v r fakulta elektrotechniky a komunikačních technologii vysoké učení technické v brně MATEMATIKA 3 (ZKRÁCENA CELOOBRAZOVKOVÁ VERZE UČEBNÍHO TEXTU) Autoři textu: Mgr. Irena Hlavičková, Ph.D. RNDr. Michal Novák, Ph.D. Květen 2014 Komplexní inovace studijních programů a zvyšování kvality výuky na FEKT VUT v Brně OP VK CZ.1.07/2.2.00/28.0193 evropský SOCialni MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, fond vCR EVROPSKÁ UNIE mládeže a tělový chov r INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ i OP Vzdelávaní pra kankuronce-BcIiD-pnost Matematika 3 (zkrácená celoobrazovková verze učebního textu) I. Hlavičková, M. Novák Ústav matematiky FEKT VUT hlavicka@feec.vutbr.cz novakm@feec.vutbr.cz (2014) I. Hlavičková, M. Novák Matematika 3 Úvod Učební text, který nyní začínáte studovat, slouží pro prvotní seznámení s předmětem Matematika 3. Po jeho prostudování byste měli mít v hrubých rysech představu o tom, jaká témata a problémy jsou v předmětu studovány, proč se jimi zabýváme a jakým způsobem k jejich řešení přistupujeme. Tento text nenahrazuje doporučenou literaturu k předmětu. Mnohé matematické pojmy studované v předmětu Matematika 3 jsou zde jen naznačeny, mnohé nejsou ilustrovány příklady. Některé z příkladů jsou uvedeny jen ve formě zadání bez řešení. Naší motivací bylo poskytnout učební pomůcku zejména studentům, kteří nechtějí nebo nemohou navštěvovat přímou výuku, resp. těm, kteří v plné verzi učebního textu s obtížemi hledají „to podstatné". Zde mohou „to podstatné" nalézt ve zhuštěné formě - ovšem pak se musejí obrátit k plné verzi učebního textu, protože tento text nemůže a ani nechce sloužit jako jediný zdroj informací o předmětu. Na to je příliš stručný a heslovitý. I. Hlavičková, M. Novák Matematika 3 Úvod Tento učební text není zkrácenou verzí učebního textu B. Fajmon, I. Hlavičková, M. Novák, Matematika 3 z roku 2013. Je jím inspirován, používá jeho terminologii, v zásadě dodržuje jeho strukturu výkladu, ale vzhledem k omezenému prostoru a jinému účelu je nutné jej chápat jako zcela odlišný text. I. Hlavičková, M. Novák Matematika 3 Doplňkové elektronické zdroje POWEHED/BY mapleNF Java Součástí tohoto učebního textu jsou odkazy na tzv. maplety, tj. programy vytvořené v prostředí Maple. Tyto odkazy jsou v textu zvýrazněny barvou, příp. uvozeny slovem maplet. Maplety ke svému běhu nevyžadují software Maple - je však nutné mít na klientském počítači nainstalováno prostředí Java a nastavenou vhodnou úroveň zabezpečení prohlížeče i prostředí Java. Po kliknutí na odkaz mapletu se v závislosti na softwarovém prostředí klientského počítače zobrazí různá hlášení o zabezpečení všechny dialogy je třeba povolit a spouštění požadovaných prvků neblokovat. □ - = I. Hlavičková, M. Novák Matematika 3 Doplňkové elektronické zdroje A MATLAB Součástí tohoto učebního textu jsou odkazy na spustitelné soubory připravené v prostředí matlab. Před spuštěním těchto souborů je nutné nainstalovat matlab Compiler Runtime ve verzi R2013a, 32-bit pro Windows (400 MB). Podrobné informace o matlab Compiler Runtime získáte v nápovědě na webu firmy Mathworks. I. Hlavičková, M. Novák Matematika 3 Doplňkové elektronické zdroje Součástí tohoto učebního textu jsou animace, resp. prvky 3D grafiky. Pro korektní zobrazení těchto multimediálních prvků a práci s nimi je nutné správně nastavit zabezpečení prohlížeče PDF souborů, a to zejména na záložkách typu 3D a multimédia, Důvěryhodnost multimedií (starší), Multimédia (starší). Vlastnosti zobrazení těchto prvků lze ovlivnit pomocí položek jejich kontextového menu, příp. pomocí práce s myší nebo jiným polohovacím zařízením. I. Hlavičková, M. Novák Matematika 3 Numerická matematika Úvod do numerických metod Matematika 3 □ S1 Úvod do numerických metod Numerická matematika bsah Q Numerická matematika • Typy úloh v INM • Problémy • Používání matematického softwaru • „Logika" numerických metod • Základní terminologie □ t3 Úvod do numerických metod Typy úloh v INM Problémy Numerická matematika Používání matematického softwaru „Logika" numerických metod Základní terminologie Numerická matematika Numerická matematika je praktický nástroj pro řešení problémů inženýrské praxe. Úvod do numerických metod Typy úloh v INM Problémy Numerická matematika Používání matematického softwaru „Logika" numerických metod Základní terminologie Example 7T 2 Integrál / cosxdx vypočteme pomocí primitivní funkce. o 2 7T b 2 Dostáváme /cosxdx = [sinx]02 =1 -0 = 1. Integrál / e~x dx 0 a pomocí primitivní funkce vypočítat nelze (zkuste si sami v Maple). Co budeme dělat v situaci, kdy je požadavkem určit / e~x dx? 3 Úvod do numerických metod Typy úloh v INM Problémy Numerická matematika Používání matematického softwaru „Logika" numerických metod Základní terminologie r Example Najděte řešení soustavy rovnic: 0,1 x1 + 150x2 - 25,4x3 + x4 = 125,7 23x! - 0,5x2 + 22,5x3 = 45 1500^ - 0,8x2 + 2,9x3 + 12x4 = 1514,1 9,2x1 + 12,3x2 - 5,3x3 - 0,2x4 = 16 Víme, že použití Gaussovy eliminace i Cramerova pravidla je v tomto případě náročné. Co budeme dělat v situaci, kdy budeme mít soustavu 100 x 100 s podobnými koeficienty? Úvod do numerických metod Typy úloh v INM Problémy Numerická matematika Používání matematického softwaru „Logika" numerických metod Základní terminologie Numerická matematika Example Je dána funkce f (x), na níž leží body [2; 4], [3,5; 7], [4,9; 8.2], [5,7; 6,9]. Více o této funkci nevíme. Určete J45 f(x)dx a zjistěte, zda v bodě x = 4,7 funkce f (x) roste nebo klesá.__ ??? Úvod do numerických metod Numerická matematika Typy úloh v INM Problémy Používání matematického softwaru „Logika" numerických metod Základní terminologie A n Um lei ri 12 § řešení Přesné řešení získané pomocí postupů, které jste dosud poznali (řešení rovnic, derivování, integrování pomocí primitivní funkce apod.) se nazývá analytické, resp. klasické. Matematické úlohy lze řešit i jinak - pomocí různých numerických metod. Tak lze vyřešit i „neřešitelné" úlohy. Výsledek získaný numericky není přesný ale pouze přibližný. Úvod do numerických metod Typy úloh v INM Problémy Numerická matematika Používání matematického softwaru „Logika" numerických metod Základní terminologie bsah Q Numerická matematika • Typy úloh v INM • Problémy • Používání matematického softwaru • „Logika" numerických metod • Základní terminologie □ t3 Úvod do numerických metod Typy úloh v INM Typy úloh v INM Problémy Numerická matematika Používání matematického softwaru „Logika" numerických metod Základní terminologie V INM se budeme numericky řešit následující typy úloh: o Nalezněte řešení soustav lineárních rovnic. • Nalezněte řešení nelineárních rovnic (jedné rovnice i soustav). • Najděte přibližné vyjádření funkce (buď danou funkci nahraďte jinou, jednodušší, nebo danými body proložte vhodnou funkci). • Zderivujte funkci zadanou body, které na ní leží (funkční předpis není známý). • Vypočtěte určitý integrál z funkce (např. viz y = e*2). • Najděte řešení diferenciální rovnice (prozatím neznámý pojem). Úvod do numerických metod Typy úloh v INM Problémy Numerická matematika Používání matematického softwaru „Logika" numerických metod Základní terminologie bsah Q Numerická matematika • Typy úloh v INM • Problémy • Používání matematického softwaru • „Logika" numerických metod • Základní terminologie □ t3 Úvod do numerických metod Numerická matematika Typy úloh v INM Problémy Používání matematického softwaru „Logika" numerických metod nákladní terminoloaie Je dán reálný technický problém. O Problém vyjádříme v řeči matematiky. O Rozhodneme, zda matematickou úlohu budeme řešit analyticky nebo numericky (často si lze vybrat). O Zvolíme vhodný způsob řešení, tj. numerickou metodu. O Zapíšeme matematickou úlohu do řeči zvolené numerické metody, tj. algoritmu. Q Algoritmus probíhá, ve vhodnou chvíli jej ukončíme. O Se znalostí reálného problému vhodně interpretujeme získané výsledky. V INM budeme dělat kroky 3, 4, 5 a částečně 6. Řešit úlohu numericky znamená více než jen provést kro^,5J Úvod do numerických metod Numerická matematika Typy úloh v INM Problémy Používání matematického softwaru „Logika" numerických metod, !ákladní terminoloaie V každém z výše uvedených kroků se dopouštíme nepresností. Úvod do numerických metod Numerická matematika Typy chyb Typy úloh v INM Problémy Používání matematického softwaru „Logika" numerických metod Základní terminologie O Problém nikdy nevyjádříme v řeči matematiky přesně (platí i pro interpretaci výsledků). O Numerický způsob řešení je lákavější (protože algoritmizovatelný a méně pracný), ale nemusí být vhodnejší. O I sebevhodnější numerická metoda je nepřesným zápisem nepřesně zapsaného reálného problému. O Nepřesný zápis konstant a dalších údajů. 