VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ – TECHNICKÁ UNIVERZITA
OSTRAVA
ZZÁÁKKLLAADDYY FFYYZZIIKKYY
MMoodduull 11 –– MMeecchhaanniikkaa
Jan Kopečný
Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů
CZ.04.1.03/3.2.15.1/0016
Studijní opory s převažujícími distančními prvky pro předměty teoretického
základu studia.
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem
a státním rozpočtem České republiky
ESF – ROVNÉ PŘÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY
1
Obsah:
Informace o projektu 2
Úvod 3
Pokyny ke studiu 4
Přehled učiva 7
Literatura 11
Modul 1 Mechanika 12
1.1 Úvodní pojmy 13
1.2 Kinematika hmotného bodu 25
1.3 Dynamika 48
1.4 Práce, výkon, energie 72
1.5 Gravitační pole 87
1.6 Tuhé těleso 102
1.7 Struktura a deformace pevné látky 123
1.8 Mechanické kmitání 130
1.9 Mechanické vlnění a zvuk 140
Klíč 150
2
Studijní opory s převažujícími distančními prvky pro
předměty teoretického základu studia
je název projektu, který uspěl v rámci první výzvy Operačního programu Rozvoj lidských
zdrojů. Projekt je spolufinancován státním rozpočtem ČR a Evropským sociálním fondem.
Partnery projektu jsou Regionální středisko výchovy a vzdělávání, s.r.o. v Mostě, Univerzita
obrany v Brně a Technická univerzita v Liberci. Projekt byl zahájen 5.1.2006 a bude ukončen
4.1.2008.
Cílem projektu je zpracování studijních materiálů z matematiky, deskriptivní geometrie,
fyziky a chemie tak, aby umožnily především samostatné studium a tím minimalizovaly počet
kontaktních hodin s učitelem. Je zřejmé, že vytvořené texty jsou určeny studentům všech
forem studia. Studenti kombinované a distanční formy studia je využijí k samostudiu, studenti
v prezenční formě si mohou doplnit získané vědomosti. Všem studentům texty pomohou při
procvičení a ověření získaných vědomostí. Nezanedbatelným cílem projektu je umožnit
zvýšení kvalifikace širokému spektru osob, které nemohly ve studiu na vysoké škole
z různých důvodů (sociálních, rodinných, politických) pokračovat bezprostředně po maturitě.
V rámci projektu jsou vytvořeny jednak standardní učební texty v tištěné podobě,
koncipované pro samostatné studium, jednak e-learningové studijní materiály, přístupné
prostřednictvím internetu. Součástí výstupů je rovněž banka testových úloh pro jednotlivé
předměty, na níž si studenti ověří, do jaké míry zvládli prostudované učivo.
Bližší informace o projektu můžete najít na adrese http://www.studopory.vsb.cz/.
Přejeme vám mnoho úspěchů při studiu a budeme mít radost, pokud vám předložený text
pomůže při studiu a bude se vám líbit. Protože nikdo není neomylný, mohou se i v tomto
textu objevit nejasnosti a chyby. Předem se za ně omlouváme a budeme vám vděčni, pokud
nás na ně upozorníte.
3
Úvod
Vážení studující,
dostáváte do rukou prvý ze studijních materiálů kurzu Základy fyziky: Modul 1 - Mechanika.
Kurz má posloužit k opakování a samostatnému studiu všem studentům, kteří cítí nedostatky
ve svých středoškolských znalostech fyziky. Jednak těm, kteří se teprve připravují ke studiu
vysoké škole, jednak i těm, kteří ji již studují a zjišťují, že bez dobrého základu ze střední
školy vysokoškolský kurz fyziky jen těžko zvládnou.
Stejně jako zbývající tři moduly máte i tento k dispozici ve formě multimediálního CD nebo
programu přístupného přes Internet. Obsahově se tyto materiály neliší, pouze LMS (Learning
Management System), ke kterému se připojíte přes Internet, vám nabídne větší uživatelský
komfort při kontaktu s tutorem a v organizačních záležitostech. Pro studium v době, kdy
nemáte k dispozici počítač, byla jako doplňkový materiál vytvořena i textová verze tohoto
materiálu.
Celý kurz je napsán tak, abyste učivo zvládli pokud možno samostatně. Aby měla vaše práce
smysl, musíte nad studovanou látkou přemýšlet a neučit se ji mechanicky nazpaměť.
Důležité je, abyste látku doopravdy pochopili. To si ověříte i prostřednictvím kontrolních
otázek a úloh k samostatnému řešení. Pro případ, že byste nebyli schopni sami bez pomoci
překonat nějaký problém, máte v organizovaných kurzech k dispozici svého tutora.
Než se pustíte do vlastního studia vybraných kapitol tohoto modulu, přečtěte si prosím
pozorně následující část příručky nazvanou Pokyny ke studiu. Obsahuje obecné informace i
některé konkrétní detaily, jak s tímto materiálem pracovat (protože jednotlivé moduly
zpracovávali různí autoři, může se jejich systém zpracování mírně lišit).
Po Pokynech ke studiu následuje kapitolka Přehled učiva, kde se podrobněji dozvíte, jakým
tématům se jednotlivé kapitoly modulu věnují. Studujete-li samostatně, tento přehled vám
pomůže si vybrat kapitoly, které vás zajímají.
4
Pokyny ke studiu
Každá kapitola tohoto modulu představuje poměrně krátkou část učiva, učební jednotku,
kterou byste měli pokud možno studovat vcelku. Nemusíte však vždy nutně studovat všechny
moduly a kapitoly. Zda je zvládnutí tématu některé kapitoly nezbytné pro pochopení kapitol
dalších, zjistíte jednak v následujícím přehledu učiva, jednak po přečtení požadovaných
předběžných znalostí na začátku každé učební jednotky. A samozřejmě v organizovaných
kurzech bude stanoveno, které části jsou pro vás povinné. Učební jednotky mají následující
strukturu.
Nejdříve se seznamte se Studijními cíli. Studijní cíle určují, co byste se
měli naučit absolvováním příslušné partie. Jsou to znalosti, které využijete
při dalším studiu na vysoké škole a budete je potřebovat při studiu
odborných předmětů. Pokud máte pocit, že uvedené věci již znáte, můžete
danou kapitolu absolvovat poměrně rychle. Přesto doporučuji ji celou
nepřeskočit, ale ověřit si, že danou problematiku skutečně ovládáte,
prostřednictvím kontrolních otázek a úloh k řešení.
Ikona Studijní čas vám orientačně napoví, kolik asi času budete
potřebovat k prostudování této kapitoly. Do tohoto času není zahrnuta
doba potřebná k doplnění požadovaných předběžných znalostí, protože ta
se může u jednotlivých studentů velmi lišit. Studijní čas jednotlivých
celků je různý, od 30 do 120 minut. Postupně sami zjistíte, zda jste
většinou schopni zvládnout učební jednotku rychleji, než je uvedeno, nebo
potřebujete spíše více času. Záleží i na tom, jak často budete chybovat (a
tedy se i opravovat) při odpovídání na kontrolní otázky a řešení úloh.
V každém případě nezáleží na čase, ale na tom, abyste skutečně dosáhli
stanovených studijních cílů.
Pod ikonou Předběžné znalosti máte uvedeno, které pojmy je nutné znát
před začátkem studia této kapitoly. Promyslete si nejprve sami, co
znamenají, správnost si pak v elektronických verzích můžete ověřit
prokliknutím na příslušný odkaz. Tyto odkazy ovšem slouží pouze
k připomenutí již dříve nastudovaných pojmů, v žádném případě
nenahrazují ucelený výklad! Pokud jste se s některým z uvedených pojmů
dosud vůbec nesetkali, seznamte se s ním podrobně v příslušné kapitole.
Poté, co si ověříte, že máte požadované předběžné znalosti a dostatek času
ke zvládnutí dané kapitoly, pusťte se do studia Studijního textu. Zde
naleznete výklad dané části učiva, doprovázený názornými obrázky, grafy,
tabulkami a animacemi, případně i řešenými příklady. Procházejte jej
nejlépe v pořadí, v jakém je sestaven. Mějte po ruce papír a tužku, dělejte
si poznámky, provádějte odvození souběžně s výkladem. Soustřeďte se a
v případě potřeby se vraťte, ale nesnažte se učit text ani jeho zvýrazněné pasáže nazpaměť.
Definice a zákony byste měli být schopni formulovat vlastními slovy. Mějte na mysli studijní
cíle, jichž chcete dosáhnout. Po zodpovězení následujících kontrolních otázek a vyřešení
5
zadaných úloh zjistíte, nakolik jste tématu porozuměli a získáte doporučení, jak pokračovat
v dalším studiu.
S touto ikonkou se setkáte pouze ve verzi určené k tisku – označuje jednoduché
Doplňky zahrnující ilustrativní příklady, odvození nebo aplikace, které jsou
v elektronické verzi realizovány formou animací. Tyto doplňky jsou od
ostatního textu odděleny z obou stran vodorovnými čarami.
Studijní text je následován Kontrolními otázkami. Některé kontrolní otázky
vám dávají možnost vybrat odpověď z nabízených variant, pak může být
správná jedna nebo i více možností. Za zcela správnou odpověď je pak
považována ta, která zahrnuje všechny správné a žádnou nesprávnou možnost.
U dalších otázek máte odpověď sami doplnit, ať už slovně nebo jako výsledek
s jednotkou či pouhou jednotku. Vždy si nejprve otázku sami zodpovězte, pak
teprve se podívejte na správné řešení (vždy si promyslete, v čem jste případně
udělali chybu, neporadíte-li si sami, kontaktujte svého tutora!) a postupte dále.
Po kontrolních otázkách je většinou uveden Řešený příklad. I řešený příklad
se pokuste nejprve vypočítat sami. Pokud to zvládnete, neměli byste mít
problémy ani s dalšími úlohami. Pokud ne, nevadí, snažte se porozumět
metodě řešení na tomto modelovém příkladu tak, abyste již samostatně zvládli
následující úlohy.
Úlohy k řešení byste už měli zvládnout vyřešit zcela sami. K řešení
můžete podle potřeby používat kalkulátory a tabulky. Pište si poznámky,
nejlépe do vyhrazeného sešitu. Nejprve vždy nalezněte obecné řešení
(vzorec tvořený zadanými veličinami, případně i potřebnými fyzikálními
konstantami), až nakonec dosaďte numerické hodnoty a vypočtěte
numerický výsledek. Ten pak (není-li v zadání uvedeno jinak) vhodně zaokrouhlete a doplňte
jednotku. Pak teprve si zkontrolujte řešení (není-li vaše odpověď zcela správná, vždy si
promyslete, v čem jste udělali chybu, neporadíte-li si sami, kontaktujte svého tutora!) .
U kontrolních otázek a úloh k řešení nebuďte netrpěliví a nepokoušejte se bez vlastní snahy o
řešení se ke správným výsledkům prostě „proklikat“, nebo si je rovnou číst v klíči, který je u
tištěné verze na konci modulu. Tak se nic nenaučíte.
Po prostudování celé textové části je studijní jednotka uzavřena shrnutím.
Mělo by obsahovat to, co je z celé kapitoly nejdůležitější. Nejdříve se
vytvořte Vlastní shrnutí, to pište stručně, ale srozumitelně na papír nebo do
vyhrazeného sešitu.
Vaše shrnutí pak porovnejte se Vzorovým shrnutím a sami zhodnoťte,
nakolik jste byli úspěšní. Ani v časové tísni nepodléhejte pokušení přeskočit
všechny předchozí části a naučit se zpaměti pouze shrnutí. Takto fyzice (a
nejen jí) nikdy neporozumíte a nebudete ji umět použít k řešení problémů, s nimiž se při
studiu i v praxi setkáte.
Jako doplněk jsou vám k dispozici fyzikální tabulky, tyto využívejte průběžně podle potřeby.
6
Nakonec zhodnoťte vaši celkovou úspěšnost při řešení úloh a kontrolních otázek a zvažte, zda
postoupit ve studiu dále, nebo si raději problematické pasáže ještě jednou zopakovat.
Na závěr ještě pár technických poznámek k ovládání elektronické verze výukového
programu:
1. On-line verzi výukového programu naleznete na http://rccv.vsb.cz/ . Pak v levé nabídce
klikněte na LMS-iTutor4 a Studentský přístup, kde se již přihlásíte pod přiděleným
jménem a heslem.
2. Po vložení CD do mechaniky se program obvykle automaticky spustí. Pokud se program
„nerozběhne“ najděte si soubor „start.html“ a po jeho dvojím odkliknutí se program spustí.
V obou případech k fungování programu potřebujete Internet Explorer a pokud nemáte
nainstalovánu potřebnou komponentu přehrávače Flash, můžete si ji nainstalovat přímo
pomocí nabídky na obrazovce. Po spuštění CD nebo přihlášení na stránku RCCV se Vám také
může zobrazit následující hlášení:
V tomto případě prosím proveďte odblokování automaticky otevíraných oken.
Další ovládání výukového programu je intuitivní.
7
Přehled učiva
V této části příručky najdete přehled celé probírané látky. Nejde jen o obsah, ale u každé
kapitoly je její krátký popis. Tak se rychle můžete zorientovat v celém modulu a případně si
vybrat jen ty části, které vás zajímají, které potřebujete prostudovat.
Modul 1 Mechanika
Celá mechanika je v tomto modulu rozdělena do osmi základních kapitol. Začíná úvodem do
problematiky, pokračuje Kinematikou hmotného bodu a Dynamikou. Dále se zabývá
důležitou částí nazvanou Práce, výkon, energie, probírá se Gravitační pole a Tuhé těleso. Do
mechaniky jsou zařazeny i poslední dvě kapitoly Mechanické kmitání a Mechanické vlnění.
1.1 Úvodní pojmy
V první kapitole modulu proberete první základní znalosti bez kterých se neobejdete ve všech
ostatních částech celého kurzu.
1.1.1 Soustava fyzikálních veličin s jednotek
Zde si zopakujete všechny základní jednotky soustavy Si, naučíte se předpony označující díly
a násobky jednotek a jak rozepsat vedlejší jednotky pomocí jednotek základních.
1.1.2 Skalární a vektorové fyzikální veličiny
Kapitola je věnována základům vektorového počtu v rozsahu potřebném pro základy fyziky.
Proberete si definice skalární a vektorové veličiny, naučíte se sčítat a odečítat dva a více
vektorů. Řeší se zde rozklad vektoru, násobení vektorů.
1.2. Kinematika hmotného bodu
Kapitola seznamuje s řešením pohybu těles. Nezabývá se však reálným tělesem, ale jeho
modelem – hmotným bodem.
1.2.1 Hmotný bod, mechanický pohyb
Je zde vysvětlen pojem hmotného bodu, zaveden pojem vztažné soustavy, diskutován pojem
klid.
1.2.2 Polohový vektor, trajektorie
Pro popis pohybu je zde nový pojem – polohový vektor se svou velikostí a směrem. Dále se
v kapitole definují trajektorie a dráha, je provedeno rozdělení na přímočaré a křivočaré
pohyby.
1.2.3 Rychlost hmotného bodu
Po definování rychlosti a průměrné rychlosti se naučíte klasifikovat pohyby pomocí těchto
fyzikálních veličin.
1.2.4 Zrychlení hmotného bodu
Opět se definuje zrychlení a průměrné zrychlení. Přibudou pojmy tečné a normálové
zrychlení. Obdobně jako pomocí rychlosti si ukážete jak se dají klasifikovat pohyby pomocí
zrychlení.
1.2.5 Přímočarý pohyb hmotného bodu
Postupně jsou probrány různé druhy přímočarých pohybů. Začíná se rovnoměrným
přímočarým pohybem, pokrčuje rovnoměrně zrychleným pohybem a končí volným pádem.
8
1.2.6 Rovnoměrný pohyb hmotného bodu po kružnici
Kapitola je věnována kruhovému pohybu, seznámíte se se základními veličinami tohoto
nejjednoduššího křivočarého pohybu. Jsou zde zavedeny nové veličiny jako úhlová dráha a
úhlová rychlost, frekvence a perioda.
1.3. Dynamika
Kapitola na rozdíl od kinematiky se zabývá příčinou pohybu.
1.3.1 Síly
Je zde definována jedna z nejdůležitějších fyzikálních veličin – síla. Je poukázáno na
působení sil kontaktních a sil pole, rozlišují se statické a dynamické účinky sil.
1.3.2 Newtonovy pohybové zákony
V kapitole se probírají tři nejdůležitější zákony klasické fyziky. Jedná se o zákon setrvačnosti,
zákon síly a zákon akce a reakce. Vedle toho jsou diskutovány tíhová síla a tíha tělesa, a
odporové síly různého druhu.
1.3.3 Síla v neinerciální soustavě
Newtonovy zákony platí pouze v inerciálních soustavách. Zde jsou probírány síly, které
vznikají v důsledku vzájemného pohybu soustav, tj. síly zdánlivé. Dovíte se o setrvačné síle a
setrvačné odstředivé síle.
1.3.4 Hybnost tělesa
Nově definujeme veličinu hybnost tělesa. Dovíte se, že ke změně hybnosti tělesa je třeba
působit silou po určitý čas. Toto časové působení síly vyjadřuje impuls síly.
1.4. Práce, výkon, energie
V této kapitole se nebudete zabývat obecnými veličinami práce, výkon a energie, ale jejich
mechanickými modifikacemi.
1.4.1 Mechanická práce
Dovíte se, že práce je dráhový účinek síly, že je třeba vzít v úvahu sílu jako vektor. Bude tedy
záležet na směru, ve kterém síla působí vzhledem k dráze po které těleso přemisťujeme.
1.4.2 Výkon
Výkon vyjadřuje „jak rychle se práce koná“. Bude zde definován okamžitý a průměrný
výkon, vysvětlen rozdíl mezi příkonem a výkonem, zavede pojem účinnost.
1.4.3 Mechanická energie
Dovíte se, že mechanická energie je součtem kinetické a potenciální energie. Budete si oba
druhy energie definovat, naučíte se souvislost mechanických energií s vykonanou prací.
V poslední části si proberete tíhovou potenciální energii a potenciální energii pružnosti.
Nakonec bude uveden zákon zachování mechanické energie.
1.5. Gravitační pole
V této kapitole se probírá nejznámější z fyzikálních polí – gravitační. Účinků tohoto pole jsme
každodenně vystaveni.
1.5.1 Newtonův gravitační zákon
9
V kapitole je definováno, co to vlastně gravitační pole je. Seznámíte se s jeho projevem –
mechanickou silou působící na všechna hmotná tělesa. Naučíte se tuto sílu vypočítat pomocí
Newtonova gravitačního zákona.
1.5.2 Gravitace v okolí Země
Dovíte se o vlastnostech gravitačního pole na povrchu Země, budete s i definovat gravitační
zrychlení. Seznámíte se s pojmem tíhová síla a vysvětlíte si rozdíl mezi gravitační a tíhovou
silou, gravitačním a tíhovým zrychlením.
1.5.3 Pohyb těles v blízkosti Země
Proberete si pohyby v blízkosti Země jako je volný pád, vrh svislý, vodorovný a šikmý.
1.5.4 Pohyb těles ve velkých výškách od povrchu Země
V krátkosti je zde pojednáno pohybu těles ve velkých výškách (satelitů, raket), seznámíte se
s pojmy kosmické rychlosti.
1.5.5 Keplerovy zákony
Vzdálíte se ještě více od Země a dovíte se něco málo o pohybu planet okolo Slunce. Naučíte
se tři Keplerovy zákony.
1.6. Tuhé těleso
Zde již opustíte pojem hmotný bod a budete si definovat tuhé těleso. Seznámíte se
s odlišnostmi mechaniky hmotného bodu a mechaniky tuhého tělesa.
1.6.1 Pohyb tuhého tělesa
Po seznámením s vlastnostmi tuhého tělesa se naučíte charakterizovat postupný, otáčivý a
složený pohyb tuhého tělesa. Budete definovat těžiště tělesa.
1.6.2 Otáčivé účinky síly, moment síly
Dovíte se, že moment síly je příčinou změny pohybového stavu tělesa z pohledu rotačního
pohybu. Naučíte se definovat moment síly, seznámíte se s momentovou větou.
1.6.3 Skládání sil působících na těleso
Naučíte se skládat síly působící na těleso a to rovnoběžné i různoběžné, působící v jednom
bodě nebo v bodech různých. Dovíte se o momentu dvojice sil.
1.6.4 Rovnováha tuhého tělesa
Zde jsou definovány tři různé možnosti rovnováhy tělesa: stabilní, labilní a volná.
1.6.5 Kinetická energie tuhého tělesa
Dovíte se jak vyjádřit pohybovou energii tuhého tělesa při postupném, rotačním a složeném
pohybu. V souvislosti s kinetickou energií bude zaveden pojem moment setrvačnosti.
1.7. Struktura a deformace pevné látky
1.7.1 Struktura pevných látek
Krystalické a amorfní látky, polymery.
1.7.2 Deformace pevného tělesa
Síly pružnosti, namáháni tlakem, tahem a kroucením.
1.7.3 Normálové napětí, Hookův zákon
10
Normálové napětí, Hookův zákon, křivka napětí – deformace.
1.8. Mechanické kmitání
V této kapitole si proberete mechanické kmitání netlumené, tlumené a vynucené.
1.8.1 Harmonický pohyb
Kapitola začíná zvláštním druhem kmitání, které má harmonický průběh (sinusoida) Popíšete
si tento pohyb pomocí rovnice pro výchylku, naučíte se význam pojmů kmit, perioda,
frekvence, úhlová frekvence a fáze. Vyjádříte si závislost rychlosti a zrychlení harmonického
pohybu na čase.
1.8.2 Dynamika harmonického pohybu
Dovíte se o příčině harmonického pohybu – síle pružnosti tělesa. Tuto sílu si vyjádříte pomocí
fyzikální veličiny označované jako tuhost..
1.8.3 Kyvadlo
Kmitání si přiblížíte na příkladu kyvadla. Seznámíte se se silami působícími na kyvadlo,
budete si definovat periodu kyvadla.
1.9. Mechanické vlnění a zvuk
1.9.1 Popis mechanického vlnění
V úvodu si ukážete, jak se mechanické kmitání přenáší pružným prostředím a vzniká
mechanické vlnění. Budete si poněkud odlišněji definovat fázi, seznámíte se s rovnicí pro
výchylku. Nově bude zaveden pojem vlnová délka, naučíte se její souvislost s rychlostí
vlnění a frekvencí. Vlnění si rozdělíte na vlnění podélná a příčná.
1.9.2 Interference vlnění
Dovíte se o skládání vlnění – interferenci. Dovíte se, že o tom jaké bude složené vlnění
rozhoduje dráhový rozdíl obou vlnění. Seznámíte se s podmínkami zesílení a zeslabení
skládaných vln. Prakticky si budete demonstrovat skládání dvou vlnění na případu vzniku
stojatých vln.
1.9.3 Zvukové vlnění
Objasníte si, že zvukové vlnění, zvuk je mechanické postupné podélné vlnění. Dovíte se, že
zvukové vlnění charakterizujeme jeho frekvencí. Podle frekvence si rozdělíte zvukové vlnění
na zvuk (slyšíme), ultrazvuk a infrazvuk. V kapitole je uveden také vztah pro závislost zvuku
na teplotě. Na konci kapitoly se dovíte o dalších veličinách charakterizujících zvuk – intenzita
zvuku a hladina intenzity zvuku.
11
Literatura
Svoboda, Emanuel a kol. Přehled středoškolské fyziky. Praha: Prométheus, 1996.
Kubínek, Roman, Kolářová, Hana. Fyzika v příkladech a testových otázkách. Olomouc:
Rubico, 1998
12
1. Mechanika
Studium předmětu Fyzika je nejlepší začít částí zvanou Mechanika. Mluví pro to hned
několik důvodů – zaprvé je to nejstarší obor fyziky zabývající se zákonitostmi mechanického
pohybu těles známý již ve starověku. Za druhé je pro studujícího nejsnáze pochopitelný,
protože na mechanické jevy naráží každý den. Ne že by se běžně nesetkával i s jinými
fyzikálním jevy a zákonitostmi, ale ty nejsou často na první pohled tak zřejmé. A konečně za
třetí se bez znalosti zákonitosti mechaniky neobejdete při studiu jiných partií fyziky a
uplatníte je i u velmi složitých jevů jako je třeba pohyb kosmické lodi či čtecího zařízení CD
přehrávače, viz. obr. 1.
obr. 1
Mechanika se dělí na více částí. Kinematika se zabývá pouze popisem pohybu tělesa,
zatímco Dynamika vyšetřuje příčiny tohoto pohybu. Samostatně se probírají kapitoly
Mechanická práce a energie a Gravitační pole. Do mechaniky se zařazuje i Nauka o
mechanickém kmitání a vlnění a její zvláštní část Akustika.
13
1.1 Úvodní pojmy
Než se pustíte do studia nejen této kapitoly, ale i jiných částí fyziky, je třeba si zopakovat
základní pojmy, které se v celé fyzice používají. Úplně na začátku se seznamte se soustavou
fyzikálních veličin a jednotek, jejich znalost je nezbytná. Fyzika také pracuje se skalárními i
vektorovými veličinami, je tedy nutné se naučit jejich odlišnosti a základní matematické
operace s nimi.
1.1.1 Soustava fyzikálních veličin a jednotek
1. Znát základní jednotky soustavy SI.
2. Znát předpony označující díly a násobky jednotek.
3. Umět rozepsat vedlejší jednotky pomocí jednotek základních.
4. Vědět, že do vztahů je vhodné dosazovat jednotky soustavy SI, výsledek
pak vyjde také v jednotkách SI.
Odhadovaný čas nutný ke studiu je 10 minut.
Postupem času při rozvoji fyzikálních poznatků se používalo k vyjádření
velikostí fyzikálních veličin nejrůznějších jednotek. Vzpomeňte si
z dějepisu na starověké délkové míry – Římané vyjadřovali vzdálenosti ve
stádiích, již od středověku používají Angličané míle ať už pozemní, nebo
námořní, v Rusku byl vžit pojem versta.
Jak se „globalizoval“ svět, ukázala se nutnost sjednotit všechny jednotky.
A tak od roku 1971 byla zavedena Mezinárodní soustava jednotek označovaná zkratkou SI
(z francouzského Systéme International des Unités).
Soustava SI obsahuje sedm základních fyzikálních jednotek a tomu odpovídajících sedm
základních veličin. Tyto základní jednotky jsou přehledně uspořádány s příslušnými
veličinami a značkami v následující tabulce:
jednotka značka název veličiny značka
metr m délka l
kilogram kg hmotnost m
sekunda s čas t
ampér A elektrický proud I
14
kelvin K termodynamická teplota T
mol mol látkové množství n
kandela cd svítivost I
Dále soustava SI obsahuje odvozené jednotky. Tyto jednotky jsou odvozeny na základě
definičních vztahů příslušných veličin. Například veličinu hustota ρ definujeme jako hmotnost
jednotkového objemu vztahem
V
m
=ρ ,
Protože jednotkou hmotnosti m je kilogram (kg) a jednotkou objemu V je krychlový metr
(m3
), jednotkou hustoty je kilogram na metr krychlový. Tuto jednotku pak můžeme zapsat ve
dvou různých tvarech a to buď jako kg/m3
, nebo kg.m-3
.
Odvozené jednotky se často pojmenovávají po význačných fyzicích. Tak známe jednotku
Newton, Pascal, Sievert atd.
U1.1.1-1. Jednotka Newton (N) je odvozenou jednotkou pro sílu.
Vyjádřete tuto jednotku pomocí základních jednotek
V praxi je často výhodné používat násobky a díly jednotek. Proto
vzdálenost ujetou autem vyjadřujeme v kilometrech (km) a ne v metrech,
malé hodnoty elektrického proudu měříme v miliampérech (mA) a ne
v ampérech. Zase jde o použití zásad soustavy SI, která určuje násobky a
díly pomocí třetích mocnin základu 10. Jednotlivé násobky a díly jsou
označeny předponami. V předchozích příkladech jsme tak použili dvě
předpony a to kilo (značka k) pro označení násobku 103
a mili (značka m) pro 10-3
.
Ostatní díly a násobky jednotek najdete v následující tabulce Dekadické násobky jednotek
soustavy SI. Někdy se používají ještě další předpony, které nepatří do soustavy SI jako je
centi- se značkou c (1 cm = 10-2
m), deci-, značka d (1 dm = 10-1
m) a hekto- , značka h (1 hPa
= 100 Pa).
Při používání násobků a dílů jednotek si musíme dávat velký pozor při výpočtech. Například
máme vypočítat hmotnost krychle železa o hraně 2 cm. Hustota železa (najdeme v tabulkách)
je 7,9.103
kg.m-3
.
15
Přehled dekadických násobků a dílů jednotek soustavy SI
Předpona Značka Znamená
výchozích jednotek
exa E 18
10
peta P 15
10
tera T 12
10
giga G 9
10
mega M 6
10
kilo k 3
10
hekto x)
h 2
10
deka x)
da 1
10
0
10
deci x)
) d 1
10
−
centi x)
c 2
10
−
mili m 3
10
−
mikro µ 6
10
−
nano a 9
10
−
piko p 12
10
−
femto f 15
10
−
atto a 18
10
−
Násobky a díly označené x)
se používají jen ve zvláštních
případech
16
Vyjdeme z definičního vztahu pro hustotu a vyjádříme z něj hmotnost.
Vm
V
m
ρρ =⇒= .
Když teď dosadíme přímo hodnoty bez ohledu na jednotky dostaneme:
.tunkg...,m 63106321097 333
=== Tedy zřejmý nesmysl, malá krychlička asi tolik neváží.
Vše vzniklo tím, že jsme nedosazovali veličiny důsledně v jednotkách SI. Hustota byla
dosazena správně, ale délkový rozměr železné krychle jsme dosadili v centimetrech a ne
v metrech. Správný výpočet by tedy vypadal takto:
.gkg.,.,m 6310630201097 333
=== −
A to už je výsledek odpovídající našim zkušenostem.
Stále se ještě setkáváme s jednotkami, které nepatří do soustavy SI. Je to dáno jejich
praktickým významem, zde patří jednotky jako minuta, hodina, tuna, litr. A nebo tradicí –
anglicky mluvící národy se těžko zbavují mílí, stop či liber. Těmto jednotkám se říká vedlejší
jednotky.
Při převodu jednotek se často dopouštíme chyb. Následující řešený příklad si nejdříve
vypočítejte sami a pak si teprve zkontrolujte řešení.
Kolik čtverečných metrů má les o výměře 5 km2
?
Při řešení si musíte uvědomit, že pracujeme s mocninou jednotky. Nejlepší je
si jednotku rozepsat jako součin a pak převést každý činitel zvlášť.
Takže: 5 km2
= 5 (km) (km) = 5 (1000 m) (1000 m) = 5.106
m2
.
U1.1.1-2. Napište převodní vztahy mezi minutou, hodinou, tunou a litrem
a příslušnými jednotkami soustavy SI.
U1.1.1-3. Zátka z korku má hmotnost 1g a objem 5 cm3
. Jaká je hustota
korku?
U1.1.1-4. Vyjádřete pomocí mocnin o základu 10 následující jednotky:
mA, GJ, nm, µV, pF.
1.1.2 Skalární a vektorové fyzikální veličiny
1. Definovat a rozlišit skalární a vektorovou veličinu.
2. Umět sečíst a odečíst algebraicky i graficky dva a více vektorů.
3. Rozložit vektor do libovolných směrů.
4. Umět vyjádřit vektor pomocí jeho složek a souřadnic.
5. Vynásobit skalárně jeden vektor druhým.
6. Vynásobit vektorově jeden vektor druhým, umět určit směr výsledného vektoru.
17
Odhadovaný čas nutný ke studiu je 30 minut
Fyzikální veličiny můžeme rozdělit do dvou skupin. Prvou skupinu tvoří
veličiny jako je čas, hmotnost, teplota, energie. U těchto veličin určujeme
pouze jejich velikost a samozřejmě i s příslušnou jednotkou. Jestliže řeknu,
že cesta z Ostravy do Prahy trvá vlakem 5 hodin, není třeba nic dodávat
(pokud nenadávám na ČD, že zase měl vlak zpoždění). V tomto případě
hovořím o skalární veličině.
Skalární fyzikální veličina, krátce skalár, je určena svou velikostí a příslušnou jednotkou.
Skalární fyzikální veličina a skalární veličina nejsou rovnocenné pojmy. Pokud hovoříme
pouze o skalární veličině jako matematickém pojmu, pak je tato veličina určena jen svou
velikostí. U skalární fyzikální veličiny musíme vždy připojit ještě jednotku, pokud není
bezrozměrná.
Skalární veličinu označujeme v textu kurzivou. Například čas zapíšeme jako t, hmotnost m
atp.
Do druhé skupiny zařazujeme fyzikální veličiny, jako je síla, rychlost, zrychlení, intenzita
