MAs04: Vybrané partie ...
I. Symetrie
II. Stereometrie
III. Kuželosečky
IV. ... a kvadriky
Doporučené čtení:
[S]  M. Sekanina a kol., Geometrie I a II, SPN, 1988
4. června 2019, Vojtěch Žádník
http://is.muni.cz/el/1441/jaro2019/MAsO4/
Úvod 1
Elipsa 5
Cvičení 15
Vlastnosti a konstrukce 16
Cvičení 27
Ostatní kuželosečky 28
Cvičení 39
Kanonické tvary 40
Příklady 44
Závěry a výhledy 50
Cvičení 55
Zdroje
56
Upresnení
Úvod 3
Kuželosečky jsou rovinné řezy kuželové, příp. válcové plochy.1
Nedegenerované (regulární) kuželosečky jsou vyseknuty rovinou, která neprochází vrcholem kužele:
► elipsa (spec. kružnice) — žádný nevlastní bod,
► parabola —jeden nevlastní bod,
► hyperbola — dva nevlastní body.
Degenerované (singulární) kuželosečky jsou určeny rovinou, která obsahuje vrchol kužele.
Válec je kužel s nevlastním vrcholem. Uvažovaný kužel/válec nemusí být nutně rotační.
Rozličné pohledy a vymezení. Vlastnosti, konstrukce, počítání. Počítání vulgární vs. počítání chytré. Příklady, obecné úvahy, vybrané aplikace.
Úvod 1
Elipsa 5
Cvičení 15
Vlastnosti a konstrukce 16
Cvičení 27
Ostatní kuželosečky 28
Cvičení 39
Kanonické tvary 40
Příklady 44
Závěry a výhledy 50
Cvičení 55
Zdroje
56
Elipsa: ekvivalentní definice
Elipsa 6
Elipsa je
(A) řez kuželové plochy rovinou, která protíná všechny její povrchové přímky;
(B) množina bodů v rovině, jež mají konstantní součet vzdáleností od dvou bodů E a F:
\EX\ + \XF\ = konst.;
(C) množina bodů v rovině, jež mají konstantní poměr vzdáleností od bodu F a přímky d, přičemž
|XF| : \Xd\ = konst. < 1;
(D) rovinná křivka určená kvadratickou rovnicí (vzhledem k vhodné souřadné soustavě)
? P ? x2 y2
yd = 2px - -x\   resp.   — + — = 1; a a2 b2
(E) afinní obraz kružnice.
Související pojmy
Elipsa 7
► Body E a F jsou ohniska, přímka d je řídící přímka elipsy,
► elipsa je souměrná podle dvou navzájem kolmých os,
a = délka hlavní poloosy, b = délka vedlejší poloosy (a > b),
► elipsa je souměrná podle středu = průsečíku jejích os, konstanta v (B) je rovna 2a,
► konstanta v (C) je rovna f = (numerická) výstřednost, kde e = ^Ja2 - b2 = (lineární) výstřednost,
► kvadratická rovnice v (D) je tzv. vrcholová, resp. středová rovnice elipsy,2 kde p = y = parametr.
Poznámky
Ekvivalenci (A) <^^> (E) rozumíme.3
Ostatní ekvivalence a podrobnosti k uvedeným číselným charakteristikám ukážeme za chvíli...
2Pojmenováno podle umístění počátku odpovídající souřadné soustavy.
3Elipsa řezu je středovým průmětem kružnice podstavy (z vrcholu kužele), při kterém se žádný její bod nezobrazil do nekonečna...
Věta Apollóniova
Elipsa 8
Uvažme kužel s kruhovou podstavou a jeho eliptický řez s hlavní osou A E jako na obrázku. Potom pro libovolný bod A na elipse platí
AM2 = EM-ME, (1)
kde M je pata kolmice z A na osu A E a E je bod na úhlopříčce pevně přiloženého obdélníku se stranami A E a EQ, kde EQ je určená vztahem AE : EQ = AK2 : (BK • KV), kde bod K leží na rovnoběžce s AE jdoucí vrcholem kužele.4
A
4Za chvíli bude patrné, že velikost EQ je rovna právě dvojnásobku parametru p.
