MA0004 Matematická analýza 1, 8. seminář
13. 4. 2020 (původně)
Lukáš Másilko
8. cvičení
□        ig ► < .š ►
13. 4. 2020 (původně) 1/7
Náplň cvičení
Q Přibližné vyjadrení funkce
• Diferenciál
• Taylorův polynom
Literatura a použité zdroje
o Zemánek, P., Hasil, P. Sbírka řešených príkladu z matematické analýzy I. Brno, 2012. Dostupné z: https://is.muni.cz/elportal/?id=980552
• Ústav matematiky, FSI VUT Brno. MATEMATIKA online -Matematika I. Dostupné z:
http://mathonline.fme.vutbr.cz/Matematika-I/ sc-5-sr-l-a-4/default.aspx
Lukáš Másilko
8. cvičení
13. 4. 2020 (původně) 2/7
Diferencia
Diferencia
Věta 26: Funkce ŕ má v bodě xq diferenciál (je diferencovatelná v xq) právě tehdy, když existuje vlastní derivace /^(xq). Přitom platí
df(x0)(h) = ŕ'(x0) • h.
Píšeme též d f {x) = f'{x)dx. Pro dostatečně malé h platí:
f (x) = f (x0) + ff(x0) • (x - x0) pro x x0.
Poznámka:
• Proměnnou h = dx = x — xo nazýváme přírůstek proměnné x.
• Diferenciál funkce f v bodě xq zapisujeme výrazem df(xo)(h).
9 Pomocí diferenciálu lze aproximovat hodnotu funkce f (x) v bodě x blízkém bodu xq, pro který snadno spočítáme funkční hodnotu ^(xo) i hodnotu 1. derivace /^(xq). Čím větší hodnotu má přírůstek h — dx — x — xq, tím méně přesná bude apr^im^^ A ^ > 4 ^ ^   ^ ^Q
Lukáš Másilko
8. cvičení
13. 4. 2020 (původně) 3/7
Geometrický význam diferenciálu
LoCllä
Ohi. Ě.7: Diferenciál je príriĽtťk funkce na toCnt.
Modrá úsečka je přírůstek dx = x — xq proměnné x.
Červená úsečka dy je "přírůstek na tečně" t k funkci f v bodě xq, tj. o kolik větší/menší je hodnota t(x) v porovnání s t(xo) = ^(xo).
Obě úsečky svírají pravý úhel v pravoúhlém trojúhelníku. Uhel a naproti červené úsečce je stejný jako úhel, který tečna svírá s osou x. Tangens úhlu a je směrnicí tečny t. Platí pro něj tga =
Pro dy platí: dy — tga - dx — fř(xo) • dx (rovnice pro diferenciál). Délka červené úsečky vyjadřuje diferenciál funkce f v bodě xq.
Lukáš Másilko
8. cvičení
13. 4. 2020 (původně)
Diferenciál - příklady
Příklad 1: Pomocí diferenciálu určitě přibližnou hodnotu následujících výrazů.
a)	sin 29°
b)	
c)	log 11
d)	arctg 1,1
e)	^70
f)	cos 151°
g)	21,003
h)	In 1,1
Lukáš Másilko
8. cvičení
13. 4. 2020 (původně) 5/7
Diferenciál - příklady
Příklad 1: Pomocí diferenciálu určitě přibližnou hodnotu následujících výrazů.
a)	sin 29°
b)	
c)	log 11
d)	arctg 1,1
e)	^70
f)	cos 151°
g)	21,003
h)	In 1,1
Výsledky: a) 0,484885; b) 8,9445; c) 1,0434294; d) 0,83539; e) 4,125; f) -0,874752; g) 2,004; h) 0,1
Lukáš Másilko 8. cvičeni 13. 4. 2020 (původně) 5/7
Taylorův polynom
Taylorova věta
Věta 27: Nechť má funkce f v okolí bodu xq vlastní derivace až do řádu n + 1 pro nějaké n £ N U {0}. Pak pro všechna x z tohoto okolí platí tzv. Taylorův vzorec:
f(xo)
f(x) = f{xo) + ^^(x-Xo) + ^^{x-XoY + - ■ •+      n,      (x-x0)" + Rn{x\
číslo ležící mezi xq a x. Poznámka:
9 Pokud v Taylorově vzorci vynecháme zbytek, obdržíme tzv. Taylorův polynom.
9 Pokud v Taylorově větě položíme xq = 0, získáme tzv. Maclaurinův vzorec, resp. tzv. Maclaurinův polynom.
Lukáš Másilko
8. cvičení
13. 4. 2020 (původně) 6/7
Taylorův polynom - příklady
Příklad 2: Napište Taylorův (či Maclaurinův) polynom 3. řádu v bodě xo pro funkci f(x).
a b
c
e f
f(x f(x f(x f(x
f(x f(x
= i>x* = 1 = ex, x0 = 1
= sin x, xo = 0
= cosx, xo = 0
= e  2 , x0 = 0 = ex • sin x, xq = 0
Lukáš Másilko
8. cvičení
13. 4. 2020 (původně) 7/7
Taylorův polynom - příklady
Příklad 2: Napište Taylorův (či Maclaurinův) polynom 3. řádu v bodě xo pro funkci f(x).
a b
c
e f
f(x f(x f(x f(x
f(x f(x
= i>x* = 1 = ex, x0 = 1
= sin x, xo = 0
= cosx, xo = 0
= e  2 , x0 = 0 = ex • sin x, xq = 0
Výsledky:
a) l-(x-l) + (x-l)2-(x-l)3
b) e + e(x-l) + f(x-l)2 + f(x-
c) x- Í
d) l"í
e) l-Ý
f) x + x2 + ^
1):
Lukáš Másilko
8. cvičení
13. 4. 2020 (původně) 7/7