MAs04: Vybrané partie ... I. Symetrie II. Stereometrie III. Kuželosečky IV. ... a kvadriky Doporučené čtení: [H] R. Hartshorne, Geometry: Euclid and beyond, Springer, 2000 3. června 2019, Vojtěch Žádník http://is.muni.cz/el/1441/jaro2019/MAs04/ Úvod 1 Polohování 4 Cvičení 11 Měření 12 Cvičení 25 Plátkování a integrování 26 Cvičení 29 Stříhání a řezání 30 Cvičení 36 Řezání a sekání 37 Cvičení 43 Zobrazování 44 Cvičení 59 Zdroje 61 Stereometrie Úvod 2 Upresnení a plán Úvod 3 Stereo- ... objekty a vztahy v trojrozměrném eukleidovském prostoru -metrie ... měření, tzn. především (avšak ne pouze) vztahy metrické. ► Základní polohové a metrické vztahy. ► Zobrazování trojrozměrných útvarů do roviny. ► Elementární vs. infinitezimální úvahy. ► Geometrie vs. algebra, konstrukční vs. počítací přístup. ► Příklady, obecné úvahy, vybrané aplikace. Úvod 1 Polohování 4 Cvičení 11 Měření 12 Cvičení 25 Plátkování a integrování 26 Cvičení 29 Stříhání a řezání 30 Cvičení 36 Řezání a sekání 37 Cvičení 43 Zobrazování 44 Cvičení 59 Zdroje 61 Základy Polohování 5 ... základy eukleidovské geometrie, ... geometrie Eukleidových Základů1 (ovšem s Hilbertovými upřesněními2). Základní pojmy: ► bod, přímka, rovina. Základní vztahy/relace: ► incidence, uspořádání, shodnost, spojitost, rovnoběžnost. Základní definice: ► např. úheí, pravý úheí (resp. koímost), rovnoběžnost, trojúheíník, čtverec, kružnice, jehlan, kužel, koule,... Základní tvrzení (axiómy/postuláty): ► několik ke každému ze základních vztahů... 1 kolem -300, http://cs.wikipedia.org/wiki/Eukleidovy_Zaklady 2kolem +1900, http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_axioms Vzájemné polohy přímek v rovině Polohování 6 ► Přímky jsou rovnoběžné, pokud nemají žádný společný bod. ► Přímky jsou různoběžné, pokud mají jeden společný bod. ► Pokud jsou vedlejší úhly vymezené dvěma různoběžkami shodné, pak každý z těchto úhlů se nazývá pravý a přímky se nazývají kolmé. OBR Vzájemné polohy přímek a rovin v prostoru Polohování 7 ► Přímky jsou rovnoběžné, pokud leží v téže rovině a nemají žádný společný bod. ► Přímka a rovina, resp. dvě roviny jsou rovnoběžné, pokud nemají žádný společný bod. ► Dvě roviny jsou různoběžné, pokud mají přímku společných bodů. ► Atd. ► Neprotínající se přímky jsou kolmé, pokud rovnoběžka k jedné přímce protínající přímku druhou je k ní kolmá. ► Přímka je kolmá k rovině, pokud je kolmá ke všem přímkám, které v ní leží. ► Dvě roviny jsou kolmé, pokud jedna z rovin obsahuje přímku, která je kolmá ke druhé rovině. ► Atp. OBR Vzájemné polohy obecně Polohování 8 Jednotně a obecně lze všechno vyjádřit pomocí vektorů: ► Přímky a roviny ... jedno- a dvourozměrné podprostory afinního prostoru ?A. ► Afinní struktura nad V... „dvěma bodům (A, 8g^)h vektor (AB e V)". ► Vektorový prostor V ... tzv. zaměření JI, ozn. V = !k. Všemožné vzájemné polohy obecných af. podprostorů !B,CQJÍ vymezíme pomocí jejich zaměření íB,CQJl takto: ► incidentmi... S Q C nebo S^C, ► různoběžné ... S n C ^ 0, ale ne incidentní, ► rovnoběžné (různé) ...