přednáška 06: spojitá náhodná veličina Po diskrétní náhodné veličině projdeme ještě základní pojmy u spojité náhodné veličiny šNásledující výklad viz Budíková, Králová, Maroš: Průvodce základními statistickými metodami, str. 69-76 š švýklad pro EX, DX doplněn z el.textu Matematika 3, kapitola 10. Příklad 3: představte si hodinový ciferník a malou hodinovou ručičku, která se náhodně zastaví v určité poloze šPoloh, ve kterých se ručička může zastavit, je nekonečně mnoho. šPak pst, že se ručička zastaví v určité konkrétní poloze, musí být rovna nule. Jak tedy počítat a „měřit“ pst? Pst, že se ručička zastaví např. mezi 3. a 5. hodinou, je nenulová a její hodnota je vyznačena na obrázku: š Spojitá náhodná veličina X tedy může nabývat hodnot z intervalu nebo z celé množiny reálných čísel. š šDalší příklady spojitých veličin: teplota, doba mezi příchody dvou emailů nebo dvou zákazníků, životnost výrobku, výška stromu, výška člověka, atd. Klasické značení: platí i pro spojitou veličinu šX … označení veličiny šx … konkrétní hodnota veličiny š šX ≤ x … náhodná veličina X nabývá hodnoty menší než nebo rovné x šX ≤ 2 … náhodná veličina X nabývá hodnoty menší než nebo rovné 2 š š Definice: Distribuční funkce F(x) náhodné veličiny X je pst, že veličina X nabývá hodnoty menší než nebo rovné x ….. F(x):= P(X ≤ x) š šDefinice distribuční funkce je tedy stejná jako u diskrétní veličiny š šPokračujme v příkladu 3: najdeme graf distribuční funkce F(x) místa, kde se točící ručička náhodně zastaví š š š Distribuční funkce F(x):= P(X ≤ x) šPokračujme v příkladu 3: distribuční funkce funguje podobně jako kumulativní relativní četnost u měření hodnot – s tím rozdílem že nyní u spojité veličiny relativní četnost narůstá spojitě Distribuční funkce F(x):= P(X ≤ x) u příkladu 3: Jedná se vlastně o ot.10: model psti 04 – spojitá pst … pouze jsme dodali další pojmy (distrib fce, střední hodnota, rozptyl a směrodatná odchylka) Z axiomů psti plyne pro hustotu psti f(x): vlastnosti distribuční funkce F(x):= P(X ≤ x) jsou stejné jako u diskrétní veličiny … přitom specifické vlastnosti jsou vyznačeny žlutě šObrázek zde: Specifická vlastnost 02: hustotu psti f získáme z distribuční funkce F derivací šV bodech, ve kterých existuje derivace: F’(x)= f(x) Střední hodnota EX spojité veličiny X: šStřední hodnota EX náhodné veličiny X je tedy jakýsi teoretický průměr, který bychom vypočetli při velkém množství měření veličiny X, pokud by se veličina X chovala přesně podle daného teoretického popisu (popsaného hustotou f) š šNa rozdíl od diskrétní veličiny sumu u spojité velič nahradíme integrálem … ad příklad 3: u tabule Pozor na konflikt s analýzou 1: šRozptyl DX náhodné veličiny X je tedy jakýsi teoretický rozptyl od střední hodnoty EX, který bychom vypočetli při velkém množství měření veličiny X, pokud by se veličina X chovala přesně podle daného teoretického popisu (popsaného hustotou f) šJen s tím rozdílem, že místo sumy píšeme integrál šAd př. 3: výpočet DX u tabule Přesná definice DX diskrétní i spojité veličiny: Protože ovšem DX je jakýsi „teoretický“ průměr čtverců veličiny, nemá rozměr stejný jako veličina X šOznačme jej jako př. 4: šPř: mobily jisté firmy mají životnost v průměru 15 let; jaká je pst, že náhodně koupený mobil vydrží více než 10 let? šmohli bychom si označit X = životnost mobilu šUrčete F(x), EX, DX veličiny X Dopočtení F(x), ED, DX pro příklad 4 š š18: distribuční funkce, střední hodnota a rozptyl spojité náhodné veličiny š š Rekapitulace otázek: