MA0007 I 11. června 2020 | str. 1
Každý úkol (označen +) je hodnocen 6 body; celkem můžete získat 54 bodů (+ bonusy). K ústní zkoušce je potřeba alespoň polovina.
Konstrukce doprovoďte stručným komentářem tak, aby bylo zřejmé pořadí a hlavně korektnost vašich úvah. U dotýkajících se objektů musí být zřejmá zejména konstrukce dotykových bodů.
1. Je dána úsečka AB, jejíž velikost představuje jednotku.
+ Sestrojte kladné reálné kořeny kvadratické rovnice x2 + 3x — 9.
+ Svoji konstrukci zdůvodněte, tj. vysvětlete, na které poznatky se v jednotlivých krocích odkazujete.
2. Je dána kružnice se středem S a průměrem AB a bod C na kružnici různý od A a B. Symboly a, 7 a cr označují po řadě velikosti úhlů CAS, ACS a BSC.
+ Uspořádejte, příp. doplňte následující tvrzení tak, aby tvořila důkaz nějaké (dobře známé) geometrické věty; tuto větu zformulujte.
• a = 7
• a = a + 7
• a = 2a
• trojúhelník ASC je rovnoramenný
MA0007 I 11. června 2020 | str. 2
3. Jsou dány kružnice a, b a přímka c. Střed kružnice a leží na kružnici b, střed kružnice b leží na kružnici a a spojnice středů kružnic a, b je rovnoběžná s přímkou c.
+ Zvolte (vhodně) kružnici T, která má střed v některém ze společných bodů kružnic a, b; sestrojte obrazy a,b,c vzhledem ke kruhové inverzi určené kružnicí T.
+ Určete počet všech kružnic, které se dotýkají a, b, c; všechny takové kružnice sestrojte.
MA0007 I 11. června 2020 | str. 3
4. Body A', B' a D' jsou obrazy vrcholů pravidelného pětiúhelníku ABCDE vzhledem k nějakému afinnímu zobrazení.
+ Sestrojte obrazy vrcholů C a, E.
5. + Vyjmenujte vlastnosti obecných podobných zobrazení; popište základní podobná zobrazení a jejich určující prvky; uveďte nějaké konkrétní příklady jejich užití.
MA0007 I 11. června 2020 | str. 4
6. Je dán středový průmět krychle, jejíž stěna ABFE se zobrazuje ve skutečné velikosti. Dále jsou dány body K a L, a to tak, že K e CD a L e EFGH.
+ Sestrojte řez krychle rovinou určenou body K, L a směrem hran kolmých ke stěně ABFE. + Sestrojte skutečné velikosti úseček KC, KB a KL.
Bonus
+ Sestojte podstavu pravidelného čtyřbokého jehlanu, který má stejný objem jako krychle z předchozí úlohy a jehož výška je shodná s tělesovou úhlopříčkou této krychle.