Možnosti distanční výuky
•Základy algebry a aritmetiky – předmět IMAp02 (jaro 2020)
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
Katedra matematiky PdF MU
doc. RNDR. Jaroslav Beránek, CSc.
Mgr. Jitka Panáčová, Ph.D.
Mgr. Petra Bušková

Algebraické struktury se dvěma operacemi
•Základy algebry a aritmetiky – předmět IMAp02 (jaro 2020)
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
Katedra matematiky PdF MU
doc. RNDR. Jaroslav Beránek, CSc.
Mgr. Jitka Panáčová, Ph.D.
Mgr. Petra Bušková
Prezentace č. 9
[USEMAP]

Algebraické struktury s jednou operací
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
Pokud nesplňuje (M, o) ani vlastnost ND, nazýváme ji pouze algebraickou strukturou.
[USEMAP]

Algebraické struktury se dvěma operacemi
•
•Definice: Na množině M jsou definovány dvě binární operace ⁕ a ○. Řekneme, že operace ⁕ je
distributivní vzhledem k operaci ○ právě tehdy, když
•(∀ x, y, z ϵ M) [z ⁕ (x ○ y)  = ( z ⁕ x) ○ ( z ⁕ y) ]  ˄  [(x ○ y) ⁕ z = ( x ⁕ z) ○ ( y ⁕ z) ]
•
•
•
•Označení   ⁕ D ○   Čteme: Platí distributivní zákon operace ⁕ vzhledem k operaci ○.
•Příklad 1: Operace násobení (·) v číselných množinách je distributivní vzhledem k operaci sčítání
(+), tj. platí
•(∀ x, y, z ϵ M) [z · (x + y)  = z · x + z · y]    ˄  [(x + y) · z = x · z + y · z ]
• např. pro x = 3, y = 4, z = 2:    2 · (3 + 4)  = 2 · 3 +  2 · 4 ˄           (3 + 4) · 2 = 3 · 2
+  4 · 2
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
Levý distributivní zákon
Pravý distributivní zákon
14
14
14
14
[USEMAP]

Algebraické struktury se dvěma operacemi
•
•Definice: Na množině M jsou definovány dvě binární operace ⁕ a ○. Řekneme, že operace ⁕ je
distributivní vzhledem k operaci ○ právě tehdy, když
•(∀ x, y, z ϵ M) [z ⁕ (x ○ y)  = ( z ⁕ x) ○ ( z ⁕ y) ]  ˄  [(x ○ y) ⁕ z = ( x ⁕ z) ○ ( y ⁕ z) ]
•
•
•
•
•Příklad 2: Operace průnik (∩) v systémech množin je distributivní vzhledem k operaci sjednocení
(∪), tj. platí
•(∀ A, B, C ϵ ℳ) [A ∩ (B ∪ C)  = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)]    ˄  [(B ∪ C) ∩ A = (B ∩ A) ∪ (C ∩ A) ]
•
•Lze dokázat na základě Vennových diagramů, viz 1. semestr.
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
Levý distributivní zákon
Pravý distributivní zákon
[USEMAP]

Algebraické struktury se dvěma operacemi (M, ⨁, ⨀)
•
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
[USEMAP]

Algebraické struktury se dvěma operacemi (M, ⨁, ⨀)
•
•Definice 2: Nechť M je neprázdná množina, ve které jsou definovány dvě binární operace ⨁ a ⨀.
Algebraická struktura se dvěma binárními operacemi (M, ⨁, ⨀) se nazývá polookruh právě tehdy, když:
• 1. Operace ⨁ je  ND ˄ A ˄ K   v množině M
• 2. Operace ⨀ je  ND ˄ A         v množině M
• 3. Platí ⨀ D ⨁
•Je-li operace ⨀ navíc komutativní, pak polookruh (M, ⨁, ⨀) se nazývá komutativní polookruh.
•
•Poznámka: Pologrupa (M, ⨁) se nazývá aditivní pologrupa
•                  Pologrupa (M, ⨀) se nazývá multiplikativní pologrupa
•
•
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
[USEMAP]

Algebraické struktury se dvěma operacemi (M, ⨁, ⨀)
•
•Definice 3: Polokruh (M, ⨁, ⨀), jehož aditivní pologrupa (M, ⨁) je komutativní grupou, se nazývá
okruh.
•Tedy pro operace ⨁ a ⨀ platí:
• 1. Operace ⨁ je  ND ˄ A ˄ K ˄ EN ˄ EI      v množině M
• 2. Operace ⨀ je  ND ˄ A                              v množině M
• 3. Platí ⨀ D ⨁
•Poznámka: Je-li operace ⨀ navíc komutativní, pak okruh (M, ⨁, ⨀) se nazývá komutativní okruh.
•
•
•
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
[USEMAP]

Algebraické struktury se dvěma operacemi (M, ⨁, ⨀)
•
•Příklad 2: Jaký typ algebraické struktury je (ℕ, +, ·)?
• 1. Operace + je  ND ˄ A ˄ K   v množině ℕ     (EN ˄ EI)  (ℕ, +) je komutativní pologrupa
• 2. Operace · je  ND ˄ A ˄ K    v množině ℕ     (EN ˄ EI) e = 1
• (ℕ, ·)  je komutativní pologrupa s neutrálním prvkem
• 3. Platí · D +     (Ukázali jsme si v 1. příkladu této prezentace)
•
• Algebraická struktura (ℕ, +, ·) je komutativní polookruh s jedničkou
[USEMAP]
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky

Algebraické struktury se dvěma operacemi (M, ⨁, ⨀)
•
•Definice 4: Nechť (M, ⨁, ⨀) je okruh. Prvky a ≠ 0, b ≠ 0, kde a, b ∈ M,  pro které platí a ⨀ b =
0,
•se nazývají dělitelé nuly okruhu (M, ⨁, ⨀).
•
•Definice 5: Komutativní okruh (M, ⨁, ⨀) , ve kterém neexistují dělitelé nuly, se nazývá obor
integrity.
•
•Definice 6: Okruh (M, ⨁, ⨀), pro který platí, že (M – {0}, ⨀) je grupa, se nazývá těleso.
•
•Poznámka: Je-li operace ⨀ navíc komutativní, pak těleso (M, ⨁, ⨀) se nazývá komutativní těleso.
•
•
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
[USEMAP]

Algebraické struktury se dvěma operacemi (M, ⨁, ⨀)

Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
Polookruh (komutativní)
⨁
ND ˄ A ˄ K
(M, ⨁, ⨀)
⨀
ND ˄ A ˄ (K)
⨀ D ⨁
Okruh (komutativní)
⨁
ND ˄ A ˄ K ˄ EN ˄ EI
(M, ⨁, ⨀)
⨀
ND ˄ A ˄ (K)
⨀ D ⨁
Obor integrity
⨁
ND ˄ A ˄ K ˄ EN ˄ EI
(M, ⨁, ⨀)
⨀
ND ˄ A ˄ K
⨀ D ⨁
Neexistují dělitelé nuly (a ≠ 0, b ≠ 0, že a ⨀ b = 0, kde a, b ∈ M)
Těleso (komutativní)
⨁
ND ˄ A ˄ K ˄ EN ˄ EI
(M, ⨁, ⨀)
⨀
ND ˄ A ˄ (K)
⨀ D ⨁
(M – {0}, ⨀) je grupa, tzn. operace ⨀ na množině M – {0} má vlastnosti ND ˄ A ˄ EN ˄ EI
[USEMAP]

Příklady algebraických struktur se dvěma operacemi
•
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
[USEMAP]

Příklady algebraických struktur se dvěma operacemi
•
•3) Jaký typ algebraické struktury je (ℂ, +, ·)?
• 1. Operace + je  ND ˄ A ˄ K ˄ EN ˄ EI  v množině ℂ        e = 0     (ℂ, +) je komutativní grupa
• 2. Operace · je  ND ˄ A ˄ K    v množině ℂ     (EN ˄ EI) e = 1
•                   (ℂ, ·)  je komutativní pologrupa s jedničkou
• 3. Platí · D +
• 4. Neexistují dělitelé nuly, tj. neexistují čísla a, b ∈ ℂ  taková, aby platilo a ≠ 0, b ≠ 0, že
a · b = 0
•
•(ℂ, +, ·) je komutativní okruh s nulovým prvkem a s jedničkou bez dělitelů nuly
•(ℂ, +, ·) je obor integrity
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
[USEMAP]

Příklady algebraických struktur se dvěma operacemi
•
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
[USEMAP]

Příklady algebraických struktur se dvěma operacemi

Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
   ∪
   {a}
   {b}
  {a, b}
  ∅
   {a}
   {a}
 {a, b}
 {a, b}
  {a}
   {b}
  {a, b}
   {b}
 {a, b}
  {b}
  {a, b}
  {a, b}
  {a, b}
  {a, b}
  {a, b}
   ∅
   {a}
   {b}
  {a, b}
  ∅
•ND    tabulka je celá vyplněna prvky množiny M
•A       z tabulky obvykle nepoznáme (určíme z definice nebo ze
               vztahu  A ⇒ (ZR ⇔ EI)
•K       prvky tabulky, která je celá vyplněna prvky množiny M,
               jsou souměrně rozloženy podle hl. diagonály
•EN    alespoň jeden řádek a jeden sloupec jsou stejné jako
               záhlaví tabulky
•EI      každý řádek a každý sloupec obsahuje neutrální prvky tak,
      že ve všech řádcích a všech sloupcích existují takové, že
      jsou rozloženy podle hlavní diagonály
•ZR     každý řádek a každý sloupec obsahují všechny prvky
               množiny M
ND  ⋀   A   ⋀   K   ⋀   EN  ⋀    EI   ⋀  ZR
e = ∅ (neutrální prvek)
[USEMAP]
{a, b} je agresivní prvek

Příklady algebraických struktur se dvěma operacemi
•
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
A
A
B
B
C
C
L
P
L
P
L = P ⟹ operace ∪ je asociativní
[USEMAP]

Příklady algebraických struktur se dvěma operacemi
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
   ∪
   {a}
   {b}
  {a, b}
  ∅
   {a}
   {a}
 {a, b}
 {a, b}
  {a}
   {b}
  {a, b}
   {b}
 {a, b}
  {b}
  {a, b}
  {a, b}
  {a, b}
  {a, b}
  {a, b}
   ∅
   {a}
   {b}
  {a, b}
  ∅
ND  ⋀   A   ⋀   K   ⋀   EN  ⋀    EI   ⋀  ZR
[USEMAP]

Příklady algebraických struktur se dvěma operacemi

Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
   ∩
   {a}
   {b}
  {a, b}
  ∅
   {a}
   {a}
    ∅
   {a}
  ∅
   {b}
   ∅
   {b}
   {b}
  ∅
  {a, b}
   {a}
   {b}
 {a, b}
  ∅
   ∅
  ∅
   ∅
∅
  ∅
•ND    tabulka je celá vyplněna prvky množiny M
•A       z tabulky obvykle nepoznáme (určíme z definice nebo ze
               vztahu  A ⇒ (ZR ⇔ EI)
•K       prvky tabulky, která je celá vyplněna prvky množiny M,
               jsou souměrně rozloženy podle hl. diagonály
•EN    alespoň jeden řádek a jeden sloupec jsou stejné jako
               záhlaví tabulky
•EI      každý řádek a každý sloupec obsahuje neutrální prvky tak,
      že ve všech řádcích a všech sloupcích existují takové, že
      jsou rozloženy podle hlavní diagonály
•ZR     každý řádek a každý sloupec obsahují všechny prvky
               množiny M
ND  ⋀   A   ⋀   K   ⋀   EN  ⋀    EI   ⋀  ZR
e = {a, b} (neutrální prvek)
∅ je agresivní prvek
[USEMAP]

Příklady algebraických struktur se dvěma operacemi
•
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
A
A
B
B
C
C
L
P
L
P
L = P ⟹ operace ∩ je asociativní
[USEMAP]

Příklady algebraických struktur se dvěma operacemi

Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
   ∩
   {a}
   {b}
  {a, b}
  ∅
   {a}
   {a}
    ∅
   {a}
  ∅
   {b}
   ∅
   {b}
   {b}
  ∅
  {a, b}
   {a}
   {b}
 {a, b}
  ∅
   ∅
  ∅
   ∅
∅
  ∅
ND  ⋀   A   ⋀   K   ⋀   EN  ⋀    EI   ⋀  ZR
[USEMAP]

Příklady algebraických struktur se dvěma operacemi
•
•c) zbývá vyšetřit platnost distributivního zákona:
•
•∀ A, B, C ∈ ℳ: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)      (Levý DZ)
•∀ A, B, C ∈ ℳ: (B ∪ C) ∩ A = (B ∩ A) ∪ (C ∩ A)      (Pravý DZ)
•
•
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
A
A
B
B
C
C
L
P
L
P
L = P ⟹ operace ∩ je distributivní vzhledem k operaci ∪
[USEMAP]

Příklady algebraických struktur se dvěma operacemi
•
Obsah obrázku objekt, monitor, hodiny, obrazovka Popis byl vytvořen automaticky
[USEMAP]