Materiál byl zpracován v rámci projektu "Systémová podpora trvalého profesního rozvoje (CPD) pedagogických
pracovníků propojením pedagogické fakulty se školami na Jižní Moravě – EDUCOLAND"
Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR.
Řešíme slovní úlohy
Růžena Blažková
Pedagogická fakulta MU
blazkova@ped.muni.cz
V úvodu si položme několik otázek:
- Proč řešíme slovní úlohy?
- Je řešení slovních úloh žáky oblíbené?
- Jaká tématika slovních úloh žáky osloví?
- Jaké problémy se vyskytují při řešení slovních úloh?
- Jaké vhodné metodické postupy můžeme využívat?
Dovednost řešit slovní úlohy je kriteriem osvojení daného učiva, neboť takto je každé
učivo využíváno aktivně a s porozuměním. Při řešení slovních a aplikačních úloh žák prokáže,
zda a do jaké hloubky zvládl operace s čísly a zda je dokáže účelně využít k řešení dalších úloh
na vyšší úrovni. Slovní úlohy rozvíjejí všechny klíčové kompetence uvedené v RVP pro
základní vzdělávání (kompetence k učení, k řešení problémů, komunikativní, osobnostní,
sociální a personální, pracovní). Slovní úlohy ilustrují použití matematiky v reálném životě.
K řešení slovních úloh mohou žáci přistupovat různými způsoby, podle vlastního chápání. Není
vhodné ulpívat na formálním postupu řešení a preferovat jen jeden způsob.
Na několika slovních úlohách ilustrujeme různé možnosti řešení – pomocí experimentu,
aritmeticky, pomocí rovnic nebo jejich soustav. Ve velké míře využíváme grafického
znázornění (jeden obrázek je za tisíc slov). Úlohy jsou vybrány z různých tematických oblastí
a jsou nastíněny některé možnosti jejich řešení.
Při řešení slovní úlohy je vhodné vycházet od otázky a postupně hledat cestu, jak na
otázku odpovíme. Schématicky můžeme postup řešení slovní úlohy znázornit takto:
Co máme vypočítat?
Co k tomu potřebujeme?
Známe všechny potřebné údaje?
Kde je získáme?
Materiál byl zpracován v rámci projektu "Systémová podpora trvalého profesního rozvoje (CPD) pedagogických
pracovníků propojením pedagogické fakulty se školami na Jižní Moravě – EDUCOLAND"
Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR.
Sestavíme matematickou úlohu (příklad, rovnici aj.)
Vyřešíme matematickou úlohu.
Odpovíme na slovní úlohu.
V textu jsou uvedeny ukázky slovních úloh, které jsou řešeny několika způsoby, a záleží
na žákovi, který způsob je mu nejbližší (experiment, aritmetické řešení, pomocí lineárních
rovnic o jedné neznámé, soustav lineárních rovnic o dvou neznámých). Ve všech případech
hraje roli grafické znázornění pomocí obrázku, neboť žákům usnadní řešení a umožní vhled do
úlohy. Schopnost řešit slovní úlohy různými metodami přispívá k rozvoji matematické
gramotnosti žáků.
1. U dědečka na dvorku jsou slepice, králíci a dva psi. Vojta spočítal, že mají dohromady
18 hlav a 52 nohou. Kolik má dědeček králíků a kolik slepic?
Řešení experimentem
Nakreslíme 18 hlav: O O O O O O O O O O O O O O O O O O
Dva psi mají 8 nohou, na slepice a králíky zbývá 16 hlav a 44 nohou. Každé zvíře má alespoň
dvě nohy, tak ke každé hlavě přiřadíme tedy nejprve dvě nohy.
O O O O O O O O O O O O O O O O
Vyčerpáme 32 noh, zbývá 12 noh, které rozdělíme po dvou.
O O O O O O O O O O O O O O O O
Vyčerpáme 32 noh, zbývá 12 noh, které rozdělíme po dvou.
Vidíme, že králíků je 6 a slepic je 10.