~!Bq~C nebo $ =>čľ (ale ne incidentní), ► mimoběžné ... jinak. Vzájemné polohy obecně Polohování 9 Kolmost (a další věci) kontrolujeme pomocí skalárního součinu: ► Skalární součin ... „dvěma vektorům (u, v e V) i-> číslo (u.vg R)". ► Kolmost vektorů u _l v ... u . v = 0. ► Kolmý doplněk podprostoru U ve V... ... (J-l = {x g V | x _l u pro všechny u e U}. Kolmost (jakožto speciální případ různoběžnosti) af. podprostoru !B,C QJl můžeme pomocí jejich zaměření !B,C QJÍ vymezit takto: ► SaC kolmé ... ~B cf nebo^ d~C±. Příklad3 Polohování 10 OJ P ) 3https://ggbm.at/JgQu6PVN Cvičení A Polohování 11 (1) Připomeňte si důkladněji vše, co jsme jenom proletěli (např. pojmy jako rovinný/stěnový/prostorový úhel a jejich velikosti). (2) Připomeňte si konstrukční a analytické řešení úlohy na s. 10. (3) Pozměňte zadání tak, abyste vyčerpali ostatní možné případy. (4) Připomeňte si základní měřičské úlohy (např. vzdálenosti dvou bodů, bodu od přímky či bodu od roviny v předchozím příkladu). Úvod 1 Polohování 4 Cvičení 11 Měření 12 Cvičení 25 Plátkování a integrování 26 Cvičení 29 Stříhání a řezání 30 Cvičení 36 Řezání a sekání 37 Cvičení 43 Zobrazování 44 Cvičení 59 Zdroje 61 O objemech rovnoběžnostěnů Měření 13 K základním tvrzením o obsazích rovnoběžníků máme následující 3D analogie: ► Rovnoběžníky se stejnými základnami a stejnými výškami mají stejný obsah. ► Rovnoběžnostěny se stejnými základnami a stejnými výškami mají stejný objem. O objemech rovnoběžnostěnů Měření 14 Poměr obsahů rovnoběžníků se stejnou výškou je stejný jako poměr délek jejich základen. E A F ► Poměr objemů rovnoběžnostěnů se stejnou výškou je stejný jako poměr obsahů jejich základen. O objemech rovnoběžnostěnů Měření 15 Poměr obsahů podobných rovnoběžníků je stejný jako poměr druhých mocnin odpovídajících stran. OBR ► Poměr objemů podobných rovnoběžnostěnů je stejný jako poměr třetích mocnin odpovídajících stran. Důkazy a poznámky Měření 16 Také 3D důkazy jsou naprosto analogické těm 2D: Důkazy. Tvrzení na s. 13 lze zdůvodnit rozpoznáním shodných částí, jejich odstřižením a přesouváním... Tvrzení na s. 14 plynou z těch na s. 13 (a definice rovnosti poměrů)... Tvrzení na s. 15 plynou z těch na s. 14 (a definice podobnosti útvarů)... □ Odtud máme známé vzorečky „obsah (objem) = základna x výška". Rovnoběžník(-nostěn) je určen dvěma (třemi) vektory... ... a v této řeči si obsahy (objemy) krásně rozumí s determinanty... Objemy a determinanty (naivně4) Obsah rovnoběžníku určeného vektory u = Měření 17 (1/1,1/2) av = (vi,v2) ... ... je roven absolutní hodnotě determinantu det(u, v) = ui v2 - ViU2. problém se zobecněním do vyšší dimenze Objemy a determinanty (koncepčně5) Měření 18 Vlastnosti obsahu jakožto zobrazení V x V —> R vo^v^av!) = 0 vol(v1,v2) = = vol(v1,v2) + vo^v^av!) = = vol(v1? v2 + a vol(v1,bv2) = \b\ • vol(v1,v2) 5snadné zobecnění do lib. dimenze Objemy a determinanty (koncepčně) Měření 19 ... se nápadně podobají vlastnostem determinantu jakožto zobrazení Vx V -> R: det(v1,av1) = 0, det(Vi, v2) = det(Vi, v2) + det(Vi, aVi) = = det(v1,v2 + avO, det(v1?bv2) = b- det(v1?v2), což jsou důsledky jeho anti-symetričnosti a multi-linearity. Obecně pro n vektorů v n-rozměrném prostoru platí vol(v1,v2,...) = |det(v1,v2,...)