MA0004 MATEMATICKÁ ANALÝZA 1

11. cvičení (původně 4. května 2020)

Diferenciál funkce více dvou proměnných

Definice: Řekneme, že funkce  definovaná v okolí bodu  je v tomto bodě diferencovatelná, jestliže
existují reálná čísla A, B taková, že platí


Lineární funkce  proměnných h, k se nazývá diferenciál funkce v bodě

 a značí se , příp. .

Poznámka: Totální diferenciál lze použít k přibližnému výpočtu hodnoty funkce dvou proměnných v
zadaném bodě. Funkci  lze nahradit takto:


Příklady

1. Spočtěte totální diferenciál funkce  v obecném bodě :

a)                                                                                        [1]

b)                                                                                          [1]

c)
  [1]

d)                                                                                        [1]

e)                                                                                     [1]

2. Vypočtěte totální diferenciál funkce  v bodě  pro dané .

a)                                          [1]

b)                                [1]

c)                                                     [1]

d)                                       [1]


3. Pomocí diferenciálu vypočtěte přibližně hodnotu následujících výrazů.

a)
    [2]

b)                                                                                         [2]

c)
    [2]

d)                                                                                          [2]

e)
         [2]

Tečná rovina

Definice: Rovina  o rovnici  se nazývá tečnou rovinou ke grafu funkce  v bodě , kde , jestliže

i)  prochází bodem ,

ii) platí .

Věta: Tečná rovina  ke grafu funkce  v bodě  existuje právě tehdy, když je funkce  diferencovatelná
v bodě . Její rovnice je


Poznámka: Přímka  procházející dotykovým bodem  kolmo k rovině  je normála ke grafu funkce f bodě .
Normálový vektor roviny  je  a parametrické rovnice normály jsou tudíž:

.

Příklady

4. Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce v zadaném bodě:

a)

b)

c)

d)

Lokální extrémy funkcí dvou proměnných

Definice: Nechť  je funkce dvou proměnných a .

a) Řekneme, že funkce  má v bodě  lokální maximum, jestliže existuje okolí  takové, že pro každé
platí .

b) Řekneme, že funkce  má v bodě  lokální minimum, jestliže existuje okolí  takové, že pro každé
platí .

Jestliže pro  jsou předchozí nerovnosti ostré, mluvíme o ostrém lokálním maximu, resp. minimu.

Definice: Řekneme, že bod  je stacionárním bodem funkce , jestliže platí  a .

Věta: Nechť funkce  má v bodě  a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace druhého řádu a  je
její stacionární bod. Označme


Pak platí:

1.      Jestliže , je v bodě  ostrý lokální extrém.

·         Pro  je  minimum,

·         pro  je  maximum.

2.      Jestliže , není v bodě  lokální extrém.

3.      Jestliže , nedává věta odpověď (extrém může být, ale nemusí).

Příklady

5. Určete lokální extrémy funkce dvou proměnných.

a)                                                                [3]

b)                                                                  [3]

c)                                                                       [3]

d)                                                                         [3]

e)                                                                         [3]


Zdroje

[1] KUBEN J., MAYEROVÁ Š., RAČKOVÁ P., ŠARMANOVÁ P. Diferenciální počet funkcí více proměnných.
Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava a Západočeská univerzita v Plzni. 2012. Dostupné
z: homel.vsb.cz/~kab002/vyuka/vpzma13_14/materialy/Diferencialni_pocet_vice_promennych.pdf

[2] DOŠLÁ Z., DOŠLÝ O. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Masarykova univerzita v Brně,
Přírodovědecká fakulta. 2. vydání, 1999. ISBN 80-210-2052-0. Dostupné z:
http://www.math.muni.cz/~plch/mapm/protisk.pdf

[3] KLAŠKA J. Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných. Fakulta strojního
inženýrství VUT v Brně. 2009. Dostupné z: http://mathonline.fme.vutbr.cz/download.aspx?id_file=1021

Výsledky

1.  a)
b)
c)

d)
e)

2. a) 0,02; b) ; c) , d)

3. a) , b) 2,95, c) , d) , e)

4. a) lokální minimum v bodě
b) lokální minimum v bodě
c) lokální minimum v bodě  lokální maximum v bodě , stac. body, v nichž extrém nenastává:
d) lokální minimum v bodě  lokální maximum v bodě , stac. body, v nichž extrém nenastává:
e) lokální minimum v bodě , stacionární bod, v němž extrém nenastává: