MA0004 Matematická analýza 1, 2. seminář
24. 2. 2020
Lukáš Másilko	2. cvičení	24. 2. 2020 ]	L/6
Náplň cvičení
H Hromadné body posloupnosti Q Limita funkce
Literatura a použité zdroje
■ Došlá, Z., Kuben, J. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. MU: Brno, 2004.
■ * Samková, L. Materiály k výuce v zimním semestru - Matematická analýza 3. 2019. Dostupné zde:
http://horne.pf.j cu.cz/~lsamkova/ma3.htm
■ # Voldánová, A. Posloupnosti a jejich hromadné body. Bakalářská práce, 2007. Dostupné zde:
https://is.muni.cz/th/150974/prif _b/
Lukáš Másilko
2. cvičení
24. 2. 2020       2 /6
Hromadné body posloupnosti
Příklad 1: Vysvětlete, co je to hromadný bod posloupnosti. Pokud nevíte, podívejte se sami do svých poznámek z přednášky, případně na mobilu. Můžete pracovat ve skupině, čas na rešerši: 3 minuty.
□    g ► < -e ► < =
•fy <\ (y
Lukáš Másilko
2. cvičení
24. 2. 2020       3 /6
Hromadné body posloupnosti
Příklad 1: Vysvětlete, co je to hromadný bod posloupnosti. Pokud nevíte, podívejte se sami do svých poznámek z přednášky, případně na mobilu. Můžete pracovat ve skupině, čas na rešerši: 3 minuty.
Vybraná podposloupnost a hromadný bod
Definice: Nechť {aA?}^1 je posloupnost a nechť {nk}(^=1 je rostoupcí posloupnost přirozených čísel. Pak posloupnost {a^}^^ se nazývá vybraná podposloupnost z posloupnosti {an}(^=1.
Definice: Číslo a £ IR* se nazývá hromadný bod posloupnosti {aA?}^1, jestliže pro každé okolí O(a) existuje nekonečně mnoho indexů n £ N, pro které platí, že an £ O(a).
Věta: Číslo a £ IR* je hromadným bodem posloupnosti {aA?}^1 právě tehdy, když existuje vybraná podposloupnost {a^}^^ taková, že
lim/c—)>oo änk = a.
Lukáš Másilko
2. cvičení
24. 2. 2020       3 /6
Hromadné body posloupnosti
Příklad 2: Najděte všechny hromadné body daných posloupností a určete limitu superior a limitu inferior daných posloupností:
00	3n	= (-1)"+3
(b)	3n	= (-2)"
(c)	3n	_ (-1)" i+(-i)" —     n      1 2
(d)	3n	= ("!)"•
(e)	3n	= tg((2n + l)-f
(0	3n	= 1 +  " cos n7T 1 ^ n+1 (-Uj 2
(g)	3n	= sin(n-f)
(h)	3n	=      cos 2T
0)	3n	= 5 + 4 • cos (n • l
0)	3n	= 5 + 4 • cos" (n •
Lukáš Másilko	2. cvičení	24. 2. 2020 4	
Výsledky Příkladu 2
(a)	H(	[an) =	{-	1, 1}, lim inf an — — 1, lim sup an — 1
(b)	H(	[an) =	{-	00,00}, lim inf 3n = — 00, lim sup an — 00
(c)	H(	[an) =	{0,	1}, lim inf an — 0, lim sup an — 1
(d)	H(	[an) =	{-	2, 2}, lim inf an — — 2, lim sup an — 2
(e)	H(	[an) =	{-	1, 1}, lim inf an = — 1, lim sup an = 1
(f)	H(	[a n) =	{0,	1, 2}, lim inf an = 0, lim sup an = 2
(g)	H(	[an) =	{"	^,0,^|, lim inf an = —limsupan
(h)	H(	[an) =	{"	lim inf an = — ^, lim sup an = 1
0)	H(	[an) =	{1,	3, 7, 9}, lim inf an = 1, lim sup an = 9
0)	H(	[an) =	{1,	5,9}, lim inf an = 1, lim sup an = 9
				□ S
	L	ukáš Másil	ko	2. cvičení
^3
24. 2. 2020       5 /6
Limita funkce
Příklad 3: Limita funkce f{x) v bodě xo £ IR* tj. limx^Xo f{x) může být různého typu, známe tyto případy:
(a) Vlastní limita ve vlastním bodě
(b) Vlastní limita v nevlastním bodě
(c) Nevlastní limita ve vlastním bodě
(d) Nevlastní limita v nevlastním bodě
Zkuste pomocí vhodných počítačových aplikací, na základě vlastního úsudku či po poradě s kamarády, přijít na to, jakého typu jsou následující limity:
limx^3 -gi       linwi limx_>2 j^r^
limx^_oo 2X      limx_^oo limx^oo arctg x
Lukáš Másilko
2. cvičení
24. 2. 2020       6 /6