MA0004 Matematická analýza 1, 9. seminář 20. 4. 2020 (původně) Lukáš Másilko 9. cvičení 20. 4. 2020 (původně) 1/24 Náplň cvičení Q Diferenciální počet funkcí více proměnných • Definiční obor • Limita funkce dvou proměnných Spojitost funkce dvou proměnných Lukáš Másilko 9. cvičení 20. 4. 2020 (původně) 2/24 Literatura a použité zdroje • Kuběn J. a kol. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava a Západočeská univerzita v Plzni. 2012. Dostupné z: homel. vsb. cz/~kat>002/výuka/vpzmal3_14/materiály/ Dif erencialni_pocet_vice_promennych. pdf o Došlá Z., Došlý O. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Masarykova univerzita v Brně, Přírodovědecká fakulta. 2. vydání, 1999. ISBN 80-210-2052-0. Dostupné z: http://www.math.muni.cz/~plch/mapm/protisk.pdf • Klaška J. Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných. Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně. 2009. Dostupné z: http://mathoníine.fme.vutbr.cz/download.aspx?id_f ile=1021 Lukáš Másilko 9. cvičení 20. 4. 2020 (původně) 3/24 Literatura a použité zdroje • Ku ranová S., Vondra J. Diferenciální počet funkcí více proměnných -interaktivní sbírka příkladů a testových otázek. Masarykova univerzita v Brně, Přírodovědecká fakulta. 2009. Dostupné z: https://is.muni.cz/elportal/estud/prif/ps09/sbirka/ web/index.html o Kadeřábek Z. Limity funkcí více proměnných. Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta. 2007. Dostupné z: https://is.muni.cz/th/xpb8v/ Limity_f unkci_vice_promennych. pdf • isibalo.com. Matematika: Diferenciální počet funkcí více proměnných. 2020. Dostupné z: https://isibalo.com/matematika/ diferencialni-pocet-funkci-vice-promennych Lukáš Másilko 9. cvičení 20. 4. 2020 (původně) 4/24 Funkce Funkce více proměnných Definice: Nechť MCK", n > 1, M ^ 0. Zobrazení ŕ : M -> R se nazývá reálná funkce n reálných proměnných a množina M se nazývá definiční obor této funkce a značí se D(r). Poznámka: • V případě n — 2 hovoříme (reálné) funkci dvou (reálných) proměnných x,y. Každé uspořádané dvojici [x,y] G D(f) je přiřazeno právě jedno z £ IR takové, že z = r(x,y). 9 Pokud je funkce zadána předpisem z = ŕ(x,y) a není udaný definiční obor funkce, pak definičním oborem rozumíme množinu všech bodů [x,y] G IR x IR, pro které tento předpis má smysl. 9 Stanovení definičního oboru zadané funkce dvou proměnných bude častým úkolem. Kromě symbolického předpisu je možné definiční obor popsat i zakreslením příslušné oblasti v kartézské soustavě souřadnic (O, x, y). Lukáš Másilko 9. cvičení 20. 4. 2020 (původně) 5/24 Definiční obor funkce dvou proměnných Příklad 1: Vyšetřete definiční obor následujících funkcí dvou proměnných a následně jej zakreslete v kartézském souřadném systému (O, x, y). a) f (x, y) = a/4 - x2 + ^y2 - 9 b) f{x,y) = ln(x • In (y - x)) c) Hx, y) = Vi1 - lny) • ln(-x) d) f(x,y) = In (x2 -y) + Vx-2y + 4 e) Hx,y) = ln (x + f) ř-(x,y) = A/l-(x2+y)2 g) f(x,y) = v/(x2 + í^l!-l).(x2+y2-6x) h) f (x, y) = arcsin + arcsin (1 — y) Lukáš Másilko 9. cvičení 20. 4. 