MA0007 I 13. srpna 2020 | str. 1
Každý úkol (označen +) je hodnocen 6 body; celkem můžete získat 54 bodů (+ bonusy). K ústní zkoušce je potřeba alespoň polovina.
Konstrukce doprovoďte stručným komentářem tak, aby bylo zřejmé pořadí a hlavně korektnost vašich úvah. U dotýkajících se objektů musí být zřejmá zejména konstrukce dotykových bodů.
1. Je dána úsečka AB, jejíž velikost představuje jednotku.
+ Sestrojte úsečku s velikostí x tak, aby platilo x ■ (x + 1) = 1.
+ Svoji konstrukci zdůvodněte, tj. vysvětlete, na které poznatky se v jednotlivých krocích odkazujete.
2. Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem u vrcholu C a pata D výšky z bodu C. Symboly a, /?, 7 a S označují po řadě velikosti úhlů CAB, CBA, ACD a BCD.
+ Uspořádejte, příp. doplňte následující tvrzení tak, aby tvořila důkaz nějaké (dobře známé) geometrické věty; tuto větu zformulujte.
• AD : DC = CD : DB
• AD ■ DB = CD2
• a + 7 = 7 + 5 = 5 + /3
• a = S, j3 = 7
• trojúhelníky ADC a C DB jsou podobné
MA0007 I 13. srpna 2020 | str. 2
3. Jsou dány kružnice a, b, c. Kružnice se navzájem dotýkají v bodech T, U, V, přičemž U je středem kružnice c.
+ Zvolte (vhodně) kružnici T, která má střed v bodě V; sestrojte obrazy a, b, c vzhledem ke kruhové inverzi určené kružnicí T.
+ Určete počet všech kružnic, které se dotýkají a, b, c; všechny takové kružnice sestrojte.
MA0007 I 13. srpna 2020 | str. 3
4. Je dán mnohoúhelník ABC DE takový, že body A, B, C, i? jsou vrcholy obdélníku. Afinní transformace v rovině je dána obrazy A', B', C bodů A, B, C.
+ Rozhodněte, zda je tato transformace přímá či nepřímá; sestrojte obraz mnohoúhelníku ABC DE.
5. + Vyjmenujte vlastnosti obecných projektivních zobrazení; popište základní projektivní zobrazení a jejich určující prvky; uveďte nějaké konkrétní příklady jejich užití.
MA0007 I 13. srpna 2020 | str. 4
6. Je dán středový průmět krychle, jejíž stěna ABFE se zobrazuje ve skutečné velikosti. Dále jsou dány body K a L, a to tak, že K e CD a L e EFGH.
+ Sestrojte řez krychle rovinou určenou body K, L a směrem hrany AD. + Sestrojte skutečné vzdálenosti bodů A, D, L od bodu K.
Bonus
+ Sestrojte úsečky, jejichž velikosti jsou ve stejném poměru jako objemy částí krychle určené řezem v předchozí úloze.