MA0004 Matematická analýza 1, 4. seminář
9. 3. 2020
Lukáš Másilko 4. cvičení 9. 3. 2020       1 /8
Náplň cvičení
□ Derivace funkce jedné proměnné
■ Geometrický význam derivace
■ Využití základních vzorců
■ Derivace složené funkce
■ Úprava funkce před stanovením derivace
■ Tečna a normála funkce
Literatura a použité zdroje
■ Došlá, Z., Kuběn, J. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. MU: Brno, 2004.
■ Zemánek, P., Hasil, P. Sbírka řešených příkladů z matematické analýzy I. Brno, 2012. Dostupné z:
https://is.muni.cz/elportal/?id=980552
Lukáš Másilko
4. cvičení
9. 3. 2020       2 /8
Geometrický význam derivace
Derivace funkce
Definice: Derivací funkce f{x) v bodě xq nazveme limitu
..    f{x) - f(x0)            f(x0 + Ax) - f(x0) lim -=  lim---.
x^x0       x — Xo Ax
Značit budeme f'(x), resp. y'. Je-li limita vlastní, mluvíme o vlastní derivaci, v opačném případě se jedná o derivaci nevlastní. V případě, že existují jen jednostranné limity, mluvíme o derivaci zprava (zleva).
Ukázka animace vysvětlující geometrický význam derivace f (x) v určitém bodě SI = [x, f(x)], který se přibližuje k bodu S2 = [xq, f (*b)].
Lukáš Másilko
4. cvičení
9. 3. 2020       3 /8
Využití základních vzorců
x2-?/x
x
Příklad 1: Zderivujte následující funkce: H f(x) =
B f(x) =
□ f (x) =
m f (x)-
X
x2 • In x
x2 + l x2-l
1+sin x
cos x
□      g ► < -e ► < =
Lukáš Másilko
4. cvičení
9. 3. 2020       4 /8
Využití základních vzorců
x2-?/x
x
Příklad 1: Zderivujte následující funkce: H f(x) =
f(x) =
f(x) = f(x) = f(x) =
X
x2 • In x
x2 + l x2-l
1+sin x
Výsledky:
1.
4.
cos x	
O	ľ(x-l).^]
5 Z-	2x2
4x
(x2-l)^J
, 5.
1—sin x
3. [x-(2lnx +1)],
Lukáš Másilko
4. cvičení
9. 3. 2020       4 /8
Derivace složené funkce
Příklad 2: Zderivujte následující funkce:
□	f	[x)	■ 4 = sin x
	f	[x)	_ ex2-2x+l
	f		= In3 (x2 - 1)
		[x)	
□	f	[x)	= tg32x
m	f	[x)	= 5x2_1 + 3
	f	[x)	= x2 • V1 + x
B	f	[x)	i (5-2x)2
	f		= arctgj+*
J		[x)	
Lukáš Másilko 4. cvičeni 9. 3. 2020       5 /8
Derivace složené funkce
Příklad 2: Zderivujte následující funkce:
f f f f f f f
f
x x x x x x x
x
■ 4
sin x
_ ax2-2x+l
= e
In3 (x2 - 1) tg32x
+ 3
= x2
• Vl + x:
(5-2xY arctgl±í
Výsledky:
1. Í4 • sin x • cosx . 2.
5.
2x • 5x2_1
• In 5
6.
2 (x - 1) • ex2-2x+1
x
2 + l
7.
3.	6x-ln2	(*2-i)	, 4.	6sin22x
	x:	'—i		cos42x
-	4	, 8.	i	
1(5	-2x)3 _		1+x2	
□	► ^ s1 >		=	
Lukáš Másilko
4. cvičení
9. 3. 2020       5 /8
Úprava funkce před stanovením derivace
Příklad 3: Zderivujte následující funkce: g f (x) = xx g f (x) = xlnx f (x) = xsinx
Lukáš Másilko
4. cvičení
9. 3. 2020       6 /8
Úprava funkce před stanovením derivace
Příklad 3: Zderivujte následující funkce: g f (x) = xx g f (x) = xlnx f (x) = xsinx
Výsledky:
1. [xx-(lnx + l)], 2. [2-lnx-xlnx-1'
, 3. [xsinx • (cosx - lnx+ šil*)'
Lukáš Másilko
4. cvičení
□        g ►  < -E ►  < =
9. 3. 2020       6 /8
Tečna a normála funkce
Příklad 4: Napište rovnici tečny a normály grafu dané funkce v bodě T = [x0,yo]-
■ f(x) = fe§> T = ^ ?1
ŕ (x) = x • In x, 7 = [e, ?]
Lukáš Másilko
4. cvičení
9. 3. 2020       7 /8
Tečna a normála funkce
Příklad 4: Napište rovnici tečny a normály grafu dané funkce v bodě T = [x0,y0].
B f     = T = [2, ?]
H Hx) = ^ T = [27 ?]
f (x) = x • In x, T = [e, ?]
L2, | , tečna: y = ^x +      normála: y = — yfx +
741
Výsledky:
4.2. 7" = —i, —1 , tečna: y = —2x — 2, normála: y = \x — |
4.3. 7" = [2, 1] , tečna: y = —|x + 2, normála: y = 2x — 1
4.4. T = [e, e], tečna: y = 2x — e, normála: y = —^x + |e
□      rS1 ► < -E ► < =
Lukáš Másilko
4. cvičení
9. 3. 2020       7 /8
Tečna a normála funkce
Příklad 5: Napište rovnici tečny a normály □ ke kružnici x2 +y2 = 2 v jejím bodě [1, —1] k parabole y2 = x v jejím bodě [4, —2]
Příklad 6: Napište rovnici tečny ke křivce r(x) = x2 — 4x + 3, která svírá úhel cp = 45° s osou x.
Příklad 7: Napište rovnici tečny ke křivce r(x) = x2 — 2x + 3, je-li tečna rovnoběžná s přímkou p:3x — y + 5 = 0.
□    g ► < -e ► < =
Lukáš Másilko
4. cvičení
9. 3. 2020       8 /8
Tečna a normála funkce
Příklad 5: Napište rovnici tečny a normály □ ke kružnici x2 +y2 = 2 v jejím bodě [1, —1]
Příklad 6: Napište rovnici tečny ke křivce f{x) — x úhel cp = 45° s osou x.
Příklad 7: Napište rovnici tečny ke křivce f(x) — x rovnoběžná s přímkou p:3x — y + 5 = 0.
Výsledky:
5.1. Tečna: y = x — 2, normála: y = —x
5.2. Tečna: y = — \x — 1, normála: y = 4x — 18
4x + 3, která svírá
2x + 3, je-li tečna
B k parabole y2 = x v jejím bodě [4, —2]
6. T
—
.2'
f] , tečna: y = x- ^
7. T
— !Z1
~ .2' 4.
tečna: y = 3x
13 4
Lukáš Másilko
4. cvičení
9. 3. 2020       8 /8