Materiál byl zpracován v rámci projektu "Systémová podpora trvalého profesního rozvoje (CPD) pedagogických
pracovníků propojením pedagogické fakulty se školami na Jižní Moravě – EDUCOLAND"
Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR.
Řešení aritmetické:
Když odečteme počet hlav a počet noh psů, zbývá 16 hlav a 44 noh. Kdyby byly samé slepice,
měl by 2 ∙ 16 = 32 noh. Zbývající počet noh: 44 – 32 = 12, těchto 12 noh rozdělíme po
dvou: 12 ∶ 2 = 6. Králíků je 6, slepic je 10.
Zkouška: počet hlav: 2 + 10 + 6 = 18, počet noh: 2 . 4 + 2 . 10 . 4 . 6 = 8 + 20 +
24 = 52.
Řešení lineární rovnicí o jedné neznámé.
Označíme počet slepic x, počet králíků je 18 – 2 – = 16 – , sestavíme rovnici:
2 . 4 + 2 . + 4(16 – ) = 52
8 + 2 + 64 – 4 = 52
2 = 20
= 10
Slepic je 10, králíků je 16 – 10 = 6.
Zkouška (u slovní úlohy neprovádíme zkoušku dosazením do rovnice, neboť rovnice může být
nesprávně sestavena, dobře vyřešena a zkouška vyjde správně, ale slovní úloha je vyřešena
chybně.):
Počet hlav: 2 + 10 + 6 = 18
Počet noh: 2 . 4 + 2 . 10 . 4 . 6 = 52
Řešení soustavou dvou lineárních rovnic o dvou neznámých:
Označíme počet slepic x, počet králíků y.
2 + + = 18
2.4 + 2 + 4 = 52
Úpravou: + =
16
2 + 4 = 44
Řešením soustavy získáme = 10, = 6.
Materiál byl zpracován v rámci projektu "Systémová podpora trvalého profesního rozvoje (CPD) pedagogických
pracovníků propojením pedagogické fakulty se školami na Jižní Moravě – EDUCOLAND"
Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR.
2. Jana s Markem mají ušetřeno dohromady 1 640 Kč. Jana ušetřila o 80 Kč méně než
Marek. Kolik korun ušetřil každý z nich?
Řešení aritmetické:
Jana
80 dohromady 1 640
Marek
1 640 – 80 = 1 560
1 560 : 2 = 780
Jana ušetřila 780 Kč, Marek ušetřil 860 Kč.
Zkouška: Zkoušku je třeba provést pro obě podmínky úlohy.
780 + 860 = 1 640 780 je menší než 860 o 80.
Řešení lineární rovnicí:
Neznámou x označíme počet korun Marka:
x + (x – 80) = 1 640
2x = 1720
x = 860
Zkouška: Marek ušetřil 860, Jana ušetřila 860 – 80 = 780, dohromady 860 + 780 = 1 640.
Řešení soustavou dvou lineárních rovnic o dvou neznámých.
Počet korun Marka označíme x, počet korun Jany x.
x + y = 1 640
x = y + 80
Úpravou dostaneme: 2x = 1720
x = 86
y = 780
Materiál byl zpracován v rámci projektu "Systémová podpora trvalého profesního rozvoje (CPD) pedagogických
pracovníků propojením pedagogické fakulty se školami na Jižní Moravě – EDUCOLAND"
Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR.
3. Součet věků sourozenců Hany a Petra je 24, rozdíl jejich věků je 6. Kolik je každému
z nich roků, když Hana je starší?
Řešení experimentem:
Zapisujeme dvě čísla, jejichž součet je 24 a hledáme dvojici, která má rozdíl 6. Pro přehlednost
využijeme tabulku.
Věk Hany 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14
Věk Petra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Rozdíl 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4
Řešení aritmetické:
_________________ __________
věk Hany věk Petra dohromady 24
součet 24
______________________________
rozdíl 6
24 – 6 = 18 18 : 2 = 9 24 – 9 = 15
Haně je 15 roků, Petrovi je 9 roků.
Zkouška: 15 + 9 = 24 15 – 9 = 6
Řešení lineární rovnicí o jedné neznámé:
Označíme věk Hany x, věk Petra je x = 6.
x + (x-6) = 24
2x = 30
x = 15
Materiál byl zpracován v rámci projektu "Systémová podpora trvalého profesního rozvoje (CPD) pedagogických
pracovníků propojením pedagogické fakulty se školami na Jižní Moravě – EDUCOLAND"
Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR.
Věk Hany je 15 roků, věk Petra je 15 – 6 = 9 roků.
Řešení soustavou dvou lineárních rovnic o dvou neznámých:
Označíme věk Hany x, věk Petra y.
x + y = 24
x – y = 6
2x = 30
x = 15
y = 9
4. Kolik chlapců a kolik děvčat je ve třídě, když platí: kdyby bylo chlapců o 25% méně,
než jich je a děvčat bylo o 25% více, než jich je, bylo by jich stejně.
Řešení aritmetické:
25 % určitého základu je jedna čtvrtina tohoto základu. Tedy počet chlapců by se snížil o
jednu čtvrtinu jejich počtu a počet děvčat by se zvýšil o jednu čtvrtinu jejich počtu.
chd
4
3
4
5
=
Tedy poměr chlapců a děvčat je 5 : 3. Počet chlapců a počet děvčat musí být dělitelný čtyřmi
(aby bylo možné vypočítat 25 %).
Počet děvčat 3 6 9 12 15
Počet chlapců 5 10 15 20 25
Chlapců je 20, děvčat je 12.
Zkouška: 25 % z 20 je 5, 20 – 5 = 15
25 % z 12 je 3, 12 + 3 = 15
Materiál byl zpracován v rámci projektu "Systémová podpora trvalého profesního rozvoje (CPD) pedagogických
pracovníků propojením pedagogické fakulty se školami na Jižní Moravě – EDUCOLAND"
Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR.
Řešení rovnicí:
Označíme počet chlapců x, počet děvčat y:
x – 0,25 x = y + 0,25 y
0,75 x = 1,25 y
x = y
3
5
Aby x a y byla přirozená čísla, musí být y dělitelné třemi. Aby bylo možné vypočítat 25% tohoto
čísla, musí být dělitelné čtyřmi. Toto číslo je např. 12. Tedy y = 12, x = 20.
5. Cena knihy byla snížena o 450 Kč, takže čtyři knihy za novou cenu jsou o 600 Kč
levnější než tři knihy za starou cenu. Jaká byla původní cena knihy a za kolik Kč se
prodává dnes?
Řešení aritmetické:
Rozdíl v ceně 1 knihy: 450 Kč
Rozdíl v ceně tří knih: 3 . 450 Kč = 1 350 Kč
Rozdíl v cenách za starou a novu cenu je 600 Kč
Cena jedné knihy za novou cenu: 1 350 – 600 = 750
Cena za starou cenu. 750 + 450 = 1 200
Původní cena knihy byla 1 200 Kč, nová cena knihy je 750 Kč.
Zkouška: 3 . 1 200 = 3 600
4 . 750 = 3 000
Rozdíl : 3 600 - 3 000 = 600.
Řešení lineární rovnicí o jedné neznámé:
Původní cena knih: x
Cena po slevě: x – 450
4 (x – 450) = 3x - 600
x = 1 800 - 600
x = 1 200
Materiál byl zpracován v rámci projektu "Systémová podpora trvalého profesního rozvoje (CPD) pedagogických
pracovníků propojením pedagogické fakulty se školami na Jižní Moravě – EDUCOLAND"
Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR.
Původní cena je 1 200 Kč, cena po slevě je 750 Kč.
Řešení soustavou dvou lineárních rovnic o dvou neznámých:
Původní cena knihy: x
Cena po slevě: y
x – y = 450
3x – 4y = 600
Po úpravě a řešení dostaneme x = 1 200, y = 750.
6. Kolik semen okurek má pěstitel vyset, když chce získat 5 400 sazenic a ví, že klíčivost
semen je 85% a z vyklíčených semen ještě uhyne 10 % sazenic?
