MA0004 Matematická analýza 1, 3. seminář
2. 3. 2020
Lukáš Másilko	3. cvičení	2. 3. 2020 ]	L/9
Náplň cvičení
□ Limita a spojitost funkce jedné proměnné
Literatura a použité zdroje
■ Došlá, Z., Kuběn, J. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. MU: Brno, 2004.
■ Samková, L. Materiály k výuce v zimním semestru - Matematická analýza 3. 2019. Dostupné zde:
http://horne.pf.j cu.cz/~lsamkova/ma3.htm
■ Voldánová, A. Posloupnosti a jejich hromadné body. Bakalářská práce, 2007. Dostupné zde: https://is.muni.cz/th/150974/prif_b/
Lukáš Másilko 3. cvičeni 2. 3. 2020       2 /9
Limita funkce a její typy
Limita funkce
Definice: Funkce f (x) má v bodě xq G M* limitu rovnou číslu L G M*, tj.
lim f (x) = L,
x-)-x0
když ke každému okolí O(Ľ) bodu í. existuje okolí O(xq) takové, že pro všechna x G O(xo) \ {xo} platí f (x) G O(Ľ).
Rozlišujeme tyto čtyři případy dle xq, ľ.
xq, L vlastní	vlastní limita ve vlastním bodě
xq nevlastní, L vlastní	vlastní limita v nevlastním bodě
xq vlastní, L nevlastní	nevlastní limita ve vlastním bodě
xq, L nevlastní	nevlastní limita v nevlastním bodě
Lukáš Másilko
3. cvičení
2. 3. 2020       3 /9
Typy limit funkcí
Příklad 3 z minulého cvičení: Zkuste pomocí vhodných počítačových aplikací, na základě vlastního úsudku či po poradě s kamarády, přijít na to, jakého typu jsou následující limity:
limx^3 3$r       Nmx_>_i limx^2 j^t^
lim^-oc 2X      limx^oo lim^oc arctg x
Lukáš Másilko	3. cvičení	2. 3. 2020 A	i/9
Jednostranné limity funkce
Limita zprava a zleva
Definice: Funkce f (x) má v xo G M* limitu zprava rovnou L G M*, tj
lim f (x) = L,
x—>-x,
+
0
když ke každému okolí O(Ľ) bodu L existuje S > 0 takové, že pro všechna x G (xo,xq + S) platí f (x) G O(L). Podobně pro limitu zleva lim     - f (x).
Vybrané důležité věty:
H Funkce ŕ má v libovolném bodě nejvýše jednu limitu, přičemž limx^Xo f (x) = L ^ limx^x+ f(x) = L = limx^x- f M
Jestliže platí limx^Xo f (x) = 0 a pro funkci g" existuje okolí O(xq) bodu xq, v němž je g ohraničená, pak limx^Xo f (x) • g"(x) = 0.
Početní operace s limitami...
□      g ► < -E ► < =
Lukáš Másilko
3. cvičení
2. 3. 2020 5/9
Spojitost funkce
Spojitost funkce v bodě		
Definice: Funkce f(x) je v	bodě xq GK spojitá, jestliže	
	lim f(x) — f(xo).	
	x^xo	
Podobně pro spojitost zleva	, či zprava.	
Věta o složené funkci: Nechť
lim f(x) — a
x^x0
a funkce g je spojitá v bodě a. Pak platí, že
lim g(f(x)) = g( lim f(x)) = g(a)
X^-XQ X^-XQ
Lukáš Másilko
3. cvičení
2. 3. 2020       6 /9
Nalezení funkce splňující limitní kritéria
Příklad 1: Rozdělte se do skupin po 2-3 lidech. Jeden ze skupiny určí, jaké limitní omezení má mít neznámá funkce f(x). Zbývající členové skupiny se snaží najít vhodný příklad funkce f(x) splňující kritéria kamaráda(ky). Následně si role vymění.
Příklady:
(a) Najdi funkci f(x) takovou, která má v bodě x = 3 limitu rovnou 5.
(b) Najdi funkci f(x) takovou, která má v bodě x = 3 limitu rovnou 5, ale není v něm (x = 3) spojitá.
(c) Najdi funkci r(x) takovou, která má v bodě x = 0 limitu rovnou —oc.
Lukáš Másilko 3. cvičeni 2. 3. 2020       7 /9
Příklady na limity funkcí
Příklad 2: Pomocí jednoduchých úprav spočítejte následující limity: (a
(b
(c (d
(e
(f
(g (h (i
0
x2+4x+3
mx-í-i x3+1
2-V^=3 mx->7 x2_49
mx_x, ^       [víme, že limx_+0 ^ = 1]
„_ sin 4x
mx^_oo (4x3 - x2 + x + 2)
m 2x3-x2+5 "■x-Kx) x2+x_2
y^—6x mx->oo 3x+i
nrix^oo - a/x)
™x->l x2_3x+2
mx->0 x3_x2
□ S
=
Lukáš Másilko
3. cvičení
2. 3. 2020       8 /9
Výsledky príkladu 2
(a)	2 3
(b)	1 56
(c)	2 3
(d)	8
(e)	—oc
(0	oc
(g)	2
(h)	0
0)	neexistuje
0)	—oc
Lukáš Másilko 3. cvičení 2. 3. 2020 9/9