Důkaz věty Apollóniovy
Elipsa 9
Z definující rovnosti pro úsečku E0 a podobností několika trojúhelníků plyne:
AM _ AE _ AK AK     EM AM ~MĚ ~ Ě0 ~ BKKŤ ~ MU~MP'
Levou stranu rozšíříme ME, aby poměry na obou stranách měly stejný čitatel.
Odkud plyne rovnost jmenovatelů
ME ■ ME = M n ■ MP.
Rovina AľlP je rovnoběžná s podstavou, tudíž řezem kuželové plochy touto rovinou je kružnice a ľlP je její průměr. A
Podle Thaletovy věty je úhel ľlAP pravý. / \
Podle Eukleidovy věty o výšce platí ^J&\ \
0^Pr\\p \ MV\ ■ MP = M A2. %X\ \ \
Dosazením do předchozí rovnice dostáváme (1).    □ z \
K
Důsledek: ekvivalence (A) a (D)
Přímo z věty Apollóniovy:
Označíme |E0| =: 2p, |EA| =: 2a, \EM\ := x a |MA| =
Z podobnosti trojúhelníků EMA a 0EA plyne EM : MA = 0E : EA, tedy
\      a /
což je právě vrcholová rovnice elipsy v (D). Odtud se snadno vyvodí středová rovnice... □
EM| = -(2a -x).
Rovnici (1) pak můžeme přepsat jako
Věta Dandelinova-Queteletova
Elipsa  11
Uvažme rotační kužel a jeho eliptický řez jako na obrázku. Potom ohniska této elipsy jsou právě body dotyku kulových ploch, které se dotýkají jak kužele, tak roviny řezu.
Důkaz věty Dandelinovy-Queteletovy
Elipsa 12
Dotykové body ozn. E a F. Chceme ukázat, že platí \EX\ + |XF| = konst., tedy že E a F jsou právě ohniska elipsy:
Všechny tečny z daného bodu k dané kulové ploše jsou stejně dlouhé.
Proto \EX\ = \DX\ a |XF| = |XH|, a tudíž
\EX\ + |XF| = |DX| + |XH| = |DH|.
Kužel je rotační, tedy vzdálenost \DH\ je stále stejná pro všechny povrchové přímky.
Důsledky: ekvivalence (A), (B) a (C)
Elipsa 13
Z věty Dandelinovy-Queteletovy přímo plyne (A) <^^> (B).
Ke zdůvodnění (A) t=^> (C) stačí ukázat, že průsečnice p = p n a je právě fičící přímkou elipsy, tedy že pro ohnisko F a pro libovolný bod X na elipse platí |XF| : |Xp| = konst. < 1:
|XP| = |Xp|, kde P je pata kolmice z X na p (v bočním průmětu nezkresleně).
|XF| = \XH\ (v bočním průmětu vidíme jako \X0H0\).
Odtud plyne
|XF| : |Xp| = IXoHol : |XP|.
Trojúhelníky AH0P a AX0X jsou podobné, takže |X0H0| : |XP| = \AH0\ : \AP\ = konst. < 1. □
Upresnení (s. 7)
Elipsa 14
► Dosazením souřadnic vedlejšího vrcholu do vrcholové rovnice (D) snadno ověříme, že p =
Obdobným způsobem z téže rovnice plyne, že ^- je délka poloviny tětivy, která prochází ohniskem a je kolmá k hlavní ose.
Rozepsáním vlastnosti (C) pro dva specifické body zjišťujeme, že vzdálenost řídící přímky d od vedlejší osy je —.
► Vzdálenost řídící přímky d od ohniska F je —.
► Z uvedeného zejména plyne, že konstanta v (C) je skutečně rovna f.
