MAs04: Vybrané partie I. Symetrie II. Stereometrie III. Kuželosečky IV. ... a kvadriky Doporučené čtení: [S] M. Sekanina a kol., Geometrie I a II, SPN, 1988 22. června 2019, Vojtěch Žádník http://is.muni.cz/el/1441/jaro2019/MAs04/ Uvod Příklad Uť'v/dHrilcx/ r I 1 5 17 Kvadriky Úvod 2 Upresnení Každá kuželosečka v rovině je dána kvadratickou rovnicí, Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. Pomocí matic předchozí rovnici píšeme takto Úvod 3 (1) (x y 1) 'A B D' B C E ■ y [D E F) U J = 0. (2) Levá strana je vyčíslením kvadratické formy F : r3 —> R na vektoru x = (x, y, 1). Vektor x = (x, y, 1) e R3 představuje homogenní souřadnice bodu v rovině s (afinními) souřadnicemi X = [x,y]... ... a nic nám nebrání rozšířit naše úvahy do celé projektivní roviny. Každá kuželosečka v projektivní rovině je dána kvadratickou formou na zastupujícím vektorovém prostoru... ... a nic nám nebrání rozšířit naše úvahy do lib. dimenze. Plán ► Algebra kvadratických forem a symetrických matic. ► Geometrie kuželoseček a kvadrik, chytré počítání. ► Obecné úvahy, příklady, vybrané aplikace. Nejdřív ovšem jeden ukázkový příklad, na kterém konfrontujeme předchozí představy a výpočty s pokročilejším algebraickým přístupem... Příklad: opakování Úvod 5 V příkladu 2 v souboru III jsme uvažovali kuželosečku určenou rovnicí y2 + xy - 2x - 2y - 1 =0, (3) kterou jsme uměli upravit do kanonického tvaru ve dvou krocích: y'2 - \x'2 -xf -2 = 0, y,/2 - \x"2 -1=0. (4) Přitom výsledná transformace souřadnic byla x" = x + 2, y" = \x + y- 1, neboli x = x" -2, y = -^x,/ + y" + 2. (5) Příklad: opakování y" 0" Úvod 6 Z (4) umíme rozpoznat, že se jedná o hyperbolu. Z (5) umíme určit souřadnice nového počátku (tj. středu hyperboly), O" = [-2,2], (6) a nových bázových vektorů (tj. směrů sdružených průměrů), e'/ = (1,-l), e£ = (0,1). (7) Odtud a z koeficientů v (4) umíme vydedukovat, že směry asymptot jsou ni = 2e'/ + e£ = (2,0), n2 = 2e'/ - e£ = (2, -2). (8) Odtud dále umíme určit směry hlavních průměrů, a to pomocí os úhlů určených asymptotami, ^ = V2rh -n2 = (V2- 1,1), h2 = V2rh + n2 = (V2 + 1,-1). (9) Příklad: reformulace Vzhledem k předchozím konvencím zapisujeme rovnici (3), y2 + xy - 2x - 2y - 1 =0, pomocí matic takto xT F x = (x y 1) 'o 1 2 v-1 1 _ 2 1 -1 - • y = 0. Úvod 7 (3) (10) Ve stejném stylu píšeme předchozí transformaci souřadnic (5) jako X f 1 0 -2y X y — 1 2 1 2 • y" lo 0 1 J = A x Pro kontrolu xT-F-x = (A-x,,)T-F-(A-x) = x,,'^•(AT•F•A)•x,, = ••• = (x" y" 1) ^-i o o 0 1 o 0 0-1 V" • y" což krásně souhlasí s (4). Příklad: reformulace Úvod 8 Vektor xe V představuje homogenní souřadnice X = (x : y : 1_) bodu v afinní rovině Jí s afinními souřadnicemi X = [x, y]; F je matice kvadratické formy F : v —> R na trojrozměrném vektorovém prostoru v d Jí. Obecný bod v projektivní rovině Jí = P(V) má homogenní souřadnice X = (x : y : x0); dosazením do (10) máme vyjádření kvadratické formy F, tj. homogenní verzi rovnice (3): y2 + xy - 2xx0 - 2yx0 - x02 = 0. (11) Príklad: regulárnost/singulárnost Úvod 9 (i) Hyperbola je regulární kuželosečka; to souhlasí s poznatkem, že odpovídající kvadratická forma s matici (10) je regulárni:1 det F = det v 0 1 2 -1 1 2 1 1^ 1 -1 -1 1 obecnosti na s. 20 a 22 Příklad: nevlastní body, asymptoty Úvod 10 (ii) Asymptoty hyperboly ukazují právě na její nevlastní body; ty lze určit jako průnik kuželosečky (11) s nevlastní přímkou x0 = O:2 y2 + xy = y(y + x) = 0. Tato rovnice má dvě řešení, N, = (1 : 0 : 0), N2 = (1 : -1 : 0), což jsou právě homogenní souřadnice směrů z (8). Řešení rovnice souvisí se znaménkem determinantu submatice det F = det Asymptoty jsou určeny těmito směry a středem hyperboly. 2obecnosti na s. 41 Příklad: střed Úvod 11 (iii) Střed hyperboly (6) má homogenní souřadnice O" = (-2 : 2 :1_); odtud je patrné, že zastupující vektor o" je polárně sdružen s vektory zastupujícími všechny nevlastní body:3 :T. F • o" = (* * O) '0 1 2 v-1 1 2 1 1^ 1 -1 -1 r_2^ 2 v1 y = * o) '0^ o = 0. Tedy střed O" = (x : y : x0) je řešením soustavy rovnic ly-x0 = 0, ±x + y - x0 = 0. Řešení soustavy souvisí s hodností submatice det F = det 0 1 2 1 2 1 3obecnosti na s. 27 a 39 Príklad: sdružené směry Úvod 12 (iv) Rovnice (4) je v diagonálním tvaru; to znamená, že příslušné vektory (7) tvoří polární bázi podprostoru 3{ c Vř e»T.F.e£ = (l -l 0) (0 1 2 1 2 1 • 1 V* loj = 0 -\ °) Přitom koeficienty u x", resp. y" v rovnici (4) jsou rovny e'/7-F-e'/ = ••• = -! resp. ©2 " F ■ ©2 /1\ 2 1 = 0. = ••• = 1 Směry e" a e2' jsou směry polárně sdružených průměrů hyperboly. Pro e2' jsou všechny polárně sdružené vektory řešením soustavy rovnic 5* + y = 0, *o = 0. 