MASARYKOVA UNIVERZITA
PEDAGOGICKÁ FAKULTA
Katedra matematiky
Řešení některých algebraických rovnic
Bakalářská práce
Brno 2018
Vedoucí bakalářské práce: Vypracovala:
RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D. Tereza Komprsová
Bibliografický záznam
KOMPRSOVÁ, Tereza. Řešení některých algebraických rovnic: bakalářská práce. Brno:
Masarykova univerzita, Fakulta pedagogická, Katedra matematiky, 2018, 80 s. Vedoucí
bakalářské práce Břetislav Fajmon.
Anotace
Bakalářská práce „Řešení některých algebraických rovnic“ shromažďuje teoretické
poznatky o polynomech a algebraických rovnicích, které jsou nezbytnou součástí při
řešení jednotlivých typů rovnic. Práce se převážně zabývá čtyřmi typy algebraických
rovnic, a to lineárními, kvadratickými, binomickými a reciprokými, a čtenáře seznamuje
i s jejich grafickým řešením. Práce je obohacena o řadu řešených úloh a názorných
příkladů.
Abstract
The bachelor´s thesis „Solution of some algebraic equations“ collects theoretical
knowledge about polynomials and algebraic equations, which is necessary for equation
solving. The thesis is mostly based on four types of algebraic equations: linear, quadratic
binomial and reciprocal. The work introduces also graphical solutions and contains many
solved tasks and illustrative examples.
Klíčová slova
Polynomy, algebraické rovnice, lineární rovnice, kvadratické rovnice, binomické rovnice,
reciproké rovnice, soustavy lineárních rovnic, grafické řešení
Keywords
Polynomials, algebraic equations, linear equations, quadratic equations, binomial
equations, reciprocal equations, system of linear equations , graphical solution
Prohlášení
„Prohlašuji, že jsem závěrečnou bakalářkou práci vypracovala samostatně, s využitím
pouze citovaných pramenů, dalších informací a zdrojů v souladu s Disciplinárním řádem
pro studenty Pedagogické fakulty Masarykovy univerzity a se zákonem č. 121/2000 Sb.
o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o znění některých
zákonů (autorský zákon), ve znění pozdějších předpisů.“
Brno, 30. března 2018 .....................................................
Tereza Komprsová
Poděkování
Na tomto místě bych ráda poděkovala v první řadě RNDr. Břetislavu Fajmonovi, Ph.D.
za jeho odborné vedení, cenné připomínky, inspiraci, příjemnou spolupráci a vstřícný
přístup při konzultacích a vedení práce. Velké díky patří i mé rodině a přátelům, kteří
mne po celou dobu studia a při vypracování práce podporovali.
Obsah
Obsah............................................................................................................................................ 5
Úvod.............................................................................................................................................. 6
1. Základní pojednání o polynomech jedné proměnné............................................................ 7
1.1 Základní pojednání.............................................................................................................. 7
1.2 Dělení polynomů............................................................................................................... 12
1.3 Kořen polynomu................................................................................................................ 14
1.4 Rozklad na kořenové činitele pomocí Hornerova schématu ............................................ 19
2. Algebraické rovnice............................................................................................................. 21
3. Lineární rovnice................................................................................................................... 25
3.1 Základní pojednání............................................................................................................ 25
3.2 Grafické řešení lineárních rovnic ...................................................................................... 27
4. Kvadratické rovnice............................................................................................................. 30
4.1 Neúplná kvadratická rovnice ............................................................................................ 30
4.2 Obecná kvadratická rovnice.............................................................................................. 35
4.3 Vztahy kořenů a koeficientů kvadratické rovnice............................................................. 38
4.4 Některé důsledky vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice........................ 41
4.5 Grafické řešení kvadratických rovnic ................................................................................ 43
5. Binomické rovnice............................................................................................................... 46
5.1 Řešení binomické rovnice ................................................................................................. 46
5.2 Řešení některých dalších binomických rovnic .................................................................. 52
6. Reciproké rovnice ............................................................................................................... 56
6.1 Kořeny reciproké rovnice.................................................................................................. 56
6.2 Řešení reciprokých rovnic................................................................................................. 57
7. Systém lineárních rovnic o dvou neznámých a praktické využití na ZŠ .............................. 66
7.1 Systém rovnic.................................................................................................................... 66
7.2 Metody řešení soustav rovnic........................................................................................... 67
7.3 Grafické řešení soustav dvou lineárních rovnic o dvou neznámých................................. 70
7.4 Slovní úlohy vedoucí na soustavu rovnic řešené na ZŠ..................................................... 74
Závěr ........................................................................................................................................... 77
Seznam použité literatury........................................................................................................... 78
6
Úvod
Bakalářská práce se bude zabývat problematikou vybraných typů algebraických rovnic.
Čtenáři by neměla poskytnout pouze jednotlivé kroky k řešení různých typů rovnic, ale
hlavně umožnit danou látku pochopit od základu a vyhnout se tak mechanickému
počítání, které je dle mého na školách velmi oblíbené. Dochází pak k tomu, že žáci umí
daný příklad pomocí nějakého, předem určeného algoritmu dobře vypočítat, avšak proč
postupují, jak postupují, již nevědí.
Mým cílem proto bude vytvořit práci, která by mimo řadu řešených a názorných příkladů,
které danou problematiku demonstrují, obsahovala i odvození, důkazy a jednotlivé
krůčky ke vzorcům a postupům, jež při řešení jednotlivých typů rovnic využíváme.
Práce bude rozdělena do sedmi hlavních kapitol. V každé z nich budou zmíněné potřebné
teoretické poznatky a pár vzorových příkladů. V práci se též budu zabývat geometrickým
řešením, které bude ilustrováno na grafech vytvořených v programu GeoGebra. Pokusím
se o srovnání jednotlivých metod řešení a dovolím si čtenáři nabídnout tu schůdnější.
První dvě kapitoly spolu s reciprokými rovnicemi budou převážně čerpat ze studia
odborné literatury probírané na vysoké škole. Kvadratické a binomické rovnice vychází
ze studia středoškolské literatury a lineární rovnice spolu se soustavami jsou
problematikou škol základních.
Na první pohled se může výběr jednotlivých typů rovnic zdát dosti netradiční, avšak
důvod je jasný. Problematika lineárních rovnic je bezpochyby nejdůležitější, neboť
pomocí lineárních rovnic se dají vyjádřit důležité vztahy v přírodě a technice. Na řešení
kvadratických rovnic lze spoustu různých typů rovnic převést. Řešení binomických
rovnic probíhá v oboru komplexních čísel, jež jsou jejich ústředním problémem, který
činí studentům velké potíže. V práci již předpokládám určitou znalost komplexních čísel,
avšak jednotlivé příklady se snažím důkladněji popsat. Posledním typem rovnic jsou
rovnice reciproké, se kterými jsem se setkala poprvé až na vysoké škole v kurzu
Algebra 3, a proto jsem si je do výběru zvolila, neboť jsem se o nich chtěla dozvědět co
nejvíce.
7
1. Základní pojednání o polynomech jedné proměnné
1.1 Základní pojednání
Definice 1.1 Algebraická definice polynomu
Mějme okruh 𝑅1. Polynomem jedné proměnné nad okruhem 𝑅 nazýváme každou
nekonečnou posloupnost prvků okruhu 𝑅
𝑓 = (𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … ), (1)
kde 𝑎𝑖 ∈ 𝑅, 𝑖 = 0,1,2 …, v níž je nejvýše konečně mnoho členů nenulových.
Množinu všech polynomů nad okruhem 𝑅 označujeme 𝑅[𝑥].
Poznámka
Polynom, jehož všechny koeficienty jsou rovny nule, tzn. o = (0, 0, … , 0), nazýváme
polynomem nulovým.
V následujícím odstavci se pokusíme polynom zapsaný pomocí posloupnosti (1) převést
na běžně známé označení. Před tím si zde ještě musíme, pro větší pochopení, uvést
definici součinu dvou polynomů a stupně polynomu.
Definice 1.2 Násobení polynomů
Mějme polynom 𝑓 = (𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … ), 𝑔 = (𝑏0, 𝑏1, 𝑏2, … ) ∈ 𝑅[𝑥]. Součinem 𝑓 ∙ 𝑔
rozumíme
𝑓 ∙ 𝑔 = (𝑐0, 𝑐1, 𝑐2, … ),
kde 𝑐0 = 𝑎0 𝑏0, 𝑐1 = 𝑎1 𝑏0 + 𝑎0 𝑏1, … , 𝑐 𝑘 = 𝑎 𝑘 𝑏0 + 𝑎 𝑘−1 𝑏1 + ⋯ + 𝑎0 𝑏 𝑘.
Definice 1.3 Stupeň polynomu
Nechť polynom (1) je nenulový nad R a nechť je 𝑛 celé nezáporné číslo takové, že
𝑎 𝑛 ≠ 0, 𝑎 𝑘 = 0 pro 𝑘 > 𝑛, tj.
𝑓 = (𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎 𝑛, 0, 0, … ),
potom řekneme, že polynom 𝑓 je stupně 𝑛, což označujeme 𝑠𝑡(𝑓) = 𝑛.
1
Číselným okruhem rozumíme komutativní okruh s jedničkou, tedy množinu se dvěma binárními
operacemi (𝑅, +,∙), kde platí (𝑅, +) je komutativní grupa, (𝑅,∙) je komutativní pologrupa s jedničkou,
násobení je distributivní vzhledem ke sčítání, tzn. 𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐, pro libovolné 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅.
8
Konstrukce 1.1
Mějme polynom 𝑓 = (𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … ) a prvek 𝑟 ∈ 𝑅, tedy konstantní polynom
𝑟 = (𝑟, 0, 0, … ). Z definice součinu polynomů plyne následující pravidlo:
𝑟 ∙ 𝑓 = (𝑟, 0, 0, … ) ∙ (𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … ) = (𝑟 ∙ 𝑎0, 𝑟 ∙ 𝑎1, 𝑟 ∙ 𝑎2, … ).
Dále polynom (0, 1, 0, 0, … ) označme nějakým libovolným pevným symbolem, např. 𝑥.
Opět z definice násobení plyne, že 𝑥2
= 𝑥 ∙ 𝑥 = (0, 0, 1, 0, … ), 𝑥3
= (0, 0, 0, 1, 0, … )
atd.
Nechť polynom 𝑓 = (𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … ) je polynomem stupně menšího nebo rovného 𝑛.
Vynásobíme-li postupně polynomy 1, 𝑥, 𝑥2
, … 𝑥 𝑛
prvky 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎 𝑛, získáme
(𝑎0, 0, 0, … ) = 𝑎0 ∙ 1 = 𝑎0
(0, 𝑎1,, 0, … ) = 𝑎1 𝑥
(0, 0, 𝑎2,, 0, … ) = 𝑎2 𝑥2
⋮ ⋮
(0, … ,0, 𝑎 𝑛, 0, … ) = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
.
Sečtením pravých stran výše uvedeného schématu dostaneme (𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎 𝑛, … ) =
= 𝑎0 + 𝑎1 ∙ 𝑥 + 𝑎2 ∙ 𝑥2
+ ⋯ + 𝑎 𝑛 ∙ 𝑥 𝑛
, tedy velmi známý tvar
𝑓 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2
+ ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
.
Nyní už můžeme přejít k obecnému vyjádření známé analytické definice polynomu jedné
proměnné, která chápe polynom jako reálnou funkci.
Definice 1.4 Polynom jedné proměnné
Funkci tvaru
𝑝(𝑥) = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0, (2)
kde 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎 𝑛 jsou reálná čísla a 𝑛 je celé nezáporné číslo, nazveme polynomem nebo
též mnohočlenem proměnné 𝑥.
Čísla 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎 𝑛 nazveme koeficienty polynomu, číslo 𝑎0 absolutním členem, číslo 𝑎 𝑛
nejvyšším koeficientem polynomu.
9
Poznámka
(a) Polynom, který má za koeficienty 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎 𝑛 reálná čísla, se nazývá polynom
reálný, pokud koeficienty budou komplexní čísla, tento polynom nazýváme
komplexním.
My se budeme zabývat oborem reálných čísel, tedy polynomy reálnými.
(b) Je-li 𝑎 𝑛 ≠ 0, řekneme, že výraz 𝑝(𝑥) je polynomem 𝑛-tého stupně a číslo
𝑛 označujeme stupněm polynomu 𝑝(𝑥).
(c) Je-li 𝑎 𝑛 = 1, potom tento polynom nazýváme normovaným polynomem nebo též
polynomem v normovaném tvaru. Každý libovolný polynom stupně 𝑛 můžeme
vydělením koeficientu 𝑎 𝑛 ≠ 0 převést na normovaný tvar.
(d) Je-li 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛−1 = ⋯ = 𝑎0 = 0, řekneme, že polynom 𝑝(𝑥) vymizí identicky
a nazveme ho nulovým polynomem.
Důležité je si uvědomit rozdíl mezi polynomem nulovým a polynomem nultého stupně,
tedy polynomem, který je konstantní nenulovou funkcí, a nezaměňovat je mezi sebou.
Příklad
- 𝑝(𝑥) = 0 je nulový polynom
- 𝑝(𝑥) = 𝑎0 ≠ 0 je polynom nultého stupně
Z algebraického hlediska má nulový polynom posloupnost (0, 0, 0, … ), kdežto polynom
nultého stupně (𝑎, 0, 0, … ), kde 𝑎 ≠ 0.
Příklad
Polynom 𝑥7
+ 5𝑥4
− 12𝑥3
+ 6𝑥2
− 4𝑥 + 1 můžeme ztotožnit s posloupností
(1, −4, 6, −12, 5, 0, 0, 1).
(e) Polynomy budeme stručně označovat symboly 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥), ℎ(𝑥), 𝑃(𝑥), 𝑄(𝑥) atd.
Symbolem 𝑓(𝑥0) rozumíme hodnotu funkce 𝑓(𝑥) v bodě 𝑥 = 𝑥0.
Definice 1.5 Stupeň polynomu
Stupněm polynomu 𝑝(𝑥) rozumíme nejvyšší exponent 𝑥, u něhož je nenulový koeficient.
Značíme jej 𝑠𝑡 𝑝(𝑥) = 𝑛.
10
Poznámka
Z konstrukce 1.1 plyne, že definice 1.3 a 1.5 stupně polynomu jsou ekvivalentní.
Příklady stupně polynomu:
- 𝑝(𝑥) = 6𝑥 + 1 (Obr. 1) je polynom 1. stupně
- 𝑝(𝑥) = 4𝑥2
+ 6𝑥 − 3 (Obr. 2) je polynom 2. stupně
- 𝑝(𝑥) = 𝑥3
+ 2𝑥2
+ 3𝑥 (Obr. 3) je polynom 3. stupně
- 𝑝(𝑥) = 3𝑥4
+ 4𝑥3
+ 5𝑥 + 2 (Obr. 4) je polynom 4. stupně
Polynomy prvního, druhého, třetího a čtvrtého stupně nazýváme také lineárními,
kvadratickými, kubickými a kvartickými.
Nyní se podíváme, jak vypadají grafy polynomů různých stupňů.
Obr. 1 Obr. 2
Obr. 3 Obr. 4
11
Definice 1.6 Rovnost dvou polynomů
Příklad
- 𝑝(𝑥) = 5𝑥 + 2 𝑞(𝑥) = 5𝑥 + 2
Koeficienty u stejných mocnin jsou si rovny, proto se i zadamé polynomy rovnají.
- 𝑝(𝑥) = 3𝑥2
− 2𝑥 + 1 𝑞(𝑥) = 3𝑥2
− 2𝑥 − 1
Polynomy se nerovnají, neboť absolutní členy u obou polynomů se znaménkově liší.
To, že se naše zadané polynomy nerovnají, můžeme vyčíst i z grafu (Obr. 5). Aby se dva
polynomy rovnaly, musí jejich grafy splynout. Grafy polynomů jsou dvě různé paraboly
s vrcholy2
𝑉𝑝 = [
1
3
,
2
3
] , 𝑉𝑞 = [
1
3
, −
4
3
], tedy posunuté o 2.
Obr. 5
2
Vrcholy snáze určíme pomocí derivace funkce, známé z matematické analýzy, neboť vrchol paraboly
chápeme jako bod, ve kterém má daná kvadratická funkce lokální extrém. Má-li obecně funkce 𝑓 v bodě
𝑥0 lokální extrém a existuje-li v tomto bodě derivace 𝑓´ (𝑥0), potom platí 𝑓´ (𝑥0) = 0.
Derivujeme-li 𝑝(𝑥), dostaneme 𝑝´(𝑥) = 6𝑥 − 2, tedy 𝑥 =
1
3
, dosadíme-li do 𝑝(𝑥), získáme 𝑦 =
2
3
, potom
𝑉𝑝 = [
1
3
,
2
3
]. Derivujeme-li 𝑞(𝑥), dostaneme 𝑞´(𝑥) = 6𝑥 − 2, tedy 𝑥 =
1
3
, dosadíme-li do 𝑞(𝑥), získáme
𝑦 = −
4
3
, potom 𝑉𝑞 = [
1
3
, −
4
3
].
Dva polynomy 𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥) jsou si rovny, což vyjadřujeme rovnicí 𝑝(𝑥) = 𝑞(𝑥), jestliže
se jejich stejnolehlé koeficienty, tzn. koeficienty při týchž mocninách proměnné 𝑥,
rovnají.
12
1.2 Dělení polynomů
Definice 1.7 O dělení polynomů
Mějme dva polynomy 𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥). Existuje-li polynom ℎ(𝑥) takový, že platí
𝑝(𝑥) = 𝑞(𝑥) ∙ ℎ(𝑥),
pak řekneme, že polynom 𝑞(𝑥) dělí polynom 𝑝(𝑥), což značíme 𝑞(𝑥)|𝑝(𝑥).
V opačném případě řekneme, že 𝑞(𝑥) nedělí 𝑝(𝑥).
Dělení polynomů by nám nemělo dělat větší obtíže, neboť jeho algoritmus je velmi
podobný algoritmu dělení celých čísel. Jedná se totiž o podobné struktury v takovém
smyslu, že (𝑍, +,∙) je okruh a (𝑅[𝑥], +,∙) je také okruh.
Tak jako u dělení celých čísel může být výsledkem číslo beze zbytku, či se zbytkem, tak
i u dělení polynomu získáme buď polynom beze zbytku, či tzv. částečný podíl a zbytek.
