Operace dané předpisem
•Základy algebry a aritmetiky – předmět IMAp02 (jaro 2020)
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
Katedra matematiky PdF MU
doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc.
Mgr. Jitka Panáčová, Ph.D.
RNDr. Petra Bušková
Prezentace č. 8

Operace dané předpisem
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
[USEMAP]

Příklad 1:
Zjistěte a zdůvodněte, které z vlastností ND, K, A, EN, EI, ZR má operace o definovaná na množině C
(celá čísla, sami si můžete značit Z, prezentace se opírají o značení ve studijním materiálu).
Určete typ algebraické struktury (C, o).
o={[(x,y),z] ϵ C2x C: z=x+y+1}
Poznámka:
o={[(x,y),z] ϵ C2x C: z=x+y+1} lze také zapisovat
o={[x,y,z] ϵ C3: z=x+y+1}, případně zkráceně xoy=x+y+1.
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
[USEMAP]

Příklad 1:
Zjistěte a zdůvodněte, které z vlastností ND, K, A, EN, EI, ZR má operace o definovaná na množině C
(celá čísla). Určete typ algebraické struktury (C, o).
o={[(x,y),z] ϵ C2x C: z=x+y+1}
Řešení:
Postupně budeme určovat platnost jednotlivých vlastností, budeme se přitom opírat o známé
vlastnosti sčítání.
•Operace o je jistě ND, protože pokud sečteme jakákoli dvě celá čísla a
k součtu přičteme 1, výsledkem bude opět celé číslo. Zapsáno symbolicky:
∀x,y ϵ C: x+y+1 ϵ C
•Ptáme se, jestli ∀x,y ϵ C: xoy=yox. Tedy zda x+y+1=y+x+1. Protože ale víme, že sčítání ke
komutativní, můžeme říci, že daná rovnost platí. Operace o je na množině C komutativní.
•Pro ověření asociativity musíme zjistit, zda ∀x,y,z ϵ C: xo(yoz)=(xoy)oz. Tuto vlastnost si musíme
ověřit rozepsáním.
xo(yoz)=xo(y+z+1)=x+y+z+1+1=x+y+z+2
(xoy)oz=(x+y+1)oz=x+y+1+z+1=x+y+z+2
Vidíme, že zadaná operace je na celých číslech asociativní.
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
[USEMAP]

Příklad 1:
Zjistěte a zdůvodněte, které z vlastností ND, K, A, EN, EI, ZR má operace o definovaná na množině C
(celá čísla). Určete typ algebraické struktury (C, o).
o={[(x,y),z] ϵ C2x C: z=x+y+1}
Řešení:
Už víme, že je operace o na celých číslech ND, K a A. Ověřujeme další vlastnosti.
•Abychom dokázali existenci neutrálního prvku, musíme ho najít. Pro neutrální prvek e platí: ∀x ϵ
C: eox=xoe=x. Nám stačí ověřit pouze jednu rovnost, protože víme, že operace o je komutativní.
Vezměme si rovnost xoe=x a rozepišme operaci x+e+1=x. Z této rovnosti plyne e=-1, tato hodnota
patří do C, a tak jsme nalezli neutrální prvek.
•Připomeňme si inverzní prvky – (∀x ϵ C)(∃x̅ ϵ C): xo x̅ = x̅ ox=e. Opět nám díky komutativitě
stačí pouze jedna rovnost, v níž rozepíšeme operaci a dostáváme x+ x̅ +1=-1. Po úpravě dostáváme x̅
=-2-x, což je pro každé celé číslo x opět celé číslo. Ke každému prvku tedy existuje v C prvek
inverzní.
•Zbývá ověřit vlastnost ZR. Tato vlastnost říká, že (∀a,b ϵ C)(∃x,y ϵ C): aox=b ∧ yoa=b.  Po
rozepsání operací dostáváme a+x+1=b, y+a+1=b. Jistě pro každá celá čísla a, b taková celá čísla x,
y můžeme nalézt, vlastnost ZR tedy platí.
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
[USEMAP]

Příklad 1:
Zjistěte a zdůvodněte, které z vlastností ND, K, A, EN, EI, ZR má operace o definovaná na množině C
(celá čísla). Určete typ algebraické struktury (C, o).
o={[(x,y),z] ϵ C2x C: z=x+y+1}
Řešení:
Zjistili jsme, že operace o na celých číslech má všechny uvedené vlastnosti. Algebraická struktura
(C, o) je komutativní grupa.
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
[USEMAP]

Příklad 2:
Zjistěte a zdůvodněte, které z vlastností ND, K, A, EN, EI, ZR má operace * definovaná na množině C
(celá čísla). Určete typ algebraické struktury (C, *).
*={[(x,y),z] ϵ C2x C: z=2x+2y}
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
[USEMAP]

Příklad 2:
Zjistěte a zdůvodněte, které z vlastností ND, K, A, EN, EI, ZR má operace * definovaná na množině C
(celá čísla). Určete typ algebraické struktury (C, *).
*={[(x,y),z] ϵ C2x C: z=2x+2y}
Řešení:
•Operace je ND, protože ∀x,y ϵ C: 2x+2y ϵ Z.
•Operace je K, protože ∀x,y ϵ C: 2x+2y=2y+2x, tedy x*y=y*x.
•Ověřme asociativitu:
x*(y*z)=x*(2y+2z)=2x+2(2y+2z)=2x+4y+4z
(x*y)*z=(2x+2y)*z=2(2x+2y)+2z=4x+4y+4z
Protože x*(y*z) se nerovná (x*y)*z, operace nemá vlastnost A.
•Hledejme neutrální prvek: ∀x ϵ C: x*e=e*x=x, díky K stačí ověřit jednu rovnost:
2x+2e=x. Z rovnosti plyne, že je neutrální prvek závislý na hodnotě x, neutrální prvek ale musí být
stejný pro všechna celá čísla, proto vůbec neexistuje. Operace * nemá vlastnost EN.
•
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky

Příklad 2:
Zjistěte a zdůvodněte, které z vlastností ND, K, A, EN, EI, ZR má operace * definovaná na množině C
(celá čísla). Určete typ algebraické struktury (C, *).
*={[(x,y),z] ϵ C2x C: z=2x+2y}
Řešení:
Již víme, že má operace * na celých číslech vlastnosti ND, K, naopak nemá vlastnosti A, EN. Ověřme
zbývající vlastnosti EI, ZR.
•Pokud neexistuje neutrální prvek, nemohou existovat ani prvky inverzní.
Operace * nesplňuje vlastnost EI.
•Vlastnost ZR říká, že (∀a,b ϵ C)(∃x,y ϵ C): a*x=b ∧ y*a=b.  Po rozepsání operací dostáváme
2a+2x=b, 2y+2a=b. Pokud zvolíme například a=3, b=1, nedokážeme nalézt čísla x, y splňující dané
rovnosti, neexistuje celé x takové, aby 6+2x=1. Operace * nesplňuje vlastnost ZR.
•
Operace * má na množině C vlastnosti ND a K, nemá vlastnosti A, EN, EI a ZR. Algebraická struktura
(C, *) je komutativní grupoid.
•
•
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky

Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky



•Řešení:
•Příklad 3 – má vlastnosti ND, K, ZR,
algebraická struktura je komutativní  grupoid
•
•Příklad 4 – má vlastnosti ND, A,
algebraická struktura je pologrupa
•
•Příklad 5 – má vlastnost ND,
algebraická struktura je grupoid
•
•
•
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky

•Další řešené příklady naleznete ve studijních materiálech v Isu v souboru operace_predpis.pdf
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky