MA0004 Matematická analýza 1, 11. seminář 4. 5. 2020 (původně) n i^a — = Lukáš Másilko 11. cvičení 4. 5. 2020 (původně) 1 / 11 Náplň cvičení Q Totálni diferenciál Q Teč na rovina Q Lokální extrémy funkcí dvou proměnných Literatura a použité zdroje • Kuběn J. a kol. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava a Západočeská univerzita v Plzni. 2012. Dostupné z: homel. vsb. cz/~kat>002/výuka/vpzmal3_14/materiály/ Dif erencialni_pocet_vice_promennych. pdf • Došlá Z., Došlý O. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Masarykova univerzita v Brně, Přírodovědecká fakulta. 2. vydání, 1999. ISBN 80-210-2052-0. Dostupné z: http://www.math.muni.cz/~plch/mapm/protisk.pdf • Klaška J. Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných. Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně. 2009. Dostupné z: http://mathoníine.fme.vutbr.cz/download.aspx?id_f ile=1021 Lukáš Másilko 11. cvičení 4. 5. 2020 (původně) 2/11 Totální diferencia Definice: Řekneme, že funkce f : IR2 —> K. definovaná v okolí bodu [xo;yo] je v tomto bodě diferencovatelná, jestliže existují reálná čísla A, B taková, Lineární funkce Ah + Bk proměnných /7, k se nazývá diferenciál funkce v bodě [x0;y0] a značí se df(x0,yo)(h,k), příp. c/f(x0,yo). Poznámka: Totální diferenciál lze použít k přibližnému výpočtu hodnoty funkce dvou proměnných v zadaném bodě. Funkci Ah + Bk lze nahradit takto: že platí lim (/7,/c)^(0,0) f(xo + h,y0 + k)- f(xo,y0)-(Ah+ Bk) V/72 + k2 df(xo, yo) = fx(*o, yo) • h+ /ý(x0, y0) • k □ g ► < -e ► < = Lukáš Másilko 11. cvičení 4. 5. 2020 (původně) 3/11 Využití totálního diferenciálu Je-li x — xq + h, y = y0 + k, pak lze pomocí diferenciálu vypočítat přibližnou hodnotu funkce f v bodě [x, y] vypočítat takto: f(x,y) = f(xo, yo) + df(x0,y0) = f (*o, Yo) + fx (xo, yo) ■ h + fy (x0, y0) • k Lukáš Másilko 11. cvičení 4. 5. 2020 (původně) Příklad 1: Spočtěte totální diferenciál funkce f v obecném bodě [ a) f (x, y) = 3x2 - 2y3 b) f(x,y) = y- In2x c) r(x,y) = xy d) ŕ (x, y) = arctan xy e) ŕ (x, y) = In y?x2 + y2 Totální diferenciál - príklady Příklad 1: Spočtěte totální diferenciál funkce f v obecném bodě [x, y] a) f b) f c) f d) f e) f x, y) = 3x2 - 2y3 x, y) = y ■ In2x x, y) = xy x, y) = arctan xy x, y) = In \/x2 + y2 Výsledky: a) df(x,y) b) c/f (x, y) c) df(x,y) d) c/ŕ (x, y) e) df(x,y) 6x ■ dx — 6y ■ dy ^- ■ dx + I n 2x • dy xy ■ (y • dx + x ■ In y • c/y) • (y • c/x + x • dy) • (x • dx + y ■ dy) Lukáš Másilko 11. cvičení 4. 5. 2020 (původně) 5/11 Totální diferenciál - príklady Příklad 2: Vypočtěte totální diferenciál funkce f v bodě A pro dané dx, dy. a) H> [*o,yo, zQ] = b) f{x,y) = x2+xy + 2y2, [x0,y0, z0] = [l;l;4] c) r(^,y) = arctg^, [x0,y0, z0] = [1; -1;?] d) f(x,y) = ex2+y2, [x0,y0, z0] = [0;0;?] Vš' vT Vš Lukáš Másilko □ d5P 11. cvičení 4. 5. 