MAs04: Vybrané partie ... I. Symetrie II. Stereometrie III. Kuželosečky IV. ... a kvadriky Doporučené čtení: [A] M.A. Armstrong, Groups and symmetry, Springer, 1988. 26. dubna 2019, Vojtěch Žádník http://is.muni.cz/el/1441/jaro2019/MAs©4/ Symetrie ze široka1 úvod 1 http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry Symetrie úžeji2 3 2http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_(geometry) 3http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_in_mathemat Symetrie přesněji Úvod 3 Symetrie objektu X vzhledem k nějaké struktuře = = automorfizmy oné struktury zachovávající objekt X. = bijekce zachovávající onu strukturu a objekt X. Symetrie (bez přívlastku) čtverce = shodnost zobrazující čtverec na sebe. Shodnost/afinita/projektivita = symetrie eukleidovské/afinní/projektivní roviny, resp. prostoru. Symetrie obecné množiny = obecné bijektivní zobrazení (permutace). Symetrie diferenciální rovnice = transformace zobrazující řešení na řešení. Apod. Symetrie tvoří grupu ... viz akce grupy na množině.4 4http://is.muni.cz/el/1441/podzim2018/MAsOl/um/ Plán Grupy symetrií konečné/nekonečné, ► diskrétní/spojité, ► periodické/neperiodické. Vše převážně v eukleidovské rovině/prostoru. Příklady, obecné úvahy, vybrané klasifikace. Cvičení A Úvod 5 Nutné: (1) Popište symetrie trojúhelníku, čtverce, pravidelného n-úhelníku. (2) Popište symetrie přímky, kružnice, elipsy, ... (3) Popište symetrie svého oblíbeného pravidelného mnohostěnu. (4) V předchozích cvičeních popište rozdíly mezi eukleidovskými/afinními/projektivními symetriemi. (5) Popište symetrie celé eukleidovské/afinní/projektivní roviny. ... v dalším budeme navazovat... Doporučené: (5) Připomeňte si známé vztahy pro kořeny algebraické rovnice, které jsou symetrické vzhledem k jejich permutacím. (6) V této souvislosti si připomeňte diskriminant (aspoň pro kvadratické rovnice). (7) Popište symetrie diferenciální rovnice y' = ... symetrie jsou nejen hezké, ale taky užitečné! Vesměs opakování Shodnosti v rovině 6 Analytická vyjádření 10 Cvičení 19 Shodnosti v prostoru 20 Cvičení 21 Základní věci Shodnosti v rovině 7 Základní myšlenkový posun:5 ► od shodných útvarů v rovině ke shodným transformacím celé roviny. Základní vymezení: ► shodné zobrazení zachovává vzdálenosti bodů. Základní důsledky: ► shodné zobrazení zachovává kolineárnost bodů, poměry trojic (čtveřic,...) bodů, rovnoběžnost, odchylky, obsahy, ... Základní shodnost: ► osová souměrnost... 5http://is.muni.cz/el/1441/jaro2019/MAsO5/um/planimetrie/ Klasifikace Shodnosti v rovině 8 Základní poznatek: ► Každá shodnost v rovině je složením nejvýše tří osových souměrností: c Základní klasifikace: (a) identita = složení dvou os. soum. takových, že o^ = o2, (b) posunutí = složení dvou os. soum. takových, že Oi||o2, (c) otáčení = složení dvou os. soum. takových, že Oi a o2 jsou různoběžné, (d) středová souměrnost = složení dvou os. soum. takových, že o^ _l o2, (e) osová souměrnost = jedna os. soum., (f) posunutá souměrnost = složení tří obecných os. soum. 1655820403 Poznámky Shodnosti v rovině 9 Shodnost s přímkou samodružných bodů je právě osová