elektrického pole apod. Na rozdíl od skalárních veličin, u těchto vektorových veličin musíme
brát v úvahu i jejich směr. Chceme-li roztlačit na vodorovné silnici auto, tak samozřejmě
působíme silou. Pokud budeme tlačit na auto shora, ani s ním nehneme. Z fyzikálního pohledu
působíme silou ve směru kolmém na směr pohybu. Ze zkušenosti víme, že nejúčinnější bude,
budeme-li tlačit ve směru vodorovném (síla působí ve směru pohybu).
Vektorová fyzikální veličina, zkráceně vektor, je veličina, která má určitou velikost, směr a
orientaci. A protože se jedná o fyzikální vektorovou veličinu, je nutné připojit i jednotku.
Vektorovou veličinu označujeme zpravidla tučnou kurzívou nebo šipkou nad jejím symbolem.
Například sílu zapíšeme jako F, nebo F . Vektorovou veličinu znázorňujeme úsečkou určité
délky a určitého orientovaného směru. Délka této úsečky určuje velikost vektoru – je to
skalár. Velikost vektoru A zapisujeme jako A = │A│. Směr vektoru je dán přímkou ve které
vektor leží. A konečně orientaci vektoru nám určuje počáteční (O) a koncový bod vektoru.
Na obrázku, viz. obr. 2, vidíme znázorněnu sílu F velikosti F = 4 N působící ve směru osy x.
Na tomto obrázku je také znázorněn důležitý bod O – počáteční bod vektoru označovaný jako
umístění vektoru.
18
obr. 2
Ke každému vektoru existuje opačný vektor. Opačný vektor má stejnou velikost, stejný směr,
ale opačnou orientaci. Vektor opačný k vektoru a značíme jako –a.
Pro počítání s vektory platí některá odlišná pravidla než při počítání se skaláry (čísly) tzv.
pravidla vektorového počtu:
► Sčítání vektorů. Vektory sčítáme vektorovým součtem. Na rozdíl od sčítání dvou
čísel musíme v tomto případě vzít v úvahu nejen velikost vektorů, ale i jejich směr.
Matematický zápis pro vektorový součet je:
absbas +=+= , .
Výsledný vektor s nazýváme výslednice vektorů, sčítané vektory a a b jsou složky.
Všimněte si, že výsledkem je opět vektor a že nezáleží na pořadí sčítání.
Názornější je grafické sčítání vektorů. V tomto případě konstruujeme tzv. vektorový
rovnoběžník. Výslednice vektorů s je úhlopříčkou rovnoběžníku o stranách tvořených
sčítanými vektory - složkami a a b. Toto sčítání je znázorněno na obrázku, viz. obr. 4.
obr. 4
19
obr. 5
Samozřejmě můžeme sčítat více vektorů. Sečteme nejdříve prvé dva, k jejich výslednici
přičteme další vektor atd.
Velikost výslednice vektoru můžeme také vypočítat, určit algebraicky. Pomůže nám obrázek,
viz. obr. 5, a kosinová věta. αcos2222
abbas ++= .
U1.1.2-5. Určete výsledný vektor c vzniklý sečtením vektoru a velikosti 4
m a majícího směr osy x s vektorem b velikosti 3 m ležícího ve směru osy
y. Řešte graficky a početně.
U1.1.2-6. Určete graficky vektor e, který je součtem vektorů a,b,c
znázorněných na obrázku, viz. obr. 7.
obr. 7
20
U1.1.2-7. Dvě skupiny se přetahují lanem. Přetahování je nerozhodné, obě skupiny zřejmě
táhnou stejnou silou v opačných směrech. Jaká je výslednice sil? Nakreslete schematický
obrázek.
► Odčítání vektorů. Pokud se naučíme sčítat vektory, umíme již vektory také odečítat.
Máme-li odečíst od vektoru a vektor b, pak to uděláme tak, že k vektoru a přičteme vektorově
opačný vektor –b. Matematický zápis této operace je:
( ) bacnebobac −=−+= ,
Graficky máte odečítání dvou vektorů znázorněno na obrázku, viz. obr. 10.
obr. 10
Na obrázku je zobrazen rovnoběžník o stranách a a b, které svírají úhel γ.
Můžeme vypočítat úhlopříčky rovnoběžníku s využitím vektorového počtu?,
viz. obr. 11.
obr. 11
Tento příklad byl zvolen právě proto, aby ukázal, jak lze vektorového počtu použít pro řešení
některých geometrických úloh. Představíme si strany a, b jako vektory a, b se společným
počátkem v bodě O.
Delší úhlopříčka (červená) d je vlastně velikost výslednice vektorového součtu obou
vektorů a, b.
d2
=a2
+ b2
+ 2ab cos γ.
Kratší úhlopříčka (modrá) c je velikost výslednice vektorového rozdílu obou vektorů.
c2
=a2
+ b2
- 2ab cos γ.
21
► Rozklad vektoru. Rozklad vektoru je ve fyzice velice užitečná operace. Vektor
rozkládáme do dvou nebo více různoběžných směrů. Na obrázku, viz. obr. 14, vidíme
rozložení vektoru a na dva vektory a1 a a2. Vektory a1 a a2 jsou tzv. složky vektoru a. Jejich
vektorovým součtem (a1 + a2 = a) opět dostaneme vektor a.
obr. 14
Často rozkládáme vektor na složky ležící v jednotlivých osách pravoúhlé soustavy souřadnic
Oxyz. Velikostem těchto složek pak říkáme souřadnice vektoru. Vezměme například vektor
síly F. Jeho rozklad na složky Fx, Fy a Fz je znázorněn na obrázku, viz. obr. 15.
obr. 15
Pro velikost vektoru F vyjádřenou pomocí jeho souřadnic platí vztah:
( ).222
zyx FFFFF ++==
Složky vektoru v pravoúhlé soustavě souřadnic Oxyz můžeme také vyjádřit pomocí jeho
souřadnic a jednotkových vektorů i, j, k. Jednotkový vektor (Obr.16) ao
vektoru a je vektor,
který má směr vektoru a a velikost rovnu 1. Platí tedy 1=o
a .
22
obr. 16
Například složky vektoru F zapsané pomocí jeho souřadnic jsou:
Fx = Fx i, Fy = Fy j, Fz = Fz k,
A vektor F pak jako jejich vektorový součet vyjádříme:
F = Fx i + Fy j + Fz k
► Násobení vektoru reálným číslem. Vynásobíme-li vektor A0 reálným číslem n,
dostaneme vektor stejného směru A1. Jeho velikost bude n násobkem původní velikosti.
0101 , AnAAnA == .
Je-li n kladné, má výsledný vektor A1 stejný směr i orientaci jako původní vektor A0. Bude-li
n záporné číslo, má výsledný vektor orientaci opačnou. Ale pozor, velikost výsledného
vektoru bude kladná, délky úseček vyjadřujeme vždy kladnými čísly. Příklad grafického
řešení násobení vektoru síly číslem máte na obrázku, viz. obr. 3.
obr. 3
23
► Skalární součin dvou vektorů. Jak název této operace napovídá, násobíme-li skalárně
vektor A vektorem B je výsledkem skalár C. Skalární součin zapisujeme:
C = A . B = A B cosα,
Kde A a B jsou velikosti obou vektorů a α je úhel, který vektory svírají. Všimněte si tečky
mezi násobenými vektory na levé straně rovnice. Touto tečkou vyjadřujeme, že se jedná právě
o skalární součin.
Skalární součin můžeme určit také pomocí souřadnic jednotlivých vektorů:
Typickým fyzikálním příkladem na skalární součin je výpočet práce. Máme
vypočítat velikost vykonané práce (skalár), táhneme-li vozík po vodorovné
cestě silou 500 N (prvý vektor). Vozík táhneme pomocí 1m dlouhé šňůry po
dráze 6m (druhý vektor). Šňůra je upevněna na vozík ve výšce 0,5m, naše
ruce jsou ve výšce 1m (z těchto údajů vypočítáme úhel mezi oběma vektory),
viz. obr. 12.
Ze zkušenosti víme,
že nejmenší námahu
(nejmenší sílu)
musíme vynaložit,
táhneme-li vozík ve
směru pohybu. Ale
síla v našem případě
působí pod úhlem α.
Ve směru pohybu
působí jen složka
síly F cosα.
obr. 12
Možná si ještě pamatujete (když ne, tak se to zde později dovíte), že práce je „síla působící po
dráze“. Jinak řečeno práci dostaneme jako součin působící síly a dráhy, po které se těleso
během působení síly přemístí:
( ) sFA αcos= .
Srovnáme-li tento vztah s výrazem pro skalární součin vektoru síly F a vektoru přemístění
s (F . s = F s cosα) zjistíme, že jde o stejné vztahy. Takže se můžeme konečně pustit do
výpočtu hledané práce. V našem případě je úhel α roven 30o
, jak jednoduše stanovíme
z obrázku (
1
5,0
sin =α ). Dosadíme nyní do vztahu pro skalární součin vektoru síly a dráhy:
JsFsFA o
260030cos6500cos. ==== α .
zzyyxx BABABABAC ++== .
24
Výsledek nám vyšel v joulech, v jednotce soustavy SI pro práci, protože jsme dosazovali
hodnoty pro velikost síly i dráhy také v jednotkách patřících do soustavy SI..
U1.1.2-8. Vypočítejte skalární součin dvou vektorů a a b ve dvou
extrémních případech:
a) vektory jsou rovnoběžné a║b
b) vektory jsou na sebe kolmé a┴b
► Vektorový součin dvou vektorů. Násobíme-li vektorově vektor A vektorem B, je
výsledkem tohoto součinu vektor D.
D = A x B = - (B x A).
V tomto zápisu si všimněte symbolu pro vektorový součin „x“. Důležití je, že si musíme dát
pozor i na pořadí vektorů. Vyměníme-li v součinu pořadí obou vektorů, dostaneme sice vektor
stejné velikosti, ale opačné orientace.
Výsledný vektor D je kolmý na rovinu tvořenou vektory A a B. Je tedy kolmý jak na vektor
A, tak na vektor B.
Pro praktické fyzikální výpočty nám často dostačuje znát velikost vektoru vzniklého jako
vektorový součin. Tuto velikost vypočítáme jako součin velikostí obou vektorů a sinu úhlu
jimi sevřeného:
αsinBAD =
Jedná se vlastně o plochu rovnoběžníka vymezeného násobenými vektory. Názorně je
vektorový součin a jeho výsledek vidět na obrázku, viz. obr. 13.
obr. 13
U1.1.2-9. Stanovte vektorový součin dvou vektorů a a b ve dvou
extrémních případech:
a) vektory jsou rovnoběžné a║b
b) vektory jsou na sebe kolmé a┴b
25
1.2 Kinematika hmotného bodu
Po této přípravě už můžeme začít s první kapitolou, kinematikou. Tato část fyziky se zabývá
popisem pohybu těles, aniž by se ptala proč k pohybu dochází. Jak je ve fyzice častým
zvykem, budeme studovat ne pohyb konkrétního objektu, tělesa, ale budeme sledovat pohyb
hmotného bodu. Situaci tím zjednodušujeme, nahrazujeme reálné těleso modelem - hmotným
bodem.
1.2.1 Hmotný bod, mechanický pohyb
1. Umět vysvětlit pojem hmotného bodu.
2. Uvést konkrétní příklady, kdy těleso lze nahradit hmotným bodem.
3. Znát definici vztažné soustavy, umět ji zvolit v konkrétním případě.
Odhadovaný čas nutný ke studiu je 10 minut
Hmotný bod je myšlený bodový objekt, kterým nahrazujeme skutečné
těleso. Hmotný bod má stejnou hmotnost jako těleso a představujeme si ho
umístěný do jeho těžiště.
Toto zjednodušení lze použít, jsou-li rozměry tělesa zanedbatelné vůči
vzdálenostem po kterých se pohybuje. Jedoucí auto vzhledem ke
kilometrovým vzdálenostem, letící kámen, nebo dítě na řetízkovém kolotoči lze přibližně
považovat za hmotné body.
Příklady na hmotný bod v předchozím odstavci vždy ukazovaly těleso v pohybu. Zastavme
auto. Jeho poloha se nemění vůči okolí. Říkáme, že objekt je v klidu. Ale auto se přesto
pohybuje spolu se Zemí – otáčí se s ní, pohybuje se s ní vůči Slunci atp. Klid těles je vždy
relativní, absolutní klid neexistuje. Označím-li těleso za klidné, musím vždy uvést,
vzhledem k čemu je v klidu.
Stejný problém je i s pohybem. Auto jede po silnici devadesátikilometrovou rychlostí. To je
rychlost vůči silnici. Ale sledujeme-li jeho rychlost například vůči Slunci, musíme ještě přidat
rychlost pohybu Země atd. Z této úvahy opět vyplývá závěr, že pohyb těles je také vždy
relativní.
26
Vidíme, že popis klidu i pohybu vždy závisí na tom, k jakým tělesům jej vztahujeme. Volíme
tedy soustavu těles, ke kterým vztahujeme pohyb nebo klid sledovaného tělesa - volíme tzv.
vztažnou soustavu.
Nejčastěji vztahujeme pohyb k povrchu Země. Ale nemusí tomu tak být vždy. Například
jdeme-li uličkou v jedoucím vlaku, pak může být vztažnou soustavou vagon, nebo povrch
Země.
KO1.2.1-1. Které z uvedených těles můžeme považovat za hmotný bod? Míč
vystřelený na branku, míč v rukou brankáře, běžící závodník při dálkovém
běhu, rotující kulička na stole, umělá družice Země.
KO1.2.1-2. Co znamená, že klid a pohyb jsou relativní?
KO1.2.1-3. Sedíte v jedoucím autě. Jste v klidu nebo v pohybu? Uvažujte dvě
různé vztažné soustavy.
1.2.2 Polohový vektor, trajektorie, dráha
1. Umět zapsat polohu hmotného bodu pomocí pravoúhlé soustavy
souřadnic.
2. Určit polohu hmotného bodu pomocí polohového vektoru, umět
vypočítat jeho velikost a směr.
3. Definovat pojmy dráha a trajektorie.
4. Rozlišovat podle tvaru trajektorie přímočaré a křivočaré pohyby.
5. Zakreslit do grafu závislost dráhy na čase.
Odhadovaný čas nutný ke studiu je 30 minut.
Vektorový počet.
27
Popisujeme-li mechanický pohyb hmotného bodu vzhledem ke zvolené
vztažné soustavě, musíme určit jeho polohu v libovolném čase.
Nejjednodušší je určit polohu pomocí pravoúhlé soustavy souřadnic
Oxyz. Na obrázku
stanovujeme polohu
bodu P, třeba umístění vázy na stole
v místnosti, viz. obr. 17. Souřadnou
soustavu spojíme s místností, počátek
souřadnic O umístíme do jednoho
spodního rohu místnosti. Osami x, y,
z jsou z tohoto rohu vybíhající rohy stěn.
Poloha našeho hmotného bodu – vázy je
určena souřadnicemi x = 3 m, y = 1 m, z =
2 m. Zkráceně zapisujeme tuto polohu
jako P = [3 m, 1 m, 2 m] .
obr. 17
Polohu hmotného bodu můžeme určit také pomocí polohového vektoru r. Polohový vektor je
vektor s počátkem v bodě O souřadnicové soustavy a s koncovým bodem ve vyšetřovaném
bodě P, viz. obr. 18.
obr. 18
Souřadnice polohového vektoru jsou totožné se souřadnicemi hmotného bodu x, y, z. Vektor r
tak můžeme zapsat jako r (x,y,z). Jeho velikost je dána vztahem :
)222
zyxr ++= ,
jeho směr je pak určen úhly α, β, a γ, které polohový vektor svírá s osami souřadnic.
28
U1.2.2-4. Na
obrázku, viz. obr. 19,
je znázorněna poloha
bodu A ležícího v
rovině. Zapište jeho
polohu pomocí
polohového vektoru, určete jeho velikost
a směr.
obr. 19
Pohybuje-li se hmotný bod, opisuje v prostoru pomyslnou souvislou čáru,
kterou nazýváme trajektorie hmotného bodu.
Trajektorie je množina všech poloh, kterými hmotný bod při svém
pohybu prochází.
Podle tvaru trajektorie rozlišujeme pohyby:
• přímočaré – trajektorií je část přímky,
• křivočaré – trajektorií je křivka nebo její část (kružnice, parabola, elipsa nebo libovolná
prostorová křivka).
Podle tvaru trajektorie usuzujeme na druh pohybu. Nás však také zajímá délka trajektorie –
dráha.
Délka s trajektorie, kterou hmotný bod opíše za čas t, se nazývá dráha. Dráha je fyzikální
veličina, kterou uvádíme v jednotkách délky.
Na obrázku, viz. obr. 20, se pohybuje hmotný bod po přímočaré trajektorii z bodu A do bodu
B. V tomto případě je délka trajektorie – dráha s rovna vzdálenosti bodů A a B.
obr. 20
Na druhém obrázku, viz. obr. 21, se hmotný bod pohybuje po křivočaré trajektorii. Nyní
musíme měřit dráhu s podél celé křivky od bodu A do bodu B.
29
obr. 21
Jak se hmotný bod pohybuje po své trajektorii, plyne čas. S rostoucím časem se zvětšuje
dráha, kterou hmotný bod urazil. Říkáme, že dráha s je funkcí času t. Tuto závislost dráhy
na čase zapisujme výrazem s = s(t).
Je výhodné si tuto závislost zakreslovat do grafu. Na x osu nanášíme čas t, na osu y uraženou
dráhu s.
KO1.2.2-5. Jak rozdělujeme pohyby podle trajektorie?
KO1.2.2-6. Určete podle tvaru trajektorie jaký pohyb koná: vržený oštěp,
padající list ze stromu, lokomotiva na přímé trati, sprinter na trati 100 m a 200
m, umělá družice Země, celá Země.
KO1.2.2-7. Jakou trajektorii opisuje jehla gramofonové přenosky vzhledem:
ke skříni gramofonu, k přenosce, otáčející se gramofonové desce?
U1.2.2-8. Běžec uběhl v každé sekundě dráhu 7 m. Jakou dráhu uběhl za
dobu 5 s, 10 s?
U1.2.2-9. Hmotný bod se pohybuje z jednoho místa do druhého a) po
přímce, b) po části kružnice. Ve kterém případě urazí větší dráhu?
U1.2.2-10. Zakreslete do grafu závislost uražené dráhy na čase auta jedoucího stále stejnou
rychlostí 60 km/hod. Jaký bude mít tvar vzniklá křivka?
1.2.3 Rychlost hmotného bodu
1. Umět definovat průměrnou rychlost a znát matematický zápis této
definice.
2. Řešit úlohy použitím daného vztahu.
3. Klasifikovat pohyby podle rychlosti.
Odhadovaný čas nutný ke studiu je 20 minut
30
Dráha hmotného bodu
Prozatím jsme u pohybu hmotného bodu vyšetřovali pouze jeho dráhu.
Teď se budeme zabývat druhou veličinou charakterizující pohyb –
rychlostí.
Hmotný bod se může pohybovat „pomaleji“ nebo „rychleji“. Cyklista urazí
stejnou dráhu jako chodec, ale za různý čas. O cyklistovi, který potřebuje k
uražení stejné dráhy kratší čas říkáme, že je rychlejší, nebo má větší
rychlost.
Při definování rychlosti vyjdeme z obrázku, viz. obr. 25. Chceme stanovit rychlost hmotného
bodu mezi body trajektorie Ao a A. Než se hmotný bod v čase to dostal do bodu Ao, urazil od
počátku O dráhu so. Označme dráhu od počátku k bodu A jako s. Sem se hmotný bod dostane
za čas t. Nás bude zajímat rychlost, se kterou se hmotný bod pohybuje v úseku (intervalu)
dráhy ∆s = s - so. K uražení tohoto úseku dráhy potřebuje čas ∆t = t – to.
obr. 25
Průměrná rychlost hmotného bodu je podíl jeho dráhy ∆s a odpovídající doby pohybu ∆t.
o
o
tt
ss
t
s
v
−
−
=
∆
∆
= .
Jednotkou rychlosti v soustavě SI je metr za sekundu tj. m/s = m.s-1
. Běžně se používá také
vedlejší jednotka km/h.
U1.2.3-11. Automobil jede průměrnou rychlostí 90 km/h. Vyjádřete tuto
rychlost pomocí jednotek SI.
Vypočítám-li si po ujetí jisté vzdálenosti autem průměrnou rychlost,
neznamená to, že v každém okamžiku jízdy ukazuje tachometr tuto
rychlost. Tento přístroj totiž měří dráhu, kterou auto ujede za velice krátký
31
čas ∆t a ukazuje nám velikost tak zvané okamžité rychlosti. Velikost okamžité rychlosti i její
směr (jedná se totiž o vektor) se naučíte počítat až se znalostí diferenciálního počtu.
Podle rychlosti si můžeme rozdělit pohyby do dvou skupin:
• rovnoměrný pohyb. U tohoto pohybu urazí hmotný bod ve stejných časových
intervalech stejné dráhy. Jeho rychlost se během pohybu nemění, je konstantní.
• nerovnoměrný pohyb. U nerovnoměrného pohybu se rychlost mění během pohybu,
není konstantní.
Automobil projede první třetinu dráhy s se stálou rychlostí o velikosti v1
,
další dvě třetiny dráhy stálou rychlostí o velikosti v2
= 72 km/h . Jeho
průměrná rychlost byla v = 36 km/h. Určete velikost rychlosti v1
.
Prvou třetinu dráhy s1
= s/3 projel automobil za dobu t1
= s1
/v1
= s/3v1
, druhé
dvě třetiny dráhy s2
= 2s/3 za dobu t2
= s2
/v2
= 2s/3v2
, celou dráhu za čas t
= t1
+ t2
, kde t = s/v.
Po dosazení do vztahu pro celkový čas t dostáváme výraz s/v = s/3v1
+ 2s/3v2
a odtud pro
velikost rychlosti v1
= v v2
/ (3v2
- 2v).
Převedeme nyní rychlosti vyjádřené v km/h na jednotky m/s a dosadíme do vztahu pro v1
=
10.20 / (3.20-2.10) = 5 m/s.
Velikost rychlosti automobilu v prvé třetině dráhy byla 5 m/s, tj. 18 km/h.
U1.2.3-12. Tachometr automobilu ukazoval po dobu 5 min stálou rychlostí
60 km/h. Jakou dráhu automobil ujel?
U1.2.3-13. Za jakou dobu ujede cyklista dráhu 18 km, jede-li stálou
rychlostí 30 km/h?
1.2.4 Zrychlení hmotného bodu
1. Umět definovat zrychlení a znát matematický zápis této definice.
2. Rozlišovat průměrné a okamžité zrychlení.
3. Rozložit celkové zrychlení křivočarého pohybu na tečné a normálové
zrychlení.
4. Klasifikovat pohyby podle zrychlení.
Odhadovaný čas nutný ke studiu je 30 minut.
32
Dráha hmotného bodu, rychlost hmotného bodu.
V kapitole o rychlosti jsme si dělili pohyby na rovnoměrné a
nerovnoměrné. Pro rovnoměrné pohyby bylo charakteristické, že jejich
rychlost byla konstantní. U nerovnoměrných pohybů se rychlost během
pohybu mění. Změnu rychlosti za jednotku času označujeme jako
zrychlení. Je to po dráze a rychlosti třetí veličina charakterizující
mechanický pohyb z pohledu kinematiky.
Změní-li se rychlost hmotného bodu z hodnoty vo v čase to na hodnotu
v v čase t, pak tuto změnu zapisujeme výrazem ∆v = v – vo. K této změně došlo v časovém
intervalu ∆t = t - to. Pomocí těchto změn můžeme definovat zrychlení hmotného bodu.
Zrychlení a je podíl změny rychlosti ∆v a doby ∆t, za kterou k této změně dojde.
o
o
tt
vv
t
v
a
−
−
=
∆
∆
= .
Jednotkou zrychlení v soustavě SI je metr za sekundu na druhou, tj. m/s2
= m.s-2
.
Tímto vztahem je definováno průměrné zrychlení. Zkrátíme-li dobu ∆t , ve které určujeme
zrychlení, na velmi malou hodnotu blížící se nule, pak vztah nám definuje okamžité
zrychlení.
V definičním vztahu pro zrychlení jsme si vyjadřovali pouze velikost zrychlení. Zrychlení je
totiž podobně jako rychlost vektorová veličina. Úplná definice zrychlení totiž zní:
Zrychlení a je vektor vyjadřující časovou změnu vektoru rychlosti, tj. změnu velikosti i
směru vektoru rychlosti.
o
o
tt
vv
t
v
a
−
−
=
∆
∆
= , kde ottt −=∆ je velmi malé.
Změna směru
vektoru rychlosti
se nejlépe ukazuje
na křivočarém
pohybu. Podívejte
se na obrázky, viz.
obr. 23. Na levém
obrázku vidíte jak
se na obloukové
trajektorii mění
směr vektoru
rychlosti v i když
jeho velikost se
obr. 23
33
nemění. Vektor rychlosti má totiž směr tečny k trajektorii. V pravé části obrázku je pak
znázorněn odpovídající vektor změny rychlosti ∆v.
Určete směr vektoru zrychlení v předchozím obrázku . Zakreslete vektor
zrychlení do pravé části obrázku (do vektorového trojúhelníku).
Nejdříve si zkuste úlohu vyřešit samostatně a své řešení si ověřte
v následujících řádcích.
Nic nemusíte kreslit. Vektor zrychlení a bude mít totiž směr vektoru změny
rychlosti ∆v, bude mít jenom jinou velikost. Zdůvodnění je jednoduché.
Vyjdeme z definičního vztahu a = ∆v/∆t a vzpomene si, co jsme se naučili o násobení vektoru
skalárem. V našem případě násobíme vektor ∆v reálným číslem
t∆
1
. A jak jistě víte,
výsledkem tohoto násobení je vektor stejného směru jako má násobený (∆v), pouze jiné
velikosti.
Teď se podívejme na další obdobný obrázek pro křivočarý pohyb, ale v
něm se nám mění směr i velikost vektoru rychlosti, viz. obr. 24.
Na obrázku a) jsou zakresleny vektory rychlosti v bodech Ao a A. Na
obrázku vidíme vektorový trojúhelník určující rozdíl obou vektorů
rychlosti ∆v. Na třetím obrázku c) je znázorněn vektor zrychlení a pohybu
hmotného bodu po křivce. Tento vektor jsme si rozložili do dvou vzájemně kolmých směrů:
obr. 24
Do směru tečného k trajektorii. Složku vektoru a v tomto směru jsme označili at . Toto tak
zvané tečné zrychlení vyjadřuje změnu velikosti rychlosti hmotného bodu.
Do směru normály k trajektorii. Složku vektoru a v tomto směru jsme označili an . Toto tak
zvané normálové zrychlení vyjadřuje změnu směru rychlosti hmotného bodu.
Podle pravidel vektorového počtu je celkové zrychlení a dáno vektorovým součtem tečného a
normálového zrychlení:
34
a = at + an
Velikost celkového zrychlení můžeme vypočítat jestliže známe velikost tečného a
normálového zrychlení pomocí Pythagorovy věty:
22
nt aaa +=
U1.2.4-14. Stanovte velikost normálového a tečného zrychlení
přímočarého pohybu. Celkové zrychlení tohoto pohybu je 5 m.s-2
.
Obdobně jak jsme rozlišovali pohyby na rovnoměrný a nerovnoměrný
pomocí rychlosti, můžeme využít i zrychlení ke klasifikaci pohybů:
Rovnoměrný pohyb. Tečné zrychlení tohoto pohybu je nulové at = 0.
Rovnoměrně zrychlený pohyb. Tečné zrychlení tohoto pohybu je konstantní at = konst., a je
kladné (at > 0).
Rovnoměrně zpomalený pohyb. Tečné zrychlení tohoto pohybu je konstantní at = konst.,
ale je záporné (at < 0).
Nerovnoměrný pohyb. Tečné zrychlení se během pohybu mění at ≠ konst.
Přímočarý pohyb. Normálové zrychlení je nulové an = 0, tečné zrychlení je rovno
celkovému zrychlení at = a.
Křivočarý pohyb. Normálové zrychlení je různé od nuly an ≠ 0.
Automobil jede rychlostí 36 km/h. V určitém okamžiku řidič „šlápne na
plyn“ a během doby 30 s zvětší rychlost na 90 km/h. Určete průměrné
zrychlení automobilu.
Nejdříve převedeme všechny jednotky do soustavy SI. Počáteční rychlost vo
= 36 km/h = 10 m/s, konečná rychlost v = 90 km/h = 25 m/s.
Vyjdeme ze vztahu pro zrychlení, kde za ∆v dosadíme v - v0, za ∆t dobu
zrychlování t a dostaneme
a = (v – vo)/t = (25 - 10)/30 = 0,5 m/s2
Automobil jede s průměrným zrychlením 0,5 m/s2
1.2.5 Přímočarý pohyb hmotného bodu
V této kapitole využijeme toho, co jsme se naučili o dráze, rychlosti a zrychlení k řešení
pohybu hmotného bodu po přímkové trajektorii. Začneme nejjednodušším případem tj.
35
rovnoměrným pohybem, přejdeme na pohyb rovnoměrně zrychlený a ukončíme obecným
nerovnoměrným pohybem.
Vždy nás budou zajímat tři veličiny: zrychlení, rychlost a dráha daného pohybu.
Důležité je, že všechny přímočaré pohyby lze charakterizovat tím, že jejich normálové
zrychlení je rovno nule.
1. Rozlišovat druhy přímočarých pohybů pomocí jejich zrychlení a
rychlosti.
2. Umět si odvodit u rovnoměrného a rovnoměrně zrychleného pohybu
vztahy pro jejich rychlost a uraženou dráhu.
3. Graficky znázornit u těchto pohybů závislost zrychlení, rychlosti a dráhy
na čase.
Odhadovaný čas nutný ke studiu je 30 minut.
Dráha hmotného bodu, rychlost hmotného bodu, zrychlení hmotného
bodu.
1.2.5.1 Rovnoměrný přímočarý pohyb.
Pro rovnoměrný přímočarý pohyb je charakteristické, že zrychlení je rovno nule, a = 0.
Rychlost je konstantní, v = konst., jak její velikost, tak její směr.
Názorné je vynést si závislost rychlosti na čase v = v(t) do grafu, viz. obr. 25a. Vidíme, že
grafem této závislosti je část přímky rovnoběžné s časovou osou. K vyšrafované ploše se
vrátíme za chvíli.
36
obr. 25a
Tedy nám zbývá stanovit dráhu, známe-li rychlost pohybu. Není třeba si pamatovat další
vzorec, odvodíme si ho. Vyjdeme z definičního vztahu pro rychlost
o
o
tt
ss
t
s
v
−
−
=
∆
∆
= . Do
tohoto vztahu dosadíme za interval dráhy ∆s konečnou dráhu s (ta nás zajímá) a počáteční
hodnotu dráhy so (dráhu, kterou hmotný bod urazil od počátku měření času). Do intervalu
času ∆t dosadíme čas t ve kterém hledáme velikost uražené dráhy. Počáteční čas to bude roven
nule – začínáme teprve nyní pohyb sledovat. Dostaneme tak vztah:
0−
−
=
t
ss
v o
, ze kterého si vyjádříme hledanou dráhu s:
ostvs +=
Vzorec nám vyjadřuje velikost dráhy uražené hmotným bodem za čas t . Hmotný bod se
pohybuje konstantní rychlostí v. Člen so nám říká, že před sledováním pohybu už hmotný bod
urazil dráhu so.
Vrátíme-li se ke grafu závislosti v = v(t), vidíme, že vyšrafovaná plocha vyjadřuje velikost
uražené dráhy s v čase t konstantní rychlostí v.
A ještě jeden graf je užitečný. Vyneseme si do grafu závislost dráhy na čase ostvs += , viz.
obr. 26. Horní přímka odpovídá dané závislosti, spodní přímka je pro zjednodušený případ,
kdy počáteční dráha je nulová ( tvs = ). Z grafu vidíme, že dráha roste přímo úměrně
s časem, konstantou úměrnosti je rychlost. Tuto rychlost můžeme z grafu stanovit jako
směrnici obou přímek k = tg α = ∆s /∆t.
obr. 26
37
KO1.2.5-15. U rovnoměrného pohybu přímočarého
a) dochází jen ke změně velikosti vektoru rychlosti
b) dochází jen ke změně směru vektoru rychlosti
c) dochází ke změně jak směru tak i velikosti vektoru rychlosti
d) vektor rychlosti je konstantní co do směru i velikosti
KO1.2.5-16. Zrychlení pohybu rovnoměrného přímočarého je
a) libovolné
b) konstantní, různé od nuly
c) stále nulové
KO1.2.5-17. U pohybu rovnoměrného přímočarého je
a) dráha i rychlost lineární funkcí času
b) dráha lineární funkcí času a rychlost konstantou
c) dráha kvadratickou a rychlost lineární funkcí času
d) dráha i rychlost konstantní, nezávislé na čase
KO1.2.5-18. Hmotný bod se pohybuje po přímce tak, že jeho dráhu lze vyjádřit rovnicí: s =
5t + 1. O jaký pohyb se jedná?
a) rovnoměrný
b) zrychlený
c) rovnoměrně zrychlený
d) nelze rozhodnout
KO1.2.5-19. Hmotný bod se pohybuje
rovnoměrným přímočarým pohybem. Který
z grafů představuje závislost dráhy na
čase?, viz. obr. 27.
38
Obr. 27
KO1.2.5-20. Hmotný bod se pohybuje rovnoměrným přímočarým pohybem. Který z grafů
představuje závislost rychlosti na čase ? viz. obr. 28.
Obr.28
U1.2.5-21. Hmotný bod urazí dráhu 10 m za 5 s pohybem rovnoměrným
přímočarým. Jakou se pohybuje rychlostí ?
U1.2.5-22. Hmotný bod se pohybuje po přímce tak, že jeho dráhu lze
vyjádřit rovnicí: s = 6t + 1 (m,s). Určete jeho rychlost. Co znamená číslo
1?
39
1.2.5.2 Rovnoměrně zrychlený (zpomalený) přímočarý pohyb.
Pro rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb je charakteristické, že zrychlení je konstantní,
a = konst, nemění se ani jeho velikost ani jeho směr.
Pokud si sestrojíme graf závislosti zrychlení na čase dostaneme polopřímku rovnoběžnou
s časovou osou, viz. obr. 29.
obr. 29
Jak je to s rychlostí zrychleného pohybu? Zase si ji odvodíme. Vyjdeme z definičního vztahu
pro zrychlení
o
o
tt
vv
t
v
a
−
−
=
∆
∆
= . Jestliže v čase to = 0 je počáteční rychlost rovna vo, pak vztah
pro velikost zrychlení bude :
t
vv
t
vv
a oo −
=
−
−
=
0
Z něj si vyjádříme hledanou rychlost rovnoměrně zrychleného pohybu:
ovtav +=
V nadpisu této kapitoly je uvedeno, že budeme hovořit o rovnoměrně zrychleném nebo
zpomaleném pohybu. Nejedná se o dva zásadně odlišné pohyby. Jediný rozdíl je v tom, že u
rovnoměrně zrychleného pohybu je zrychlení kladné a > 0, rychlost hmotného bodu roste
a u rovnoměrně zpomaleného pohybu je zrychlení záporné a < 0, rychlost hmotného bodu
se zmenšuje.
U1.2.5-23. Napište vztah pro rychlost rovnoměrně zpomaleného pohybu.
Opět je výhodné znázornit si v grafu závislost rychlosti na čase v = v(t),
viz. obr. 30. Z grafu vyčteme celou řadu užitečných informací. Za prvé je