2020 (původně) Tečná rovina a normála - příklady Příklad 4: Určete rovnici tečné roviny r a normály n ke grafu funkce v zadaném bodě: a) f(*,y) = V1 ~ x2 ~ y2> [*o,yo, zú] = b) f(x,y) = x2+xy + 2y2, [x0,y0, z0] = [l;l;4] c) r(x,y) = arctg^, [x0,y0, z0] = [1; -1;?] d) f(x,y) = e*2+y2, [x0,y0, z0] = [0;0;?] Výsledky: a) r : x + y + z = a/3, n : (x, y, z) b) r : 3x + 5y - z = 4, n : (x, y, z) c) r:x + y-2z=f, n:(x,y,z) = d) r:z = l, n:(x,y,z) = (0,0,l- = (1 + 3ř, 1 + 5ř,4 - ŕ), t eR = (1 + J • ŕ,-1 + | • ŕ, f - ŕ), í Gl ŕ), ŕ G E Lukáš Másilko 11. cvičení □ g ► < -E ► < = 4. 5. 2020 (původně) Lokální extrémy funkcí dvou proměnných Lokální extrémy, stacionární bod Definice: Nechť r(x,y) je funkce dvou proměnných a M[xo,yo] £ D(f). a) Řekneme, že funkce ŕ má v bodě M lokální maximum, jestliže existuje okolí O(M) takové, že pro každé [x,y] G O(M) platí r(x,y) < b) Řekneme, že funkce ŕ má v bodě M lokální minimum, jestliže existuje okolí O(M) takové, že pro každé [x,y] G O(M) platí r(x,y) > f(M). Jestliže pro [x,y] 7^ [*b,yo] jsou předchozí nerovnosti ostré, mluvíme o ostrém lokálním maximu, resp. minimu. Definice: Řekneme, že bod M[xo,yo] je stacionárním bodem funkce f, jestliže platí fx(M) = 0 a fy(M) = 0. Lukáš Másilko 11. cvičení 4. 5. 2020 (původně) 10 / 11 Lokální extrémy - jak je vyšetřit Věta: Nechť funkce ŕ má v bodě 7~[xo,yo] a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace druhého řádu a T je její stacionární bod. Označme = fxx(*,y) - fyy{x,y) - fxyíx^y)- Pak platí: 9 Jestliže J(T) > 0, je v bodě T ostrý lokální extrém. • Pro fxx{T) > 0 je T minimum, • pro fxx(T) < 0 je T maximum. Q Jestliže J(T) < 0, není v bodě T lokální extrém. Q Jestliže J(T) = 0, nedává věta odpověď (extrém může být, ale nemusí). Lukáš Másilko 11. cvičeni 4. 5. 2020 (původně) 11 / 11 A*,y) = fXx(x,y) fxy(x,y) fyx(x,y) fyy(x,y) Lokální extrémy - príklady Příklad 5: Určete lokální extrémy funkce dvou proměnných a) f (x, y) = x2 + 2xy + 3y2 + 5x + 2y b) f (x, y) = 2xy - 3x2 - 2y2 + x + y c) f (x, y) = 2x3 + xy2 + 5x2 + y2 d) f (x, y) = x + xy — 2xy — 5x e) f (x, y) = 2x3 - 3xy + 2y3 + 1 Lukáš Másilko 11. cvičení □ S 4. 5. 2020 (původně) 12 / 11 Lokální extrémy - príklady Příklad 5: Určete lokální extrémy funkce dvou proměnných a) f (x> y) = x2 + 2xy + 3y2 + 5x + 2y b) f (x> y) = 2xy — 3x — 2y + x + y c) f (x> y) = 2x3 + xy2 + 5x2 + y2 d) f (x> y) = x + xy — 2xy — 5x e) f y) = 2x3 - 3xy + 2y3 + 1 13 3 4 ' 4J Výsledky: a) lokálni minimum v bodě b) lokálni minimum v bodě c) lokálni minimum v bodě [0,0], lokální maximum v bodě [-§, 0 stac. body, v nichž extrém nenastává: [—1,2] ; [—1, —2] d) lokálni minimum v bodě ľv^, l] , lokálni maximum v bodě [-a/2,1], stac. body, v nichž extrém nenastává: 0,1 + y/6 ; 0,1 — y/6] e) lokálni minimum v bodě nenastává: [0, 0] i i L2' 2J , stacionární bod, v němž extrém □ g ► ^ -e ► < = Lukáš Másilko 11. cvičení 4. 5. 2020 (původně) 12 / 11