|, O obsazích trojúhelníků a mnohoúhelníků Měřen Bezbolestné 2D modifikace: ► Každý rovnoběžník je úhlopříčkou rozdělen na dva shodné trojúhelníky, libovolný mnohoúhelník lze složit z trojúhelníků ^ tvrzení na s. 13-15 platí pro lib. trojúhelníky, resp. mnohoúhelníky. Odtud máme vzoreček S= la-v, kde S = obsah trojúhelníku, a = velikost strany a v = velikost odpovídající výšky. O objemech hranolů Měření 21 Bezbolestné 3D modifikace: ► Každý rovnoběžnostěn je úhlopříčnou rovinou rozdělen na dva shodné trojboké hranoly, libovolný hranol lze složit z trojbokých hranolů ^> tvrzení na s. 13-15 platí pro lib. hranoly. Obdobná tvrzení samozřejmě platí také pro jehlany, avšak jejich zdůvodnění je o poznání komplikovanější... O objemech jehlan U Měření 22 ... zde je jedna analogie k tvrzení na s. 14 s naprosto neanalogickým důkazem: Věta Poměr objemů jehlanů se stejnou výškou je stejný jako poměr obsahů jejich základen. Idea důkazu. ► Každý jehlan lze libovolně přesně aproximovat konečným počtem (trojbokých) hranolů; zde hranoly se stejnými výškami. ► Poměrům objemů dvojic hranolů v jednotlivých vrstvách rozumíme (s. 14), □ O objemech jehlanů Měřen Z uvedeného mj. vyplývá, že ► objem jehlanu je roven třetině objemu hranolu se stejnou základnou a stejnou výškou. Odtud máme vzoreček V=ls.v, kde V = objem jehlanu, S = obsah podstavy a v = velikost odpovídající výšky. Poznámky a znepokojivé otázky Měřen Limitní verze úvahy na s. 22 je známá jako Cavalieriho princip6 (pomocí něhož objevoval mnohé výsledky již Archimédés), viz dále. Vše po s. 20 se obešlo bez infinitezimálních úvah. Analogický závěr na s. 23 nikoli, ... ... ale je to skutečně nutné? Odpověď není vůbec samozřejmá, viz s. 32. 6http://en.wikipedia.org/wiki/Cavalieri%27s_principle Cvičení B Měřen (1) Připomeňte si důkladněji vše, co jsme jenom proletěli (zejména všechny elementární poznatky na s. 13-16). (2) Připomeňte si pokračování příběhu na s. 19 (zejména si uvědomte, že tutéž věc umíte řešit několika dalšími způsoby, viz Gramův determinant, vektorový součin apod.7). (3) Připomeňte si detaily k dokončení důkazu na s. 22, a to (a) klasicky, tj. postaru (Eudoxos), (b) moderně, tj. s limitou (Riemann). (4) Připomeňte si také měření základních oblých těles... 7https://ggbm.at/qcwgzxhm Úvod 1 Polohování 4 Cvičení 11 Měření 12 Cvičení 25 Plátkování a integrování 26 Cvičení 29 Stříhání a řezání 30 Cvičení 36 Řezání a sekání 37 Cvičení 43 Zobrazování 44 Cvičení 59 Zdroje 61 Válec, kužel, koule Plátkování a integrován S podobnými úvahami jako na s. 22 (s odkazy na předchozí poznatky o rovnoběžnostěnech a hranolech) se zdůvodní, že ► Poměr objemů válců se stejnou výškou je stejný jako poměr obsahů jejich podstav, ► poměr objemů koulí je stejný jako poměr třetích mocnin jejich průměrů, ► objem kužele je roven | objemu jemu opsaného válce, ► apod. Tyto poznatky doplňuje Věta (Archimedova) Objem koule je roven § objemu jemu opsaného válce. Koule a válec Plátkování a integrován K Idea důkazu. Ke kouli doplňme válec a kužel s dvojnásobnými průměry a stejnou výškou. Uvažme