Cvičení A
Elipsa   15
(1) Připravte se na to, že kromě vymezení na s. 6 existují mnohá další.
(2) Dokažte, že algebraická vyjádření v (D) jsou skutečně dvojím vyjádřením téže kuželosečky, napište odpovídající transformaci souřadnic a vše ilustrujte výmluvným obrázkem.
(3) Odvoďte některé z vyjádření v (D) bez Apollóniovy věty, tzn. přímo z (B), (C) nebo (E).
(4) Dovysvětlete některá upřesnění na s. 14.
(5) Dokažte, že numerická výstřednost kuželosečky je rovna
\XF\ : \Xd\ = s\na: sin/5,
kde a = odchylka podstavy kužele od roviny řezu afí = odchylka podstavy kužele od jeho tvořících přímek.
Úvod 1
Elipsa 5
Cvičení 15
Vlastnosti a konstrukce 16
Cvičení 27
Ostatní kuželosečky 28
Cvičení 39
Kanonické tvary 40
Příklady 44
Závěry a výhledy 50
Cvičení 55
Zdroje
56
Ohniskové vlastnosti
Vlastnosti a konstrukce   1 7
Z ohniskových vlastností elipsy mj. plyne:
► Tečna elipsy (v bodě   ) je osou vnějšího úhlu odpovídajících průvodičů (přímek ET^ a FT^).
► Body souměrné s jedním ohniskem elipsy (F<\) vzhledem ke všem jejím tečnám tvoří kružnici se středem v druhém ohnisku (E) a poloměrem rovným délce hlavní osy
► Paty kolmic ohnisek elipsy (P) na všechny její tečny tvoří kružnici se středem ve středu elipsy (S) a poloměrem rovným délce hlavní poloosy
Tyto poznatky jsou užitečné např. při (eukleidovských) konstrukcích tečen.
Osová afinita
Vlastnosti a konstrukce   1 8
Každou elipsu lze vidět jako obraz kružnice vzhledem k nějaké osové afinitě.
Takových afinit je mnoho, obzvlášť jednoduché jsou ty vztažené k hlavním osám elipsy.
Pomocí nich lze vysvětlit některé (bodové) konstrukce elipsy, příp. redukovat mnohé úlohy na jednodušší úlohy s kružnicí...
... viz např. tečny nebo průsečíky s přímkou:
Osová afinita
Vlastnosti a konstrukce   1 9
Složením osových afinit elipsy s kružnicí opsanou, resp. vepsanou je stejnolehlost mezi těmito kružnicemi...
Křesl ítka
Vlastnosti a konstrukce 20
Na předchozím poznatku je založena např. proužková (neeukleidovská) konstrukce elipsy, resp. princip elipsografu:
Oskulační kružnice
Vlastnosti a konstrukce 21
Pokud nemáme elipsograf, můžeme si pomoct oskulačními kružnicemi,...
... což jsou kružnice, které mají s elipsou ve vrcholech dotyk druhého řádu.
Vzhledem k předchozímu značení, poloměry těchto kružnic jsou ^- a ^- (což je náhodou zrovna p, viz s. 7 a 14).
Sdružené a hlavní průměry
Vlastnosti a konstrukce 22
Elipsa je zcela určena svými hlavními průměry, což jsou průměry určené osami souměrnosti.
Hlavní průměry jsou navzájem kolmé sdružené průměry, ...
... přičemž sdružené průměry jsou afinní obrazy kolmých průměrů kružnice,
... neboli tečny v koncových bodech průměru p jsou rovnoběžné s průměrem q (a naopak), ...
... neboli tečny v koncových bodech průměru p jsou incidentní s nevlastním bodem průměru q (a naopak), ...
Sdružené a hlavní průměry
Vlastnosti a konstrukce 23
Často elipsa přichází na svět jako obraz kružnice vzhledem k dané osové afinitě. V takovém případě umíme hlavní průměry snadno najít:
* Pascalova věta
Vlastnosti a konstrukce 24
Věta
Pro lib. šest bodů na elipse (či jiné kuželosečce) platí, že průsečíky protilehlých stran příslušného šestiúhelníku leží na jedné přímce.
