IMAk02  Základy algebry - Samostatná zápočtová práce - řešení


1. Jsou dány množiny A = {a, b, c, d} a B = {1, 2, 3, 4}. Rozhodněte a zdůvodněte, zda následující
binární relace z množiny A do množiny B jsou zobrazení. Pokud ano, určete přesně typ zobrazení:

a) R[1] = {[b, 1], [c, 2], [d, 3]},

je zobrazení z množiny A do množiny B (není zobrazením ani celé množiny A ani na celou množinu B) a
je prosté.


b) R[2] = {[a, 1], [b, 2], [a, 3]},

není zobrazení z množiny A do množiny B.


c) R[3] = {[a, 1], [b, 3], [c, 2], [d, 4]},

je vzájemně jednoznačné zobrazení množin A, B.


d) R[4] = {[a, 1], [b, 1], [c, 1], [d, 1]},

je zobrazení celé množiny A do množiny B, není prosté.


2. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících množin je ekvivalentní s množinou všech
přirozených čísel N. Které z uvedených množin jsou nekonečné?

A = {1,  , }, B = {7, 6, 4, a, x}, D = {x Î N: x = 5^n  Ù  n Î N}.

S množinou N jsou ekvivalentní množiny A a D. Vzájemně jednoznačné zobrazení množin N a A je např.
{[0, 1], [1,  ], [2,  ], [3, ], …}, obecně {[x, y] Î Q^2: x Î N Ù y =2^-^ x}. Vzájemně jednoznačné
zobrazení množin N a D je např. {[0, 5^0], [1, 5^1], [2, 5^2], [3, 5^3], …}, obecně {[x, y] Î N^2:
x Î N Ù y =5^x}. Protože N je nekonečná množina, jsou nekonečné I množiny A, D. Množina B je
konečná, neboť ani jedna její vlastní podmnožina není s množinou B ekvivalentní.


3. Zjistěte, které z vlastností ND, A, K, EN, EI, ZR mají operace *, ∘, △ definované v množině M =
{a, b, c}:

*

 a

  b

   c

a

 b

  a

   c

b

 a

  b

   c

c

 c

  c

   b

∘

 a

  b

   c

a

 c

  c

   c

b

 c

  c

   c

c

 c

  c

   c

△

 a

  B

   c

a

 c


   a

b


  C

   b

c

 a

  B

   c





Dále určete neutrální a agresivní prvky, pokud existují. Stanovte přesně typ každé algebraické
struktury, kterou množina M spolu s jednotlivými operacemi tvoří.


Operace *: ND, K,  A, EN, EI,  ZR. Neutrální prvek je b, agresivní prvek neexistuje. Inverzní prvky
jsou  = a,  = b,  = c. (M, *) je komutativní grupoid s neutrálním prvkem, který není pologrupa.


Operace ∘: ND, K, A,  EN,  EI,  ZR. Neutrální prvek neexistuje, agresivní prvek je c. Inverzní
prvky neexistují. (M, ∘) je komutativní pologrupa, která není grupou.


Operace △:  ND,  K,  A, EN, EI,  ZR. Neutrální prvek je c, agresivní prvek neexistuje. Inverzní
prvky jsou  = a,  = b,  = c. (M, △) je algebraická struktura s jednou operací, která není grupoid.


4. Rozhodněte a zdůvodněte, které z vlastností ND, A, K, EN, EI, ZR mají následující operace (C je
množina všech celých čísel):

a) ∘ = {[x, y. z]Î N^3: z = x + 2y} neboli x ∘ y = x + 2y.

ND,  K,  A,  EN,  EI,  ZR. Dokáže se rozepsáním z definice operace.

b) * = {[x, y. z]Î C^3: z = x + y + 1} neboli x * y = x + y + 1.

ND, K, A, EN, EI, ZR. Dokáže se rozepsáním z definice operace.


5. Určete přesně typ algebraických struktur s jednou operací (Q je množina všech racionálních
čísel, Q[0]^+ je množina všech nezáporných racionálních čísel):

(N, +), (N, ·), (N, -), (Q[0]^+, +), (Q[0]^+, ·), (Q- {0}, +), (Q- {0}, ·).

(N, +) komutativní pologrupa, která není grupou (ani nemá neutrální prvek)

(N, ·)  komutativní pologrupa s neutrálním prvkem, která není grupou

(N, -) není ani grupoid

(Q[0]^+, +) komutativní pologrupa s neutrálním prvkem, která není grupou

(Q[0]^+, ·) komutativní pologrupa s neutrálním prvkem, která není grupou

(Q- {0}, +) není ani grupoid (např. - 2 + 2 = 0, 0 Ï Q- {0})

(Q- {0}, ·) komutativní grupa


6. Určete přesně typ algebraických struktur se dvěma operacemi:

(N, +, ·), (Q[0]^+, +, ·), (Q-{0}, +, ·).


(N, +, ·) komutativní polookruh s jednotkovým prvkem

(Q[0]^+, +, ·) komutativní polookruh s jednotkovým prvkem

(Q-{0}, +, ·) není ani polookruh


7. Je dána množina M = {a, b,}. Určete přesně typ algebraických struktur

(P(M), È), (P(M), Ç), (P(M), -), (P(M), △), (P(M), È, Ç), (P(M), Ç, È),

kde P(M)  je potenční system množiny M. Platí uvedené závěry i pro všechny množiny M, které mají
nejméně dva prvky?

(P(M), È) komutativní pologrupa s neutrálním prvkem, která není grupou

(P(M), Ç) komutativní pologrupa s neutrálním prvkem, která není grupou

(P(M), -)  nekomutativní grupoid, který není pologrupa (ND,  K,  A,  EN,  EI,  ZR)

(P(M), △) komutativní grupa (ND, K, A, EN, EI, ZR); e= ,  = A, A△X= B Þ X = A△B.

(P(M), È, Ç) komutativní polookruh s jednotkovým prvkem, který není okruhem

(P(M), Ç, È) komutativní polookruh s jednotkovým prvkem, který není okruhem

Uvedené závěry platí pro všechny množiny, které mají nejméně dva prvky.