MA0004 MATEMATICKÁ ANALÝZA 1

7. cvičení (původně 30. března 2020)

Vyšetřování průběhu funkce

A.    Monotónnost a lokální extrémy

B.     Konvexnost/konkávnost a inflexní body

C.     Asymptoty funkce

D.    Celkový postup vyšetřování průběhu funkce

A. Monotónnost a lokální extrémy

1. Určete intervaly monotonie a extrémy pro následující funkce.

a)                                                                            [2]

b)                                                                              [2]

c)                                                                        [2]

d)                                                                [1]

e)                                                                       [1]

f)                                                                            [1]

B. Konvexnost/konkávnost a inflexní body

2. Rozhodněte o konvexnosti a konkávnosti funkce a najděte případné inflexní body u následujících
funkcí.

a)                                   [2]

b)                           [2]

c)                                  [2]

d)                            [1]

e)                                                    [1]

f)                             [1]

C. Asymptoty funkce

3. Určete asymptoty bez směrnice u funkce

a)
     [1]

b)                                                                                           [1]

c)
   [2]

4. Určete asymptoty se směrnicí (tj. v nevlastních bodech ) u následujících funkcí.

a)                                                                         [1]

b)                                                                   [1]

c)                                                                      [1]

D. Celkový postup vyšetřování průběhu funkce

·         Definiční obor

·         Lichost, sudost, periodičnost

·         Charakteristika bodů nespojitosti (výpočet jednostranných limit)

·         Řešení rovnice  (intervaly, kdy je funkce nad osou x či pod osou x)

·         Řešení rovnice  (intervaly monotónnosti, lokální extrémy)

·         Řešení rovnice  (intervaly konvexnosti/konkávnosti, inflexní body)

·         Asymptoty

5. U funkce  byl vyšetřen její průběh. Načrtněte graf funkce dle dostupných informací (viz soubor
Příklad 266 - vzorový.docx ve Studijních materiálech, ve složce Semináře).

6. Vyšetřete průběh následujících funkcí a načtrtněte jejich graf, je-li dána jejich první i druhá
derivace.

a)                                            [1]

b)                                                        [1]

c)                                               [1]

7. Vyšetřete průběh následujících funkcí a načrtněte jejich graf.

a)
         [1]

b)
        [1]

c)
         [1]

Zdroje

[1] ZEMÁNEK, Petr, HASIL, Petr. Sbírka řešených příkladů z matematické analýzy I. Brno, jaro 2012.
Dostupné z: https://is.muni.cz/elportal/?id=980552[1]

[2] Ústav matematiky, FSI VUT Brno. MATEMATIKA online – Matematika I. Dostupné z:
http://mathonline.fme.vutbr.cz/Matematika-I/sc-5-sr-1-a-4/default.aspx[2]


Výsledky

A. Monotónnost a lokální extrémy

a) na  a  rostoucí, na  klesající,  lok. max.,  lok. min.

b) na  a  rostoucí, na  klesající,  lok. max.,  lok. min.

c) na  klesající, na  rostoucí, na  klesající,  lok. min.

d) na  a  klesající, na  rostoucí,  lok. min.,  lok. max.

e) na  klesající, na  rostoucí, na  klesající,  lok. min.

f) na  a  klesající, na  rostoucí,  lok. min.,  lok. max.

B. Konvexnost/konkávnost a inflexní body

a) na  konkávní, na  konvexní,  inflexní bod

b) na  a  konvexní, na  konkávní,

 inflexní body

c) na  a  konkávní, na  konvexní,  inflexní bod

d) na  a  konkávní, na  a  konvexní, , ,  inflexní body

e) na  a  konvexní, na  konkávní,  inflexní body

f) na  a  konvexní, na  konkávní,  inflexní body

C. Asymptoty:

3. a) x = 0, b) neexistuje, c) x = 1

4. a) , b) , c)
________________________________

[1] Příklady vybrány z kapitoly I.5 Vyšetřování průběhu funkce

[2] Příklady vybrány z kapitol Monotonnost a extrémy funkce, Průběh funkce