Věta 1.1 O dělení polynomů se zbytkem
Mějme dva nenulové polynomy 𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥) stupňů 𝑚, 𝑛 a nechť 𝑚 > 𝑛. Při dělení
polynomu 𝑝(𝑥) polynomem 𝑞(𝑥) dostáváme nějaký polynom 𝑟(𝑥) a polynom 𝑧(𝑥), což
je vyjádřeno vztahem
𝑝(𝑥) = 𝑞(𝑥) ∙ 𝑟(𝑥) + 𝑧(𝑥),
přičemž platí, že stupeň polynomu 𝑧(𝑥) je menší než stupeň polynomu 𝑞(𝑥).
Poznámka
(a) Polynom 𝑟(𝑥), resp. polynom 𝑧(𝑥) poté nazýváme podílem, resp. zbytkem tohoto
dělení.
(b) Z výše uvedeného lze usoudit, že pro 𝑞(𝑥) = 0 dělení se zbytkem nelze provést,
neboť dle podmínky stupeň 𝑧(𝑥) není menší než stupeň polynomu 𝑞(𝑥).
(c) V případě, že polynom 𝑧(𝑥) je roven nule, potom platí vztah 𝑝(𝑥) = 𝑞(𝑥) ∙ 𝑟(𝑥)
z definice 1.7.
13
Úloha: Dělte polynom 𝑝(𝑥) polynomem 𝑞(𝑥), máme-li
𝑝(𝑥) = 4𝑥3
+ 𝑥2
+ 7𝑥 + 2, 𝑞(𝑥) = 2𝑥2
− 1.
(4𝑥3
+ 𝑥2
+ 7𝑥 + 2) ÷ (2𝑥2
− 1) = 2𝑥 +
1
2
+
9𝑥+
5
2
(4𝑥3+𝑥2+7𝑥+2)
−(4𝑥3
− 2𝑥)
𝑥2
+ 9𝑥 + 2
−(𝑥2
−
1
2
)
9𝑥 +
5
2
Vzhledem k výše uvedenému zápisu a označení ve větě 1.1 platí
𝑝(𝑥) = 𝑞(𝑥) ∙ 𝑟(𝑥) + 𝑧(𝑥), kde
𝑟(𝑥) = 2𝑥 +
1
2
, 𝑧(𝑥) = 9𝑥 +
5
2
, tedy
(4𝑥3
+ 𝑥2
+ 7𝑥 + 2) = (2𝑥2
− 1) (2𝑥 +
1
2
) + (9𝑥 +
5
2
).
Dělení polynomů budeme dále využívat při hledání kořenů polynomů a následně
algebraických rovnic. Někdy však může být dělení zbytečně zdlouhavým procesem, při
němž se mohou naskytnout numerické chyby, a proto v oddíle 1.4 uvedeme metodu
zvanou Hornerovo schéma. Nejprve se ovšem musíme seznámit s pojmy hodnota
polynomu v bodě 𝑐 a kořen polynomu.
14
1.3 Kořen polynomu
Definice 1.8 Hodnota polynomu
Hodnotou polynomu 𝑝(𝑥) = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 v bodě 𝑐 rozumíme
reálné číslo, které získáme dosazením za proměnnou 𝑥 do uvedeného polynomu
𝑝(𝑐) = 𝑎 𝑛 𝑐 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑐 𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1 𝑐 + 𝑎0, kde 𝑐 ∈ ℝ.
Poznámka
Zajímavým případem dělení je dělení polynomu 𝑝(𝑥) lineárním polynomem (𝑥 − 𝑐),
kde 𝑐 je libovolné číslo.
Mějme libovolné číslo 𝑐. Dělení se zbytkem daného polynomu 𝑝(𝑥) lineárním
polynomem (𝑥 − 𝑐) vyjádříme rovnicí
𝑝(𝑥) = (𝑥 − 𝑐) ∙ 𝑟(𝑥) + 𝑧(𝑥),
kde 𝑠𝑡 𝑧(𝑥) < 𝑠𝑡(𝑥 − 𝑐) = 1. Potom tedy platí, že 𝑠𝑡 𝑧(𝑥) = 0 nebo 𝑧(𝑥) = 0. V obou
předchozích případech je zbytkem konstanta Z a z následující rovnice
𝑝(𝑐) = (𝑐 − 𝑐) ∙ 𝑟(𝑥) + 𝑍 = 𝑍
vyplývá, že konstanta 𝑍 je rovna 𝑝(𝑐).
Výše uvedený poznatek můžeme shrnout do následující věty, jež je důsledkem věty 1.1.
Věta 1.2 O dělení polynomu lineárním polynomem
Zbytek po dělení polynomu 𝑝(𝑥) lineárním polynomem (𝑥 − 𝑐), kde 𝑐 je libovolné
číslo, je konstanta rovná 𝑝(𝑐).
Definice 1.9 Kořen polynomu
Kořenem polynomu 𝑝(𝑥) se nazývá číslo 𝑐, právě když platí 𝑝(𝑐) = 0.
Poznámka
(a) Z předchozích dvou definic jednoznačně vyplývá, že nulový polynom má za
kořen každý prvek z ℂ a polynom stupně nula žádný kořen nemá.
15
(b) Geometricky kořen polynomu chápeme jako průsečík grafu zadaného polynomu
se souřadnicovou osou 𝑥.
Z věty 1.2 bezprostředně plyne následující věta.
Věta 1.3 Bezoutova věta
Číslo 𝑐 je kořenem polynomu 𝑝(𝑥) právě tehdy, když polynom (𝑥 − 𝑐) dělí polynom
𝑝(𝑥), což je vyjádřeno vztahem (𝑥 − 𝑐)| 𝑝(𝑥).
Důkaz: Věta je tvaru ekvivalence, proto musíme důkaz provést oběma směry.
" ⇒ "
Předpokládejme, že kořenem polynomu 𝑝(𝑥) je číslo 𝑐, tedy 𝑝(𝑐) = 0. Potom 𝑧(𝑥) = 0
nebo 𝑠𝑡 𝑧(𝑥) < 𝑠𝑡(𝑥 − 𝑐) = 1, tzn., že 𝑧(𝑥) je polynom konstantní. Dle předpokladu je
0 = 𝑝(𝑐) = (𝑐 − 𝑐) ∙ 𝑟(𝑐) + 𝑧(𝑐), kde 𝑧(𝑐) = 0 a musí tedy platit, že 𝑧(𝑥) = 0. Potom
polynom (𝑥 − 𝑐) dělí polynom 𝑝(𝑥).
" ⇐ "
Předpokládejme, že (𝑥 − 𝑐) dělí polynom 𝑝(𝑥). Potom 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 𝑐) ∙ ℎ, kde ℎ ∈
𝑅[𝑥]. Odtud plyne, že 𝑝(𝑐) = (𝑐 − 𝑐) ∙ ℎ(𝑐) = 0. Kořenem polynomu 𝑝(𝑥) je tedy číslo
𝑐.
Definice 1.10 Kořenový činitel polynomu
Je-li číslo 𝑐 kořenem polynomu 𝑝(𝑥), potom lineární polynom (𝑥 − 𝑐) nazýváme
kořenovým činitelem polynomu 𝑝(𝑥) (příslušným kořenu 𝑐).
Poznámka
Je-li 𝑐 kořenem polynomu 𝑝(𝑥), potom dle věty 1.3 platí (𝑥 − 𝑐)| 𝑝(𝑥). Může se
ovšem stát, že polynom 𝑝(𝑥) je dělitelný některou vyšší mocninou polynomu (𝑥 − 𝑐).
Z toho důvodu zde musíme zmínit další definici.
Definice 1.11 K-násobný kořen polynomu 𝒑(𝒙)
Číslo 𝑐 polynomu 𝑝(𝑥) nazýváme k-násobným kořenem polynomu, jestliže (𝑥 − 𝑐) 𝑘
dělí 𝑝(𝑥) a (𝑥 − 𝑐) 𝑘+1
nedělí 𝑝(𝑥).
16
Poznámka
(a) Je-li 𝑘 = 1, pak kořen 𝑐 budeme místo jednonásobný kořen nazývat kořen
jednoduchý.
(b) Má-li polynom násobné kořeny, pak má v daném bodě tečnu na ose 𝑥.
Příklad
- Graf polynomu 𝑝(𝑥) = 𝑥3
− 𝑥2
− 4𝑥 + 4, jenž má tři reálné kořeny 𝑥1 =
−2, 𝑥2 = 1, 𝑥3 = 2.
Obr. 6
- Graf polynomu 𝑝(𝑥) = 𝑥3
+ 𝑥2
− 𝑥 + 2 se dvěma komplexně sdruženými
kořeny a jedním reálným kořenem 𝑥1 = −2.
Obr. 7
17
- Graf polynomu 𝑝(𝑥) = 𝑥3
− 3𝑥2
+ 4 s jedním dvojnásobným 𝑥1,2 = 2 a jedním
jednoduchým kořenem 𝑥3 = −1.
Obr. 8
- Graf polynomu 𝑝(𝑥) = 𝑥3
− 3𝑥2
+ 3𝑥 − 1 s jedním trojnásobným kořenem
𝑥1,2.3 = 1.
Obr. 9
Závěr: Má-li polynom tři různé reálné kořeny, graf daného polynomu protíná osu x ve
třech různých bodech, které jsou potom kořeny daného polynomu, popřípadě algebraické
rovnice. Má-li polynom dvojnásobný kořen, potom osa 𝑥 je tečnou ke grafu polynomu.
Komplexně sdružené kořeny se neprojeví protnutím reálné osy na grafu polynomu pro
𝑥 ∈ ℝ.
Úloha: Určete, jaké násobnosti kořene je číslo 1 pro polynom
𝑝(𝑥) = 𝑥4
− 2𝑥3
− 3𝑥2
+ + 8𝑥 − 4.
Úlohu budeme řešit postupným dělením polynomu jeho kořenovým činitelem. Po
dosazení např. čísla 1 zjišťujeme, že je kořenem, a proto polynom vydělíme (𝑥 − 1).
18
(𝑥4
− 2𝑥3
− 3𝑥2
+ 8𝑥 − 4) ÷ (𝑥 − 1) = 𝑥3
− 𝑥2
− 4𝑥 + 4
−(𝑥4
− 𝑥3
)
−𝑥3
− 3𝑥2
+ 8𝑥 − 4
−(−𝑥3
+ 𝑥2
)
−4𝑥2
+ 8𝑥 − 4
−(−4𝑥2
+ 4𝑥)
4𝑥 − 4
Budeme dále pokračovat v dělení kořenovým činitelem. Opět zjišťujeme, že číslo 1 je
kořenem polynomu 𝑥3
− 𝑥2
− 4𝑥 + 4.
(𝑥3
− 𝑥2
− 4𝑥 + 4) ÷ (𝑥 − 1) = 𝑥2
− 4
−(𝑥3
− 𝑥2)
−4𝑥 + 4
−(−4𝑥 + 4)
Částečný podíl 𝑥2
− 4 již nemusíme nadále dělit, neboť se jedná o vzorec na součinový
rozklad (𝑥 − 2) ∙ (𝑥 + 2). Můžeme tedy napsat
(𝑥4
− 2𝑥3
− 3𝑥2
+ 8𝑥 − 4) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 + 2).
Kořeny zadaného polynomu jsou 𝑥1,2 = 1, 𝑥3 = 2, 𝑥4 = −2. Číslo 1 je tedy kořenem
násobnosti 2 a graf zadaného polynomu vypadá následovně:
Obr. 10
19
1.4 Rozklad na kořenové činitele pomocí Hornerova schématu
V následující podkapitole budeme určovat kořeny pomocí Hornerova schématu.
Mějme polynom
𝑝(𝑥) = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 (3)
stupně 𝑛 ≥ 1, kde 𝑎 𝑛 ≠ 0 a libovolné číslo 𝑐 ∈ ℂ.
Podle věty 1. 1 můžeme psát
𝑝(𝑥) = (𝑥 − 𝑐) ∙ 𝑟(𝑥) + 𝑏, (4)
kde 𝑏 ∈ ℝ a platí 𝑏 = 𝑝(𝑐).
Dále 𝑠𝑡 𝑟(𝑥) = 𝑛 − 1, tzn. 𝑟(𝑥) je polynom tvaru 𝑟(𝑥) = 𝑏 𝑛−1 𝑥 𝑛−1
+ ⋯ + 𝑏1 𝑥 + 𝑏0.
Po dosazení za 𝑟(𝑥) do (4) a porovnáním koeficientů u stejných mocnin 𝑥 v (3) dostáváme
𝑎 𝑛 = 𝑏 𝑛−1 𝑏 𝑛−1 = 𝑎 𝑛
𝑎 𝑛−1 = 𝑏 𝑛−2 − 𝑐 ∙ 𝑏 𝑛−1 𝑏 𝑛−2 = 𝑐 ∙ 𝑏 𝑛−1 + 𝑎 𝑛−1
⋮ ⋮
𝑎1 = 𝑏0 − 𝑐 ∙ 𝑏1 𝑏0 = 𝑐 ∙ 𝑏1 + 𝑎1
𝑎0 = 𝑏 − 𝑐 ∙ 𝑏0 𝑏 = 𝑐 ∙ 𝑏0 + 𝑎0
Posloupnost jsme si následně přepsali, neboť nás zajímá číslo 𝑏 𝑛 neboli hodnota daného
polynomu v bodě 𝑐.
Můžeme usoudit, že koeficienty podílu 𝑟(𝑥) i zbytek 𝑏 = 𝑝 (𝑐) lze jednoduše vypočítat.
Danou situaci pří výpočtu budeme zapisovat do přehledného schématu, tzv. Hornerova
schématu.
𝑎 𝑛 𝑎 𝑛−1 … 𝑎2 𝑎1 𝑎0
c 𝑎 𝑛 𝑐 ∙ 𝑏 𝑛−1 + 𝑎 𝑛−1 … 𝑐 ∙ 𝑏2 + 𝑎2 𝑐 ∙ 𝑏1 + 𝑎1 𝑐 ∙ 𝑏0 + 𝑎0
𝑏 𝑛−1 𝑏 𝑛−2 𝑏1 𝑏0 𝑏 = 𝑝(𝑐)
20
Do horního řádku budeme zapisovat všechny koeficienty polynomu 𝑝(𝑥), tedy i případné
koeficienty nulové, do spodního budeme postupně zapisovat vypočítané koeficienty
podílu 𝑟(𝑥) a zbytek 𝑏 = 𝑝(𝑐).
Poznámky
(a) Je-li 𝑏 = 0, potom 𝑐 je kořenem polynomu 𝑝(𝑥).
(b) Je-li 𝑏 ≠ 0, potom 𝑐 není kořenem polynomu 𝑝(𝑥) a 𝑏 je hodnota zbytku po
dělení (𝑥 − 𝑏).
(c) Je-li
𝑝
𝑞
∈ ℚ kořenem polynomu 𝑝(𝑥), potom 𝑝|𝑎0 ∧ 𝑞|𝑎 𝑛.
Pro pochopení si Hornerovo schéma demonstrujeme na následujícím příkladu.
Úloha: Předchozí úlohu řešte pomocí Hornerova schématu
𝑝(𝑥) = 𝑥4
− 2𝑥3
− 3𝑥2
+ 8𝑥 − 4.
Do horního řádku zapíšeme postupně všechny koeficienty a postupujeme dle uvedeného
algoritmu.
Na základě výše uvedené poznámky (c) by potenciálním řešením mohla být čísla ±
𝑝
𝑞
=
±
1
1
, ±
2
1
, ±
4
1
.
Pro větší pochopení napíšeme první řádek krok po kroku.
𝟏 − 2 − 𝟑 𝟖 − 𝟒
𝟏 𝟏 1 ∙ 1 − 2 = −1 𝟏 ∙ (−1) − 𝟑 = −4 𝟏 ∙ (−4) + 𝟖 = 4 𝟏 ∙ 4 − 𝟒 = 0
1 1 0 − 4 0
2 1 2 0
−2 1 0
(𝑥4
− 2𝑥3
− 3𝑥2
+ 8𝑥 − 4) = (𝑥 − 1)2
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
Kořeny zadaného polynomu jsou 𝑥1,2 = 1, 𝑥3 = 2, 𝑥4 = −2.
Závěr: Z výše uvedených výpočtů z předchozích dvou úloh můžeme usoudit, že při
hledání kořenů polynomu je řešení pomocí Hornerova schématu nejen rychlejší, ale také
přehlednější než řešení pomocí dělení lineárních činitelů.
21
2. Algebraické rovnice
Řešení rovnic je považováno za jeden z nejstarších a zároveň nejdůležitějších problémů
v matematice. V této práci se budeme zabývat rovnicemi algebraickými, tedy rovnicemi,
které se dají vyjádřit pomocí polynomu 𝑛-tého stupně.
Definice 2.1 Algebraická rovnice
Poznámka
(a) Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že koeficient 𝑎 𝑛 = 1, neboť
polynom
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
a polynom
𝑥 𝑛
+
𝑎 𝑛−1
𝑎 𝑛
𝑥 𝑛−1
+ ⋯ +
𝑎1
𝑎 𝑛
+
𝑎0
𝑎 𝑛
mají stejné kořeny. Díky tomu se můžeme omezit na rovnici tvaru
𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 = 0, (6)
již využijeme ve formulacích a důkazech u vět 2.3, 2.4.
(b) Levá strana rovnice (5) vyjadřuje vztah mezi neznámou 𝑥 a danými konstantami.
Poznámka
(a) Jestliže symbol 𝑝(𝑥)značil polynom, pak řešit rovnici ve tvaru
𝑝(𝑥) = 0 (7)
znamená nalézt takové hodnoty 𝑥 = 𝑥0 z definičního oboru, pro něž platí 𝑝(𝑥0) = 0.
Vzhledem k definici 1.5 jsou ty hodnoty 𝑥0, které jsou řešením rovnice (5), současně i
kořeny polynomu 𝑝(𝑥).
Mějme polynom 𝑝(𝑥) = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 stupně 𝑛 ≥ 1, kde
reálná čísla 𝑎 𝑛, … , 𝑎1, 𝑎0, 𝑎 𝑛 ≠ 0 nazýváme koeficienty. Potom zápis
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 = 0 (5)
budeme nazývat algebraickou rovnicí stupně 𝑛.
