MAs04: Vybrané partie
I. Symetrie
II. Stereometrie
III. Kuželosečky
IV. ... a kvadriky
Poznámky a nápovědy ke cvičením
21. června 2019, O. Schneider, P. Vyhnálková, V. Žádník http://is.muni.cz/el/1441/jaro2019/MAs04/
I. Symetrie 1
II. Stereometrie 5
III. Kuželosečky 17
IV. ... a kvadriky 25 Zdroje 29
Symetrie přímky — cvičení (A2) (A4) (B4)
I. Symetrie 2
(a) snooze -^ , , .,,„,, ^
-   & *. H*y ^n^g 6 Kň 7, -g **i     O  í    £ * *j f n m* ft-c fir t ty, a
^ ^---— n'v  tott^íncť.  ma.   y. O
W   af/'asa/i        . -i-ŕ- /"J ^/>J? )./*L/J-)
—        ft- M í
(>; ? t oj e far i v a/'   —-h ' t —f—t
* « C      a' c'     »' . -   qj-.en-ť-^arD^/    ■ *     " * ^ ' ---
1*J±I €/fi\/ S
Symetrie kružnice — cvičení (A2) (A4) (B4)
I. Symetrie
ľ *
1 H O 1) M £        —        A  F1 t I —        f /<L O J e fc J / iy /W
>
«t   M A   í' f I C
/7 V1 / />, Ä
'x
Symetrie elipsy — cvičení (A2) (A4) (B4)
I. Symetrie
|)f r/c a t r/"-v
f je. o j £ k r/'t//v|
<g .e híka "£"£> <
L tvj
M-
* O
s poj / r*
I. Symetrie 1
II. Stereometrie 5
III. Kuželosečky 17
IV. ... a kvadriky 25 Zdroje 29
Průnik přímky a roviny — cvičení (A2)
Připomeňte si konstrukční a analytické řešení úlohy na s. 10.
II. Stereometrie 6
... řešení velmi snadné, neboť rovina C je kolmá k půdorysně (čteme zdola: nejprve F?i, potom R2). .
Průnik přímky a roviny — cvičení (A2)
II. Stereometrie 7
-zo mu - if H&C ->ié -o
... vskutku: v rovnici roviny C chybí z, tedy C je rovnoběžná s osou z, tedy C je kolmá k rovině určené osami x a y (půdorysna).
Průnik přímky a roviny — cvičení (A2) m. stereometrie 8
Připomeňte si konstrukční a analytické řešení úlohy na s. 10.
... řešení pro obecně postavenou rovinu C vzhledem k pomocným průmětnám (opět čteme zdola: nejprve    , potom R2).
Průnik přímky a roviny — cvičení (A2)
II. Stereometrie 9
Lij
p t'í
-L   ~1 'Á
t ' -A i Aj ~4 -U Ifíl-l
... při analytickém řešení to vyjde skoro nastejno — jedna lineárni rovnice a jedna neznámá (zde navíc nejprve hledáme rovnici roviny určené třemi body)
Měření — cvičení (A4)
II. Stereometrie 10
Připomeňte si základní měřičské úlohy
b
Indi - itfrf
Měření — cvičení (A4)
II. Stereometrie   11
0 /&ttiÁ**&fs /fřdjtA / M'_
A
J
r
7^  pif,-- ý,H,-3)±&t)-fy
as- ÍTíl    13) , , pí
ô
1 mP
Měření — cvičení (A4)
II. Stereometrie 12
... tento nápad funguje obecně (pro lib. podprostory v lib. prostoru) a nikdy nezklame (soustava lineárních rovnic)
Objem rovnoběžnostěnu — cvičení (B2)
II. Stereometrie 13
Připomeňte si pokračování príbehu na s. 19
"í
-i
/ —
J-
... takto jsou předchozí postřehy a závěry vyjádřeny pomocí vektorů (vektory w, lze určit pomocí Gramova-Schmidtova nakolmovacího procesu)
Objem rovnoběžnostěnu — cvičení (B2)
II. Stereometrie 14
... náznak důkazu — odkazujeme na multilineárnost skalárního součinu a (správně chápaného) determinantu
Objem koule — cvičení (C1)
II. Stereometrie
Q/]    (1) Odvoďte předchozí větu přímo pomocí Cavalieriho principu.