souměrnost (e). Shodnosti (a)-(d) jsou přímé (zachovávají orientaci), shodnosti (e)-(f) jsou nepřímé (mění orientaci). Pojmenování (f) je odvozeno z možného rozkladu na osovou souměrnost a posunutí: Vesměs opakování Shodnosti v rovině 6 Analytická vyjádření 10 Cvičení 19 Shodnosti v prostoru 20 Cvičení 21 Analytické vyjádření Analytická vyjádření 11 (Afinní) transformace v rovině je dána obrazem tří bodů v obecné poloze; k vyjádření obrazu obecného bodu užíváme matic ...6 6http://www.geogebra.org/m/Wpij CH4E Analytické vyjádření Analytická vyjádření 12 Afinní obecně Analytická vyjádření Pozor: rozšířený řádek máme jednou dole, jindy nahoře!7 7Jednou možná sjednotím... Skládání Analytická vyjádření 14 Zde hledáme matici obecného zobrazení určeného obrazy bodů A,B,C pomocí složení dvou jednodušších transformací (a jedné inverze). Skládání obecně Analytická vyjádření 4 fi o J li k'ex ■* c f 5 / i__o i Další dobrý důvod proč užíváme rozšířených matic je, že se do nich vlezou také všechna projektivní zobrazení... (Sub)matice shodností v rovině Analytická vyjádření 1 6 o-- b- Pro kontrolu: determinant matice vlevo je 1 > 0, vpravo je -1 < 0. (Sub)matice shodností obecně Analytická vyjádření 1 7 Typ zobrazení je zakódován v (sub)matici D; vektor C představuje dodatečné (a neškodné) posunutí... Klasifikace podle samodružných prvkir Analytická vyjádře PS. Saraodrwoé 1 . směry Ka mo drnžn é^\_ 1 body Žádný * * Právě dva na sebe kolmé Každý 1 Žádný Posunutá souměrnost P Posunuti Právě jeden f cosa -sina )v P X ■= | . X V smet cosa / a*fai, k celé' Rotace o úhel a se středem v počátku- • l o -i; Středová souměrnost podle počátku i Vyplní přímku Ví Souměrnost podle osy jc • Každý Xr- X P Identita viz též charakteristická čísla/vektory. Cvičení B Analytická vyjádření 1 9 (1) Vyjádřete shodnost na s. 11 jako složení osových souměrností, a to jak elementárně (konstrukčně), tak analyticky. (2) Určete samodružné body a směry této shodnosti. (3) Dokažte, že klasifikace na s. 8 je úplná: křížením druhů z uvedeného seznamu dostaneme opět druh z onoho seznamu. (4) Řešte analyticky cvičení (A. 1-2) na s. 5. (5) Uvědomte si, že před chvílí jsme analyticky vyřešili část cvičení (A.5) na s. 5. Vesměs opakování Shodnosti v rovině 6 Analytická vyjádření 10 Cvičení 19 Shodnosti v prostoru 20 Cvičení 21 Cvičení C Shodnosti v prostoru 21 (1) Uvědomte si, která z předchozích pozorování jsou obecně platná a která se týkají dimenze 2. (2) Pro pozorování druhého typu najděte analogie pro dimenzi 3 (příp. obecně). (3) Zejména si uvědomte, co je základní shodnost v prostoru (dimenze n). (4) Konfrontujte svoje závěry ze cvičení (A.3) na s. 5 s případnými analytickými vyjádřeními.9 9http://www.geogebra.org/m/wnysm9yy Vesměs nové Značení Rozetové vzory Cvičení Frízové vzory Cvičení Tapetové vzory Cvičení Cvičení Značení a moudro Značen Eukleidovská rovina... R2 Grupa všech shodností v rovině ... E2 := sym R2 Podgrupa všech posunutí (translací) ... T2cE2 Podgrupa všech shodností zachovávajících počátek, tj. stabilizátor počátku ... 