22
(b) Rovnici (5) budeme někdy zapisovat ve výše uvedeném tvaru (7), a proto si
musíme uvědomit, že ani jeden ze zápisů neznamená rovnost dvou polynomů, ale
příkaz k vyhledání všech kořenů polynomu 𝑝(𝑥).
(c) Pojem rovnice můžeme chápat ve dvojím slova smyslu. Tím prvním jsou rovnice
identické, kde rovnost levé a pravé strany platí pro každé číslo. Pro nás to jsou
známé vzorce na rozklad mnohočlenu.
Příklad
(𝑎 + 𝑏)2
= 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
nebo
𝑎2
− 𝑏2
= (𝑎 − 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏) jsou platné pro každé z komplexních čísel 𝑎, 𝑏.
Naproti tomu rovnice určovací, např. 𝑥2
+ 5𝑥 + 6 = 0, jsou platné jen pro určité
speciální hodnoty neznámé 𝑥. V našem případě je množina řešení dvouprvková neboli
pro obor pravdivosti rovnice 𝑃 na množině reálných čísel platí, že 𝑃 = {3,2}.
V našich dosavadních úvahách a výpočtech jsme vždy předpokládali, že kořeny dané
algebraické rovnice existují. To nás vede k otázce, zda má každá algebraická rovnice
s komplexními koeficienty v oboru komplexních čísel kořen? Odpověď nacházíme
v jedné z nejznámějších algebraických vět, v tzv. Základní (nebo též fundamentální) větě
algebry.
Věta 2.1 Základní věta algebry
Poznámka
(a) Je-li nějaká rovnice s reálnými koeficienty, které nevyhovuje žádné reálné číslo,
podle základní věty algebry musí mít alespoň jedno řešení v oboru komplexních
čísel.
(b) Základní věta algebry nás ovšem seznamuje pouze s existencí jednoho kořene
algebraické rovnice 𝑛-tého stupně, o počtu navzájem různých řešení nám již nic
neříká.
Každá algebraická rovnice s komplexními koeficienty stupně 𝑛 ≥ 1 má v oboru
komplexních čísel alespoň jeden kořen.
23
Tak například kvadratické rovnici 𝑥2
− 4𝑥 + 4 = 0 (Obr. 11) vyhovuje jediné číslo 𝑥 =
2, kdežto kvadratická rovnice 𝑥2
− 4 = 0 (Obr. 12) má rovnou dva různé kořeny, a to
𝑥1 = 2, 𝑥2 = −2.
Obr. 11
Obr. 12
Věta 2.2
Mějme čísla 𝑎 𝑛, … , 𝑎1, 𝑎0, jež jsou koeficienty rovnice (5). Jestliže jsou všechny
koeficienty v rovnici (5) nezáporné, potom rovnice (5) nemá žádný kořen kladný.
Důkaz: Jsou-li 𝑎 𝑛 ≥ 0, … , 𝑎1 ≥ 0, 𝑎0 ≥ 0 a kořen 𝑥 > 0, potom musí platit, že 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 > 0. Tím pádem 𝑥 nemůže být kořenem rovnice (5).
24
Věta 2.3
Nechť 𝑛 > 1. Číslo 𝛼 je kořenem rovnice (6) tehdy a jen tehdy, když rovnici (6)
můžeme zapsat v následujícím tvaru
(𝑥 − 𝛼)( 𝑥 𝑛−1
+ 𝑐1 𝑥 𝑛−2
+ ⋯ + 𝑐 𝑛−2 𝑥 + 𝑐 𝑛−1) = 0.
Příklad
Mějme rovnici 𝑥5
− 𝑥4
− 8𝑥3
+ 4𝑥2
− 5𝑥 + 10 = 0, jejíž jeden kořen je 𝑥1 = 2. Potom
rovnici můžeme, dle věty 2.3, zapsat do tvaru
(𝑥 − 2)( 𝑥4
+ 3𝑥3
− 2𝑥2
− 5) = 0.
Věta 2.4
Mějme navzájem různá čísla 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥 𝑛 ∈ ℂ. Má-li rovnice (6) za kořeny čísla 𝑥1,
𝑥2, ⋯ , 𝑥 𝑛, potom rovnici (6) můžeme psát ve tvaru
(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) ⋯ (𝑥 − 𝑥 𝑛) = 0.
Příklad
Mějme rovnici 𝑥4
+ 2𝑥3
− 15𝑥2
+ 4𝑥 + 20, jejíž kořeny jsou čísla
𝑥1 = −1, 𝑥2 = 2, 𝑥3 = 2, 𝑥4 = −5. Potom rovnici můžeme, dle věty 2.4, zapsat do tvaru
(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 2)(𝑥 + 5) = 0.
Už ze základní školy víme, že lineární rovnice má vždy jen jeden kořen, kvadratická
rovnice může mít dva různé kořeny. To nás vede k nutnosti formulovat základní větu
algebry ve tvaru, který říká něco o počtu řešení dané algebraické rovnice.
Věta 2.3 (Základní věta algebry v jiném tvaru – O počtu řešení)
To, jestli má naše algebraická rovnice nějaké kořeny, eventuálně kolik jich existuje, záleží
též na oboru, ve kterém danou rovnici řešíme. Například rovnice 2𝑥 − 1 = 0 má kořen
teprve až po zavedení zlomků, rovnice 𝑥 + 2 = 0 po zavedení záporných čísel a rovnice
𝑥2
− 2 = 0 po rozšíření o iracionální čísla.
Každá algebraická rovnice stupně 𝑛 ≥ 1 má v oboru komplexních čísel právě 𝑛 kořenů,
počítáme-li je i s jejich násobnostmi
25
3. Lineární rovnice
3.1 Základní pojednání
Motivační úloha
Michal si myslí přirozené číslo. Když ho vynásobí třemi, přičte k němu číslo jedna,
následně vydělí osmi a mezivýsledek vynásobí čtyřmi, dostane číslo o 11 větší než
původní myšlené číslo. Jaké číslo si Michal myslí?
Úlohu můžeme řešit buď jednoduchou úvahou, jež spočívá v postupném návratu od konce
zadání, anebo způsobem, jejž volíme my, a to za pomoci rovnic.
Označme si myšlené číslo 𝑥. Postupnými změnami získáváme 3𝑥, 3𝑥 + 1,
3𝑥+1
8
,
4∙(3𝑥+1)
8
.
Výsledné číslo si zapíšeme 𝑥 + 11.
Řešení můžeme pomocí rovnice zapsat do tvaru
4∙(3𝑥+1)
8
= 𝑥 + 11, kdy za využití
ekvivalentních úprav dostaneme 𝑥 = 21, tedy myšlené číslo.
Nyní můžeme postoupit obecně k lineárním rovnicím.
Definice 3.1 Lineární rovnice
Rovnici tvaru
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, (8)
kde 𝑎, 𝑏 jsou reálná čísla a 𝑎 ≠ 0, nazýváme lineární rovnicí s neznámou 𝑥. Člen 𝑎𝑥
nazýváme lineární, člen 𝑏 absolutní.
Poznámka
Při řešení lineárních rovnic využíváme ekvivalentní úpravy.
Ekvivalentní úpravy jedné algebraické rovnice
Ekvivalentní úpravy jsou takové úpravy, které převedou původní rovnici na rovnici
novou, avšak se stejnou množinou řešení, jako měla rovnice původní.
Za nejdůležitější ekvivalentní úpravy považujeme (vždy předpokládáme, že úpravy se
provádí v celém oboru řešení):
- přičtení, popř. odečtení stejného čísla nebo mnohočlenu,
26
- vynásobení, popř. vydělení stejným číslem nebo mnohočlenem různým od nuly
obou stran rovnic,
- nahrazení libovolné strany rovnice výrazem, který se jí rovná,
- vzájemnou záměnu stran rovnice,
atd.
Řešení lineárních rovnic
Lineární rovnice se řeší pouhým osamostatněním neznámé 𝑥. Prozkoumejme tři možnosti
řešení výsledků.
1) Mějme 𝑎 ≠ 0, potom lineární rovnici (8) lze upravit na tvar 𝑥 = −
𝑏
𝑎
, odkud je
patrné, že rovnice má jediné řešení.
Úloha: Řešte rovnici 3𝑥 + 6 = 0.
3𝑥 + 6 = 0
3𝑥 = −6
𝑥 = −
6
3
= −2
Závěr: Je-li 𝑎 ≠ 0, pak lineární rovnice (8) má právě jedno řešení a tím je kořen 𝑥 = −
𝑏
𝑎
.
2) Mějme 𝑎 = 𝑏 = 0, potom lineární rovnici (8) můžeme upravit do tvaru 0 = 0,
odkud je patrné, že rovnice má nekonečně mnoho řešení v oboru reálných čísel.
Úloha: Řešte rovnici 5𝑥 − 2𝑥 + 3 = 3𝑥 + 3.
5𝑥 − 2𝑥 + 3 = 3𝑥 + 3
3𝑥 + 3 = 3𝑥 + 3
0 = 0
Závěr: Je-li 𝑎 = 𝑏 = 0, potom lineární rovnice (8) má nekonečně mnoho řešení.
3) Mějme 𝑎 = 0, 𝑏 ≠ 0, potom lineární rovnici (8) upravíme do tvaru triviální
rovnice 𝑏 = 𝑐, kde 𝑐 je konstanta, odkud je patrné, že rovnice nemá v oboru
reálných čísel žádné řešení.
27
Úloha: Řešte rovnici 0𝑥 + 3 = 7.
0𝑥 + 3 = 7
3 = 7, což neplatí.
Závěr: Je-li 𝑎 = 0, 𝑏 ≠ 0, potom lineární rovnice (8) nemá řešení.
Můžeme tedy vcelku o řešení lineární rovnice říci:
Lineární rovnice 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, kde 𝑎, 𝑏 jsou daná reálná čísla a 𝑥 je neznámá, má v oboru
reálných čísel
o pro 𝑎 ≠ 0 jediné řešení a tím je 𝑥 = −
𝑏
𝑎
,
o pro 𝑎 = 0, 𝑏 = 0 nekonečně mnoho řešení,
o pro 𝑎 = 0, 𝑏 ≠ 0 žádné řešení.
3.2 Grafické řešení lineárních rovnic
Bez újmy na obecnosti můžeme rovnici (8) psát v následujícím tvaru
𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐𝑥 + 𝑑, (9)
𝑓(𝑥) 𝑞(𝑥)
kde 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 𝑐 a 𝑥 je neznámá.
Nakreslíme-li grafy funkcí 𝑓(𝑥), 𝑞(𝑥), kterými jsou přímky, do jedné soustavy souřadnic,
řešením rovnice (9) bude 𝑥-ová souřadnice jejich průsečíků.
Nyní si ukážeme souvislost mezi počtem řešení rovnice a počtem průsečíků funkce s osou
𝑥.
Přímka v rovině může mít vůči ose 𝑥 obecně tři různé polohy.
1) Má-li lineární rovnice (8), kde 𝑎 ≠ 0, jedno řešení, potom přímka 𝑦 je s osou 𝑥
různoběžná. Rovnice přímky je 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏. Speciálním případem je přímka
kolmá na osu 𝑥 a její rovnice je ve tvaru 𝑥 = 𝑘, kde 𝑘 je reálné číslo. Tato přímka
má s osou 𝑥 jeden průsečík, a má tedy pouze jedno řešení. Rovnice tvaru (9) má
jediné řešení, pokud přímky na obou stranách rovnice jsou různoběžné.
28
Úloha: Řešte graficky rovnici tvaru (9) 4𝑥 + 2 =
3𝑥−1
2
.
Řešení: Grafem funkce 𝑓: 𝑦 = 4𝑥 + 2 je přímka, která prochází body [0, 2], [−
1
2
, 0],
grafem funkce 𝑞: 𝑦 =
3𝑥−1
2
je opět přímka procházející body [0, −
1
2
], [
1
3
, 0].
Obr. 13
Průsečíkem obou přímek je bod 𝑃 = [−1, −2]. Řešením dané rovnice je tedy 𝑥-ová
souřadnice bodu 𝑃, potom 𝑥 = −1.
2) Má-li lineární rovnice (8), kde 𝑎 = 𝑏 = 0, nekonečně mnoho řešení, potom
přímka 𝑦 je s osou 𝑥 totožná. Rovnice přímky tedy bude mít tvar 𝑦 = 0. Rovnice
tvaru (9) má nekonečně mnoho řešení, pokud přímka na levé straně je shodná
s přímkou na pravé straně rovnice.
Úloha: Řešte graficky rovnici
1
3
𝑥 + 2 =
1
6
(2𝑥 + 6).
Řešení: Grafy funkcí (
1
3
𝑥 + 2),
1
6
(2𝑥 + 6) jsou dvě totožné přímky. To znamená, že
existuje nekonečně mnoho společných bodů grafů obou funkcí. Jejich 𝑥-ové souřadnice
vyplní celou množinu reálných čísel. Naše rovnice má tedy nekonečně mnoho řešení.
29
Obr. 14
3) Nemá-li lineární rovnice (8), kde 𝑎 = 0, 𝑏 = 𝑘 ≠ 0, žádné řešení, potom přímka
𝑦 je s osou 𝑥 rovnoběžná různá. Rovnice přímky pak bude 𝑦 = 𝑘. Rovnice tvaru
(9) nemá řešení, pokud přímky příslušné funkcím na obou stranách rovnice jsou
rovnoběžné různé.
Úloha: Řešte graficky rovnici 3𝑥 + 1 = 3𝑥 − 4.
Řešení: Grafy funkcí 𝑓: 𝑦 = 3𝑥 + 1, 𝑔: 𝑦 = 3𝑥 − 4 jsou dvě rovnoběžné přímky, neboť
nemají žádný společný bod, a tedy se neprotínají. Proto naše zadaná rovnice nemá žádné
řešení.
Obr. 15
30
4. Kvadratické rovnice
Definice 4.1 Kvadratická rovnice
Příklad
5𝑥2
+ 4𝑥 − 13 = 0
Poznámka
(a) Řešit kvadratickou rovnici (10) znamená určit všechna komplexní čísla 𝑥, pro něž
je splněna rovnost 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.
(b) Jestliže má kvadratická rovnice (10) komplexní kořen 𝑥0, znamená to, že platí
vztah 𝑎𝑥0
2
+ 𝑏𝑥0 + 𝑐 = 0.
4.1 Neúplná kvadratická rovnice
Pro kvadratickou rovnici (10) vždy platí, že 𝑎 ≠ 0. V následující podkapitole se budeme
věnovat dvěma typům kvadratických rovnic, které mají některý z koeficientů 𝑏, 𝑐 roven
nule.
4.1.1 Kvadratická rovnice bez absolutního členu
Motivační úloha
Přesvědčte se, že rovnice 𝑥2
− 2𝑥 = 0 má jeden kořen rovný nule.
Jednoduchou úpravou dostáváme 𝑥(𝑥 − 2) = 0, odkud vidíme, že rovnice má typickou
vlastnost kvadratických rovnic bez absolutního členu, tj. jeden kořen rovný nule.
Rovnice tvaru
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, (10)
kde 𝑎 ≠ 0, se nazývá kvadratická rovnice, přitom 𝑥 je neznámá a 𝑎, 𝑏, 𝑐 jsou daná reálná
čísla, která nazýváme koeficienty kvadratické rovnice. Člen 𝑎𝑥2
se nazývá kvadratický,
člen 𝑏𝑥 lineární a člen 𝑐 absolutní.
31
Definice 4.2 Kvadratická rovnice s absolutním členem rovným nule
Je-li v kvadratické rovnici (10) absolutní člen roven nule, 𝑐 = 0, tj. rovnice tvaru
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 = 0, (11)
kde 𝑎 ≠ 0, pak říkáme, že kvadratická rovnice je bez absolutního členu.
Příklad
6𝑥2
− 19𝑥 = 0
Řešení kvadratické rovnice bez absolutního členu
Kvadratická rovnice bez absolutního členu má tedy tvar (11). Rovnici řešíme tak, že levou
stranu rovnice upravíme pomocí vytýkání 𝑥 na součinový tvar.
𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) = 0 (12)
Aby byl výraz na levé straně roven nule, tak je buď 𝑥 = 0, anebo 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0. Naše
rovnice (8) má pak reálné kořeny 𝑥1 = 0, 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
.
Obor pravdivosti pak bude 𝑃 = {0, −
𝑏
𝑎
}.
Úloha: Řešte rovnici 5𝑥2
− 13𝑥 = 0.
Rovnici pomocí vytýkání upravíme na součinový tvar
𝑥(5𝑥 − 13) = 0,
odkud získáme dva kořeny 𝑥1 = 0 a 𝑥2 =
13
5
, potom
𝑃 = {0,
13
5
}.
4.1.2 Kvadratická rovnice bez lineárního členu
Motivační úloha
Upravte rovnici (𝑥 + 2)(2𝑥 − 3) = 𝑥 + 2. Po úpravě dostaneme 𝑥2
= 4. Která dvě čísla
mají tu vlastnost, že jejich čtverec je roven čtyřem? Jaké jsou tedy kořeny rovnice?
Stručně můžeme napsat 𝑥1,2 = ±2 (neboť 22
a stejně tak i (−2)2
je rovno čtyřem).
32
Rovnici 𝑥2
= 4 můžeme řešit i způsobem 𝑥2
− 4 = 0, tedy rozkladem
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 0. Tímto způsobem řešíme ryze kvadratické rovnice.
Definice 4.3 Kvadratická rovnice s lineárním členem rovným nule
Je-li v kvadratické rovnici (6) koeficient u lineárního členu roven nule, 𝑏 = 0, tj.
rovnice tvaru
𝑎𝑥2
+ 𝑐 = 0, (13)
pak říkáme, že kvadratická rovnice je bez lineárního členu a nazýváme ji rovnicí ryze
kvadratickou.
Příklad
4𝑥2
+ 2 = 0
Řešení kvadratické rovnice bez lineárního členu
Rovnice ryze kvadratická má tedy tvar (13). Rovnici upravíme na tvar 𝑥2
= −
𝑐
𝑎
a pro
lepší přehlednost výraz −
𝑐
𝑎
položíme 𝑟, tedy −
𝑐
𝑎
= 𝑟, čili 𝑥2
= 𝑟.