4obecnosti na s. 28, 30 a dál Příklad: hlavní směry, osy Úvod 13 (v) Směry os jsou tzv. hlavní směry; to znamená, že příslušné vektory (9) tvoří ortogonální polární bázi podprostoru 3{ c V:5 h/ F h2 = (V2- 1 1 o) h1T-h2 = (V2-1 1 O) '0 \ * i 1 * * * * • -1 { o J = • • • = 0. V2 + 1 -1 0 = 0. Vektory a h2 jsou charakteristickými vektory matice formy F zúžené na JI c V: Charakteristický polynom, = -,t(1 -A)-\=A2 -A-1=0, má kořeny ^ = ^ a A2 = 5obecnosti na s. 47 až 50 i ^-Ä Príklad: hlavní směry, osy úvod 14 Odpovídající charakteristické vektory jsou řešením soustavy -A/x+ \y = 0, £x + (1 -A/)y = 0, pro / = 1 a 2; po dosazení vskutku dostáváme = (V2-1,1) a h2 = (V2 + 1,-1). V odpovídající normované bázi má forma F|-^ matici ® ), jejíž determinant je A<\ -A2 = det F = - j. Znaménka A\ > 0, A2 < 0 a detF ^ ^ * = 3—= = -1 <0 detF ukazují typ kuželosečky (hyperbola) a navíc pro velikosti jejích poloos platí' a = 4L =0,910 a b = ^= =2,197, VI1 6podrobnosti a obecnosti na s. 59 Příklad: obrázek7 Úvod 15 FAQ Úvod 16 Jak závisí předchozí úvahy na volbě násobku matice? NIJAK: Pokud je F' = k • F jiná forma určující tutéž kuželosečku, potom det F = k3 • det F, det F = k2 • det F, Ä\=k-Ä^ a A'2 = k-A2, Jak závisí předchozí úvahy na volbě souřadnic, resp. na projektivních/afinních/shodných transformacích? JAK KDY: viz dále... Úvod 1 Příklad 5 Kvadriky 17 Příklad 24 Cvičení 25 Projektivní vlastnosti 26 Příklad 33 Cvičení 36 Afinní vlastnosti 37 Cvičení 45 Metrické vlastnosti 46 Cvičení 62 Poznámky 63 Obecná dimenze 64 Úloha Apollóniova a pod. 66 Cvičení 72 Zdroje 73 *Bilineární a kvadratické formy Kvadriky 18 Definice Zobrazení F : V —> R vektorového prostoru V do tělesa R se zove kvadratickou formou, pokud platí F(x) = f(x,x), pro lib. x e V, kde f: V x V —> R je nějaká symetrická bi-lineární forma. Forma f je tzv. polární forma kvadratické formy F. Poznámka Forma f je jednoznačně určuje F a naopak: r(x,y) = l(F(x + y)-F(x)-F(y)). *Bilineární a kvadratické formy Kvadriky 19 Z bilinearity f plyne souř. vyjádření (vzhledem k bázi (ei, e2,...)) f(x,y) = xi/ifii + x1y2fi2 + x2yif2i +x2y2f22 H----= Í/1) X-| X2 ' ' •) f21 f22 • • • • • v (12) kde x = x^i + x2e2 H— , y = y^ + y2e2 H----a fy = f(e/,ey). Ze symetričnosti f plyne fy = fy pro všechna / a /. Rovnost (12) schematicky zapisujeme ř(x,y) = xT F y, kde F = (fjj) značí matici formy f vzhledem k bázi (ei, e2,...). (13) *Regulární/singulární formy Kvadriky 20 Definice Vektor u e V je singulárním vektorem bilineární formy f: pokud lineární forma f(u, -) : V —> R je nulová.8 Bilineární forma f je regulární, pokud její jediný singulární vektor je nulový vektor; v opačném případě je forma f singulární. Singulární vektory a regularita/sigularita kvadratické formy F : V -> R jsou odvozeny od její polární formy f. Poznámky Všechny singulární vektory tvoří vektorový podprostor ve V. Forma je regulární <^^> odpovídající matice (vzhledem k lib. bázi) je regulární. Skalární součin je příkladem regulární bilineární formy; odpovídající kvadratická forma je norma vektoru. tzn. r(u,x) = 0 pro lib. x g V Kvadriky Kvadriky 21 Definice Kvadrika % (dim n) v projektivním prostoru P(V) (dim n + 1) je množina všech bodů, jejichž zastupující vektory ve V (dim n + 1) jsou nulovými vektory nějaké (nenulové) kvadratické formy F : V —> R, tzn. % = {X e R; bod B e 7C, který není singulární se zove regulární. Kvadrika je regulární, pokud sestává pouze z regulárních bodů; v opačném případě je singulární. Poznámky Kvadrika je regulární <^^> odpovídající kvadratická forma je regulární. Všechny singulární body singulární kvadriky tvoří projektivní podprostor v P(V) (bod, přímku, ...). V následujícím budeme většinu algebraických pozorování formulovat obecně, většinu geometrických pozorování hlavně pro kuželosečky (n = 1). O určenosti kuželosečky Kvadriky 23 První ukázka užitečnosti současného přístupu: Kvadratická forma F na vektorovém prostoru dimenze 3 je určena 6 koeficienty fij e R (koeficienty symetrické matice 3 x 3) a kuželosečka je určena kvadratickou formou až na násobek, tedy: Věta Kuželosečka je jednoznačně určena 5 body v „dostatečně obecné poloze". Důkaz. Dosazením 5 bodů do obecné rovnice kuželosečky dostáváme soustavu 5 lineárních rovnic a 6 neznámých. Pokud jsou určující body navzájem různé a žádné 4 neleží na jedné přímce, potom je řešení této soustavy určeno jednoznačně až na násobek... □ Příklad Kvadriky 24 Předpokládejme, že kuželosečka c P(V) obsahuje body A, = (-2 : 1 : 1), A2 = (-2 : 3 : 1), A3 = (-1 : 0 : 2), A4 = (1 : -1 : 0), A5 = (1 : 0 : 0) a odpovídající kvadratická forma je tvaru ax2 + 2bxy + cy2 + 2dxx0 + 2eyx0 + fx2 = 0. Po dosazení dostáváme soustavu rovnic: 4a - 4b + c - 4d + 2e + f = 0, 4a - 12b + 9c - 4d + 6e + f = 0, a-4d + 4f = 0, a - 2b + c = 0, a = 0, jejíž všechna řešení jsou a = 0, b = lib., c = 2b, d = e = f = -2b. Kuželosečka je určena např. rovnicí (pro b = \)\ xy + y2- 2xx0 - 2yx0 - x2 = 0. Cvičení A Kvadriky 25 (1) Vyzkoušejte si, jak by vypadalo počítání v předchozím příkladě pro nějakou singulární kuželosečku. (2) Pokud jste tak neučinili již dříve, uvědomte si, že kuželosečka je singulární, pokud příslušný kvadratický polynom lze vyjádřit jako součin dvou lineárních. (3) Všechny výpočetní závěry doprovoďte obrázky. (4) Všimněte si, že všechny stránky označené * v nadpise jsou čistě algebraické povahy a lze je číst nezávisle na ostatním textu. Úvod 1 Příklad 5 Kvadriky 17 Příklad 24 Cvičení 25 Projektivní vlastnosti 26 Příklad 33 Cvičení 36 Afinní vlastnosti 37 Cvičení 45 Metrické vlastnosti 46 Cvičení 62 Poznámky 63 Obecná dimenze 64 Úloha Apollóniova a pod. 66 Cvičení 72 Zdroje 73 *Polární sdruženost Projektivní vlastnosti 27 Definice Vektory u, v e V jsou polárně sdružené vzhledem k f, resp. F, pokud f(u,v) = 0. Báze (e^, e2,...) prostoru V se jmenuje polární bází vzhledem k f, resp. F, pokud f(e,-,ey) = 0 pro všechna / ^ y. Poznámky Matice f, resp. F vzhledem k polární bázi je diagonální. Všechny vektory, které jsou polárně sdruženy s daným vektorem ugV, tvoří vektorový podprostor U c V: ► pokud u je singulární, potom U = V, ► pokud u není singulární, potom U je nadrovina ve V; rovnicové vyjádření této nadroviny je U = {xe V: f(u,x) = 0}. (15) *0 polární bázi Projektivní vlastnosti 28 Věta Každá kvadratická forma má polární bázi. Důkaz. Pro F = 0 je každá báze je polární. Pro Fí 0 uvažujeme induktivně: pro lib. u e V takový, že F(u) ^ o, vezměme polární doplněk (15), což je podprostor o dimenzi menší... □ Polárních bází je nepřeberné množství. Pokud je f: Vxl/^R skalární součin, potom F je norma vektoru a pro každé u * o platí F(u) > 0. Tedy podmínka F(u) ^ 0 v důkazu je splněna automaticky, polární doplněk je právě kolmý doplněk U = a polární báze není nic jiného než ortogonální báze. *0 signatuře a setrvačnosti Projektivní vlastnosti 29 Matice kvadratické formy F v polární bázi (e^, e2,...) je diagonální, přičemž na diagonále jsou čísla f„ = f(e,,e,) = F(e,). Ozn. p := počet kladných aq:= počet záporných čísel na diagonále. Uspořádaná dvojice (p, q) se nazývá signaturou kvadratické formy F. Je zřejmé, žep + gpr. Celkem tedy p = pr, a proto také q = q' (neboť p + q = p' + q'). □ Polární sdruženost Projektivní vlastnosti 30 Definice Body A,B e P(V) jsou polárně sdružené vzhledem ke kuželosečce 7C, pokud jsou jejich zastupující vektory a,b e V polárně sdružené vzhledem k odpovídající kvadratické formě F : V -> R. Všechny body, které jsou polárně sdruženy s daným bodem B eP(V) vzhledem ke 7C, tvoří projektivní podprostor p QP(V): ► pokud B je singulární, potom p = P(V), ► pokud B není singulární, potom p je přímka; rovnicové vyjádření této přímky je p = {XeP{V) : ř(b,x) = 0}, (16) kde f: V x V -> R je polární bilineární forma kvadratické formy F. Přímka p se nazývá polárou bodu 8 a bod B se nazývá pd/em přímky p vzhledem ke kuželosečce 7C. Polární sdruženost Jak souhlasí tyto definice s tím, co jsme prováděli v souboru III? Projektivní vlastnosti 