MA0007 I 5. srpna 2020 | str. 1
Každý úkol (označen +) je hodnocen 6 body; celkem můžete získat 54 bodů (+ bonusy). K ústní zkoušce je potřeba alespoň polovina.
Konstrukce doprovoďte stručným komentářem tak, aby bylo zřejmé pořadí a hlavně korektnost vašich úvah. U dotýkajících se objektů musí být zřejmá zejména konstrukce dotykových bodů.
1. Je dán pravidelný pětiúhelník ABC DE.
+ Sestrojte obdélník, jehož jedna strana je shodná s úsečkou AB a který má stejný obsah jako pětiúhelník
ABCDE.
+ Svoji konstrukci zdůvodněte, tj. vysvětlete, na které poznatky se v jednotlivých krocích odkazujete.
D
2. Je dán ostroúhlý trojúhelník ABC a pata D výšky z vrcholu C. Symboly a, b, c, d, e, / označují po řadě velikosti úseček BC, AC, AB, BD, AD, CD.
+ Uspořádejte, příp. doplňte následující tvrzení tak, aby tvořila důkaz nějaké (dobře známé) geometrické věty; tuto větu zformulujte.
• b2 = c2 + a2 - 2cd
• b2 = e2 + f2
• e = c — d
• f2 = a2-d2
• trojúhelníky ADC a BDC jsou pravoúhlé
MA0007 I 5. srpna 2020 | str. 2
3. Jsou dány kružnice a, b, c. Kružnice a, c mají stejný průměr, kružnice a, b se dotýkají v bodě G a kružnice b, c se dotýkají v bodě H.
+ Zvolte (vhodně) kružnici T, která má střed v bodě G; sestrojte obrazy a, b, c vzhledem ke kruhové inverzi určené kružnicí T.
+ Určete počet všech kružnic, které se dotýkají a, b, c; všechny takové kružnice sestrojte.
MA0007 I 5. srpna 2020 | str. 3
4. Body A', B', C, D' jsou obrazy vrcholů pravidelného pětiúhelníku ABCDE vzhledem k nějakému projektivnímu zobrazení.
+ Sestrojte úběžnici (tj. obraz nevlastní přímky) a obraz bodu E.
5. + Vyjmenujte vlastnosti obecných ekviafinních zobrazení; popište základní ekviafinní zobrazení a jejich určující prvky; uveďte nějaké konkrétní příklady jejich užití.
MA0007 I 5. srpna 2020 | str. 4
6. Je dán rovnoběžný průmět krychle, jejíž stěna ABFE se zobrazuje jako čtverec. Dále jsou dány body K, L, M, a to tak, že K e BC, L e GH a M e ABFE.
+ Sestrojte řez krychle rovinou KLM.
+ Sestrojte skutečné vzdálenosti bodů K, L, M od přímky BF.
H G
Bonus
+ Sestrojte podstavu pravidelného čtyřbokého jehlanu, jehož objem je stejný jako objem krychle z předchozí úlohy a jehož výška se shoduje s tělesovou úhlopříčkou této krychle.