Nyní musíme rozlišit následující dva, eventuálně tři případy možností v závislosti na
hodnotě 𝑟.
1) 𝒓 > 0
Je-li 𝑟 > 0, pak můžeme psát 𝑥 = √ 𝑟. Po dosazení dostáváme 𝑥2
= (√ 𝑟)
2
.
𝑥2
− (√ 𝑟)
2
= 0
(𝑥 − √ 𝑟)(𝑥 + √ 𝑟) = 0
Pak (𝑥 − √ 𝑟) = 0 nebo (𝑥 + √ 𝑟) = 0
𝑥1 = √ 𝑟 𝑥2 = −√ 𝑟
33
Po dosazení 𝑟 = −
𝑐
𝑎
> 0, dostáváme
𝑥1 = √−
𝑐
𝑎
𝑥2 = −√−
𝑐
𝑎
𝑃 = {√−
𝑐
𝑎
, −√−
𝑐
𝑎
}.
Úloha: Řešte rovnici 9𝑥2
− 16 = 0.
Postup: Absolutní člen převedeme na druhou stranu a celý výraz podělíme 𝑎 = 9.
Dostáváme
𝑥2
=
16
9
⇒ 𝑥2
= (√
16
9
)
2
𝑥2
= (
4
3
)
2
⇒ 𝑥2
− (
4
3
)
2
= 0.
Dále můžeme výraz rozložit na součin (𝑥 −
4
3
) (𝑥 +
4
3
) = 0. To jest splněno, je-li
𝑥 −
4
3
= 0 nebo 𝑥 +
4
3
= 0.
Odtud dostáváme dva kořeny, a to 𝑥1 =
4
3
, 𝑥2 = −
4
3
.
Výsledek: 𝑃 = {
4
3
, −
4
3
}
2) 𝒓 < 0
Je-li 𝑟 < 0, pak rovnice 𝑥2
= 𝑟 nemá v oboru reálných čísel řešení. Má však řešení
v oboru čísel komplexních.
Je-li 𝑟 < 0, pak 𝑟 = −|𝑟| = (𝑖√|𝑟|)
2
𝑟 = (𝑖√|𝑟|)
2
3
Čili 𝑥2
− (𝑖√|𝑟|)
2
= 0 ⇒ (𝑥 − 𝑖√|𝑟|)(𝑥 + 𝑖√|𝑟|) = 0.
3
𝑖 = 1 (𝑖 je označení imaginární jednotky a platí, že (−𝑖)2
= −1).
34
To platí, je-li (𝑥 − 𝑖√|𝑟|) = 0 nebo (𝑥 + 𝑖√|𝑟|) = 0
𝑥1 = 𝑖√|𝑟| a 𝑥2 = −𝑖√|𝑟|. (14)
Po dosazení 𝑟 = −
𝑐
𝑎
< 0, dostáváme
𝑥1 = 𝑖√|−
𝑐
𝑎
| a 𝑥2 = − 𝑖√|−
𝑐
𝑎
| ,
což jsou čísla komplexně sdružená.
Úloha: Řešte rovnici 9𝑥2
+ 16 = 0.
Postup: Absolutní člen převedeme na druhou stranu a celý výraz podělíme 𝑎 = 9.
Dostáváme
𝑥2
= −
16
9
⇒ −
16
9
= − |−
16
9
| = (𝑖√|−
16
9
|)
2
= (𝑖√
16
9
)
2
𝑥2
= (𝑖
4
3
)
2
⇒ 𝑥2
− (𝑖
4
3
)
2
= 0.
Dále můžeme výraz rozložit na součin (𝑥 − 𝑖
4
3
) (𝑥 + 𝑖
4
3
) = 0. To je splněno, je-li
𝑥 − 𝑖
4
3
= 0 nebo 𝑥 + 𝑖
4
3
= 0.
Odtud dostáváme dva kořeny, a to 𝑥1 =
4
3
𝑖, 𝑥2 = −
4
3
𝑖.
Výsledek: 𝑃 = {
4
3
𝑖, −
4
3
𝑖}
Příklad můžeme dosadit i do obecného řešení (14).
𝑥1 = 𝑖√|−
𝑐
𝑎
| a 𝑥2 = − 𝑖√|−
𝑐
𝑎
| ,
𝑥1 = 𝑖√|−
16
9
| a 𝑥2 = − 𝑖√|−
16
9
| ,
𝑥1 = 𝑖
4
3
a 𝑥2 = − 𝑖
4
3
.
Výsledek: 𝑃 = {
4
3
𝑖, −
4
3
𝑖}
35
3) 𝒓 = 𝟎
Je-li na pravé straně nula, tj. v případě, je-li 𝑐 = 0, pak 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 0. Můžeme pak
říci, že rovnice má jeden dvojnásobný kořen 𝑥1,2 = 0.
Závěrem o kořenech neúplné kvadratické rovnice můžeme říci:
(a) Rovnice (11) má vždy jeden kořen roven nule. Druhý kořen je roven −
𝑏
𝑎
.
(b) Rovnice (13) má kořeny 𝑥1, 𝑥2, které se od sebe liší pouze znaménkem:
o Pro 𝑟 > 0 je zlomek −
𝑐
𝑎
kladný (tj. 𝑎, 𝑐 mají opačná znaménka) a kořeny 𝑥1,
𝑥2 jsou reálné.
o Pro 𝑟 < 0 je zlomek −
𝑐
𝑎
záporný (tj. 𝑎, 𝑐 mají stejná znaménka) a kořeny 𝑥1,
𝑥2 jsou imaginární.
o Je-li navíc 𝑏 = 0, pak dostáváme 𝑥1 = 𝑥2 = 0, kde číslo 0 nazýváme
dvojnásobným kořenem rovnice (13).
4.2 Obecná kvadratická rovnice
Obecná kvadratická rovnice je tvaru (10).
Postup řešení: Obě strany kvadratické rovnice (10) vynásobíme výrazem 4𝑎, postupně
dostáváme
4𝑎2
𝑥2
+ 4𝑎𝑏𝑥 + 4𝑎𝑐 = 0.
K oběma stranám přičteme 𝑏2
4𝑎2
𝑥2
+ 4𝑎𝑏𝑥 + 𝑏2
+ 4𝑎𝑐 = 𝑏2
.
Následně upravíme na tvar
(2𝑎𝑥 + 𝑏)2
= 𝑏2
− 4𝑎𝑐. (15)
Definice 4.2 Diskriminant kvadratické rovnice
Mějme výraz 𝑏2
− 4𝑎𝑐. Položíme-li tento výraz roven 𝐷, tj. 𝑏2
− 4𝑎𝑐 = 𝐷, pak tento
výraz budeme nazývat diskriminant kvadratické rovnice (10) a značit 𝐷.
Obecná kvadratická rovnice má pak tvar (2𝑎𝑥 + 𝑏)2
= 𝐷. Zde musíme rozlišovat opět
tři případy pro hodnoty diskriminantu.
36
1) 𝑫 > 0
(2𝑎𝑥 + 𝑏)2
= 𝑏2
− 4𝑎𝑐; 𝑏2
− 4𝑎𝑐 > 0, proto můžeme psát
𝑏2
− 4𝑎𝑐 = 𝐷 = (√𝐷)
2
= √ 𝐷2
(2𝑎𝑥 + 𝑏)2
= (√𝐷)
2
⇒ (2𝑎𝑥 + 𝑏)2
− (√𝐷)
2
= 0.
Provedeme rozklad dvojčlenu
(2𝑎𝑥 + 𝑏 − √𝐷)(2𝑎𝑥 + 𝑏 + √𝐷) = 0.
Rovnost je splněna, je-li
2𝑎𝑥 + 𝑏 − √𝐷 = 0 nebo 2𝑎𝑥 + 𝑏 + √𝐷 = 0
𝑥1 =
−𝑏+√𝐷
2𝑎
𝑥2 =
−𝑏−√𝐷
2𝑎
.
Závěr: Je-li 𝐷 > 0, pak má obecná kvadratická rovnice (10) dva reálné kořeny tvaru
𝑥1,2 =
−𝑏±√𝐷
2𝑎
pro nás ve známém vzorci 𝑥1,2 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
.
2) 𝑫 < 0
V tomto případě je na levé straně číslo záporné
𝐷 < 0 ⇒ 𝐷 = −|𝐷| = (𝑖√|𝐷|)
2
.
Potom můžeme psát
(2𝑎𝑥 + 𝑏)2
= (𝑖√|𝐷|)
2
.
A dále
(2𝑎𝑥 + 𝑏)2
− (𝑖√|𝐷|)
2
= 0
(2𝑎𝑥 + 𝑏 − 𝑖√|𝐷|) (2𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑖√|𝐷|) = 0.
Rovnost je splněna, je-li
2𝑎𝑥 + 𝑏 − 𝑖√|𝐷| = 0 nebo 2𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑖√|𝐷| = 0
2𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑖√|𝐷| 2𝑎𝑥 + 𝑏 = − 𝑖√|𝐷|
37
𝑥1 =
−𝑏+𝑖√𝐷
2𝑎
𝑥2 =
−𝑏−𝑖√𝐷
2𝑎
Závěr: Je-li 𝐷 < 0, pak má obecná kvadratická rovnice (10) dva komplexně sdružené
kořeny
𝑥1,2
−𝑏 ± 𝑖√|𝐷|
2𝑎
.
Úloha: Řešte rovnici 5𝑥2
+ 4𝑥 + 8 = 0.
𝐷 = 16 − 4 ∙ 5 ∙ 8 = 16 − 160 = −144
Protože diskriminant 𝐷 < 0, jsou kořeny komplexně sdružené a píšeme
𝑥1,2 =
−𝑏 ± 𝑖√|𝐷|
2𝑎
𝑥1,2 =
−4 ± 𝑖√|−144|
10
𝑥1,2 =
−4 ± 𝑖√144
10
⇒ 𝑥1,2 =
−4 ± 𝑖 ∙ 12
10
𝑥1,2 = −
4
10
±
12
10
𝑖; 𝑥1,2 = −
2
5
±
6
5
𝑖.
𝑃 = {−
2
5
+
6
5
𝑖, −
2
5
−
6
5
𝑖}
Zkouška: například pro
𝑥1, = −
2
5
+
6
5
𝑖
𝐿 = 5 ∙ (−
2
5
+
6
5
𝑖)
2
+ 4 ∙ (−
2
5
+
6
5
𝑖) + 8 = 5 ∙ (
4
25
−
24
25
𝑖 +
36
25
𝑖2
) −
8
5
+
24
5
𝑖 + 8
𝐿 = 5 ∙ (
4
25
−
24
25
𝑖 −
36
25
) −
8
5
+
24
5
𝑖 + 8
𝐿 =
4
5
−
24
5
𝑖 −
36
5
−
8
5
+
24
5
𝑖 +
40
5
= 0
𝐿 = 0; 𝑃 = 0 ⇒ 𝑥1, = −
2
5
+
6
5
𝑖 je řešením rovnice 5𝑥2
+ 4𝑥 + 8 = 0.
38
3) 𝑫 = 𝟎
Dosazením 𝐷 = 0 do vztahů pro výpočet reálných a imaginárních kořenů
𝑥1,2 =
−𝑏±√𝐷
2𝑎
a 𝑥1,2 =
−𝑏±𝑖√|𝐷|
2𝑎
dostáváme v obou případech dvojnásobný kořen 𝑥1,2 = −
𝑏
2𝑎
, neboť pro 𝐷 = 0 je rovnice
(15) ekvivalentní s rovnicí 2𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, a tím pádem i s rovnicí 𝑥 = −
𝑏
2𝑎
.
Můžeme tedy vcelku o kořenech obecné kvadratické rovnice říci:
Kvadratická rovnice 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, kde 𝑎 ≠ 0 a 𝑎, 𝑏, 𝑐 jsou daná reálná čísla, jejíž
diskriminant je 𝐷 = 𝑏2
− 4𝑎𝑐, má v oboru komplexních čísel
o pro 𝐷 > 0 dva reálné různé kořeny
𝑥1,2 =
−𝑏 ± √𝐷
2𝑎
,
o pro 𝐷 < 0 dva imaginární komplexně sdružené kořeny
𝑥1,2
−𝑏 ± 𝑖√|𝐷|
2𝑎
,
o pro 𝐷 = 0 dvojnásobný reálný kořen
𝑥1,2 = −
𝑏
2𝑎
.
4.3 Vztahy kořenů a koeficientů kvadratické rovnice
Věta 4.2 (Vietovy vzorce pro 𝒏 = 𝟐)
Jsou-li čísla 𝑥1, 𝑥2 kořeny kvadratické obecné rovnice 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, kde 𝑎 ≠ 0,
pak platí následující vztahy:
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
,
𝑥1 ∙ 𝑥2 =
𝑐
𝑎
.
39
Důkaz:
a) Pro 𝑫 ≥ 𝟎
𝑥1 =
−𝑏+√𝐷
2𝑎
, 𝑥2 =
−𝑏−√𝐷
2𝑎
.
Pak platí
𝑥1 + 𝑥2 =
−𝑏+√𝐷
2𝑎
+
−𝑏−√𝐷
2𝑎
=
−2𝑏
2𝑎
= −
𝑏
𝑎
𝑥1 ∙ 𝑥2 =
−𝑏+√ 𝐷
2𝑎
∙
−𝑏−√ 𝐷
2𝑎
=
𝑏2−𝐷
4𝑎2
=
𝑏2−𝑏2+4𝑎𝑐
4𝑎2
=
𝑐
𝑎
.
b) Pro 𝑫 < 0
𝑥1 =
−𝑏+𝑖√|𝐷|
2𝑎
, 𝑥2 =
−𝑏−𝑖√|𝐷|
2𝑎
.
Pak platí
𝑥1 + 𝑥2 =
−𝑏+𝑖√|𝐷|
2𝑎
+
−𝑏−𝑖√|𝐷|
2𝑎
=
−2𝑏
2𝑎
= −
𝑏
𝑎
𝑥1 ∙ 𝑥2 =
−𝑏+𝑖√|𝐷|
2𝑎
∙
−𝑏−𝑖√|𝐷|
2𝑎
=
𝑏2−𝑖2|𝐷|
4𝑎2
=
𝑏2+4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎2
=
4𝑎𝑐
4𝑎2
=
𝑐
𝑎
4.
Věta 4.3
Je-li obecná kvadratická rovnice 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 převedena, nebo je ve tvaru
normovaném, tedy ve tvaru
𝑥2
+ 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0, (16)
pak pro koeficienty 𝑝, 𝑞
𝑝 =
𝑏
𝑎
, 𝑞 =
𝑐
𝑎
platí stejné vztahy jako v případě obecné rovnice, tedy
𝑥1 + 𝑥2 = −𝑝, 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑞.
Důkaz plyne z věty 4.2 pro 𝑝 = 𝑏, 𝑞 = 𝑐, 𝑎 = 1.
Platí také věta obrácená.
4 |𝑏2
− 4𝑎𝑐| = 4𝑎𝑐 − 𝑏2
40
Věta 4.4
Jsou-li 𝑎, 𝑏, 𝑐 reálná čísla, 𝑎 ≠ 0 a platí-li pro čísla 𝑟, 𝑠, že 𝑟 + 𝑠 = −
𝑏
𝑎
, 𝑟 ∙ 𝑠 =
𝑐
𝑎
, pak
a) 𝑟, 𝑠 jsou kořeny kvadratické rovnice 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0,
b) kvadratická rovnice 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 má jen kořeny 𝑟, 𝑠.
Důkaz věty 4.4:
a) Protože 𝑎 ≠ 0, můžeme rovnici 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 upravit na tvar
𝑎(𝑥2
+
𝑏
𝑎
𝑥 +
𝑐
𝑎
) = 0.
Podle vztahů −(𝑟 + 𝑠) =
𝑏
𝑎
a 𝑟 ∙ 𝑠 =
𝑐
𝑎
dostáváme
𝑎[𝑥2
− (𝑟 + 𝑠)𝑥 + 𝑟 ∙ 𝑠] = 0,
úpravou
𝑎(𝑥2
− 𝑟𝑥 − 𝑠𝑥 + 𝑟 ∙ 𝑠) = 0
dostáváme
𝑎(𝑥 − 𝑟)(𝑥 − 𝑠) = 0.
Rovnice 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 má tedy kořeny 𝑟, 𝑠, neboť platí 𝑎(𝑟 − 𝑟)(𝑟 − 𝑠) = 0 a také
𝑎(𝑠 − 𝑟)(𝑠 − 𝑠) = 0.
Je zřejmé, že rovnice 𝑎(𝑥 − 𝑟)(𝑥 − 𝑠) = 0, jež je ekvivalentní rovnici 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 =
0, má tytéž kořeny jako rovnice (𝑥 − 𝑟)(𝑥 − 𝑠) = 0, jejíž úpravou dostáváme
normovanou kvadratickou rovnici 𝑥2
+ 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0.
Při řešení některých úloh proto využíváme tuto rovnici nebo rovnici
(𝑥 − 𝑟)(𝑥 − 𝑠) = 0.
b) Předpokládáme, že kvadratická rovnice 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, a tedy upravená s ní
ekvivalentní rovnice 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = 0, má ještě další kořen 𝑡 ≠ 𝑟, 𝑡 ≠ 𝑠.
Pak platí
𝑎(𝑡 − 𝑟)(𝑡 − 𝑠) = 0.
To však znamená, že buď 𝑡 = 𝑟 nebo 𝑡 = 𝑠, což odporuje našemu předpokladu.
41
4.4 Některé důsledky vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické
rovnice
Z poznatků o rozkladech kvadratické rovnice v součin kořenových činitelů vyplývají
některé snadno odvoditelné důsledky.
Věta 4.5
Platí-li o kořenech kvadratické rovnice 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, že 𝑟 = 𝑠, má rovnice
diskriminant roven nule.
Důkaz: Platí-li o kořenech kvadratické rovnice 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, že 𝑟 = 𝑠, pak rozklad
na kořenové činitele má tvar
𝑎(𝑥 − 𝑟)(𝑥 − 𝑟) = 0 ⇒ 𝑎(𝑥2
− 2𝑟𝑥 + 𝑟2) = 0 ⇒ 𝑎𝑥2
− 2𝑎𝑟𝑥 + 𝑎𝑟2
= 0
a diskriminant rovnice 𝐷 = 4𝑎2
𝑟2
− 4𝑎 ∙ 𝑎𝑟2
= 0.