2020 (původně) 6/24 Příklad 1 - výsledky a) D(f) = {[*, y] G E2, |x| < 2 A |y > 3} b) D(f) y] G E2, (x > OAy > x+l)V(x < OAy < x+lAy > x)} c) D(f) = {[x, y] G E2, (0 < y < e A x < -1) V (y > e A -1 < x < 0)} d) D(f) = {[*, y] G E2, y < x2 A y < \x + 2} e) D(f) = {[*, y] G E2, (x > 0 A y > -2x2) V (x < 0 A y < -2x2)} f) D(f) = {[x, y] G E2, -1 - x2 < y < 1 - x2} g) D(f) = {[x, y] G E2, ((y42)2+x2 l>0Ax2 + y2 6x>o)v (^nr- + x2 - 1 < 0 A x2 + y2 - 6x < o) } h) D(f) = {[x,y]GE2, y2>-x,y2>x,yG(0,2)} Zobrazení definičních oborů v rovině (O, x, y) najdete na následujících slajdech. Lukáš Másilko 9. cvičeni 20. 4. 2020 (původně) 7/24 Příklad 1 - zakreslení definičních oborů v rovině Lukáš Másilko 9. cvičení 20. 4. 2020 (původně) 8/24 Příklad 1 - zakreslení definičních oborů v rovině Lukáš Másilko 9. cvičení 20. 4. 2020 (původně) 9/24 Příklad 1 - zakreslení definičních oborů v rovině Graf funkce dvou proměnných Graf funkce dvou proměnných Definice: Grafem funkce z = f(x,y) dvou proměnných nazýváme množinu uspořádaných trojic [x,y,z] £ IR3, pro které [x,y] patří do definičního oboru D(f). Graf funkce z = x2 +y2 vykresleného nástrojem Geogebra 3D grafy: Lukáš Másilko 9. cvičení 20. 4. 2020 (původně) 11 / 24 Limita funkce dvou proměnných Limita funkce dvou proměnných Definice: Řekneme, že funkce z = ŕ(x,y) má v bodě M[xo;yo] limitu rovnou číslu L, jestliže ke každému s > 0 existuje S > 0 takové, že pro všechny body z ryzího 5-okolí bodu M platí |r(x,y) — L\ < s. Píšeme lim f(x,y) — L. [*>y]->[xb;yo] Poznámka: • U funkcí více proměnných nemáme k dispozici ĽHospitalovo pravidlo. • Postupujeme podobně jako u výpočtu limit z funkcí jedné proměnné: nejdříve dosadíme limitní bod do předpisu funkce. Pokud výraz nelze vyčíslit, hledáme jeho vhodnou úpravu tak, abychom jej zjednodušili a mohli dosadit do pozměněného výrazu. • Platí stejná aritmetika limit pro součet, rozdíl, součin a podíl dvou výrazů jako u limit funkcí jedné proměnné. Lukáš Másilko 9. cvičení 20. 4. 2020 (původně) 12/24 Limita funkce dvou proměnných Při výpočtu se může hodit tato věta Věta o součinu s ohraničenou funkcí Věta: Nechť lim[x,y]^[x0;yo] ^(x?y) = 0 a funkce g je ohraničená v nějakém ryzím okolí bodu [xo;yo]. Pak r lim /(x,y) -s(x,y) = 0. [*>y]-Kxo;yo] Lukáš Másilko 9. cvičení 20. 4. 2020 (původně) 13/24 Limita funkce dvou proměnných Příklad 2: Vypočítejte následující limity, a) lim ln<*+ey) b) c) d) e) 0 x. y)-Ki, o) V*2+y2 iim (x-y) ~9 11,11 y-2_i_„2 x,y)-»- -4,-1 x +y 3 3 lim 4 4 x, y)->(2, 2) ^-^4 lim y)->(o,o) vx2+y2+4~2 x. lim x, y)-K0, 0) lim Vx2+y2 + l-l 2 2 xz—yz x,yH(2,2) *2-3y+3x-xy Lukáš Másilko 9. cvičení 20. 4. 2020 (původně) 14/24 Limita funkce dvou proměnných Příklad 2: Vypočítejte následující limity. a) (x lim in^+fl /Hl, 0) V*2+y2 b) (x lim (x-y)2-9 y)-K-4,-l) X +y c) (x lim d) (x lim ^3 yH(0,0) Vx2+y2+4-2 e) (x lim ^2trt1_ y)^(0, 0) x +^ 0 (x 2 2 y)->(2,2) ^2-3y+3x-xy Výsledky: a) In2, b) 0, c) |, d) 12, e) §, f) § Lukáš Másilko 9. cvičení 20. 4. 