Možnosti distanční výuky
•Základy algebry a aritmetiky – předmět IMAk02 (jaro 2020)
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
Katedra matematiky PdF MU
doc. RNDR. Jaroslav Beránek, CSc.
Mgr. Jitka Panáčová, Ph.D.
Mgr. Petra Bušková

Ekvivalentnost množin
•Základy algebry a aritmetiky – předmět IMAk02 (jaro 2020)
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
Katedra matematiky PdF MU
doc. RNDR. Jaroslav Beránek, CSc.
Mgr. Jitka Panáčová, Ph.D.
Mgr. Petra Bušková
Prezentace č. 1
[USEMAP]

•Definice 1: Řekneme, že množiny A, B jsou ekvivalentní právě tehdy, když existuje prosté zobrazení
množiny A na množinu B. Značíme A ~ B.
•Příklad 1: Dány množiny A = {a, b, c}, B = {x, y}, C = {1, 2, 3}. Rozhodněte, které množiny jsou
ekvivalentní.
• Řešení:
•
•
•
•
•
•
•Množiny A, B nejsou ekvivalentní (neexistuje prosté zobrazení množiny A na množinu B).
•Množiny A, C jsou ekvivalentní (existuje prosté zobrazení množiny A na množinu C, například R =
{[a,3],[b,1],[c,2]}), tj. A ~ C.
B
x
y
a
b
c
A
A
C
a
c
3
2
1
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
b
[USEMAP]

•
•Poznámka. Množina M je vlastní podmnožinou množiny N právě tehdy, když M je podmnožinou N a
současně M ≠  N.
•
•Definice 2: Řekneme, že množina A je konečná právě tehdy, když žádná vlastní podmnožina množiny A
není ekvivalentní s množinou A.
•
•Příklad 3: A = {a, b, c}, A*= {a, b}
• množina A* je vlastní podmnožinou množiny A
• (A*      A  ꓥ  A* ≠ A)
•
•
•Definice 3: Řekneme, že množina B je nekonečná právě tehdy, když existuje alespoň jedna vlastní
podmnožina množiny B, která je ekvivalentní s množinou B.
A*
a
b
a
b
c
A
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
[USEMAP]

•Příklad 4: Uvažujme množinu ℕ všech přirozených čísel a množinu S všech kladných sudých čísel.
Zjistěte, zda jsou ekvivalentní.
Řešení: Připomeneme, že ℕ = {1, 2, 3, 4, 5,…}, S = {2, 4, 6, 8 , 10,…}.
Uvažujme relaci R = {[x,y] ϵ ℕ x S; y = 2x}
Relace R je prosté zobrazení množiny ℕ na množinu S, neboť
oke každému x ϵ ℕ existuje právě jedno y ϵ S takové, že [x,y] ϵ R,
oke každému y ϵ S existuje právě jedno x ϵ ℕ takové, že [x,y] ϵ R.
Tedy ℕ ~ S.
Množina ℕ všech přirozených čísel je nekonečná, neboť je ekvivalentní s množinou S všech kladných
sudých čísel, přičemž S je vlastní podmnožinou množiny ℕ.
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
ℕ = {1, 2, 3, 4, 5,…}
S = {2, 4, 6, 8, 10,…}