řezy těchto tří těles rovinami kolmými ke společné ose rotace: ► Tyto řezy lze „vybalancovat" tak, že (konstantní) řez válce v (proměnném) bodě S vyváží součet (proměnných) řezů koule a kužele v (konstantním) bodě H. ► Odtud po „zintegrování" dostáváme rovnost ^objemu válce = objem koule + objem kužele. ► Odtud (a ze vztahů mezi válci a kuželi) plyne tvrzení... □ Cvičení C Plátkování a integrován (1) Odvoďte předchozí větu přímo pomocí Cavalieriho principu. (2) Připomeňte si některé další pozoruhodné Archimédovy nápady (např. povrch koule a válce, kvadraturu parabolické úseče). (3) Zformulujte některé předchozí myšlenky pomocí integrálů. (4) Připomeňte si některé další obdobné nápady (viz např. Pappovy-Guldinovy věty8). https://en.wikipedia.org/wiki/Pappus%27s_centroid_theorem Úvod 1 Polohování 4 Cvičení 11 Měření 12 Cvičení 25 Plátkování a integrování 26 Cvičení 29 Stříhání a řezání 30 Cvičení 36 Řezání a sekání 37 Cvičení 43 Zobrazování 44 Cvičení 59 Zdroje 61 Stříhání v rovině Stříhání a řezání Nápady se stříháním a přemisťováním částí, které jsme pozorovali v důkazech tvrzení na s. 13, lze poměrně snadno domyslet až k následující větě: Věta (Wallaceova-Bolyaiova-Gerwienova) Dva mnohoúhelníky mají stejný obsah <^^> jeden lze rozstříhat na části, z nichž lze složit ten druhý.9 9https://en.wikipedia.org/wiki/Wallace%E2%80%93Bolyai%E2%80%93Gerwien_theorem Řezání v prostoru Stříhání a řezání Obdobné nápady fungovaly pro rovnoběžnostěny, resp. hranoly se stejnými objemy, nikoli však pro jehlany. Skutečně, 3D analogie Wallaceovy-Bolyaiovy-Gerwienovy věty neplatí: Věta (Dehnova-Sydlerova) Pro dva mnohostěny se stejným objemem platí, že jeden lze rozřezat na části, z nichž lze složit ten druhý <^^> tyto mnohostěny mají stejný tzv. Dehnův invariant.10 Úplné zdůvodnění je značně komplikované, ukážeme si jenom několik nápadů (vedoucích k implikaci „=>")... 10 https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_third_problem Dehnův invariant Stříhání a řezání 33 Při řezání a přikládání sledujeme hrany a stěny, resp. stěnové úhly: Dehnův invariant S(M) mnohostěnu M je nějak určen všemi dvojicemi (a,, a,), kde / indexuje hrany M... Aby to byl invariant vzhledem k řezání a přilepování, musí platit: (1) Mi a M2 jsou shodné => 6(M^) = 6(M2), (2) a M2 mají disjunktní vnitřky => 6{M^ u M2) = 6{M^) + Č(M2). Dehnův invariant Stříhání a řezání 34 Aby platila vlastnost (2), musí pro „počítání" 6 platit nějaké vztahy: (a, ol\ + or2) = (a, ar! ) + (a, or2) (a + b,a) = {a, a) + (b,ar) (a,ar) + (a,j0) = (a,;r) = 0 Dehnův invariant Stříhání a řezání Na faktorové množině R x IR podle předchozí relace ekvivalence (s. 34) máme operaci sčítání po složkách, a tato struktura tvoří grupu. Dehnův invariant S(M) mnohostěnu M je prvek této grupy určený součtem 2_j (a''a')- /e{hrany m} Z konstrukce plyne, že dva mnohostěny, které lze rozřezat a přeskládat jeden na druhý, mají stejný Dehnův invariant. Tedy, pokud dva mnohostěny mají různé Dehnovy invarianty, potom takové přeskládání není možné... Cvičení D Stříhání a řezání (1) Naučte se počítat v Dehnově grupě (s. 35). (2) Určete