MA0004 Matematická analýza 1, 1. seminář
17. 2. 2020
Lukáš Másilko 1. cvičení 17. 2. 2020       1 /8
Náplň cvičení
□ Posloupnosti
■ Opakovaní znalostí ze střední školy
■ Monotonie a omezenost posloupnosti
■ Limita posloupnosti
Literatura
■ Petáková, J.: Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vydaní. Prométheus, 1998. ISBN 978-80-7196-099-7.
■ Bušek, I. Řešené maturitní úlohy z matematiky Praha: SPN, 1985.
■ Odvárko, O. Matematika pro gymnázia - Posloupnosti a řady Praha: Prométheus, 1995. ISBN 80-7196-195-7.
Lukáš Másilko
1. cvičení
17. 2. 2020       2 /8
Opakování znalostí o posloupnostech ze střední školy
Zopakujte si doma:
■ posloupnosti a jejich vlastnosti (pojem posloupnost, rekurentní určení posloupnosti, některé vlastnosti posloupností)
■ aritmetická posloupnost
■ geometrická posloupnost
Lukáš Másilko
1. cvičení
17. 2. 2020       3 /8
Monotonie a omezenost posloupnosti
Příklad 1: Rozhodněte, zda je posloupnost (an) monotónní
(b>
Příklad 2: Rozhodněte, zda je posloupnost (an) omezená: (a)
(C)  ((-1)" • „)~ 1
Lukáš Másilko
1. cvičení
□ i3i
17. 2. 2020       4 /8
Monotonie a omezenost posloupnosti
Příklad 1: Rozhodněte, zda je posloupnost (an) monotónní
(a) (st5+ljj„_j
(b)
(') (^)i.
Příklad 2: Rozhodněte, zda je posloupnost (an) omezená:
(c) ((-1)" ■ n)Z, Výsledky:
1. (a) rostoucí, (b) není monotónní, (c) klesající;
2. (a) omezená, (b) omezená, (c) není omezená.
□ i3i
Lukáš Másilko
1. cvičení
17. 2. 2020       4 /8
Limita posloupnosti
Limita posloupnosti |		
Definice: Necht je dána posloupnost {an} a číslo [G t. f posloupnost {an} má vlastní limitu L, jestliže ke každému existuje index r?o G N takový, že pro všechna n > r?o platí	Reknem reálněn an- L	e, že íu e > 0
Příklad 3a: Posloupnost {an} je dána následujícím předpisem
i
an = ^ 2^+n- Platí pro ni, ze L — lim
■ Vypočítejte prvních pár členů posloupnosti *—^—.
■ Zvolte vhodně několik kladných hodnot parametru e a najděte vhodné r?o G N tak, aby platila předchozí definice.
□    g ► < -e ► < =
Lukáš Másilko
1. cvičení
17. 2. 2020       5 /8
Limita posloupnosti
Příklad 3b: Pro posloupnost {an} najděte lim grafickým znázorněním prvních pár členů.
an. Pomožte si
(a) an
(b) an
(c) an
(d) an
(e) an
(0 *n
1
n
1 n
c (c G K) n
— n
Příklad 3c: Vypočtěte lim^oo an zadaných posloupností:
(a) 3n
(b) a„
(c) 3n
3n2+l ~~ 2n2+l
_ 3n+l ~~ 2n2+l
3n2+l 2n+l
□       g ► < -E ► < =
Lukáš Másilko
1. cvičení
17. 2. 2020       6 /8
Limita posloupnosti
Příklad 4: Vypočítejte
(a) lim
(b) lim
2n2+l
/7—>oc
(c) lim
(d) lim
(e) lim
(f) lim
(g) lim
(h) lim
n—>oo
n—>>oc
n—>oo
n—>>oo
f 2tf_ _ 6n3 \n+l n2-3
(2n+l)4-(n-2)4 (n+l)4+(n-l)4
(y/n + 1- y/n) n(n- Vn2 + 3)
6n+l 32n-3
In
2n+l
Lukáš Másilko
S1
5    >o ^ O'
17. 2. 2020
Limita posloupnosti
Příklad 4: Vypočítejte:
(a) lim^oo f^L
(b) lim™ (ŽŔ " #3
(2n+l)4-(n-2)4 (n+l)4+(n-l)4
(c) lim
(d) lim
(e) limn_s.oo
(f) lim
6n+l
(g) lim^oo 32n-3
(h) lim™ In^gtL
Výsledky:
4. (a) -2, (b) -oo, (c) f, (d) 0, (e) 0, (f) -f, (g) 27, (h) In 2.
Lukáš Másilko
1. cvičení
17. 2. 2020       7 /8
Limita posloupnosti
Příklad 4: Vypočítejte
(\\ |im 2±21
(j) I'm (k) lim
a72
(n+2)!+(n+l)!
(n+3)!
(I) lim^oo ^(1 + 2 + 3 + ...+ n)
(m) lim
(n) lim
(o) lim
(p) lim
/7—>00
(3n+2 _ 3+5+7+---+(2n+l)\ \^   3 n-5 )
1+1 + 1+.. , j_
^3^9^ ^3n
(l - j^)" (pomůže znalost li m n^oo (l + ±)n = e) (l + j^)9n 7 (pomůže znalost li m n^oo (l + i)" = e)
□    g ► < -e ► < =
Lukáš Másilko
1. cvičení
17. 2. 2020       8 /8
Limita posloupnosti
Příklad 4: Vypočítejte: (i) lim 2+3"
(j) I'm (k) lim
ni
'/7—>00 n2
(n+2)!+(n+l)!
(n+3)!
(I) lim^oo ^(1 + 2 + 3 + ...+ n) (m) lim
f 3n+2 _ 3+5+7+---+(2n+l)\ awoo y   3 a7-5 J
(n) lim
awoo x , i , i , .. . _L
(o) lim^oo (l - ±)   (pomůže znalost //m^oc (l + i)  = e) (p) lim^oo (l + j^)9n 7 (pomůže znalost li m n^oo (l + \)n = e)
Výsledky:
4. (i) 1, (j) oo, (k) 0, (I) \, (m)        (n)     (o) e"!, (p) e;
Lukáš Másilko
1. cvičení
17. 2. 2020       8 /8