IMA/. ŠjAas
/
Cavalieriův princip lze použís například pro výpočet objemu koule elementárními prostředky, jak je znázorněno na animaci. Nejdříve ukážeme, že polokoule o poloměru R má stejný objem jako válec s podslavoii o poloměru fiao výšce R, z něhož Je vyříznut obracený Kužel tak, jak Ukazuje vyobrazení Podstavy i výšky obou těles se rovnají a rovnají se i obsahy fezů v kterékoli výšce v nad podstavou. U polokoule je řez kruhový, jehož poloměr je podle Pythagorovy věty r = ^/R2 - v2, a
má tedy plochu $h * *** .        - v"). Řez vyřknutého válce je mezikruži s plochou Qm^mm použily pro výpočet objemu kou*
Sv = irR2 - mu2 - ?r{i?2 - v2). a to je stejné jako obsah řezu polokoule Sk Platí tedy předpoklady Cavalieriho principu, a to znamená, že obě tělesa na obrázku mají stejný objem. Objem vyříznutého válce je rozdílem objemu válce a objemu kužele: Vv = iriS3 - ~R3 — ~-R3-Objem celé kouleje tedy dvojnásobný: Vj^ - —-R3, což je správný vzorec pro objem koule.
Středové promítání analyticky — cvičení (F2) II. Stereometrie 1b
Konfrontujte pečlivě vázané průměty několika konkrétních bodů a jejich analytická vyjádření (viz ilustrace na s. 51 a 53).
o C
(T 6
VY) a {-(' c ť
ho m e y * «* * ■ lili
O
1     2 í>
c?
1 ^
t?
-ry
ť?
o
l l
-2 V 3«
				/-i
/0				
-l				
				
v
-V
i
I. Symetrie 1
II. Stereometrie 5
III. Kuželosečky 17
IV. ... a kvadriky 25 Zdroje 29
Numerická výstřednost — cvičení (A5)
III. Kuželosečky   1 8
Dokažte, že numerická výstřednost kuželosečky je rovna
\XF\ : \Xd\ = s\na: sin/5, kde a = odchylka podstavy kužele od roviny řezu a J3 = odchylka podstavy kužele od jeho tvořících přímek.
UfiL		Mi	|AR|		
|Xcť[				ÍXX'l  _ JA ľ, f |XcCí " |Xol'|	
... zde odkazujeme na Dandelinovu-Queteletovu větu, vhodné planimetrické interpretace původně prostorových vztahů a (hlavně) na sinovou větu
Kanonické tvary — cvičení (D)
III. Kuželosečky   1 9
Rozpoznejte kuželosečku určenou rovnicí
x2 + 2xy + y2 + 2x + y = 0, vyjádřete celkovou transformaci souřadnic,......
... hledáme shodnou transformaci souřadnic, která nás zbaví bilineárního členu (otočení o správný úhel tak, aby osa kuželosečky byla rovnoběžná se souřadnou osou).
Vysvětlení uvedeného kouzla, jak přijít na ten správný úhel lze najít např. v [S, str. 174], viz též [JS, str. 80].
Kanonické tvary — cvičení (D) m. Kuželosečky 20
... mezivýsledek bez bilineárního členu
Kanonické tvary — cvičení (D)
III. Kuželosečky 21
... kanonický tvar.
Protože byly všechny transformace shodné, mají všechny koeficienty správný význam!
Kanonické tvary — cvičení (D)
III. Kuželosečky 22
ľ
3/1
výsledná transformace
Kanonické tvary — cvičení (D)
III. Kuželosečky 23
*r r? 7
... vrchol paraboly má ve „dvoučárkované" soustavě souřadnice [0,0]; osa paraboly má směr souřadné osy y" a prochází vrcholem; řídící přímku by to chtělo ještě dovysvětlit...
Kanonické tvary — cvičení (D)
Kuželosečky
I. Symetrie 1
II. Stereometrie 5
III. Kuželosečky 17
IV. ... a kvadriky 25
Zdroje 29
Přímo — cvičení (C1) (D1) iv.... akvadriky
Podle předchozích návodů rozpoznejte kuželosečku určenou rovnicí
x2 + 2xy + y2 + 2x + y = 0, určete nevlastní body, střed, hlavní směry, ...
v—
f> A /l #2
5- fV <K
7
\ d ? <^     x. V)
*-1
5 .«V
7/N
f
>
1   1 /
1    1\ f/x.
■ i -- 0
římo — cvičení (C1) (D1)
IV. ... a kvadriky
Hlavní směry a v2, resp. odpovídající nevlastní body a N2 jsou polárně sdružené vzhledem k parabole. Přitom N<\ odpovídá směru osy, proto:
(v homogenních souřadnicích bychom dostali jako druhé řešení nevlastní bod N^)
Přímo — cvičení (C1) (D1)
Se zbylými detaily je to zpravidla trochu ošidné (viz s. 60 v souboru IV)
n. ... a kvadriky 28
p 5
ř
_f__V*.
a >
]
fy e  ŕ/Vf tí   f r
í) = i/t -^-^
f>>i-vf p j Y-
4
I. Symetrie 1
II. Stereometrie 5
III. Kuželosečky 17
IV. ... a kvadriky 25 Zdroje 29
Literatura
[JS] J. Janyška, A. Sekaninová, Analytická teorie kuželoseček a kvadrik, MU, 1996, http://www.math.mimi.cz/~janyska/kuakv_2017.pdf
[S]  M. Sekanina a kol., Geometrie l a II, SPN, 1988