1. Diferenciál
Pomocí diferenciálu vypočítejte přibližně (𝟏, 𝟎𝟓) 𝟑
.
Poznámka: Nebudeme hodnotu určovat pomocí kalkulačky, ani pomocí součinu, ale
využijeme geometrického významu první derivace. Pomocí bádání a návodných otázek tuto
úlohu vyřešíme.
Pracujte v programu GeoGebra (zakreslujte do jednoho souboru).
1. V GeoGebře zakreslete graf funkce 𝑓: 𝑦 = 𝑥3
2. Určete hodnotu funkce v bodě 1, tedy 𝑓(1) = _____________
3. Vypočítejte směrnici tečny 𝑡 ke grafu funkce 𝑓: 𝑦 = 𝑥3
v bodě 1 a určete rovnici této tečny.
Zakreslete tečnu do GeoGebry.
4. V GeoGebře si určete a vyznačte průsečík B (nad osou x) grafu funkce f a tečny 𝑡.
5. V GeoGebře si vyznačte přímku 𝑝: 𝑥 = 1,05
6. V GeoGebře si určete a vyznačte průsečík C přímky p a tečny 𝑡 grafu funkce f
7. V GeoGebře zakreslete přímku 𝑙: 𝑦 = 1
8. V GeoGebře si určete a vyznačte průsečík D přímky p a přímky l
9. Určete délku odvěsny b v pravoúhlého trojúhelníku BDC, přičemž k výpočtu použijte
směrnici tečny 𝑡 ke grafu funkce f.
Řešení:
10. Délku odvěsny využijte při přibližném určení zadané hodnoty:
(1,05)3
=̇ 𝑓(1) + 𝑏
(1,05)3
=̇ ________
Zkouška:
Zkuste zapsat (obecně), jak jste dostali hodnotu b, která nám určuje tzv. diferenciál („přírůstek
na tečně“):
2. Taylorův polynom
Je dána funkce 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒊𝒏𝒙
1. Určete hodnotu funkce v bodě
𝜋
2
bez použití kalkulačky
Řešení:
𝑓 (
𝜋
2
) = _________
2. V bodě 𝑥0 =
𝜋
2
určete pro tuto funkci Taylorův polynom stupně
a) n = 3
Řešení:
Taylorův polynom třetího stupně:
𝑇3(𝑥) =______________________________________________________________
b) n = 5
Řešení:
Taylorův polynom pátého stupně:
𝑇5(𝑥) =______________________________________________________________
3. V GeoGebře, do jedné kartézské soustavy souřadnic zakreslete:
a) graf funkce 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒊𝒏𝒙
b) graf 𝑇3(𝑥)
c) graf 𝑇5(𝑥)
4. Napište závěry z bádání:
3. Vzorově vypočítejte
Přibližně vyjádřete hodnotu následujících výrazů pomocí diferenciálu a Taylorova polynomu
3. řádu, přičemž bod 𝑥0 vhodně zvolte tak, aby byl výsledek aproximace co nejpřesnější a
zároveň jste nemuseli(y) využít kalkulačku:
a) cos 62°
b) sin 44°
c) √8,023
S jakou chybou jste vyjádřili výsledek? Porovnejte výsledky vašich výpočtů s pomocí
kalkulačky.