 2/3 - 2y4 2/3 = 2y2 + 2/3 - 2y4 ž/4 = -ž/i + 2y2 + 22/3 - 3y4 6. ftešte metodou variace konstant. a) b) ž/í = Ž/2 = -ž/l 2/2 + tg2x - 1 + tgx Vi = —42/1 - 2y2 + ž/2 6l/i + 3y2 - 2/i(m2) = 0 ž/2 (In 2) = 0 7. Ověřte, že Ž/l (z) 1 y2(x) = [s/x, x2 + 1 x x2 + 1 'x je fundamentálni systém homogenní soustavy příslušné k ž/i ž/2 = -9x2 - 1 5x2 + 1 ^_ 2x(x2 + i)yi + pTTp2/2 + 2v^ -5x2 - 1 4x ^_ ^2— Vi + + ^ x > 0, a najděte partikulární řešení této nehomogenní soustavy. 114 Systémy obyčejných diferenciálních rovnic Výsledky: 1. ax yi = cie2x + c2e3x . yi = e2x(ci cosx + c2 sinx) í/2 = cie2x + 5 c2e3x ' y2 = e2x[ci(cosx - sinx) + c2(cosx + sinx)] \ Ví - e-x(a + 2c2~) ,* í/i = 3ciex + c2e_x ' y2 = e-x[Cl + c2(l + 2x)] QJ y2 = cxcx + c2e~x 6n yi = (ci + c2x)e3x « j/j = 2ci - c2e3x 2/2 = [ci + c2(l + x)}e3x ' y2 = cx + c2e3x 2. 2/1 = (ci + c2x)ex + c3e2x yx = (2c2 sin 2x + 2c3 cos 2x)e a) y2 = ciex + c2(x - 2)ex b) y2 = (ci - c2 cos 2x + c3 sin 2x)e 2/3 = ciex + c2(x - l)ex + c3e2x y3 = (-ci - 3c2cos2x + 3c3sin2x)e 2/1 = Ci + c2x + 4c3e3x c) y2 = -2ci + c2(l - 2x) + 4c3e3x 2/3 = ci + c2(x - 1) + c3e3x 2/i 2/3 4 ,2! ci - c2(cos\/3:r + \/3 sin\/3x) + c3(a/3 cos\/3x - sin\/3x) d) 2/2 = ci -f 2c2 cos a/3 x + 2c3 sin a/3 x ci - c2(cos\/3£ - a/3 sin a/3 x) - c3(sm\/íŽx + a/3 cos a/3 x) ž/i = 4+(2-x)e~3x yi = cie-x + c2 + c3 e) y2 = 4 + (2x - 5)e_3x f) y2 = -cie-x - c2 y3 = 1 + (3 - x)e_3x y3 = cie_x - c3 yi = ci + c2ex + c3ex yx = cie_x + c2ex g) y2 = -c2ex h) y2 = 2c2ex yz - -c3ex y3 = -cie_x + 3c2ex + c3 3. v yi = cix + c2 + x2 + 2x yi = ciex + 2c2e4x + 3e5x ' y2 = ci(2x - 1) + 2c2 + 2x2 + 2x ] y2 = -ciex + c2e4x + e5x \ yi = ciex + c2e3x + ex(2cosx - sinx) . yx = cie2-x + c2e~2x - \ - § ex y2 = cxex - c2e3x + ex(2cosx + sinx) ' y2 = cxe2x - 3c2e~2x - § - ex l = -e x(cix + | c2x2 - c3) + x a) y2 - e-x(ci + c2x) - x + 2 y3 = ~c2e~x + x - 1 3.4 Lineární systémy s nespojitými koeficienty 115 yi b) 2/2 2/3 ci + c2 cos x + C3 sin x + ex 2cx — I C2(cosx + sinx) + ^(cosx — sinx) 3ci + \c2 (sin x — cos x) — | C3 (cos x + sin x) + ea b) 2/1 2/2 2/3 2/4 a) y2 Z 2/1 2/2 2/3 2/4 ci(l + 2x2) + 2c2x + C3 + c4 — 2CiX — C2 + C4 2cix + c2 + c4 —4cix2 — 4c2X — 2c3 (ci + c2 + 2C4) sinx + (—Ci + c2 + 2c3) cos x — (c2 + C3) sinx + (ci + c4) cosx (C3 + c4) sinx 4- (c3 — c4) cosx —C2 sinx + ci cosx 6. a) ž/i = ci cos x + C2 sin x + tg x 2/2 = —ci sin x + C2 cos x + 2 b) í/i = 2e~xln(ex - 1) y2 = -3e-Kln(e-T - 1) 2/1 2/2 I X3yfx + § x-í/x x2 + 1 — 2\/x arctg x 2 2 ^ 4 ^ 2(x2 + l) - x vx + - vx--— arctg x 3.4 Lineární systémy s nespojitými koeficienty Dosud jsme předpokládali, tak jako ve většině úvodních kursů, že pravé strany uvažovaných rovnic resp. jejich koeficienty jsou spojité funkce. To nám zaručovalo (lokální) existenci řešení. Zdálo by se, že tento předpoklad není příliš omezující. Avšak mnohé aplikace diferenciálních rovnic nám ukazují, že skutečnost je zcela jiná. Nejmarkantněji je to asi vidět v teorii řízení, kde k ovládání systémů popsaných