Řešení aritmetické:
85% 15%
Vysetá semena:
90% 10%
Vyklíčená semena
5 400
5 400 sazenic je 90 % vyklíčených semen, tedy vyklíčí (5 400 : 90) . 100 = 6 000 semen.
Těchto 6 000 semen je 85 % vysetých semen. Tedy pěstitel musí vyset (6 000 : 85) . 100 = 7059
= 7060 semen.
Pěstitel musí vyset asi 7 060 semen.
Zkouška: 7 059 . 0,85 = 6 000 (po zaokrouhlení)
6 000 . 0, 90 = 5 400
Řešení lineární rovnicí:
Označíme počet vysetých semen x.
(x . 0,85) . 0,90 = 5 400
Materiál byl zpracován v rámci projektu "Systémová podpora trvalého profesního rozvoje (CPD) pedagogických
pracovníků propojením pedagogické fakulty se školami na Jižní Moravě – EDUCOLAND"
Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR.
x = 7 058,82
Po zaokrouhlení x = 7 059.
7. Z Brna do Plzně vyjel v 7 hodin kamion průměrnou rychlostí 60
h
km
. Z Plzně do Brna
vyjel v tutéž dobu osobní automobil průměrnou rychlostí 85
h
km
. Vzdálenost obou
měst je 290 km.
a) V jaké vzdálenosti od Brna se obě vozidla míjela a v kolik hodin to bylo?
b) V kolih hodin přijel kamion do Plzně a v kolik hodin přijel osobní automobil do
Brna?
Řešení aritmetické
290 km
B __________________________________________ P
60
h
km
85
h
km
a) Za 1 hodinu se obě vozidla přiblíží o 60 km + 85 km = 145 km. Vzdálenost 290 km urazí
za 290 : 145 = 2 budou se míjet za 2 hodiny.
Kamion ujede dráhu: 2 . 60 km = 120 km
Osobní automobil ujede dráhu 2 . 85 km = 170 km
Dohromady: 120 km + 170 km = 290 km.
b) Dráhu 290 km ujela vozidla za čas:
Kamion 290 : 60 = 4
6
5
4
6
5
h = 4 h 50 min
Kamion přijel do Plzně v 11 h 50 min.
Materiál byl zpracován v rámci projektu "Systémová podpora trvalého profesního rozvoje (CPD) pedagogických
pracovníků propojením pedagogické fakulty se školami na Jižní Moravě – EDUCOLAND"
Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR.
Osobní automobil: 290 : 85 = 3
10
4
3
10
4
h = 3 h 24 min
Řešení lineární rovnicí
a) Vozidla jedou proti sobě, součet drah obou vozidel je roven celkové dráze. Označíme
čas jízdy obou vozidel x.
85 x + 60 x = 290
145 x = 290
x = 2
Obě vozidla pojedou 2 hodiny.
Kamion ujede dráhu: 2 . 60 km= 120 km
Osobní automobil ujede dráhu: 2 . 85 km= 170 km
Celkem 120 km + 170 km = 290 km
Obě vozidla se míjela ve vzdálenosti 120 km od Brna v 9 hodin.
b) Dráhu 290 km ujela vozidla za čas:
Kamion 290 : 60 = 4
6
5
4
6
5
h = 4 h 50 min
Kamion přijel do Plzně v 11 h 50 min.
Osobní automobil: 290 : 85 = 3
10
4
3
10
4
h = 3 h 24 min
Osobní automobil přijel do Brna v 10 h 24 min.
Řešení grafické:
Zapíšeme rovnice lineárních funkcí: y1 = 60 x
y2 = 290 – 85 x
Zakreslíme grafy obou funkcí a souřadnice průsečíku obou přímek určí hodnoty x a y.
Materiál byl zpracován v rámci projektu "Systémová podpora trvalého profesního rozvoje (CPD) pedagogických
pracovníků propojením pedagogické fakulty se školami na Jižní Moravě – EDUCOLAND"
Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR.
8. Autobus vezl děti na lyžařský zájezd. Vyjel v 8 hodin a jel průměrnou rychlostí 75
h
km
.