S tímto poznatkem lze sestrojovat body na elipse, aniž bychom znali hlavní osy...
Duální tvrzení se jmenuje Brianchonova věta; speciální, resp. degenerovaný případ je Pappova věta...5
5http://en.wikipedia.org/wiki/Pascal's_theorem
Polarita
Vlastnosti a konstrukce
Sdruženost průměrů na s. 22 je speciálním případem polární sdruženosti: Obecný projektivní obraz kolmých průměrů kružnice může vypadat takto...
... kde P' a Q' jsou úběžníky nevlastních bodů průměrů paq.
Nyní každý bod na přímce p' je polárně sdružen s bodem P' (a podobně pro dvojici q'aQ'),...
... neboli tečny v koncových bodech sečny p' jsou incidentní s bodem P' (a podobně pro dvojici qf a Q')-6
6Terminologie: P' = pól přímky p' a p' = polára bodu P' vzhledem k elipse (či jiné kuželosečce)
\
Polarita
Vlastnosti a konstrukce
Polární sdruženost je velmi užitečná relace a lze pomocí ní vidět/vymezit/řešit řadu věcí, ...
... prozatím si aspoň všimněme základního důsledku symetričnosti této relace: ► bod Q leží na poláře bodu P <^^> bod P leží na poláře bodu Q.
K tématu se ještě vrátíme v souboru IV.
Cvičení B
Vlastnosti a konstrukce 27
(1) Doplňte detaily k uvedeným tvrzením a konstrukcím, ...
(2) ... zejména si dobře uvědomte, do které skupiny poznatků patří (metrické/afinní/projektivní).
(3) Uvědomte si, že nyní konečně umíte sestrojit volný průmět kužele či válce.
Úvod 1
Elipsa 5
Cvičení 15
Vlastnosti a konstrukce 16
Cvičení 27
Ostatní kuželosečky 28
Cvičení 39
Kanonické tvary 40
Příklady 44
Závěry a výhledy 50
Cvičení 55
Zdroje
56
Ostatní regulární kuželosečky
Ostatní kuželosečky 29
Většinu výše uvedených poznatků o elipse lze snadno modifikovat pro ostatní regulární kuželosečky, tj. pro hyperbolu a parabolu.
Nejprve uvádíme několik ekvivalentních vymezení v duchu s. 6.
Většinu zdůvodnění a upřesnění necháváme čtenáři jako doporučené cvičení...7
7 K čemu se může hodit např. tento obrázek?
Hyperbola: ekvivalentní definice
Ostatní kuželosečky 30
Hyperbola je
(A) řez kuželové plochy rovinou, která protíná všechny její povrchové přímky kromě dvou;
(B) množina bodů v rovině, jež mají konstantní rozdíl vzdáleností od dvou bodů E a F:
\EX\ - \XF\ = konst.;
(C) množina bodů v rovině, jež mají konstantní poměr vzdáleností od bodu F a přímky d, přičemž
|XF| : \Xd\ = konst. > 1;
(D) rovinná křivka určená kvadratickou rovnicí (vzhledem k vhodné souřadné soustavě)
y2 = 2px + -x2,   resp.   — - — = 1; a a2 b2
(E) projektivní obraz kružnice se dvěma nevlastními body.
Parabola: ekvivalentní definice
Ostatní kuželosečky 31
Parabola je
(A) řez kuželové plochy rovinou, která protíná všechny její povrchové přímky kromě jedné;
(B) -
(C) množina bodů v rovině, jež mají stejnou vzdálenost od bodu F a přímky d, tzn.
|XF| : |Xcř| = 1;
(D) rovinná křivka určená kvadratickou rovnicí (vzhledem k vhodné souřadné soustavě)
y2 = 2px;
(E) projektivní obraz kružnice s jedním nevlastním bodem.
