MA0007 I 19. června 2020 | str. 1
Každý úkol (označen +) je hodnocen 6 body; celkem můžete získat 54 bodů (+ bonusy). K ústní zkoušce je potřeba alespoň polovina.
Konstrukce doprovoďte stručným komentářem tak, aby bylo zřejmé pořadí a hlavně korektnost vašich úvah. U dotýkajících se objektů musí být zřejmá zejména konstrukce dotykových bodů.
1. Je dán čtverec ABC D a úsečka EF.
+ Sestrojte trojúhelník, jehož jedna strana je shodná s úsečkou EF a který má stejný obsah jako čtverec ABCD.
+ Svoji konstrukci zdůvodněte, tj. vysvětlete, na které poznatky se v jednotlivých krocích odkazujete.
2. Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem u vrcholu C a pata D výšky z bodu C. Symboly a, b a, c označují po řadě velikosti úseček BC, BD a AB.
+ Uspořádejte, příp. doplňte následující tvrzení tak, aby tvořila důkaz nějaké (dobře známé) geometrické věty; tuto větu zformulujte.
• a : b = c : a
• a2 = b ■ c
• trojúhelníky ABC a CBD jsou podobné
• trojúhelníky ABC a CBD mají po dvou shodné vnitřní úhly
MA0007 I 19. června 2020 | str. 2
3. Jsou dány kružnice a, b a přímka c. Kružnice a, b mají stejný průměr a přímka c se dotýká kružnice a v bodě C.
+ Zvolte (vhodně) kružnici T, která má střed v bodě C; sestrojte obrazy a, b, c vzhledem ke kruhové inverzi určené kružnicí T.
+ Určete počet všech kružnic, které se dotýkají a, b, c; aspoň tři takové kružnice sestrojte.
MA0007 I 19. června 2020 | str. 3
4. Je dán mnohoúhelník ABC D E takový, že body A,B,C,E jsou vrcholy obdélníku a bod D leží na ose úsečky AB. Projektivní transformace v rovině je dána obrazem A'B'C'E' obdélníku ABCE.
+ Sestrojte úběžnici (tj. obraz nevlastní přímky) a obraz bodu D.
5. + Vyjmenujte vlastnosti obecných projektivních zobrazení; popište základní projektivní zobrazení a jejich určující prvky; uveďte nějaké konkrétní příklady jejich užití.
MA0007 I 19. června 2020 | str. 4
6. Je dán rovnoběžný průmět krychle, jejíž stěna ABFE se zobrazuje nezkresleně. Dále jsou dány body K, L, M, a to tak, že K e BC, L e GH a M e AEHD.
+ Sestrojte řez krychle rovinou KLM.
+ Sestrojte skutečné vzdálenosti bodů K, L, M od bodu C.
Bonus
+ Sestrojte stín seříznutého hranolu z předchozí úlohy vržený z bodu F do roviny ABCD.