31 Polární sdruženost je projektivní invariant, ... ... tedy pro regulární kuželosečky stačí ověřit soulad definicí pro obrázek vlevo: Důkaz. Velmi snadné! □ Poznámka Obdobným trikem lze ukázat, že body na poláře p bodu P jsou právě takové body R, které spolu s průsečíky přímky PR s kuželosečkou % tvoří tzv. harmonickou čtveřici.9 9tzn. dvojpoměr této (správně uspořádané) čtveřice je -1 Polární sdruženost Projektivní vlastnosti 32 Přímé ověření téhož lze založit na následujících pozorováních: Z definice polární sdruženosti vyplývá, že ► bod A leží na poláře bodu B <^^> bod B leží na poláře bodu A. Z definice polární sdruženosti a singulárního bodu vyplývá, že ► polára lib. bodu obsahuje všechny singulární body kuželosečky. Z definice polární sdruženosti a regulárního bodu vyplývá, že ► polára regulárního bodu B regulární kuželosečky je tečnou v bodě B, ► polára regulárního bodu B singulární kuželosečky % je tvořící přímkou % obsahující bod 7C. Příklad Určete tečnu kuželosečky Projektivní vlastnosti 33 xy + y2- 2xx0 - 2yx0 - x2 = 0. procházející bodem B = (2 : -1 : 0). Polára p bodu B je v homogenních souřadnicích určena rovnicí (16): :T. F • b = (x y x0) '0 1 2 v-1 1 _ 2 1 -1 - • -1 loj -\x-x0 = 0. neboli x = -2x0 (v afinních souřadnicích x = -2). Průsečíkem této přímky s kuželosečkou jsou body dotyku tečen; ty obdržíme resenim rovnice -2x0y + y2 + 4*o - 2yx0 - x2 = y2 - 4x0y + 3Xq = 0. Ta pro x0 = 0 nemá vyhovující řešení; pro x0 ^ 0 dostáváme y 4 + 2 = buď 3, nebo 1. Příklad: pokračování Projektivní vlastnosti 34 Body dotyku tedy jsou Ti = (-2 : 3 : 1) a T2 = (-2 : 1 : 1). Tečna v bodě je polárou tohoto bodu: ( 0 1 2 -ť xT-F-ti = (x y x0) • 1 2 1 -1 • 3 = ^x + y-2x0 = 0 1-1 -1 U J Podobně určíme tečnu v bodě T2... Tečny kuželosečky procházející (nevlastním) bodem B jsou v afinních souřadnicích určeny rovnicemi10 y = -^x + 2 a y = -\x. srovnejte závěry s obrázkem na s. 6 Projektivní klasifikace Projektivní vlastnosti 35 Druhy kuželoseček podle seznamu na s. 41 v souboru III nejsou projektivně invariantní: Při projektivních zobrazeních mohou být libovolně zaměňovány vlastní a nevlastní body, proto např. elipsa, hyperbola a parabola jsou projektivně nerozlišitelné, neboli ekvivalentní. Věta Každá kuželosečka v projektivní rovině je vzhledem k vhodně zvolené bázi vyjádřena některou z následujících rovnic: 2 2 2 X+y+X0=0 0 (imaginární regulární kuželosečka) x2 + y2 - x2 = 0 regulární kuželosečka y2 - x2 = 0 dvě přímky 2 2 y + X = 0 bod (průsečík dvou imaginárních přímek) y2 = 0 jedna přímka (dvojnásobná) Zde jsou kuželosečky rozděleny podle míry degenerovanosti: regulární (hodnost 3), singulární hodnosti 2 a singulární hodnosti 1. Cvičení B Projektivní vlastnosti 36 (1) Potrénujte předchozí počítání s póly a polárami na nějakých jiných příkladech (viz např. následující obrázek nebo cvičení C na s. 45). (2) Osahejte si na konkrétních příkladech projektivní ekvivalenci kuželoseček (viz např. s. 34 v souboru III), ... (3) ... a to jak synteticky, tak analyticky. Y Úvod 1 Příklad 5 Kvadriky 17 Příklad 24 Cvičení 25 Projektivní vlastnosti 26 Příklad 33 Cvičení 36 Afinní vlastnosti 37 Cvičení 45 Metrické vlastnosti 46 Cvičení 62 Poznámky 63 Obecná dimenze 64 Úloha Apollóniova a pod. 66 Cvičení 72 Zdroje 73 O středu Afinní vlastnosti Na s. 31 jsme operovali se středem kružnice a uvědomili jsme si, že to není projektivní invariant. Střed kuželosečky (= její střed souměrnosti) je však zachován při afinních zobrazeních a víme, že ► střed kuželosečky je pólem nevlastní přímky, ► průměr kuželosečky je polárou nějakého nevlastního bodu. Poznámky Regulární kuželosečka má právě jeden střed, singulární kuželosečky mohou mít středů víc.11 Středové kuželosečky mají (aspoň jeden) vlastní střed, nestředové nemají (žádný) vlastní střed. 11 zejména každý singulární bod je středem O středu Afinní vlastnosti 39 Uvažme kuželosečku % určenou rovnicí ax2 + 2bxy + cy2 + 2dxx0 + 2eyx0 + fx2 = 0, tzn. matice odpovídající kvadratické formy je F = a b b c e d e f ozn. F := b c Bod S = (x : y : x0) je středem kuželosečky 7C, právě když platí xT-F-s = (* * o) tedy, právě když je řešením soustavy rovnic (a b ď 'x" b c e ■ y = 0, [d e f) a b ď b c e y \yXQ 'V (17) (18) (19) O středu Afinní vlastnosti Věta Kuželosečka 7C má právě jeden vlastní střed det F ^ o. Důkaz. Střed S je vlastní <^^> x0 ± 0. V takovém případě má soustava (19) jednoznačné řešení determinant matice soustavy je ^ 0. □ Poznámky Pokud nemá vlastní střed, potom nutně det F = 0. Pokud det F = 0, potom nemá vlastní střed (např. parabola) nebo má vlastních středů víc (např. dvojice rovnoběžek). O nevlastních bodech Afinní vlastnosti 41 Nevlastní body kuželosečky jsou její průsečíky s nevl. přímkou x0 = 0. Tedy bod N = (x : y : 0) je nevlastním bodem kuželosečky (17), právě když platí Věta Kuželosečka det F > 0, ► dva různé nevlastní body <^^> det F < 0, ► jeden nevlastní bod (dvojnásobný) <^^> detF = 0. Důkaz. Nemůže být současně x = 0ay = 0;po dělení x, resp. y je (20) kvadratickou rovnicí vzhledem k l, resp. -, jejíž diskriminant je ax2 + 2bxy + cy2 = 0. (20) D = 4b2 - 4ac = -4det F. □ Poznámky Afinní vlastnosti 42 Pokud je F = k • F jiná kvadratická forma určující tutéž kuželosečku, potom platí detF = k3- detF a detF = k2 • detF. Zejména det F a det F mají stejná znaménka, takže předchozí diskuze vskutku nezávisí na zastupující kvadratické formě! Tečna v nevlastním bodě kuželosečky je její asymptotou. Díky všem těmto vymezením se určování středů, průměrů a asymptot neliší od určování pólů, polár a tečen...12 12konkrétní ukázky jsou v úvodním příkladu na s. 9-12, viz též s. 33 Afinní klasifikace Afinní vlastnosti Afinní klasifikace kuželoseček se neliší od seznamu na s. 41 v souboru III, akorát konstanty a, b, p ak nemají výše uvedený význam. Věta Každá kuželosečka v afinní rovině je vzhledem k vhodně zvolené afinní souřadné soustavě vyjádřena některou z následujících rovnic: x2 + y2 + 1 = 0 0 (imaginární elipsa) x2 + y2 - 1 = 0 elipsa x2 - y2 - 1 = 0 hyperbola y2 - 2x = 0 parabola 2 2 y - x = 0 dvě různoběžné přímky y2-1 = 0 dvě rovnoběžné přímky y2 + x2 = 0 bod (průsečík dvou imaginárních různoběžek) y2 + l = 0 0 (průsečík dvou imaginárních rovnoběžek) y2 = 0 jedna přímka (dvojnásobná) Afinní klasifikace Afinní vlastnosti 44 Vzhledem ke značení a pozorování na s. 39-41 můžeme předchozí klasifikaci zpřehlednit následovně: detF ŕ 0 detF = 0 detF > 0 elipsa (re, im) bod detF < 0 hyperbola různoběžky detF = 0 parabola rovnoběžky (re, im, =) Poznámka Případy „re" a „im" značí existenci reálných bodů („im" znamená 0). Případ „=" značí jednu dvojnásobnou přímku; to je singulární kuželosečka hodnosti 1. V klasifikaci neuvažujeme singulární kuželosečky, jejichž tvořící přímka je nevlastní; takové kuželosečky nelze vyjádřit v afinních souřadnicích. Cvičení C Afinní vlastnosti (1) Podle předchozích návodů rozpoznejte kuželosečku určenou rovnicí x2 + 2xy + y2 + 2x + y = 0, resp. 8x2 + 4xy + 5y2 + 16x + 4y = 28, určete nevlastní body a střed. (2) Všechny výpočetní závěry doprovoďte obrázky a porovnejte s cvičením D ze souboru III. (3) Vyzkoušejte si, jak by vypadalo předchozí počítání pro nějakou singulární kuželosečku. Úvod 1 Příklad 5 Kvadriky 17 Příklad 24 Cvičení 25 Projektivní vlastnosti 26 Příklad 33 Cvičení 36 Afinní vlastnosti 37 Cvičení 45 Metrické vlastnosti 46 Cvičení 62 Poznámky 63 Obecná dimenze 64 Úloha Apollóniova a pod. 66 Cvičení 72 Zdroje 73 *0 kolmé polární bázi Metrické vlastnosti 47 V eukleidovském vektorovém prostoru V, tj. ve vekt. prostoru se skalárním součinem . : V x V —> R, ... ... uvažme kvadratickou formu F : \/^Rs polární formou f: V x V —> R a maticí F. Ptáme se, zda existuje polární báze vzhledem k F, která by byla současně ortogonální, neboli kolmá? Ptáme se, zda nás má předchozí otázka vůbec zajímat? Odpověď na obě otázky zní ANO, viz větu na s. 53. Nejdřív si však musíme uvědomit několik věcí... *Hlavní vektory Metrické vlastnosti Vektory tvořící ortogonální polární bázi jsou tzv hlavní vektory: Definice Vektor se nazývá hlavní, pokud je polárně sdružen s každým vektorem, který je k němu kolmý. Jinak řečeno, vektor u e V je hlavní, pokud pro lib. x e V platí u.x = 0=> f(u,x) = 0. (21) *Symetrická zobrazení Metrické vlastnosti Bilineární forma f: l/xl/^l. jednoznačně určuje lineární zobrazení : V —> V, a to následujícím způsobem: f (x, y) = x . 