MA0007 I 7. července 2020 | str. 1
Každý úkol (označen +) je hodnocen 6 body; celkem můžete získat 54 bodů (+ bonusy). K ústní zkoušce je potřeba alespoň polovina.
Konstrukce doprovoďte stručným komentářem tak, aby bylo zřejmé pořadí a hlavně korektnost vašich úvah. U dotýkajících se objektů musí být zřejmá zejména konstrukce dotykových bodů.
1. Je dána úsečka AB, jejíž velikost představuje jednotku.
+ Sestrojte úsečky s velikostmi xi a x2 tak, aby platilo xi ■ x2 = 1 a xi + x2 = 3.
+ Svoji konstrukci zdůvodněte, tj. vysvětlete, na které poznatky se v jednotlivých krocích odkazujete.
2. Je dána kružnice, její vnitřní bod M a jím procházející dvě přímky; průsečíky těchto přímek s kružnicí jsou po obvodu označeny A, B, C a D. Symboly a, S, /i, v označují po řadě velikosti úhlů MAB, MDC, AMB, CMD.
+ Uspořádejte, příp. doplňte následující tvrzení tak, aby tvořila důkaz nějaké (dobře známé) geometrické věty; tuto větu zformulujte.
• a = S
• AM ■ CM = BM ■ DM
• AM : DM = BM : CM
• \x = v
• trojúhelníky ABM a DCM jsou podobné
MA0007 I 7. července 2020 | str. 2
3. Je dán bod C a kružnice a a b. Kružnice a, b mají stejný průměr a vzájemně se dotýkají v bodě T.
+ Zvolte (vhodně) kružnici T, která má střed v bodě T; sestrojte obrazy a, b, C vzhledem ke kruhové inverzi určené kružnicí T.
+ Určete počet všech kružnic, které se dotýkají a, b a prochází bodem C; všechny takové kružnice sestrojte.
MA0007 I 7. července 2020 | str. 3
4. Je dán mnohoúhelník ABC DE takový, že body A, B, C, i? jsou vrcholy obdélníku. Afinní transformace v rovině je dána obrazy A', B', C bodů A, B, C.
+ Rozhodněte, zda je tato transformace přímá či nepřímá; sestrojte obraz mnohoúhelníku ABC DE.
5. + Vyjmenujte vlastnosti obecných konformních zobrazení; popište základní konformní zobrazení a jejich určující prvky; uveďte nějaké konkrétní příklady jejich užití.
MA0007 I 7. července 2020 | str. 4
6. Je dán středový průmět krychle, jejíž stěna ABFE se zobrazuje ve skutečné velikosti. Dále jsou dány body I, J, K, a to tak, že I e GH, J e BCGF a K e AD.
+ Sestrojte řez krychle rovinou UK.
+ Sestrojte skutečné vzdálenosti bodů /, J, K od stěny ABFE.
Bonus
+ V předchozí úloze sestrojte horizont (tj. obraz nevlastní přímky roviny ABCD) a stín krychle do roviny ABCD ve směru přímky IJ.