Dehnovy invarianty několika pravidelných mnohostěnů. (3) Ukažte, že Dehnův invariant lib. rovnoběžnostěnu, resp. hranolu je nulový. (4) Vymyslete konkrétní řezání a přeskládání dvou těles, u kterých to je možné. (5) Uvědomte si, že zdůvodnění nenulovosti Dehnova invariantu nemusí být jednoduché (a to ani u jednoduchých mnohostěnů). Úvod 1 Polohování 4 Cvičení 11 Měření 12 Cvičení 25 Plátkování a integrování 26 Cvičení 29 Stříhání a řezání 30 Cvičení 36 Řezání a sekání 37 Cvičení 43 Zobrazování 44 Cvičení 59 Zdroje 61 Řezy jehlanu, reps. hranolu11 Řezáníasekán Dosud jsme přemítali, jak mnohostěny fyzicky řezat, něco jiného je takové řezy znázornit, resp. (ve vhodném průmětu) sestrojit. Každá rovina — a tedy i rovina řezu — je určena třemi body. Pro lib. jehlany, resp. hranoly může být vše velmi snadné... 11https://ggbm.at/kvJL3iqr OSOVá kolineaCe Řezánía sekán Máme na mysli korespondenci mezi mnohoúhelníkem (některé) podstavy a mnohoúhelníkem řezu,12 ... ... což je v prostoru tzv. perspektivní kolineace, ... ... v rovině průmětu tzv. osová kolineace: Osová kolineace v rovině je zcela a naprosto určena ► osou (~ průsečnice rovin), ► středem (~ vrchol jehlanu), ► jednou další dvojicí odpovídajících si bodů. 2resp. mezi mnohoúhelníky dvou řezů nekonečné jehlanovité plochy Poznámky Řezání a sekán Osová kolineace není transformací celé eukleidovské (afinní) roviny: některé body nemají vzor, některé nemají obraz, ... ... resp. jsou v nekonečnu. Rovina rozšířená o „body v nekonečnu" je tzv. projektivní rovina (viz dále)... Osová kolineace v rovině je nejzákladnější projektivní transformací projektivní roviny; zobecňuje jiné základní a dobře známé transformace: ► osová afinita13 ... základní afinní... nevlastní střed, ► stejnolehlost14 ... základní podobné ... nevlastní osa, ► posunutí... „základní" shodné ... nevlastní střed i osa, 3tj. škálování v jednom směru 4tj. škálování ve všech směrech Poznámky Řezání a sekání 41 Dříve použité ilustrace ještě zrecyklujeme k formulaci, resp. důkazu důležitého poznatku: Věta (Desarguesova) Pro libovolné dva trojúhelníky XYZ a X' Y'Z' v projektivní rovině platí: přímky XX', YY', ZZ' prochází jedním bodem <^^> průsečíky přímek XY aXrYr,YZa Y'Z', XZ a X'Z' leží na jedné přímce. ""TV M Vzhledem k předchozím interpretacím se tak dovídáme, že ► projektivní transformace v rovině má osu <^^> má střed. Seky kužele, resp. válce Řezání a sekán Stejné korespondence můžeme vidět mezi řezy kuželů, resp. válců, ... ... tedy mezi rozličnými kuželosečkami. Prozatím se spokojíme s konstatováním, že ► lib. kuželosečka je obrazem kružnice vzhledem k nějaké osové kolineaci. Cvičení E Řezání a sekání 43 (1) Připomeňte si důkladněji vše, co jsme jenom proletěli. (2) Připomeňte si vše kolem osové kolineace a konstrukce řezu jehlanu/hranolu. (3) Zavzpomínejte, příp. zalistujte učebnicemi, a uvědomte si, že osové kolineace jsou všudypřítomné a všudyužitečné: Úvod 1 Polohování 4 Cvičení 11 Měření 12 Cvičení 25 Plátkování a integrování 26 Cvičení 29 Stříhání a řezání 30 Cvičení 36 Řezání a sekání 37 Cvičení 43 Zobrazování 44 Cvičení 59 Zdroje 61 Úvodní