2020 (původně) 14/24 Limita funkce dvou proměnných Příklad 2: Vypočítejte následující limity. g) h) i) j) k) I) lim xy2 • cos x, y)->(0, 0) xy lim x, y)-K0, 0) x • sin - y lim x,y)^(0,0) lim ^ x,y)^(l,oo) (x + y) • sin J • sin ± lim sin xy x x,y)->-(0,2) lim ^ x,y)^(0, 2) x Lukáš Másilko 9. cvičení 20. 4. 2020 (původně) 15/24 Limita funkce dvou proměnných Příklad 2: Vypočítejte následující limity. g) h) i) j) k) I) lim xy2 • cos x, y)->(0, 0) xy lim x, y)-K0, 0) x • sin - y lim x,y)^(0,0) lim ^ x,y)^(l,oo) (x + y) • sin J • sin ± lim sin xy x x,y)-K0,2) lim eXr"1 x,y)^(0, 2) x Výsledky: g) 0, h) 0, i) 0, j) 0, k) 2, I) 2 Lukáš Másilko 9. cvičení 20. 4. 2020 (původně) 15/24 Důkaz neexistence limity • V případě funkce jedné proměnné se k limitnímu bodu blížíme po přímce y = 0, u funkcí dvou proměnných se k němu můžeme blížit nekonečně mnoha způsoby, po různých přímkách, parabolách atd. o Existence limity v daném bodě znamená, že nezáleží na cestě, po které se k danému bodu blížíme. Dostaneme-li různé hodnoty limity pro různé cesty, limita v daném bodě nemůže existovat. a Uvedeme si několik způsobů, jak ukázat, že v zadaném bodě limita funkce neexistuje. Lukáš Másilko 9. cvičení 20. 4. 2020 (původně) 16/24 Metoda postupných limit r Metoda postupných limit 1 Věta: Označme lim y^yo lim f (x, y) X^XQ = L\. lim lim f (x, y) _y^yo = /-2- Existuje-li limita lim f (x, y) [*,yHN;yo] = /-, pak platí L = L\ = í-2- Poznámka: Tato věta je implikací, takže slouží pouze jako metoda důkazu neexistence limity. Pokud ukážeme, že L\ ^ L2, pak to znamená, že limita nemůže existovat. Lukáš Másilko 9. cvičení 20. 4. 2020 (původně) 17/24 Približovaní po různých cestách K limitnímu bodu [xo,yo] se můžeme přibližovat po o po přímkách, např. pomocí substituce y = k • (x — xq) + yo, přičemž počítáme limitu pro x —> xq, o po parabolách, např. pomocí substituce y = k • (x — xq)2 + yo, přičemž opět počítáme limitu pro x —> xq, • po kružnicích pomocí polárních souřadnic, substitucí x = xq + q • cos cp, y = yo + q • sin přičemž počítáme limitu pro q 0, či po jiných obecných cestách. Poznámka: Pokud po volbě nějaké cesty a následné substituci vyjde limita závislá na parametru k či pouze na cp, znamená to, že volba těchto parametrů mění hodnotu limity - tedy limita neexistuje. V opačném případě (výsledek limity nezávisí na těchto parametrech) není existence limity prokázána! Lukáš Másilko 9. cvičení 20. 4. 2020 (původně) 18/24 Polární souřadnice - univerzální cesta Transformace do polárních souřadnic x = Xq + g • cos (f, y = yo + ^-sin^, kde [xo,yo] je limitní bod a g > 0, je možností, jak ukázat i existenci limity a spočítat její výsledek. Platí následující lemma: Lemma pro výpočet limity pomocí polárních souřadnic Lemma: Předpokládejme, že funkci f(x,y) lze v polárních souřadnicích se středem v bodě [xo,yo] vyjádřit ve tvaru r(x, y) = L + g(g) • h(g, 0. Pak platí l'm[x,y]-)-[xi),yo] f(x,y) = L Lukáš Másilko 9. cvičení 20. 4. 