4
Vlastnosti grup, podgrupy, generátory grupy
16. Vyřešte v grupě (𝐺, *) systém rovnic:
a) 𝑥 = 𝑏, 𝑥 = 𝑒
b) 𝑎𝑥 = 𝑏, 𝑥 = 𝑒
c) 𝑥 = 𝑎 , 𝑥 = 𝑒
17. Dokažte nebo vyvraťte následující tvrzení:
a) 𝑥 = 𝑒 ⇒ 𝑥 = 𝑒
b) 𝑥 = 𝑎 ⇒ 𝑥 = 𝑎
18. Pro následující grupy nalezněte podgrupy:
a) (𝑍, +)
b) (𝑅 − {0}, ∙)
c) (𝐹(𝑅), +)
19. Určete tabulku pro grupu všech symetrií rovnostranného trojúhelníku s operací skládání
(𝐷 ,○).
20. Vypište všechny cyklické podgrupy grupy (𝐻 , +) skládání otáčení hodinové ručičky o
násobky desetiny plného úhlu.
21. Vypište všechny cyklické podgrupy grupy (𝐻 , +) skládání otáčení hodinové ručičky o
násobky dvanáctinu plného úhlu.
Algebraické struktury se dvěma binárními operacemi
22. V množině 𝑄 jsou definovány operace ⨁ a ⨀ předpisy: 𝑥⨁𝑦 = 𝑥 + 𝑦, 𝑥⨀𝑦 = 𝑥𝑦.
Ověřte, zda (𝑄, ⨁, ⨀) je těleso.
23. V množině 𝑍 jsou definovány operace ⨁ a ⨀ předpisy: 𝑎⨁𝑏 = 𝑎 + 𝑏 + 1, 𝑎⨀𝑏 = 𝑎 +
𝑏 + 1. Určete typ algebraické struktury (𝑍, ⨁, ⨀).
24. V množině 𝑅 jsou definovány operace ⨁ a ⨀. Zjistěte, zda (𝑅, ⨁, ⨀) je těleso.
a) 𝑥⨁𝑦 = 𝑥 + 𝑦 , 𝑥⨀𝑦 = 𝑥𝑦
b) 𝑥⨁𝑦 = 𝑥 + 𝑦, 𝑥⨀𝑦 = 𝑥𝑦