diferenciálními rovnicemi se používají parametry, které se mění skokem, tj. jsou nespojité. Tak je tomu např. u elektrických sítí, kde různá relé skokem mění svou polohu, a u řady dalších modelů. Diferenciální rovnice se spojitou pravou stranou jsou jako model takových systémů nepostačující. Z těchto důvodů matematikové hledali cestu, jak zobecnit pojem řešení diferenciálních rovnic na podobné nespojité případy. Uvažujme např. diferenciální rovnici prvního řádu v explicitním tvaru s počáteční podmínkou y' = f(x,y), y(x0) = y0. (3.26) 116 Systémy obyčejných diferenciálních rovnic Formální integrací na intervalu (xq,x) dostaneme y(x)-y0= í f[s,y{s)]ds, (3.27) Jx.Q což je jakási integrální rovnice — srovnejte kapitola 1, str. 8. Její řešení podstatně závisí na tom, jaký použijeme integrál. V případě běžného Riemannova18 integrálu je přirozená předpokladem spojitost f(x,y) a dostáváme naše dosavadní výsledky, kdy řešení má spojitou derivaci. Je však možné použít jiný integrál. Jako asi nej významnější se ukázala volba tzv. Lebesgueova19 integrálu. Přirozenými předpoklady na f(x,y) umožňujícími použití tohoto integrálu jsou tzv. Carathéodoryho20 podmínky. Řešení rovnice (3.27) je pak tzv. absolutně spojité a má derivaci pouze skoro všude a ta splňuje rovnici (3.26) také skoro všude (nějaká vlastnost platí skoro všude, jestliže není splněna na množině Lebesgueovy míry nula). Podrobné poučení o této teorii je možné najít např. v [14, str. 309]. Existuje řada dalších zobecnění, ale žádné nemělo tak zásadní význam jako absolutně spojité řešení. Nejdále v tomto směru asi vede použití tzv. Kurzweilova integrálu — viz [26, 27]. Naším úkolem není zkoumat různá zobecnění řešení. Navíc to vyžaduje znalost různých, často dost komplikovaných integračních teorií. Omezíme se pouze na lineární systémy s po částech spojitými koeficienty. Ty jsou v aplikacích většinou zcela postačující a přitom výsledky jsou jednoduché. Definice 3.5 Nechť J = (a, b) je ohraničený otevřený interval. Řekneme, že nějaká funkce g(x) je po částech spojitá na intervalu J, jestliže existují čísla a = Xq < X\ < • • - < Xk = b tak, že g(x) je spojitá na každém otevřeném podintervalu (xj_i,Xí), i = 1,..., fc, a v krajních bodech těchto podintervalů existují konečné jednostranné limity — viz obr.3.1. V případě neohraničeného intervalu J nazveme g(x) po částech spojitou, je-li po částech spojitá na každém ohraničeném podintervalu I C J (tj. v každém ohraničeném podintervalu je pouze konečný počet bodů nespojitosti). 18Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826—1866) (čti ríman) — vynikající německý matematik. Zabýval se teorií funkcí, geometrií, matematickou a teoretickou fyzikou a diferenciálními rovnicemi. Jeden z největších matematiků všech dob. Jeho tzv. Riemannova hypotéza o rozložení nul £-fimkce je zřejmě dodnes nevyřešena a je považována za jeden z nejtěžších matematických problémů (správnost důkazu z r. 1990 se prověřuje). 19Henri Leon Lebesgue (1875-1941) (čti lebeg) — významný francouzský matematik. Zabýval se teorií funkcí a integrálu. Jím zavedená míra a integrál významně ovlivnily moderní matematiku. 20Constantin Carathéodory (1873-1950) (čti karateodori) — významný řecký matematik. Zabýval se variačním počtem, teorií funkcí a aplikacemi matematiky. 3.4 Lineární systémy s nespojitými koefícienty 117 O Xl X2 X Obr. 3.1: Po částech spojitá funkce Definice 3.6 Uvažujme systém n lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu y' = A(x)y + B{x). (3.28) Předpokládejme, že všechny koeficienty (x), b j (x), i, j = 1,..., n, jsou po částech spojité na otevřeném intervalu J. Označme / množinu všech bodů nespo-jitosti všech těchto koeficientů. Tedy J C J je konečná množina. Pak sloupec y(x) = (yi(x),..., yn(x))T nazveme řešením rovnice (3.28), -jestliže platí: i) 2/i(x), i — 1,.. .,n, jsou spojité na J, U) pro každé x G J\I existují derivace y[{x),i = 1,..., n, a platí y'{x) = A(x)y(x) + B(x), x<=J\I. Tedy řešení splňuje rovnici (3.28) jen v těch bodech, kde jsou všechny koeficienty rovnice spojité. V bodech nespojitosti koeficientu y'(x) vůbec neexistuje. Rešení však musí být spojité. Dá se zjistit, že v bodech nespojitosti koeficientů existují jednostranné derivace, které jsou ale různé. Následující věta je obdobou věty 3.4. Věta 3.18 Nechť koeficienty a,ij{x), bj(x),i, j = 1,... ,n, jsou po částech spojité na otevřeném intervalu J. Pak pro každé xq € J a y0 G Rn má počáteční úloha y' = A(x)y + B(x), y(x0)=y0 právě jedno (úplné) řešení, které existuje na celém intervalu J. Podobně jako v případě spojitých koeficientů lze dokázat, že množina řešení homogenní rovnice tvoří vektorový prostor dimenze n, lze zavést fundamentální 118 Systémy obyčejných diferenciálních rovnic systém a fundamentální matici, platí princip variace konstant, princip superpozice a pod. Na závěr si všimneme, co dostaneme, když předchozí definici a výsledek aplikujeme na jednu lineární rovnici n-tého řádu y(n) + an_1(x)y("-1) + ■ • • + ai(x)y' + a0(x)y = b(x). (3.29) Ta je ekvivalentní s>siému Ví = 1/3) V'n-1 — y ni y'n = -a0{x)yi - aľ(x)y2 - a2{x)y3 - ■■• - an-i(x)yn + b(x), kde (yi,y2,..., yn)T = (y, y'i ■ ■ ■ > i/n~^)T— viz str. 87. Předpokládáme opět, že koeficienty di(x), i — 0,..., n—1, a b(x) jsou po částech spojité na J. Protože yi(x),..., yn(x) jsou spojité, dostáváme, že y(x) je řešením (3.29), jestliže i) y{x) má spojité derivace na J až do řádu n — 1 včetně, ii) pro x G J \ I (I je množina bodů nespojitosti koeficientů) existuje y(n), mj pro x G J \ I je splněna rovnice (3.29). Z věty 3.18 plyne, že každý počáteční problém má právě jedno řešení a dále že množina řešení homogenní rovnice 3.29 tvoří vektorový prostor dimenze n atd. Poznámka 3.9 Jsou-li koeficienty A(x) po částech konstantní a koeficienty B(x) po částech rovny kvazipolynomům, lze na vhodných podintervalech použít předchozí výsledky o systémech s konstantními koeficienty a speciálními pravými stranami. Při přechodu přes bod nespojitosti x G I je jen třeba jednotlivé úseky řešení spojitě navázat. Totéž platí pro rovnici (3.29). Postup si ukážeme na příkladu. Příklad 3.11 Najděte řešení počáteční úlohy y" + y = sgnrr, y(ir) = 0, y'(ir) = 1. Řešení: Zde J = (—00,00),/ = {0}. Najdeme obecné řešení homogenní rovnice (jejíž koeficienty jsou spojité a dokonce konstantní). Charakteristická rovnice je A2 + 1 = 0 Ai,2 = ±i a obecné řešení je y — c\ cos x + c2 sin x. 3.4 Lineární systémy s nespojitými koeficienty 119 Nejprve budeme uvažovat x € (0, +oo) (protože obsahuje číslo x0 = ir), tj. bude b(x) = 1. Existuje partikulární řešení tvaru y\(x) = a. Po dosazení vyjde 0 + a=l => o = l, tedy y = Ci cos x + C2 sin x + 1 => y' = — ci sin x + c2 cos x. Z počátečních podmínek dostaneme 0 = Ci COS 7T + C2 Sin 7T + 1 0 = —Cl + 1 1 • , => h => Ci = 1, C2 = —1. 1 = — Cisin7r + C2COS7T 1 = —c2 Tudíž y(x) = cosx — sinx + 1, x € (0, +oo). Ze spojitosti y(x) plyne, že y(0) = cosO - sinO + 1 = 2, y'(0) = -sinO - cosO = -1. Pro x G ( — oo,0) je b(x) = —1, tedy musí existovat partikulární řešení tvaru V2{x) = a. Po dosazení máme 0 + a = -l a = -l, tj- y = ci cosx + c2sinx — 1 y' = —ci sinx + c2 cosx. Nyní musí platit 2 = ci cos 0 + c2 sin 0 — 1 2 = Ci — 1 , i n , n ==^* -i =^ Cl — O. C2 = —1. — 1 = —ci sin 0 + c2cos0 —1 = c2 Tedy y(x) = 3cosx — sinx — 1, x G (—oo,0). Celkově máme y(x) = 3cosx — sinx — 1 pro x < 0, cosx — sinx + 1 pro x > 0. Průběh řešení a jeho derivací je znázorněn na obr. 3.2. Všimněte si, že v bodě x = 0 má y(x) derivaci, y'(x) je spojitá, ale nemá derivaci (na obrázku není dobře vidět; snadno lze však spočítat, že jednostranné derivace jsou y'L (0) = —3 a y+(0) = -1, tedy y'í(0) ^ y+(0)) a y"(x) v tomto bodě neexistuje. 120 Systémy obyčejných diferenciálních rovnic Obr. 3.2: Řešení počáteční úlohy y" + y = sgnx, y(n) = 0, 2/(0 = 1 3.5 Ukázky aplikací systémů diferenciálních rovnic 121 3.5 Ukázky aplikací systémů diferenciálních rovnic Pro systémy diferenciálních rovnic platí v ještě větší míře to, co pro jednu diferenciální rovnici — aplikací je nepřeberně. My si alespoň pro ilustraci uvedeme dvě — jednu z mechaniky a jednu z teorie elektrických obvodů. 1. Mechanická soustava. Uvažujme soustavu dvou pružin znázorněnou na obrázku 3.3. Bod B má hmotnost mi a je spojen pružinou P s pevným bodem A. Bod C má hmotnost ra2 a je spojen pružinou Q s hmotným bodem B\ na bod C kromě toho působí vnější síla, jejíž hodnota v okamžiku t je q{t); q : R —> R. D Q c Ir- 2/i (i) ■ q(t) -o->- Obr. 3.3: Mechanická soustava Mechanické vlastnosti pružiny P jsou dány její charakteristikou hx : vzdálenost u bodů A a B nesmí klesnout pod dané číslo 7i > 0 ani nesmí překročit číslo 72, kde 72 > 7i- Je-li 71 < u < 72, pak body A a B jsou k sobě přitahovány silou hi(u), tj. hi : (71,72) —> R- Podobně charakteristikou pružiny Q je funkce h-2 : {61,82) R, kde 0 < 81 < 82- Kromě toho na body B, resp. C působí síla tření, která je úměrná okamžité rychlosti