02c£2 E2 = T2 x 02 ... polo-přímý součin10 r2 = E2/02 ... eukleidovská rovina = faktorová množina11 grupy shodností „Celá eukleidovská geometrie je určena právě grupou shodností."'12 1uviz s. 15 11 nikoli však faktor-grupa (neboť O2 c E2 není normální) 12http://en.wikipedia.org/wiki/Erlangen_program Značení a terminologie Rovinný útvar... Xcť Grupa symetrií útvaru X ... G = sym X, Značení 24 tj. G = {geE2\ g(X) = x) Translační podgrupa útvaru X ... T ■= G n T2 Bodová grupa útvaru X ... O := íf e 02 | ex. translace ř e T2 tak, že ř o f e G O c 02 ... podgrupa13 0+c02+... podgrupa přímých symetrií 0_c02" ... nepřímé symetrie (netvoří podgrupu!) 6=7x0... polo-přímý součin G = netriviální, diskrétní... X = vzor 7 = {id} ... rozetový vzor T = Z ... frízový vzor T = Z x Z ... tapetový vzor 13Pozor: O^Gn02! Vesměs nové Značení Rozetové vzory Cvičení Frízové vzory Cvičení Tapetové vzory Cvičení Cvičení Cvičení D Rozetové vzory 26 Vzpomínka na cvičení (A.1) na s. 5: (1) Uvědomte si, že grupa přímých symetrií pravidelného n-úhelníku je izomorfní cyklické grupě řádu n ... ozn. Cn. (2) Uvědomte si, že grupa všech symetrií pravidelného n-úhelníku je izomorfní tzv. dihedrální grupě řádu n ... ozn. Dn = Cnx Z2. (3) Cyklické a dihedrální grupy jsou definovány také pro n = 1 a 2. Konfrontujte s předchozími představami a ukažte, že ► apod. Leonardova věta Rozetové vzory Věta G = konečná podgrupa E2 G = Cn nebo G = Dn. Důkaz. Plyne z klasifikace na s. 8: Aby grupa G byla konečná, nemůže obsahovat ► posunutí, ► posunutou souměrnost, ► dvě rotace s různými středy,14 ► rotaci a osovou souměrnost s osou neprocházející středem rotace.15 Co nám vlastně zbylo? Pouze rotace s jedním společným středem a osové souměrnosti s osou procházející tímto středem ... □ 14 Pokud by r\, r2 byla taková otáčení, potom by r1or2o r~1 o r~1 bylo posunutí. 15 Pokud by r, resp. o byla taková rotace, resp. souměrnost, potom by r o o byla posunutá souměrnost. Závěr Věta Vzory s konečnými grupami symetrií jsou právě rozetové vzory Několik navzájem neizomorfních typů může vypadat takto Vesměs nové Značení Rozetové vzory Cvičení Frízové vzory Cvičení Tapetové vzory Cvičení Cvičení Cvičení E Frízové vzory 30 (1) Co mají následující vzory společného a v čem se liší? (2) Najdete další příklady s neizomorfními grupami symetrií? Značení a první krok Frízové vzory 31 Základní symetrie, kterou mají všechny frízové vzory, je ► posunutí (nejkratší možný vektor ozn. ŕ), tj. T = (t) = [kt | k e Z}. Další možné symetrie musí být kompatibilní s T (zejména musí zachovávat celou frízu): ► osová souměrnost podle vodorovné osy x (ozn. ox),16 ► osová souměrnost podle svislé osy y (ozn. oy), ► středová souměrnost se středem c na ose x (ozn. sc), posunutá souměrnost s vektorem r kolineárním s ř (ozn. gT). Zejména, O c (ox, oy, sc), kde c = počátek a x, y prochází počátkem. Jednotlivé frízové grupy G = T x O budeme rozlišovat právě pomocí generátorů... 