MA0007 I 4. září 2020 | str. 1
Každý úkol (označen +) je hodnocen 6 body; celkem můžete získat 54 bodů (+ bonusy). K ústní zkoušce je potřeba alespoň polovina.
Konstrukce doprovoďte stručným komentářem tak, aby bylo zřejmé pořadí a hlavně korektnost vašich úvah. U dotýkajících se objektů musí být zřejmá zejména konstrukce dotykových bodů.
1. Je dán rovnoběžník ABC D a úsečka EF.
+ Sestrojte obdélník, jehož jedna strana je shodná s úsečkou E F a který má stejný obsah jako rovnoběžník ABCD.
+ Svoji konstrukci zdůvodněte, tj. vysvětlete, na které poznatky se v jednotlivých krocích odkazujete.
D C
F
2. Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem u vrcholu C a pata D výšky z bodu C. Symboly a, b, c označují po řadě velikosti úseček BC, AC, AB a symboly o, p, q označují po řadě obsahy trojúhelníků BCD, ACD, ABC.
+ Uspořádejte, příp. doplňte následující tvrzení tak, aby tvořila důkaz nějaké (dobře známé) geometrické věty; tuto větu zformulujte.
• a2 + b2 = c2
• o : a = p : b = q : c
• o + p = q
• trojúhelníky BCD, ACD a ABC jsou navzájem podobné
MA0007 I 4. září 2020 | str. 2
3. Jsou dány kružnice a, b a přímka c. Střed kružnice a leží na kružnici b, střed kružnice b leží na kružnici a a spojnice středů kružnic a, b je rovnoběžná s přímkou c.
+ Zvolte (vhodně) kružnici T, která má střed v některém ze společných bodů kružnic a, b; sestrojte obrazy a,b,c vzhledem ke kruhové inverzi určené kružnicí T.
+ Určete počet všech kružnic, které se dotýkají a, b, c; všechny takové kružnice sestrojte.
MA0007 I 4. září 2020 | str. 3
4. Body A', B', C, D' jsou obrazy vrcholů pravidelného šestiúhelníku ABCDEF vzhledem k nějakému projektivnímu zobrazení.
+ Sestrojte obrazy zbylých vrcholů tohoto šestiúhelníku.
5. + Vyjmenujte vlastnosti obecných podobných zobrazení; popište základní podobná zobrazení a jejich určující prvky; uveďte nějaké konkrétní příklady jejich užití.
MA0007 I 4. září 2020 | str. 4
6. Je dán rovnoběžný průmět pravidelného čtyřbokého hranolu s podstavami ABCD a EFGH, jehož úhlopříčná rovina ACGE se zobrazuje nezkresleně. Dále jsou dány body Q, R, S, a to tak, že Q e BC, R e DH a, S je středem stěny ABFE.
+ Sestrojte řez hranolu rovinou QRS.
+ Sestrojte skutečné velikosti úseček BC, CQ, QR.
Bonus
+ Sestrojte stín seříznutého hranolu z předchozí úlohy vržený z bodu F do roviny ABCD.