Singulární kuželosečky
Ostatní kuželosečky 32
Singulární kuželosečky jsou sjednocením nebo průnikem dvou přímek.
Podle vzájemné polohy řezné roviny a kuželové/válcové plochy mohou nastat tyto případy:
► dvě různé přímky (různoběžné/rovnoběžné),
► bod,8
► dvě splývající přímky.
Každá z těchto kuželoseček je určena kvadratickou rovnicí (vhledem k vhodné souřadné soustavě):
► y2 = k2x2, resp. y2 = k2,
► y2 = -k2 x2,
► y2 = 0.
kde k je nějaká nenulová konstanta.
Tento případ budeme interpretovat jako průsečík dvou imaginárních (komplexně sdružených) přímek.
Vlastnosti a konstrukce
Ostatní kuželosečky 33
„Odrazová" vlastnost elipsy popsaná na s. 17 platí pro všechny regulární kuželosečky:
Tato vlastnost je nejznámější asi u paraboly, což je mezní případ pro F -> oo
Jak je to s příslušnými kružnicemi?
Vlastnosti a konstrukce Ostatní kuželosečky 34
Každou kuželosečku lze vidět jako obraz kružnice vzhledem k nějaké osové kolineaci.
Takových kolineaci je mnoho, některé jsou speciálnější (oblíbenější), ale všechno je o fous komplikovanější než s afinitami na s. 18-20...
... viz např. následující osovou kolineaci mezi kružnicí a hyperbolou:
Jak byste tuto kolineaci modifikovali, abyste dostali elipsu, příp. parabolu?
Vlastnosti a konstrukce
Ostatní kuželosečky 35
Také oskulační kružnice (s. 21) lze snadno vyjádřit a sestrojit, ...
... např. pro hyperbolu (s vrcholy A, B a asymptotami a, a') vypadají takto:
\	. a °' B'£	//	
\	/L		■
\	/ hA		
/	\ B\	0	0B
/	X x		
/			
/		\	
Jaký je poloměr oskulační kružnice a jak by to vypadalo pro parabolu?
Vlastnosti a konstrukce
Ostatní kuželosečky 36
O sdružených průměrech (s. 22) má smysl mluvit jen u středových kuželoseček (tedy ne u paraboly)...
Vlastnosti a konstrukce
Ostatní kuželosečky 37
Všechny poznatky na s. 24-26 jsou platné pro lib. kuželosečky (jsou invariantní vzhledem k projektivním transformacím), ...
... viz např. Pascalovu větu:
Vlastnosti a konstrukce
Zejména se budeme ještě vracet k polárním vlastnostem.
Ostatní kuželosečky 38
Cvičení C
Ostatní kuželosečky 39
(1) Doplňte detaily k uvedeným tvrzením a konstrukcím, ...
(2) ... zejména si dobře uvědomte, do které skupiny poznatků patří (metrické/afinní/projektivní).
(3) Zamyslete se nad průběžně kladenými dotazy.
(4) Uvědomte si, že mnoho věcí umíte řešit analyticky (viz např. asymptoty hyperboly či ohnisko paraboly).
Úvod 1
Elipsa 5
Cvičení 15
Vlastnosti a konstrukce 16
Cvičení 27
Ostatní kuželosečky 28
Cvičení 39
Kanonické tvary 40
Příklady 44
Závěry a výhledy 50
Cvičení 55
Zdroje
56
Kanonické tvary
Kanonické tvary 41
Následující rovnicová vyjádření jsou tzv kanonické tvary. Jedná se o vyjádření všech možných kuželoseček vhledem k vhodně zvoleným (kartézským) souřadným soustavám (viz s. 6, 30-32):
x2 y2
a2 b2 x2 y2
— + — - 1 =0     elipsa (příp. kružnice) a o
x2 y2
----- - 1 =0 hyperbola
a2 b2
y2 - 2px = 0 parabola
y2 - k2x2 = 0 dvě různoběžné přímky
y2 - k2 = 0 dvě rovnoběžné přímky
y2 + k2x2 = 0 bod
y2 + k2 = 0 0
y2 = 0 jedna (dvojnásobná) přímka
Obecná rovnice
Kanonické tvary 42
Rovnicové vyjádření kuželosečky závisí na zvolené souřadné soustavě. Každá z výše uvedených rovnic se vzhledem k obecné afinní transformaci
kde koeficienty A, B,..., F závisí na k, /,..., q (a na koeficientech a, b, p,...).
Naopak, pokud rovnice tvaru (3) má (reálná) řešení, potom určuje nějakou kuželosečku.
Druh této kuželosečky lze nejlépe rozpoznat tak, že rovnici nějak upravíme do kanonického tvaru.
Přitom každá z provedených úprav představuje nějakou (afinní) transformaci souřadné soustavy (viz závěry na s. 51-52).
xf = kx + ly + o,   / = mx + ny + q
(2)
změní na rovnici tvaru
Ax'2 + 2Bx'yf + Cy'2 + 2Dxr + 2E/ + F = 0,
(3)
Obecná úmluva
Kanonické tvary 43
Při manipulacích s danou kuželosečkou často končíme s obecnou souřadnou soustavou.
Vždy však předpokládáme, že...
... rovnice kuželosečky v zadání každé úlohy je vyjádřena vzhledem ke kartézské souřadné soustavě.
Příklad 1 Kanonické tvary 44
Rozpoznejme kuželosečku určenou rovnicí
4y2 - x2 - 4x - 8 = 0.
Levou stranu můžeme doplněním do čtverce upravit takto:
4y2-x2 -4x - 8 = 4y2-(x + 2)2 + 4 - 8.
Nahrazením
xf = x + 2,   / = y (4) dostáváme nové vyjádření téže kuželosečky
4y'2 -x'2 -4 = 0.
Odtud již snadno rozpoznáváme hyperbolu. Souřadnice středu jsou zřejmé z (4)...
Použitá transformace je pouhým posunutím, tedy shodností. Proto po dodatečné úpravě
/2 _ 1   ,2 = 1
y 4
umíme určit velikosti hlavní a vedlejší osy, tedy všechno.
Příklad 1: obrázek
Kanonické tvary 45
y'
Příklad 2
Rozpoznejme kuželosečku určenou rovnicí
y2 + xy - 2x - 2y - 1 = 0.
Kanonické tvary 46
Levou stranu můžeme doplněním do čtverce upravit takto:
1      \2 1
y^ + xy - 2y - 2x - 1 = y + -x - 1   —jr + x - 1 - 2x - 1
Nahrazením
x' = x,   /=y+-x-1 (5) dostáváme nové vyjádření téže kuželosečky
/2 - -x'2 -xf -2 = 0. 4
To je právě zadání příkladu 1, odkud víme, že se jedná o hyperbolu.
Souřadnice středu je možné odvodit z příkladu 1 a transformace (5). Jak ale dál?
Příklad 2: obrázek
Kanonické tvary 47
Příklad 3 Kanonické tvary 48
Rozpoznejme kuželosečku určenou rovnicí
xy - 2x - 1 =0.
Na levé straně postrádáme kvadratický člen (s kterým bychom začali doplňování do čtverce). K němu si lze dopomoci např. dosazením
x = xr + /,   y = /,   neboli  xr = x - y,   y' = y. (6)
Takto dostáváme nové vyjádření téže kuželosečky
{x' + /)/ - 2(x' + /) - 1 = y'2 + xy - 2xr - 2/ - 1 =0.
To je právě zadání příkladu 2, odkud víme, že se jedná o hyperbolu.
Souřadnice středu je možné odvodit z příkladu 2 a transformace (6). Jak ale dál?
Příklad 3: obrázek
Kanonické tvary 49
Úvod 1
Elipsa 5
Cvičení 15
Vlastnosti a konstrukce 16
Cvičení 27
Ostatní kuželosečky 28
Cvičení 39
Kanonické tvary 40
Příklady 44
Závěry a výhledy 50
Cvičení 55
Zdroje
56
Shrnutí
Závěry a výhledy 51
Zobecněním úvah z předchozích příkladů zjišťujeme, že... .. .jakoukoli rovnici typu
Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (7)
lze vždy upravit do kanonického tvaru, a to opakováním úprav dvojího druhu: (1) doplnění do čtverce a následná substituce (předp. A ž 0)
Ax2 + 2Bxy + 2Dx H----=
/      B      D\2    B2 p    2BD D2
. ,2    B2 í2    2BD , D2
(2) substituce x = x' + y',y = y' (pokud A = C = 0)
Bxy H----— B(x' + y')y' H----= By'2 + Bx'y' +
Transformace a dál?
Závěry a výhledy 52
Postupným skládáním použitých substitucí lze vždy určit výslednou transformaci souřadnic.
V případě, že kuželosečka je středová, lze odtud vyjádřit střed kuželosečky.
Pokud je transformace shodností, potom lze z kanonického tvaru zjistit také směry os a číselné charakteristiky kuželosečky.
Příklady 1-3
Na rozdíl od transformace (4) není transformace (5), resp. (6) shodností. Proto určení hlavní a vedlejší osy hyperboly v příkladu 2, resp. 3 není tak bezprostřední jako v příkladu 1...
Výhled Závěry a výhledy 53
Předchozí typ uvažování je poměrně pracný, což nás motivuje k dalšímu zevrubnému studiu.
Od nynějška směřujeme k důkazu hlavní věty celého tohoto bloku:
Věta
S trochou algebry je všechno velmi snadné.
Nástroje
Závěry a výhledy 54
Obecnou rovnici (7),
Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, budeme zapisovat pomocí matic takto
(x   y 1)
7\	B	D'			
B	C	E	■	y	= 0
[D	E	F)		U J	
(8)
Levá strana je vyčíslením kvadratické formy F : R3 —> R na vektoru x = (x, y, 1).
Vektor x = (x, y, 1) e R3 představuje homogenní souřadnice bodu v rovině s (afinními) souřadnicemi X = [x, y] e R2.
Matice v (8) je maticí polárni formy f: R3 x R3 —> R příslušné F vzhledem k odpovídající souřadné soustavě.
Cvičení D
Závěry a výhledy 55
(1) Podle předchozích návodů rozpoznejte kuželosečku určenou rovnicí
x2 + 2xy + y2 + 2x + y = 0   nebo  8x2 + 4xy + 5y2 + 16x + 4y = 28,
(2) ... vyjádřete celkovou transformaci souřadnic, ...
(3) ... pokuste se identifikovat střed a číselné charakteristiky kuželosečky a ...
(4) ... doplňte obrázek.
Úvod 1
Elipsa 5
Cvičení 15
Vlastnosti a konstrukce 16
Cvičení 27
Ostatní kuželosečky 28
Cvičení 39
Kanonické tvary 40
Příklady 44
Závěry a výhledy 50
Cvičení 55
Zdroje
56
Literatura
[K] F. Kuřina, Deset pohledů na geometrii, ČSAV, 1996
[M] V. Medek, Deskriptívna geometria, SNTL, 1962
[R] K. Rektorys a kol., Přehled užité matematiky, SNTL, 1968
[S] M. Sekanina a kol., Geometrie I a II, SPN, 1988
[Š] Z. Šír, Řecké matematické texty, OIKOYMENH, 2011
Obrázky
[K], 12-14, 18, 19 [M], 22, 24, 27, 36, 37 [Š], 3, 9-11
http://conicsectionjpg.blogspot.com/, 3 http://etc.usf.edu/clipart/, 3, 4, 20, 21, 30 http://wikimedia.org/, 3