16 Pomocné osy volíme tak, že ř je „vodorovný". Druhý krok: skládání Frízové vzory S odkazem na předchozí značení a klasifikaci shodností (s. 8) zjišťujeme, že17 ► Oy e G => O/ e G, kde y' = ŕk(y), ► sc e G => sC' e G, kde c' = c + kŕ, ► gT e G => t = kt nebo t = f ŕ, ► ox e G <=> gf e G, ► ox,oy> e G => sc e G, kde c = xny', ► ox, sc e G => oy/ e G, kde y' b c, ► Oy, sc e G, potom ox e G <^^> c e y. ► Oy, sc e G a c g y => e G. Kromě ř (který je všude), stačí uvažovat jenom následujících několik generátorů: Ox, Oy, SC, Ql_. Máme tedy nejvýše 24 = 16 možností do diskuze... 17Přeložte si uvedené zhuštěné zápisy do slušného jazyka. Třetí krok: generování Rízovévzory 33 Probíráme možnosti, doplňujeme generátory, určujeme důsledky, porovnáváme s předchozími grupami. Nové výsledky zvýrazníme a doplníme ilustraci: ► G = (t_) LLL, QQQ ► G = (ř, ox) = (t, ox,gt) CCC, EEE ► G = (t,oy) AAA, VVV ► G = (t,sc) NNN, SSS ► G = (Ugt) LI~L ► G = <ř, ox, oy> = <ř, Ox, oy, sc, gt) HHH, 000 ► G = <ř,ox,sc) = <ř, ox,sc,Oy',gt) ► G = <ř,ox,gř> = í<ř,oy,sc,Ox,gř), pokud c e y ► G = <ř, Oy, sc) = j ^ ^ ^ ^ x pokyd c ^ y VAV v ► G = <ř,oy,gt) = (t,Oy,g± ,sc) ► G = <ř,sc,gř> = (ř,sc,gř,oy) ► Atd...18 18Ujistěte se, že vás v ostatních případech už nic nepřekvapí. Závěr *,19 Frízové vzory 34 Věta Mezi všemi frýzovými vzory existuje právě sedm typů s navzájem neizomorfními grupami symetrií. Všech sedm typů je na následujícím obrázku: ■x- \L- >L \L vL -A, ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ PH.l 9http://en.wikipedia.org/wiki/Frieze_group Vesměs nové Značení Rozetové vzory Cvičení Frízové vzory Cvičení Tapetové vzory Cvičení Cvičení Cvičení F Tapetové vzory 36 (1) Co mají následující vzory společného a v čem se liší? (2) Najdete další příklady s neizomorfními grupami symetrií? Značení a plán Tapetové vzory 37 Základní symetrie, které mají všechny tapetové vzory, jsou ► posunutí ve dvou směrech (nejkratší možné nezávislé vektory ozn. u a v), tj. T = (u, v) = {ku + lv\k,le Z}. Stejně jako na s. 31, translační grupa T ovlivňuje silně bodovou grupu O a G= TxO. Na rozdíl od s. 31, rozbor možností bude o něco komplikovanější; pomůžou nám mrizky: Mřížka tapetového vzoru = orbita počátku vzhledem k akci translační grupy, ozn. L = 7(0). Rozlišíme několik málo typů mřížek a analýzou základní oblasti (která se pak periodicky opakuje) rozlišíme několik málo typů tapetových vzorů... První krok: mřížky Tapetové vzory 38 Minimální generující vektory T lze vybrat několika způsoby; volme jednou pro vždy tak, aby \\u\\ < \\v\\ a i(u, v) < 90°. Potom platí: \\u\\ < ||v|| < \\u - v\\ < \\u + v||. Podle rovností/nerovností mezi touto čtveřicí velikostí vektorů rozlišujeme následující typy mřížek: (a) < < < ... kosoúhlá (b) < < — ... pravoúhlá (c) < — — ... centrovaná pravoúhlá (d) = < — ... čtvercová (e) — — < ... šestiúhelníková (f) — < < ... nic nového20 (g) < = — ... není možné (h) — — — ... není možné opět centrovaná pravoúhlá, pouze jinak reprezentovaná První krok: mřížky Tapetové vzory Ü o o D —Jř-1 O * o o o o o Oblique o o o o o Ree í ang uíar O i O ODO O O O o o a o o Centred Rectangular f—t ° ° *-3* O O a o D o o o Square Ú O o o o H e x ago na I Druhý krok: omezení Tapetové vzory 40 Věta Bodová grupa O působí na mřížce L. Připomínáme, že L = 7(0) = orbita počátku vzhledem k akci podgrupy T. Důkaz. Pro x e L a f e O chceme