vidět, že na začátku sledování pohybu (čas to = 0) se hmotný bod
pohyboval rychlostí vo. Za druhé můžeme ze směrnice obou přímek k = tg
α = ∆v/∆t určit velikost zrychlení a. A konečně z vyšrafovaných ploch
40
určíme dráhu pohybu. Zelená plocha vyjadřuje dráhu so = vo t, kterou by hmotný bod urazil
kdyby se pohyboval po čas t pouze pohybem rovnoměrným počáteční rychlostí vo. Ale jemu
se rychlost během času t zvětšuje a tomu odpovídá zvětšení uražené dráhy o modře
vyšrafovanou plochu.
obr. 30
Velikost modře vyšrafované plochy odpovídající pohybu se zvětšující se rychlostí v = a t
vyjádříme jako 2
2
1
2
1
2
1
tattatvs === .
Dráha rovnoměrně zrychleného pohybu při nenulové počáteční rychlosti bude dána vztahem:
tvtas o+= 2
2
1
.
V případě, že hmotný bod urazil ještě před započetím měření určitou dráhu so, pak celková
dráha rovnoměrně zrychleného pohybu hmotného bodu v čase t bude dána vztahem:
oo stvtas ++= 2
2
1
Jako poslední graf této kapitoly si nakresleme
závislost dráhy rovnoměrně zrychleného pohybu
na čase. Pro zjednodušení si vezměme případ
pohybu s nulovou počáteční rychlostí a nulovou
počáteční dráhou. Zkuste si graf nakreslit
nejdříve sami a ověřte si správnost řešení na
obr.31.
Obr. 31
41
KO1.2.5-24. Hmotný
bod koná přímočarý
pohyb. Na obrázku Obr.
32 je nakreslen graf
závislosti velikosti
rychlosti hmotného bodu
na čase. Jak velké je
zrychlení hmotného bodu během prvních
dvou sekund pohybu?
a) 0,3 m.s-2
b) 3 m.s-2
c) 6 m.s-2
d)
12 m.s-2
obr. 32
KO1.2.5-25. Hmotný bod koná přímočarý pohyb. Na obrázku je nakreslen graf závislosti
velikosti rychlosti hmotného bodu na čase, viz. obr. 32. Jak velké je zrychlení hmotného bodu
v čase t = 3s?
a) 0 m.s-2
b) 0,2 m.s-2
c) 2 m.s-2
d) 6 m.s-2
KO1.2.5-26. Automobil se rozjíždí rovnoměrně zrychleně po přímé silnici. Velikost zrychlení
automobilu je 2 m.s-2
, jeho počáteční rychlost je nulová. Jak velká je rychlost automobilu za
4s od začátku jeho pohybu?
a) 0,5 m.s-1
b) 2 m.s-1
c) 4 m.s-1
d) 8 m.s-1
KO1.2.5-27. Automobil jede po přímé silnici rychlostí 20 m.s-1
. V určitém okamžiku začne
řidič brzdit a automobil jede rovnoměrně zpomaleně. Jeho zrychlení má opačný směr než
rychlost a má velikost 4 m.s-2
. Jak velká je rychlost automobilu po 3 sekundách jeho
zpomaleného pohybu?
a) 5 m.s-1
b) 8 m.s-1
c) 12 m.s-1
d) 16 m.s-1
KO1.2.5-28. Automobil jede po přímé silnici rychlostí 20 m.s-1
. V určitém okamžiku začne
řidič brzdit a automobil jede rovnoměrně zpomaleně. Jeho zrychlení má opačný směr než
rychlost a má velikost 4 m.s-2
. Jakou dráhu ujede automobil za první 3 sekundy zpomaleného
pohybu?
a) 18 m b) 42 m c) 50 m d) 60 m
U1.2.5-29. Hmotný bod koná rovnoměrně zrychlený pohyb ve směru osy
x se zrychlením o velikosti 2 m.s-2
, přičemž v čase to = 0 s se nachází v
bodě o souřadnici xo = 5 m a má rychlost o velikosti vo = 8 m.s-1
.
a) Napište vztahy vyjadřující závislost rychlosti a dráhy hmotného bodu na
čase.
b) Určete dobu, ve které má rychlost hmotného bodu velikost 40 m.s-1
.
c) Určete dobu, ve které má hmotný bod x-ovou souřadnici 110 m.
42
U1.2.5-30. Vlak se rozjíždí z klidu se stálým zrychlením o velikosti 0,6 m.s-2
. Za jakou dobu
dosáhne rychlosti o velikosti 20 m.s-1
? Jakou dráhu přitom ujede?
1.2.5.3 Volný pád.
Volný pád třeba upuštěného kamene z věže je vlastně rovnoměrně
zrychlený přímočarý pohyb. Platí pro něj všechny vztahy jako pro tento
druh pohybu. Protože jde o „volný“ pád (kámen pouze upustíme,
nehodíme), je počáteční rychlost nulová vo = 0. Jeho zrychlení je rovno
tíhovému zrychlení g.
Pro dráhu s volně padajícího tělesa a jeho rychlost v v závislosti na čase tak
platí vztahy:
v = g t, s = ½ g t2
U1.2.5-31. Z jaké výšky padalo těleso volným pádem, jestliže dopadlo na
zem rychlostí 82 km/h?
U1.2.5-32. Jak se změní velikost rychlosti volně padajícího tělesa během
třetí sekundy pádu? Jakou dráhu těleso za tuto dobu urazí?
1.2.6 Rovnoměrný pohyb hmotného bodu po kružnici
Rovnoměrný pohyb hmotného bodu po kružnici, zkráceně rovnoměrný kruhový pohyb, je
nejjednodušší případ křivočarého pohybu. Jeho trajektorií je kružnice. Takto se pohybuje
například sedačka roztočeného řetízkového kolotoče, nebo ventilek stojícího jízdního kola
otáčejícího se stálou rychlostí.
1. Vědět, že u rovnoměrného kruhového pohybu se mění směr rychlosti, ne
však její velikost.
2. Vysvětlit pojem úhlová dráha a úhlová rychlost.
3. Umět určit úhlovou dráhu pomocí délky oblouku a poloměru kružnice.
4. Znát definiční vztah pro úhlovou rychlost.
5. Znát souvislost mezi obvodovou a úhlovou rychlostí.
6. Znát vztah mezi periodou a frekvencí, umět vyjádřit úhlovou rychlost pomocí těchto
veličin.
7. Znát vztah pro velikost dostředivého zrychlení.
43
Odhadovaný čas nutný ke studiu je 30 minut.
Dráha hmotného bodu, rychlost hmotného bodu, zrychlení hmotného
bodu.
Při vyšetřování rovnoměrného kruhového pohybu nás budou opět zajímat
tři veličiny: zrychlení, rychlost a dráha.
Protože se jedná o křivočarý pohyb, nesmíme zapomenout na to, že
celkové zrychlení bude mít dvě složky tečné a normálové zrychlení.
Složka ve směru tečném at, která rozhoduje o zrychlování či
zpomalování pohybu je rovna nule, protože se jedná o rovnoměrný pohyb at = 0. Velikost
rychlosti pohybujícího se hmotného bodu bude tedy konstantní v = konst.
Směr vektoru rychlosti se však v každém okamžiku mění. To způsobuje druhá složka
zrychlení ve směru normály an . U kruhového pohybu se toto normálové zrychlení označuje
jako dostředivé zrychlení ad, protože v každém bodě kruhové dráhy směřuje do jejího
středu. Velikost dostředivého zrychlení je dána vztahem:
r
v
ad
2
=
kde v je velikost rychlosti (někdy označované jako
obvodová rychlost) a r je poloměr opisované
kružnice.
Pro popis pohybu po kružnici zavádíme některé další
veličiny. Začneme dráhou. Vedle dráhy s jako délky
oblouku používáme tzv. úhlovou dráhu, viz. obr. 33.
obr. 33
Úhlová dráha φ je středový úhel, který opíše průvodič r hmotného budu za dobu t.
Úhlovou dráhu měříme v radiánech se značkou rad. 1 rad = 180o
/π ≈ 57o
44
U1.2.6-33. Kolik radiánů je úhlová dráha celé kružnice?
Mezi přírůstkem úhlové dráhy ∆φ a příslušnou změnou dráhy ∆s platí
vztah:
r
s∆
=∆ϕ
nebo, jak jsme vyjadřovali u přímočarých pohybů,
r
ss o
o
−
=−ϕϕ . Opět
s a φ vyjadřují konečné hodnoty dráhy resp. úhlové dráhy a so a φo hodnoty na počátku
měření času (t = 0).
Pomocí změny úhlové dráhy si můžeme definovat další veličinu typickou pro kruhový
pohyb. Je to úhlová rychlost.
Úhlová rychlost ω je podíl změny úhlové dráhy ∆φ a odpovídající doby pohybu ∆t.
o
o
ttt −
−
=
∆
∆
=
ϕϕϕ
ω
Jednotkou úhlové rychlosti je radián za sekundu (rad.s-1
).
Dosadíme-li do posledního vztahu za
r
s∆
=∆ϕ dostaneme výraz:
rt
s 1
∆
∆
=ω . Podílem
t
s
∆
∆
jsme si dříve definovali rychlost v. Upravíme si vztah a dostaneme
důležitou rovnici udávající souvislost mezi velikostí obvodové rychlosti v a úhlovou rychlostí
ω:
v = r ω
Pohybuje-li se hmotný bod po kružnici, po jisté době opíše celou kružnici.
Doba, za kterou hmotný bod opíše celou kružnici se označuje jako perioda T.
Periodu, někdy nazývanou oběžná doba, vyjadřujeme ji jako každý jiný čas v sekundách.
A ještě jednu veličinu související s periodou si budeme definovat. Je to počet oběhů po
kružnici za jednotku času tzv. frekvence f. Frekvenci vyjadřujeme v jednotkách 1/s = s-1
.
Tato jednotka se někdy označuje jako hertz (Hz). Obě posledně definované veličiny spolu
souvisejí vztahem:
T
f
1
=
45
Pomocí frekvence a periody můžeme vyjádřit úhlovou rychlost. Vyjdeme z definičního
vztahu pro úhlovou rychlost a dosadíme za úhlovou dráhu jedné otočky 2π a za čas periodu.
Dostaneme tak výraz:
f
Tt
π
π
∆
ϕ∆
ω 2
2
===
U námi sledovaného rovnoměrného pohybu po kružnici jsou perioda a frekvence konstantní.
Takovýto pohyb, který se pravidelně opakuje se nazývá pohyb periodický. Periodickým
pohybem se pohybuje například otáčející se setrvačník, ale také pohyb kyvadla „pendlovek“,
nebo rozkmitaná membrána reproduktoru jsou periodické pohyby.
Pravděpodobně jste si všimli, že vztahy definující rychlost v a úhlovou rychlost ω jsou si
podobné. V obou případech je definována rychlost jako změna dráhy za čas. Obdobných
analogií mezi přímočarým pohybem a kruhovým pohybem je více.
U1.2.6-34. Odvoďte vztah pro úhlovou dráhu rovnoměrného kruhového
pohybu v závislosti na čase. Před započetím měření času urazil hmotný
bod počáteční dráhu φo. Získaný vztah srovnejte se vztahem pro dráhu
rovnoměrného přímočarého pohybu.
KO1.2.6-35. Kterými fyzikálními veličinami popisujeme pohyb hmotného
bodu po kružnici?
KO1.2.6-36. Mění se rychlost hmotného bodu, který koná rovnoměrný
pohyb po kružnici?
KO1.2.6-37. Hmotný bod se pohybuje po kružnici o poloměru 2 m s
rychlostí stejné velikosti 8 m.s-1
. Jak velká je úhlová rychlost hmotného bodu?
a) 4 rad.s-1
b) 16 rad.s-1
c) 32 rad.s-1
d) 128 rad.s-1
U1.2.6-38. Určete oběžnou dobu a frekvenci otáčení hodinové a minutové
ručičky u hodinek.
U1.2.6-39. Automobil jede po přímé silnici stálou rychlostí velikosti 72
km/h. Jaká je oběžná doba kola automobilu o poloměru 0,5 m?
U1.2.6-40. Kotouč brusky koná 600 otáček za minutu. Určete jeho frekvenci, periodu a
úhlovou rychlost.
U1.2.6-41. Kolotoč koná 15 otáček za minutu. Určete jeho úhlovou rychlost a rychlost osoby
na sedačce, která opisuje kružnici o poloměru 5 m.
U1.2.6-42. Určete velikost rychlosti předmětů na povrchu Země: a) na rovníku, b) na 600
zeměpisné šířky, je-li poloměr Země 6 400 km.
46
1. Kinematika popisuje mechanický pohyb, nezkoumá jeho příčinu. Mechanický pohyb
je popsán dráhou, rychlostí a zrychlením.
2. Trajektorie je souhrn všech poloh, kterými pohybující se bod postupně prochází.
Trajektorie je geometrická čára.
3. Polohu bodu určujeme pomocí polohového vektoru r. Je to vektor mající působiště
v počátku pravoúhlé souřadné soustavy a s koncovým bodem ve vyšetřovaném bodě.
Velikost polohového vektoru vyjádříme pomocí jeho složek x, y, z jako
222
zyxr ++= .
4. Délka trajektorie, kterou hmotný bod opíše za určitou dobu, je dráha s. Jednotkou
dráhy je metr.
5. Přírůstek dráhy ∆s za čas ∆t je rychlost v,
t
s
v
∆
∆
= . Jednotkou rychlosti je m/s.
Rychlost je vektor, u přímočarých pohybů je její směr konstantní, u křivočarých
pohybů změna směru rychlosti způsobí zakřivení trajektorie.
6. Změna rychlosti ∆v za čas ∆t je zrychlení a,
t
v
a
∆
∆
= . Jednotkou zrychlení je m/s2
.
Zrychlení je vektor, který rozkládáme do dvou složek, a = at + an. at je tečné
zrychlení a způsobuje změnu velikosti rychlosti. an je normálové zrychlení, které
způsobuje změnu směru rychlosti a je příčinou zakřivení trajektorie.
7. Přímočarý pohyb je charakterizován tím, že jeho normálové zrychlení je rovno
nule.
• U přímočarého pohybu rovnoměrného je zrychlení nulové, jeho rychlost je
konstantní. Dráha tohoto pohybu je dána vztahem ostvs += , kde so je počáteční
dráha.
• U přímočarého pohybu rovnoměrně zrychleného je zrychlení konstantní,
rychlost rovnoměrně roste s časem ovtav += , vo je počáteční rychlost. Dráhu
vyjádříme jako oo stvtas ++= 2
2
1
.
8. Pro pohyb po kružnici je charakteristické konstantní normálové zrychlení. Toto
zrychlení se označuje jako dostředivé zrychlení a je dáno vztahem
r
v
ad
2
= .
9. U křivočarých pohybů zavádíme nové veličiny:
• Úhlovou dráhu φ jako středový úhel, který opíše průvodič r za dobu t. Jednotkou je
rad.
47
• Úhlovou rychlost ω jako podíl změny úhlové dráhy a doby pohybu
t∆
∆
=
ϕ
ω .
Jednotkou je rad.s-1
. Úhlová rychlost a rychlost pohybu spolu souvisejí vztahem v = r
ω.
• Frekvenci f - počet oběhů po kružnici za jednotku času s jednotkou s-1
.
• Periodu T jako dobu jednoho oběhu vyjadřovanou v sekundách. Periodu je možné
vyjádřit jako převrácenou hodnotu frekvence
f
T
1
= . Obě poslední veličiny souvisejí
s úhlovou rychlostí vztahem f
T
π
π
ω 2
2
== .
48
1.3 Dynamika
V kapitole 1.2 Kinematika jsme se zabývali popisem pohybu těles, aniž bychom se zajímali o
to proč k pohybu dochází. O příčině pohybu pojednává část mechaniky zvaná dynamika.
1.3.1 Síly
1. Definovat sílu jako vektorovou veličinu a znát její jednotku.
2. Vědět, že síla způsobuje změnu pohybu.
3. Rozlišovat působení síly přímým stykem a na dálku, uvést příklady.
4. Vysvětlit statický a dynamický účinek síly.
Odhadovaný čas nutný ke studiu je 15 minut
Lidé neznalí fyziky si myslí, že pohybuje-li se nějaké těleso, musí na něj
působit síla. Ale vystřelený puk se však pohybuje po ledě pohybem
rovnoměrným přímočarým a žádná síla na něj po vystřelení již nepůsobí.
Kdyby nebylo tření a odporu vzduchu, pohyboval by se takto neomezeně
dlouho. Tělesa uvedená do pohybu se pohybují rovnoměrně přímočaře
setrvačností. Na tato tělesa působí setrvačné síly.
Aby se takto puk pohyboval, musíme jej nejdříve uvést z klidu do pohybu. A zde je role síly.
Síla není příčinou pohybu, ale způsobuje změnu pohybového stavu.
Působíme-li na těleso silou, uvádíme ho z klidu do pohybu nebo zrychlujeme jeho pohyb
(měníme jeho pohybový stav). Silou také zpomalíme pohyb, nebo uvedeme těleso do klidu.
Silou zakřivíme trajektorii jeho pohybu, můžeme jejím působením měnit tvar tělesa. Ale
silou působí také magnet na kovový předmět, nebo Slunce na planety.
Z uvedených příkladů silového působení vyplývá, že síla se projevuje vždy při vzájemném
působení dvou těles, a že působení sil je dvojího druhu:
• Vzájemné působení těles přímým stykem (hokejka vystřelující puk, ruka zdvihající
břemeno, člověk tlačící vozík, viz. obr. 35.)
49
obr. 35
• Vzájemné působení těles na dálku prostřednictvím silových polí (silové pole magnetu
působící na střelku kompasu, viz. obr. 36, gravitační pole Slunce.)
obr. 36
A když už jsme u dělení působení sil, uveďme si ještě dělení sil podle jejich účinků:
• Statický účinek síly jako je protažení pružiny závažím, viz. obr. 37, nebo tlaková síla
působící na podložku (kniha na stole).
obr. 37
• Dynamický účinek síly, který se projevuje tím, že se mění směr nebo velikost rychlosti
pohybujícího se tělesa (motor auta).
A právě dynamickými účinky sil se zabývá dynamika (z řeckého dynamis, což znamená síla).
Účinky síly závisí nejen na její velikosti, ale také na směru jejího působení a na tom, kde
působí. Z toho vyplývá, že:
Síla F je vektorová veličina určená velikostí, působištěm, směrem a orientací.
50
Jednotkou síly je newton označovaný písmenem N. Tato jednotka rozepsaná (není třeba si
pamatovat, vyjdeme z druhého Newtonova pohybového zákona) pomocí základních jednotek
soustavy SI je N = kg.m.s-2
.
U1.3.1-1 Na obrázku máte
nakreslený gumový kvádr, na
který působí tři stejně veliké síly,
viz. obr. 38. Účinky které síly se
projeví deformací, posuvem,
otáčením kvádru?
obr. 38
1.3.2 Newtonovy pohybové zákony
Je to až neuvěřitelné, že základní zákony pohybu, které se dosud používají při řešení
základních technických problémů, zformuloval Isaac Newton již před více než třemi sty léty.
Je nutné je zvládnout, protože se uplatňují nejen v mechanice, ale i v jiných odvětvích fyziky.
Pomocí pohybových zákonů řešíme také pohyb náboje v elektrickém poli, sílu mezi dvěma
proudovodiči a tak dále.
1. Znát slovní definici zákona setrvačnosti, uvést příklady působnosti
tohoto zákona.
2. Vysvětlit rozdíl mezi inerciálními a neinerciálními vztažnými
soustavami.
3. Znát slovní a matematickou formulaci zákona síly.
4. Umět vektorově sčítat síly působící na těleso (graficky algebraicky).
5. Vypočítat rychlost a dráhu uraženou tělesem, na které působí síly.
6. Vysvětlit rozdíl mezi tíhovou silou a tíhou tělesa.
7. Znát účinky třecí síly, vědět na čem tato síla závisí a nezávisí.
8. Řešit pohyb tělesa po nakloněné rovině, působí–li na něj smykové tření.
9. Vědět na čem závisí odporová síla valivého odporu.
10. Srovnat odporové síly smykového tření a valivého odporu.
11. Vyslovit zákon akce a reakce, dokumentovat jeho působnost na praktických příkladech.
12. Vysvětlit pojem setrvačná síla. Vědět, za jakých podmínek tato síla vzniká.
13. Definovat dostředivou a odstředivou sílu, znát vztah pro její výpočet u kruhového pohybu.
51
14. Znát vztah pro hybnost tělesa, vysvětlit rozdíl mezi definičním vztahem pro velikost
hybnosti a pro vektor hybnosti.
15. Umět aplikovat zákon zachování hybnosti na řešení úloh.
Odhadovaný čas nutný ke studiu je 60 minut
Sčítání vektorů, rychlost hmotného bodu, zrychlení hmotného bodu,
přímočarý pohyb hmotného bodu, rovnoměrný pohyb po kružnici
Newton zformuloval tři základní zákony klasické dynamiky ve slovní
podobě, později byly formulace doplněny i matematickými zápisy.
Začneme tedy od počátku od prvého zákona.
První Newtonův pohybový zákon – zákon setrvačnosti
Newton v originále formuloval svůj zákon poněkud komplikovanějšími slovy, v současnosti
se vyslovuje takto:
Každé těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, dokud není
vnějšími silami donuceno tento svůj stav změnit.
Ze zkušenosti to známe. Stojíme-li na skateboardu, musíme se odrazit (působit silou našich
svalů), abychom se rozjeli. A jedeme-li po rovině, jedeme stejnou rychlostí, i když se
neodrážíme. Samozřejmě v praxi se pohyb zpomaluje a časem se zastavíme, ale to už na nás
působí vnější síly, jako je odpor vzduchu a tření.
Ale stejně to vždy neplatí. Představte si, že jste na tom skateboardu ve stojící tramvaji.
V okamžiku, kdy se tramvaj začne rozjíždět s jistým zrychlením, začnete se i vy pohybovat
se stejným zrychlením vůči tramvaji, ale v opačném směru, viz. obr. 39. Kdyby jste se stihli
podívat ven, zjistíte, že jste v klidu vůči okolí. A poslední zjištění. Pokud se tramvaj bude
pohybovat rovnoměrným přímočarým pohybem, zůstaneme na skateboardu v klidu i vůči
tramvaji.
52
obr. 39
Jaký je závěr z tohoto pokusu. Newtonův zákon setrvačnosti platí, vztahujeme-li svůj pohyb
vůči okolí tramvaje, ale neplatí, posuzujeme-li pohyb vůči rozjíždějící se tramvaji. Narazili
jsme na problém diskutovaný v kinematice – problém vztažných soustav. Musíme si tedy
definovat vztažné soustavy, ve kterých platí Newtonovy pohybové zákony. Z pokusu se
skateboardem plyne, že zákony budou platit tehdy, jestliže tramvaj stojí, nebo se pohybuje
pohybem rovnoměrným přímočarým.
Newtonovy pohybové zákony platí ve vztažných soustavách, které jsou vůči sobě v klidu,
nebo se vůči sobě pohybují pohybem rovnoměrným přímočarým. Takovéto soustavy se
označují jako inerciální nebo setrvačné.
Se setrvačností těles se denně setkáváme. Projevuje se při rozjezdu automobilu, pozorujeme
ji při jeho zastavování, při nárazu na překážku atd. Ještě se k setrvačnosti vrátíme.
KO1.3.2-2. Proč při klopýtnutí padáme dopředu, uklouzneme-li, padáme
dozadu?
KO1.3.2-3. Proč při prudkém zatočení auta doleva jsou cestující přitlačení
k pravým dveřím?
KO1.3.2-4. Jakou funkci mají bezpečnostní pásy a airbagy v autě?
KO1.3.2-5. Na podlaze vagónu, který jede po přímé vodorovné trati stálou rychlostí, leží
kulička. V určitém okamžiku je vagón zabržděn a jeho pohyb je dále rovnoměrně zpomalený.
Tření mezi kuličkou a podlahou vagónu neuvažujte. Jak se od tohoto okamžiku pohybuje
kulička vzhledem k vagónu?
a) rovnoměrně směrem k přední stěně vagónu
b) rovnoměrně směrem k zadní stěně vagónu
c) rovnoměrně zrychleně směrem k přední stěně vagónu
d) rovnoměrně zrychleně směrem k zadní stěně vagónu
KO1.3.2-6. Na podlaze vagónu, který jede po přímé vodorovné trati stálou rychlostí, leží
kulička. V určitém okamžiku je vagón zabržděn a jeho pohyb je dále rovnoměrně zpomalený.
Tření mezi kuličkou a podlahou vagónu neuvažujte. Jak se bude kulička pohybovat vzhledem
k povrchu Země?
a) rovnoměrně ve směru jízdy vagónu
b) rovnoměrně proti směru jízdy vagónu
c) rovnoměrně zrychleně ve směru jízdy vagónu
d) rovnoměrně zrychleně proti směru jízdy vagónu
53
Druhý Newtonův pohybový zákon – zákon síly
Již nějakou dobu se zabýváme silou, hovoříme o síle svalů, síle motoru
uvádějící do pohybu auto, o síle vystřelující puk. Ale fyzici jsou zvyklí
přesně veličinu definovat. Při definování síly jako fyzikální veličiny
vyjdeme z několika praktických pozorování.
U sportovního auta (Ferrari) silný motor vyvine sílu, která udělí rychlost
100 km/h za 5 až 6 sekund. To odpovídá zrychlení asi 5,5 m.s-2
. Motor běžné slabší Fabie
zrychlí auto na 100 km/h přibližně za 12 sekund. Zrychlení tohoto vozu je tedy přibližně 2,3
m.s-2
.
Z příkladu je patrné, že kolikrát bude větší síla působící na těleso, tolikrát větší bude jeho
zrychlení.
Jiný příklad z oblasti automobilismu. Každý automobilista ví, že s plně naloženým vozem se
rozjíždí „pomaleji“, tedy s menším zrychlením, než s prázdným autem. A při tom má pod
kapotou stejný motor.
Kolikrát větší bude hmotnost tělesa, tolikrát bude při stejné působící síle motoru menší
jeho zrychlení.
Shrneme-li obě předchozí pozorování, můžeme vyslovit závěr:
Zrychlení a, které uděluje síla F tělesu o hmotnosti m, je přímo úměrné velikost této síly
a nepřímo úměrné hmotnosti tělesa.
m
F
a =
Vyslovili jsme tak druhý Newtonovův pohybový zákon – zákon síly.
Častěji se tento zákon zapisuje ve tvaru:
F = ma
Vyjádřete jednotku 1 N pomocí základních jednotek soustavy SI.
Vyjdem ze vztahu pro sílu vyjádřenou pomocí hmotnosti a zrychlení
F = ma a dosadíme jednotky jednotlivých veličin. N = kg.m.s-2
.
V předešlých odstavcích jsme hovořili o síle působící na těleso,
Výsledkem této činnosti je, že se mění pohybový stav tělesa. Ale co když
působí na toto těleso sil více? Vozík táhne více osob?
Při působení více sil na těleso je musíme sčítat. Ale protože síla je
vektorová veličina, musíme síly sčítat vektorovým součtem.
54
KO1.3.2-7. Na těleso o hmotnosti 2 kg, které je v dané inerciální vztažné
soustavě v klidu, začne působit stálá síla o velikosti 4 N. Jak velké zrychlení
tato síla uděluje?
a) 0,5 ms-2
b) 2 ms-2
c) 4 ms-2
d) 8 ms-2
KO1.3.2-8. Při pokusu se rozjížděl vozíček se zrychlením 30 cm.s-2
. Jaké
bude jeho zrychlení, zvětší-li se na dvojnásobek a) působící tažná síla, b) hmotnost vozíčku?
Automobil o hmotnosti 1 t se rozjíždí z klidu a za dobu 20 s dosáhne
rychlosti 90 km/h. Jak velkou tažnou sílu vyvinul motor automobilu?
Tažná síla by vám měla vyjít 1 235 N. Označíme hmotnost automobilu m =
1 t = 1 000 kg, jeho konečnou rychlost v = 90 km/h = 25 m/s, počáteční
rychlost vo = 0, čas t = 20 s a hledanou sílu F.
Automobil bude konat vlivem konstantní síly rovnoměrně zrychlený pohyb.
K výpočtu síly musíme vypočítat zrychlení ze vztahu pro rychlost v = vo + a t (kapitola 1.2.5
vztah) a z ní vyjádříme zrychlení:
a = (v – vo)/t
Toto zrychlení uděluje automobilu síla daná 2.Newtonovým pohybovým zákonem:
F = m a = m (v – vo)/t = 1 000 (25 - 0)/20 = 1 250 N.
Automobilový motor vyvinul tažnou sílu 1 250 N.
Na krychli hmotnosti 2 kg působí dvě síly F1 a F2. Velikost prvé síly je 3 N,
velikost druhé je 4 N. Síly jsou na sebe kolmé. Určete zrychlení způsobené
oběma silami působícími současně.
Nejdříve si nakreslíme obrázek. Působiště obou sil umístíme do těžiště
kvádru, jedna ze sil ať působí ve směru osy x. Ověřte si svůj náčrt zde, viz.
obr. 40.
obr. 40
55
Do obrázku zakreslete výslednici obou sil. Hledané zrychlení bude mít směr této výslednice.
Opět si ověřte svůj výsledek viz. obr. 41.
obr. 41
A teď již můžeme začít počítat. Nejdříve si stanovíme výslednou sílu F = F1 + F2. Z druhého
obrázku vyjádříme její velikost jako výslednici vektorového součtu obou sil:
( ) ( ) NFFF 543 222
2
2
1 =+=+= .
Zrychlení vypočítáme z definičního vztahu pro sílu F = ma jako podíl výsledné síly a
hmotnosti krychle 5,2
2
5
===
m
F
a m.s-2
.
U1.3.2-9. Na obrázcích jsou znázorněny dvě různě veliké síly působící
v různých směrech na kvádr pohybující se po podložce bez tření, viz. obr.
61. Seřaďte obrázky a), b), c), d) za prvé podle velikosti výslednice sil od
největší po nejmenší. Za druhé seřaďte obrázky podle zrychlení kvádru.
obr. 61
U1.3.2-10. Automobil o hmotnosti 1 200 kg jel rovnoměrně zpomaleným pohybem a
zastavil za dobu 5 s na dráze 25 m. a) Jak velká byla počáteční rychlost automobilu? b) Jak
velká byla brzdící síla?
56
U1.3.2-11. Nákladní automobil o hmotnosti 3 t začne brzdit při rychlosti 90 km/h a zastaví za
dobu 10 s. a) Jak velkou brzdící sílu vyvinou brzdy automobilu? b) Jakou brzdnou dráhu
přitom automobil ujede?
Tíhová síla a tíha tělesa
Jednou ze sil, se kterými se běžně setkáváme je síla, kterou na nás působí
gravitační pole Země. Pokud nestojíme na Zemi, nebo nejsme nějak
připoutáni, pak padáme – pohybujeme se volným pádem . Jak jsme si již
řekli v kinematice, volný pád je rovnoměrně zrychlený pohyb
s konstantním zrychlením g nazývaným tíhové zrychlení. V některých
učebnicích najdete tíhové zrychlení označované symbolem aG.
Vynásobíme-li tíhové zrychlení g hmotností m tělesa, dostaneme podle druhého Newtonova
pohybového zákona sílu, která způsobuje volný pád tohoto tělesa. Tato síla se nazývá tíhová
síla FG a její velikost je dána vztahem:
FG = m g
Tíhová síla má vždy směr svisle dolů, kolmo na povrch Země.
Tíhová síla se neprojevuje pouze na Zemi. Třeba na Měsíci působí na astronauta tíhová síla 6
krát menší než na Zemi. Je to dáno tíhovým zrychlením na Měsíci, které je 6 krát menší.
Tíhová síla nemá vždy na těleso účinek pohybový, jak bylo ukázáno na volném pádu. Visímeli
na laně nebo stojíme na pevné zemi, pak na nás také působí tíhová síla. K pohybu však
nedochází, síla působí v případě lana jako tahová síla, v druhém případě jako síla tlaková
zde, viz. obr. 42.
obr. 42
Tíhovou sílu, kterou působí nehybné těleso na vodorovnou podložku nebo na svislý závěs
nazýváme tíhou tělesa G.
Je-li těleso v klidu, má tíha a tíhová síla stejný směr i stejnou velikost, tj. G = FG. Můžeme
tedy napsat:
G = m g.
57
KO1.3.2-12. Jak velká tíhová síla působí na člověka o hmotnosti 100 kg na
povrchu Země a na povrchu Měsíce?
KO1.3.2-13. Jak velká je tíha člověka v obou případech předešlé kontrolní
otázky.
Odporové síly
Jedeme-li na saních z kopce dolů, zpomalují náš pohyb hned dvě síly.
Našemu pohybu brání odpor vzduchu a tření.
Odporové síly působí proti směru pohybu tělesa a brzdí jeho pohyb.
Nejznámější odporové síly jsou třecí síla, odporová síla valivého odporu a
odporová síla prostředí.
Jestliže se těleso posouvá po povrchu jiného tělesa (podložky), dochází ke smykovému
tření. Odporová síla, která pohyb brzdí se nazývá třecí síla Ft a působí na stykové ploše
pohybujícího se tělesa a podložky, viz. obr. 43.
obr. 43
Ze zkušenosti víme, že bednu taženou po hladké podložce posuneme s menším úsilím (menší
silou) než po betonu, viz. obr. 44.
viz. obr. 44
Větší sílu musíme vynaložit na těžší bednu, viz. obr. 45.
58
obr. 45
Trochu s překvapením bychom zjistili, že nezáleží na velikosti třecích ploch, viz. obr. 46.
obr. 46
A konečně největší sílu musíme vynaložit do uvedení bedny do pohybu. Z těchto pozorování
můžeme udělat následující závěry:
59
• Třecí síla je přímo úměrná tlakové síle Fn, kterou působí těleso kolmo na podložku.
Konstantou úměrnosti je součinitel smykového tření f.
Ft = f Fn.
Součinitel (nebo koeficient) smykového tření je bezrozměrné číslo. V tabulkách se udává
vždy pro dvojici materiálů, které se po sobě posouvají (viz tabulka Součinitel smykového
tření).
Tlaková síla je velice často dána tíhou tělesa.
• Velikost třecí síly nezávisí na velikosti stykových ploch.
• Klidová třecí síla je větší, než třecí síla působící při pohybu.
Kdo jste četli knížku Jacka Londona Bílý tesák, možná jste si všimli tohoto jevu v episodě o
sázce. Hlavní hrdina se vsadil, že jeho pes uveze na saních neuvěřitelný náklad. Kritickým
momentem byla snaha psa „odtrhnout“ sáně od sněhu, tedy vyvinout dostatečnou sílu
k překonání klidové třecí síly. V okamžiku, kdy se daly sáně do pohybu, měl vyhráno.
S jakým zrychlením se bude pohybovat bedna hmotnosti 10 kg tlačená
vzhůru po prkně silou 100 N. Prkno má sklon 30o
, koeficient smykového
tření mezi bednou a prknem je 0,1.
Nejdříve si nakreslíme obrázek. Zkuste
si nakreslit základní schéma sami.
Ověřte si svůj nákres na Obr.47. Teď si
do obrázku zakreslete všechny působící síly. Ve směru
pohybu musí působit síla 100 N, kterou si označte jako
Fp. Proti pohybu bude působit síla tření Ft = f Fn a
složka tíhy F působící ve směru nakloněné roviny.
Zkontrolujte si svůj obrázek na Obr.48. Obr.47
Vytvořili jsme si tak základní předpoklad pro
vlastní výpočet. Síla Fv, kterou bude
posunována bedna nahoru po nakloněné
rovině, bude dána silou Fp zmenšenou o třecí
sílu Ft a složku tíhy F.
Fv = Fp – Ft – F.
Třecí síla je dána součinem koeficientu tření f
a tlakové síly na podložku Fn = G cosα .
Složka tíhy F, která by způsobovala posuv
dolů po nakloněné rovině, kdybychom nepůsobili Obr.48
silou Fp je F = G sinα Po dosazení do rovnice pro síly dostáváme
Fv = Fp – f m g cosα – m g sinα .
A dosazením číselných hodnot
Fv = 100 – 0,1.10.9,81.cos 30o
– 10.9,81.sin 30o
= 42,46 N.
Ale to ještě nejsme na konci. Úkolem bylo vypočítat zrychlení pohybu bedny. To vypočítáme
z druhého Newtonova pohybového zákona (zákona síly) F = m a. Z toho plyne pro zrychlení
60
2,4
10
46,42
≅==
m
F
a m.s-2
.
Další odporovou silou, kterou si probereme, je odporová síla valivého
odporu. O valivém odporu mluvíme tehdy, jestliže se těleso s kruhovým
průřezem (např. válec) valí po pevné podložce. Při tomto pohybu dochází
ke stlačování a deformaci podložky před valícím se tělesem, někdy i
k deformaci samotného tělesa. Většinou tyto deformace nepozorujeme.
Příčinou tohoto jevu je zase kolmá tlaková síla Fn, viz. obr. 49.
obr. 49
Odporová síla valivého odporu Fv je přímo úměrná kolmé tlakové síle Fn působící na
podložku a nepřímo úměrná poloměru R tělesa. Konstantou úměrnosti je rameno valivého
odporu ξ (ksí).
R
F
F n
v ξ=
Rameno valivého odporu (dříve se používal logičtější název součinitel valivého tření) se
vyjadřuje v metrech. Zase se jedná o tabelované hodnoty.
KO1.3.2-14. Dělník posunuje rovnoměrným pohybem bednu o hmotnosti
100 kg. Jak velkou silou na ni působí, je-li součinitel smykového tření 0,47?
KO1.3.2-15. Na sedadle vagónu leží kniha a míček. Při rozjíždění vlaku se
začal pohybovat míček, zatímco kniha zůstala v klidu. Vysvětlete.
KO1.3.2-16. Velikost smykového tření závisí:
a) na součiniteli smykového tření a kolmé tlakové síle
b) na součiniteli smykového tření, na velikosti styčných ploch a na kolmé tlakové síle
c) na součiniteli smykového tření a na velikosti styčných ploch
d) na velikosti styčných ploch a na kolmé tlakové síle.
KO1.3.2-17. Součinitel smykového tření:
61
a) je bezrozměrné číslo
b) má rozměr síly
c) má rozměr délky
d) má rozměr plochy
KO1.3.2-18. Rameno valivého odporu
a) je bezrozměrné číslo
b) má rozměr síly
c) má rozměr délky
d) má rozměr rychlosti
KO1.3.2-19. Proč řidič automobilu při jízdě zatáčkou snižuje rychlost?
KO1.3.2-20. Proč mají neklopená zatáčky na dálnicích velké poloměry křivosti?
U1.3.2-21. Na korbě nákladního auta jedoucího po přímém vodorovném
úseku silnice je bedna. Auto začne brzdit tak, že za dobu 7 s se zmenší
jeho rychlost ze 72 km/h na 30 km/h. Určete mezní součinitel smykového
tření f, při kterém bedna ještě nebude klouzat po podlaze korby.
U1.3.2-22. Srovnejte síly nutné k přesouvání bedny hmotnosti 50 kg
rovnoměrným pohybem. V prvém případě je bedna posouvána po vodorovné podložce,
součinitel smykového tření je 0,2. V druhém případě je bedna podložena válečky o průměru
10 cm. Rameno valivého odporu je v této situaci 0,005 m.
U1.3.2-23. Klopená zatáčka o poloměru 100 m má vzhledem k vodorovné rovině dostředný
sklon 10o
. Jak velkou rychlostí může projet zatáčkou kolo, aby se ještě nepřeklopilo.
Návod: Uvědomte si, že na kolo působí v zatáčce dvě síly – tíhová a odstředivá síla. Hledaná
rychlost musí být taková, aby výslednice těchto dvou sil byla kolmá na rovinu silnice.
Třetí Newtonův pohybový zákon – zákon akce a reakce
V úvodu kapitoly o dynamice jsme si zdůraznili, že síla se projevuje při
vzájemném působení těles. Zdviháme-li nějaký předmět, působíme na
něj silou ruky. Ale současně tento předmět působí i na ruku. Srazíme-li
se s někým člověkem, působíme silou na něj. Ale současně i on působí
stejně velikou silou na nás. Z těchto několika ukázek je možné vyvodit
několik závěrů:
• Síly, kterými na sebe působí dvě tělesa A a B jsou stejně veliké FA
= FB.
• Tyto síly jsou stejného směru, avšak opačné orientace FA = - FB.
• Obě síly současně vznikají a současně zanikají.
• Každá z těchto sil působí na jiné těleso, proto se ve svém účinku neruší.
Uveďme si ještě jeden příklad , na kterém si ukážeme obě působící síly. Vezměme si dvě
koule A a B, které se srazí. V okamžiku srážky koule A působí na kouli B silou FA a současně
působí koule B na kouli A silou FB. Na obrázku, viz. obr. 50 máme znázorněny obě síly.
62
obr. 50
Pokusy potvrzující tato tvrzení prováděl již Isaac Newton. Na jejich základě formuloval třetí
pohybový zákon:
Síly, kterými na sebe působí dvě tělesa jsou stejně veliké, stejného směru, opačné
orientace a vznikají a zanikají současně.
Někdy se používá ještě jiná formulace. Nazveme-li jednu ze sil akce a druhou reakce, pak lze
napsat:
Každá akce vyvolává stejně velkou reakci stejného směru, ale opačné orientace .
Odtud název pro třetí Newtonů pohybový zákon akce a reakce.
U1.3.2-24. Kniha ležící na stole působí na desku stolu silou – v tomto
případě je touto silou tíha knihy G. Deska působí na knihu také silou F,
silou, která zabraňuje deformaci desky. Která z obou sil je silou akce a
která reakce?
63
Součinitel smykového tření
0
f - součinitel smykového tření, začíná-li pohyb z klidu
f – součinitel smykového tření v pohybu
Látka 0
f f
kalená ocel na kalené oceli 0,15 0,10
mazáno 0,1 až 0,12 0,05 až 0,1
měkká ocel na měkké oceli 0,13 0,10
mazáno 0,11 0,09 až 0,10
železniční kolo na kolejnici 0,25 0,18
vlhké 0,2 až 0,1 0,018
kalená ocel na šedé litině 0,3 0,27 až 0,13
měkká ocel na šedé litině 0,19 0,18
mazáno 0,05 až 0,15 0,075
kalená ocel na ledě 0,03 0,01
ocel na dřevě 0,65 0,5 až 0,4
kůže na šedé litině 0,3 až 0,5 0,56
pryž na betonu 0,7 až 1,0 0,7
pryž na asfaltové vozovce 0,5 až 0,75 0,71
vlhké 0,25 až 0,6 0,2 až 0,3
pryž na dlažbě 0,6 až 0,8
dřevo na dřevě 0,50 0,34
vlhké 0,33 0,15
korek na oceli 0,45
nylon na oceli 0,3
polystyrén na oceli 0,5
teflon na oceli 0,05
64
1.3.3 Síla v neinerciální soustavě
O Newtonových pohybových zákonech jsme si řekli, že platí pouze
v inerciálních soustavách. Jak budeme řešit problémy silového působení
v neinerciálních soustavách?
Už jsme se této problematiky dotkli v kapitole o prvém Newtonově
pohybovém zákonu. Vzpomeňte si na rozjíždějící se tramvaj a jezdce na
skateboardu, viz. obr. 39. Jezdec je v klidu vůči tramvaji, která se pohybuje pohybem
rovnoměrným přímočarým. Soustava spojena s jezdcem a soustava spojená s tramvají jsou
inerciální.
obr. 39
V okamžiku, kdy tramvaj začne zrychlovat se zrychlením a jsou již obě soustavy
neinerciální. Skateboardista se začne pohybovat ve směru proti pohybu tramvaje. Člověk
v tramvaji, který je vůči ní v klidu (sedí), pozoruje pohyb skateboardisty jako pohyb
zrychlený se zrychlením – a, tedy opačným než je zrychlení tramvaje.
Zrychlení skateboardisty není vyvoláno silovým působením žádného tělesa. Sílu, která
vyvolává jeho zrychlený pohyb, a která vzniká v důsledku zrychleného pohybu vztažné
soustavy nazýváme setrvačná síla Fs.
Někdy se setrvačné síly označují jako síly zdánlivé.
Setrvačnou síla, která uděluje jezdci zrychlení opačného směru než je zrychlení a tramvaje
vůči povrchu Země je možné vyjádřit vztahem
Fs = - m a.
V neinerciální vztažné soustavě:
• neplatí zákon setrvačnosti,
• neplatí zákon akce a reakce.
Vidíte, že jsme vynechali druhý Newtonův pohybový zákon – zákon síly. Jak je to s platností
tohoto zákona v neinerciální vztažné soustavě?
• Zákon síly je možné v neinerciální vztažné soustavě použít s tím, že setrvačná síla má
opačný směr než zrychlení, které ji vyvolává.
65
Vypočítejte sílu, kterou působí člověk hmotnosti 100 kg na podlahu výtahu
když se výtah pohybuje:
a) pohybem rovnoměrným,
b) zrychleným pohybem směrem nahoru se zrychlením 2 m.s-2
,
c) zrychleným pohybem směrem dolů se zrychlením 2 m.s-2
?
a) Je-li kabina výtahu v klidu, nebo se pohybuje rovnoměrným pohybem,
tvoří inerciální vztažnou soustavu. Na člověka působí pouze jeho tíhová síla FG = m g, viz.
obr. 52. Touto silou F = 100.9,81 = 981 N působí člověk na podlahu.
b) Při pohybu výtahu nahoru se zrychlením a působí na podlahu jednak tíhová síla člověka
FG, tak setrvačná síla Fs. Tato setrvačná síla má směr opačný než je zrychlení výtahu, směřuje
tedy dolů, viz. obr. 53. Výsledná síla na podlahu je dána součtem obou sil F = FG + Fs = m g
+ m a = 100.9,81 + 100.2 = 1181 N.
c) Při pohybu výtahu dolů se zrychlením a působí na podlahu zase tíhová síla člověka FG, i
setrvačná síla Fs. Tato setrvačná síla má směr opačný než je zrychlení výtahu, tedy v tomto
případě směřuje nahoru, viz. obr. 53. Výsledná síla na podlahu je teď dána rozdílem obou sil
F = FG - Fs = m g - m a = 100.9,81 - 100.2 = 781 N.
Pokud by se výtah pohyboval se zrychlením a = - g (volným pádem), pak by výsledná síla
působící na pasažéra byla nulová. Tímto způsobem je možné simulovat „beztížný stav“.
obr. 52 obr. 53 obr.54
66
A ještě s jednou setrvačnou silou se velmi často setkáváte. V předchozí
části kapitoly vznikala setrvačná síla při zrychlování nebo zpomalování
přímočarého pohybu. Vrátíme se k příkladu tramvaje. Jede-li tramvaj po
přímočaré dráze rovnoměrným pohybem a najednou vjede do levotočivé
otáčky při nezměněné velikosti rychlosti, jsou cestující vytlačování na
pravou stranu tramvaje. Pasažéři jsou podrobeni účinku setrvačné síly, která je důsledkem
pohybu po křivočaré trajketorii. Tato setrvačná síla se označuje jako síla odstředivá.
Setrvačná odstředivá síla Fo vzniká v neinerciální vztažné soustavě pohybující se po
zakřivené trajektorii.
Podívejme se na další příklad – kolotoč. Trajektorií pohybu člověka hmotnosti m bude
kružnice o poloměru r. Pohyb po kružnici je charakterizován dostředivým zrychlením
r
v
ad
2
= , jak jsme si ukázali v kapitole Kinematika. Zakřivení pohybu po kružnici bude
způsobeno dostředivou silou Fd, kterou si vyjádříme pomocí druhého pohybového zákona ve
tvaru
r
v
mFd
2
= . Tato síla bude mířit směrem do středu
kružnice (osy kolotoče).
Podle zákona akce a reakce bude akční síla – dostředivá
síla působící na sedačku vyvolávat sílu reakční. Tato
reakční síla působící na člověka na sedačce bude stejně
veliká, stejného směru jako síla akční, ale opačně
orientovaná, viz. obr. 55. Touto reakční silou je právě
setrvačná síla odstředivá. Její velikost si tedy můžeme
vyjádřit pomocí velikosti dostředivého zrychlení jako
r
v
mFo
2
=
obr. 55
KO1.3.3-25. Inerciální vztažná soustava je taková soustava,
a) v níž platí všechny Newtonovy pohybové zákony
b) která vůči pevnému systému stojí
c) která se vůči pevnému systému pohybuje rovnoměrně přímočaře
d) ve které platí jen zákon setrvačnosti
KO1.3.3-26. Uvažujme čtyři železniční vozy. Vůz 1 stojí v klidu na kolejích, vůz 2 se rozjíždí
rovnoměrně zrychleně po přímé trati, vůz 3 jede stálou rychlostí po přímé trati a vůz 4
projíždí kruhovou zatáčkou rovnoměrným pohybem. Vztažnou soustavu spojenou s povrchem
Země považujte za inerciální. Na které vozy působí síly tak, že jejich výslednice je nulová?
a) jen na 1 b) na 1,2,3 c) na 1,3 d) na 1,3,4
KO1.3.3-27. Uvažujme čtyři železniční vozy. Vůz 1 stojí v klidu na kolejích, vůz 2 se rozjíždí
rovnoměrně zrychleně po přímé trati, vůz 3 jede stálou rychlostí po přímé trati a vůz 4
projíždí kruhovou zatáčkou rovnoměrným pohybem. Vztažnou soustavu spojenou s povrchem
Země považujte za inerciální. Na které vozy působí síly tak, že jejich výslednice má stálou
nenulovou velikost a stálý směr?
67
a) na 2,3 b) jen na 2 c) jen na 3 d) na 2,4
KO1.3.3-28. Stacionární družice obíhá kolem Země po kruhové dráze. Na obrázku jsou
znázorněny tři hlavní síly F1, F2 a F3 působící v této soustavě, viz. obr. 60. Přiřaďte
pojmenovaným silám jejich symbol z obrázku.
Název síly symbol
odstředivá síla
síla akce
síla reakce
dostředivá síla
obr. 60
KO1.3.3-29. Podmínkou rovnoměrného pohybu tělesa po kružnici je, že:
a) na něj nepůsobí žádná síla,
b) na něj působí odstředivá síla,
c) na něj působí dostředivá síla,
d) tečná síla na něj působící je nulová.
U1.3.3-30. Astronauti používají ve
svém výcviku obrovské
centrifugy. Centrifuga je takový
mohutný kolotoč, ve kterém
astronaut v kabině koná kruhový
pohyb na dlouhém rameni vysokou rychlostí. Co vlastně
astronauti na tomto zařízení trénují?
U1.3.3-31. Člověk hmotnosti 80 kg je ve výtahu. Ten se
utrhne a padá volným pádem. Jakou silou působí člověk
na podlahu výtahu?
U1.3.3-32. Kámen hmotnosti 2 kg je uvázán na provázku
obr. 58
délky 1 m a roztočen tak, že obíhá po vodorovné kružnici rychlostí 3 m.s-1
. Jakou silou je
napínán provázek?
68
U1.3.3-33. Kámen hmotnosti m je uvázán na provázku délky l a roztočen tak, že obíhá po
svislé kružnici rychlostí v. Jakou silou je napínán provázek a) v horním bodě trajektorie, b) ve
spodním bodě trajektorie, c) v bodě A, viz. obr. 58?
1.3.4 Hybnost tělesa
Vraťme se ještě jednou k prvému a druhému Newtonovu pohybovému zákonu. První z nich
říká: pokud se těleso hmotnosti m pohybuje pohybem rovnoměrným přímočarým rychlostí v,
pak musíme na něj působit vnější silou F, abychom tento stav změnili.
Ze zkušenosti víme, že velikost síly, kterou musíme vynaložit na třeba zastavení běžícího
člověka, bude záviset na jeho rychlosti a na jeho hmotnosti. Snáze zastavíme jdoucí dítě, než
utíkajícího metrákového chlapa. Čím tedy bude rychlost tělesa větší nebo bude větší jeho
hmotnost, tím větší sílu musíme vynaložit.
Zavádí se proto další fyzikální veličina označovaná jako hybnost, beroucí v úvahu obě
zmíněné veličiny. Hybností můžeme charakterizovat pohybový stav tělesa.
Hybnost tělesa p je dána součinem jeho hmotnosti m a jeho rychlosti v. Je to vektor, který
má stejný směr jako okamžitá rychlost.
p = m v
Pokud při změně hybnosti dochází v důsledku změny směru rychlosti, pak musíme zapsat
vztah pro hybnost ve vektorovém tvaru
∆p = m ∆v.
Pro jednotku hybnosti plyne z definičního vztahu kg.m.s-1
. Tato jednotka nemá své jméno.
Stanovte graficky změnu hybnosti
dětského autíčka hmotnosti m = 1 kg po
projetí pravoúhlou zatáčkou, viz. obr. 62.
Velikost jeho rychlosti před zatáčkou byla
v1 = 0.4 m.s-1
, za zatáčkou v2 = 0,3 m.s-1
.
obr. 62
Vyjdeme ze vztahu pro změnu vektoru hybnosti, který si
upravíme do tvaru.
∆p = m v2 – m v1.
Teď si nakreslete vektorový obrázek hybností. Jedná se o
pravoúhlou zatáčku takže hybnost před otáčkou kreslete ve
směru osy y, za zatáčkou ve směru osy x. Svůj náčrt si ověřte
na obr. 63.
obr.63
69
Nyní zakreslete do svého obrázku rozdíl obou vektorů hybnosti ∆p. Pokud se vám nedaří,
obrázek máte zde, viz. obr. 64.
Už na první pohlede je jasné (není problém ověřit výpočtem),
že velikost vektoru změny hybnosti ∆p = 0,5 N.s se liší od
nesprávně počítané hodnoty ∆p = m (v2 – v1) = 0,1 N.s.
obr. 64
Fyzika zná celou řadu zákonů zachování.
Jistě si vzpomenete na zákon zachování
energie, který budeme probírat později,
existuje zákon zachování elektrického
náboje atd. My si teď probereme zákon zachování hybnosti.
Představte si, že jste v loďce na klidné hladině rybníka. Hodíte z loďky
kámen vodorovným směrem a loďka se s vámi dá do pohybu směrem
opačným. Tento pokus se lehce vysvětlí právě zákonem zachování hybnosti.
Podívejte se na obrázek děla. Dělo
hmotnosti m1 i koule v něm připravená
k výstřelu hmotnosti m2 jsou v klidu. A
teď si vzpomeňte na námořní bitvy
korzárů ve filmu. Po výstřelu vyletí
dělová koule z hlavně rychlostí v2 a dělo
se začne pohybovat opačným směrem
rychlostí v1. V našem pokusu uvažujme,
že na střílící dělo nepůsobí již žádné jiné
vnější síly. To znamená, že dělo se bude
pohybovat po výstřelu jedním směrem
pohybem rovnoměrným přímočarým,
náboj poletí opačným směrem také rovnoměrně přímočaře.
Před výstřelem jsou dělo i náboj v klidu. Po dobu výstřelu t působí na dělo síla F1 a na
dělovou kouli síla F2 . Síla je dána tlakem rozpínajících se plynů v hlavni, působí do doby,
než koule opustí hlaveň (t). Podle zákona akce a reakce musí být obě síly stejně veliké, ale
opačné orientace F1 = F2. Tyto síly si můžeme zapsat pomocí Newtonova zákona síly a
rovnice bude mít tvar
m1 a1 = m2 a2, nebo po rozepsání zrychlení
t
v
m
t
v
m 2
2
1
1 = . Po zkrácení doby t, která je stejná
při působení obou sil, dostáváme vztah
2211 vmvm = .
Hybnosti, které dělo a koule získají, jsou stejně veliké.
Ale hybnost je vektorová veličina, má tedy i svůj směr a orientaci. Jak je vidět na animaci,
jsou směry rychlostí koule a děla opačné, budou tedy i hybnosti mít opačný směr
m1 v1 = - m2 v2, nebo
m1 v1 + m2 v2 = 0
Tento vztah vyjadřuje zákon zachování hybnosti .
70
Uvedeme-li dvě tělesa z klidu do pohybu jen vzájemným silovým působením, součet
jejich hybností je nulový, (tedy stejný jako před uvedením do pohybu).
Možná jste již zakusili působení tohoto zákona zachování na vlastním těle při střelbě z pušky
nebo revolveru. Při výstřelu vás pažba „kopne“ do ramene, ruka s revolverem „odskočí“
dozadu. Na stejném principu fungují také reaktivní motory letadel či nosných raket družic,
pohybující se medúza atd.
Již jsme se zmínili, že ke změně hybnosti tělesa ∆p musíme vždy vynaložit sílu.
Působíme-li větší silou, bude změna hybnosti větší. Je také důležité, jak dlouho tato síla
působí. Je zřejmé, že čím déle bude síla působit, tím větší bude změna hybnosti.
F ∆t = ∆p = m ∆v
Součin síly F působící po dobu ∆t na těleso je impuls síly. Na impulsu síly závisí změna
hybnosti tělesa. Impuls síly je vektor a jeho jednotkou je newton sekunda (N.s = kg.m.s-1
).
KO1.3.4-34. Jaký směr bude mít změna rychlosti ve srovnání se směrem
působící síly.
KO1.3.4-35. Která ze sil vyvolá větší změnu hybnosti. F1 = 50 N působící po
dobu 0,02 s, nebo F2 = 1 N působící po dobu 1 s?
KO1.3.4-36. Proč někdy drží i více hasičů proudnici, ze které prudce stříká
voda?
U1.3.4-37. Jak velkou silou udeřil hokejista do stojícího kotouče o
hmotnosti 200 g, jestliže kotouč nabyl rychlosti 90 km/hod? Doba
působení nárazové síly byla 0,01 s.
U1.3.4-38. Střela hmotnosti 20 g proletěla hlavní za 0,01 s a nabyla
rychlosti 800 m/s. Jak velké rychlosti nabyla puška hmotnosti 5 kg při
zpětném nárazu?
U1.3.4-39. Signální raketa o hmotnosti 50 g vystřelí 5 g plynů v jednom směru a raketa tím
nabude rychlosti 30 m/s. Jaká je rychlost vystřelených plynů?
1. Síla není příčinou pohybu, ale způsobuje jeho změnu.
2. Síla se projevuje vždy při vzájemném působení dvou těles
• přímým kontaktem,
• na dálku prostřednictvím silových polí.
3. Účinky sil mohou být
71
• statické,
• dynamické.
4. Síla je vektorová veličina určená velikostí, směrem, orinetací a působištěm. Jednotkou je
newton 1N = kg.m.s-2
.
5. 1. Newtonův pohybový zákon – zákon setrvačnosti: Každé těleso setrvává v klidu nebo
v rovnoměrném přímočarém pohybu, dokud není vnějšími silami donuceno tento stav změnit.
6. 2. Newtonův pohybový zákon – zákon síly: Zrychlení a, které uděluje síla F tělesu o
hmotnosti m, je přímo úměrné velikost této síly a nepřímo úměrné hmotnosti tělesa.
m
F
a = .
• Při působení více sil na těleso je musíme sčítat vektorovým součtem.
• Síla, která způsobuje volný pád tělesa se označuje jako tíhová síla a je dána tíhovým
zrychlením FG = m g.
• Tíhová síla, kterou působí těleso na vodorovnou podložku je tíha tělesa G.
7. Odporové síly působí proti směru pohybu tělesa a brzdí jeho pohyb.
• Třecí síla Ft je přímo úměrná tlakové síle Fn a součiniteli smykového tření f. Ft = f Fn.
• Odporová síla valivého odporu Fv je přímo úměrná kolmé tlakové síle Fn působící na
podložku, ramenu valivého odporu ξ a nepřímo úměrná poloměru R tělesa.
R
F
F n
v ξ= .
8. 3. Newtonův pohybový zákon – zákon akce a reakce: Síly, kterými na sebe působí dvě
tělesa jsou stejně veliké, navzájem opačné orientace a vznikají a zanikají současně.
9. Newtonovy pohybové zákony platí v inerciálních neboli setrvačných vztažných
soustavách.
10. Sílu, která vzniká v důsledku zrychleného pohybu vztažné soustavy nazýváme setrvačná
síla Fs.
11. Setrvačná odstředivá síla Fo vzniká v neinerciální vztažné soustavě pohybující se po
zakřivené trajektorii.
12. Zakřivení pohybu po kružnici způsobuje dostředivá síla
r
v
mFd
2
= .
13. Hybnost tělesa p je dána součinem jeho hmotnosti m a jeho rychlosti. p = m v.
14. Zákon zachování hybnosti: Uvedeme-li dvě tělesa z klidu do pohybu jen vzájemným
silovým působením, součet jejich hybností je nulový, tedy stejný jako před uvedením do
pohybu. m1 v1 + m2 v2 = 0.
15. Součin síly F působící po dobu ∆t na těleso je impuls síly. Impuls síly způsobí změnu
hybnosti tělesa. Impuls síly je vektor a jeho jednotkou je newton sekunda (N.s).
F ∆t = ∆p = m ∆v
72
1.4 Práce, výkon, energie
Slovo práce má v běžném životě mnoho významů. Řekneme-li „těžká práce“, můžeme mít na
mysli, že je s někým těžké pořízení, ale může jít i o namáhavou práci fyzickou nebo duševní
(třeba se studiem fyziky). Tentýž problém máme i s výrazem energie. Můžeme hovořit o
energii elektrické, energii vynaložené na získání nějakého cíle, nebo energii vyplýtvanou na
vzdělávání svých potomků.
V této kapitole si problém zúžíme, budeme se zabývat pouze mechanickou prací,
mechanickou energií a mechanickým výkonem. Přesto ale tato kapitola poskytne výklad řady
pojmů a definice, které budou užitečné i při studiu dalších kapitol. Prostudujte si tedy tuto
kapitolu velmi pozorně.
Kinematika hmotného bodu, dynamika.
Odhadovaný čas je 90 minut
1.4.1 Mechanická práce
1. Vědět, že práce je dráhový účinek síly.
2. Znát vztah pro výpočet práce.
3. Umět určit práci výpočtem i graficky.
4. Umět použít vztah pro práci, zejména vzhledem k úhlu, který svírá síla a
dráha.
Mechanická práce je práce síly. Již na základní škole jste se učili, že
tlačíme-li před sebou bednu po nějaké dráze a překonáváme odpor tření,
konáme práci. Padáme-li, koná práci po trajektorii volného pádu tíhová
síla, práci koná motor traktoru táhnoucího vlečku atd.
Velikost vykonané práce závisí nejen na velikosti působící síly, ale je
důležitý i směr, ve kterém síla na těleso působí. Působí-li síla na těleso ve
73
směru trajektorie pohybu, jsou její účinky (a tím i vykonaná práce) maximální viz Obr.65.
Čím více se směr síly odchyluje od trajektorie, tím se účinky snižují. Z obrázku je vidět, že
práci koná jen složka síly ve směru pohybu Fs. Složka kolmá těleso nadlehčuje.
Mechanická práce W vykonaná silou F při přemisťování tělesa je úměrná velikosti této
síly F, dráze s, o kterou se těleso přemístí a úhlu α, který svírá síla s trajektorií pohybu,
viz. obr. 65.
obr. 65
W = F s cosα
Jednotkou práce je joule (J). 1 joule je práce, kterou vykoná síla 1 N při přemístění tělesa po
dráze 1 m ve směru působící síly.
Práce je skalární veličina.
U1.4.1-1. Vyjádřete jeden joule v jednotkách soustavy SI.
KO1.4.1-2. Na těleso pohybující se po vodorovné podložce působí postupně
tři stejně velké síly. Síla F1 ve směru pohybu, síla F2 pod úhlem 30o
od směru
pohybu a síla F3 kolmo na směr pohybu. Která síla koná největší práci?
a) F1 b) F2 c) F3 d) všechny síly konají stejnou práci
KO1.4.1-3. Na těleso pohybující se po vodorovné podložce působí postupně
tři stejně velké síly. Síla F1 ve směru pohybu, síla F2 pod úhlem 30o
od směru pohybu a síla F3
kolmo na směr pohybu. Která síla koná nulovou práci?
a) F1 b) F1,F3 c) F3 d) žádná z nich
KO1.4.1-4. Pro výpočet mechanické práce W lze použít následující vztahy:)
a) W = F s sinα b) W = F s cosα c) W = F s
KO1.4.1-5. Jak velkou práci vykoná síla 5 N působící ve směru osy x při přemístění tělesa z
bodu A(2,0) do bodu B(12,0)?
74
Člověk táhne rovnoměrným pohybem po vodorovné pláni sáně s nákladem
100 kg po dráze 300 m. Jakou mechanickou práci vykoná, jestliže provaz
svírá s vodorovnou rovinou úhel 0o
a součinitel smykového tření saní na
sněhu je 0,1?
Označíme si hmotnost nákladu m = 100 kg, dráhu s = 300 m, úhel mezi
směrem pohybu a působící silou α = 0o
, součinitel tření f = 0,1. Počítáme s g
= 10 m.s-2
.
Má-li být pohyb rovnoměrný, pak člověk musí působit silou F, která je právě tak velká jako
síla třecí Ft = f m g. Rovnoměrný pohyb (bez zrychlení) je totiž charakterizován tím, že
výslednice působících sil je nulová. Podle vztahu pro práci W = F s cosα vykoná působící síla
mechanickou práci:
W = Ft s = f m g s cosα = 0,1.100.10.300.cos0 = 30 000 J.
Člověk vykoná mechanickou práci 30 kJ.
U1.4.1-6. Jakou mechanickou práci vykoná síla naší paže, jestliže nákupní
tašku o hmotnosti 8 kg a) zvedneme do výše 1 m, b) držíme ve výši 1 m
nad zemí, c) přeneseme ve vodorovném směru do vzdálenosti 5 m?
U1.4.1-7. Cyklista jede stálou rychlostí po vodorovné silnici proti větru,
který na něj působí silou 12 N. a) Jakou práci vykoná při překonávání síly větru na dráze 5
km? b) Jakou práci vykoná, svírá-li směr větru se směrem jeho pohybu úhel 60o
?
U1.4.1-8. Automobil o hmotnosti 2 000 kg jede stálou rychlostí do kopce se stoupáním 4 m
na každých 100 m dráhy. Součinitel odporu proti pohybu automobilu je 0,08. Určete práci,
kterou vykonal motor automobilu na dráze 3 km.
Další krátký úsek můžete vynechat. Pokud ovšem budete pokračovat ve
studiu na vysoké škole, kde se setkáte s fyzikou, bude pro vás tato partie
užitečná.
Mechanickou práci můžeme také určovat graficky. Vzpomeňte si na
grafické stanovování velikosti uražené dráhy rovnoměrného pohybu
z plochy v diagramu závislosti rychlosti na
čase (kapitola 1.2.5). Nyní si na osu x
budeme vynášet dráhu s, na osu y pak
velikost působící sílu F. Musíme však
rozlišovat různé situace podle charakteru
působící síly:
Síla je konstantní. V našem grafu
bude znázorněna síla jako
polopřímka rovnoběžná s osou s, viz.
obr. 66.
obr. 66
75
Obsah vyšrafovaného vybarveného obdélníka udává vykonanou práci W = F s. Ale pozor,
jako působící sílu musíme uvažovat jen její složku působící ve směru pohybu.
Síla je proměnná, rovnoměrně roste
s dráhou (F = k s). V tomto případě
je práce dána obsahem
podbarveného trojúhelníka W = ½ F
s = ½ k s2
, viz. obr. 67.
obr. 67
Síla je proměnná, její průběh je popsán obecnou křivkou. Tuto situaci vidíme na
obrázku, viz. obr. 68. V tomto případě musíme rozdělit dráhu na malé úseky ∆s, pro
které je změna síly velmi malá, zanedbatelná. Sílu v tomto úseku dráhy považujeme za
konstantní. Pro podbarvenou plošku opět platí, že odpovídající přírůstek práce ∆W si
můžeme vyjádřit jako součin konstantní síly v daném úseku dráhy F a příslušné dráhy
∆s, ∆W = F ∆s. Celková
vykonaná práce je pak součtem
všech prací na jednotlivých
úsecích. Tento postup je
vlastně základem pro
integrování plochy. Ale s tím
se seznámíte až na vysoké
škole.
obr. 68
Vypočítejte práci nutnou k prodloužení pružiny o 10 cm. Tuhost pružiny je
500 N.m-1
.
Tuhost pružiny vyjadřuje elastické vlastnosti pružiny. Tuhost pružiny k je
konstanta úměrnosti mezi působící silou a délkou protažení pružiny. Kdo
posilujete ruce s roztahovacími pružinami, víte že čím více pružiny
roztahujete, tím větší sílu musíte vynaložit.
Při výpočtu vykonané práce nemůžeme přímo vyjít ze vztahu pro práci W = F s cosα. Tento
vztah platí za podmínky, že síla po celé dráze zůstává konstantní. V našem případě síla se
mění s délkou protažení d podle vztahu F = k d. Tedy použijeme grafického určování
velikosti práce. Vyjdeme z obrázku pro průběh síly, která lineárně roste s dráhou, jak je
znázorněno na obrázku, viz. obr. 67.
76
Pro vykonanou práci pak plyne z obrázku vztah W = ½ k d2
. Po dosazení dostáváme W = ½ .
500.0,12
= 2,5 N.
Abychom pružinu udrželi protaženou o 10 cm, musíme na ni působit silou 5 N, viz. obr. 74.
a) Jaká je tuhost pružiny? b) Jak velkou práci konáme?
a) 500 N.m-1
. Vycházíme ze vztahu F = k d. b) O J. Práce se nekoná, nepůsobíme silou po
dráze.
obr. 74
1.4.2 Výkon
1. Vědět, že výkon je veličina vyjadřující „jak rychle se práce koná“.
2. Umět vyjádřit práci z výkonu a odvodit příslušné jednotky.
3. Vysvětlit rozdíl mezi výkonem a příkonem.
4. Definovat účinnost.
5. Vědět, že okamžitý výkon souvisí se silou a rychlostí.
V současné civilizaci se pracovní síla hodnotí nejen podle množství
odvedené práce, ale také za jakou dobu je provedena. Pracovníci se
hodnotí podle jejich výkonu. Výkon vyjadřuje jak rychle se určitá
práce koná. Ve fyzice se fyzikální veličina výkon definuje následovně:
Výkon P je podíl vykonané práce ∆W a doby ∆t, za kterou byla tato
práce vykonána.
t
W
P
∆
∆
=
Jednotkou výkonu je jeden watt (W). Z definičního vztahu pro výkon vyplývá, že 1 W = J/s =
kg.m2
.s-2
.
Jednotka watt je poměrně malá jednotka. Zdvihneme-li kilogramové závaží do výšky jednoho
metru za jednu sekundu, pracujeme s výkonem přibližně 10 W. V praxi se nejčastěji setkáte
s výkony vyjadřovanými v kilowatech (kW). Slabší auta mají motor s výkonem 40 až 50 kW,
silná ve stovkách kW. Hovoříme-li o výkonech elektráren, pak je vyjadřujeme v megawatech
(MW).
77
Například při určování výkonu motoru auta, ale i jinde se můžete setkat se starší jednotkou
nazývanou koňská síla HP (horse power). 1 HP = 0,746 kW ≈ ¾ kW.
Definičním vztahem pro výkon jsme si definovali průměrný výkon. Budeme-li určovat
výkon ve velice krátkém časovém intervalu ∆t , budeme stanovovat okamžitý výkon.
Často potřebujeme určit okamžitý výkon třeba motoru auta v nějakém krátkém čase ∆t.
V tomto případě dostačuje znát tažnou sílu motoru F a rychlost auta v. Uvažujme takto: za
velmi krátkou dobu ∆t urazí těleso (auto) dráhu ∆s a bude mít okamžitou rychlost v = ∆s /∆t.
Tažná síla vykoná práci ∆W = F ∆s. Okamžitý výkon tedy bude:
vF
t
sF
t
W
P ===
∆
∆
∆
∆
.
U řady elektrických spotřebičů jste se jistě setkali s pojmem podobným výkonu – příkonem.
Touto veličinou vyjadřujeme, že dodáváme spotřebiči určitou energii ∆E za čas ∆t. Pomocí
těchto veličin definujeme příkon.
Podíl dodané energie ∆ E a doby, po kterou energii dodáváme ∆ t nazýváme příkon Po.
t
E
Po
∆
∆
=
Jednotkou příkonu bude samozřejmě zase watt.
Máme-li tedy reálný spotřebič, například elektromotor, s příkonem 1 kW, pak se těžko
veškerá dodaná energie spotřebuje na tzv. užitečný výkon P (výkon využitý pro požadovanou
činnost). Bude to záviset na konstrukci elektromotoru, na kvalitě jeho provedení a řadě jiných
parametrů. To jak velká část příkonu se využije ve formě užitečného výkonu, nám udává
veličina nazývaná účinnost η (éta).
Účinnost η je podíl výkonu P a příkonu Po.
oP
P
=η
Účinnost je bezrozměrná veličina, násobíme-li ji stem, dostaneme účinnost v procentech.
Zásobník vody pro vodovod je na sloupu ve výšce 25 m nad povrchem vody
v přehradě. Kolik vody přečerpá čerpadlo s příkonem 30 kW do zásobníku za
1 hodinu, je-li účinnost čerpadla 30 %? Za jakou dobu se voda načerpaná do
nádrže spotřebuje, je-li spotřeba vody 10 l za sekundu? Změnu výšky
hladiny v přehradě zanedbáváme.
Označíme si příkon čerpadla Po = 3.104
W, jeho účinnost η = 0,3, objem, který odteče za 1
sekundu Vs = 10 l/s, čas čerpání t = 1 h = 3 600 s, výšku nad hladinou h = 25 m, hustota vody
je ρ = 1 000 kg.m-3
, hledaný objem bude V a hledaný čas t1.
Výkon čerpacího zařízení je P = η Po, práce vykonaná při přečerpávání vody za dobu t je W =
P t = η Po t. K přečerpání vody o objemu V a hustotě ρ do výšky h je nutné vykonat práci.
Tato práce se projeví jako změna potenciální energie vody Ep = m g h = V ρ g h. Vykonaná
práce je rovna změně energie.
η Po t = V ρ g h.
78
Z této rovnice určíme objem vyčerpané vody:
hg
tP
V o
ρ
η
= = 0,3.3.104
.3 600/(103
.10.25) = 130 m3
Doba, za kterou se voda o objemu V spotřebuje je
t1 = V/Vs = 130/(10.10-3
) = 13 000 s = 3,6 h.
Za 1 hodinu se do nádrže načerpá 130 m3
vody, která se pak spotřebuje za 3,6 h.
KO1.4.2-9. Jednotka W.s (wattsekunda) je jednotkou :
a) výkonu b) práce c) energie d) impulzu
síly
KO1.4.2-10. Fyzikální veličina výkon je:
a) vektor b) skalár
KO1.4.2-11. Účinnost η je vždy:
a) < 1 b) > 1 c) ≤ 1 d) ≥ 1
U1.4.2-12. Vzpěrač zvedl činku o hmotnosti 210 kg do výšky 2 m za 3 s.
Urči jeho průměrný výkon.
U1.4.2-13. Na těleso působí konstantní síla 2 N. Určete jeho výkon
v okamžiku, kdy je jeho rychlost 3 m.s-1
.
U1.4.2-14. Sklep, jehož podlaha o ploše 50 m2
je ve výšce 3 m pod úrovní okolí, zaplavila
voda do výšky 80 cm. Za jakou dobu vyčerpá tuto vodu čerpadlo o příkonu 1 kW a účinnosti
75 %?
U1.4.2-15. Elektromotor s příkonem 1,2 kW vykoná za 1 minutu práci 60 kJ. Jaká je jeho
účinnost?
U1.4.2-16. Běžně používanou praktickou jednotkou práce je kilowatthodina. Kolik je to
joulů?
1.4.3 Mechanická energie
1. Vědět, že mechanická energie je dána součtem energie kinetické a
potenciální.
2. Znát souvislost změny kinetické energie a tíhové potenciální energie s
mechanickou prací.
3. Znát vztah pro kinetickou energii.
4. Vědět, že tíhová potenciální energie závisí na volbě nulové hladiny
energie.
5. Znát vztah pro tíhovou potenciální energii.
6. Vědět, že potenciální energii pružnosti mají všechna pružně deformovaná tělesa.
79
7. Znát vztah pro energii pružně deformované pružiny.
8. Znát zákon zachování energie, umět uvést konkrétní příklady dějů, při nichž se mechanická
energie mění v jiné formy energie.
Koná-li síla mechanickou práci přemísťováním tělesa, pak se výsledek této
práce může projevit dvojím způsobem:
a) Těleso získá nebo změní svou rychlost. Vyjděme z následujícího
příkladu. Tlačíme vozík hmotnosti m určitou konstantní silou F po
vodorovné dráze délky s. Neuvažujme odporové síly. Vozík se bude
pohybovat pohybem rovnoměrně zrychleným se zrychlením
m
F
a = a za čas t získá rychlost v
= a t. V tomto čase urazí vozík dráhu 2
2
1
tas = . Práce vykonaná působící silou bude:
( ) 222
2
1
2
1
2
1
vmtamtaamsFW ==== .
Takto „rozjetý“ vozík, který má „energii“, může tuto energii přeměnit zpět na práci. Tuto
mechanickou energii označujme jako kinetickou (pohybovou) energii tělesa Ek. Kinetická
energie je skalární veličina.
Kinetická energie Ek tělesa je přímo úměrná jeho hmotnosti m a druhé mocnině jeho
rychlosti v.
2
2
1
vmEk =
Síla působící po dráze dodá tedy tělesu kinetickou energii. Proto kinetická energie bude mít
stejnou jednotku jako práce. Jednotkou kinetické energie je joule.
b) Těleso získá schopnost konat práci. Uveďme si zase příklad. Zdvihejme těleso hmotnosti m
do výšky h nad povrch Země. Aby pohyb byl rovnoměrný, budeme působit stejně velkou
silou jako je tíhová síla FG, ale opačně orientovanou. Musíme vykonat práci:
hgmhFsFW G === .
Vykonaná práce se tentokráte přeměnila na energii označovanou jako potenciální. Protože se
jedná o potenciální energii, kterou mají tělesa v tíhovém poli Země, nazýváme ji tíhová
potenciální (polohová) energie tělesa.
Tíhová potenciální energie Ep tělesa hmotnosti m ve výšce h nad povrchem Země je přímo
úměrná jeho hmotnosti, tíhovému zrychlení g a výšce h.
hgmEp =
Potenciální energie se opět vyjadřuje v jednotkách joule.
Jistě jste si všimli, že tíhovou potenciální energii jsme definovali ve výšce h nad povrchem
Země. Tíhová potenciální energie tělesa závisí na volbě vodorovné roviny, vůči které ji
stanovujeme. Proto je třeba si dát pozor na to vůči jaké rovině potenciální energii
vztahujeme. Zase se podívejme na příklad a to na obrázku, viz. obr. 69. Květináč stojící na
okenním parapetu má potenciální energii vůči podlaze bytu m g h1. Spadne-li nám na nohu
v místnosti až tak moc se nestane. Potenciální energie květináče vůči Zemi je m g h2. Kdyby
nám spadl na chodníku na hlavu, byly by jeho účinky podstatně vážnější.
80
obr. 69
Tíhová potenciální energie není jedinou fyzikům známou potenciální energií. Potenciální
energie se vždy definuje v poli určitých sil. Tak třeba se později setkáme s potenciální energií
elektrického a magnetického pole. Zůstaňme ale v mechanice. Probereme si ještě jednu
mechanickou potenciální energii, a to potenciální energii pružnosti.
Stlačíme-li pružinu vzduchovky – „natáhneme“ tuto pušku. Zmáčkneme-li spoušť uvolníme
pružinu a ta koná práci vystřelením broku. To je typický příklad uvolnění tzv. elastické
energie. Elastickou energii, jinak řečeno potenciální energii pružnosti, mají všechna pružně
deformovaná tělesa.
Potenciální energii pružnosti stanovujeme pomocí práce, kterou vykonají vnější síly při
deformaci tělesa.
Všimneme si velice častého případu deformace pružiny. Síla stlačující (natahující) pružinu je
úměrná deformaci F = k s.
Deformací (deformační dráhou)
rozumíme vzdálenost o kterou
byla pružina prodloužena (resp.
zkrácena). Vnější síla tak po
deformační dráze s vykoná
práci, kterou jsme již graficky
stanovovali v kapitole 1.4.1.
Podle obrázku, viz. obr. 67 je
práce dána obsahem
vybarveného trojúhelníku
vztahem W = ½ k s2
. Tato práce
se rovná potenciální energii
pružnosti W = Ep.
obr. 67
Potenciální energie pružnosti je dána tuhostí pružiny k a čtvercem deformační dráhy s.
2
2
1
skEp =
Tuhost pružiny je materiálová konstanta, která vyjadřuje elastické vlastnosti pružiny a má
jednotku N.m-1
.
81
Ale vraťme se ještě k příkladu padajícího květináče. Vysvětleme si, proč jsou účinky v obou
případech různé. Necháme spadnout květináč z parapetu do místnosti. Květináč má tíhovou
potenciální energii vůči podlaze m g h1 a začne padat vlivem tíhové síly. Tíhová síla koná
práci po délce h1. Tato práce se změnila na kinetickou energii. Po dopadu na podlahu se celá
tíhová potenciální energie přemění na kinetickou energii. Padá-li květináč z okna, opět se
tíhová potenciální energie mění na energii pohybovou. Teď však určujeme potenciální energii
vůči Zemi, výška h2 je podstatně větší než h1. Potenciální energie květináče vůči Zemi je tedy
také větší než vůči podlaze v místnosti. Protože se mění větší potenciální energie, bude i
kinetické energie květináče větší. To znamená, že bude větší i jeho dopadová rychlost a s tím
související jeho hybnost.
Na případu květináče jsme si vlastně vysvětlili důležitý fyzikální zákon, zákon zachování
mechanické energie. Popišme si, co se vlastně děje při pádu květináče poněkud „fyzikálněji“.
Vyjdeme z obrázku, viz. obr. 70. Tíhová potenciální energie Epo tělesa hmotnosti m je v bodě
A rovna m g ho (vůči Zemi). Je-li těleso v klidu, jeho kinetická energie je nulová Eko = 0.
V bodě B se potenciální energie snížila o m g h1 na hodnotu m g h. Současně ale těleso získalo
kinetickou energii ½ m v2
. A konečně ve spodním bodě C je potenciální energie tělesa nulová
Ep = 0 a jeho kinetická energie je 2
2
1
kk vmE = .
obr. 70
Z předešlého si můžeme vyvodit závěr, že při volném pádu se celková mechanická energie
tělesa podél celé trajektorie nemění. Dokonce lze experimenty dokázat, že platí obecnější
zákon zachování mechanické energie:
Při všech mechanických dějích se mění potenciální energie v kinetickou energii a
naopak. Celková mechanická energie v izolované soustavě se zachovává.
Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2 = konst.
Je třeba zdůraznit, že tento zákon platí pouze v izolované soustavě těles. Nemohou zde
působit síly zvnějšku. Například při volném pádu jsme neuvažovali odpor prostředí.
Těleso hmotnosti 1 kg padá z výšky 45 m. Jaké budou potenciální a
kinetická energie a) na počátku pohybu, b) po jedné sekundě a c) po třech
sekundách pádu?
82
Označíme si hmotnost tělesa m = 1 kg, výšku h = 45 m, časy t0 = 0, t1 = 1 s, t3 = 3 s, hledáme
energii kinetickou Ek a energii tíhovou potenciální Ep. Budeme počítat pro tíhové zrychlení g
= 10 m.s-2
.
ad a) Ve výšce h bude mít těleso vůči povrchu Země potenciální energii Epo = m g h = 1.10.45
= 450 J. Předpokládáme, že těleso pouze upustíme, tedy jeho počáteční rychlost je nulová a
tedy i kinetická energie bude nulová. Jeho celková energie je Ec = Epo + Eko = 450 J.
ad b) Na konci prvé sekundy urazí těleso dráhu s1 = ½ g t1
2
= 0,5.10.12 = 5 m a bude mít
rychlost v1 = g t1 = 10.1 = 10 m/s. Potenciální energie vůči povrchu Země tedy bude Ep = m g
(h - s1) = 1.10.(45 - 5) = 400 J. Kinetická energie bude Ek = 0,5.m.v1
2
= 0,5.1.102
= 50 J.
Součet obou energií je roven celkové energii a bude zase 450 J.
ad c) Na konci třetí sekundy urazí těleso dráhu s3 = ½ g t3
2
= 0,5.10.32
= 45 m a bude mít
rychlost v3 = g t3 = 10.3 = 30 m/s. Potenciální energie vůči povrchu Země tedy bude Ep = m g
(h - s3) = 1.10.(45 - 45) = 0 J. Těleso v tomto okamžiku dopadne na povrch Země. Kinetická
energie bude Ek = 0,5.m.v3
2
= 0,5.1.302
= 450 J.
Vraťme se ještě k tomuto řešenému příkladu. Poněkud si změníme situaci.
Těleso nepadá z výšky 45 m, ale klouže z této výšky bez tření po
nakloněné rovině se sklonem 30o
, viz. obr. 72.
obr. 72
Zase budeme hledat potenciální tíhovou a kinetickou energii podél dráhy tělesa. Začneme
v bodě A, tedy na počátku pohybu. Stejně jako v případu volného pádu, bude zde kinetická
energie nulová EkA = 0. Potenciální polohová energie zde bude maximální EpA = m g h.
Celková mechanická energie tělesa je EcA = EkA + EpA = m g h.
Přejdeme do bodu B do kterého dorazí těleso za čas t. Energie počítáme úplně stejným
způsobem jako v řešeném případě. Pouze si musíme uvědomit, že na nakloněné rovině
způsobuje pohyb jen složka tíhové síly F = FG sinα = m g sinα.
Za čas t urazí těleso dráhu stB = ½ g sinα t2
a bude mít rychlost vtB= g sinα t. V tomto čase
bude potenciální energie tělesa EpB = m g ht = m g (stB sinα). Dosadíme-li za dráhu stB ,
dostaneme pro potenciální tíhovou energii výraz EpB = m g h – m g ½ g sinα t2
.
Kinetická energie tělesa je EkB = ½ m vtB
2
= ½ m (g sinα t)2
= ½ m g2
sin2
α t2
. Sečteme-li teď
obě mechanické energie v bodě B, dostaneme výraz EcB = EkB + EpB = m g h. = EcA.
83
A konečně se podívejme na koncový bod dráhy C. Potenciální energie tělesa vůči Zemi zde
bude nulová EpC = 0. Kinetická energie se vypočítá ze vztahu EkC = ½ m vC
2
. Konečnou
rychlost si musíme stanovit. Do vztahu pro rychlost potřebujeme znát čas, který těleso
potřebuje k uražení celé dráhy. Čas si určíme právě ze známé dráhy sC = ½ (g sinα) tC
2
.
Z tohoto vztahu vyplývá pro hledaný čas vztah
αα 2
sin
2
sin
2
g
h
g
s
t C
C == . Dosadíme tento
čas do rovnice pro rychlost
α
α 2
sin
2
sin
g
h
gvC = , a rychlost pak do vztahu pro hledanou
kinetickou energii. Po úpravě výsledného výrazu dostaneme zase EkC = m g h. V dolním bodě
dráhy je kinetická energie tělesa rovna potenciální energii na počátku dráhy EkC = EpA = Ec.
Proč jsme tak důkladně rozebírali tento příklad? Výpočty mechanických energií se zde
prováděly pomocí vzorců z kinematiky. To vedlo ke zdlouhavým výpočtům. Pokud ale máme
určit jen hodnoty energií, často dostačuje vycházet ze zákona zachování energie a výpočty se
podstatně zjednoduší. Kdybychom měli například stanovit v našem případě konečnou rychlost
vC v bodě C. Vyjdeme ze zákona zachování energie, energie si stanovíme nahoře v bodě A a
dole v bodě C. Bude platit EcA = EcC , tedy m g h = ½ m vC
2
.
Vyjádříme si z této rovnice konečnou rychlost hgvC 2= . Po dosazení
3045.10.2 ==Cv m.s-1
.
A do třetice se vrátíme k řešenému příkladu. Zopakujme si jaké problémy jsme řešili.
• Nejdříve jsme uvažovali volný pád tělesa a vyšetřovali jsme přeměnu jedné formy
mechanické energie (potenciální tíhové) v druhou formu (kinetickou energii).
• V druhém případě se těleso pohybovalo po nakloněné rovině bez tření. Opět se původní
tíhová potenciální energie měnila postupně v energii kinetickou.
V obou případech se jednalo o uzavřenou (izolovanou) soustavu skládající se ze Země a
vyšetřovaného tělesa. Uvnitř soustavy působila tíhová síla – říkáme jí vnitřní síla soustavy.
Na soustavu nepůsobily žádné vnější síly Fext. V našem případě vnějšími silami mohou být
odporové síly jako je tření, odpor vzduchu apod.
V této izolované soustavě platí: Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2 = konst.. Matematické znění tohoto
zákona zachování energie si můžeme také zapsat jako ∆E = 0.
• V posledním případě jsme uvažovali, že na soustavu působí vnější síly. Tělesu brání ve
volném pádu odporová síla vzduchu. Pohybuje-li se těleso po nakloněné rovině, pak působí
třecí síla atp. To prakticky znamená, že například při pohybu po nakloněné rovině se část
celkové energie soustavy spotřebuje na práci třecích sil, případně na práci nutnou k překonání
odporu vzduchu. Dochází ke změně celkové mechanické energie soustavy ∆E ≠ 0.
Změna mechanické energie soustavy je dána prací vnějších sil.
∆E = Fext s = Wext.
Vraťme se ještě naposled k příkladu tělesa hmotnosti 1 kg pohybujícího se
z výšky 45 m. Bude se pohybovat po nakloněné rovině o úhlu 30o
, tentokrát
se třením. Koeficient smykového tření bude 0,3. Máme určit rychlost tělesa
na konci nakloněné roviny.
84
Těleso v horním bodě bude mít nulovou kinetickou energii EkA = 0. Jeho celková energie bude
rovna potenciální tíhové energii EpA = m g h = 1.10.45 = 450 J.
Když se těleso pohybovalo bez tření, byla jeho celková energie v dolním bodě C rovna
kinetické energii. Ze zákona zachování energie vyplývalo m g h = ½ m vC
2
.
Ale my teď uvažujeme tření. Dochází tedy ke změně celkové energie, ve spodním bodě bude
celková energie menší o vykonanou práci třecích sil . To si můžeme vyjádřit obecným
vztahem:
∆E = EcA – EcC = Wext.
V našem případě bude platit, dosadíme-li za práci třecích sil výraz f m g cosα.
m g h - ½ m vC
2
= f m g cosα.
Hledaná rychlost je tedy dána vztahem:
( ) ( ) 9,2930cos.10.3,045.102cos2 =−=−= αgfhgvC m.s-1
Rychlost na konci nakloněné roviny bude poněkud menší, než v ideálním případě pohybu bez
tření (30 m.s-1
).
KO1.4.3-17. Těleso hmotnosti m bylo vrženo v gravitačním poli Země svisle
vzhůru počáteční rychlostí vo. V nejvyšším bodě své dráhy má těleso:
a) jen energii kinetickou
b) jen energii potenciální
c) jak kinetickou, tak potenciální energii.
KO1.4.3-18. Těleso hmotnosti m bylo vrženo v gravitačním poli Země šikmo vzhůru
počáteční rychlostí vo pod elevačním úhlem α. V nejvyšším bodě své dráhy má těleso:
a) jen energii kinetickou
b) jen energii potenciální
c) jak kinetickou, tak potenciální energii.
KO1.4.3-19. Kámen tíhy 20 N byl vržen svisle vzhůru v gravitačním poli Země počáteční
rychlostí 4 m/s. Odpor prostředí neuvažujeme. Jak velkou energii má kámen v nejvyšším bodě
své dráhy?
KO1.4.3-20. Kyvadlo prochází rovnovážnou polohou rychlostí v. Odpor prostředí
neuvažujeme. Do jaké výšky h vystoupí? , viz. obr. 71.
obr. 71
85
KO1.4.3-21. Ve vagónu, který jede po přímé trati rychlostí 6 m/s, bylo vrženo ve směru jízdy
těleso o hmotnosti 2 kg rychlostí 4 m/s vzhledem k vagónu. Jakou kinetickou energii má
těleso vzhledem k vagónu?
a) 32 J b) 16 J c) 8 J d) 4 J
KO1.4.3-22. Ve vagónu, který jede po přímé trati rychlostí 6 m/s, bylo vrženo ve směru jízdy
těleso o hmotnosti 2 kg rychlostí 4 m/s vzhledem k vagónu. Jakou kinetickou energii má
těleso vzhledem k povrchu Země?
a) 100 J b) 52 J c) 36 J d) 16 J
KO1.4.3-23. Vodorovná deska stolu je ve výšce 0,8 m nad podlahou místnosti. Na stole leží
kulička o hmotnosti 0,2 kg. Jakou tíhovou potenciální energii má kulička vzhledem k podlaze
místnosti? Počítejte s g = 10 m.s-2
.
a) 0,4 J b) 1,6 J d) 2 J d) 4 J
KO1.4.3-24. Vodorovná deska stolu je ve výšce 0,8 m nad podlahou místnosti. Na stole leží
kulička o hmotnosti 0,2 kg. Jakou práci vykonáme, zvedneme-li kuličku rovnoměrným
pohybem do výšky 0,2 m nad desku stolu? Počítejte s g = 10 m.s-2
a) 0,4 J b) 1,6 J d) 2 J d) 4 J
U1.4.3-25. Kabina výtahu o hmotnosti 400 kg vyjede ze třetího do pátého
poschodí. O jakou hodnotu se zvětší tíhová potenciální energie kabiny?
Jakou užitečnou práci přitom vykoná motor výtahu? Výška jednoho
poschodí je 5 m.
U1.4.3-26. Automobil jedoucí rychlostí 25 km/h zvětšil při výjezdu na
dálnici rychlost na 75 km/h. Kolikrát se zvětšila jeho kinetická energie?
U1.4.3-27. Těleso o hmotnosti 10 kg je zvednuto do výšky 1 m nad stůl rovnoměrným
pohybem po šikmé dráze, která svírá se svislým směrem úhel 60o
. Určete jakou polohovou
energii těleso získá vzhledem k vodorovné desce stolu.
U1.4.3-28. Těleso hmotnosti 100 kg je přeneseno z místa A do místa B po vyznačené dráze
podle obrázku, viz. obr.75, neuvažujeme žádné odporové síly. Jaká byla vykonána práce?
obr. 75
86
1. Mechanická práce W je práce složky síly ve směru pohybu.
Mechanická práce W vykonaná silou F při přemisťování tělesa je úměrná velikosti této síly
F, dráze s, o kterou se těleso přemístí a úhlu α, který svírá síla s trajektorií pohybu. W = F
s cosα.
Jednotkou práce je joule, J = kg.m2
.s-2
.
Mechanickou práci můžeme určovat graficky z diagramu F = f(s).
2. Výkon vyjadřuje „jak rychle se práce koná“.
Výkon P je podíl vykonané práce ∆W a doby ∆t , za kterou byla vykonána.
t
W
P
∆
∆
= .
Jednotkou výkonu je watt, W = J/s = kg.m2
.s-2
.
Okamžitý výkon je možné vyjádřit pomocí působící síly F a získané rychlosti v.
vFP = .
Příkon Po je podíl dodané energie ∆ E a doby ∆ t po kterou energii dodáváme.
t
E
Po
∆
∆
= .
Účinnost η je podíl výkonu P a příkonu Po.
oP
P
=η .
Účinnost je bezrozměrná veličina.
3. Kinetická energie Ek tělesa je přímo úměrná jeho hmotnosti m a druhé mocnině jeho
rychlosti v. 2
2
1
vmEk = .
Jednotkou je joule.
4. Tíhová potenciální energie Ep tělesa hmotnosti m ve výšce h nad povrchem Země je
přímo úměrná jeho hmotnosti, tíhovému zrychlení g a výšce h. hgmEp = .
Jednotkou je joule.
Tíhová potenciální energie tělesa závisí na volbě vodorovné roviny, vůči které ji
stanovujeme.
5. Potenciální energie pružnosti je dána tuhostí pružiny k a čtvercem deformační dráhy s.
2
2
1
skEp = .
Tuhost pružiny je materiálová konstanta a má jednotku N.m-1
.
87
6. Při všech mechanických dějích se mění potenciální energie v kinetickou energii a naopak.
Celková mechanická energie v izolované soustavě se zachovává. Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2 =
konst.
7. Změna mechanické energie soustavy je dána prací vnějších sil. ∆E = Fext s = Wext.
87
1.5 Gravitační pole
Není třeba na úvod této kapitoly uvádět praktický příklad působení gravitace na hmotná
tělesa. Každý jsme již upadli, nebo nám něco spadlo na zem.
Této problematiky jsme se již dotkli v dynamice, hlavně v kapitole tíhová síla a tíha tělesa.
V následující krátké kapitole se na příčinu našich „pádů“ podíváme podrobněji.
Kinematika hmotného bodu, dynamika
Odhadovaný čas je 90 minut
1.5.1 Newtonův gravitační zákon
1. Osvojit si poznatek o vzájemném přitahování hmotných objektů.
2. Znát vztah pro velikost gravitační síly.
3. Umět definovat gravitační pole.
4. Umět vypočítat gravitační síly i jiných polí než v gravitačním poli Země.
Dříve, než si vyslovíme Newtonův gravitační zákon si musíme vysvětlit
pojem gravitační síla a gravitační pole.
Z vlastní zkušenosti víme, že všechna tělesa jsou přitahována Zemí. Na
tato tělesa působí Země gravitační silou Fg. Prosím nezaměňovat
s tíhovou silou FG, rozdíl si vysvětlíme dále. Důležité je, že gravitační síla
působí na všechna hmotná tělesa na i nad povrchem Země. V okolí Země existuje gravitační
pole.
Gravitační pole tělesa je prostor v jeho okolí, ve kterém se projevují účinky gravitační
síly na jiná hmotná tělesa.
Gravitační pole Země samozřejmě není jediným existujícím gravitačním polem. Své
gravitační pole má Měsíc, Slunce, ale i člověk nebo dřevěná bedna zkrátka každé těleso.
88
Jsme-li v gravitačním poli Země, je současně i Země v našem gravitačním poli. Působí-li
Země na nás gravitační silou, působíme i my na Zemi gravitační silou a to stejně velikou.
(Newtonův zákon akce a reakce). Gravitační silové působení mezi tělesy je vzájemné.
Takže jsme si řekli, co je to gravitační pole, co je gravitační síla a teď nezbývá než si velikost
této síly vyjádřit. To už provedl před staletími Isaac Newton, když vyslovil Newtonův
gravitační zákon.
Dvě tělesa se vzájemně přitahují gravitační silou Fg, jejíž velikost je přímo úměrná
součinu jejich hmotností m1, m2 a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti r,
viz. obr. 76.
obr.76
2
21
r
mm
Fg κ=
Konstanta úměrnosti κ (kappa) je gravitační konstanta, κ = 6,67.10-11
N.m2
.kg-2
.
Gravitační konstanta je univerzální konstanta platná v celém Vesmíru. Tato konstanta
nezávisí na prostředí v okolí tělesa, jehož působení sledujeme.
Gravitační síla Fg mezi dvěma tělesy působí nezměněná, i když v okolí obou těles jsou jiné
hmotné objekty. Stejná gravitační síla na nás působí venku na chodníku, ale i uvnitř
uzavřeného masivního betonového bunkru.
A ještě jeden fakt si musíme zdůraznit. Ačkoliv Newtonův gravitační zákon platí přesně jen
pro hmotné body, můžeme ho použít i na reálné předměty. Vzdáleností r je v tomto případě
vzdálenost jejich středů.
Vypočítejte, jakou gravitační silou se přitahují a) dva lidé o hmotnostech 80
kg, b) Země a Měsíc.
Ad a) Dosadíme do gravitačního zákona
7
2
11
2
21
10.2,4
1
80.80
10.67,6 −−
===
r
mm
Fg κ N. To je prakticky nezměřitelná
síla.
Ad b) Opět dosadíme do gravitačního zákona
89
( )
20
28
2224
11
2
21
10.2
10.8,3
10.4,7.10.6
10.67,6 === −
r
mm
Fg κ N. To odpovídá přibližně tíze
1000000000000 letadlových lodí o výtlaku 20 000 tun.
Řešeným příkladem jsme chtěli ukázat, že gravitační síla se prakticky projevuje pouze u těles
velkých hmotností.
KO1.5.1-1. Dva hmotné body, z nichž každý má hmotnost m, se vzájemně
přitahují ze vzdálenosti r silou 36 N. Jak velkou silou se tyto body přitahují ze
vzdálenosti r/2 ?
KO1.5.1-2. Dva hmotné body, z nichž každý má hmotnost m, se vzájemně
přitahují ze vzdálenosti r silou 36 N. Jak velkou silou se tyto body přitahují,
změní-li se hmotnost každého z nich na 2 m?
U1.5.1-3. Satelit obíhá kolem Země po kruhové dráze o poloměru 6,6.103
km měřeno od jejího středu. Jakou musí mít rychlost aby se na této dráze
udržel? Počítejte s hmotností Země 6.1024
kg.
U1.5.1-4. Jak velkou silou působí Měsíc na 1 m3
mořské vody o hustotě 1
030 kgm-3
? Které jevy v důsledku tohoto působení Měsíce pozorujeme?
1.5.2 Gravitace v okolí Země
1. Vědět, že gravitační síla Fg uděluje tělesům v okolí Země zrychlení ag.
2. Znát vztah pro velikost gravitačního zrychlení.
3. Znát přibližnou hodnotu gravitačního zrychlení na povrchu Země.
4. Umět vypočítat ag a Fg v dané výšce h nad povrchem Země.
5. Rozlišit gravitační a tíhovou sílu, zdůvodnit čím se liší.
6. Vědět, že tíhová síla uděluje tělesům při povrchu Země zrychlení tíhové zrychlení g .
7. Vědět, proč velikost tíhového zrychlení závisí na zeměpisné šířce a nadmořské výšce.
8. Znát přibližnou hodnotu tíhového zrychlení v naší zeměpisné šířce.
Zjednodušíme si situaci. Předpokládejme, že Země je homogenní koule o
hmotnosti M a poloměru R = 6 371 km. Pak Newtonův gravitační zákon
přepíšeme do tvaru :
2
r
mM
Fg κ= .
90
Tento vztah určuje gravitační sílu, kterou Země působí na těleso hmotnosti m ve vzdálenosti r
≥ R od středu Země, viz. obr. 78.
obr. 78
Použijeme-li Newtonův zákon síly F = ma, můžeme napsat pro gravitační sílu vztah Fg = m
ag. Symbolem ag jsme si označili gravitační zrychlení. Dosadíme-li do tohoto vztahu za
gravitační sílu z gravitačního zákona, dostaneme pro gravitační zrychlení výraz:
2
r
M
ag κ= .
Gravitační zrychlení podle tohoto vztahu bude záviset na výšce h = r – R tělesa nad Zemí.
V tabulce závislosti gravitačního zrychlení na výšce se můžete podívat, jak výrazně se mění
gravitační zrychlení se vzdáleností od povrchu Země.
A teď si konečně vysvětlíme rozdíl mezi gravitačním zrychlením ag a tíhovým zrychlením g.
Zůstaňme na Zemi. Podle Newtonova gravitačního zákona na libovolné těleso na Zemi působí
gravitační síla Fg = m ag . Ve skutečnosti, ale na těleso působí tíhová síla FG = m g.
Velikosti tíhové a gravitační síly Země se liší a to z následujících důvodů:
Gravitační síla závisí na vzdálenosti tělesa od středu Země. Ale země není dokonalá
koule, je to elipsoid zploštěný na pólech. Tíhové zrychlení roste směrem od rovníku k pólu –
mění se se zeměpisnou šířkou.
Hustota Země se mění v jednotlivých oblastech pod povrchem Země. Proto také
tíhové zrychlení je různé v různých místech Země.
Největší vliv má ale rotace Země. Podíváme-li se na obrázek, viz. obr. 77, vidíme, že
na těleso na povrchu země působí gravitační síla Fg. Ale protože Země rotuje, působí na toto
těleso i odstředivá síla rmFo
2
ω= . Úhlová rychlost rotace Země je na všech zeměpisných
šířkách stejná, ale poloměr otáčení r <R se směrem od rovníku (r = R) zmenšuje. Výsledná
tíhová síla působící na těleso je dána vektorovým součtem gravitační a odstředivé síly.
91
obr. 77
Určete rozdíl mezi gravitačním a tíhovým zrychlením na rovníku. Uvažujte
jen vliv rotace Země.
Uvažujme těleso hmotnosti m. Na rovníku je jeho gravitační zrychlení
(tabulka závislosti gravitačního zrychlení na výšce) ag = 9,83 m.s-2
. Velikost
setrvačné odstředivé síly bude na rovníku R
T
mRmFo
2
2 2