Je-li kvadratická rovnice normovaná, pak 𝑎 = 1 a 𝐷 = 4𝑟2
− 4𝑟2
= 0.
Platí také věta obrácená.
Věta 4.6
Má-li kvadratická rovnice 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 diskriminant roven nule, pak pro kořeny
𝑟, 𝑠 platí 𝑟 = 𝑠.
Důkaz: Je-li 𝐷 = 0 ⇒ 𝑏2
− 4𝑎𝑐 = 0 a 𝑐 =
𝑏2
4𝑎
.
Dále po vynásobení 4𝑎 rovnice 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 +
𝑏2
4𝑎
= 0 dostáváme
4𝑎2
𝑥2
+ 4𝑎𝑏𝑥 + 𝑏2
= 0 ⇒ (2𝑎𝑥 + 𝑏)2
− 𝑏2
+ 𝑏2
= 0 ⇒ (2𝑎𝑥 + 𝑏)2
= 0
(2𝑎𝑥 + 𝑏)(2𝑎𝑥 + 𝑏) = 0 ⇒ 𝑟 = 𝑠 = −
𝑏
2𝑎
.
V případě normované kvadratické rovnice dostáváme po dosazení 𝑟 = 𝑠 = −
𝑝
2
.
Účelná je následující úmluva: Má-li kvadratická rovnice 𝐷 = 0, říkáme, že 𝑥 = −
𝑏
2𝑎
nebo
𝑥 = −
𝑝
2
je její dvojnásobný kořen.
42
Věta 4.7
Má-li kvadratická rovnice 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 s reálnými koeficienty imaginární kořen
𝑎1 + 𝑎2 𝑖 , 𝑎2 ≠ 0, má též s ním kořen komplexně sdružený 𝑎1 − 𝑎2 𝑖.
Důkaz: Označme 𝑎1 + 𝑎2 𝑖 = 𝑟. Druhý kořen nechť je 𝑠 = 𝑢 + 𝑣𝑖. Pak platí
𝑟 + 𝑠 = (𝑎1 + 𝑎2 𝑖) + (𝑢 + 𝑣𝑖) = −
𝑏
𝑎
⇒ 𝑖(𝑎2 + 𝑣) = 0 ⇒ 𝑎2 + 𝑣 = 0 ⇒ 𝑣 = −𝑎2
𝑟 ∙ 𝑠 = (𝑎1 + 𝑎2 𝑖) ∙ (𝑢 + 𝑣𝑖) = 𝑐 ⇒ 𝑖(𝑎2 𝑢 + 𝑎1 𝑣) = 0 ∧ 𝑣 = −𝑎2 ⇒ 𝑎2 𝑢 − 𝑎1 𝑎2 = 0
⇒ 𝑎2(𝑢 − 𝑎1) = 0 ∧ 𝑎2 ≠ 0 ⇒ 𝑢 − 𝑎1 = 0 ⇒ 𝑢 = 𝑎1
Celkem tedy 𝑠 = 𝑢 + 𝑣𝑖 = 𝑎1 − 𝑎2 𝑖.
Poznámka
Věta 4.7 platí pro každý polynomy s reálnými koeficienty.
Důkaz plyne ze základní věty algebry. Daný polynom lze rozložit na součin lineárních
polynomů s reálným kořenem a kvadratických polynomů s komplexními kořeny, na které
použijeme větu 4.7.
Zajímavé jsou kvadratické rovnice tvaru:
a) 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑎 = 0 rovnice typu (17)
b) 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 − 𝑎 = 0 rovnice typu (18)
Příklad rovnice typu (18): 𝑥2
− 1 = 0.
Rovnice typu (17) nebo (18) nazýváme kvadratickými rovnicemi reciprokými.
Věta 4.8 O kořenech reciproké rovnice
a) Má-li rovnice typu (17) kořen 𝑥1, má také kořen
1
𝑥1
.
b) Má-li rovnice typu (18) kořen 𝑥1, má také kořen
−1
𝑥1
.
43
Důkaz:
a) Podle věty 4.2 platí 𝑥1 ∙ 𝑥2 =
𝑎
𝑎
= 1.
Pak tedy musí 𝑥2 =
1
𝑥1
.
Kořeny jsou vzájemně převrácené. Rovnice má tedy dva kořeny 𝑥1 a
1
𝑥1
.
b) Podle věty 4.2 platí 𝑥1 ∙ 𝑥2 = −
𝑎
𝑎
= −1,
a tedy 𝑥2 =
−1
𝑥1
.
Více se reciprokými rovnicemi budeme zabývat v kapitole 6.
4.5 Grafické řešení kvadratických rovnic
Mějme kvadratickou rovnici 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, 𝑎 ≠ 0. Upravíme-li tuto rovnici na tvar
𝑥2
= −
𝑏
𝑎
𝑥 −
𝑐
𝑎
, (19)
na levé straně se objeví funkce 𝑓: 𝑦 = 𝑥2
, na straně pravé funkce 𝑞: 𝑦 = −
𝑏
𝑎
𝑥 −
𝑐
𝑎
.
Oborem obou funkcí je množina všech reálných čísel.
Číslo 𝑥 = 𝑟, pro které nabudou obě funkce stejné hodnoty, je řešením kvadratické rovnice
(19), a tedy i kvadratické rovnice (10). Naopak pro každé 𝑟, které je kořenem rovnice
(10), platí 𝑟2
= −
𝑏
𝑎
𝑟 −
𝑐
𝑎
, tj. pro 𝑥 = 𝑟 mají funkce 𝑝 a 𝑞 stejnou hodnotu.
V grafickém znázornění se výše uvedená skutečnost projeví společným bodem grafů
obou funkcí, jehož 𝑥-ová souřadnice je rovna kořenu 𝑟 kvadratické rovnice.
Grafem funkce 𝑓: 𝑦 = 𝑥2
je parabola s osou shodnou se souřadnicovou osou 𝑦 a vrcholem
v počátku soustavy souřadnic. Grafem druhé funkce 𝑓: 𝑦 = −
𝑏
𝑎
𝑥 −
𝑐
𝑎
je přímka, kterou
snadno zobrazíme pomocí dvou bodů tak, jak jsme ji zobrazovali v kapitole 3. Lineární
rovnice.
Přímka může mít v rovině vzhledem k parabole tři různé obecné polohy.
1) Přímka a parabola se protínají, mají dva různé společné body, a rovnice (19) má
tedy dva různé kořeny.
44
Úloha: Řešte kvadratickou rovnici 𝑥2
+ 𝑥 − 2 = 0.
Rovnici přepíšeme do ekvivalentního tvaru 𝑥2
= 2 − 𝑥 a sestrojíme grafy funkcí 𝑓: 𝑦 =
𝑥2
, 𝑓: 𝑦 = 2 − 𝑥. Grafem druhé funkce je přímka procházející body [0,2], [2,0].
Z následujícího obrázku lze vyčíst, že grafy mají dva společné body 𝑃 = [−2,4], 𝑄 =
[1,1].
Obr. 16
Jejich 𝑥-ové souřadnice jsou kořeny naší zadané rovnice, tedy 𝑥1 = −2, 𝑥2 = 1.
2) Přímka a parabola se dotýkají, rovnice (19) má tedy jeden dvojnásobný kořen.
Úloha: Řešte kvadratickou rovnici 𝑥2
− 4𝑥 + 4 = 0.
Sestrojíme graf funkce 𝑓: 𝑦 = 𝑥2
a 𝑓: 𝑦 = 4𝑥 − 4, který prochází body [1,0], [2,4]. Tyto
grafy mají jeden společný průsečík [2,4]. Rovnice má tedy jeden dvojnásobný kořen 𝑥1 =
𝑥2 = 2.
Obr. 17
45
3) Přímka s parabolou nemají společný bod, rovnice (19) nemá řešení.
Úloha: Řešte kvadratickou rovnici 𝑥2
+ 3𝑥 + 5 = 0.
Funkce 𝑓: 𝑦 = 𝑥2
, 𝑓: 𝑦 = −3𝑥 − 5 nemají žádný společný bod. Zadaná rovnice tedy
nemá v oboru reálných čísel řešení.
Obr. 18
46
5. Binomické rovnice
Definice 5.1 Binomická rovnice
Poznámka
Rovnice (20) vznikla převedením rovnice 𝑎𝑥 𝑛
+ 𝑏 = 0 na normovaný tvar, tj.
vydělením nenulovým číslem 𝑎
𝑥 𝑛
= −
𝑏
𝑎
.
Následným položením výrazu −
𝑏
𝑎
= 𝑐 jsme dostali rovnici tvaru
𝑥 𝑛
= 𝑐. (21)
5.1 Řešení binomické rovnice
Naším úkolem bude najít množinu všech řešení, v tomto případě množinu všech
komplexních čísel, které vyhovují binomické rovnice (20). Nalezení kořenů můžeme řešit
buď algebraicky, nebo goniometricky.
Algebraické řešení binomické rovnice
Algebraické řešení spočívá v tom, že levou stranu rovnice (20), kde 𝑐 je reálné číslo a 𝑥
neznámá, se snažíme rozložit pomocí vzorců v součin dvou nebo více činitelů
obsahujících neznámou. Položíme-li tyto činitele rovny nule, dostaneme rovnice nižších
stupňů, jejichž kořeny jsou zároveň kořeny dané rovnice (20).
Úloha: Algebraicky řešte rovnici 𝑥6
− 64 = 0.
Levou stranu rovnice můžeme přepsat na tvar
(𝑥3)2
− (23)2
= 0,
kdy rozkladem polynomu v součin nižších polynomů dostáváme
Rovnice tvaru
𝑥 𝑛
− 𝑐 = 0, (20)
kde 𝑐 je dané komplexní číslo, 𝑥 je neznámá a 𝑛 > 1 je přirozené číslo, se nazývá
binomická rovnice.
47
(𝑥3
− 23)(𝑥3
+ 23) = (𝑥 − 2)(𝑥2
+ 2𝑥 + 4)(𝑥 + 2)(𝑥2
− 2𝑥 + 4𝑥).
Získali jsme rovnici v součinovém tvaru
(𝑥 − 2)(𝑥2
+ 2𝑥 + 4)(𝑥 + 2)(𝑥2
− 2𝑥 + 4𝑥) = 0,
ze které již snadno získáme kořeny zadané rovnice.
i) (𝑥 − 2) = 0 ⇒ 𝑥1 = 2
ii) (𝑥2
+ 2𝑥 + 4) = 0 ⇒ 𝑥2,3 =
−2±√4−16
2
= −1 ± 𝑖√3
iii) (𝑥 + 2) = 0 ⇒ 𝑥4 = −2
iv) (𝑥2
− 2𝑥 + 4𝑥) = 0 ⇒ 𝑥5,6 =
2±√4−16
2
= 1 ± 𝑖√3
Závěr: Rovnice má v oboru reálných čísel dva kořeny 𝑥1 = 2, 𝑥5 = −2. V oboru
komplexním dva komplexně sdružené kořeny 𝑥2,3 = −1 ± 𝑖√3 a další dva komplexně
sdružené kořeny 𝑥5,6 = 1 ± 𝑖√3.
Poznámka
(a) Algebraické řešení binomických rovnic je značně obtížné. Jednoduché
algebraické řešení mají pouze binomické rovnice třetího až šestého stupně. Proto
se podíváme a více zaměříme na řešení goniometrické.
(b) Řešení binomické rovnice budeme hledat v oboru komplexních čísel. Důvodem
je totiž situace, kdy by v rovnici (20) 𝑐 bylo záporné a museli bychom řešit √−𝑐
𝑛
,
což v ℝ řešit neumíme. Mohli bychom si potom pro řešení rovnice (20) v oboru
reálném stanovit podmínku, že 𝑐 bude vždy kladné. Raději se proto obecně
zaměříme na řešení v ℂ, ve kterém mají všechny binomické rovnice (20) řešení.
Goniometrické řešení v množině komplexních čísel
Nechť 𝑥 ∈ ℂ je řešením binomické rovnice 𝑥 𝑛
= 𝑐, pak jeho goniometrické vyjádření je
𝑥 = |𝑥|(𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝛼), 0 ≤ 𝛼 < 2𝜋,
kde 𝛼 je argument komplexního čísla 𝑥.
Číslo 𝑐 ∈ ℂ lze goniometricky vyjádřit
𝑐 = |𝑐|(𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑), 0 ≤ 𝜑 < 2𝜋,
kde 𝜑 je argument komplexního čísla 𝑐.
48
Z rovnice (21) plyne, že je-li 𝑥 řešením binomické rovnice, pak platí
[|𝑥|(𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝛼)] 𝑛
= |𝑐|(𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑).
Umocněním a využitím Moivreovy věty dostáváme
|𝑥| 𝑛
(cos 𝑛𝛼 + 𝑖 sin 𝑛𝛼) = |𝑐|(cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑).
Z rovnosti dvou komplexních čísel plyne
|𝑥| 𝑛
= |𝑐| ⇒ |𝑥| = √|𝑐|
𝑛
cos 𝑛𝛼 = cos 𝜑 ⇒ 𝑛𝛼 = 𝜑 + 2𝑘𝜋
𝛼 =
𝜑 + 2𝑘𝜋
𝑛
,
sin 𝑛𝛼 = sin 𝜑 ⇒ 𝑛𝛼 = 𝜑 + 2𝑘𝜋
𝛼 =
𝜑+2𝑘𝜋
𝑛
.
Řešení pak nabývá tvaru
𝑥 𝑘 = √|𝑐|
𝑛
(cos
𝜑 + 2𝑘𝜋
𝑛
+ 𝑖 sin
𝜑 + 2𝑘𝜋
𝑛
) ; 𝑘 = 0, 1, 2, … , 𝑛 − 1.
Z výše uvedeného vzorce by bylo možné vyvodit, že existuje nekonečně mnoho řešení,
neboť 𝑘 probíhá po celé nekonečné množině ℤ. Musíme si ovšem uvědomit, že funkce
sinus a kosinus jsou funkce periodické, a proto tomu tak není.
Je-li 𝑘 ≥ 𝑛, hodnoty kořenů se opakují, tj. nabývají hodnot kořenů pro 𝑘 = 0, 1, … , 𝑛 − 1.
Pro ilustraci si ukážeme, že např. pro 𝑘 = 𝑛 dostaneme stejné číslo jako pro 𝑘 = 0.
Nechť 𝑘 = 𝑛, pak
𝑥 𝑛 = √|𝑐|
𝑛
(cos
𝜑 + 2𝑛𝜋
𝑛
+ sin
𝜑 + 2𝑛𝜋
𝑛
) = √|𝑐|
𝑛
(cos (
𝜑
𝑛
+ 2𝜋) + 𝑖 sin (
𝜑
𝑛
+ 2𝜋))
= √|𝑐|
𝑛
(cos
𝜑
𝑛
+ 𝑖 sin
𝜑
𝑛
)).
Nechť 𝑘 = 0, pak
𝑥0 = √|𝑐|
𝑛
cos
𝜑 + 2 ∙ 0 ∙ 𝜋
𝑛
+ sin
𝜑 + 2 ∙ 0 ∙ 𝜋
𝑛
= √|𝑐|
𝑛
(cos
𝜑
𝑛
+ 𝑖 sin
𝜑
𝑛
)).
49
Odtud plyne, že 𝑥 𝑛 = 𝑥0.
Závěr: Binomická rovnice (21) má tedy v 𝑥 ∈ ℂ 𝑘 kořenů, jež značíme 𝑥0, 𝑥1, ⋯ , 𝑥 𝑛−1.
Jejich obrazy, které leží na kružnici 𝑙 (𝑂; 𝑟 = √|𝑐|
𝑛
), znázorňujeme v Gaussově rovině
komplexních čísel – všechny komplexní kořeny mají od počátku soustavy souřadnic 𝑂
stejnou vzdálenost √|𝑐|
𝑛
a vzájemně jsou pootočeny o úhel ∆𝜓 =
𝜑+2(𝑘+1)𝜋
𝑛
−
𝜑+2𝑘𝜋
𝑛
=
𝜑+2𝑘𝜋+2𝜋−𝜑−2𝑘𝜋
𝑛
=
𝟐𝝅
𝒏
. Obrazy kořenů leží na vrcholech pravidelného 𝑛-úhelníku
vepsaného do kružnice.
Úloha: Goniometricky řešte rovnici 𝑥6
− 64 = 0.
Rovnici upravíme do tvaru binomické rovnice (21), tedy na tvar 𝑥6
= 64 a následně
vyjádříme v goniometrickém tvaru.
Poloha obrazu reálného čísla 64 je na kladné poloose reálné části v Gaussově rovině, a
proto úhel 𝜑 = 0. Pak můžeme psát
64 = |64|(cos 0 + 𝑖 sin 0).
Podle vztahu pro určení kořenů binomické rovnice platí
𝑥 𝑘 = √|64|
6
(cos
0 + 2𝑘𝜋
6
+ 𝑖 sin
0 + 2𝑘𝜋
6
) = 2 (cos
𝑘𝜋
3
+ 𝑖 sin
𝑘𝜋
3
),
𝑘 = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Kořeny získáme postupným dosazením 𝑘 do 𝑥 𝑘 = 2 (cos
𝑘𝜋
3
+ 𝑖 sin
𝑘𝜋
3
).
𝑥0 = 2(cos 0 + 𝑖 sin 0) = 2 (1 + 0) = 2
𝑥1 = 2 (cos
𝜋
3
+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛
𝜋
3
) = 2 (
1
2
+
√3
2
) = 1 + 𝑖√3
𝑥2 = 2 (cos
2𝜋
3
+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛
2𝜋
3
) = 2 (−
1
2
+
√3
2
) = −1 + 𝑖√3
𝑥3 = 2(cos 𝜋 + 𝑖 sin 𝜋) = 2(−1 + 0) = −2
𝑥4 = 2 (cos
4𝜋
3
+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛
4𝜋
3
) = 2 (−
1
2
−
√3
2
) = −1 − 𝑖√3
𝑥5 = 2 (cos
5𝜋
3
+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛
5𝜋
3
) = 2 (
1
2
−
√3
2
) = 1 − 𝑖√3 .
50
Závěr: Binomická rovnice 𝑥6
− 64 = 0 má 6 různých kořenů. Jejich obrazy leží na
kružnici se středem v počátku soustavy souřadnic a jsou vzájemně pootočeny o úhel
𝜋
3
.
Obrazy kořenů leží ve vrcholech šestiúhelníku vepsaného do kružnice o poloměru 𝑟 =
√|𝑐|
𝑛
= √|64|
6
= 2.
Obr. 19
Speciálním případem binomické rovnice 𝑥 𝑛
− 𝑐 = 0, kde 𝑐 = 1, je rovnice 𝑥 𝑛
− 1 = 0
neboli 𝑥 𝑛
= 1.
Nyní převedeme 1 na goniometrický tvar. Máme tedy komplexní číslo s hodnotou 1; 𝑧 =
1, jeho odmocnina je |𝑧| = √12 = 1.
cos 𝜑 =
1
1
= 1
⇒ argument 𝜑 = 0
sin 𝜑 =
0
1
= 0
Dostáváme tedy 1 = (cos 0 + 𝑖 sin 0). Dosadíme-li do obecného vzorce pro kořeny
binomické rovnice, získáme
𝑥 𝑘 = cos
2𝑘𝜋
𝑛
+ 𝑖 sin
2𝑘𝜋
𝑛
, 𝑘 = 0,1,2, … , 𝑛 − 1.
51
Získaná čísla jsou komplexními jednotkami5
, jejichž obrazy leží v Gaussově rovině pro
𝑛 > 2 ve vrcholech pravidelného 𝑛-úhelníku vepsaného do jednotkové kružnice se
středem v počátku soustavy souřadnic, přitom jeden z vrcholů, obraz kořene 𝑥0 = 1, leží
v bodě 1 na reálné ose.
Poznámka
(a) Kořeny binomické rovnice 𝑥 𝑛
− 1 = 0 mají důležitou vlastnost, a to, že součinem
dvou libovolných kořenů získáme opět kořen rovnice 𝑥 𝑛
− 1 = 0.
(b) Další důležitou vlastností kořenů binomické rovnice 𝑥 𝑛
− 1 = 0 je, že pro
všechna 𝑘 = 0, 1, 2, … , 𝑛 − 1 platí vztah 𝑥 𝑘 = 𝑥1
𝑘
.
Úloha: Řešte binomickou rovnici 𝑥8
− 1 = 0.
Úpravou dostáváme rovnici 𝑥8
= 1.
Nyní převedeme 1 na goniometrický tvar. Z výše uvedeného můžeme rovnou napsat
1 = (cos 0 + 𝑖 sin 0).
Pro výpočet kořenů využijeme 𝑥 𝑘 = cos
2𝑘𝜋
𝑛
+ 𝑖 sin
2𝑘𝜋
𝑛
, kde 𝑛 = 8.
Kořeny zadané rovnice jsou čísla
𝑥0 = cos 0 + 𝑖 sin 0 = 1 + 0 = 1
𝑥1 = cos
𝜋
4
+ 𝑖 sin
𝜋
4
=
√2
2
+
√2
2
𝑖
𝑥2 = cos
𝜋
2
+ 𝑖 sin
𝜋
2
= 0 + 𝑖 = 𝑖
𝑥3 = cos
3𝜋
4
+ 𝑖 sin
3𝜋
4
= −
√2
2
+
√2
2
𝑖
𝑥4 = cos 𝜋 + 𝑖 sin 𝜋 = −1 + 0 = −1
𝑥5 = cos
5𝜋
4
+ 𝑖 sin
5𝜋
4
= −
√2
2
−
√2
2
𝑖
𝑥6 = cos
3𝜋
2
+ 𝑖 sin
3𝜋
2
= 0 − 𝑖 = −𝑖
𝑥7 = cos
7𝜋
4
+ 𝑖 sin
7𝜋
4
=
√2
2
−
√2
2
𝑖.
5
Komplexní jednotky jsou všechna komplexní čísla, které mají absolutní hodnotu rovnu 1, tj. všechna
čísla, jejichž obrazy leží v Gaussově rovině na jednotkové kružnici.
52
Obr. 20
Závěr: Binomická rovnice 𝑥8
− 1 = 0 má 8 různých kořenů. Jejich obrazy leží na
kružnici se středem v počátku soustavy souřadnic a jsou vzájemně pootočeny o úhel
𝜋
4
.
Obrazy kořenů leží ve vrcholech pravidelného osmiúhelníku vepsaného do jednotkové
kružnice.
5.2 Řešení některých dalších binomických rovnic
1) Řešte binomickou rovnici 𝑥4
− 𝑖 = 0.
Rovnici převedeme na tvar 𝑥4
= 𝑖. Poloha obrazu imaginární jednotky 𝑖 leží na kladné
poloose imaginární osy v Gaussově rovině. Potom 𝜑 =
𝜋
2
.
Nyní převedeme 𝑖 na goniometrický tvar
𝑖 = |𝑖| (cos
𝜋
2
+ 𝑖 sin
𝜋
2
)
|𝑐| = √(−1)2 = 1.
Kořeny jsou pootočeny o úhel ∆𝜓 =
𝟐𝝅
𝒏
=
𝟐𝝅
𝟒
=
𝝅
𝟐
.
Obecný vztah pro výpočet kořenů zadané rovnice je
𝑥 𝑘 = √|𝑖|
4
(cos
𝜋
2
+2𝑘𝜋
4
+ 𝑖 sin
𝜋
2
+2𝑘𝜋
4
) , 𝑘 = 0, 1, 2, 3.
53
Po dosazení za 𝑘 získáme čtyři kořeny
𝑥0 = cos
𝜋
8
+ 𝑖 sin
𝜋
8
𝑥1 = cos
5
8
𝜋 + 𝑖 sin
5
8
𝜋
𝑥2 = cos
9
8
𝜋 + 𝑖 sin
9
8
𝜋
𝑥3 = cos
13
8
𝜋 + 𝑖 sin
13
8
𝜋.
Obr. 21
Závěr: Binomická rovnice 𝑥4
− 𝑖 = 0 má čtyři různé kořeny. Jejich obrazy leží na
jednotkové kružnici se středem v počátku soustavy souřadnic a jsou navzájem pootočené
o úhel
𝜋
2
, leží tedy ve vrcholech čtverce. Protože |𝑐| = 1, tak se jedná o komplexní
jednotky zobrazení kořenů v Gaussově rovině.
2) Řešte binomickou rovnici 𝑥3
+ 𝑖 = 0.
Rovnici převedeme na tvar 𝑥3
= −𝑖. Poloha obrazu imaginární jednotky −𝑖 leží na
záporné poloose imaginární osy v Gaussově rovině. Potom 𝜑 =
3𝜋
2
.
Nyní převedeme −𝑖 na goniometrický tvar.
−𝑖 = |−𝑖| (cos
3𝜋
2
+ 𝑖 sin
3𝜋
2
) = 1 ∙ (cos
3𝜋
2
+ 𝑖 sin
3𝜋
2
)
|𝑐| = √(−1)2 = 1
𝑥3
= 1 (cos
3𝜋
2
+ 𝑖 sin
3𝜋
2
)
54
Kořeny jsou pootočeny o úhel ∆𝜓 =
𝟐𝝅
𝒏
=
𝟐𝝅
𝟑
.
Obecný vztah pro výpočet kořenů zadané rovnice potom bude
𝑥 𝑘 = √|1|
3
(cos
3𝜋
2
+2𝑘𝜋
3
+ 𝑖 sin
3𝜋
2
+2𝑘𝜋
3
) , 𝑘 = 0, 1, 2.
Kořeny zadané rovnice potom budou čísla
𝑥0 = 1(cos
𝜋
2
+ 𝑖 sin
𝜋
2
) = 1 (0 + 𝑖) = 𝑖
𝑥1 = 1 (cos
7𝜋
6
+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛
7𝜋
6
) = −
√3
2
−
1
2
𝑖
𝑥2 = 1 (cos
11𝜋
6
+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛
11𝜋
6
) =
√3
2
−
1
2
𝑖.
Obr. 22
Obrazy tří různých kořenů binomické rovnice 𝑥3
+ 𝑖 = 0 leží na jednotkové kružnici ve
vrcholech rovnostranného trojúhelníku o délce strany 𝑎 = √3, vzájemně pootočené
o úhel
𝟐𝝅
𝟑
.
3) Řešte binomickou rovnici 𝑥5
+ 1 − 𝑖√3 = 0.
Rovnici převedeme na tvar 𝑥5
= −1 + 𝑖√3.
Nyní převedeme výraz na pravé straně na goniometrický tvar
|𝑐| = √(−1 + √3)
2
= √4 = 2
55
cos 𝜑 = −
1
2
, sin 𝜑 =
√3
2
⇒ 𝜑 =
2
3
𝜋.
Kořeny jsou pootočeny o úhel ∆𝜓 =
𝟐𝝅
𝒏
=
𝟐𝝅
𝟓
.
Pro kořeny zadané rovnice potom platí
𝑥 𝑘 = √2
5
(cos
2
3
𝜋+2𝑘𝜋
5
+ 𝑖 sin
2
3
𝜋+2𝑘𝜋
5
) , kde 𝑘 = 0, 1, 2, 3, 4.
Kořeny zadané rovnice potom budou čísla
𝑥0 = √2
5
(cos
2𝜋
15
+ 𝑖 sin
2𝜋
15
)
𝑥1 = √2
5
(cos
8𝜋
15
+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛
8𝜋
15
)
𝑥2 = √2
5
(cos
14𝜋
15
+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛
14𝜋
15
)
𝑥3 = √2
5
(cos
20𝜋
15
+ 𝑖 sin
20𝜋
15
)
𝑥4 = √2
5
(cos
26𝜋
15
+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛
26𝜋
15
).
Obr. 23
Závěr: Binomická rovnice 𝑥5
+ 1 − 𝑖√3 = 0 má pět různých kořenů, které leží ve
vrcholech pravidelného pětiúhelníku vepsaného do kružnice o poloměru 𝑟 = √2
5
. Obrazy
kořenů jsou vzájemně pootočeny o úhel
𝟐𝝅
𝟓
.
56
6. Reciproké rovnice
Definice 6.1 Reciproká rovnice
Rovnici tvaru
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1
𝑎 𝑛−2 𝑥 𝑛−2
+ ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 = 0 (22)
nazýváme rovnicí reciprokou, a to prvního nebo druhého druhu, platí-li pro
koeficienty 𝑎 𝑛, 𝑎 𝑛−1, … , 𝑎1, 𝑎0 vztahy
- I. druhu 𝑎 𝑛 = 𝑎0, 𝑎 𝑛−1 = 𝑎1, 𝑎 𝑛−2 = 𝑎2, …
- II. druhu 𝑎 𝑛 = −𝑎0, 𝑎 𝑛−1 = −𝑎1, 𝑎 𝑛−2 = −𝑎2 …
Příklad
Reciproká rovnice I. druhu 4𝑥3
+ 3𝑥2
+ 3𝑥 + 4 = 0
Reciproká rovnice II. druhu 4𝑥3
+ 3𝑥2
− 3𝑥 − 4 = 0
6.1 Kořeny reciproké rovnice
Věta 6.1 O kořenech reciproké rovnice
(a) Má-li reciproká rovnice I. i II. druhu kořen 𝛼, potom má i kořen
1
𝛼
.
Důkaz: Dle předpokladu je 𝛼 kořenem rovnice (22). Dosaďme do této rovnice kořen 𝑥 =
1
𝛼
, 𝛼 ≠ 0. Dostáváme
𝑎 𝑛 (
1
𝛼
)
𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 (
1
𝛼
)
𝑛−1
+ 𝑎 𝑛−2 (
1
𝛼
)
𝑛−2
+ ⋯ + 𝑎1 ∙
1
𝛼
+ 𝑎0 = 0.
Na levé straně rovnice vytkneme (
1
𝛼
)
𝑛
. Potom získáme rovnici tvaru
1
𝛼 𝑛
( 𝑎0 𝛼 𝑛
+ 𝑎1 𝛼 𝑛−1
+ 𝑎2 𝛼 𝑛−2
+ ⋯ + 𝑎 𝑛−1 𝛼 + 𝑎 𝑛) = 0
57
ekvivalentní s rovnicí 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1
𝑎 𝑛−2 𝑥 𝑛−2
+ ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 = 0, která má
podle předpokladu kořen 𝛼. Rovnost je proto splněna a 𝑥 =
1
𝛼
je kořenem rovnice (22).
(b) Reciproká rovnice (22) má všechny kořeny nenulové, neboť absolutní člen 𝑎0,
který je součinem kořenů, je roven koeficientu 𝑎 𝑛, tj. různý od nuly.
(c) Reciproká rovnice I. druhu lichého stupně má vždy kořen 𝑥1 = −1.
(d) Reciproká rovnice II. druhu má vždy kořen 𝑥1 = 1.
6.2 Řešení reciprokých rovnic
Způsoby řešení reciprokých rovnic rozdělíme na řešení reciprokých rovnic I. a II. druhu,
přičemž u rovnic I. druhu se budeme zabývat řešením rovnic sudého a lichého stupně.
Řešení rovnic I. druhu
a) sudého stupně tvaru 𝑎 𝑛 𝑥2𝑘
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥2𝑘−1
+ ⋯ + 𝑎 𝑛−1 𝑥 + 𝑎 𝑛 = 0
Sečteme-li první a poslední člen, druhý a předposlední atd. a podělíme 𝑥 𝑘
, dostaneme
𝑎 𝑛 (𝑥 𝑘
+
1
𝑥 𝑘
) + 𝑎 𝑛−1 (𝑥 𝑘−1
+
1
𝑥 𝑘−1
) + ⋯ 𝑎 𝑘 = 0. (23)
Je-li nová neznámá 𝑦 = 𝑥 +
1
𝑥
(24), potom
(𝑥 +
1
𝑥
)
2
= 𝑥2
+ 2 +
1
𝑥2
⇒ (𝑥2
+
1
𝑥2
) = (𝑥 +
1
𝑥
)
2
− 2 neboli
(𝑥2
+
1
𝑥2
) = 𝑦2
− 2.
Dále pak
(𝑥 +
1
𝑥
)
3
= 𝑥3
+ 3𝑥2
1
𝑥
+ 3𝑥
1
𝑥2
+
1
𝑥3
= 𝑥3
+ 3𝑥 +
3
𝑥
+
1
𝑥3
(𝑥 +
1
𝑥
)
3
= 𝑥3
+ 3 (𝑥 +
1
𝑥
) +
1
𝑥3
⇒ (𝑥3
+
1
𝑥3
) = (𝑥 +
1
𝑥
)
3
− 3 (𝑥 +
1
𝑥
)
neboli
(𝑥3
+
1
𝑥3
) = 𝑦3
− 3𝑦.
58
Dále pak můžeme za 𝑥4
+
1
𝑥4
dosadit výraz proměnné 𝑦. Rozvineme-li (𝑥 +
1
𝑥
)
4
podle
binomické věty, získáme
(𝑥 +
1
𝑥
)
4
= 𝑥4
+ (
4
1
) 𝑥3
∙
1
𝑥
+ (
4
2
) 𝑥2
∙
1
𝑥2
+ (
4
3
) 𝑥 ∙
1
𝑥3
+ (
4
4
)
1
𝑥4
(𝑥 +
1
𝑥
)
4
= 𝑥4
+
1
𝑥4
+ 4𝑥2
+ 6 + 4
1
𝑥2
⇒ (𝑥4
+
1
𝑥4
) = (𝑥 +
1
𝑥
)
4
+ 4 (𝑥2
+
1
𝑥2
) + 6
(𝑥4
+
1
𝑥4
) = 𝑦4
+ 4(𝑦2
− 2) + 6
(𝑥4
+
1
𝑥4
) = 𝑦4
+ 4𝑦2
− 2.
Podobně bychom dostali 𝑥5
+
1
𝑥5
atd. podle stupně reciproké rovnice.
Dosazením za dvojčleny do (23) obdržíme rovnici 𝑘-tého stupně, tedy
𝑏 𝑘 𝑦 𝑘
+ 𝑏 𝑘−1 𝑦 𝑘−1
+ 𝑏 𝑘−2 𝑦 𝑘−2
+ ⋯ 𝑏0 = 0. (25)
Tato rovnice má 𝑘 kořenů 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦2𝑘, jejichž dosazením do substituce 𝑦 = 𝑥 +
1
𝑥
získáme kořeny 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥2𝑘. Situace se omezila na řešení jediné rovnice 𝑘-tého stupně
(25) a 𝑘 kvadratických rovnic s neznámou 𝑥 (24).
Výše uvedený poznatek můžeme shrnout do následující věty.
Věta 6.2
Řešení reciproké rovnice I. druhu sudého stupně 2𝑘 lze převést na řešení algebraické
rovnice polovičního stupně, tj. 𝑘-tého stupně, a řešení 𝑘 kvadratických rovnic.
Důsledek:
(a) Každá reciproká rovnice I. druhu stupně ≤ 9 je algebraicky řešitelná.
(b) Každá reciproká rovnice II. druhu stupně ≤ 10 je algebraicky řešitelná.
59
Věta 6.3 Reciproká rovnice čtvrtého stupně tvaru
(a) 𝑎𝑥4
+ 𝑏𝑥3
+ 𝑐𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑎 = 0 má čtyři kořeny, jež dva z nich jsou hodnoty
převrácené.
(b) 𝑎𝑥4
+ 𝑏𝑥3
− 𝑏𝑥 − 𝑎 = 0, která má jeden kořen +1, druhý kořen −1 a další
dva vzájemně převrácené.
Důkaz:
(a) Po vydělení rovnice 𝑥2
, 𝑥2
≠ 0, neboť dle věty 6. 1. b) 𝑥 = 0 není kořenem (22),
dostáváme
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 + 𝑏
1
𝑥
+ 𝑎
1
𝑥2
= 0, což můžeme zapsat ve tvaru
𝑎 (𝑥2
+
1
𝑥2
) + 𝑏 (𝑥 +
1
𝑥
) + 𝑐 = 0.
Je-li opět zavedena substituce 𝑦 = 𝑥 +
1
𝑥
, potom (𝑥2
+
1
𝑥2
) = 𝑦2
− 2.
Výše upravenou rovnici můžeme zapsat do tvaru
𝑎(𝑦2
− 2) + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
nebo též do tvaru kvadratické rovnice
𝑎𝑦2
+ 𝑏𝑦 + 𝑐 − 2𝑎 = 0,
která má dva kořeny 𝑦1, 𝑦2.
Nyní se vrátíme k substituci.
Rovnice 𝑦1 = 𝑥 +
1
𝑥
je kvadratická rovnice s neznámou 𝑥
𝑥2
− 𝑦1 𝑥 + 1 = 0,
která je ovšem i rovnicí reciprokou a má tedy dva kořeny 𝑥1 a 𝑥2 =
1
𝑥1
, jež jsou navzájem
převrácenými čísly.
Podobně rovnice 𝑦2 = 𝑥 +
1
𝑥
je kvadratickou a zároveň reciprokou rovnicí s neznámou 𝑥
𝑥2
− 𝑦2 𝑥 + 1 = 0
se dvěma navzájem převrácenými kořeny 𝑥3 a 𝑥4 =
1
𝑥3
.
60
(b) Rovnici přepíšeme do tvaru 𝑎(𝑥4
− 1) + 𝑏𝑥(𝑥2
− 1) = 0, dále budeme
pokračovat v úpravě rovnice
(𝑥2
− 1)[𝑎(𝑥2
+ 1) + 𝑏𝑥] = 0.
Aby rovnost platila, musí buď
(𝑥2
− 1) = 0, nebo 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑎 = 0.
Z první rovnice získáme kořeny 𝑥1 = −1, 𝑥2 = 1 (tyto kořeny jsou rovny svým
převráceným hodnotám), druhá rovnice je reciproká, má tedy kořeny 𝑥3, 𝑥4, pro které
platí 𝑥4 =
1
𝑥3
.
Úloha: Řešte v ℂ reciprokou rovnici čtvrtého stupně.
(a) 5𝑥4
− 26𝑥3
+ 10𝑥2
− 26𝑥 + 5 = 0.
Celou rovnici vydělíme 𝑥2
a dostaneme
5𝑥2
− 26𝑥 + 10 − 26
1
𝑥
+ 5
1
𝑥2
= 0
5 (𝑥2
+
1
𝑥2
) − 26 (𝑥 +
1
𝑥
) + 10 = 0
Zavedeme substituci (𝑥 +
1
𝑥
) = 𝑦, potom (𝑥2
+
1
𝑥2
) = 𝑦2
− 2
5(𝑦2
− 2) − 26𝑦 + 10 = 0
5𝑦2
− 10 − 26𝑦 + 10 = 0
𝑦(5𝑦 − 26) = 0.
Aby rovnost platila, musí platit:
i) 𝑦 = 0 ⇒ 𝑥 +
1
𝑥
= 0, vynásobíme celou rovnici 𝑥 ≠ 0
𝑥2
+ 1 = 0
𝑥2
− (−1) = 0
𝑥2
− 𝑖2
= 0
(𝑥 − 𝑖)(𝑥 + 𝑖) = 0
𝑥1 = 𝑖, 𝑥2 = −𝑖
61
ii) 5𝑦 − 26 = 0
𝑦 =
26
5
⇒ 𝑥 +
1
𝑥
=
26
5
, vynásobíme celou rovnici 5𝑥 ≠ 0
5𝑥2
− 26𝑥 + 5 = 0
𝑥3,4 =
26 ± √676 − 100
10
=
26 ± 24
10
𝑥3 = 5, 𝑥4 =
1
5
Závěr: Reciproká rovnice má čtyři kořeny 𝑥1 = 𝑖, 𝑥2 = −𝑖, 𝑥3 = 5, 𝑥4 =
1
5
.
b) Lichého stupně tvaru 𝑎2𝑛+1 𝑥2𝑘+1
+ 𝑎2𝑛 𝑥2𝑘
+ ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥 + 𝑎2𝑛+1 = 0
Jak již bylo uvedeno výše (dle věty 6. 1. c)), rovnice má kořen 𝑥1 = −1, což snadno
dokážeme dosazením. Dělením kořenovým činitelem 𝑥 + 1 získáme reciprokou rovnici
sudého stupně, kterou již umíme řešit podle reciprokých rovnic stupně sudého.
Věta 6.4 Reciproká rovnice třetího stupně tvaru
(a) 𝑎𝑥3
+ 𝑏𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑎 = 0 má tři kořeny, jeden jednotkový, další dva jsou
navzájem převrácené hodnoty,
(b) 𝑎𝑥3
+ 𝑏𝑥2
− 𝑏𝑥 − 𝑎 = 0 má tři kořeny, jeden jednotkový, další dva jsou
navzájem převrácené hodnoty.
Důkaz:
(a) Rovnici upravíme do součinového tvaru
𝑎(𝑥3
+ 1) + 𝑏𝑥(𝑥 + 1) = 0
𝑎(𝑥 + 1)(𝑥2
− 𝑥 + 1) + 𝑏𝑥(𝑥 + 1) = 0
(𝑥 + 1)(𝑎𝑥2
− 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎) = 0.
Aby rovnost platila, musí být buď:
𝑥 + 1 = 0, anebo 𝑎𝑥2
− 𝑥(𝑎 − 𝑏) + 𝑎 = 0.
𝑥1 = −1
62
𝑥2,3 =
(𝑎 − 𝑏) ± √(𝑎 − 𝑏)2 − 4𝑎2
2𝑎
.
(b) Rovnici opět upravíme do součinového tvaru a dostaneme
(𝑥 − 1)[𝑎𝑥2
+ 𝑥(𝑎 + 𝑏) + 𝑎] = 0
𝑥1 = 1
𝑥2,3 =
−(𝑎 + 𝑏) ± √(𝑎 + 𝑏)2 − 4𝑎2
2𝑎
.
Reciproká rovnice třetího stupně má opravdu tři kořeny. Rovnice 𝑎𝑥2
− 𝑥(𝑎 − 𝑏) + 𝑎 =
0, resp. 𝑎𝑥2
+ 𝑥(𝑎 + 𝑏) + 𝑎 = 0 jsou kvadratické rovnice reciproké, jejichž kořeny
𝑥2, 𝑥3 jsou převrácené hodnoty (podle věty 4. 8 a)).
Úloha: Řešte v ℂ reciprokou rovnici třetího stupně.
(a) 𝑥3
+
13
3
𝑥2
+
13
3
𝑥 + 1 = 0.
Z věty 6. 1. c) má naše rovnice kořen 𝑥1 = −1.
Vydělením kořenovým činitelem (𝑥 + 1)
(𝑥3
+
13
3
𝑥2
+
13
3
𝑥 + 1) ÷ (𝑥 + 1) = 𝑥2
+
10
3
𝑥 + 1
−𝑥3
− 𝑥2
10
3
𝑥2
+
13
3
𝑥 + 1
−
10
3
𝑥2
−
10
3
𝑥
𝑥 + 1
získáme kvadratickou rovnici 3𝑥2
+ 10𝑥 + 3 = 0, kde
𝑥2,3 =
−10 ± √100 − 36
6
,
potom 𝑥2 = −3, 𝑥3 = −
1
3
.
Rovnice má tedy tři kořeny 𝑥1 = −1, 𝑥2 = −3, 𝑥3 = −
1
3
.
63
Řešení rovnic II. druhu tvaru 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1
𝑎 𝑛−2 𝑥 𝑛−2
+ ⋯ − 𝑎 𝑛−2 𝑥2
− 𝑎 𝑛−1 𝑥1
−
𝑎 𝑛 = 0
Z výše uvedeného (6. 1. d)) mají rovnice II. druhu kořen 𝑥1 = 1 (o čemž se lze přesvědčit
dosazením). Vydělíme-li rovnici kořenovým činitelem 𝑥 − 1, dostaneme rovnici stupně
𝑛 − 1, což je rovnice I. druhu, kterou jsme výše vyřešili.
Úloha: Řešte v ℂ reciprokou rovnici pátého stupně
8𝑥5
− 62𝑥4
+ 155𝑥3
− 155𝑥2
+ 62𝑥 − 8 = 0.
Rovnice má jeden kořen 𝑥1 = 1. Vydělíme rovnici kořenovým činitelem (𝑥 − 1)
(8𝑥5
− 62𝑥4
+ 155𝑥3
− 155𝑥2
+ 62𝑥 − 8) ÷ (𝑥 − 1) = 8𝑥4
− 54𝑥3
+ 101𝑥2
− 54𝑥 + 8
a dostaneme rovnici stupně čtvrtého, kterou již umíme řešit.
Rovnici čtvrtého stupně vydělíme 𝑥2
a získáme 8𝑥2
− 54𝑥 + 101 − 54
1
𝑥
+ 8
1
𝑥2
= 0.
Upravíme na tvar 8 (𝑥2
+
1
𝑥2
) − 54 (𝑥 +
1
𝑥
) + 101 = 0 a zavedeme substituci
𝑦 = 𝑥 +
1
𝑥
, 𝑦2
− 2 = 𝑥2
+
1
𝑥2
.
Získáme rovnici 8𝑦2
− 54𝑦 + 85 = 0
𝑦1,2 =
54±√2916−2720
16
=
54±14
16
, tj.
𝑦1 =
17
4
, 𝑦2 =
5
2
.
Nyní se vrátíme k substituci a zjistíme zbylé čtyři kořeny naší zadané rovnice.
𝑦1 = 𝑥 +
1
𝑥
⇒
17
4
= 𝑥 +
1
𝑥
⇒ 17𝑥 = 4𝑥2
+ 4 ⇒ 4𝑥2
− 17𝑥 + + 4 = 0
𝑥2,3 =
17±√289−64
8
=
17±15
8
, tj.
𝑥2 = 4, 𝑥3 =
1
4
𝑦2 = 𝑥 +
1
𝑥
⇒
5
2
= 𝑥 +
1
𝑥
⇒ 5𝑥 = 2𝑥2
+ 2 ⇒ 2𝑥2
− 5𝑥 + + 2 = 0
𝑥4,5 =
5±√25−16
4
=
5±3
4
, tj.
𝑥4 = 2, 𝑥5 =
1
2
64
Závěr: Reciproká rovnice má pět kořenů 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 4, 𝑥3 =
1
4
, 𝑥4 = 2, 𝑥5 =
1
2
, přičemž
jeden je jednotkový a zbylé čtyři jsou navzájem po dvou převrácená čísla.
Poznámka
Po vyřešení předchozích příkladů si položme otázku, proč reciproké rovnice neřešíme
pomocí Hornerova schématu z oddílu 1.4, ale pomocí zdlouhavého způsobu a substituce?
Neusnadnilo by nám Hornerovo schéma práci? V následujícím oddíle se pokusíme jeden
příklad vyřešit oběma způsoby a uvidíme, k jakému závěru dojdeme.
Úloha: Řešte příklad 2𝑥5
− 3𝑥4
+ 𝑥3
+ 𝑥2
− 3𝑥 + 2 = 0.
i) Jako první se příklad pokusíme vyřešit metodami výše uvedenými.
Rovnice 2𝑥5
− 3𝑥4
+ 𝑥3
+ 𝑥2
− 3𝑥 + 2 = 0 je rovnicí I. druhu lichého stupně, proto
𝑥1 = −1.
Vydělením kořenovým činitelem snížíme rovnici na čtvrtý stupeň.
(2𝑥5
− 3𝑥4
+ 𝑥3
+ 𝑥2
− 3𝑥 + 2) ÷ (𝑥 + 1) = 2𝑥4
− 5𝑥3
+ 6𝑥2
− 5𝑥 + 2
Celou rovnici vydělíme 𝑥2
a dostaneme
2𝑥2
− 5𝑥 + 6 − 5
1
𝑥
+ 2
1
𝑥2
= 0
2 (𝑥2
+
1
𝑥2
) − 5 (𝑥 +
1
𝑥
) + 6 = 0.
Zavedeme substituci (𝑥 +
1
𝑥
) = 𝑦, potom (𝑥2
+
1
𝑥2
) = 𝑦2
− 2
2(𝑦2
− 2) − 5𝑦 + 6 = 0
2𝑦2
− 4 − 5𝑦 + 6 = 0
2𝑦2
− 5𝑦 + 2 = 0
Vyřešíme kvadratickou rovnici a dostaneme 𝑦1 = 2, 𝑥2 =
1
2
.
Nyní se vrátíme k substituci a zjistíme zbylé čtyři kořeny naší zadané rovnice.
𝑦1 = 𝑥 +
1
𝑥
⇒ 2 = 𝑥 +
1
𝑥
⇒ 2𝑥 = 𝑥2
+ 1 ⇒ 𝑥2
− 2𝑥 + 1 = 0
(𝑥 − 1)(𝑥 − 1) = 0
𝑥2 = 1, 𝑥3 = 1
65
𝑦2 = 𝑥 +
1
𝑥
⇒
1
2
= 𝑥 +
1
𝑥
⇒ 𝑥 = 2𝑥2
+ 2 ⇒ 2𝑥2
− 𝑥 + 2 = 0
𝑥4,5 =
−1 ± √1 − 16
4
=
−1 ± 𝑖√15
4
𝑥4 =
−1+𝑖√15
4
, 𝑥5 =
−1−𝑖√15
4
𝑃 = {−1, 1, 1,
−1±𝑖√15
4
}.
ii) Nyní příklad vyřešíme pomocí Hornerova schématu.
Do horního řádku sepíšeme všechny koeficienty. Potenciálním řešením by mohla být čísla
±
𝑝
𝑞
= ±
1
1
, ±
1
2
±
2
1
, ±
2
2
.
2 − 3 1 1 − 3 2
−1 2 − 5 6 − 5 2 0
1 2 − 3 3 − 2 0
1 2 − 1 2 0
Z posledního řádku Hornerova schématu nám vyjde rovnice 2𝑥2
− 𝑥 + 2 = 0, do které
ať zkoušíme, jak zkoušíme, žádné z potencionálních řešení nesedí. Jedná se o
kvadratickou rovnici, kterou vyřešíme pomocí vzorce na výpočet kořenů
𝑥4,5 =
−1 ± √1 − 16
4
=
−1 ± 𝑖√15
4
a zjistíme, že má dva komplexně sdružené kořeny, potom
𝑃 = {−1, 1, 1,
−1±𝑖√15
4
}.
Závěr: Na první pohled je řešení pomocí Hornerova schématu opět rychlejší
a přehlednější. Ovšem u příkladů, které nemají pouze racionální řešení, tedy řešení, jež
se dá zapsat ve tvaru zlomku, narazíme na problém. Hornerovo schéma nám totiž jiné než
racionální kořeny nezjistí. My jsme měli v zadaném příkladu štěstí. Komplexně sdružené
kořeny jsme vypočítali až po zjednodušení Hornerovým schématem. Může se ale stát, že
zadaný příklad bude mít všechna řešení např. v oboru komplexních čísel, nebo pouze čísla
iracionální. V tom případě řešení pomocí Hornerova schématu musíme nechat stranou
a příklad vyřešit pomocí algoritmu na řešení reciprokých rovnic. Postup je to sice
zdlouhavý, avšak zajímavý a krásný. A o tom matematika je.
66
7. Systém lineárních rovnic o dvou neznámých a praktické
využití na ZŠ
7.1 Systém rovnic
Motivační úloha
Dva metry látky a pět metrů záclony stojí 299 Kč, tři metry látky a čtyři metry záclony
stojí 284 Kč. Kolik stojí metr látky a kolik metr záclony?
Volba neznámých: cena za 1 m látky …l
cena za 1 m záclony …z
Vytvoření rovnic: dva metry látky a pět metrů záclony stojí 299 Kč: 2𝑙 + 5𝑧 = 299
tři metry látky a čtyři metry záclony stojí 284 Kč: 3𝑙 + 4𝑧 = 284
Sestavení soustavy:
2𝑙 + 5𝑧 = 299
3𝑙 + 4𝑧 = 284
Zde jsme sestavili soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, aniž bychom měli nějaké
povědomí o tomto tématu. Nyní se můžeme podívat na samotné soustavy rovnic.
Rovnice (popř. nerovnice, jež nejsou předmětem této práce) lze spojovat do důležitých
celků, které nazýváme systémy rovnic (popř. nerovnic).
Poznámka
(a) Jestliže by nastala situace, kdy 𝑎1 = 𝑏1 = 𝑐1 = 0, soustava dvou rovnic se
omezuje na jedinou rovnici, a to 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2. Tato rovnice má buď nekonečně
mnoho řešení, nebo žádné.
Systémem nebo též soustavou dvou rovnic o dvou neznámých 𝑥, 𝑦 rozumíme zápis ve
tvaru
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2, (26)
kde 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1, 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 ∈ ℝ a 𝑥, 𝑦 jsou proměnné.
67
(b) Jestliže by nastala situace, kdy 𝑎1 = 𝑏1 = 0 a zároveň 𝑐1 ≠ 0, první rovnice
soustavy (26) nemá řešení, a tedy nemá řešení ani celá soustava (26).
V našem budoucím výkladu se proto omezíme pouze na soustavy (26), v nichž alespoň
pro jeden z koeficientů 𝑎1, 𝑏1 platí, že je různý od nuly, a zároveň jeden z koeficientů
𝑎2, 𝑏2 je různý od nuly.
Příkladem systému dvou rovnic o dvou neznámých mohou být rovnice
3𝑥 + 2𝑦 = 7
4𝑥 − 2𝑦 = 0. (27)
Mezi jednotlivými rovnicemi, z nichž se soustava skládá, platí vztah konjunkce. Naše
daná soustava (27) má tedy význam: platí 3𝑥 + 2𝑦 = 7 a zároveň 4𝑥 − 2𝑦 = 0.
Obecně řešením soustavy nazýváme uspořádanou dvojici [𝑥0, 𝑦0], která je řešením obou
jejich rovnic.
Uspořádaná dvojice čísel [1, 2] je řešením uvedené soustavy (27), neboť je současně
řešením první a zároveň i druhé rovnice.
Uspořádaná dvojice čísel [2, 3] není řešením uvedené soustavy (27), protože po dosazení
čísla 2 za proměnnou 𝑥 a čísla 3 za proměnnou 𝑦 vzniká výrok, který je nepravdivý.
7.2 Metody řešení soustav rovnic
Existuje několik metod při řešení soustav. My si zde ukážeme nejjednodušší metodu
sčítací a dosazovací a pro zajímavost metodu porovnávací. Při řešení soustav nesmíme
zapomenout využívat ekvivalentní úpravy.
Poznámka
Zásadní myšlenka při řešení soustav lineárních rovnic spočívá v převodu původní
soustavy na soustavu novou se stejnou množinou řešení za pomoci ekvivalentních úprav.
- Přičtení násobku některé rovnice soustavy ke zbývající rovnici této soustavy (tzn.
přičtení levé strany ke straně levé a pravé strany ke straně pravé).
- Vynásobení některé rovnice soustavy nenulovým číslem (tj. nenulovým číslem
vynásobíme obě strany rovnice).
- Vzájemná výměna obou rovnic soustavy.
68
7.2.1 Sčítací metoda
Principem sčítací metody je vhodné sečtení obou rovnic za účelem eliminace jedné
neznámé.
Sčítací metodou vyřešíme soustavu (27), tj. soustavu
3𝑥 + 2𝑦 = 7
4𝑥 − 2𝑦 = 0.
Postup řešení: Levé strany sečteme (v našem případě nemusíme žádnou z rovnic
upravovat, neboť koeficienty u neznámé 𝑦 jsou v obou rovnicích stejné s rozdílným
znaménkem) a součet položíme roven součtu pravých stran, tj.
7𝑥 = 7,
odkud dostáváme výsledek pro neznámou 𝑥
𝑥 = 1.
Hodnotu 𝑥 = 1 můžeme dosadit např. do první z rovnic a získáme hodnotu pro 𝑦 = 2.
Výsledek: Daná soustava rovnic má jediné řešení a tím je uspořádaná dvojice [𝑥, 𝑦] =
[1,2].
7.2.2 Dosazovací metoda
Podstata dosazovací metody spočívá ve vyjádření jedné neznámé z některé rovnice a
následné dosazení do rovnice druhé. Je-li to možné, vyjadřujeme tu neznámou, u které je
koeficient roven jedné.
6𝑥 − 2𝑦 = 16 (28)
4
3
𝑥 −
1
6
𝑦 =
1
2
(29)
Abychom mohli tuto soustavu vyřešit dosazovací metodou, musíme z jedné rovnice
vhodně vyjádřit libovolnou neznámou, kterou následně dosadíme do rovnice druhé.
Postup řešení: Po drobné úpravě rovnice (29), kdy jsme celou rovnici vynásobili 6, se
dostáváme na tvar 8𝑥 − 𝑦 = 3, odkud již můžeme vyjádřit 𝑦
𝑦 = 8𝑥 − 3.
69
Hodnotu 𝑦 dosadíme do rovnice (28).
6𝑥 − 2(8𝑥 − 3) = 16
6𝑥 − 16𝑥 + 6 = 16
−10𝑥 = 10
𝑥 = −1
Hodnotu 𝑥 = −1 dosadíme do rovnice (29) a dostáváme 𝑦 = −11.
Výsledek: Daná soustava rovnic má jediné řešení a tím je uspořádaná dvojice [𝑥, 𝑦] =
[−1, −11].
Poznámka
Výslednou hodnotu první vypočítané neznámé dosazujeme raději do rovnice původní,
kdybychom při úpravách a vyjadřování chybovali, mohlo by nám to výsledek ovlivnit.
7.2.3 Porovnávací metoda
Princip porovnávací metody spočívá ve vyjádření jedné neznámé z obou rovnic, které
následně porovnáme.
−𝑥 +
1
3
𝑦 = −
4
3
(30)
2
5
𝑥 + 2𝑦 = −
44
5
(31)
Postup řešení: Obě rovnice si nejprve musíme upravit. Rovnici (30) vynásobíme 3,
rovnici (31) číslem 5 a dostaneme
−3𝑥 + 𝑦 = −4
𝑥 + 5𝑦 = −22.
Z obou rovnic vyjádříme neznámou 𝑥 a porovnáme tato vyjádření mezi sebou
𝑦
3
+
4
3
= −22 − 5𝑦.
Odtud po jednoduchých úpravách dostáváme hodnotu 𝑦 = −5, kterou dosadíme zpět do
rovnice (31). Získáme 𝑥 = −3.
70
Výsledek: Daná soustava rovnic má jediné řešení a tím je uspořádaná dvojice [𝑥, 𝑦] =
[−3, −5].
Závěr: To, jakou metodu při řešení soustav dvou rovnic o dvou neznámých využijeme,
záleží čistě na nás. Při správném řešení všechny metody povedou ke zdárnému cíli.
U sčítací metody může být hlavním problémem sečtení v situaci, kdy musíme obě rovnice
rozšířit na jejich nejmenší společný násobek a nepracujeme tak s „hezkými čísly“.
U metody dosazovací, popř. porovnávací se může v některých případech zdát složité
jednu neznámou z jedné rovnice, popř. z obou rovnic vyjádřit.
Diskuse o počtu řešení
Při řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých se můžeme setkat s následujícími
třemi závěry.
1. Soustava má jedno řešení a tím je uspořádaná dvojice čísel, přičemž první hodnota
udává výsledek pro neznámou 𝑥 a druhá hodnota pro neznámou 𝑦.
2. Soustava má nekonečně mnoho řešení právě tehdy, když levá i pravá strana jedné
z rovnic soustavy je násobkem (i nenulovým) rovnice zbývající.
3. Soustava nemá žádné řešení – neexistuje ani jedna uspořádaná dvojice čísel, která
by vyhovovala dané soustavě rovnic.
7.3 Grafické řešení soustav dvou lineárních rovnic o dvou neznámých
Mějme rovnici o dvou neznámých 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐. Obrazem množiny všech řešení této
rovnice je přímka o rovnici 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐, přičemž 𝑏 ≠ 0 nebo 𝑎 ≠ 0 a 𝑎, 𝑏, 𝑐 jsou reálná
čísla.
Grafem soustavy rovnic je pak množina všech společných bodů příslušných přímek.
V našem případě tedy budeme hledat průnik grafů dvou lineárních funkcí, které získáme
vyjádřením neznámé 𝑦 z každé rovnice a dostaneme tedy dvě funkce proměnné 𝑥.
Podle polohy přímek, kterou vůči sobě zaujímají, daná soustava může mít jedno, nebo
žádné, nebo nekonečně mnoho řešení. V tomto případě by se jednalo o přímky
různoběžné, nebo rovnoběžné různé, nebo splývající.
71
Úloha: Řešte graficky soustavu rovnic:
a) 𝑥 + 2𝑦 = 4
4𝑥 − 2𝑦 = 11
Postup: Z každé rovnice si vyjádříme 𝑦 a dostaneme rovnice dvou lineárních závislostí.
𝑝: 𝑦 = −
𝑥
2
+ 2
𝑞: 𝑦 = 2𝑥 −
11
2
Nyní si určíme souřadnice alespoň dvou různých bodů (pro obě rovnice zvlášť), které
procházejí grafem lineární závislosti.
Např. pro přímku 𝑝: Např. pro přímku 𝑞:
𝑥 = 2 → 𝑦 = 1 𝐴 = [2,1] 𝑥 = 0 → 𝑦 = −
11
2
𝐶 = [0, −
11
2
]
𝑥 = 0 → 𝑦 = 2 𝐵 = [0,2] 𝑥 = 1 → 𝑦 = −
7
2
𝐷 = [1, −
7
2
]
Přímka 𝑝, jež je grafem lineární závislosti dané rovnice 𝑦 = −
𝑥
2
+ 2, prochází body
𝐴 = [2,1], 𝐵 = [0,2].
Přímka 𝑞, jež je grafem lineární závislosti dané rovnice 𝑦 = 2𝑥 −
11
2
, prochází body
𝐶 = [0, −
11
2
], 𝐷 = [1, −
7
2
].
Obr. 24
72
Závěr: Na obr. 24 vidíme dvě různoběžné přímky, které se protínají v jednom společném
bodě, tím je bod o souřadnicích 𝑥 = 2, 𝑦 =
1
2
. Naše soustava má tedy pouze jedno řešení
a tím je průsečík přímek 𝑃 = [3,
1
2
].
b) 𝑥 + 2𝑦 = 1
2𝑥 + 4𝑦 = 4
Postup: Z každé rovnice si opět vyjádříme 𝑦 a dostaneme rovnice dvou lineárních
závislostí.
𝑝: 𝑦 = −
𝑥
2
+
1
2
𝑞: 𝑦 = −
𝑥
2
+ 1
Opět si určíme souřadnice alespoň dvou různých bodů (pro obě rovnice zvlášť), které
procházejí grafem lineární závislosti.
Např. pro přímku 𝑝: Např. pro přímku 𝑞:
𝑥 = 1 → 𝑦 = 0 𝐴 = [1,0] 𝑥 = 0 → 𝑦 = 1 𝐶 = [0,1]
𝑥 = 0 → 𝑦 =
1
2
𝐵 = [0,
1
2
] 𝑥 = 2 → 𝑦 = 0 𝐷 = [2,0]
Obr. 25
Závěr: Z obr. 25 můžeme vyčíst, že přímky jsou rovnoběžné různé, proto daná soustava
rovnic nemá žádné řešení.
73
c) −2𝑥 + 𝑦 = 1
4𝑥 − 2𝑦 = −2
Postup: Z každé rovnice si opět vyjádříme 𝑦 a dostaneme rovnice dvou lineárních
závislostí.
𝑦 = 2𝑥 + 1
𝑦 = 2𝑥 + 1
Nyní si určíme souřadnice alespoň dvou různých bodů (pro obě rovnice zvlášť), které
procházejí grafem lineární závislosti.
Např. pro přímku 𝑝: Např. pro přímku 𝑞:
𝑥 = −
1
2
→ 𝑦 = 0 𝐴 = [−
1
2
, 0] 𝑥 = 0 → 𝑦 = 1 𝐶 = [0,1]
𝑥 = 0 → 𝑦 = 1 𝐵 = [0,1] 𝑥 = −
1
2
→ 𝑦 = 0 𝐷 = [−
1
2
, 0]
Obr. 26
Závěr: Na obr. 26 vidíme, že naše zadané přímky jsou totožné, soustava má tedy
nekonečně mnoho řešení. Množinu všech řešení můžeme zapsat ve tvaru
{[𝑥, 2𝑥 + 1]; 𝑥 ∈ 𝘙}.
74
7.4 Slovní úlohy vedoucí na soustavu rovnic řešené na ZŠ
1) V hotelu jsou k dispozici dvojlůžkové a třílůžkové pokoje. Hotel nabízí celkem
83 lůžek ve 33 pokojích. Kolika dvojlůžkovými a kolika trojlůžkovými pokoji
hotel disponuje?
Pro lepší přehled si můžeme vytvořit jednoduchou tabulku s údaji, které známe.
Počet pokojů Počet lůžek na pokojích
Dvojlůžkové X 2x
Třílůžkové Y 3y
Celkem 33 83
Vytvoření soustavy z tabulky:
𝑥 + 𝑦 = 33 (32)
2𝑥 + 3𝑦 = 83 (33)
Postup řešení: Soustavu můžeme řešit jakoukoliv z výše uvedených metod. My volíme
metodu dosazovací.
Z rovnice (32) si vyjádříme např. 𝑥 a dostaneme novou rovnici 𝑥 = 33 − 𝑦, kterou
dosadíme do rovnice (33).
Získáme vztah 2 ∙ (33 − 𝑦) + 3𝑦 = 83. Po roznásobení závorky a malé úpravě
dostaneme rovnici 66 + 𝑦 = 83, ze které již získáme hodnotu pro 𝑦 = 17.
Vrátíme se zpět k původní rovnici (32), kam hodnotu 𝑦 = 17 dosadíme a získáme
hodnotu 𝑥 = 16.
Početní kontrola: Počet lůžek ve dvojlůžkových a třílůžkových pokojích je 83.
2 ∙ 16 + 3 ∙ 17 = 83
Celkový počet pokojů je 33.
17 + 16 = 33
Odpověď: V hotelu se nachází 16 dvojlůžkových a 17 třílůžkových pokojů.
75
2) Chemik chce ve své laboratoři připravit 200 𝑔 64% lihu. Máme v dostatečném
množství 80% líh, který budeme ředit vodou. Kolik 80% lihu a kolik vody, ve
které je 0 % lihu, budeme potřebovat?
Pro lepší přehled si opět můžeme vytvořit jednoduchou tabulku s údaji, které známe.
Počet gramů % roztok
Líh 𝑥 0,8𝑥
Voda 𝑦 0𝑦
Celkem 200 64
Vytvoření soustavy z tabulky:
𝑥 + 𝑦 = 200 (34)
0,8𝑥 + 0 ∙ 𝑦 = 0,64 ∙ 200 (35)
Postup řešení: Soustavu můžeme řešit jakoukoliv z výše uvedených metod. My volíme
metodu sčítací.
Celou rovnici (34) vynásobíme (−0,8).
−0,8𝑥 − 0,8𝑦 = −160
0,8𝑥 + 0 ∙ 𝑦 = 0,64 ∙ 200
Po sečtení těchto rovnic získáme −0,8𝑦 = −32, tedy 𝑦 = 40. Po dosazení 𝑦 = 40 do
(34) dostáváme 𝑥 = 160.
Z tabulky vyčteme, že hodnota 𝑥 je hodnotou pro líh a 𝑦 pro vodu.
Odpověď: K namíchání správného roztoku budeme potřebovat 160 g 80% lihu a 40 g
vody.
76
3) Cesta z místa A do místa B je dlouhá 21 kilometrů. Pavel jde rychlostí 3 km/h a
vychází z místa A ve stejný čas jako Michal z místa B rychlostí 4 km/h. Kolik
kilometrů ujde Pavel a kolik kilometrů Michal k místu setkání?
Obr. 27
Sestavení soustavy:
𝑥 + 𝑦 = 21 (36)
𝑥
3
=
𝑦
4
(37)
Postup řešení: Při řešení této úlohy můžeme využít metodu dosazovací. Z rovnice (37) si
vyjádříme 𝑥, tedy 𝑥 =
3
4
𝑦, a tuto hodnotu dosadíme do rovnice (36).
3
4
𝑦 + 𝑦 = 21 /∙ 4
3𝑦 + 4𝑦 = 84
7𝑦 = 84 /÷ 7
𝑦 = 12
Hodnotu pro 𝑦 dosadíme zpět do rovnice (36) a dostáváme 𝑥 = 9.
Odpověď: Pavel ujde k místu setkání 9 km, Michal 12 km.
77
Závěr
Tato bakalářská práce se zabývala některými rovnicemi v algebře. Čtenáři měla
poskytnout nejen pevný základ a ucelený soubor poznatků, které by mu posloužily při
studiu daného tématu, ale díky velkému množství jednotlivých postupů a řešených
příkladů také pocit jistoty důležitý pro aplikaci získaných znalostí při studiu následném.
Začátek práce je věnován převážně teorii. Nejprve jsem zmínila obecné znalosti o
polynomech a důležitých větách, které nás dovedly až k algebraickým rovnicím.
Nezbytnou součástí práce bylo využití všech těchto poznatků k řešení jednotlivých typů
rovnic.
V dalších kapitolách jsem se již více věnovala metodám a postupům řešení jednotlivých
typů rovnic, jež jsem doplnila o grafická řešení, která jsou součástí matematiky i na ZŠ a
SŠ. U kvadratických rovnic jsem se snažila o odvození vzorců pro kořeny rovnice. Toto
by pro čtenáře mohlo být nejen zajímavé, ale i přínosné. U binomických rovnic jsem
ukázala dvě možná řešení, a to algebraické a binomické. Ne vždy se však metoda
algebraická dá v praxi efektivně využít.
Závěr práce je věnován soustavám lineárních rovnic o dvou neznámých, se kterými se
setkáme již na ZŠ. Zmínila jsem zde tři možné metody, a to metodu sčítací, dosazovací a
porovnávací, a pokusila se je porovnat. Zajímavou součástí kapitoly jsou slovní úlohy a
příklady z praxe, které by pro žáka mohly představovat možnost setkat se s matematikou
z jiného úhlu.
Jelikož možných příkladů a dalších typů algebraických rovnic je opravdu mnoho, za sebe
doufám, že tato práce podnítí čtenáře k vyhledání dalších informací, obohatí jej
a zdokonalí jeho matematický obzor.
78
Seznam použité literatury
Odborná literatura
[1] BOSÁK, Juraj. Rovnice a nerovnosti. 1. vyd. Bratislava: Slovenské pedagogické
nakladatelství, 1963.
[2] HORÁK, Pavel. Algebra a teoretická aritmetika II. 2. vyd. Brno: Masarykova
univerzita, Přírodovědecká fakulta, 1993. ISBN 80-210-0816-4.
[3] HORÁK, Pavel. Polynomy. 1. vyd. Brno: Univerzita Jana Evangelisty Purkyně,
Přírodovědecká fakulta, 1978.
[4] KOŘÍNEK, Vladimír. Základy algebry. 1. vyd. Praha: ČSAV, 1953.
[5] SCHWARZ, Štefan. O rovnicích. Praha: Jednota českých matematiků a fysiků, 1940.
Cesta k vědění, svazek 1.
[6] ŠIK, František. Algebra I: Polynomy a algebraické rovnice. 1. vyd. Praha: Státní
pedagogické nakladatelství, n. p., 1962
[7] ŠISLER, Miroslav, ANDRYS, Josef. O řešení algebraických rovnic. 1. vyd. Praha:
Mladá fronta, 1966. Škola mladých matematiků, svazek 13.
[8] ŠKRÁŠEK, Josef. Základy vyšší matematiky. 6. vyd. Praha: SNTL, 1974.
Přehled středoškolské matematiky
[9] BYDŽOVSKÝ, Bohumil, TEPLÝ, Stanislav, VYČICHLO, František. Aritmetika pro
V. – VII. Třídu středních škol. 6. vyd. Praha: Jednota českých matematiků a fysiků, 1935.
[10] LIEBL, Petr. Rovnice a nerovnice pro I. ročník tříd gymnázií se zaměřením na
matematiku. 2. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, n. p., 1986. Učebnice pro
gymnázia.
Učebnice pro základní školy
[12] ODVÁRKO, Oldřich, KADLEČEK, Jiří. Knížka pro učitele k učebnicím matematiky
pro 9. ročník základní školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2001. ISBN 80-7196-228-7.
[11] ODVÁRKO, Oldřich, KADLEČEK, Jiří. Matematika pro 9. ročník základní školy,
1. díl. 3. vyd. Praha: Prometheus, 2014. ISBN 978-80-7196-439-1.