2020 (původně) 19/24 Polární souřadnice - univerzální cesta Lemma: Předpokládejme, že funkci f(x,y) lze v polárních souřadnicích se středem v bodě [xo,yo] vyjádřit ve tvaru r(x, y) = L + g(g) • h(g, 0. Pak platí l'm[x,y]-)-[xi),yo] f(x,y) = L Postup hledání limity pomocí lemmatu O Transformujeme limitní výraz do polárních souřadnic. Q Počítáme limitu pro g 0. O Výsledkem může být výraz L + g(g) • h(g, cp), kde g(g) je funkce závislá pouze na g, jejíž limita pro g jdoucí k nule je 0, a h(g, cp) je ohraničená funkce. Pak je limita rovna zbylému reálnému číslu L, které samozřejmě může být i nula. O Je-li výsledkem je pouze funkce h(g,cp) závislá na obou parametrech či pouze na cp, pak limita neexistuje. Lukáš Másilko 9. cvičení 20. 4. 2020 (původně) 20/24 Limita funkce dvou proměnných Příklad 3: Vyšetřete, zda následující limity existují. Pokud ano, určete jejich hodnotu. a) lim ^ b) c) d) e) 0 x,y)-K0,0 lim x,y)-K0,0 lim x,y)-K0,0 lim x,y)^(0,0 lim x,y)^(0,0 lim x,y)^(0,0 3x+y x+y x-y x2—y2+x3+y3 x2+y xy x^+y^ 2 x y x2+y2 2 2 x —y x2+y2 Lukáš Másilko 9. cvičení 20. 4. 2020 (původně) 21 / 24 Limita funkce dvou proměnných Příklad 3: Vyšetřete, zda následující limity existují. Pokud ano, určete jejich hodnotu. a) lim ^ b) c) d) e) 0 x,y)-K0,0 lim x,y)-K0,0 lim x,y)-K0,0 lim x,y)^(0,0 lim x,y)^(0,0 lim x,y)^(0,0 3x+y x+y x-y x2—y2+x3+y3 x2+y xy x^+y^ 2 x y x2+y2 2 2 x —y x2+y2 Výsledky: a) neex., b) neex., c) neex., d) neex., e) 0, f) neex. Lukáš Másilko 9. cvičení 20. 4. 2020 (původně) 21 / 24 Limita funkce dvou proměnných Příklad 3: Vyšetřete, zda následující limity existují. Pokud ano, určete jejich hodnotu. g) II™ 2x3+5y2 lim (x, yH(0,0) x2+y2 3 3 x2+y2 h) lim (x,y)^(0,0) i) lim J (x,y)-.(0,0) x4+^4 j) lim (x,y)^(0,0) 2 x y Lukáš Másilko 9. cvičení 20. 4. 2020 (původně) 22/24 Limita funkce dvou proměnných Příklad 3: Vyšetřete, zda následující limity existují. Pokud ano, určete jejich hodnotu. (x, y)-K0,0) X+y h) lim (x,y)-K0,0) _x^y_ x2+y2 3 x°y i) lim (x,y)-K0,0) j) lim J; (x,y)^(0,0) x*+y2 Výsledky: g) 0, h) 0, i) neex., j) neex. Lukáš Másilko 9. cvičení 20. 4. 2020 (původně) 22/24 Spojitost funkce dvou proměnných Spojitá funkce dvou proměnných Definice: Řekneme, že funkce ŕ je spojitá v bodě [xo,yo], jestliže má v tomto bodě vlastní limitu a platí r Jim /(x,y) = f(x0ly0). [*>y]-Kxo>yo] Poznámka: O Nalézt body nespojitosti funkce znamená určit body, v nichž není funkce definovaná. O Domluvme se, že funkce je spojitá v izolovaných bodech definičního oboru. Lukáš Másilko 9. cvičení 20. 4. 2020 (původně) 23/24 Spojitost funkce dvou proměnných Příklad 4: Určete body, v nichž není funkce spojitá. a) f (x>y) = i sjx2+y2 b) f (x' y) = . x+y X3_|_y3 c) f (x>y) = x-y x+y d) f (x>y) = 1 sin — xy e) f (x>y) = 1 sin x-sin y f) f (x>y) In 1 - x2 □ S" - = « O Q, o Lukáš Másilko 9. cvičení 20. 4. 2020 (původně) 24/24 Spojitost funkce dvou proměnných Příklad 4: Určete body, v nichž není funkce spojitá a b c e f f f f f f f x+y X3_|_y3 x-y x, y) = x, y) = x, y) = x, y) = sin — ' J I xy x, y) --x, y) -- x+y sin x-siny In 1 — x2 — ý Výsledky: a) [0,0], b) {[x, y];x= -y}, c) {[x, y];x = -y}, d) {[x, y]; x = 0 V y = 0} , e) {[x, y]; x = kn, y = kn, k e N}, 0 {[x, y];x2+y2 = l} □ r5> Lukáš Másilko 9. cvičení 20. 4. 2020 (původně) 24/24