MA0004 MATEMATICKÁ ANALÝZA 1

10. cvičení (27. dubna 2020 původně)

Parciální derivace 1. řádu - definice

Nechť funkce  je definovaná v bodě  a nějakém jeho okolí. Položme . Má-li funkce  derivaci v~bodě ,
nazýváme tuto derivaci parciální derivací funkce  podle proměnné  v bodě  a označujeme , event. .
To znamená, že


Podobně, má-li funkce  derivaci v bodě , nazýváme tuto derivaci

parciální derivací funkce  podle proměnné  v bodě  a označujeme , event. .

Poznámka: Při parciální derivaci podle proměnné  bereme proměnnou  jako konstantu a takto s ní
nakládáme při derivaci. Stejně naopak, derivujeme-li podle proměnné .

Parciální derivace – geometrický význam

Nechť je dána funkce  a  je její graf. Nechť  je rovina daná rovnicí . Za rozumných předpokladů
(např. spojitost funkce f) je průsečíkem  křivka v rovině  a parciální derivace  udává směrnici
tečny  k této křivce v bodě , viz obrázek. (Připomeňme, že směrnice tečny  je ).

Podobně, derivace  udává směrnici tečny ke křivce v bodě , která vznikne průsečíkem plochy  s
rovinou .

Parciální derivace 2. řádu funkce dvou proměnných

Parciální derivace 1. řádu  mohou mít v bodech svého definičního oboru opět parciální derivace
podle  nebo , které nazýváme parciální derivace 2. řádu fce :

 ... druhá parciální derivace  podle ,

 ... druhá parciální derivace  podle ,

 ... druhá parciální derivace  podle  a ,

 ... druhá parciální derivace  podle  a .

Schwarzova věta: Nechť funkce  má spojité parciální derivace  v bodě . Pak jsou tyto derivace
záměnné, tj. platí


Příklady

1. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkcí:

a)                                                              [2]

b)
             [1]

c)
[3]

d)
            [1]

e)                                                                                           [1]

f)
[1]

2. Spočtěte parciální derivace 1. řádu funkce  v bodě :

a)                                                                [2]

b)                                                                     [2]

c)                                                                          [1]


3. Spočtěte parciální derivace 1. a 2. řádu funkcí:

a)                                                                                           [1]

b)
     [2]

c)
  [3]

Zdroje

[1] KUBEN J., MAYEROVÁ Š., RAČKOVÁ P., ŠARMANOVÁ P. Diferenciální počet funkcí více proměnných.
Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava a Západočeská univerzita v Plzni. 2012. Dostupné
z: homel.vsb.cz/~kab002/vyuka/vpzma13_14/materialy/Diferencialni_pocet_vice_promennych.pdf

[2] DOŠLÁ Z., DOŠLÝ O. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Masarykova univerzita v Brně,
Přírodovědecká fakulta. 2. vydání, 1999. ISBN 80-210-2052-0. Dostupné z:
http://www.math.muni.cz/~plch/mapm/protisk.pdf

[3] KLAŠKA J. Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných. Fakulta strojního
inženýrství VUT v Brně. 2009. Dostupné z: http://mathonline.fme.vutbr.cz/download.aspx?id_file=1021


Výsledky

1. a) ,
b)
c)
d)
e)
f)

2. a)
b)
c)

3. a)
b)
c)