MA0004 Matematická analýza 1, 5. seminář
16. 3. 2020
Lukáš Másilko 5. cvičení 16. 3. 2020       1 /7
Náplň cvičení
□ Výpočet limity s pomoci ĽHospitalova pravidla
Literatura a použité zdroje
■ Zemánek, P., Hasil, P. Sbírka řešených príkladu z matematické analýzy I. Brno, 2012. Dostupné z: https://is.muni.cz/elportal/?id=980552
Lukáš Másilko 5. cvičení 16. 3. 2020       2 /7
ĽHospitalovo pravidlo
ĽHospitalovo pravidlo
Věta: Buď xq G M*. Necht je splněna jedna z podmínek
■ limx^xo f (x) = limx^xog-(x) = 0,
■ limx^X0 \g(x)\ = oo.
Existuje-li (vlastní nebo nevlastní) limx^Xo ^r^, pak existuje také
lim
H*)
a platí
lim    \ \ — lim    j) \.
x^xq g (x)       x^xq g'[X)
Poznámka: ĽHospitalovo pravidlo lze využít pro výpočet limit z neurčitých výrazů
oc-oc,   O-oo,   0°,   oc°, 1°°.
±oc 0
Lukáš Másilko
5. cvičení
16. 3. 2020       3 /7
Použití ĽHospitalova pravidla
Limity typu ,   jj  se řeší ĽHospitalovým pravidlem přímo,
přičemž jej můžeme použít opakovaně.
Limity typu [oc — oc] se řeší úpravou výrazu a převodem na výše uvedené typy, například takto:
H*) g(x)
Limity typu [0 • oo] se řeší úpravou
f(x).g(x)=f-^-
0 Ô
g(x)
o ô
Limity typu [0°] , [oo0 , [1°°] se řeší úpravou
g(x) _ >f (x)*M = eg(x)-ln f(x) _ f^O-oo
f(Xf(x) = e
a následným výpočtem limity z výrazu g (x) • In f (x), což vede na předchozí případ.
Lukáš Másilko
5. cvičení
16. 3. 2020       4 /7
Příklady na použití ĽHospitalova pravidla
Příklad 1: Vypočtěte následující limity:
x2-4
1
2
3
im
x2-x-2
lim
x^O x'smx In x
lim
x^l cos
4. lim
In x
x^0+ cot«x
lim lnx
X—>-oo
X
Lukáš Másilko
5. cvičení
16. 3. 2020
5 / 7
Příklady na použití ĽHospitalova pravidla
Příklad 1: Vypočtěte následující limity:
x2-4
1
2
3
im
x2-x-2
lim
x^O x'smx In x
lim
x^l cos
4. lim
In x
x^0+ cot«x
lim lnx
X—>-oo
X
Výsledky:
1.
L 3 J '
2.
I2l '
3.
7T
, 4. [0], 5. [0]
Lukáš Másilko
5. cvičení
16. 3. 2020
5 / 7
Příklady na použití ĽHospitalova pravidla
Příklad 1: Vypočtěte následující limity: 6.   lim x3 • In -
x^0+
X
7.   lim x • e
x^0+
i
x
8.   lim (1 — sin x) • tgx
9.   lim x • In x
x^0+
10.   lim Inx- ln(x- 1)
x^l+
Lukáš Másilko
5. cvičení
16. 3. 2020       6 /7
Příklady na použití ĽHospitalova pravidla
Příklad 1: Vypočtěte následující limity: 6.   lim x3 • In -
x^0+
X
7.   lim x • e
x^0+
i
x
8.   lim (1 — sin x) • tgx
9.   lim x • In x
x^0+
10.   lim Inx- ln(x- 1)
x^l+
Výsledky:
6. [0], 7. [oo], 8. [0], 9. [0], 10. [0]
Lukáš Másilko
5. cvičení
16. 3. 2020       6 /7
Příklady na použití ĽHospitalova pravidla
Příklad 1: Vypočtěte následující limity: 11. lim (cos3x)*2
x^O
12.   lim x1-
x^l+
x
13.   lim (cotgx)
x^0+
i
In x
14. lim (*ilí)x2
x^O v  x J
15. lim (cos f x)
x—>1~
In x
Lukáš Másilko
5. cvičení
16. 3. 2020       7 /7
Příklady na použití ĽHospitalova pravidla
Příklad 1: Vypočtěte následující limity: 11. lim (cos3x)*2
x^O
12.   lim x1-
x^l+
x
13.   lim (cotgx)
x^0+
i
In x
14. lim (*ilí)x2
x^O v  x J
15. lim (cos f x)
x—
In x
Výsledky:
9
11.
e 2
12.
i
Le
, 13. [±1 , 14.
_ 1
e e
15. [1]
□      g ► < -E ► < =
Lukáš Másilko
5. cvičení
16. 3. 2020       7 /7
Příklady na použití ĽHospitalova pravidla
Příklad 1: Vypočtěte následující limity:
X
x-1
In x
16. lim
17. lim (—í--i)
18. lim (i -
Lukáš Másilko
5. cvičení
16. 3. 2020       8 /7
Příklady na použití ĽHospitalova pravidla
Příklad 1: Vypočtěte následující limity:
X
x-1
In x
16. lim
17. lim (—í--i)
18. lim (i -
Výsledky:
16.
i
L2
, 17. [i] , 18. [0]
Lukáš Másilko
□        g ►  < -E ►  < =
5. cvičení
16. 3. 2020       8 /7