MA0004 Matematická analýza 1, 7. seminář
30. 3. 2020 (původně)
Lukáš Másilko
5. cvičení
□        ig ► < .š ►
30. 3. 2020 (původně)
Náplň cvičení
Literatura a použité zdroje
■ Zemánek, P., Hasil, P. Sbírka řešených príkladu z matematické analýzy I. Brno, 2012. Dostupné z:
https://is.muni.cz/elportal/?id=980552
■ Ústav matematiky, FSI VUT Brno. MATEMATIKA online -Matematika I. Dostupné z:
http://mathoníine.fme.vutbr.cz/Matematika-I/ sc-5-sr-l-a-4/default.aspx
Lukáš Másilko
5. cvičení
□        s1 ~ =
30. 3. 2020 (původně)       2 /
Monotónnost a lokální extrémy
a
b;
c d e
= x3 - 12x, D(f) = R
= x
2 ^-x
Příklad 1: Určete intervaly monotonie a lokální extrémy pro následující funkce.
f(x
f(x
f(x
f(x
f(x
f) f(x
Inx'
e"x, D(f) = R D (f) = /?+-{!}
= x-2-sinx, D (ŕ) = (0, 2vr) = i-lni, D(0 = (0, oo)
= ^#, D(f) = /?
Lukáš Másilko
30. 3. 2020 (původně)
Monotónnost a lokální extrémy - výsledky
a) na (—oc, — 2) a (2, oc) rostoucí, na (—2,2) klesající, [—2, 16] lokální maximum, [2,-16] lokální minimum
b) na (—oc, 0) a (2, oc) rostoucí, na (0,2) klesající, [2,4 In 2] lokální maximum, [0, 0] lokální minimum
c) na (0, e) klesající, na (e, oc) rostoucí, na (0,2) klesající, [e, e] lokální minimum
d) na (0, |) a (^, 2tt) klesající, na (f,^1) rostoucí,
[fjTT- a/Š] lokální minimum, [^L5^L + V/3] lokální maximum
e) na (0, e) klesající, na (e, oc) rostoucí, na (0,2) klesající, e, — i] lokální minimum
f) na (—oc, —3) a (—1, oc) klesající, na (—3,-1) rostoucí, [—3, 0] lokální minimum, [—1, 4e] lokální maximum
Lukáš Másilko
5. cvičení
□        s1 ~ =
30. 3. 2020 (původně)
Konvexnost/konkávnost a inflexní body
Příklad 2: Rozhodněte o konvexnosti a konkávnosti funkce a najděte případné inflexní body u následujících funkcí.
a)	f(x)	= x3 - 12x, f (x)	= 3x2-	- 12, D(0 = D(f) = R
b)	f(x)	= x2-e~x, f'(x) =	= x • e_>	ř-(2-x), D(f) = D(f') = R
c)	f(x)	= ,x , f(x) = '"x2 Inx'     v  ) |n2	_1o(0	= D (ľ) = R+ - {1}
d)	f(x)	= x • e  2 , f (x) =	x2 e  2 .	(1-x2),  D(f) = D(f') = R
e)	f(x)	= x4 - 2x3 - 12x2	+ 7x-	3, D(f) = R
f)	f(x)	= iX+f , f (x) =	x2+4x+3	, D(f) = D(ľ) = R
□       iS1       - =
Lukáš Másilko 5. cvičení 30. 3. 2020 (původně)       5 /
Konvexnost/konkávnost a inflexní body - výsledky
a) na (—00, 0) konkávni, na (0, 00) konvexní, [0, 0] inflexní bod
b) na (-oo, 2 - y/2) a (2 + ^2, 00) konvexní, na (2 - y/2, 2 + y/2)
konkávni,
V2
2 + V2, (6+ 4^2) e1""2
2 - a/2, (6 - 4^2) e1+~2 inflexní body
c) na (0, 1) a (e2, 00) konkávni, na (l, e2) konvexní, bod
d) na (—00,— a/Š) a (0, VŠ) konkávni, na (—a/3, 0) a (a/3, 00)
V2
e2 ^ c , 2
inflexní
konvexní, [0, 0],
e 2
VŠ:
e 2
inflexní body
e) na (-
[-1,
f) na (
("I -1
-00, —1) a (2, oo) konvexní, na (—1, 2) konkávni, -19], [2, -37] inflexní body
-oo, —1 — v2j a (—1 + v2, oo) konvexní, na - y/2, -1 + \/2) konkávni,
-V2,^h
£3 -L
6-4^2
v2
-1 + V2, ^
6+4^2
1+v2
inflexní body
1        1 •o
Lukáš Másilko
30. 3. 2020 (původně)
Asymptoty
sin x
x
Příklad 3: Určete asymptoty bez směrnice u následujících funkcí:
a) f(x) = i
b) f (x) = 5x +
Příklad 4: Určete asymptoty se směrnicí (tj. v nevlastních bodech ±oc) u následujících funkcí:
a) f(x) = ^, D(f) = R-{l}
b) = D(f) = R-{±2}
c) f(x) = ^1, D(f) = /?-{-!}
Lukáš Másilko
5. cvičení
30. 3. 2020 (původně) 7/1
Asymptoty
sin x
x
Příklad 3: Určete asymptoty bez směrnice u následujících funkcí:
a) f(x) = i
b) f (x) = 5x +
Příklad 4: Určete asymptoty se směrnicí (tj. v nevlastních bodech ±oc) u následujících funkcí:
a) f(x) = ^, D(f) = R-{l}
b) = D(f) = R-{±2}
c) f(x) = ^1, D(f) = R-{-l}
Výsledky:
3. a) x = 0, b) neexistuje, c) x = 1
4. a) y = 3x + 3, b) y = -x, c) y = 0
Lukáš Másilko
5. cvičení
30. 3. 2020 (původně) 7/1
Celkový postup vyšetřování průběhu funkce
■ Definiční obor
■ Lichost, sudost, periodičnost
■ Charakteristika bodů nespojitosti (výpočet jednostranných limit)
■ Řešení rovnice f (x) = 0 (intervaly, kdy je funkce nad osou x či pod osou x)
■ Řešení rovnice ff (x) = 0 (intervaly monotónnosti, lokální extrémy)
■ Řešení rovnice fff{x) — 0 (intervaly konvexnosti/konkávnosti, inflexní body)
■ Asymptoty
Lukáš Másilko
5. cvičení
30. 3. 2020 (původně) 8/1
Průběh funkce - příklady
3
Příklad 5: U funkce r(x) = -^f—[ byl vyšetřen její průběh. Načrtněte graf funkce dle dostupných informací (viz soubor Příklad 266 -vzorový.docx ve Studijních materiálech, ve složce Semináře).
Příklad 6: Vyšetřete průběh následujících funkcí a načtrtněte jejich graf, je-li dána jejich první i druhá derivace.
a) f(*) = CT> f'(x)= 3+x2
fn (y\ - 2x(9+*2)
t   \x)~ (3-x2)3
3-x2,  ■   w - (3-x2)2'
b) f(x) = |(x+i), f'(x) = ^, f"(x) = £
c) f(x) = ^f, f(x) = 2d£x£, f«(x) = 2h*=*
Příklad 7: Vyšetřete průběh následujících funkcí a načrtněte jejich graf. a) f =
c) f (x) = x • e X2
Lukáš Másilko
30. 3. 2020 (původně)