0(y) pro lib. x, y e V. (22) Jak f, tak . jsou symetrické formy, proto pro lib. x, y e V platí: x.ci>(y) = je symetrické <^^> jeho matice F vzhledem k lib. ortonormální bázi je symetrická. 3matice skalárního součinu vzhledem k ortonormální bázi je jednotková *0 hlavních a charakteristických vektorech Metrické vlastnosti 50 Lemma Vektor u je hlavním vektorem formy f < zobrazení u je charakteristickým vektorem Důkaz. Obraz lib. vektoru u vzhledem k můžeme vyjádřit jako (u) = cu + x pro nějaké ceRaxeu1. Pokud je u hlavním vektorem formy f, potom platí: 0 = f (u, x) = (u). x = (cu + x).x = cu.x + x.x = x.x. Odtud plyne, že x = o, tedy (u) = cu; tzn. u je char. vektorem . Naopak, pokud je u char. vektorem zobrazení , potom pro lib. x platí: f (u, x) = (u). x = lu . x = A(u . x) pro nějaké Ä e r. Odtud plyne (21), tzn. vektor u je hlavní. *0 symetrických zobrazeních Metrické vlastnosti 51 Symetrická zobrazení mají několik zajímavých vlastností, které obecná lineární zobrazení nemají: Lemma Pro každé symetrické lineární zobrazení : V —> V platí: (a) kolmý doplněk invariantního podprostoru je invariantní podprostor, (b) všechna charakteristická čísla jsou reálná, (c) char, vektory příslušné různým char, číslům jsou navzájem kolmé, (d) char, vektory příslušné char, číslu s násobnosti k tvoří vektorový podprostor dimenze k. *Důkaz věty o symetrických zobrazeních Metrické vlastnosti (a) Předp. U c V je invariantní, tj. 0(u) e U pro lib. u e U. Pro lib. veli1 platí 0 = 0(u). v = u . (v). Tzn. 0(v) e U±, tedy U1- je taky invariantní. (b) Předp. 0(u) = Au pro nějaké AeC. Potom pro lib. x platí14 f(u,x) = /lu.x a f(u,x) = f(u,x) =/lu . x. Odtud dostáváme Au . u = f(u, u) = f(u, u) = 7iu . u, tedy (i - i)u . u = 0. Pro u ^ o je u . u > 0, proto A = A, neboli AgR. (c) Předp. 0(u) = Au a 0(v) = kv. Potom platí Au . v = f(u, v) = f (v, u) = km . u, tedy (/1-k)u.v = 0. Z předpokladu i ^ k plyne u . v = 0. (d) Plyne z (a) a (b). 14 zde uvažujeme komplexní rozšíření V, f, *0 kolmé polární bázi! Nyní konečně odpovídáme na otázky ze s. 47: Metrické vlastnosti Věta Každá kvadratická forma F v eukleidovském vektorovém prostoru má ortogonální polární bázi, a ta je tvořena char. vektory matice F. Pokud je tato báze normovaná, potom matice formy F vzhledem k oné bázi je diagonální s char. čísly matice F na diagonále. Důkaz. První část je bezprostředním důsledkem tvrzení na s. 50 a 51. V druhé části si stačí připomenout, že pokud je (u) = Au, potom platí F(u) = f(u, u) = (u). u = Au . u. □ Pro obecnou kvadratickou formu je kolmá polární báze určena jednoznačně až na násobky hlavních vektorů. Věta o kolmé polární bázi bude představovat nejúčinnější nástroj k hledání os kuželoseček (a kvadrik) včetně jejich velikostí... Metrické vlastnosti Metrické vlastnosti S metrickými záležitostmi jsme celý blok zahajovali, takže se nemusíme príliš opakovat. Zejména osy, hlavní průměry a jejich velikosti, excentricita, ohniska, řídící přímky apod. jsou všechno pouze metrické invarianty. Pro zajímavost doplňujeme: Věta Ohnisko je pólem řídící přímky, řídící přímka je polámu ohniska. Důkaz. Plyne z předchozího popisu, viz též upřesnění na s. 14 v souboru III... □ Poznámky Metrické vlastnosti Ohnisko a řídící přímka byly definovány pouze pro regulární kuželosečky, a to vztahem \XF\ : \Xd\ = konst., kde F je ohnisko, d řídící přímka a X lib. bod na kuželosečce. Je zajímavé, že v tomto duchu lze charakterizovat také (některé) ostatní kuželosečky... Fčd Fed konst. < 1 elipsa (re) bod konst. > 1 hyperbola různoběžky konst. = 1 parabola rovnoběžky (=) Metrická klasifikace Metrické vlastnosti Metrickou klasifikaci známe již ze s. 41 v souboru III; pro pořádek zopakujeme: Věta Každá kuželosečka v eukleidovské rovině je vzhledem k vhodně zvolené kartézské souřadné soustavě vyjádřena některou z následujících rovnic: = 0 0 (imaginární elipsa) *V2-i a2 b2 = 0 elipsa, příp. kružnice (pro a = b) x2 y2 a2 b2 = 0 hyperbola y2 - 2px = 0 parabola y2 - k2x2 = 0 dvě různoběžné přímky y2-k2 = 0 dvě rovnoběžné přímky y2 + k2x2 = 0 bod (průsečík dvou imaginárních různoběžek) y2 + k2 = 0 0 (průsečík dvou imaginárních rovnoběžek) y2 = 0 jedna přímka (dvojnásobná) Upresnení: charakteristická čísla