ukázat, že f (x) e L: f (x) = f(ŕ(0)) pro nějaké ř e T = f(ř(f_1 (0))) neboť O je stabilizátor 0 = (f o ŕ o f-1 )(0) e L neboť T je normální podgrupa v G □ Pozor: tvrzení obecně neplatí pro celou grupu G!21 21 viz posunuté souměrnosti. Druhý krok: omezení Tapetové vzory 41 Máme jenom několik typů mřížek (s. 38) a víme, že bodová grupa zachovává mřížku (s. 40). Odtud dostáváme následující omezení: Věta Pokud O obsahuje rotaci, potom její řád je 2, 3, 4, nebo 6 (tedy úhel otáčení je 180°, 120°, 90°, nebo 60°, a žádný jiný). Poznámka Tapetové vzory 42 Nezávisle na charakterizaci typů mřížek, lze předchozí omezení zdůvodnit také takto: Předpokládejme, že u e T je nejkratší možný vektor. Pro lib. f e O patří koncový bod vektoru f(u) do mřížky, tedy f(u) e T. ► Pokud by f byla rotace řádu > 6, potom by úhel otáčení byl < 60°. Pak by ovšem vekor f(u) - u e T byl kratší než u, což je ve sporu s předpokladem minimálnosti u. ► Pokud by f byla rotace řádu 5, potom by úhel otáčení byl 72°. Pak by ovšem vekor ř2(u) + ue T byl kratší než u, což je tentýž spor. a Třetí krok: generování Tapetové vzory 43 Na základě předchozích omezení, lze nyní popsat všechny možné tapetové grupy (ve stejném duchu jako na s. 33): Podle typu mřížky doplňujeme přípustné symetrie, určujeme důsledky a rozlišujeme neizomorfní případy... Úplná diskuze je pochopitelně značně rozsáhlá.........22 22 viz např. [A, kapitolu 26] nebo [M, kapitolu 11] Závěr K ,23 Tapetové vzory 44 Věta Mez/ všem/ tapetovými vzory existuje právě sedmnáct typů s navzájem neizomorfními grupami symetrií. Základní oblasti se schematicky vyznačenými symetriemi vypadají takto: P 2 p rr □-e- n P4 p4rTnn \v__> -4 p4$m Pí I---í ~ i 0 I 0 I _l_ l I I o , o L _ _ L _ p2m«n \ 9 í I_I_I 1 1 - e -i i 1 1 1 i -é-i 1—!-H 1 -4-i P3 p3m1 p31m c 2m m P6 p6 m i http://en.wikipedia.org/wiki/Wallpaper_group Závěr Tapetové vzory Několik skutečných vzorů z dílny M. C. Eschera24 (s vyznačenými základními oblastmi (se schematicky vyznačenými symetriemi) rukou A. Pokorného25) vypadá takto: http://en.wikipedia.org/wiki/M._C._Escher http://is.mimi.cz/th/£bb51 Cvičení G Tapetové vzory 46 (1) Doplňte podrobnosti k něčemu, co zde není zpracováno úplně. 6 (2) Uvědomte si, že mnohé poznatky formulované v kapitole o tapetových grupách jsou obecně platné, ...27 (3) ... proč jsme o nich nepotřebovali mluvit v kapitole o frízových grupách, ... (4) ... a jaké je asi jejich uplatnění v trojrozměrných analogiích, tedy v klasifikaci tzv. krystalografických grup.28 viz např. poznámky po čarou na s. 23, 24, 27, 32, 33, 38, 40, 43 viz např. pojem mřížky nebo větu na s. 40 http://en.wikipedia.org/wiki/Space_group Literatura [A] M.A. Armstrong, Groups and symmetry, Springer, 1988. [K] F. Kuřina, Deset geometrických transformací, Prometheus, 2002 [M] G.E. Martin, Transformation geometry, Springer, 1982. [S] M. Sekanina a kol., Geometrie I a II, SPN, 1988 Obrázky [A], 22, 27, 29, 40, 43, 45 [K], 12 [M], 10 [S], 9 http://etc.usf.edu/clipart/, 2, 3, 29 http://wikipedia.org/, 2, 3, 31, 37 http://www.oswego.edu/, 35 Escher, M.C, 46 Pokorný, A., 46 Říha, O., 19 Sekora, O., 2, 29