Při odjezdu Jonáš zjistil, že zapomněl lyžařské boty. Telefonem žádal tatínka, zda by mu
mohl boty nějak přivézt. Tatínek jel osobním automobilem, vyjel v 8h 30 min a jel
průměrnou rychlostí 90
h
km
. Za jak dlouho a po kolika kilometrech autobus dohonil? V
kolik hodin to bylo?
Řešení aritmetické
8.00 _________________________________
75
h
km
8.30 _________________________________
90
h
km
Za půl hodiny urazil autobus dráhu 37,5 km. V tomto okamžiku vyjel tatínek a každou hodinu
se přibližoval k autobusu o (90 – 75 = 15) - o 15 km. Náskok autobusu vyrovnal za (37,5 : 15
= 2,5) za 2,5 hodiny.
Doba jízdy autobusu : 3 hodiny, ujetá dráha (3 . 75 = 225) 225 km.
Doba jízdy osobního automobilu: 2,5 hodiny, ujetá dráha (2,5 . 90 – 225) 225 km.
Tatínek dohonil autobus v 11 hodin.
Řešení pomocí rovnice:
Vozidla jedou za sebou, jejich dráhy se sobě rovnají. Označíme neznámou – čas t od výjezdu
autobusu, čas tatínkova vozidla je t – 0,5:
75 t = 90(t - 0,5)
15 t = 45
t = 3
Materiál byl zpracován v rámci projektu "Systémová podpora trvalého profesního rozvoje (CPD) pedagogických
pracovníků propojením pedagogické fakulty se školami na Jižní Moravě – EDUCOLAND"
Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR.
Tatínek dohoní autobus za 3 hodiny od vyjetí autobusu, za 2,5 hodiny od svého výjezdu..
Autobus ujede dráhu: 3 . 75 = 225 225 km
Osobní automobil ujel dráhu: 2,5 . 90 = 225 225 km.
Řešení grafické:
Zapíšeme rovnice obou funkcí: y1 = 75 x
y2 = 90 (x – 0,5) = 90x – 45
Zakreslíme grafy obou funkcí a souřadnice průsečíku obou přímek určí hodnoty x, y.
9. Jedním přítokem se naplní bazén vodou za 4 hodiny, druhým přítokem se naplní za 6
hodin.
a) Za jak dlouho se bazén naplní, budou- li otevřeny oba přítoky?
b) Odtokem se vyprázdní bazén za 3 hodiny. Naplní se bazén, jestliže budou otevřeny
přítoky i odtok?
Řešení aritmetické:
a) Za jednu hodinu se naplní prvním přítokem
4
1
bazénu, druhým přítokem
6
1
bazénu. Budouli
otevřeny oba přítoky současně, za 1 hodinu se naplní
12
5
6
1
4
1
=+ bazénu. Celý bazén se naplní
za ( 4,2
5
12
12
5
:1 == ) 2,4 hodiny.
b) Bude-li otevřen i odtok, za jednu hodinu bude v bazénu (
12
1
3
1
6
1
4
1
=−+ )
12
1
vody.
Celý bazén by se naplnil za 12 hodin.
Řešení rovnicí:
a) Označíme počet hodin, za který se bazén naplní, neznámou x. Můžeme sestavit dvě různé
rovnice:
1
64
=+
xx
nebo
x
1
6
1
4
1
=+
Materiál byl zpracován v rámci projektu "Systémová podpora trvalého profesního rozvoje (CPD) pedagogických
pracovníků propojením pedagogické fakulty se školami na Jižní Moravě – EDUCOLAND"
Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR.
Po úpravě: 3x + 4x = 12
x =
5
12
= 2,4
Bazén se naplní za 2,4 hodiny.
Zkouška: Prvním přítokem se naplní (2,4 : 4 = 0,6) 0,6 bazénu, druhým přítokem se naplní
(2,4 : 6 = 0,4) 0,4 bazénu. Dohromady oběma přítoky se naplní (0,6 + 0,4 = 1) celý bazén
b) 1
364
=−+
xxx
nebo
x
1
3
1
6
1
4
1
=−+
Po úpravě: 3x + 2x – 4x = 12
x = 12
Bazén se naplní za 12 hodin.
Zkouška: první přítok by za 12 hodin naplnil 12 : 4 = 3 tedy 3 celé bazény, druhý přítok by
naplnil 12 : 6 = 2 tedy 2 celé bazény, dohromady by naplnili 5 celých bazénů. Odtokem za
12 hodin odteče 12 : 4 = 4 tedy 4 celé bazény. Rozdíl je 5 – 4 = 1, tedy 1 bazén.
10. Zelináři zbyly dva druhy jablek, které smíchal do jedné bedny a prodával je za 30 Kč za
jeden kilogram. Jaká byla skutečná cena jednoho kilogramu směsi, když smíchal 5 kg
jablek v ceně 36 Kč za 1 kilogram a 7 kg jablek v ceně 24 Kč za 1 kilogram.
Řešení aritmetické:
Vypočítáme cenu jednotlivých druhů jablek, celkovou cenu směsi a vydělíme celkovou
hmotností, což je 12 kg jablek.
5 . 36 = 180, 7 . 24 = 168 180 + 168 = 348 348 : 12 = 27 (zb 4)
Řešení rovnicí:
Označíme cenu směsi x: 5 . 36 + 7 . 24 = 12 . x
348 = 12 . x
x = 27
Skutečná cena směsi je 27 Kč za 1 kilogram.
Materiál byl zpracován v rámci projektu "Systémová podpora trvalého profesního rozvoje (CPD) pedagogických
pracovníků propojením pedagogické fakulty se školami na Jižní Moravě – EDUCOLAND"
Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR.
11. V únoru se prodávaly lyže za 1 200 Kč. Jaká byla jejich cena před vánocemi, když nejprve
snížili cenu v lednu o 20% původní ceny a v únoru snížili lednovou cenu ještě o 25% ?
Řešení aritmetické:
1 200 Kč je 75% ceny v lednu. K řešení je možné využít trojčlenku nebo výpočet přes jedno
procento.
75% ……………. 1 200
100% ……………. x
x = 6001
75
100.2001
=
Cena lyží v lednu byla 1 600 Kč.
Cena lyží v lednu je 80% ceny původní. 80% ………….. 1 600
100% ………….. x
x = 2000
80
100.1600
=
Původní ceny lyží byla 2 000 Kč.
Zkouška: 20% z 2 000 je 400
2 000 – 400 = 1 600
25% z 1 600 je 400
1 600 – 400 = 1 200.
Řešení lineární rovnicí o jedné neznámé:
Neznámou x označíme původní cenu lyží.
(0,80 x) . 0,75 = 1 200
x =
75,0.80,0
1200
= 2 000
12. Pan Černý uložil do peněžního ústavu 100 000 Kč, byla mu nabídnuta úroková sazba
2,5%, pokud budou peníze uloženy po dobu 5 roků. Kolik Kč měl pan Černý na účtu na
konci pátého roku, když s penězi nemanipuloval a z úroků platil daň 15%. Kolik Kč bude
mít po prvním roce?
Řešení:
Počáteční jistina J0 je 100 000 Kč, úroková sazba je 2,5%, doba uložení peněz je 5 roků.
Materiál byl zpracován v rámci projektu "Systémová podpora trvalého profesního rozvoje (CPD) pedagogických
pracovníků propojením pedagogické fakulty se školami na Jižní Moravě – EDUCOLAND"
Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR.
Využijeme vztahu pro složené úrokování: J5 = J0 (1 + 0,85 i)5
J5 = 100 000 (1 + 0,85 . 0,025)5
J5 = 111886,27
Po pěti letech bude mít pan Černý na účtu 111 886,27 Kč
Po prvním roce: J1 = J0 + J0 . 0,85 i
J1 = 100 000 + 100 000 . 0,85 . 0.025
J1 = 102 125
Po prvním roce bude mít pan Černý na účtu 102 125 Kč.