MA0007 I 14. července 2020 | str. 1
Každý úkol (označen +) je hodnocen 6 body; celkem můžete získat 54 bodů (+ bonusy). K ústní zkoušce je potřeba alespoň polovina.
Konstrukce doprovoďte stručným komentářem tak, aby bylo zřejmé pořadí a hlavně korektnost vašich úvah. U dotýkajících se objektů musí být zřejmá zejména konstrukce dotykových bodů.
1. Je dána kružnice k a její sečna procházející bodem M; průsečíky jsou označeny B a C. + Sestrojte bod D na kružnici k, pro který platí MC ■ MB = MB2.
+ Svoji konstrukci zdůvodněte, tj. vysvětlete, na které poznatky se v jednotlivých krocích odkazujete.
k
2. Jsou dány rovnoběžníky ABEF a CBEF s body A, B, C, D ležícími na společné přímce. Symboly a, j3, 7, 5 označují po řadě velikosti úhlů FAC, EBD, FCA, EDB.
+ Uspořádejte, příp. doplňte následující tvrzení tak, aby tvořila důkaz nějaké (dobře známé) geometrické věty; tuto větu zformulujte.
• a = f3, 7 = S
• AF = BE
• obsah ABEF = obsah C DE F
• trojúhelníky AFC a BED jsou shodné
MA0007 I 14. července 2020 | str. 2
3. Jsou dány kružnice c, b a přímka a. Přímka a prochází středem kružnice b a kružnice c se dotýká a a b ve vyznačených bodech.
+ Zvolte (vhodně) kružnici T, která má střed v bodě S; sestrojte obrazy a, b, c vzhledem ke kruhové inverzi určené kružnicí T.
+ Určete počet všech kružnic, které se dotýkají a, b, c; všechny takové kružnice sestrojte.
MA0007 I 14. července 2020 | str. 3
4. Jsou dány body tak, že úsečky AB, CD, EF, A'B' a CD' jsou navzájem rovnoběžné a navíc úsečky AB a CD jsou shodné. Projektivní transformace v rovině je dána obrazy A', B', C, D' bodů A, B, C, D.
+ Sestrojte úběžnici (tj. obraz nevlastní přímky) a obraz úsečky EF.
5. + Vyjmenujte vlastnosti obecných afinních zobrazení; popište základní afinní zobrazení a jejich určující prvky; uveďte nějaké konkrétní příklady jejich užití.
MA0007 I 14. července 2020 | str. 4
6. Je dán rovnoběžný průmět pravidelného čtyřbokého jehlanu, jehož vrcholová rovina LNP se zobrazuje nezkresleně. Dále jsou dány body Q, R, S, a to tak, že Q e MN, R e OP a S1 e LMP.
+ Sestrojte řez jehlanu rovinou QRS.
+ Sestrojte skutečné velikosti úseček NM, NQ a NR.
p
M
Bonus
+ Sestrojte řez jehlanu rovinou, která prochází bodem Q a která rozděluje jehlan na dvě části se stejnými objemy.