bodu B, resp. bodu C s konstantami úměrnosti a > 0, resp. (3 > 0 a působí proti směru pohybu. Nechť yi{t) znamená polohu a Vi{t) rychlost bodu B v okamžiku t; nechť 2/2(*) je poloha a w2(0 rychlost bodu C v okamžiku ŕ. Potom platí mi m2 dvi(ť) dv2{t) dt vi{t), V2{t), -hi[yi{t)} + h2[y2{t) - yi{t)} - avi{t), -h2[y2{t)-yi{t)}-(3v2{t) + q{t). (3.30) 122 Systémy obyčejných diferenciálních rovnic První dvě rovnice plynou z definice rychlosti, druhé dvě z Newtonova pohybového zákona. Obecně jde o (nelineární) systém čtyř rovnic prvního řádu. Pro malé výchylky od rovnovážné (klidové) polohy můžeme předpokládat, že funkce hi(u), resp. h2(u) jsou lineární a liché vzhledem ke středu intervalu Ti ~\~ T2 Oi H~ S2 (71,72), resp. ($i,S2). Označme j - —-—, S = —-— . Pak hi(u) = ki(u — t), fci > 0, h2(u) — k2(u — ô), k2 > 0. Dosadíme-li tyto tvary do (3.30), dostaneme nehomogenní lineární systém Ví = «i» y2 = v2, , h + k2 k2 a V\ =--yi + — j/2--«i + ki-y - k25, mi mi mi / k2 k2 (3 ^2= —Ž/i--Ž/2 --^2 + K2Í + q{t). m2 m2 m2 Příslušný homogenní systém má konstantní koeficienty a bylo by tedy možné ho řešit některou z výše uvedených metod a pak použít princip variace konstant. 2. Elektrický obvod Uvažujme elektrický obvod znázorněný na obrázku 3.4, který obsahuje dva rezistory o hodnotách R\ > 0 a R2 > 0 ohmů, dále dva induktory o indukč-nostech L\ > 0 a L2 > 0 henry a ideální napěťový zdroj střídavého napětí o velikosti Aún{uit + 0, uo > 0,

- ii(í) A sin(o;ŕ + tp) Q L2 i2(í) Obr. 3.4: Elektrický obvod 124 Literatura Literatura [1] Borůvka, O.: Lineare Differentialtransformationen 2. Ordnung. VEB Deut-scher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1967. Překlad do angličtiny London, The English University Press, London 1971. [2] Borůvka, O.: Základy teorie matic. Academia, Praha 1971. [3] Coddington, E. A. — Levinson, N.: Teorija obyknovennych differencialnych uravnenij. Izdatelstvo inostrannoj literatury, Moskva 1958. [4] Gantmacher, F. R.: Teorija matric. Gosudarstvennoje izdatelstvo techniko-teoretičeskoj literatury, Moskva 1953. [5] Greguš, M. — Švec, M. — Šeda, V.: Obyčajné diferenciálně rovnice. Alfa, Bratislava 1985. [6] Hartman, P.: Ordinary Differential Equation. John Willey & Sons, Inc., New York—London—Sydney 1964. [7] Horský, Z.: Diferenciální počet. MVŠT, sešit V. SNTL, Praha 1981. [8] Jevický, J. — Kovařík, P.: Numerické metody algebry. Vojenská akademie, Brno 1986. Učební text. [9] Jevický, J. — Kovařík, P.: Numerické metody analýzy. Vojenská akademie, Brno 1987. Učební text. [10] Kamke, E.: Spravočnik po obyknovennym differencialnym uravnenijam. Nauka, Moskva 1976, 5. vyd. [11] Kropáč, J. — Schwarz, R.: Sbírka aplikovaných příkladů. Vojenská akademie, Brno 1986. Učební text. [12] Kuběn, J. — Šmarda, Z.: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. Vojenská akademie, Brno 1989. Učební text. [13] Kuběn, J. — Šmarda, Z.: Reálné funkce jedné reálné proměnné. Vojenská akademie, Brno 1990. Učební