přehled Zobrazován Dosud jsme přemítali, jak mnohostěny fyzicky řezat, příp. ony řezy (ve vhodném průmětu) sestrojovat, ... ... něco jiného je umět průměty trojrozměrných objektů do dvojrozměrné roviny nějak rozumně dostat, příp. z oněch průmětů něco o skutečných vztazích v prostoru přečíst. Podle způsobu promítání dělíme na: ► středové (tj. projektivní), ► rovnoběžné (tj. afinní), ► exotické. Podle způsobu provedení dělíme na: ► volné, ► vázané, ► vychytané, ► analytické, ► exotické. Středové promítání Středové promítání (projekce) je modelové projektivní zobrazení: Zobrazování 46 Středové promítání a každé projektivní zobrazení (i) zobrazuje kolineární body na kolineární body, (ii) zachovává dvojpoměry čtveřic kolineárních bodů.15 Nevlastní body mohou mít vlastní obrazy (tzv. úběžníky) a naopak. 15... kdykoli to dává smysl (pokud se různé body zobrazí na různé); viz Pappovu větu. Rovnoběžné promítání Zobrazován Rovnoběžné promítání je středové promítání s nevlastním středem. Rovnoběžné promítání a každé afinní zobrazení navíc zobrazuje (ne)vlastní body na (ne)vlastní, jinými slovy (iii) zachovává rovnoběžnost přímek, (iv) zachovává obyčejné poměry trojic kolineárních bodů.16 OBR 16... kdykoli to dává smysl Volné promítání Zobrazování 48 Volné středové/rovnoběžné promítání je určeno několika málo body a obecnými vlastnostmi projektivních/afinních zobrazení (i)-(iv): Věta „Nepříliš degenerované" (a) afinní, (b) projektivní zobrazení prostoru dimenze n je jednoznačně určeno obrazy (a) n + 1 bodů v obecné poloze, (b) n + 1 bodů v obecné poloze a n odpovídajícími Oběžníky. Důkaz. Induktivní a konstruktivní: (a) pomocí rovnoběžek a přenášení poměrů, (b) pomocí úběžníků a přenášení dvojpoměrů...17 □ 17http://ggbm.at/yWcCaQeA Volný průmět pravidelného hranolu Zobrazování 49 ... určený obrazy vrcholů A', B', C, A' a úběžníky Lľ, V, Z'\ Vázané promítání Zobrazován Vázané promítání je určeno přesným vymezením průmětny a středu, resp. směru promítání vzhledem k zobrazovanému objektu. Pro zadání si pomáháme s pomocnými sdruženými průměty (nárys, půdorys): Na rozdíl od předchozí metody odpadají jakékoli omezující předpoklady. Základní konstrukční dovednosti jsou: ► průnik přímky a roviny, ► odměřování a přenášení vzdáleností... Vázaný průmět kvádru18 Zobrazování ... do speciálně zvolené průmětny p: http://ggbtu.be/mZvl063hi Vychytaný průmět pravidelného 20stěnu ... tzv. zářezovou metodou: Analytické vyjádření Zobrazování 53 ... vzhledem k nějaké souřadné soustavě: i i 1 4 1 1 i 1 -1 ! 1 i i I i - - " ^. - i i 1 Ä _ -1 W 8 í — L ---- ,2 r " * - 1 ----- 7 n'6 -, 1 i t 3 4 -3 2 1 0 1 2 i i 4 s D ---\ i i t R ------ -2 i ľ «•** i -> ~ " 1 3 ! i ____i _ i /" 1 "i r- *t i i i * ______1 -4' t J | __1_ J ___ j __ j__ 1 i i i ,u'ab 5 -S -4 -3 -2 -1 ú Analytické vyjádření Zobrazování 54 Středové promítání ze středu S = [6,0,5] do roviny p : = 0} ► v afinních (kartézských) souřadnicích: 6x2 6x3 - 5xí [X|, X2, Xs] 0. 6 - *í' 6 - *í v homogenních (rozšířených) souřadnicích: (x0 : x<\ : x2 : x3) i-> (6x0 - *í : 0 : 6x2 : 6x3 - 5xí), tj. íx°) í6 -1 0 0] M 0 0 0 0 x2 0 0 6 0 x2