Metrické vlastnosti Hlavní vektory kuželosečky jsou charakteristickými vektory matice F, viz s. 50. Charakteristický polynom lze vyjádřit takto15 det(F - AE) = A2 - tr F-A + det F = 0, kde tr značí stopu matice, tj. součet čísel na diagonále. Kořeny, tzn. charakteristická čísla, označíme A\ aA2; tedy det F =/i-i-/k a trF = A-\ + A2. Zejména znaménko, příp. nulovost det F souvisí se znaménky, příp. nulovostí A\ a A2, viz dále. 15viz příklad na s. 13 Upresnení: klasifikace Metrické vlastnosti Vzhledem k dosavadním značením a pozorováním můžeme předchozí klasifikaci (s. 44) popsat následovně: detF ± 0 det F = 0 sgn XA = sgn Ä2 elipsa (re, im) bod sgn XA = - sgn X2 hyperbola různoběžky XA = 0 nebo A2 = 0 parabola rovnoběžky (re, im, =) Poznámky Speciálně, pokud platí X\ = X2, potom je každý směr hlavní, tzn. každý průměr určuje osu souměrnosti (např. u kružnice). Pokud je XA =0 nebo X2 = 0, potom odpovídající směr ukazuje na nevlastní střed kuželosečky (např. u paraboly). Upresnení: středové Metrické vlastnosti Jaký je vztah mezi charakteristickými čísly matice F a číselnými charakteristikami kuželosečky 7C? Středová kuželosečka má ve vhodné kartézské souřadné soustavě (tvořené normovanými hlavními vektory) rovnici AA x2 + A2y2 + i = 0 pro nějaké i e r. Při přechodu mezi ortonormálními bázemi se det F ani det F nezmění, tedy det F = A-\ ■ A2 ■ i a det F = A\ ■ A2. Odtud vidíme, že ť = det F det F Porovnáním s kanonickými tvary na s. 56 zjišťujeme, že a2 = e i a b2 = Ä2 resp. k2 — Äo (24) Upresnení: nestředové Metrické vlastnosti Regulární nestředová kuželosečka má ve vhodné kartézské souřadné soustavě (tvořené normovanými hlavními vektory) rovnici A2y2 + 2mx = 0, pro nějaké m e r. Při přechodu mezi ortonormálními bázemi se detF (ani detF = 0) nezmění, tedy det F = -A2- m2. Odtud můžeme vyjádřit m; porovnáním s kanonickým tvarem na s. 56 zjišťujeme, ze p2 = detF (25) Pro singulární nestředové kuželosečky je det F = det F = 0, tedy vztah mezi A2 a k z kanonického tvaru není zřejmý... Poznámky Metrické vlastnosti 61 Pokud je F = k • F jiná kvadratická forma určující tutéž kuželosečku, potom platí detF = k3 • detF, detF = k2 • detF, A\=k-Ai a A'2 = k-A2. Tedy předchozí úvahy a zejména závěry v (24) a (25) vskutku nezávisí na zastupující kvadratické formě! Cvičení D Metrické vlastnosti (1) Podle předchozích návodů rozpoznejte kuželosečku určenou rovnicí x2 + 2xy + y2 + 2x + y = 0, resp. 8x2 + 4xy + 5y2 + 16x + 4y = 28, určete hlavní směry (osy) a číselné charakteristiky kuželosečky. (2) Všechny výpočetní závěry doprovoďte obrázky a porovnejte s cvičením D ze souboru III. (3) Vyzkoušejte si, jak by vypadalo předchozí počítání pro nějakou singulární kuželosečku. (4) Dokažte tvrzení na s. 54. Úvod 1 Příklad 5 Kvadriky 17 Příklad 24 Cvičení 25 Projektivní vlastnosti 26 Příklad 33 Cvičení 36 Afinní vlastnosti 37 Cvičení 45 Metrické vlastnosti 46 Cvičení 62 Poznámky 63 Obecná dimenze 64 Úloha Apollóniova a pod. 66 Cvičení 72 Zdroje 73 Analogie Poznámky 64 Obecnou definici n-rozměrné kvadriky jsme uvedli na s. 21. Většina poznatků, které jsme formulovali pro kuželosečky (n = 1), mají zřejmá zobecnění: ► n-rozměrná kvadrika je jednoznačně určena \ {n + 4)(n + 1) body v dostatečně obecné poloze; (s. 23) ► regulární/singulární body a kvadriky beze změny; (s. 22) ► polární sdruženost beze změny, akorát místo polár máme polární nadroviny a místo tečen řečné nadroviny; (s. 30) ► sřřec/y a průměry beze změny, akorát místo asymptot máme asymptotické nadroviny; (s. 38) ► osy, hlavní průměry a jejich velikosti beze změny. (s. 59) Podstatnější rozdíly pozorujeme pouze při klasifikacích — myšlenky jsou stejné, akorát se musíme zorientovat ve více možnostech. Podrobnosti a ostatní zajímavosti lze najít např. v [S, JS]... n = 2: klasifikace Poznámky 65 Náznak afinní klasifikace 2-rozměrných kvadrik je na následujícím obrázku Double Planes \ Intersecting Planes Elliptical Cylinders Parabolic Cylinders Hyperbolic Cylinders ■L X Elliptical Paraboloids Cones i Hyperbolic Paraboloids Ellipsoids Hyperboloids (2 sheet) Hyperboloids (1 sheet) Úloha Apollóniova Poznámky 66 Úkolem obecné Apollóniovy úlohy je sestrojit kružnici (resp. cyklus),16 která se dotýká tří daných kružnic (resp. cyklů). Středy cyklů, které se dotýkají dvou daných cyklů tvoří vždy nějakou kuželosečku (k) — pro cykly a, b se středy A, B a poloměry ra, rb platí: Věta ► Je-li\ra - rb\ > \AB\, pak k je elipsa s ohnisky A, B a délkou hlavní osy \ra - rb\. ► Je-li\ra - rb\ < \AB\, pak k je hyperbola s ohnisky A, B a délkou hlavní osy \ra-rb\. Zde uvažujeme ra,rb e r jako orientované poloměry, tzn. znaménko ra odpovídá orientaci cyklu a. Ve speciálních, resp. mezních případech může být kuželosečka k kružnicí nebo přímkou... 