text. [14] Kurzweil, J.: Obyčejné diferenciální rovnice. SNTL, Praha 1978. [15] Leighton, W.: Ordinary Differential Equations. LONGMANS, London 1964. Literatura 125 [16] Neuman, F.: Global Properties of Linear Ordinary Differential Equations. Academia, Praha 1991. [17] Petrovskij, I. G.: Lekcii po teorii obyknovennych differencialnych uravnenij. Nauka, Moskva 1970, 6. vyd. [18] Pontrjagin, L. S.: Obyknovennyje differencialnyje uravnenija. Nauka, Moskva 1965, 2. vyd. [19] Přikryl, P.: Numerické metody matematické analýzy. MVŠT, sešit XXIV. SNTL, Praha 1985. [20] Ráb, M.: Diferenciální rovnice. Univerzita J. E. Purkyně, Brno 1980. Učební text. [21] Ráb, M.: Metody řešení diferenciálních rovnic i. obyčejné diferenciální rovnice. Univerzita J. E. Purkyně, Brno 1989. Učební text. [22] Ráb, M.: Metody řešení diferenciálních rovnic ii. systémy lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty. Univerzita J. E. Purkyně, Brno 1989. Učební text. [23] Radochová, D. — Zemanová, J.: Diferenciální rovnice. Vojenská akademie, Brno 1970. Učební text. [24] Radochová, D. — Židek, J.: Lineární algebra. Vojenská akademie, Brno 1983. Učební text. [25] Ralston, A.: Základy numerické matematiky. Academia, Praha 1973. [26] Schwabik, Š.: Generalized Differential Equations. Fundamental Results. Academia, Praha 1985. [27] Schwabik, Š.: Generalized Differential Equations. Special Results. Academia, Praha 1989. [28] Spiegel, M. R.: Applied Differential Equations. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J. 1958. [29] Štěpánov, V. V.: Kurs diferenciálních rovnic. Přírodovědecké nakladatelství, Praha 1950, 2. vyd. [30] Veit, J.: Integrální transformace. MVŠT, sešit XIV. SNTL, Praha 1979. [31] Vetchý, V.: Sbírka příkladů z lineární algebry. Vojenská akademie, Brno 1991. Učební text. [32] Vetchý, V. — Šikulova, B.: Lineární algebra. Vojenská akademie, Brno 1988. Učební text. [33] Židek, J. — Ondroušek, Z.: Integrální počet. Vojenská akademie, Brno 1989. Učební text. 126 Rejstřík Rejstřík B Banachova věta o pevném bodu, 8 C Carathéodoryovy podmínky, 116 Cauchyova počáteční úloha, 6, 48, 83 Cayleyova-Hamiltonova věta, 105 E eliminační metoda, 94 Eulerův polygon, 4 F fundamentální matice, 89 fundamentální systém, 56, 88 funkce po částech spojitá, 116 H homogenní funkce, 15 Hurwitzovo kritérium, 112 I integrační faktor, 31 integrál Kurzweilův, 116 Lebesgueův, 116 Riemannův, 116 K kmenová funkce, 28 kmity harmonické, 79 netlumené, 79 nucené, 72, 80 silně tlumené, 80 slabě tlumené, 80 tlumené, 80 vlastní, 72, 78 konvoluce, 105 kvazipolynom, 62 L linearizace, 51 lineární element, 3 Lipschitzova podmínka, 8, 48 M metoda neurčitých koeficientů, 65, 108 metoda postupných aproximací, 8 minimální polynom, 108 O oblast, 28 jednoduše souvislá, 28 P počáteční podmínka, 6 princip superpozice, 23, 54, 87 prodloužení řešení, 85 vlastní, 85 přenosová matice, 105 R rovnice Bernoulliova, 25 diferenciální obyčejná, 1 parciální, 1 v explicitním tvaru, 2, 47