Sestavila Irena Budínová Úlohy do semináře DM4 Sestavila Irena Budínová 1. Řešte následující úlohu, která typově odpovídá úloze z Matematické olympiády. Vysvětlete postup řešení. V lichoběžníku 𝐾𝐿𝑀𝑁 platí, že 𝐾𝐿 je delší základnou, průsečík úhlopříček 𝑃 dělí úsečku 𝐾𝑀 v poměru 4 : 3 a obsah trojúhelníku 𝐾𝐿𝑃 je roven 12,5 cm. Určete obsah celého lichoběžníku. 2. Žák má problémy se sčítáním zlomků, sčítá je tak, že součet čitatelů dělí součtem jmenovatelů, např.: + = . V čem vidíte příčinu chyby? Jaká nápravná cvičení navrhujete? 3. Zdůvodněte (pokud možno různými způsoby), proč platí následující pravidla: a) Součin dvou záporných čísel je číslo kladné. b) Dělit nulou nelze. 4. Ukažte induktivní a deduktivní přístup při dokazování následujícího tvrzení a dokažte úplnou matematickou indukcí. Číslo 𝑚(𝑚 − 7) je dělitelné šesti pro libovolné přirozené číslo 𝑚. 5. Řešte následující slovní úlohy a) experimentálně, b) kongruencemi. Číslo y dává po dělení pěti zbytek 2 a po dělení sedmi zbytek 4. O jaké číslo se jedná? 6. Dokažte, že √21 není racionální číslo. Znázorněte úsečku délky √21 cm a) pomocí Pythagorovy věty, b) pomocí Eukleidových vět. 7. Vyslovte větu o podílu dvou odmocnin a ověřte ji na úrovni ZŠ. 8. Na následující úloze vysvětlete problematické části procentového počtu. Cena kabátu byla nejprve zvýšena o 20 % a potom byla tato nová cena snížena o 35 %. Nyní se kabát prodává za 3 990 Kč. Jaká byla jeho původní cena před zdražením? 9. Řešte následující slovní úlohu a ukažte různé přístupy k řešení: Honza, David a Kája mají dohromady ušetřeno 4 070 Kč. Kája ušetřil o 180 Kč méně než Honza, David dvakrát méně než Honza. Kolik korun ušetřil každý z nich? 10. Řešte metodou falešného předpokladu: Ke čtvrtině neznámého čísla jsme přičetli třetinu tohoto čísla a od výsledku odečetli 5. Získali jsme 16. Jaké je neznámé číslo? 11. Vyslovte a dokažte větu o úhlopříčkách čtverce. 12. Řešte následující slovní úlohu i) pomocí rovnic, ii) pomocí funkcí (graficky): Za chodcem jdoucím průměrnou rychlostí 4 km/h vyjel z téhož místa o 2 hodiny později cyklista průměrnou rychlostí 20 km/h. Za jak dlouho a jak daleko od výchozího místa dohoní cyklista chodce? Sestavila Irena Budínová 13. Řešte aritmeticky: Kolik litrů vody je třeba přilít k 7 litrům lihu o koncentraci 72 %, abychom získali líh o koncentraci 44 %? 14. Nalezněte koeficienty a tvar kvadratického polynomu 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐, jestliže víte, že součin kořenů je roven − a součet kořenů − . 15. Řešte úlohu prostředky žáka ZŠ: Obdélník má obsah 96 čtverečních jednotek. Jeho šířka je o 4 délkové jednotky větší než jeho délka. Určete rozměry obdélníku. 16. Řešte v oboru reálných čísel rovnici pouze ekvivalentními úpravami: 3𝑥 (𝑥 − 2)(𝑥 − 5) = 𝑥 + 2 𝑥 − 5 − 2 𝑥 − 2 . 17. Zakreslete graf funkce 𝑦 = 3(5 − 𝑥) a na postupu vysvětlete transformace grafu. 18. Zakreslete grafy funkcí 𝑦 = −𝑥 + 1, 𝑦 = 2𝑥 − 4𝑥 − 6. Určete vlastnosti druhé funkce. 19. Racionální lomená funkce: Zakreslete graf funkce 𝑦 = . Určete vlastnosti této funkce. 20. Jak se změní tlak plynu, jestliže se při stejné teplotě změní jeho objem na dvojnásobek? Zakreslete graf. 21. Goniometrické funkce: Pomocí jednotkové kružnice definujte funkci 𝑦 = tg 𝑥. Dále pomocí jednotkové kružnice určete sin 𝜋. 22. Máme pravidelný trojboký jehlan o délce hrany základny 2 cm a výšce 4 cm. Určete odchylku a) boční stěny od základy, b) boční hrany od základny. 23. Zjistěte bez kalkulačky za použití pravítka, kružítka a úhloměru úhel 𝛼, je-li sin 𝛼 = 0,73. 24. Planimetrie: Vypočítejte obsah rovnoramenného lichoběžníku, jehož základny jsou v poměru 3: 4, rameno je dlouhé 7 cm a výška je 4,5 cm. 25. Míry geometrických útvarů. Vepište do kružnice o poloměru 𝑟 postupně rovnostranný trojúhelník, čtverec, pravidelný šestiúhelník, pravidelný osmiúhelník. Vyjádřete jejich obvody a obsahy pomocí 𝑟. 26. Řešte kombinatorické úlohy. Postupujte způsobem odpovídajícím základní škole a pomocí vzorce, který na příkladu osvětlíte. Kolik přímek je určených 12 různými body v rovině, jestliže právě čtyři z nich leží na jedné přímce a žádné tři další ze zadaných bodů již neleží na jedné přímce? 27. Řešte úlohy z pravděpodobnosti a statistiky: Z číslic 1, 2, 3, 4, 5, 0 sestavte všechna šesticiferná čísla tak, aby se číslice v zápisu čísla neopakovaly. Náhodně vybereme jedno číslo. Vypočítejte pravděpodobnost, že náhodně vybrané číslo bude i) dělitelné pěti, ii) dělitelné třemi.