6cylkus = orientovaná kružnice Řešení pomocí průniku kuželoseček (1) Středy cyklů, které se dotýkají tří dvojic daných cyklů, tvoří tři kuželosečky; (2) středy hledaných cyklů (A^ a M2) jsou společnými body těchto tří kuželoseček; (3) dotykové body jsou na spojnicích středů. Gergonovo řešení Poznámky 68 Jiné řešení Apollóniovy úlohy je založeno na polární sdruženosti (vzhledem k daným kružnicím). Zdůvodnění následující konstrukce plyne z těchto poznatků: (a) spojnice (li) dvojic dotykových bodů na každém cyklu prochází společným bodem (P), jež je potenčním středem daných tří kružnic; (b) póly (Lj) těchto spojnic vzhledem k odpovídajícím kružnicím leží na jedné přímce (ch), jež je právě chodrálou dvou kružnic řešení; (c) přímka ch je osou podobnosti tří daných cyklů;17 (d) protože Lj e ch a Lj je pól /,-, musí pól ch vzhledem ke každé z daných kružnic ležet na odpovídající přímce li. 17tj. spojnice tří středů stejnolehlosti Gergonovo řešení (1) chab, chbc, chac jsou chordály tří dvojic daných kružnic, jež prochází jejich potenčním středem P (2) Oab, Obc, °ac jsou středy stejnolehlostí tří dvojic daných cyklů, jež leží na jejich ose podobnosti; (3) Pa, Pb, Pc jsou póly této přímky vzhledem k daným kružnicím; (4) dotykové body jsou na spojnicích PPa, PPb, PPC. Lieova kvadrika Poznámky 70 Jiné řešení úlohy Apollóniovy je založeno na identifikaci cyklů v eukleidovské rovině s body na 3-rozměrné tzv. Lieově kvadrice a polární sdruženosti (vzhledem ktéto kvadrice): Cyklus c se středem (Ci : C2 :1) a poloměrem rc určuje bod ve 4-rozměrném projektivním prostoru který navíc leží na 3-rozměrné kvadrice QoP(V) určené kvadratickou formou F : V -> R s maticí Č := (Ci : C2 : rc : C2 + C22 - řc : 1), F '1 0 0 0 lo 0 o 1 o 0 -1 o o o o o o o o o > o o o Lieova kvadrika Poznámky Přiřazení cyklus c v eukleidovské rovině i-> bod Č na Lieově kvadrice je injektivní;18 přímým rozepsáním se přímo ověří, že Věta Cykly c ad se dotýkají <^^> body Č a Ď jsou polárně sdružené. Tedy algebraické řešení úlohy Apollóniovy vypadá takto: (1) Pro tři dané cykly a, b, c19 uvažme odpovídající body Á, B, Č na Lieově kvadrice ácf(V); (2) všechny body v P(V), které jsou polárně sdružené k Á, B, Č vzhledem ke Q, tvoří přímku (řešení soustavy 3 lineárních rovnic); (3) tato přímka protíná kvadriku Q ve dvou bodech M, Ň (řešení 1 kvadratické rovnice); (4) tyto body odpovídají dvěma hledaným cyklům m, n. 8lze rozšířit také pro body (r = 0) a přímky (r = oo), čímž se z tohoto přiřazení stane bijekce 9v dostatečně obecné poloze (ve spec. případech může být řešení víc nebo taky žádné) Cvičení E Poznámky 72 (1) S využitím poznatků tohoto kurzu zpracujte jakýkoli (váš oblíbený) příklad, a to nejlépe interaktivní formou.20 (2) Zapátrejte v literatuře, příp. ve vzpomínkách, a najděte další aplikace kuželoseček a kvadrik. viz např. http://geogebra.org Úvod 1 Příklad 5 Kvadriky 17 Příklad 24 Cvičení 25 Projektivní vlastnosti 26 Příklad 33 Cvičení 36 Afinní vlastnosti 37 Cvičení 45 Metrické vlastnosti 46 Cvičení 62 Poznámky 63 Obecná dimenze 64 Úloha Apollóniova a pod. 66 Cvičení 72 Zdroje 73 Literatura [JS] J. Janyška, A. Sekaninová, Analytická teorie kuželoseček a kvadrik, MU, 1996, http://www.math.muni.cz/~janyska/LAKUZ.pdf [R] K. Rektorys a kol., Přehled užité matematiky, SNTL, 1968 [S] M. Sekanina a kol., Geometrie I a II, SPN, 1988 [Š] Z. Šír, Řecké matematické texty, OIKOYMENH, 2011 [Z] P. Zlatoš, Lineárna algebra a geometria, Bratislava, 2011, http://thales.doa.fmph.uniba.sk/zlatos/la/LAG_A4.pdf Obrázky [S], 3 http://conicsectionjpg.blogspot.com/, 3 http://etc.usf.edu/clipart/, 3, 37 http://wikimedia.org/, 3, 66