==
π
ω , kde T
= 24 h je doba jednoho oběhu Země.
Tíhová síla bude rovna gravitační síle zmenšené o odstředivou sílu:
( )
8,9.10.371,6
60.60.24
2
83,9
2 6
2
22
mmR
T
mamFFF gogG =







−=





−=−=
ππ
N. Je tedy
tíhové zrychlení na rovníku g = 9,8 m.s-2
.
Z řešeného příkladu je vidět, že rozdíl mezi tíhovým a gravitačním
zrychlením není velký. Na rovníku je tento rozdíl vlivem rotace 0,03 m.s-2
,
postupně klesá k pólu, kde je nulový. Přihlédneme-li k jiným dříve
popsaným vlivům, je ve skutečnosti naměřené tíhové zrychlení na rovníku
9,78 m.s-2
. Z toho všeho je vidět, že pro praktické orientační výpočty není
třeba k těmto odchylkám přihlížet, běžně se počítá s hodnotou tíhového
zrychlení g = 9,81 m.s-2
, případně 10 m.s-2
.
U1.5.2-5. Určete hmotnost Marsu, jestliže gravitační zrychlení na Marsu
při jeho povrchu má velikost 3,63 N.kg-1
a jeho poloměr je 3 400 km.
92
1.5.3 Pohyb těles v blízkosti povrchu Země
1. Osvojit si poznatek, že volný pád je pohyb v homogenním tíhovém poli
Země s nulovou počáteční rychlostí.
2. Vědět, že vrhy těles jsou pohyby složené z rovnoměrného přímočarého
pohybu rychlostí vo a volného pádu.
3. Rozlišit podle směru počáteční rychlosti vrh svislý vzhůru (dolů),
vodorovný a šikmý.
V této kapitole si budeme všímat pohybu těles v tíhovém poli Země.
Omezíme se na pohyby, jejichž dráha je krátká vzhledem k rozměrům
Země. Půjde tedy například o výkop balónu na hřišti, již zmiňovaný pád
květináče z okna, ale ne o vystřelenou orbitální raketu.
Postupně podle jednoduchosti se budeme zabývat volným pádem, vrhem
svislým vzhůru a šikmým vrhem. Všechny případy budeme řešit za zjednodušených
podmínek. Budeme uvažovat pouze působení jediné síly tj. tíhové síly a zanedbávat odporové
síly (odpor vzduchu apod.).
• Volný pád
O volném pádu jsme již hovořili v kinematice v kapitole
1.2.3.5 Volný pád, a tak si teď pouze zopakujeme závěry
této kapitoly.
Na těleso padající volným pádem působí tíhová síla FG,
viz. obr. 79. Volný pád je pohyb rovnoměrně zrychlený
charakterizovaný tíhovým zrychlením g. Rychlost a dráha
volného pádu jsou popsány rovnicemi:
v = g t, s = ½ g t2
.
obr. 79
Všimněte si, že rychlost ani dráha nezávisí na hmotnosti tělesa. To bude platit i pro
následující vrhy.
• Vrh svislý vzhůru
Řekneme-li „vrh“, rozumíme tím, že se jedná o pohyb, který si můžeme představit složený
z více pohybů. Prvním pohybem je pohyb, kdy tělesu udělíme počáteční rychlost vo. Těleso
by se pohybovalo rovnoměrně přímočarým pohybem ve směru rychlosti. Druhým pohybem je
pohyb pod vlivem tíhové síly, tedy volný pád. O jaký vrh konkrétně půjde záleží na vzájemné
orientaci počáteční rychlosti a orientaci tíhové síly. Jednotlivé druhy vrhů si můžete
prohlédnout na obrázku, viz. obr. 80.
93
obr. 80
Pro svislý vrh vzhůru je charakteristické, že
počáteční rychlost a tíhová síla jsou opačně
orientované, viz. obr. 81. Výsledný pohyb je
pohyb rovnoměrně zpomalený s počáteční
rychlostí vo a zrychlením (– g).
obr. 81
Použijeme-li vztahů pro rychlost a dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu z kinematiky,
dostaneme pro rychlost a výšku tělesa v čase t rovnice:
)
v = vo – g t , h = vo t – ½ g t2
.
94
• Vodorovný vrh
U vodorovného vrhu je počáteční rychlost orientována vodorovně (ve směru osy x) a tíha
působí ve směru svislém (- y), viz. obr. 82. Složením rovnoměrného přímočarého pohybu ve
směru x a volného pádu ve směru y vznikne křivočarý pohyb. Trajektorií tohoto pohybu je
část paraboly s vrcholem v místě vrhu A.
obr. 82
Pokud nás zajímá, kde bude vržené těleso za čas t (bod B), pak si stanovíme jeho souřadnice.
Souřadnice x bude dráhou pohybu rovnoměrného s počáteční rychlostí vo, jeho souřadnice y je
dána dráhou volného pádu za čas t.
)
x = vo t, y = h – ½ g t2
.
Určete, kam až dohodíte kámen hmotnosti 0,5 kg z věže vysoké 20 m?
Počáteční rychlost vašeho vrhu bude 5 m.s-1
.
Hledáme vzdálenost d bodu D z obrázku, viz. obr. 82. Této vzdálenosti se
říká délka vrhu. Co vlastně známe? V prvé řadě máme zadanou počáteční
rychlost vo = 5 m.s-1.
. Tu použijeme pro výpočet vzdálenost d, vlastně x-ové
souřadnice hledaného bodu, d = vo t.
Neznáme však čas, za který kámen do bodu D dopadne. Ten získáme z rovnice pro y-ovou
souřadnici bodu D. Tato souřadnice je rovna nule. Protože víme z jaké výšky h byl kámen
hozen, máme v rovnici pro y pouze jednu neznámou a to hledaný čas t. V našem případě platí
0 = h – ½ g t2
.
Z poslední rovnice vyjádříme čas t a ten dosadíme do rovnice pro hledanou délku vrhu.
Dostaneme vztah
10
10
20.2
5
2
===
g
h
vd o m.
95
Kámen dopadne do vzdálenosti 10 m od paty věže.
• Vrh šikmý vzhůru
Tento vrh se liší od předešlého tím, že počáteční rychlost nesměřuje
vodorovně, ale pod úhlem α šikmo vzhůru, viz. obr. 83. Tomuto úhlu
říkáme elevační úhel. Jinak ale budeme postupovat téměř stejně jako
v předešlém případu. Tentokráte ale budeme skládat pohyby tři.
obr. 83
Prvním pohybem bude rovnoměrný pohyb ve směru osy x. Proti vodorovnému vrhu se ale
uplatní pouze složka počáteční rychlosti vx = vo cosα. Souřadnice x libovolného bodu dráhy B
bude
x = vo t cosα.
Ve směru osy y se těleso bude pohybovat vrhem svislým vzhůru. Tento pohyb je složen
z přímočarého rovnoměrného pohybu s počáteční rychlostí danou y-ovou složkou počáteční
rychlosti vy = vo sinα a z volného pádu. Souřadnice bodu B ve směru osy y v čase t tedy bude
dána vztahem
y = vo t sinα – ½ g t2
.
Délku vrhu stanovíme stejným postupem jako v případě vodorovného vrhu.
Souřadnice x a y zadávají parabolickou trajektorii. Uvažujeme-li působení odporové síly
(odpor vzduchu) pak parabola je mírně deformovaná, hovoříme o balistické křivce.
V následujících testových otázkách a úlohách počítejte s gravitačním
zrychlením g = 10 m.s-2
KO1.5.3-6. Těleso padá volným pádem z výšky 40 m. Odpor prostředí
neuvažujte. Určete jeho okamžitou rychlost na konci druhé sekundy od
začátku pohybu.
KO1.5.3-7. Těleso padá volným pádem z výšky 40 m. Odpor prostředí neuvažujte. Určete
čas, za který těleso dopadne na podložku.
96
KO1.5.3-8. Těleso padá volným pádem z výšky 50 m. Odpor prostředí neuvažujte. Určete
dráhu, kterou těleso urazí za první tři sekundy svého pohybu.
KO1.5.3-9. Těleso je vrženo v tíhovém poli Země svisle vzhůru a vystoupí do výše 10 m,
odpor prostředí neuvažujte. Jakou počáteční rychlostí bylo těleso vrženo?
KO1.5.3-10. Těleso je vrženo v tíhovém poli Země svisle vzhůru počáteční rychlostí vo,
odpor prostřední neuvažujte. Do jaké výšky těleso vystoupí?
KO1.5.3-11. Těleso je vrženo v tíhovém poli Země počáteční rychlostí vo pod elevačním
úhlem α, odpor prostředí neuvažujte, viz. obr. 86. Souřadnice rychlosti tělesa v libovolném
bodě A jeho dráhy jsou:
a) vx = vo sinα vy = vo cosα - g t
b) vx = vo cosα vy = vo sinα - g t
c) vx = vo cosα vy = vo sinα
d) vx = vo sinα - g t vy = vo cosα
obr. 86
KO1.5.3-12. Těleso je vrženo v tíhovém poli Země počáteční rychlostí vo pod elevačním
úhlem α, odpor prostředí neuvažujte, viz. obr. 87. Souřadnice rychlosti tělesa ve vrcholu V
jeho dráhy jsou:
a) vx = 0 vy = vo sinα
b) vx = 0 vy = vo cosα
c) vx = vo cosα vy = 0
d) vx = vo sinα vy = 0
obr. 87
U1.5.3-13. Těleso bylo vrženo svisle vzhůru počáteční rychlostí 30 m/s.
Určete a) okamžitou rychlost tělesa za dobu 3 s od okamžiku vrhu, b)
výšku tělesa nad místem vrhu v tomto čase.
U1.5.3-14. Určete, jakou rychlostí byl vystřelen prakem kámen svisle
vzhůru, jestliže se vrátil za 8 sekund. Vypočítejte, jaké maximální výšky kámen dosáhl.
97
U1.5.3-15. Kámen vržený vodorovným směrem dopadl na vodorovný povrch Země ve
vzdálenosti d = 15 m od místa vrhu
za dobu 0,6 s od okamžiku vrhu,
viz. obr. 88. a) Jak velká byla
počáteční rychlost kamene a s jak
velkou rychlostí dopadl kámen na
Zem? b) Z jaké výšky h byl kámen
vržen?204)
obr. 88
U1.5.3-16. Z vrcholu věže 80 m vysoké je vrženo těleso vodorovným směrem počáteční
rychlostí 15 m/s. Za jakou dobu a v jaké vzdálenosti od paty věže dopadne těleso na
vodorovný povrch Země?
U1.5.3-17. Hasiči stříkají vodu pod úhlem 60o
do vzdálenosti 100 m. Jak velkou rychlostí
tryská voda z hadice?
1.5.4 Pohyb těles ve velkých výškách od povrchu Země
1. Vědět, jak závisí tvar trajektorie satelitu na jeho počáteční rychlosti.
2. Umět vypočítat první kosmickou rychlost.
Budeme se teď zajímat o výšky, ve kterých se pohybují různé družice,
kosmické sondy, planety apod. Otázka zní, proč některá tělesa, například
balistické rakety se vrátí z velkých výšek na Zemi. Jiná jako komunikační
družice obíhají kolem ní a kosmické sondy se od Země pořád vzdalují bez
možnosti návratu.
Musíme si uvědomit, za jakých podmínek se tyto objekty pohybují.
Zaprvé, ve velkých výškách (řádově stovky a tisíce kilometru) jsou gravitační síly Země
poměrně malé (tabulka závislosti gravitačního zrychlení na výšce). Zadruhé, v těchto výškách
je prakticky vakuum a proti pohybu nepůsobí odporové síly.
Omezíme si výpočty na minimum, výpočty drah kosmických sond zabírají super výkonným
počítačům NASA stovky hodin.
98
Představte si, že raketoplán vynesl kosmické těleso hmotnosti m do velké výšky, řekněme 400
km, viz. obr. 84. Raketoplán teď těleso vypustí ve směru tečném k povrchu Země s počáteční
rychlostí vo. Jak se bude kosmický objekt chovat závisí právě na této rychlosti. Budeme tuto
rychlost postupně zvětšovat.
obr. 84
Je-li počáteční rychlost:
• Nulová,satelit spadne na Zem (trajektorie 1).
• Malá, satelit s bude pohybovat po eliptické trajektorii a časem spadne na Zem (trajektorie
2).
• „Kritická“, satelit se bude zase pohybovat po eliptické trajektorii, ale na Zem již nespadne
(trajektorie 3).
• „Kruhová“, satelit se bude pohybovat po kruhové trajektorii kolem Země (trajektorie 4).
• „Eliptická“, satelit se bude pohybovat opět po eliptické trajektorii (trajektorie 5), Země
leží v jejím ohnisku.
• „Úniková“, satelit se odpoutá od gravitačního pole Země (trajektorie 6).
Fyzika by nebyla fyzikou bez nějakých výpočtů. Tak aspoň jeden. Vypočítáme si orientačně
velikost kruhové rychlosti vk. Aby se satelit pohyboval po kruhové dráze, musí být
v rovnováze síly, které na něj působí. Gravitační síla musí být stejně veliká jako setrvačná síla
odstředivá
r
vm
r
mM k
2
2
=κ a odtud
r
M
vk
κ
= .
Pokud bude družice obíhat nízko nad Zemí (r ≈ R), bude velikost kruhové rychlosti
9,71 ≈=
R
M
v
κ
km.s-1
. Této rychlosti se říká první kosmická rychlost.
Důležitá je i rychlost úniková. Na obrázku je trajektorie 6 parabolická. Aby kosmické těleso
bylo navedeno na tuto dráhu, musí získat tzv. parabolickou rychlost kp vv 2= . Pokud bude
kosmická sonda startovat z oběžné dráhy nízko nad Zemí (r ≈ R), pak parabolická rychlost
bude
99
2,112 12 == vv km.s-1
. To je tzv. druhá kosmická rychlost.
U1.5.4-18. Vypočítejte:
a) rychlost pohybu Měsíce kolem Země. Předpokládejte kruhovou
oběžnou dráhu.
b) dobu oběhu Měsíce kolem Země.
1.5.5 Keplerovy zákony
1. Znát slovní formulace tří Keplerových zákonů.
2. Diskutovat důsledky těchto zákonů.
Když už se zabýváme pohybem v kosmické oblasti, podívejme se ještě na
pohyb planet. Astronomové již od starověku zkoumali naši sluneční
soustavu a sledovali pohyby planet. Skutečně seriozně se tímto problémem
zabýval v 17. století Johannes Kepler. Ze svých pozorování vyvodil své tři
slavné zákony, nyní známé jako Keplerovy zákony.
1. Keplerův zákon. Planety se pohybují kolem Slunce po elipsách málo
odlišných od kružnic, v jejichž společném ohnisku je Slunce.
Kepler sice formuloval své zákony pro planety obíhající kolem Slunce, ale tyto zákony platí i
pro umělé družice a jiné objekty obíhající kolem Země.
Protože planety obíhají po elipsách, nebude jejich
pohyb rovnoměrný. I na to myslel Kepler a
zformuloval svůj další zákon.
2. Keplerův zákon. Obsahy ploch opsaných
průvodičem planety za stejnou dobu jsou stejné.
Pro vysvětlení tohoto zákona se obrátíme
k obrázku, viz. obr. 85. Nejdříve co je to průvodič?
Je to úsečka spojující planetu se Sluncem. Jak se
planeta otáčí kolem Slunce, mění se délka průvodiče. obr. 85
V obrázku je modře vyznačena plocha, kterou opíše průvodič za jednotku času. Z kinematiky
víte, že bod urazí za jednotku času dráhu rovnající se velikosti rychlosti (tak je vlastně
rychlost definována).
V našem obrázku tedy dráha s uzavírající podbarvené plochy je rovna velikosti rychlosti.
Z obrázku je vidět, že planeta se nejrychleji pohybuje v blízkosti Slunce (periheliu - přísluní)
a nejpomaleji v největší vzdálenosti od něj (aféliu – odsluní).
100
Pro Keplera již nebylo obtížné (jednoduchá matematika) vypočítat také jak závisí oběžná
doba planety na vzdálenosti od Slunce.
3. Keplerův zákon. Poměr druhých mocnin oběžných dob T dvou planet se rovná poměru
třetích mocnin délek hlavních poloos a jejich trajektorií.
3
2
3
1
2
2
2
1
a
a
T
T
=
U1.5.5-19. Vzdálenost Země od Slunce je 1 AU. Jaká je oběžná doba
Saturna, je-li jeho vzdálenost od Slunce 1,42.109
km?
1. Gravitační pole tělesa je prostor v jeho okolí, ve kterém se projevují účinky gravitační
síly na jiná hmotná tělesa. Gravitační silové působení mezi tělesy je vzájemné.
2. Newtonův gravitační zákon říká, že dvě tělesa se vzájemně přitahují gravitační silou Fg,
jejíž velikost je přímo úměrná součinu jejich hmotností m1, m2 a nepřímo úměrná druhé
mocnině vzdálenosti jejich středů r. 2
21
r
mm
Fg κ= , κ je gravitační konstanta.
3. Gravitační zrychlení ag v gravitačním poli Země ve výšce h nad povrchem je úměrné
hmotnosti Země M a nepřímo úměrné druhé mocnině vzdálenosti od středu Země r = R + h.
2
r
M
ag κ= .
4. Tíhová síla FG působící na těleso je odlišná od gravitační síly Fg. Tíhová síla je dána
součinem hmotnosti m tělesa a tíhového zrychlení. FG = m g, g ≈ 9,81 m.s-2
.
5. Volný pád je pohyb rovnoměrně zrychlený charakterizovaný tíhovým zrychlením g.
Rychlost a dráha volného pádu jsou popsány kinematickými rovnicemi.
6. Vrh svislý vzhůru je pohyb složený z rovnoměrného přímočarého pohybu s počáteční
rychlostí vo směřujícího vzhůru a z volného pádu. Rychlost a výška tohoto jsou popsány
kinematickými rovnicemi.
7. Vodorovný vrh je pohyb složený z volného pádu a z rovnoměrného přímočarého pohybu
s počáteční rychlostí vo ve směru kolmém na směr pádu. Trajektorií pohybu je část paraboly,
souřadnice jejich bodů jsou dány kinematickými rovnicemi.
8. Vrh šikmý vzhůru je pohyb složený z volného pádu a z rovnoměrného přímočarého
pohybu s počáteční rychlostí vo pod úhlem α. Trajektorií pohybu je část paraboly, souřadnice
jejich bodů jsou dány kinematickými rovnicemi.
101
9. Trajektorie satelitu závisí na jeho počáteční rychlosti. Rozlišujeme eliptické, kruhové a
parabolické trajektorie.
10. 1. Keplerův zákon. Planety se pohybují kolem Slunce po elipsách málo odlišných od
kružnic, v jejichž společném ohnisku je Slunce.
11. 2. Keplerův zákon. Obsah ploch opsaných průvodičem planety za stejnou dobu jsou
stejné.
12. 3. Keplerův zákon. Poměr druhých mocnin oběžných dob T dvou planet se rovná
poměru třetích mocnin délek hlavních poloos a jejich trajektorií. 3
2
3
1
2
2
2
1
a
a
T
T
=
102
1.6 Tuhé těleso
V předchozích kapitolách jsme se zabývali pohybem hmotného bodu (kinematika) a jeho
příčinou (dynamika). Často jsme nebyli příliš důslední. Třeba jsme počítali dráhu, rychlost a
zrychlení auta na silnici ale nebrali jsme v úvahu, že velký autobus není hmotným bodem
vzhledem třeba ke stometrové dráze. Při řešení většiny praktických problémů je toto
zjednodušení přijatelné.
Ne však vždy. Co když autobus havaruje a začne se kutálet ze svahu. Teď už těžko popíšeme
jeho pohyb jednoduchou rovnicí dráhy. Autobus se jednak pohybuje vpřed, ale také se otáčí,
zkrátka koná složitý pohyb. Pokud si všimnete důkladně tohoto pohybu, zjistíte, že různé části
autobusu se pohybují různou rychlostí, po odlišných trajektoriích. Někdy musíme opustit
zjednodušení hmotného bodu a zabývat se tělesem s nezanedbatelnými rozměry a určitého
tvaru.
Ale nebudeme si zase příliš komplikovat problém. Budeme se zabývat tzv. tuhým tělesem.
Tuhé těleso je ideální těleso, model tělesa. Jeho tvar ani objem se působením sil nemění.
Kinematika hmotného bodu, dynamika.
Odhadovaný čas je 90 minut.
1.6.1 Pohyb tuhého tělesa
1. Definovat tuhé těleso.
2. Charakterizovat postupný a otáčivý pohyb tuhého tělesa.
3. Definovat těžiště tělesa.
Tuhé těleso může konat dva základní druhy pohybů. Vlastně jsme si je
ukázali na příkladu havarovaného autobusu. Zaprvé může konat pohyb
posuvný (autobus jede po silnici). Zadruhé může konat pohyb otáčivý
103
(převrací se). A samozřejmě může vykonávat pohyb složený z těchto dvou pohybů (kutálí se,
valí se).
• Posuvný pohyb, někdy označovaný jako translační, vykonává těleso, které se po
trajektorii posunuje, viz. obr. 89. Důležité je, že všechny body tělesa mají v určitém čase
stejně velkou rychlost. Také směr okamžité rychlostí je stejný. Pozor, trajektorií může být
zcela obecná křivka (nejen přímka) a má pro všechny body tělesa stejný tvar.
Příkladem je náš autobus. Pokud se nedostane do smyku, karoserie, cestující i řidič se
pohybují stejnou rychlostí.
obr. 89
• Otáčivý pohyb, neboli rotační, koná těleso při otáčení kolem pevné osy otáčení o.
Při tomto pohybu všechny body tělesa opisují kružnice se středem na ose otáčení, viz. obr. 90.
Z obrázku vidíte, že obvodové rychlosti různých bodů tělesa závisí na vzdálenosti od osy
otáčení (vztah z kinematiky v = ωr ). Přece však všechny body tělesa mají něco společného, a
to je úhlová rychlost ω. Ve stejném čase opíší také stejnou úhlovou dráhu φ.
obr. 90
A zase jako příklad autobus. Rotačním pohybem se pohybují jeho kola je-li na zvedáku,
některé části jeho motoru atp.
104
Teď ale můžete namítnout, že kola autobusu se za jízdy jednak otáčejí, ale spolu s celým
autobusem se pohybují vpřed. Máte pravdu, kola za jízdy vykonávají složený pohyb.
• Složený pohyb je pohyb složený z posuvného a rotačního pohybu. Složený pohyb je
znázorněn na obrázku, viz. obr. 91. Těleso se pohybuje posuvným pohybem rychlostí v a
navíc se těleso otáčí úhlovou rychlostí ω kolem okamžité osy otáčení (její poloha se v čase
mění). U tohoto pohybu nenajdeme žádnou veličinu, která by pro všechny body tělesa
nabývala stejných hodnot.
obr. 91
Nenajdeme sice žádnou společnou fyzikální veličinu, ale můžeme si označit jeden význačný
bod. Podívejte se na obrázek, viz. obr. 92. Na obrázku jsou znázorněny jednotlivé fáze
pohybu cvičebního kužele (baseballové pálky chcete-li). Vidíte, že černý bod se pohybuje po
jednoduché trajektorii. Trajektorie ostatních bodů kužele jsou značně komplikovanější. Černý
bod se nazývá těžiště tělesa. Pohyb celého tělesa (kužele) si můžeme nahradit pohybem
těžiště T. Musíme si ale do těžiště soustředit veškerou hmotnost tělesa.
obr. 92
105
Těžiště tělesa je bod, který se pohybuje tak, jako by v něm byla soustředěna veškerá
hmotnost tělesa.
Těžiště se častěji definuje poněkud jinak. Představte si , že tuhé těleso je složené z velkého
počtu hmotných bodů. Například přepravní paleta s cihlami, nebo jděte ve své představivosti
dále. Každé těleso je složeno z atomů či molekul což jsou skutečně pro nás hmotné body. Ale
vraťme se raději k cihlám.
Na všechny hmotné body tělesa (cihly) působí v tíhovém poli Země tíhové síly FG1, FG2,
FG3,… FGn, viz. obr. 93. Tyto síly jsou rovnoběžné a mají stejný směr. Výslednicí všech
těchto tíhových sil působících na jednotlivé části tělesa je tíhová síla FG , kterou působí Země
na celé těleso (naloženou paletu). Působiště této síly je v těžišti tělesa.
obr.93
Těžiště tělesa je působiště výslednice všech tíhových sil působících na jednotlivé hmotné
body tvořící dané těleso.
KO1.6.1-1. Jaké je zrychlení a různých bodů tělesa pohybujícího se
posuvným pohybem?
KO1.6.1-2. U rotačního pohybu tělesa se některé body nepohybují. Které?
KO1.6.1-3. Z následujícího soupisu pohybů vyberte posuvné pohyby:
a) pohyb pístu v motoru auta,
b) pohyb řezného kotouče cirkulárky,
c) otevírání okna,
d) pohyb kola jedoucího automobilu
e) pohyb automobilu v zatáčce
f) pohyb Země kolem Slunce
KO1.6.1-4. Z následujícího soupisu pohybů vyberte otáčivé pohyby:
a) pohyb pístu v motoru auta,
b) pohyb řezného kotouče cirkulárky,
c) otevírání okna,
d) pohyb kola jedoucího automobilu
e) pohyb automobilu v zatáčce
f) pohyb Země kolem Slunce
106
KO1.6.1-5. Z následujícího soupisu pohybů vyberte složené pohyby:
a) pohyb pístu v motoru auta,
b) pohyb řezného kotouče cirkulárky,
c) otevírání okna,
d) pohyb kola jedoucího automobilu
e) pohyb automobilu v zatáčce
f) pohyb Země kolem Slunce
Válec poloměru R se valí po vodorovné rovině. Jeho těžiště se pohybuje
dopředu rychlostí vT. Úhlová rychlost rotace válce je ω. Jaké jsou rychlosti
obvodových bodů A, B, C a D?, viz. obr. 94. Řešte pouze graficky.
Zkuste si nejdříve vyřešit úlohu sami. Vycházejte z toho, že skládáte pohyb
posuvný a pohyb rotační kolem osy procházející těžištěm. Valení je složený
pohyb. Také rychlost jednotlivých bodů se bude skládat. Translační pohyb
přispěje rychlostí, která je rovna rychlosti těžiště vT. Druhou složkou výsledné rychlostí
v bude rychlost otáčivého pohybu vr = ω R. Obě složky musíme složit vektorově. Výsledná
rychlost bude obecně dána vztahem v = vT + vr. A teď bude záležet ve kterém bodě budeme
hledat výslednou rychlost. V každém z bodů A, B, C a D bude jiný směr rychlosti otáčivého
pohybu, viz. obr. 95.
obr. 94 obr. 95
107
1.6.2. Otáčivé účinky síly, moment síly
1. Vědět, že moment síly je příčinou změny pohybového stavu tělesa z
hlediska rotačního pohybu, stejně jako síla je příčinou změny pohybového
stavu tělesa při posuvném pohybu.
2. Vědět, na čem závisí otáčivý účinek síly.
3. Znát vztah M = F d = F r sinφ pro velikost momentu síly, vědět, co je
rameno síly d.
Snad každý učitel začíná výklad momentu síly příkladem otevírání dveří.
Tahá za kliku ve směru ležícím v rovině dveří (F1 na obrázku, viz. obr. 96)
a demonstruje, že takto sebe větší silou dveřmi nepohne. Postupně působí
svou silou F2 ve směru více a více odkloněném od roviny dveří, až
nakonec ukazuje ideální působení ve směru kolmém na rovinu dveří F3. Při
pokračování pokusu se pak přibližuje s působištěm síly k ose otáčení (ta
prochází panty dveří). Předvádí, že čím blíže je síla F4 ose otáčení, tím musí vynaložit větší
sílu k dosažení stejných otáčivých účinků. A pokus zpravidla končí působení síly v ose
otáčení – opět dveřmi nepohne.
obr. 96
Shrneme-li tento pokus pak dojdeme k závěru:
Otáčivý účinek síly působící na těleso závisí na velikosti síly, na jejím směru a orientaci a
na poloze jejího působiště.
To, co jsme si vyslovili si nyní zapíšeme pomocí rovnice. Otáčivý účinek síly si vyjadřujeme
veličinou moment síly vzhledem k ose otáčení M. Je to součin působící síly a ramena síly d.
M = F d
108
Rameno síly je kolmá vzdálenost vektorové přímky p síly od osy otáčení. To zní dosti
komplikovaně, raději se podívejte na vysvětlující obrázek, viz. obr. 97.
obr. 97
Pokud budeme působit na dveře silou v jiném směru než kolmém bude se vám těžko hledat a
odměřovat rameno síly. Proto je výhodnější vyjadřovat moment síly pomocí polohového
vektoru r působiště síly a úhlu φ. I tyto veličiny jsou na obrázku, viz. obr. 97.
Zkráceně můžeme moment síly vyjádřit jako „míru otáčivého účinku síly“ na těleso.
M = F r sin φ
Z tohoto vztahu vyplývá, že jednotkou momentu síly je newtonmetr (N.m).
Na tuhé těleso otáčivé kolem pevné (nehybné) osy může působit více sil s různými otáčivými
účinky. Je zřejmé, že momenty těchto sil se nějakým způsobem sčítají. Ale jakým?
Algebraickým nebo vektorovým? To záleží na tom, je-li moment síly skalár nebo vektor.
Roztáčíme-li kolo, bude záležet na tom, kterým směrem síla ruky působí. Podle toho se bude
kolo otáčet jedním nebo druhým směrem. Abychom vystihli směr otáčení, definuje se
moment síly jako vektor, jehož velikost je dána vztahem uvedeným o tři odstavce výše.
Směr a orientace tohoto vektoru je pak dán pravidlem pravotočivého šroubu. Otáčíme-li
šroubem proti směru hodinových ručiček, šroub se zavrtává směrem nahoru. Náš ilustrační
případ kola je znázorněn na obrázku, viz. obr. 106.
obr. 106
Výsledný moment sil současně působících na těleso je roven vektorovému součtu
momentů jednotlivých sil vzhledem k dané ose otáčení.
109
Prakticky mohou momenty jednotlivých sil působit ve směru s jednou nebo opačnou
orientací. Může dojít k situaci, že se otáčivé účinky jednotlivých sil navzájem vyruší. To
vyjadřuje tzv. momentová věta.
Otáčivý účinek sil působících na tuhé těleso se navzájem ruší, je-li vektorový součet momentů
všech sil vzhledem k dané ose roven nule.
Na koncích tyče délky 80 cm působí kolmo k tyči dvě rovnoběžné síly o
velikostech 50 N a 30 N, viz. obr. 107. Ve kterém místě musíte tyč podepřít,
aby se neotáčela? Jak velkou tlakovou silou působí tyč na podpěru?
Hmotnost tyče neuvažujte.
obr. 107
Označíme si veličiny symboly: F1 = 50 N, F2 = 30 N, d = 0,8 m, F = ?, d2 = ?
Velikost tlakové síly působící na podpěru tyče je rovna výslednici daných rovnoběžných sil:
F = F1 + F2 = 50 + 30 = 80 N.
Aby se tyč neotáčela, musí být výsledný moment obou sil nulový:
F1 d1 = F2 d2.
Ale my známe délku tyč, bude výhodnější dosadit za d2 = d - d1, tedy:
F1 d1 = F2 (d - d1),
a odtud hledaná vzdálenost:
==
+
=
80
8,0.30
21
2
1
FF
dF
d 0,3 m.
Tyč musíme podepřít ve vzdálenosti 30 cm od působiště větší síly. Tyč působí na podpěru
tlakovou silou 80 N.
KO1.6.2-6. Napište jednotku momentu síly v základních jednotkách soustavy
SI.
110
KO1.6.2-7. Kotouč o poloměru r je otáčivý kolem nehybné osy jdoucí jeho středem. Na
kotouč působí síly F1, F2, F3, které mají stejný směr i velikost, viz. obr. 104. Která síla má
na kotouč největší otáčivý účinek?
a) F1 b) F2 c) F3 d) všechny stejný
obr. 104
U1.6.2-8. Čtvercová
deska o straně a = 2 m je
otáčivá kolem pevné osy
o, viz. obr. 105. Ve
vrcholech A,B,D čtverce
působí síly F1 = F2 = F3 = 10 N. V bodě P,
který je středem úsečky OB, je působiště síly
F4 = 20 N. Jaké jsou velikosti momentů sil F1
až F4 vzhledem k dané ose?
obr. 105
U1.6.2-9. Čtvercová deska o straně a = 2 m je otáčivá
kolem pevné osy o, viz. obr. 108. Ve vrcholech B,D
čtverce působí síly F2 = F3 = 10 N. Jaká je velikost
momentu dvojice sil F2, F3?
obr. 108
111
1.6.3 Skládání sil působících na těleso
1. Složit síly působící na těleso v jednom bodě.
2. Umět graficky i početně složit různoběžné síly působící na těleso
v různých bodech.
3. Vypočítat výslednici rovnoběžných sil stejné i opačné orientace
působících v různých bodech tělesa. Umět vypočítat polohu jejího
působiště.
4. Definovat dvojici sil, uvést praktické příklady.
5. Vypočítat velikost momentu dvojice sil.
Skládání a rozkládání sil jsme již probírali v úvodu celé mechaniky
v kapitole o sčítání vektorů. Nezaškodí, když si pravidla zopakujete. Tyto
znalosti si nyní rozšíříme, síly nám totiž nepůsobí jen na jeden hmotný
bod, ale na rozměrné tuhé těleso.
Problematika se nám totiž u tělesa trochu zkomplikuje. Příklad: potřebuje
v bytě posunout úzkou vysokou knihovnu. Tlačíme-li na ni ve spodní části, knihovnu
posouváme. Zatlačíme-li však nahoře, můžeme ji převrhnout. V prvém případě knihovna koná
posuvný pohyb, v druhém pohyb rotační. Záleží tedy na místě působiště síly. Samozřejmě, jeli
knihovna těžká, musí nás být na její přemístění více, působíme více silami, které skládáme.
Skládat síly působící na těleso znamená nahradit je silou jedinou, která má na těleso stejný
pohybový účinek.
A teď k působišti skládaných sil. Mohou nastat dvě situace. Buď síly působí v jednom bodě
tělesa, nebo v bodech různých.
• Síly působící v jednom bodě tělesa.
Tyto síly skládáme stejným
způsobem, se kterým jste se již
seznámili v úvodu. Různé možné
situace jsou na obrázku, viz. obr. 98.
Na obrázku jsou zakresleny dvě
působící síly. Na situaci se nic
nezmění, je-li působících sil více.
Síly skládáme postupně po dvojicích.
obr. 98
112
• Síly působí v různých bodech tělesa.
Nejjednodušeji se skládají dvě působící různoběžné síly F1 a F2 . Jak dostaneme jejich
výslednici F je znázorněno na obrázku, viz. obr. 99. Každou z těchto sil posuneme po
přímkách, na kterých leží do společného působiště O. Tam je složíme podle pravidla o
vektorovém součtu, F = F1 + F2. Působiště výsledné síly můžeme libovolně posunou po
přímce p. Nejlépe je výslednici posunout do působiště P, do bodu, který je průsečíkem
vektorových přímek sil F1 a F2. Pak výslednice F v tomto bodě má stejný pohybový účinek
na těleso jako složky F1 a F2 působící v bodech A a B.
obr. 99
Když působí na těleso dvě rovnoběžné síly F1 a F2 stejné orientace pak jejich výslednice F
má stejnou orientaci jako působící síly. Její velikost je rovna součtu velikostí obou sil F = F1
+ F2. Pro polohu působiště výslednice platí F1 d1 = F2 d2 (momenty obou sil jsou stejné), viz.
obr. 100.
obr. 100
A ještě poslední situace. Na těleso teď působí rovnoběžné sily F1 a F2 , ale opačného směru,
viz. obr. 101. Výslednice F má zase stejný směr jako působící síly. Její velikost je rovna
rozdílu velikostí obou sil F = F1 - F2. Pro polohu působiště výslednice platí stejně jako
v předešlém případě F1 d1 = F2 d2 .
113
obr. 101
• Dvojice sil.
Zvláštním případem dvou rovnoběžných sil opačné orientace je dvojice sil. Jsou to například
síly rukou řidiče působící na volant, viz. obr. 102. Výsledkem působení těchto sil je otáčení se
tělesa, tedy volantu.
obr. 102
Dvojici sil tvoří dvě stejně velké rovnoběžné síly F a F´
opačné orientace, které působí ve
dvou různých bodech tělesa otáčivého kolem pevné osy.
Určete výsledný moment dvojice sil působících na volant. Řidič působí
každou rukou silou 50 N, volant má průměr 40 cm.
Protože obě síly způsobují otáčení volantu ve stejném směru, bude výsledný
moment dvojice sil dán součtem momentů obou sil.
D = M1 + M2 = F r + F´ r.
Protože velikosti obou sil jsou stejné, můžeme napsat pro velikost momentu
dvojice sil vztah
D = F d
kde d je kolmá vzdálenost vektorových přímek obou sil označovaná jako rameno dvojice sil.
Dosadíme-li numerické hodnoty dostaneme:
D = 50.0,4 = 20 N.m.
114
KO1.6.3-10. Na kotouč o poloměru r, který je otáčivý kolem nehybné osy
jdoucí jeho středem, působí dvě rovnoběžné síly. Čtyři různé případy
působení těchto sil jsou znázorněny na obrázku, viz. obr. 109. Síly F1´ a F1
mají stejnou velikost F, síla F2 má velikost 2F. Ve kterých případech se
otáčivé účinky sil navzájem ruší?
obr. 109
a) v žádném případě b) jen v případě 2 c) v případech 2 a 3 d) jen v případě 4
KO1.6.3-11. Na kotouč o poloměru r, který je otáčivý kolem nehybné osy jdoucí jeho
středem, působí dvě rovnoběžné síly. Čtyři různé případy působení těchto sil jsou znázorněny
na obrázku, viz. obr. 109. Síly F1´ a F1 mají stejnou velikost F, síla F2 má velikost 2F. Ve
kterých případech tvoří síly dvojici sil?
a) ve všech případech b) jen v případě 2 c) v případech 2 a 4 d) jen v případě 4
U1.6.3-12. Jak velkou silou
je tažen větroň, viz. obr.
111, jestliže síly napínající
dvě lana svírají úhel 60o
a
každá z nich má velikost
1000 N?
obr. 111
115
U1.6.3-13. Dělník zvedá za jeden konec trám o délce 4,0 m a hmotnosti 40 kg. Při určité
poloze, jak je vidět na obrázku, viz. obr. 110, svírá trám s vodorovným směrem úhel 30o
.
Určete velikost síly F1, kterou působí dělník na trám v dané poloze. Síla F1 je kolmá k trámu
(g = 9,8 m.s-2
).
obr. 110
1.6.4 Rovnováha tuhého tělesa
1. Umět definovat podmínky rovnováhy tuhého tělesa.
2. Rozlišit stabilní, labilní a volnou rovnováhu tělesa, uvést příklady.
Řekneme-li, že těleso je v rovnovážné poloze (v rovnováze), znamená to,
že výslednice sil i výsledný moment sil na něj působících je nulový a
těleso je v klidu.
Uveďme si příklady. V jedné televizní reklamě tlačí dvě party pivařů auto.
Jedna skupina zepředu a druhá zezadu. Pokud se auto nepohne, znamená
to, že výslednice sil jedné skupiny je stejně velká jako výsledná síla vyvinutá druhou
skupinou. Říkáme, že auto je v rovnovážné poloze.
Jiný příklad, tentokrát na výsledný moment síly. Chceme se dostat do pootevřených dveří.
Působíme na dveře momentem své síly. Člověk na druhé straně dveří nám brání vstoupit.
Pokud je moment jeho síly stejně velký jako je můj, dveře se nepohnou, jsou v rovnováze.
Vraťme se ještě k autu. Auto stojí v dolíku, je v klidu, je v rovnovážné poloze. Zatlačíme-li na
něj, posuneme jej nahoru. Když přestaneme působit silou, auto se vrátí do původní polohy.
Situace je vidět na obrázku, pro jednoduchost je auto nahrazeno kuličkou, viz. obr. 112. Tuto
rovnovážnou polohu označujeme jako stálou nebo stabilní rovnovážnou polohu.
116
obr. 112
Stabilní rovnovážnou polohu má těleso, které se po vychýlení z této polohy opět do ní vrací.
Stabilní rovnovážnou polohu má také těleso, které je otáčivé kolem osy umístěné nad svým
těžištěm. Vychýlíme-li toto těleso působením momentu síly, těleso se vrací zpátky do
stabilní polohy. Situaci máme znázorněnu na obrázku, viz. obr. 114.
obr. 114
Naopak tlačíme-li auto stojící na vrcholu kopce, po vychýlení z rovnovážné polohy se auto již
pohybuje „samo“. V tomto případě se auto nevrací do výchozí rovnovážné polohy. Na
obrázku, viz. obr. 113 je zase znázorněna modelová situace kuličky.
obr. 113
117
Podobně je to také s tělesem, které se může otáčet kolem osy umístěné pod svým těžištěm
jako je vidět na obrázku, viz. obr. 115. V obou posledních dvou případech těleso zaujímá tzv.
vratkou neboli labilní polohu.
obr. 115
Labilní rovnovážnou polohu má těleso, které se po vychýlení z této polohy do ní nevrací.
Těleso po vychýlení přechází do nové stabilní polohy.
A konečně může mít těleso rovnovážnou polohu, kterou označujeme jako volnou neboli
indiferentní rovnovážnou polohu. Tu má naše kulička na vodorovné rovině, viz. obr. 116 nebo
kvádr, jehož osa otáčení prochází jeho těžištěm, viz. obr. 117.
obr. 116
obr. 117
118
Volnou rovnovážnou polohu má těleso, které po vychýlení zůstává v jakékoliv nové opět
stabilní poloze.
KO1.6.4-14. Jak daleko od osy otáčení houpačky musí sedět otec hmotnosti
90 kg, chce-li se houpat se synem „vážícím“ 15 kg? Dítě sedí ve vzdálenosti
3 m od osy otáčení houpačky.
KO1.6.4-15. V jaké vzdálenosti musí dělník zvedající bednu o hmotnosti 200
kg podložit páku? Páka má délku 2 m. Dělník je schopen zvednout přímo
těleso hmotnosti 50 kg.
1.6.5 Kinetická energie tuhého tělesa
1. Rozlišit kinetickou energii posuvného a otáčivého pohybu.
2. Znát vztah pro kinetickou energii posuvného pohybu tělesa.
3. Znát vztah pro kinetickou energii otáčivého pohybu tělesa.
4. Umět vysvětlit pojem moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose
otáčení.
5. Vědět, jak se vypočítá kinetická energie složeného pohybu
Pro kinetickou energii hmotného budu hmotnosti m pohybujícího se
rychlostí v jsme si uváděli vztah Ek = ½ m v2
. S kinetickou energií tuhého
tělesa je to poněkud složitější. Musíme se vrátit k začátku této kapitoly,
kde jsme si rozlišovali dva základní pohyby tělesa – posuvný a rotační.
• Kinetická energie posuvného pohybu.
Podívejte se ještě jednou na obrázek, viz. obr. 89 znázorňující translační pohyb tělesa. Pro
tento pohyb je charakteristické, že všechny body tělesa se pohybují stejnou rychlostí v.
Kinetickou energii tělesa dostaneme, sečteme-li kinetické energie všech jednotlivých n
hmotných bodů tělesa mi.
obr. 89
119
22
3
2
2
2
1
2
1
..........
2
1
2
1
2
1
vmvmvmvmE nk ++++= .
Na pravé rovnice vytkneme výraz 2
2
1
v .
).........(
2
1
321
2
nk mmmmvE +++=
Součet hmotností jednotlivých bodů tělesa (výraz v závorce) je celková hmotnost tělesa m.
Kinetická energie tělesa při posuvném pohybu se tedy vyjádří stejně jako kinetické energie
hmotného bodu. Vlastně nahrazujem naše tuhé těleso hmotným bodem celkové hmotnosti
tělesa umístěným do jeho těžiště.
2
2
1
mvEk =
• Kinetická energie otáčivého pohybu.
Při určování kinetické energie rotujícího tělesa budeme postupovat obdobně jako u pohybu
posuvného. To znamená, že si vyjádříme kinetické energie jednotlivých bodů tělesa a pak je
sečteme.
Vyjdeme z obrázku, viz. obr. 103. Zde je nakresleno rotující těleso ve tvaru kotouče otáčející
se úhlovou rychlosti ω kolem osy jdoucí středem. Na obrázku jsou znázorněny hmotné body
jejichž kinetická energie se mění v závislosti na vzdálenosti od osy otáčení. Důležité je, že
všechny body mají stejnou úhlovou rychlost. Energie j-tého hmotného bodu je dána výrazem
222
2
1
2
1
jjjjkj rmvmE ω== . Opět sečteme kinetické energie všech bodů tvořících otáčející se
těleso.
222
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
................
2
1
2
1
2
1
nnk rmrmrmrmE ωωωω +++= .
Po vytknutí společného výrazu 2
2
1
ω dostaneme
)............(
2
1 22
33
2
22
2
11
2
nnk rmrmrmrmE +++= ω .
obr. 103
120
Výraz v závorce se označuje jako moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose otáčení a
označuje se J. Takže kinetickou energii otáčejícího se tělesa vyjádříme vztahem:
2
2
1
ωJEk =
Podívejme se ještě jinak na tento vztah a srovnejme ho se vztahem pro kinetickou energii
posuvného pohybu 2
2
1
mvEk = . Začněme od poslední veličiny v těchto vztazích . U
posuvného pohybu máme druhou mocninu rychlosti pohybu v2
. U rotačního pohybu je zase
druhá mocnina úhlové rychlosti ω2
O úhlové rychlosti jsme si řekli, že charakterizuje rychlost
rotačního pohybu.
Jděme dál. Druhý člen ve vztahu pro kinetickou energii posuvného pohybu je hmotnost tělesa
m. Hmotnost nám určuje setrvačné vlastnosti tělesa při posuvném pohybu. Obdobný význam
by měl mít i moment setrvačnosti. A skutečně moment setrvačnosti J určuje setrvačné
vlastnosti tělesa při rotačním pohybu. Moment setrvačnosti je schopnost tělesa „setrvávat“
v rotačním pohybu.
Můžeme si vliv momentu setrvačnosti vyzkoušet sami. Zkuste zastavit lehké kolo jízdního
kola a těžké kolo náklaďáku o stejném poloměru. Když budou obě kola vykonávat stejný
počet otáček za minutu (mají stejnou úhlovou rychlost) asi podstatně snáze zastavíme jízdní
kolo.
• Kinetická energie složeného pohybu.
Vyřešit tento problém už nebude tak těžké, uvědomíme-li si, že tento pohyb vzniká složením
posuvného a rotačního pohybu. Protože kinetická energie je skalární veličina, jednoduše
sečteme kinetickou energii posuvného a rotačního pohybu.
22
2
1
2
1
ωJmvEk += .
Po nakloněné rovině o délce 5 m se začne valit bez prokluzování válec tak,
že jeho těžiště sníží svoji polohu o 1 m. Určete velikost rychlosti, s níž se
těleso pohybuje na konci daného úseku, viz. obr. 118.
obr. 118
Označíme si veličiny: l = 5 m, h = 1 m, JT = mr2
/2, g = 9,8 m.s-2
, v = ?
121
Využijeme zákona zachování mechanické energie. Válec v horní poloze má potenciální
energii Ep1 = m g h, v dolní poloze Ep2 = 0. Kinetická energie v horní poloze je nulová, Ek1 = 0
a v dolní poloze je dána kinetickou energií posuvného pohybu a kinetickou energií rotačního
pohybu












+=+= 2
2
2222
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
r
v
rmvmJvmE Tk ω
Vyjádříme-li si ze zákona zachování energie Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2 velikost rychlosti,
dostáváme






=





= 1.8,9
3
4
3
4
hgv = 3,6 m/s
Velikost rychlosti válce ve spodní poloze je 3,6 m/s.
U1.6.5-16. Rotor elektromotoru s hmotností 110 kg má moment
setrvačnosti 2 kgm2
a koná 20 otáček za sekundu. Jak velkou má
kinetickou energii?
U1.6.5-17. Válec o hmotnosti 2 kg se valí bez prokluzování po vodorovné
podložce stálou rychlostí velikosti 4 m/s. Určete kinetickou energii válce.
U1.6.5-18. Koule (JT = 2mr2
/5) o hmotnosti 0,25 kg a průměru 6 cm se valí bez klouzání po
vodorovné podložce, přičemž frekvence otáčení je 4 Hz. Určete kinetickou energii koule.
1. Tuhé těleso může vykonávat:
• Posuvný (translační) pohyb, při kterém všechny body tělesa mají v určitém čase rychlosti
stejné velikosti, stejného směru i stejné orientace.
• Otáčivý (rotační) pohyb kolem osy otáčení. Při tomto pohybu mají všechny body tělesa
stejnou úhlovou rychlost.
•Složený (kombinovaný) pohyb složený z posuvného a otáčivého pohybu.
2. Pohyb celého tělesa si můžeme nahradit pohybem těžiště. Těžiště tělesa je bod, který se
pohybuje tak, jako by v něm byla soustředěna všechna hmotnost tělesa.
Těžiště tělesa je působiště výslednice všech tíhových sil působících na jednotlivé hmotné
body tvořící dané těleso.
3. Otáčivý účinek síly je dán momentem síly vzhledem k ose otáčení: M = F r sinφ.
4. Síly působící na těleso můžeme skládat. Při skládání sil využíváme pravidel vektorového
počtu. Je třeba přihlížet také k jejich působišti.
122
5. Dvojice sil působí na těleso momentem dvojice sil D = F d.
6. Těleso je v rovnovážné poloze, když výslednice sil i výsledný moment sil na něj
působících je nulový a těleso je v klidu.
7. Rovnovážná poloha může být:
• Stabilní, tuto polohu má těleso, které se po vychýlení z této polohy opět do ní vrací.
• Labilní, kterou má těleso, které se po vychýlení z této polohy do ní nevrací. Těleso po
vychýlení přechází do nové stabilní polohy.
• Volnou polohu má těleso, které po vychýlení zůstává v jakékoliv nové poloze.
8. Kinetická energie posuvného pohybu je dána vztahem 2
2
1
mvEk = .
9. Kinetická energie otáčivého pohybu se vyjádří jako 2
2
1
ωJEk = . Fyzikální veličina J je
moment setrvačnosti vůči ose otáčení. Moment setrvačnosti vyjadřuje setrvačné vlastnosti
tělesa při rotačním pohybu.
10. Kinetická energie složeného pohybu je dána součtem kinetické energie rotačního a
translačního pohybu 22
2
1
2
1
ωJmvEk += .
123
1.7. Struktura a deformace pevné látky
Odhadovaný čas je 45minut
1. Znát způsob rozlišování pevných, kapalných a plynných látek podle
změn vyvolaných působením vnějších sil.
2. Umět definovat krystalickou a amorfní látku.
3. Rozlišovat a definovat pružnou a plastickou deformaci.
4. Znát různé druhy namáhání pevného tělesa.
5. Umět definovat normálové napětí, relativní a absolutní deformaci.
6. Vyslovit Hookův zákon, vědět oblast jeho aplikace.
7. Umět popsat jednotlivé význačné body křivky závislosti relativní deformace na napětí.
1.7.1 Struktura pevných látek
Základní vlastností pevných látek je to, že si zachovávají svůj tvar, pokud
na ně nepůsobí vnější síly. Tím se liší od kapalných těles, které jsou tekuté
a zachovávají svůj objem, ale ne tvar. A zcela se liší plynná tělesa, která se
rozpínají do okolního prostoru a mění tak svůj tvar i objem.
V pevných látkách jsou molekuly případně atomy nebo ionty pevně vázány
na svá místa a mohou vykonávat jen kmitavý pohyb kolem svých
rovnovážných poloh, viz. obr. 1.7-1. Pevné látky dělíme do dvou základních skupin - na látky
krystalické a amorfní.
Obr. 1.7-1
Krystalické látky jsou charakterizovány pravidelným uspořádáním částic ze kterých se
skládají do prostorové geometrické mřížky, viz. obr. 1.7-2.
124
obr. 1.7-2
Vytvářejí tak krystalickou mřížku, která se periodicky opakuje v celém krystalu, hovoříme
o dalekodosahovém uspořádání, viz. obr. 1.7-3.
obr. 1.7-3
Krystalické látky mohou být ve formě monokrystalu ať už přírodního – křemen, ametyst
(barevná odrůda křemene), kamenná sůl, vápenec nebo
uměle vyrobeného (současné kameny ve špercích –
umělé drahokamy jako safír, rubín). Také
v polovodičové technice se používá uměle vyrobených
monokrystalů germania a křemíku.
Většina krystalických látek je však tvořena velkým
množstvím drobných krystalků nazývaných zrna.
Jejich velikost se pohybuje od 10 µm do několika mm.
Hovoříme o polykrystalech. Polykrystaly jsou kovy,
různé zeminy atp. Uvnitř zrn jsou částice uspořádány
v mřížce, vzájemná poloha sousedních zrn je však zcela
nahodilá.
Amorfní látky mají nepravidelné uspořádání částic,
které se vyznačuje krátkodosahovým uspořádáním,
viz. obr. 1.7-4.
obr. 1.7.-4
125
To znamená že v malé oblasti jsou částice přibližně pravidelně uspořádány, tato uspořádanost
se s rostoucí vzdáleností porušuje. Amorfními látkami jsou například vosk, asfalt, většina
plastů, sklo atp.
Zvláštní skupinou amorfních látek jsou polymery, látky organického původu tvořící dlouhé
makromolekuly často navzájem propleteny, vytvářejí sítě, jsou stočeny do klubek atd.
Polymery jsou například celulóza, bílkoviny, termoplasty jako PVC, polyepoxidové
pryskyřice.
Mezi částicemi pevné látky působí vazebné síly, které jak napovídá název, vážou k sobě
částice ze kterých se skládá krystalová mřížka. Vazebné síly dávají vzniknout různým
způsobům vazeb, ze kterých vyplývají typické vlastnosti daných krystalů.
1.7.2. Deformace pevného tělesa
Začnou-li působit na pevné těleso vnější síly, začne se pohybovat nebo
dojde k jeho deformaci. Pod pojmem deformace tělesa rozumíme změny
jeho rozměrů, tvaru a objemu.
Deformace může být pružná (elastická) jestliže pevné těleso po ukončení
působení vnější deformační síly získá původní tvar. Tak gumový míček po
stlačení rukou a následujícím uvolnění působení ruky obnoví svoji velikost
i tvar.
Při deformaci jsou částice tělesa působením vnějších sil vychylovány ze svých rovnovážných
poloh. Vychylování brání síly vzájemného působení mezi částicemi pevného tělesa, vznikají
síly pružnosti Fp. Schopnost tělesa obnovit své rozměry, tvar i objem po přerušení působení
deformačních sil se nazývá pružnost.
Deformace tělesa, která trvá po ukončení působnosti deformačních vnějších sil, se označuje
jako trvalá deformace (tvárná, plastická). Stlačíme-li rukou nyní kuličku z plastelíny, pak
uvolníme-li stisk plastelína zůstane v deformovaném stavu.
Pružná deformace tělesa může být výsledkem tahu, tlaku, ohybu, smyku nebo kroucení.
Při tahu působí na těleso dvě stejně veliké síly směrem ven, viz. obr. 1.7-5. Těleso zvětší
svou délku a svůj objem.
obr. 1.7-5
Při tlaku působí na těleso dvě stejně veliké síly směrem dovnitř tělesa, viz. obr. 1.7-6. Těleso
se zkrátí a zmenší svůj objem.
obr. 1.7-6
Při namáhání ohybem působí na upevněné (podepřené) těleso síla kolmá k jeho podélné ose,
viz. obr. 1.7-7a, obr.1.7-7b. Spodní vrstvy tělesa se při tomto ději zkracují (jsou namáhány
126
tlakem), horní vrstvy se prodlužují (namáhány tahem) a konečně střední vrstva svou délku
nemění – označujeme ji jako neutrální vrstvu.
obr. 1.7-7a
obr.1.7-7b
Při smyku působí na protilehlé podstavy tělesa tečné síly a těleso se zkosí (změní tvar), ale
nezmění svůj objem, viz. obr. 1.7-8.
obr. 1.7-8
A konečně při namáhání kroucením působí na těleso
dvě dvojice sil, jejich momenty jsou stejně velké a
opačného směru, viz. obr. 1.7-9. Těleso mění svůj tvar.
obr. 1.7-9
1.7.3. Normálové napětí, Hookův zákon
127
V předchozí kapitole se mluvilo o silách pružnosti vyvolaných vnějšími
silami. Podívejme se na obrázek struny namáhané na tah silami F, viz. obr.
1.7-10.
obr. 1.7-10.
Vnější tahové síly F a F´ vyvolají uvnitř struny síly pružnosti Fp a Fp´ působící kolmo na
plochu S příčného řezu strunou. Podíl velikosti síly pružnosti Fp a kolmé plochy S nazýváme
normálové napětí
S
Fp
n =σ
s jednotkou N.m-2
= Pa (pascal).
Zůstaňme ještě u naší struny. Působením tahových sil se její původní délka lo změní na délku
l, viz. obr. 1.7-11.
obr. 1.7-11
Struna se prodlouží o ∆l = l – lo. Názornější je porovnávat prodloužení tělesa s jeho původní
délkou. Zavedeme tedy
veličinu poměrné
prodloužení ε definované
vztahem
ol
l∆
=ε
Poměrné prodloužení je při
tahovém namáhání
závislé na mechanickém
napětí. Křivka této
závislosti se zkoumá
v technické praxi a je
měřítkem vlastností
zkoumaného materiálů.
obr. 1.7-12
Často se záznam této křivky označuje jako deformační diagram. Na obrázku, viz. obr. 1.7-12
jsou vyneseny tři křivky závislosti normálového napětí σn na poměrném prodloužení ε, každá
pro zcela odlišný materiál.
128
Na křivkách jsou vidět a písmeny označeny význačné, charakteristické body.
Podívejme se nejdříve na křivku pro pružnou látku jako je např. ocel, železo apod. Až do
bodu A je závislost přímková, lineární odpovídající přímé úměrnosti mezi normálovým
napětím a poměrným prodloužením.
εσ En =
Toto je tzv. Hookeův zákon pro pružnou deformaci tahem. Veličina E je látková konstanta,
nazývá se modul pružnosti v tahu a charakterizuje materiál z pohledu jeho deformace
tahem. Hookův zákon platí po tzv. mez pružnosti σE, tedy v oblasti kde dochází k pružné
deformaci - lineární část diagramu. Překročí-li normálové napětí mez pružnosti, pak dochází
k trvalé deformaci tělesa i po odstranění vnějších deformujících sil.
Pokračujeme-li ve sledování křivky pak vidíme, že mezi body A a B již křivka není přímková.
Po zmenšení vnější síly zůstane těleso trvale deformováno, dochází k plastické deformaci.
V následující části křivky mezi body B a C se projevují výrazné trvalé deformace. Důležitý je
bod C. Napětí v tomto bodě se označuje jako mez pevnosti σp. Při překročení tohoto napětí
poruší se soudržnost materiálů, při tahovém namáhání dochází k přetržení tělesa.
Druhá křivka je charakteristická pro křehkou látku. Takovou křehkou látkou je například
litina, sklo, porcelán atp. Na křivce je podstatné to, že lineární oblast je velmi rychle
následována mezí pevnosti, kdy dochází k porušení materiálu. Prakticky zde není oblast
plastické deformace.
Třetí křivka pak je typická pro plastickou látku jakou je plastelína, vosk atp.
Při namáhání tohoto materiálu dochází pouze k plastické deformaci.
Hookův zákon platí i pro pružnou deformaci tlakem. Také moduly pružnosti
v tahu a tlaku jsou pro většinu látek stejné. Výjimku tvoří látky jako beton,
žula, litina.
KO1.7.3-1. Mezi krystalické látky nepatří:
a) jantar b) grafit c) modrá skalice d) rubín e) diamant f) kaučuk
KO1.7.3-2. U tyče z materiálu o modulu pružnosti v tahu E bylo při normálovém napětí σn
naměřeno relativní prodloužení 0,2 %. Jaké je relativní prodloužení tyče při dvojnásobném
normálovém napětí?
a) 0,1% b) 0,2% c) 0,4% d) 0,8%
KO1.7.3-3. U tyče z materiálu o modulu pružnosti v tahu E bylo při normálovém napětí σn
naměřeno relativní prodloužení 0,2 %. Jaké je relativní prodloužení této tyče při stejném
normálovém napětí, je-li délka tyče dvojnásobná?
a) 0,1% b) 0,2% c) 0,4% d) 0,8%
KO1.7.3-4. U tyče z materiálu o modulu pružnosti v tahu E bylo při normálovém napětí σn
naměřeno relativní prodloužení 0,2 %. Jaké je relativní prodloužení této tyče při stejném
normálovém napětí, je-li tyč o dvojnásobném modulu pružnosti v tahu?
a) 0,1% b) 0,2% c) 0,4% d) 0,8%
Kovová válcová trubka délky 1m s vnějším průměrem 20cm a s tloušťkou
stěny 1cm byla stlačena normálovou silou o velikosti 16kN. Trubka je
zhotovena z materiálu modulu pružnosti 120GPa. Určete normálové napětí,
poměrné zkrácení trubky a zkrácení trubky.
129
Vyjdeme z definičního vztahu pro normálové napětí
S
Fp
n =σ a nejdříve vypočteme obsah
příčného řezu trubky, na který síla působí. Ten je dán plochou mezikruží
( )
4
2
2
2
1 dd
S
−
=
π
, kde
d1 je vnější průměr a d2 vnitřní průměr trubky.
Normálové napětí tak bude vyjádřeno vztahem
( )2
2
2
1
4
dd
Fp
n
−
=
π
σ . Po dosazení získáme
normálové napětí velikosti
( ) MPa68,2
18,02,014,3
10.16.4
22
3
=
−
=nσ .
Z Hookova zákona vyplývá pro poměrné zkrácení výraz
E
nσ
ε = a po dosazení
5
11
6
10.2,2
10.2,1
10.68,2 −
==ε . Poměrné zkrácení trubky je 0,002%.
A konečně zkrácení trubky plyne z definičního vztahu relativní změny jako
65.
10.221.10.2,2 −
===∆ ll ε m.
U1.7.3-5. Železná tyč průřezu 2.10-4
m2
, délky 1m je namáhána v tahu silou
1,962.104
N. Vypočtěte napětí materiálu, absolutní a relativní prodloužení,
je-li modul pružnosti v tahu E = 1,962.1011
Pa.
U1.7.3-6. Tyč kruhového průřezu o průměru 2.10-2
m a délky 2 m se vlivem síly 3,082.104
N
prodloužila o 10-3
m. Určete modul pružnosti v tahu.
U1.7.3-7. Určete modul pružnosti v tahu zkušební tyče průměru 2.10-2
m, délky 0,2m, jestliže
při zatížení silou 3,92.103
N je absolutní prodloužení = 1,25.10-5
m.
U1.7.3-8. Dřevěný trámek délky 3m se zkrátil působením tlakové síly kolmé k průřezu o
4mm. Vypočtěte délku trámu po zatížení a jeho poměrné zkrácení .
U1.7.3-9. Jakou silou musí být napínáno gumové vlákno o průřezu 8 mm2
, aby se prodloužilo
na dvojnásobek původní délky? Modul pružnosti v tahu je 1 MPa.
U1.7.3-10. Zkušební vzorek z jehličnatého dřeva má tvar krychle s délkou hrany 40 mm.
Rozdrtí se silou 54,5 kN. Vypočítejte mez pevnosti zkoušeného dřeva.
130
1.8 Mechanické kmitání
S mechanickým kmitáním (oscilacemi) se denně setkáváte a to nejen ve formě přímo viditelné
jako je pouťová opice na gumě nebo kyvadlo hodin, viz. obr. 132 či rozechvěný dům po
průjezdu těžkého náklaďáku. Model oscilátorů lze aplikovat třeba i na kmitání elektronů ve
vysílací anténě radiového vysílače či na kmitání uzlového bodu krystalové mřížky pevné
látky, které vnímáme jako teplotu. Kmitavý pohyb vykonávají molekuly vzduchu při přenosu
zvukového vlnění atp.
obr. 132
V přírodě je kmitání obvykle tlumené. Kmitání opice na gumě se vlivem odporu vzduchu
časem zastaví. Kmitavý pohyb kyvadla hodin by také ustal, kdybychom nedodávali energii ať
už mechanickým pérem nebo z baterie. V tomto případě mluvíme o vynuceném kmitání.
V ideálním případě hovoříme o netlumeném kmitání, které však prakticky neexistuje,
používá se jen jako model.
Z předešlého je patrné, že trajektorie kmitavého pohybu mohou být různé. Nejčastěji je
trajektorií přímka (závaží na pružině) a kružnice (čočka kyvadla hodin).
131
Kinematika hmotného bodu, kruhový pohyb.
Odhadovaný čas je 60 minut
1. Vysvětlit princip periodického pohybu a harmonického kmitání.
2. Znát základní pojmy harmonického kmitání jako kmitočet, perioda,
úhlová frekvence, výchylka, amplituda, fáze, počáteční fáze.
3. Znát vztahy pro okamžitou výchylku, okamžitou rychlost a okamžité
zrychlení, vědět významy veličin v nich se vyskytujících.
4. Diskutovat extrémy těchto veličin tj. jejich minimální a maximální
hodnoty..
5. Vysvětlit souvislost harmonického pohybu s rovnoměrným pohybem po kružnici.
6. Umět sestrojit graf závislosti okamžité výchylky na čase a umět v tomto grafu číst. Rozlišit
tyto grafy pro netlumené a tlumené kmitání.
7. Znát vztah pro sílu pružnosti, která je příčinou kmitání.
8. Umět odvodit vztah pro periodu kmitů.
9. Vysvětlit pojem tuhost pružiny.
10. Umět odvodit vztah pro dobu kmitu kyvadla.
1.8.1 Harmonický pohyb
Představte si závaží
zavěšené na pružině, jak
je vidíte na obrázku, viz.
obr. 119. Zatažením za
závaží pružinu
rozkmitáme. Závaží se
bude pohybovat po přímce. Začneme
sledovat závaží v libovolné poloze, na
obrázku označené jako A. Vzdálenost bodu
A od rovnovážné polohy (tam je závaží
v klidu) si označíme y a nazveme ji
výchylkou (okamžitou výchylkou). Závaží
postupně projde horní polohou H (bod
vratu), po změně směru pohybu projde
spodní polohou S (druhý bod vratu) a vrací se do bodu A. obr. 119
132
Hovoříme, že závaží vykonalo jeden kmit. Času za který se kmitající objekt vrátí do
počáteční polohy A říkáme perioda kmitání T. S periodou souvisí frekvence neboli kmitočet
f. Frekvence udává, kolik kmitů vykoná kmitající objekt za jednu sekundu.
Mezi frekvencí a periodou je jednoduchá souvislost daná vztahem:
T
f
1
= .
Jednotkou frekvence je hertz (Hz). 1 Hz = 1 kmit za sekundu = 1 s-1
.
Popsaný pohyb závaží se opakuje v pravidelných intervalech a nazývá se kmitavý pohyb.
Možná jste již někdy viděli váš kardiogram. Kardiogram
je vlastně záznam kmitů srdce (směr y) rozvedený v čase
(osa x) jak je vidět na obrázku, viz. obr. 120.
obr. 120
Proveďme si obdobný časový záznam výchylky našeho kmitajícího závaží. K tomu nám
vyhovuje jednoduché zařízení z obrázku, viz. obr. 121.
obr. 121
Na kmitající závaží je připevněna tužka, která zapisuje polohu závaží na roli papíru
pohybujícího se konstantní rychlostí. Tužka nám vykreslí sinusoidu. Průběh této křivky si
zapíšeme rovnicí pro okamžitou výchylku v závislosti na čase:
tyy m ωsin=
Veličina ym je amplituda výchylky. Jak je vidět na obrázku, viz. obr. 119, je to maximální
výchylka kmitavého pohybu. Symbolem ω jsme si označili úhlovou frekvenci kmitů, kterou
již známe z pohybu po kružnici. U kruhového pohybu jsme si ji však nazývali úhlová
rychlost.
Stejně jako u kruhového pohybu souvisí úhlová frekvence s periodou a frekvencí kmitání
vztahem
133
f
T
π
π
ω 2
2
==
Jednotkou kruhové frekvence je radián za sekundu rad.s-1
(resp. s-1
).
Kmitavý pohyb, jehož časový diagram má podobu sinusoidy (kosinusoidy), nazýváme
harmonický pohyb nebo také harmonické kmitání.
KO1.8.1-1. Určete, který z grafů na obrázku zobrazuje časový záznam
kmitavého pohybu netlumeného a tlumeného? Viz. obr. 122
obr. 122
KO1.8.1-2. V jakých jednotkách měří lékař tep vašeho srdce?
KO1.8.1-3. Vysvětlete rozdíl mezi kmitavým pohybem a harmonickým pohybem.
KO1.8.1-4. V hudbě se jako základ hudební stupnice používá tón a1
(tzv.komorní a) o
frekvenci 440 Hz. Určete periodu
tohoto kmitání.
KO1.8.1-5. Jaká je perioda
procesoru počítače o frekvenci 1
GHz?
Představte si
kmitající závaží
na pružině (obr.
124) a
myšlenkově
sledujte jeho
pohyb nebo si to zkuste.
Všímejme si nyní rychlosti a
zrychlení pohybu závaží. Pokud se
podíváme pozorně, zjistíme, že
největší rychlost pohybu je
v rovnovážné poloze. V bodě
obratu při dosažení amplitudy se
závaží zastaví a orientace pohybu
se obrací. Rychlost se postupně zvětšuje. obr. 124
134
V této fázi pohybu je zrychlení největší. Jak tedy závisí rychlost a zrychlení na čase?
Až budete umět derivovat nebude, nic jednoduššího než provést prvou derivaci rovnice pro
výchylku podle času a obdržíte rovnici pro rychlost. Teď na to půjdeme jinak.
Vyjdeme z analogií mezi rovnoměrným pohybem po kružnici a harmonickým pohybem
kmitavým. Rovnoměrný kruhový pohyb je vlastně taky harmonický pohyb, splňuje všechny
podmínky harmonického pohybu. Můžeme tedy použít řadu vztahů známých z kruhového
pohybu i pro popis harmonického kmitání. Například ojnice přenáší přímočarý pohyb pístu
automobilového motoru na kruhový pohyb kol automobilu.
Vraťme se teď k našemu problému. Máme stanovit rychlost v kmitajícího závaží. Podívejme
se na obrázek, viz. obr. 124, kde je znázorněna souvislost obou pohybů. Závaží hmotnosti m
se pohybuje kmitavým pohybem na pružině. Stejné závaží rovnoměrně obíhá po kružnici o
poloměru rovném amplitudě výchylky ym .
Úhlová frekvence ω kmitajícího závaží je stejná jako úhlová rychlost závaží rotujícího.
V jistém čase má kmitající závaží výchylku y, která odpovídá poloze závaží na kružnici
určenou úhlem φ. Zkuste si představit, že se díváte na rotující závaží ve směru osy x. Nevidíte
kruhový pohyb, ale z vašeho pohledu závaží kmitá.
Rychlost závaží obíhajícího po kružnici je v. Při pohledu z boku však pozorujeme tento pohyb
jako by se závaží pohybovalo jen rychlostí vh. V horním bodě je rychlost vh nulová, při
pokračování pohybu zase narůstá. Tato složka rychlosti vh je právě hledaná rychlost
kmitavého pohybu. Určeme si její velikost.
Obvodová rychlost v kruhového pohybu je dána vztahem v = r ω, v našem případě v = ym ω.
My potřebujeme vyjádřit jen její složku vh = v cosφ = ym ω cosφ. A zbývá nám ještě vyjádřit
velikost rychlosti jako funkci času. S časem se mění velikost úhlu φ. A zase se obrátíme ke
kruhovému pohybu, ke vztahu definujícímu úhlovou rychlost
t
ϕ
ω = . Z tohoto vztahu
vyjádříme úhlovou dráhu φ a dosadíme do výrazu pro rychlost harmonického pohybu:
tyv mh ωω cos=
Obdobným způsobem si určíme zrychlení harmonického pohybu. Z obrázku vidíme, že
zrychlení harmonického pohybu ah je složkou dostředivého zrychlení rotačního pohybu, ah =
ad sinφ = ad sinωt. Vztah pro dostředivé zrychlení již také známe,
m
d
y
v
r
v
a
22
== . Využitím
vztahu v = r ω = ym ω po úpravách dostaneme vztah pro zrychlení harmonického pohybu:
ytya mh
22
sin ωωω −=−=
Znaménko mínus ve vztahu znamená, že zrychlení má opačný směr než je směr výchylky.
Výraz (ωt) nám v rovnici pro výchylku, rychlost i zrychlení určuje, jak se tyto veličiny mění
s časem. Tento výraz se nazývá fáze pohybu φ. Obecně se fáze zapisuje výrazem:
φ = (ωt +φo),
kde φo označuje počáteční fázi. Její hodnota závisí na výchylce pohybu v čase t = 0.
V předchozích vztazích pro výchylku, rychlost a zrychlení jsme tedy uvažovali počáteční fázi
nulovou, φo = 0.
Počáteční fáze může mít kladnou i zápornou hodnotu jak je vidět na sérii obrázků. Na každém
obrázku vidíte závaží na pružině, odpovídající polohu závaží při kruhovém pohybu a časový
rozvoj obou pohybů. V prvém případě a) pohyb začíná nad rovnovážnou polohou, viz. obr.
125, v druhém b) pod touto polohou, viz. obr. 126. Poslední situace c) znázorňuje „start“
pohybu v krajní poloze, viz. obr. 127.
135
obr. 125
obr. 126
obr. 127
Z kterého místa začínal pohyb našeho závaží na pružině, když jsme uvažovali
počáteční fázi nulovou? Jaká je v tomto místě rychlost a jaké zrychlení? Jaký
tvar má vztah pro výchylku v obecném případě, kdy počáteční fáze je
nenulová?
Pohyb začínal z rovnovážné polohy. Nakreslíme-li si obrázek obdobný třem
předchozím, musí sinusoida začínat v počátku souřadnic, viz. obr. 128.
136
obr. 128
Rychlost je v tomto bodě maximální. Lehce to zjistíme, dosadíme-li do vztahu do rychlost čas
t = 0, ωωωω mmmh yytyv === 0coscos . Zrychlení bude nulové ve stejném čase,
00sinsin 22
=−=−= ωωω mmh ytya .
Do vztahu pro výchylku pouze rozšíříme fázi φ = ωt o počáteční fázi φo,
)sin( om tyy ϕω += .
KO1.8.1-6. Těleso koná netlumený harmonický pohyb podle rovnice:
y = 2 sin(20t + π/4) (m,s)
Čemu je rovna úhlová frekvence tohoto pohybu?
KO1.8.1-7. Těleso koná netlumený harmonický pohyb podle rovnice:
y = 2 sin(20t + π/4) (m,s)
Určete frekvenci pohybu.
KO1.8.1-8. Těleso koná netlumený harmonický pohyb podle rovnice:
y = 2 sin(20t + π/4) (m,s)
Napište, čemu je rovna fáze a počáteční fáze.
KO1.8.1-9. Těleso konající netlumený harmonický pohyb má maximální rychlost
a) v bodě vratu b) v rovnovážné poloze
KO1.8.1-10. Kdy má těleso konající netlumený harmonický pohyb nulovou rychlost?
a) v bodě vratu b) v rovnovážné poloze c) nikdy
KO1.8.1-11. Zrychlení tělesa konajícího netlumený harmonický pohyb je nulové
a) v rovnovážné poloze b) v bodě vratu c) nikdy
U1.8.1-12. Těleso koná netlumený harmonický pohyb s amplitudou 3 m,
frekvencí 4 Hz a v čase t = 0 s se nachází ve vzdálenosti 1,5 m od
rovnovážné polohy. Napište rovnici pro výchylku tělesa.
U1.8.1-13. Těleso koná netlumený harmonický pohyb podle rovnice:
y = 2 sin(3t) (m,s)
Napište rovnici pro rychlost tělesa.
U1.8.1-14. Těleso koná netlumený harmonický pohyb podle rovnice:
y = 2 sin(3t) (m,s)
Napište rovnici pro zrychlení tělesa.
U1.8.1-15. Nakreslete schematický graf závislosti rychlosti kmitavého pohybu na čase.
Počáteční fáze je rovna nule. Do stejného grafu nakreslete i průběh výchylky.
137
1.8.2 Dynamika harmonického pohybu
V předchozí kapitole jsme se věnovali kinematice kmitání. Teď nás bude
zajímat dynamika – tedy jaké jsou příčiny tohoto pohybu, které síly na
oscilátor působí.
Vraťme se ještě jednou k naší pružině, ale k pokusu použijeme posilovací
péra. Kdo jste s nimi cvičili víte, že když je natahujete, pak zpočátku to jde
lehce, čím více je roztáhnete tím větší sílu musíte vynaložit. Samozřejmě
nesmíme roztahovat péra donekonečna. Při jistém roztažení se péra nevrátí do původní
polohy.
Jaký je závěr tohoto pokusu? Zaprvé síla je úměrná výchylce. Za druhé síla působí opačným
směrem než je orientována výchylka. Za třetí nesmíme překročit jistou tzv. pružnou
(elastickou deformaci) pružiny.
Matematický zápis tedy pro sílu pružnosti pružiny způsobující kmitavý pohyb bude vypadat
následovně:
F = - k y
Konstanta k se nazývá tuhost pružiny. Tuhost pružiny můžeme definovat jako sílu nutnou k
prodloužení (stlačení) pružiny o jednotku délky. Její jednotkou bude tedy N.m-1
.
Sílu pružnosti si můžeme zapsat pomocí druhého Newtonova zákona jako F = m a.
Dosadíme-li za zrychlení kmitavého pohybu, dostaneme sílu pružnosti ve tvaru:
F = - m ω2
y.
Srovnáním obou vztahů pro sílu pružnosti ymyk 2
ω−=− dostaneme vztah pro úhlovou
frekvenci
m
k
=ω a z něho si vyjádříme frekvenci harmonického kmitavého pohybu ve tvaru
m
k
f
π2
1
= .
Frekvence kmitání závisí na tuhosti pružiny a hmotnosti kmitajícího objektu. Nezávisí na
amplitudě kmitů.
U1.8.2-16. Mechanický oscilátor je tvořen pružinou o tuhosti 1 N/m a
závažím o hmotnosti 100 g. Určete periodu kmitání oscilátoru.
U1.8.2-17. Na pružinu bylo zavěšeno závaží o
hmotnosti 1 kg a pružina se při tom prodloužila o 1,5
cm a začala kmitat . Určete frekvenci kmitání
vzniklého oscilátoru.
1.8.3 Kyvadlo
Až do doby moderních hodin systému Quartz, sytém
který využívá jako normálu času periodu kmitání
křemenného krystalu vybuzeného piezoelektrickým
jevem, bylo měření času založeno na kmitavém
pohybu kyvadla. U kyvadla se totiž dá nastavit
perioda kmitu změnou délky kyvadla.
obr. 130
138
Princip kyvadlových hodin je jednoduchý. Podívejte se na obrázek, viz. obr. 130. Vidíte, že
základem je kyvadlo složené z lehké tyče
délky l a „čočky“ hmotnosti m. Toto
kyvadlo svým pohybem řídí otáčení soustavy
ozubených kol spojených s hodinovými
ručičkami. Jak je to vlastně s pohybem
kyvadla, vždyť vlastně nekoná harmonický
přímočarý pohyb.
Pro jednoduchost vyjdeme opět z modelové
situace. Tyč budeme uvažovat nehmotnou,
čočku za hmotný bod. Takovéto kyvadlo se
označuje jako matematické kyvadlo. Je sice
pravda, že pohyb závaží (čočky) kyvadla
probíhá po kruhové trajektorii. Ale pro malé
výchylky kyvadla ( α < 5o
) můžeme
považovat kruhový oblouk za úsečku.
V obrázku, viz. obr. 131 je tato úsečka
označena jako y.
obr. 131
Příčinou kmitání kyvadla je složka F tíhové síly FG, která vzniká při vychýlení kyvadla
z rovnovážné (svislé) polohy. Určeme si velikost této síly:
y
l
mg
l
y
FFF GG =≅= αsin .
Srovnejme pravou stranu rovnice s rovnicí pro sílu pružnosti F = - k y. Výraz
l
mg
odpovídá
tuhosti pružiny k. Dosadíme-li tento výraz za k do rovnice pro periodu kmitavého pohybu
k
m
T π2= , dostaneme po úpravách vztah pro periodu kyvadla
g
l
T π2=
Vidíme, že perioda kmitavého pohybu kyvadla nezávisí na hmotnosti tělesa ani na výchylce
z rovnovážné polohy. Protože tíhové zrychlení je konstantní, je perioda dána jen délkou
závěsu.
U1.8.3-18. Kyvadlo, které vykoná jeden kyv (pohyb z jedné krajní
polohy do druhé ) za jednu sekundu, se nazývá sekundové. Určete délku
sekundového kyvadla.
U1.8.3-19. Kyvadlo tvořené kuličkou zavěšenou na tenké niti má dobu
kmitu T. Jak se změní tato doba, zkrátíme-li závěs na polovinu?
U1.8.3-20. Kyvadlové hodiny vyneseme raketou na měsíc. Budou
ukazovat stejný čas?
139
1. Pohyb, který se opakuje v pravidelných intervalech – periodě T nazýváme kmitavý
pohyb.
2. Výchylka harmonického kmitavého pohybu y je dána rovnicí )sin( om tyy ϕω += ,
kde ym je amplituda výchylky. Veličina
T
f
π
πω
2
2 == je úhlová frekvence kmitů, t
čas, f frekvence a φo je počáteční fáze.
3. Výraz ωt + φo se nazývá fáze pohybu a určuje, jak se výchylka, rychlost a zrychlení
harmonického pohybu mění s časem.
4. Rychlost harmonického pohybu vyjadřuje vztah tyv mh ωω cos= .
5. Zrychlení harmonického pohybu se mění s časem podle rovnice
ytya mh
22
sin ωωω −=−= .
6. Síla pružnosti způsobující kmitavý pohyb pružně deformovatelných těles se vyjádří
výrazem F = - k y. Konstanta k je tuhost.
7. Úhlovou frekvenci harmonického kmitání můžeme stanovit pomocí vztahu
m
k
=ω .
Frekvence je tedy dána vztahem
m
k
f
π2
1
= .
8. U kyvadla je příčinou harmonického pohybu tíhová síla. Perioda kyvadla (doba
kmitu) je dána vztahem
g
l
T π2= . Perioda závisí na tíhovém zrychlení g a na délce
kyvadla l.
140
1.9 Mechanické vlnění a zvuk
S fyzikálním pojmem vlnění se denně setkáváme, i když si to často neuvědomujeme. Vlnění
má podobu mořských vln, vlnivým pohybem se odplazí had. Jistě vám není neznám pojem
zvuková vlna, televizní a rozhlasové vysílání se k vám dostane pomocí elektromagnetických
vln. Také světlo je vlnění, jak se dozvíte ve čtvrtém modulu tohoto kurzu.
Vyjmenované příklady vlnění mají různou fyzikální podstatu, ale celou řadu společných
zákonitostí. Ty si objasníme v této kapitole na mechanickém vlnění. Ukážeme si také
souvislost mezi mechanickým kmitáním a mechanickým vlněním.
Mechanické kmitání.
Odhadovaný čas je 45 minut.
1. Umět popsat vznik vlnění v pružném látkovém prostředí.
2. Znát rozdíl mezi vlněním podélným a příčným.
3. Znát vztahy mezi periodou, frekvencí, vlnovou délkou a rychlostí šíření.
4. Vědět, že okamžitá výchylka je funkcí fáze, tj. času a souřadnice polohy.
Umět odvodit různé tvary rovnice pro okamžitou výchylku libovolného
bodu, do kterého vlnění dospěje.
5. Umět vysvětlit interferenci dvou vlnění.
6. Znát podmínky pro vznik interferenčních maxim a minim.
7. Znát souvislost dráhového rozdílu s fázovým rozdílem.
8. Umět vysvětlit vznik stojatého vlnění, charakterizovat uzly a kmitny.
9. Vědět, že zvuk je mechanické vlnění, umět frekvenčně rozlišit zvuk, infrazvuk a ultrazvuk.
10. Vědět, že rychlost šíření zvuku je závislá na teplotě.
11. Znát vztah pro intenzitu zvuku, umět definovat hladinu intenzity zvuku.
141
1.9.1 Popis mechanického vlnění
Začneme jednoduchým pozorováním. Hodíme kámen svrchu do vody. Po
nárazu na klidnou vodní hladinu se začnou od místa dopadu šířit vlny.
Vzniklé vlnění vyvolal
dopad kamene. Kámen
rozkmital molekuly vody.
Tento kmitavý rozruch se
postupně šíří hmotným prostředím (vodou)
ve formě vlnění do okolí místa dopadu.
Udělejme si ještě jiný pokus znázorněný na
obrázku, viz. obr. 133. Připevněme jeden
konec pružné hadice na stěnu a druhým
koncem trhneme nahoru a dolů (část a)
obrázku). Hadicí se začne šířit vlna
v podobě pulsu. Tento puls se šíří díky
tomu, že výchylka, kterou vyvoláme na
konci hadice, se s jistým časovým
zpožděním přenáší na další části hadice
vlivem pružných vazeb mezi jednotlivými
částmi hadice.
obr. 133
Když kmitáme rukou nahoru a dolů, pak se hadicí šíří jedna vlna za druhou (část b) obrázku).
Pokud je pohyb rukou harmonický (sinusový), budou i vlny vytvářet sinusoidu.
Mechanické vlnění je děj, při kterém se kmitání látky přenáší prostředím. Šíření vln není
spojeno s přenosem látky, ale pouze s přenosem energie.
Výchylky kmitavého pohybu vlnění y v libovolném bodu, do kterého vlnění dospěje, bude
podobně jako u kmitání záležet na
fázi. U kmitání byla fáze dána
výrazem tωϕ = , měnila se jen s
časem. U vlnění musíme vzít ještě
v úvahu, že výchylka bude záviset
také na vzdálenosti od zdroje
kmitavého pohybu. Obraťme se na
pomoc k obrázku obr.146.
Vyšetřujeme fázi v libovolném bodě
označeném A. Do tohoto bodu se
kmitavý pohyb dostane s jistým
zpožděním, tedy za čas τ. Fáze
v tomto bodě bude tedy dána
výrazem ( )τωϕ −= t . obr.146
Vlnění se bude šířit konstantní rychlostí v (tzv. fázovou rychlostí). Vyjádříme si nyní pomocí
této rychlosti vzdálenost x vyšetřovaného bodu A od místa vzniku vlnění x = v τ. Z tohoto
vztahu stanovíme čas τ a dosadíme do rovnice pro fázi 





−=
v
x
tωϕ . Toto vyjádření fáze již
142
zahrnuje jak závislost na čase, tak na poloze vyšetřovaného bodu. Okamžitá výchylka
v obecném bodě A bude tedy dána rovnicí






−=
v
x
tyy m ωsin
Této rovnici se také říká rovnice vlny.
Pojmy jako je úhlová frekvence ω, frekvence f (ω = 2π f), perioda T (
f
T
1
= ) a amplituda
výchylky ym mají u vlnění stejný význam
jako u kmitavého pohybu. Budeme tedy
teď pracovat s úhlovou frekvencí vlny,
periodou vlny a amplitudou vlny.
Pouze jednu novou veličinu si přidáme.
Když se znovu podíváte na některý
z předchozích obrázků, všimněte si, že
se fáze po určité vzdálenosti opakuje.
Této vzdálenosti říkáme vlnová délka λ.
Názorně ji máto zobrazenu na obrázku
134.
obr. 134
Vlnová délka λ je vzdálenost dvou
nejbližších bodů, které kmitají se stejnou fází. Je to vzdálenost, do které se vlnění rozšíří
za periodu T kmitání zdroje vlnění.
f
v
Tv ==λ
Lépe se tento vztah pamatuje ve tvaru:
fv λ=
U1.9.1-1. Vyjádřete rovnici vlny pomocí periody a vlnové délky.
Vlnění, jehož perioda je T a frekvence f, se šíří rychlostí v.
U1.9.1-2. Které z následujících definic jsou správné pro definici vlnové
délky λ?
a) λ = v.T
b) λ je nejmenší vzdálenost dvou bodů kmitajících se stejnou fází
c) λ je vzdálenost, o kterou postoupí fáze za dobu jedné periody
d) λ = v/f
U1.9.1-3. Ve směru osy x se šíří vlna vlnové délky λ. Čemu je rovna nejkratší vzdálenost d
dvou bodů prostředí, které kmitají s opačnou fází ?
U1.9.1-4. Ve stejnorodém prostředí se šíří vlna y = 0,5 sin20π(t - x/30). Vypočítejte její
vlnovou délku.
U1.9.1-5. V homogenním prostředí se šíří vlna. y = 0,5 sin20π(t - x/30). Vypočítejte frekvenci
vlny.
U1.9.1-6. Ve směru osy x se šíří postupná vlna vlnové délky 1 m. Najděte fázový rozdíl dvou
kmitajících bodů, které jsou od sebe vzdáleny 2 m.
U1.9.1-7. Může se mechanické vlnění šířit vakuem?
143
Vezměme si k pokusům pružinu, kterou jsme používali ve výkladu
kmitání. Rozkmitáme pružinu na jejím začátku ve směru osy x obdobně jak
jsme tak dělali s hadicí. Pružinou postupuje vlnění ve směru kolmém na
směr kmitání – ve směru osy x,
viz. obr. 135. Takovému vlnění,
kdy vlnění postupuje ve směru kolmém na směr
kmitání bodů prostředí, říkáme postupné vlnění
příčné.
obr. 135
Teď pružinu na jednom konci stlačíme a vyvoláme střídavé zhuštění a zředění závitů, viz. obr.
136. V tomto případě se výchylka mění ve stejném směru v jakém vlnění postupuje, hovoříme
tedy o postupném vlnění podélném. Typickým příkladem podélného vlnění je zvuk. U
zvukového vlnění se molekuly vzduchu nebo
jiného pružného prostředí střídavě zhušťují a
zřeďují a přenášejí tak zvuk.
obr. 136
Výše uvedená rovnice vlny (rovnice pro výchylku) platí pro vlnění příčné, i podélné. Jen je
nutné si uvědomit, že u podélného vlnění má výchylka stejný směr, jakým se vlnění šíří.
U1.9.1-8. Podélné vlnění má vlnovou délku 0,5 m a šíří se rychlostí 36
km/h ve směru osy z. Amplituda vlnění je 1 cm. Napište rovnici této vlny.
U1.9.1-9. Které z následujících vlnění je vlnění podélné?
a) zvukové
b) mořské vlny
c) vlnění šířící se vagónem vzniklé při nárazu dvou nárazníků brzdícího
vlaku
d) vlnění vzniklé tlučením na radiátor ústředního topení s něčím nespokojeným sousedem
1.9.2 Interference vlnění
S interferencí, česky skládáním vlnění, se detailně seznámíte v Optice,
v modulu 4. Tam budete zkoumat
interferenci světla.
Výklad mechanického vlnění jsme
začínali pádem kamene na klidnou
hladinu vody. Sledovali jsme vlny
šířící se od místa dopadu kamene. Co se teď stane,
hodíme-li do vody poblíž sebe současně kameny dva?
Od každého kamene se bude šířit vlnění. V místech,
kde se tato vlnění setkají, se budou zesilovat nebo
zeslabovat. Velice pěkně je možné vidět tuto
interferenci vln na obrázku, viz. obr. 137. Zejména
jasně jsou zde vidět světlé pruhy, kde se vlnění zcela vyruší. obr. 137
144
Uvažujme nejjednodušší příklad skládání vlnění. Máme dva zdroje vlnění Z1 a Z2, ze kterých
se šíří ve směru osy x vlnění stejné vlnové délky λ a stejné amplitudy ym. Výklad nám přiblíží
obrázek, viz. obr. 138. Výsledné vlnění budeme zkoumat v bodě P.
obr. 138
Napíšeme si rovnice pro výchylku v bodě P. Prvé vlnění bude popsáno rovnicí






−=
λ
π 1
1 2sin
x
T
t
yy m , druhé pak rovnicí






−=
λ
π 2
2 2sin
x
T
t
yy m .
Jak bude vypadat výsledné vlnění rozhoduje fázový rozdíl ∆φ. Vyjádřeme si ho:
( ) dxx
x
T
tx
T
t
λ
π
λ
π
λ
π
λ
πϕϕϕ
22
22 12
12
12 =−=





−−





−=−=∆ .
Z tohoto zápisu je vidět, že fázový rozdíl ∆φ je přímo úměrný vzdálenosti d, tzv. dráhovému
rozdílu obou vlnění.
Všimněme si dvou extrémů fázového rozdílu v závislosti na vzájemném vztahu dvou veličin:
dráhového rozdílu a vlnové délky.
• Dráhový rozdíl je roven sudému počtu půlvln,
2
2
λ
kd = , kde k = 0, 1, 2,…Situaci
máte znázorněnu na obrázku, viz. obr. 139. Vidíte, že obě interferující vlnění se setkávají
v každém bodě se stejnou fází. Výsledné vlnění (červená sinusoida) má amplitudu rovnu
součtu amplitud skládajících se vlnění, ym = ym1 + ym2. Vzniká interferenční maximum,
vlnění se zesilují.
obr. 139
• Dráhový rozdíl je roven lichému počtu půlvln, ( )
2
12
λ
+= kd , kde k = 0, 1,
2,…Situaci máte nyní na obrázku, viz. obr. 140. Je vidět, že obě interferující vlnění se
setkávají v každém bodě s opačnou fází. Výsledné vlnění (červená sinusoida) má
amplitudu rovnu rozdílu amplitud skládajících se vlnění, ym = ym1 - ym2. Vzniká
interferenční minimum, vlnění se zeslabují.
145
obr. 140
Interferencí dvou stejných vlnění vzniká výsledné vlnění, jehož amplituda je maximální
v místech, kde se vlnění setkávají se stejnou fází. V místech, kde se setkávají vlnění
s opačnou fází, má výsledné vlnění minimální amplitudu.
Vlnění šířící se prostředím se nejen skládají, ale může dojít i
k jejich odrazu či lomu na rozhraní dvou prostředí. Oba tyto
jevy si však probereme detailněji až ve čtvrtém modulu – Optice.
Závěry, ke kterým tam dospějeme jsou použitelné i u
mechanického vlnění.
Velice pěkně se demonstruje interference na vzniku stojatého
vlnění. Vraťme se k pokusu s rozkmitanou hadicí. Zavěsme tuto
hadici a rozkmitejme ji dole v příčném směru, viz. obr. 141.
Vlnění se bude šířit hadicí až dojde na její konec. Zde se odrazí a
vrazí se zpět. Pokud hadicí stále kmitáme, postupují hadicí dvě
stejná vlnění, každé však opačným směrem. Obě vlnění budou
interferovat. Pokus je zobrazen na obrázku, viz. obr. 142. Při
pokusu pozorujeme (i na obrázku vidíme), že amplituda
jednotlivých
kmitajících bodů je různá. Některé z bodů
nekmitají vůbec – označujeme je jako uzly. Jiné
body kmitají stále obr. 141
s maximální amplitudou – kmitny. Celkový
obrazec vlnění budí dojem jako by „stál“. Proto
toto vlnění označujeme jako stojaté vlnění.
Odlišujeme ho tak od postupného vlnění, kdy
všechny bodu kmitají postupně se stejnou
amplitudou.
obr. 142
Vzdálenost dvou sousedních kmiten a dvou sousedních uzlů je
rovna polovině vlnové délky λ stojatého vlnění.
Stojaté vlnění může být opět příčné nebo podélné. Typickým
představitelem příčného stojatého vlnění je rozkmitaná struna
hudebního nástroje (housle, kytara), viz. obr. 143. Podélné stojaté
vlnění pak vzniká v dutinách dechových nástrojů (trubka, klarinet, flétna). obr. 143
146
TO1.9.2-10. Prostředím postupují dvě vlny. K interferenci může dojít
a) jen u podélných vln
b) jen u příčných vln
c) jak u příčných tak i podélných vln
TO1.9.2-11. Stojaté vlnění vzniká
a) interferencí dvou vlnění stejné frekvence, stejné vlnové délky a stejné amplitudy,
postupujících stejným směrem, je-li jejich fázový rozdíl roven celistvému násobku 2π
b) interferencí vlnění stejné frekvence, postupujících stejným směrem různou rychlostí
c) interferencí podélného vlnění s příčným vlněním stejné frekvence
d) interferencí dvou vlnění stejné amplitudy a stejné vlnové délky postupujících v určitém
prostředí proti sobě
TO1.9.2-12. Vzdálenost dvou sousedních kmiten stojatého vlnění je
a) rovna vlnové délce interferujících vln
b) rovna polovině vlnové délky interferujících vln
c) nezávislá na vlnové délce interferujících vln.
1.9.3 Zvukové vlnění
Zvukové vlnění snad není třeba přibližovat na příkladech. Ale měli
bychom si vysvětlit, jak vlastně vzniká a jak to, že jej „slyšíme“.
Nejdříve si zopakujeme, že zvukové vlnění (to co slyšíme) je mechanické
postupné podélné vlnění.
Zvukem označujeme každé mechanické vlnění , které je schopno vyvolat
v lidském uchu sluchový vjem.
Zdrojem zvukového vlnění, krátce zvuku, je chvění pružných těles. Těmi pružnými tělesy
může být rozkmitaná membrána reproduktoru, rozkmitané lidské hlasivky nebo skřípot kol
brzdícího vlaku.
Pokud jsou zvuky periodické, označujeme je jako hudební zvuky nebo tóny. Základní
charakteristikou tónu je jeho
frekvence
λ
v
f = . Jestliže je
zvuková vlna neperiodická,
hovoříme o hluku.
Mezi hudební zvuky samozřejmě
patří zvuky hudebních nástrojů. I
lidská řeč je složena z hudebních
zvuků, ale jen samohlásky.
Podívejte se, jak vypadá časový
diagram, viz. obr. 144,
samohlásek a, e, i, o.
Pozorujeme, že zvuk je
periodický, ale ne harmonický.
Souhlásky mají neperiodický
průběh. obr. 144
147
Zvuková vlna přichází do lidského ucha, konkrétně dopadá na část ucha nazývanou bubínek.
To je vlastně membrána, která se rozkmitá po nárazu s frekvencí dopadající zvukové vlny. Že
pak zvukové vlnění vnímáme příslušným způsobem, to je už záležitost fyziologie ucha.
Lidské ucho slyší zvuky v frekvenčním rozsahu přibližně od16 Hz (nejnižší tóny – basy) až
po 16 kHz (nejvyšší tóny – výšky). Zvuky o nižší frekvenci než 16 Hz se označují jako
infrazvuk, zvuky s frekvencí vyšší než 16 KHz nazýváme ultrazvuky.
Ultrazvuk nalezl široké použití v technice a lékařství. Ultrazvukem se vyhledávají skryté vady
materiálu, vyšetřují se vnitřní orgány lidského těla. Obraz těchto „ukrytých“ objektů se získá
díky různé pohltivosti zvuku jejich částí.
Vedle vlnové délky zvukového vlnění λ je nejdůležitější charakteristikou rychlost zvuku v
v daném prostředí. Je to materiálová konstanta, která je závislá na celé řadě faktorů jako je
hustota, teplota, vlhkost apod. Nejvíce však rychlost zvuku závisí na teplotě. Tak například
pro rychlost zvuku ve vzduchu se uvádí vztah
( )tvt 61,082,331 += m.s-1
.
Důležité je, že rychlost zvuku nezávisí na frekvenci. Rychlost zvuku v některých
materiálech může najít v tabulce rychlostí zvuku.
Při vnímání zvuku je vedle jeho frekvence důležitá i jeho hlasitost. Pro měření hlasitosti
zvuku slouží veličina intenzita zvuku I. Intenzita zvuku je definována jako poměr výkonu
zvukového vlnění P a obsahu plochy S, kterou vlnění prochází.
S
P
I =
Jednotkou intenzity zvuku je W.m-2
.
Rozsah intenzit zvuku, které je lidské ucho schopno registrovat je obrovský: 1012
. Proto se
hodnoty intenzit vynášejí v logaritmické stupnici pomocí jednotky, kterou určitě znáte decibelu.
Jak je tedy veličina, jejíž jednotkou je decibel definována?
Tato fyzikální veličina se označuje jako hladina intenzity zvuku L a je definována vztahem
oI
I
L log10=
Jednotkou hladiny intenzity zvuku je decibel (dB).
Intenzita zvuku označená jako Io odpovídá intenzitě, kterou je průměrné lidské ucho ještě
schopno zachytit. Její hodnota je Io = 10-12
W.m-12
.
Určete, o kolik se zvýšila intenzita zvuku, zvětšila-li se hladina intenzity o 1
dB?
Vyjdeme z definičního vztahu pro hladinu intenzity zvuku, do kterého
dosadíme:
o
o
I
xI
log101 = . Hledáme poměr x zvýšené a původní intenzity. Po
odlogaritmování vyjde hledaný nárůst jako
26,11010
==x . Intenzita zvuku se zvýší o 26%.
Asi jste již zažili pocit, kdy zvuk vám „trhá uši“. Může to být způsobeno
jak „nepříjemnou“ frekvencí zvuku, tak jeho velkou intenzitou. Ucho je
totiž různě citlivé na různé frekvence. V grafu, viz. obr. 145, je
zobrazeno tzv. sluchové pole. Vidíte zde vyznačen práh slyšení. Ten
148
určuje nejmenší intenzitu zvuku, kterou je lidské ucho při dané frekvenci ještě schopno
vnímat. Jsou zde vyznačeny oblasti ultrazvuku a infrazvuku, které lidské ucho nevnímá. A
konečně zde vidíte důležitý práh bolesti. Intenzity zvuku překračující tyto hodnoty způsobují
pocit bolesti. Při překročení těchto hodnot může dojít k trvalému poškození sluchu. Příklady
hladin intenzity zvuku si můžete prohlédnout v tabulce intenzit zvuku.
obr. 145
TO1.9.3-13. Lidské ucho vnímá přibližně frekvence 20 Hz až 20 000 Hz. V
jakém intervalu leží příslušné vlnové délky? (v = 340 m/s)
TO1.9.3-14. Mohli by se astronauti na povrchu Měsíce dorozumívat
zvukovými signály?
TO1.9.3-15. Jak je třeba změnit intenzitu zvuku I1, má-li se hladina intenzity L1 = 70 dB
snížit na L2 = 60 dB?
TO1.9.3-16. Intenzita určitého zvuku je 10-2
Wm-2
. Najděte hladinu intenzity tohoto zvuku.
U1.9.3-17. Rychlost zvuku v Zemi (u povrchu) je 13 krát větší než ve
vzduchu. Ve vzdálenosti 1,7 km od pozorovatele vybuchla na povrchu
Země nálož. Určete dobu, která uplyne mezi záchvěvem půdy v místě
pozorovatele a okamžikem, kdy uslyší explozi.
U1.9.3-18. Turista, který stojí na okraji propasti, uslyší zvuk dopadu
kamene na její dno po uplynutí doby 4 s od začátku pádu kamene. Velikost
rychlosti zvuku ve vzduchu je 330 m/s, kámen padá volným pádem. Jak hluboká je propast?
1. Mechanické vlnění je děj, při kterém se kmitání látky přenáší prostředím.
149
2. Okamžitá výchylka vlny je dána vztahem 





−=
v
x
tyy m ωsin . Výraz 





−
v
x
tω vyjadřuje
fázi vlnění.
3. Vlnová délka λ je vzdálenost dvou nejbližších bodů, které kmitají se stejnou fází.
4. Rychlost mechanické vlny v, její vlnová délka λ a frekvence vlnění, respektive perioda T,
jsou svázány vztahem
T
fv
λ
λ == .
5. Mechanické vlnění rozdělujeme na vlnění příčné a podélné. Jiné dělení je na vlnění
postupné a stojaté.
6. Mechanická vlnění se mohou skládat – interferovat. Jak bude vypadat výsledné vlnění
rozhoduje fázový rozdíl ∆φ.
( ) dxx
x
T
tx
T
t
λ
π
λ
π
λ
π
λ
πϕϕϕ
22
22 12
12
12 =−=





−−





−=−=∆ .
7. Fázový rozdíl ∆φ je přímo úměrný vzdálenosti d, tzv. dráhovému rozdílu obou vlnění.
8. Je-li dráhový rozdíl roven sudému počtu půlvln,
2
2
λ
kd = , kde k = 0, 1, 2, pak vzniká
interferenční maximum, vlnění se zesilují.
9. Je-li dráhový rozdíl roven lichému počtu půlvln, ( )
2
12
λ
+= kd , kde k = 0, 1, 2,…, pak
vzniká interferenční minimum, vlnění se zeslabují.
10. Interferencí dvou vlnění stejné frekvence, která se šíří v opačném směru vzniká stojaté
vlnění. Pro toto vlnění je charakteristické, že některé z bodů nekmitají vůbec –uzly. Jiné body
kmitají s maximální amplitudou – kmitny.
11. Zvukové vlnění je mechanické postupné podélné vlnění, které je schopno vyvolat
v lidském uchu sluchový vjem.
12. Lidské ucho vnímá zvuky v frekvenčním rozsahu 16 Hz až po 16 kHz. Zvuky o nižší
frekvenci než 16 Hz se označují jako infrazvuk, zvuky s frekvencí vyšší než 16 KHz jsou
ultrazvuky.
13. Rychlost zvuku v závisí na teplotě. Rychlost zvuku ve vzduchu je dána vztahem
( )tvt 61,082,331 += m.s-1
.
14. Intenzita zvuku I je definována jako poměr výkonu zvukového vlnění P a obsahu plochy
S, kterou vlnění prochází
S
P
I = . Jednotkou intenzity zvuku je W.m-2
.
15. Hladina intenzity zvuku L je definována vztahem
oI
I
L log10= . Jednotkou hladiny
intenzity zvuku je decibel (dB).
16. Ucho je různě citlivé na různé frekvence. Práh slyšení je určen nejmenší intenzitou
zvuku, kterou je lidské ucho při dané frekvenci ještě schopno vnímat.Při dosažení prahu
bolesti intenzity zvuku způsobují pocit bolesti.
150
Klíč
1.1. Úvodní pojmy
1.1.1 Soustava fyzikálních veličin a jednotek
U1.1.1-1. kg.m.s-2
Při odvozování vyjdeme z 2.Newtonova pohybového zákona, který definuje sílu jako součin
hmotnosti a zrychlení: amF = → N = kg.m/s2
U1.1.1-2. min = 60 s
1 h = 60 min = 3 600 s
1 t = 1 000 kg
1 l = 0,001 m3
U1.1.1-3. 0,2 g/cm3
= 200 kg.m-3
U1.1.1-4. 1 mA = 10-3
A
1 GJ = 106
J
1 nm = 10-9
m
1 µV = 10-6
V
1 pF = 10-12
F
1.1.2 Skalární a vektorové fyzikální veličiny
U1.1.2-5. c = 5 m, c = (4, 3, 0) , tg α = 3/4, viz obr. 6
obr. 6
U1.1.2-6. viz. obr.8
151
obr. 8
U1.1.2-7. F1 + F2 =0, viz. obr. 9
obr. 9
U1.1.2-8. a) a . b = a b
b) a . b = 0
U1.1.2-9. a) │a x b│= 0 (α = 0)
b) │a x b│= a b (α = 90o
), výsledný vektor je kolmý na rovinu tvořenou oběma
vektory.
1.2. Kinematika hmotného bodu
1.2.1 Hmotný bod, mechanický pohyb
KO1.2.1-1. ano, ne, ano, ano, ano
KO1.2.1-2. Tyto veličiny nelze absolutně určit, vždy záleží na volbě vztažné soustavy.
KO1.2.1-3. V klidu vůči autu, v pohybu vůči Zemi.
1.2.2 Polohový vektor, trajektorie, dráha
U1.2.2-4. r [4 m,1 m,0], nebo dostačuje r [4 m,1 m]. 1,4)14 22
=+=r m.
1,4
4
sin,
1,4
1
sin == βα
KO1.2.2-5. přímočaré, křivočaré
KO1.2.2-6. křivočarý, křivočarý, přímočarý, přímočarý, křivočarý, křivočarý, křivočarý
KO1.2.2-7. oblouk kružnice, bod, spirálu
U1.2.2-8. 5s = 35 m, 10s = 70 m
U1.2.2-9. v případě b)
U1.2.2-10. Grafem závislosti dráhy na čase bude přímka, viz. obr. 22
152
obr. 22
1.2.3 Rychlost hmotného bodu
U1.2.3-11.
s
v m25
s60.60
m1000
90
h
km90 ===
U1.2.3-12. 5 km
U1.2.3-13. 36 minut
1.2.4 Zrychlení hmotného bodu
U1.2.4-14. 0,5 m.s-2
U přímočarého pohybu nedochází ke změně směru rychlosti, proto normálové zrychlení je
vždy nulové. U přímočarého pohybu je celkové zrychlení rovno tečnému zrychlení.
1.2.5 Přímočarý pohyb hmotného bodu
KO1.2.5-15. d
KO1.2.5-16. c
KO1.2.5-17. b
KO1.2.5-18. a
KO1.2.5-19. a
KO1.2.5-20. c
U1.2.5-21. 2 m.s-1
U1.2.5-22. 6 m.s-1
, počáteční dráhu, so = 1 m.
U1.2.5-23. v = vo – a t
KO1.2.5-24. b
KO1.2.5-25. a, vycházíme ze směrnice úsečky, a = ∆v/ ∆t
KO1.2.5-26. d, v = a t
KO1.2.5-27. b, v = vo – a t
KO1.2.5-28. b, s = vo t – ½ a t2
U1.2.5-29. a) v = vo + a t , s = so + vo t +1/2 a t2
b) 16 s , vyjdeme z rovnice pro rychlost 40 = 8 + 2 t
c) 7 s, vyjdeme z rovnice pro dráhu 110 = 5 + 8 t + ½ 2 t2
U1.2.5-30. 33,3 s, vyjdeme z rovnice pro rychlost 20 = 0,6 t
330 m, vyjdeme z rovnice pro dráhu s = ½ 0,6 332
U1.2.5-31. 26 m
153
Vycházíme z rovnic s = ½ g t2
a v = g t. Z druhé rovnice vyjádříme čas, dosadíme ho do první
a vypočítáme dráhu. Pozor na jednotku rychlosti.
U1.2.5-32. o 9,81 m/s, 24,5 m
Nejdříve si stanovíme změnu rychlosti od druhé do třetí sekundy. ∆v = v3 – v2 , dolním
indexem označujeme čas, ve kterém určujeme rychlost. Stejným způsobem vypočítáme
uraženou dráhu ∆s = s3 – s2.
1.2.6 Rovnoměrný pohyb hmotného bodu po kružnici
U1.2.6-33. 2π
U1.2.6-34. ot ϕωϕ +=
Vyjdeme ze vztahu pro úhlovou rychlost
o
o
tt −
−
=
ϕϕ
ω , který upravíme (to=0) na tvar
t
oϕϕ
ω
−
= . Z něj pak vyjádříme úhlovou dráhu φ v čase t.
ostvs += ot ϕωϕ +=
KO1.2.6-35. průvodičem, úhlovou dráhou a úhlovou rychlostí, rychlostí, frekvencí a
periodou, dostředivým zrychlením
KO1.2.6-36. nemění se velikost, jen směr
KO1.2.6-37. a,
r
v=ω
U1.2.6-38. hodinová ručička: 3600 s, 1/3600 s-1
. minutová ručička: 60 s ; 1/60 s-1
U1.2.6-39. 0,16 s
Vyjdeme ze vztahu vyjadřujícího úhlovou rychlost pomocí periody
T
π
ω
2
= . Z něj vyjádříme
periodu (dobu oběhu) a za úhlovou rychlost dosadíme ze vztahu udávajícího souvislost
rychlosti a úhlové rychlosti v = r ω.
U1.2.6-40. 10 s-1
, 0,1 s ; 63 rad/s
U1.2.6-41. 1,67 rad/s ; 7,9 m/s
U1.2.6-42. a) 465 m/s
Počítáme ze vztahu pro rychlost v závislosti na úhlové rychlosti v = r ω. Do něj dosadíme ze
vztahu pro úhlovou rychlost jako funkci periody
T
π
ω
2
= . Za periodu dosadíme jeden den
v sekundách ;
b) 233 m/s
Počítáme stejně, pouze předmět se nyní neotáčí na
poloměru rovníku, ale na rovnoběžce, jejíž poloměr si
stanovíme podle obrázku, viz. obr. 34. Z obrázku plyne,
že poloměr na kterém se otáčí bod na 60o
zeměpisné šířky
je o
rr 30sin=′
154
obr. 34
1.3. Dynamika
1.3.1 Síly
U1.3.1-1. deformací F3,, posuvem F1, otáčením kvádru F2?
1.3.2 Newtonovy pohybové zákony
KO1.3.2-2. Při klopýtnutí se nohy zastaví, ale těleso setrvačností pokračuje v pohybu. Při
uklouznutí naopak se pohybují nohy dopředu a tělo zůstává v původním pomalejším pohybu.
KO1.3.2-3. Posádka auta setrvačností pokračuje v pohybu v původním směru.
KO1.3.2-4. Obojí bezpečnostní prvky mají za úkol zabrzdit pohyb osoby dopředu při čelním
nárazu auta na překážku. Pohyb dopředu je způsoben setrvačností při náhlém zpomalení auta.
KO1.3.2-5. c
KO1.3.2-6. a
KO1.3.2-7. b
Vyjdeme z druhého Newtonova zákona
KO1.3.2-8. a) dvojnásobné, b) poloviční
Vyjdeme z druhého Newtonova zákona
U1.3.2-9. 1) pořadí je a), d), c), b)
2) pořadí je stejné
U1.3.2-10. 10 m.s-1
, 2,4 kN
Pro výpočet brzdné síly podle zákona síly potřebujeme znát zpoždění pohybu a. Vrátíme se
proto ke kinematice. Napíšeme si vztah pro uraženou dráhu automobilem do zastavení
tvtas o+−= 2
2
1
a vztah pro konečnou rychlost (je nulová) ovtav +−= . Řešením obou
rovnic dostaneme vztah pro dráhu tvs o
2
1
= . Čas známe, uraženou dráhu také, takže můžeme
po dosazení vypočítat hledanou počáteční rychlost.
Z rovnice pro konečnou rychlost ovta +−=0 po dosazení vypočítané počáteční rychlosti
vypočítáme zpoždění pohybu (2 m.s-2
). Při známé hmotnosti auta dosazením do zákona síly
vypočítáme brzdící sílu.
U1.3.2-11. 7,5 kN, 125 m
Vycházíme ze stejných rovnic jako v předešlé úloze. Jenom je třeba si dát pozor na převod
rychlosti do jednotky soustavy SI.,
KO1.3.2-12. 981 N, 981/6 N
KO1.3.2-13. Tíha je stejná jak plyne z její definice.
155
KO1.3.2-14. 461 N
Protože pohyb je rovnoměrný, výsledná síla působící na těleso je nulová. Síla, kterou působí
dělník se musí rovnat odporové síle smykového tření.
KO1.3.2-15. statická odporová síla smykového tření je podstatně větší než odporová síla
valivého odporu
KO1.3.2-16. a
KO1.3.2-17. a
KO1.3.2-18. c
KO1.3.2-19. snižuje velikost odstředivé síly
KO1.3.2-20. sníží se velikost odstředivé síly
U1.3.2-21. 0,17
Mezní součinitel smykového tření odpovídá třecí síle, která je právě tak velká jako je
setrvačná síla působící na bednu při brždění auta. Stanovte si proto ze změny rychlosti ∆v
zpoždění a auta. Z tohoto zpoždění vypočítejte brzdnou sílu a ta musí být rovna třecí síle.
Z této rovnice pak stanovíte součinitel smykového tření f.
U1.3.2-22. 98,1/24,5
Aby se bedna pohybovala rovnoměrným pohybem,
musí být výsledná síla, která na ní působí rovna nule.
Jinak řečeno, musíme působit silou rovnou odporové
síle. V případě smykového tření bude síla Ft =f m g =
0,2.50.9,81 = 98,1 N. V případě valení bude odporová
síla Fv = 0,005.50.9,81/0,1 = 24,5 N,
U1.3.2-23. 47 km/h
Nejdříve si nakreslete obrázek nakloněné roviny pod
úhlem α = 10o
. Raději si úhel nakreslete větší, ať je
Obr.57
obrázek přehlednější. Do obrázku zakreslete směr tíhy kola G. Pak vyznačte směr odstředivé
síly Fo. Ta musí být vykompenzována složkou tíhy v opačném směru. Výslednice sil G a Fo
musí být kolmá na rovinu dráhy (aby cyklista nespadl).
Bude platit rovnice αsin
2
gm
r
v
m = . Z té pak
vypočítáte hledanou rychlost.
U1.3.2-24. Síly akce a reakce vznikají a zanikají
současně. Proto není podstatné, kterou označíme jako sílu
akce či reakce. Obyčejně se označuje za sílu akce ta,
která je příčinou vzniku reakce. V našem případě to tedy
bude tíha knihy. Viz Obr.51.
1.3.3 Síla v neinerciální soustavě
KO1.3.3-25. a, b, c
obr.51
KO1.3.3-26. c
156
KO1.3.3-27. b
KO1.3.3-28.
Název síly symbol
odstředivá síla F2
síla akce F3 (F1)
síla reakce F1 (F3)
dostředivá síla F3
KO1.3.3-29. c, d
První podmínka vymezuje kruhový pohyb, druhá říká, že pohyb je rovnoměrný.
U1.3.3-30. Přetížení při startu kosmické lodi. Loď se pohybuje s obrovským zrychlením,
astronauté vlivem setrvační síly jsou „zamáčknuti“ do sedadel.
U1.3.3-31. 0 N
U1.3.3-32. 18 N
Jedná se o odstředivou sílu.
U1.3.3-33. a) m v2
/l – m g, b) m v2
/l + m g, c) m v2
/l + m g cosα
Uvědomte si, že na kámen působí jednak odstředivá síla, ta je ve všech případech stejná.
Působí ale také tíhová síla, která v případu a) má opačný směr než odstředivá síla, v případu
b) má směr stejný. V případu c) pak ve směru odstředivé síly působí jen složka tíhové síly jak
ukazuje obrázek 58 a 59.
obr. 58
obr. 59
1.3.4 Hybnost tělesa
KO1.3.4-34. směr bude stejný. Z matematického hlediska násobíme vektor ∆v reálným
číslem m.
KO1.3.4-35. Stejné
Impuls síly bude v obou případech stejný 50.0,02 = 1.1 .
KO1.3.4-36. Platí zákon zachování hybnosti. Hybnost vody je velká díky vysoké rychlosti
stříkající vody.
U1.3.4-37. 500 N
157
Vyjdeme ze vztahu pro impuls síly. Změna rychlosti bude ∆v = v – 0. Pozor na jednotky
rychlosti.
U1.3.4-38. 3,2 m.s-1
To odpovídá asi 12 km/h. Počítáme ze zákona zachování hybnosti. Nehledejte jak uplatnit
údaj o čase za který prolétla střela hlavní. Je nadbytečný.
U1.3.4-39. 300 m.s-1
Počítáme ze zákona zachování hybnosti.
Práce, energie, výkon
1.4.1 Mechanická práce
U1.4.1-1. kg.m2
.s-2
Vyjdeme z definičního vztahu
KO1.4.1-2. a. cos0o
= 1
KO1.4.1-3. c. cos90o
= 0
KO1.4.1-4. b, c jen v případě, že síla působí ve směru pohybu
KO1.4.1-5. 50N
U1.4.1-6. a) 78,5 N. Síla musí překonat po dráze 1 m tíhovou sílu m g.
b) 0 N. Síla nepůsobí po dráze.
c) 0N. Zanedbáme-li odpor prostředí nepůsobí nám ve směru pohybu žádná
síla.
U1.4.1-7. a) 60 kJ, b) 30 kJ
U1.4.1-8. 7,06 MJ
Nejdříve vypočítáme sílu motoru, která udržuje rovnoměrný pohyb automobilu. Ta musí být
právě tak veliká, ale opačného směru než je síla odporu Fo = f m g cosα a složka tíhy
působící proti pohybu F = m g sinα. Pak vynásobíme dráhou. Viz. obr. 73.
obr. 73
1.4.2 Výkon
KO1.4.2-9. b, c
Je to vlastně joule. W = J/s → J = W.s
KO1.4.2-10. b
158
KO1.4.2-11. a
U1.4.2-12. 1,37 kW.
t
hgm
U1.4.2-13. 6 W . P = F v
U1.4.2-14. 26 min
Počítáme z práce, která je rovna změně potenciální energie vody po vyčerpání ∆W = S d ρ g ,
z definice účinnosti
P
W∆
η = a definice výkonu
t
W
P
∆
= .
U1.4.2-15. 0,83, tj. 83%
Vyjdeme z definice účinnosti:
oo P
t
W
P
P
==η .
U1.4.2-16.)
3,6 MJ. 1 kWh = 103
. 3600 = 3,6.106
J = 3,6 MJ
1.4.3 Mechanická energie
KO1.4.3-17. b
V nejvyšším bodě dráhy se těleso zastaví (v = 0) než začne padat.
KO1.4.3-18. c
Těleso bude jednak na nejvyšším bodě své dráhy, tedy bude mít potenciální energii. Bude se
také pohybovat vpřed, tedy bude mít energii kinetickou.
KO1.4.3-19. 15,3 N
Vycházíme ze zákona zachování mechanické energie. Kinetická energie vrženého kamene ½
G/g v2
se bude rovnat hledané energii potenciální v horním bodě jeho dráhy. V tomto bodě
bude jeho kinetická energie nulová.
KO1.4.3-20. v2
/2g
Vycházíme ze zákona zachování mechanické energie. ½ m v2
= m g h.
KO1.4.3-21.)
b
Počítáme ze vztahu pro kinetickou energii, rychlostí je rychlost tělesa vzhledem k vagónu.
KO1.4.3-22. a
Počítáme ze vztahu pro kinetickou energii, rychlostí je součet rychlostí tělesa vzhledem
k vagónu a pohybu vagónu.
KO1.4.3-23. b
Počítáme ze vztahu Ep = m g h
KO1.4.3-24. a
Počítáme ze vztahu W = ∆Ep = m g h
U1.4.3-25. 39,2 kJ, 39,2 kJ
Počítáme ze vztahu ∆Ep = m g ∆h. Změna potenciální energie je rovna vykonané práci
motorem.
159
U1.4.3-26. 9 krát
Rychlost se zvětšila 3 krát. Protože rychlost je ve vztahu pro kinetickou energii na druhou,
pak za jinak stejných podmínek se musela kinetická energie zvětšit 32
= 9.
U1.4.3-27. 98,1 J
Počítáme ze vztahu ∆Ep = m g ∆h. Nezáleží na tom, po jaké dráze jsme se pohybovali,
podstatný je rozdíl výšek.
U1.4.3-28. 981 J
Práce musela být vynaložena pouze na překonání výškového rozdílu 1 m, viz. obr. 75.
obr. 75
1.5. Gravitační pole
1.5.1 Newtonův gravitační zákon
KO1.5.1-1. 144 N
KO1.5.1-2. 144 N
U1.5.1-3. 7,8.103
m.s-1
Vycházíme z toho, že aby se satelit udržel na své kruhové dráze, musí na něj působit dvě
stejně velké síly opačného směru. Silami jsou síla odstředivá Fo = ms . v2
/r a gravitační síla Fg
= κ.(ms . mZ)/r2
. Z rovnost obou sil vypočítáme v.
U1.5.1-4. 0,03 N
Vznikají slapové jevy – příliv a odliv.
1.5.2 Gravitace v okolí Země
U1.5.2-5. 6,29.1023
kg
Hmotnost Marsu je asi 10 krát menší než Země.
1.5.3 Pohyb těles v blízkosti povrchu Země
KO1.5.3-6. 20 m.s-1
. v = g t
KO1.5.3-7. 2,83 s
Vyjdeme ze vztahu pro dráhu volného pádu. h = ½ g t2
→
g
h
t
2
= =
KO1.5.3-8. 45 m. s = ½ g t2
KO1.5.3-9. 14,1 m.s-1
160
Vyjdeme z rovnice pro rychlost, která je v nejvyšším bodě nulová. Z této rovnice stanovíme
dobu výstupu. Tento čas dosadíme do rovnice pro dráhu a z ní vypočítáme počáteční rychlost.
KO1.5.3-10.
g
vo
2
2
Vyjdeme z rovnice pro rychlost, která je v nejvyšším bodě nulová. Z této rovnice stanovíme
dobu výstupu. Tento čas dosadíme do rovnice pro hledanou dráhu
KO1.5.3-11. b
viz. obr. 86, 87
obr. 86
obr. 87
KO1.5.3-12. c
U1.5.3-13. 0 m.s-1
, 45 m
Vyjdeme z rovnice pro rychlost do které dosadíme zadaný čas. Vyjde nám nulová rychlost.
Z toho vyplývá, že těleso se dostalo do nejvyššího bodu své dráhy. Pak začne padat dolů.
Tento čas tedy dosadíme do rovnice pro dráhu – výšku tělesa v tomto čase.
U1.5.3-14. 40 m.s-1
, 80 m
Označíme si dobu výstupu t1, dobu pádu t2. Řešíme rovnice pro rychlost a výšku vrhu svislého
vzhůru v čase t1 a pro dráhu volného pádu za čas t2. Zjistíme, že oba časy t1 a t2 jsou stejné.
Z doby výstupu vypočítáme počáteční rychlost a nejvyšší bod dráhy.
U1.5.3-15. 25 m.s-1
, 25,26 m.s-1
, 1,8 m
Jedná se o pohyb složený z rovnoměrného přímočarého pohybu ve směru osy x a volného
pádu ve směru osy y. Vzdálenost dopadu je souřadnice x v daném čase, použijeme tedy
rovnici pro ni.
Hledáme-li rychlost v bodě dopadu, musíme si uvědomit, že rychlost bude mít dvě složky.
Prvou bude x-ová složka rovna počáteční rychlosti. Druhou složkou bude rychlost volného
pádu za daný čas vy = g t. Obě složky vektorově sečteme.
Výšku stanovíme z dráhy volného pádu. h = ½ g t2
.
U1.5.3-16. 4 s, 60 m
Zase jde o pohyb složený z přímočarého rovnoměrného v ose x a z volného pádu. Hledaný
čas si stanovíme z dráhy volného pádu. Místo dopadu pak z dráhy rovnoměrného pohybu
v ose x. Viz. obr. 88.
161
obr. 88
U1.5.3-17. 34 m.s-1
Vyjdeme z rovnice pro x-ovou a y-ovou složku místa dopadu vody.
1.5.4 Pohyb těles ve velkých výškách od povrchu Země
U1.5.4-18. 1 km.s-1
, 27 dní 11 hodin
Rychlost vypočítáme z rovnosti gravitační a setrvačné odstředivé síly: 2
2
r
mM
r
vm MMM
κ= .
Oběžnou dobu stanovíme jako podíl dráhy měsíce a jeho rychlosti:
Mv
r
T
π2
= .
1.5.5 Keplerovy zákony
U1.5.5-19.)
29,7 roku
Počítáme ze třetího Keplerova zákona. Jedna AU (astronomická jednotka) je rovna průměrné
vzdálenosti Země – Slunce. 1 AU = 149,6.106
km.
1.6. Mechanika tuhého tělesa
1.6.1 Pohyb tuhého tělesa
KO1.6.1-1. Pokud se těleso pohybuje pohybem zrychleným, je zrychlení všech bodů stejné.
KO1.6.1-2. Body, kterými prochází osa otáčení.
KO1.6.1-3. a, e
KO1.6.1-4.)
b, c
KO1.6.1-5. d, f
1.6.2. Otáčivé účinky síly, moment síly
KO1.6.2-6. kg.m2
.s-2
KO1.6.2-7. F2
U1.6.2-8. 10 N.m, 14,1 N.m, 14,1 N.m, 7,07 N.m
U1.6.2-9. 28,3 N.m
1.6.3 Skládání sil působících na těleso
KO1.6.3-10. c
162
KO1.6.3-11. d
U1.6.3-12. 1700 N
Vektorově obě síly sečteme. Viz. obr. 112 - 117
U1.6.3-13. 170 N
Vycházíme z momentové věty. Moment síly dělníka F d musí být roven momentu tíhy trámu
m g cosα d/2 působící v těžišti (polovina délky trámu d).
1.6.4 Rovnováha tuhého tělesa
KO1.6.4-14. 0,5 m
Chceme, aby houpačka byla ve stabilní poloze. Momenty síly otce a dítěte vzhledem k ose
otáčení musí být stejné.
KO1.6.4-15. 0,5 m
Počítáme stejně jako v předešlé otázce.
1.6.5 Kinetická energie tuhého tělesa
U1.6.5-16. 15,8 kJ. . ( ) ( )222
20.14,3.2.2.
2
1
2
2
1
2
1
=== fJJEk πω
U1.6.5-17. 24 J
Kinetická energie bude složena z kinetické energie posuvného pohybu těžiště pohybujícího se
rychlostí v = 4 m.s-1
a z kinetické energie otáčivého pohybu se stejnou obvodovou
rychlostí. 2
2
22
2
2222 4
..2
2
1
.
2
1
4.2
2
1
.
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
r
r
r
v
mrmvJmvEk +=











+=+= ω . Všimněte
si, že energie válce nezávisí na jeho poloměru.
U1.6.5-18. 0,1 J
( ) ( ) ( ) ( )22222222
4.2.03,0.25,0
5
2
.
2
1
03,0.4.14,3.2.25,0
2
1
2.
5
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
πππω +=





+=+= fmrrfmJmvEk
Rychlost pohybu těžiště (je stejná jako obvodová rychlost povrchového bodu) se vypočítá
z otáčivého pohybu ze vztahu v = ω r = 2πf.r.
1.7. Struktura a deformace pevné látky
1.7.3. Normálové napětí, Hookův zákon
KO1.7.3-1. a, f
KO1.7.3-2. c)
KO1.7.3-3. a)
KO1.7.3-4. a)
U1.7.3-5. σ = 9,81.107
Pa, ε = 5.10-4
, ∆l = 5.10-4
m
U1.7.3-6. E = 1,96.1011
Pa
U1.7.3-7. Pa11
52
13
10.2
10.25,1.10.4.14,3
10.2.10.92,3
==
−
E
163
U1.7.3-8. 2,996m, 0,13%
U1.7.3-9. 8 N
U1.7.3-10. σp = 34 MPa
1.8. Mechanické kmitání
1.8.1 Harmonický pohyb
KO1.8.1-1. pravý obrázek je tlumený pohyb, amplituda výchylky se zmenšuje s časem.
KO1.8.1-2. v počtu tepů za minutu, tedy běžných 60 tepů za minutu je frekvence srdce f = 60
min-1
= 1 Hz
KO1.8.1-3. Harmonický pohyb je zvláštní druh pohybu periodického. Podstatné je to, že jeho
rovnicí pro výchylku je sinusoida nebo kosinusoida.
KO1.8.1-4. 2,3 ms
KO1.8.1-5. 1 ns = 10-6
s
KO1.8.1-6. 20 rad.s-1
Výsledek dostaneme srovnáním s obecnou rovnicí pro výchylku )sin( om tyy ϕω += .
KO1.8.1-7. 3,18 Hz
Výsledek dostaneme srovnáním s obecnou rovnicí pro výchylku )sin( om tyy ϕω += a užitím
vztahu ω = 2 π f.
KO1.8.1-8. φ = 20t +π/4, φo = π/4
Výsledek dostaneme srovnáním s obecnou rovnicí pro výchylku )sin( om tyy ϕω +=
KO1.8.1-9. b
KO1.8.1-10. a
KO1.8.1-11.)
a
U1.8.1-12. )
6
8sin(3 ππ += ty
Dosadíme známé hodnoty do obecné rovnice pro výchylku )sin( om tyy ϕω += . Počáteční
fázi určíme také z obecné rovnice pro výchylku dosazení příslušných hodnot
)0.sin(35,1 oϕω +=
U1.8.1-13. 6 cos(3t)
Ze zadané rovnice pro výchylku si stanovíme amplitudu, kruhovou frekvenci a fázi. Tyto
hodnoty dosadíme do rovnice pro rychlost tyv mh ωω cos= .
U1.8.1-14. - 18 sin(3t)
Ze zadané rovnice pro výchylku si stanovíme amplitudu, kruhovou frekvenci a fázi. Tyto
hodnoty dosadíme do rovnice pro zrychlení tya mh ωω sin2
−= .
U1.8.1-15. Grafem průběhu rychlosti bude kosinusoida. Obě křivky budou posunuty o T/4.
Viz. obr. 129.
164
obr. 129
1.8.2 Dynamika harmonického pohybu
U1.8.2-16. 4 s
Počítáme ze vztahu pro frekvenci a relace mezi frekvencí a periodou T = 1/f.
U1.8.2-17. 4,1 Hz
Nejdříve si určíme tuhost pružiny ze vztahu F = - k y. Působící silou je tíha závaží, která
způsobí zadané prodloužení. Tuhost dosadíme do vztahu pro výpočet frekvence a relace mezi
frekvencí a periodou T = 1/f.
1.8.3 Kyvadlo
U1.8.3-18. 0,994 m. Vyjdeme ze vztahu pro dobu kmitu. Ale hledáme pouze dobu jednoho
kyvu, tedy poloviny kmitu. Počítáme tedy T/2.
U1.8.3-19. doba kmitu bude 0,7 původní doby
Počítáme ze vztahu pro dobu kmitu kyvadla.
U1.8.3-20. Nebudou, na Měsíci je jiné tíhové zrychlení. Hodiny půjdou pomaleji.
1.9. Mechanické vlnění
1.9.1 Popis mechanického vlnění
U1.9.1-1. 





−=
λ
π
x
T
t
yy m 2sin
Vyjdeme ze základní rovnice 





−=
v
x
tyy m ωsin . Použijeme vztahů
T
π
ω
2
= a Tv=λ .
U1.9.1-2. všechny
U1.9.1-3. λ/2
U1.9.1-4. 3 m
Srovnáme s obecnou rovnicí vlny 





−=
v
x
tyy m ωsin a použijeme vztahy fπω 2= a
fv λ= .
U1.9.1-5. 10 Hz
165
Srovnáme s obecnou rovnicí vlny 





−=
v
x
tyy m ωsin a užijeme vztah fπω 2=
U1.9.1-6. 4π
Kmitající body jsou od sebe vzdáleny 2λ. Podle definice vlnové délky je to vzdálenost kam
se rozšíří vlnění za periodu nebo vzdálenost fáze se změní o 2π..
U1.9.1-7. Nemůže
Mechanické vlnění potřebuje ke svému šíření látku, kterou se přenáší kmitavý rozruch.
U1.9.1-8. 





−=
10
20sin01,0
z
tz π
Dosazujeme do obecné rovnice vlny. Úhlovou frekvenci ω určíme ze vztahu
λ
ππω
v
f 22 == .
Pozor na převod jednotek.
U1.9.1-9. a, c,
1.9.2 Interference vlnění
TO1.9.2-10. c
TO1.9.2-11. d
TO1.9.2-12. b
1.9.3 Zvukové vlnění
TO1.9.3-13. 17 m až 17 mm
Vycházíme ze vztahu fv λ= .
TO1.9.3-14. Ne, na Měsíci je vzduchoprázdno, kterým se mechanické zvukové vlnění nešíří.
TO1.9.3-15.
10
1
2
I
I =
TO1.9.3-16. 100 dB
U1.9.3-17. 4,5 s
Nejdříve si vypočítáme rychlost zvuku ve vzduchu při teplotě 20o
C. Rozdíl časů bude dán
různými rychlostmi šíření ve vzduchu vv, v Zemi vZ a uraženou drahou s.
52,4
13.344
1700
344
1700
=−=−=−
Zv
Zv
v
s
v
s
tt m.s-1
U1.9.3-18. 70 m. Zadaný čas t = 4 s je dán dobou volného pádu kamene tk a dobou šíření
zvuku tz. vk ttt += Hledanou hloubku propasti si označíme jako s. Pro volný pád kamene platí
vztah pro dráhu
2
2
1
kgts = . Stejnou dráhu urazí zvuk rychlostí zvuku. Platí vtvs = .
166
Srovnáním obou rovnic dostaneme rovnici pro dvě neznámé – časy vk tvgt =
2
2
1
. Z této
rovnice a prvé rovnice pro čas t můžeme vyjádřit některý z časů tk nebo tv. Ten dosadíme do
příslušné rovnice pro dráhu s.