0 V algoritmu se nutně dopouštíme celé řady zaokrouhlovacích chyb, o okamžiku ukončení algoritmu rozhodujeme my. O Problém stability úlohy a algoritmu. Úvod do numerických metod Numerická matematika Typy úloh v INM Problémy Používání matematického softwaru „Logika" numerických metod, !ákladní terminoloaie Chyby se mohou kumulovat nebo vyrušit. Při slepém dosazování můžeme dostat naprosto libovolný výsledek (a nemusíme to poznat). Úvod do numerických metod Typy úloh v INM Problémy Numerická matematika Používání matematického softwaru „Logika" numerických metod Základní terminologie Potřebné znalosti a dovednosti O Znát povahu reálného problému a vědět, jaké výsledky jsou možné, pravděpodobné apod. Umět vyjádřit reálný problém matematicky a interpretovat získané výsledky. Q Znát výhody a nevýhody jednotlivých numerických metod a omezení jejich použitelnosti. O Mít rozhled v matematice (vědět, jak obtížné jsou úkony, které daná numerická metoda vyžaduje) a „vidět několik kroků dopředu". O Být si vědom nedokonalosti numerických metod a omezení použitého softwaru. • Při ručním počítání přesně počítat na kalkulačce.. -= t Úvod do numerických metod Typy úloh v INM Problémy Numerická matematika Používání matematického softwaru „Logika" numerických metod Základní terminologie bsah Q Numerická matematika • Typy úloh v INM • Problémy • Používání matematického softwaru • „Logika" numerických metod • Základní terminologie □ t3 Úvod do numerických metod Typy úloh v INM Problémy Numerická matematika Používání matematického softwaru „Logika" numerických metod Základní terminologie Matematický software je pouze prostředek k usnadnění výpočtů. Uživatel musí vždy vědět, • který software zvolit, • jak připravit vstupní údaje, • jak na základě zkušenosti nebo relevantních dat odhadnout parametry úlohy, počáteční aproximace apod. • jaký zvolit postup řešení, • jaké zvolit příkazy (zdůvodnit, proč právě tyto a ne jiné) • jaká jsou rizika a omezení zvoleného postupu a zvolených příkazů; znát jejich volitelné parametry • atd. atd. • jak interpretovat výstup matematického programu včetně různých nestandardních hlášení a chyb < □ ► «fl ► «i ► < t Úvod do numerických metod Typy úloh v INM Problémy Numerická matematika Používání matematického softwaru „Logika" numerických metod Základní terminologie Matematický software Example oo oo oo Určete součet řad £ h E E w- n=1 n=1 n=1 Odpovědi získané softwarem Maple jsou po řadě: O oo (součet nekonečno nebo řadu nelze sečíst?) 6 ® C(3) (C je Riemannova zeta funkce) Úvod do numerických metod Typy úloh v INM Problémy Numerická matematika Používání matematického softwaru „Logika" numerických metod Základní terminologie Matematický software - problémy s vykreslováním grafů Example Zkuste si sami pomocí svého „oblíbeného" softwaru vykreslit grafy následujících funkcí: f(x) = - 2\/3^ a ihned poté g(x) = 2\/3^ obě např. na intervalu (0,2 • h(x) = In (tan V1 x) sin | na vhodném intervalu v situaci kdy hledáte nejmenší kladné řešení rovnice h(x) = 0. Další ukázky najdete v plné verzi skript. Úvod do numerických metod Typy úloh v INM Problémy Numerická matematika Používání matematického softwaru „Logika" numerických metod Základní terminologie bsah Q Numerická matematika • Typy úloh v INM • Problémy • Používání matematického softwaru • „Logika" numerických metod • Základní terminologie □ t3 Úvod do numerických metod Numerická matematika Typy úloh v INM Problémy Používání matematického softwaru „Logika" numerických metod nákladní terminoloaie ódami Při numerickém řešení typových úloh (soustava lineárních rovnic, nelineární rovnice, určitý integrál apod.) využíváme vlastností daných matematických objektů. b Např. víme, že geometrický význam zápisu / f(x)dx je obsah a nějaké plochy. Při numerickém řešení této úlohy tedy hledáme přibližné vyjádření obsahu plochy. Při tom můžeme využít různé strategie. Úvod do numerických metod Typy úloh v INM Problémy Numerická matematika Používání matematického softwaru „Logika" numerických metod Základní terminologie Co je „za" numerickými metodami Podobně řešit rovnici ex + sin(x) -3 = 0 znamená najít všechny průsečíky grafu funkce f(x) = ex + sin x - 3 s osou x. Může to také např. znamenat najít všechny průsečíky grafů funkcí ř-i (x) = ex a f2(x) = 3 - sin x. Tyto body lze najít různými způsoby (postupným zkracováním intervalu, kde leží, zpřesňováním jednoho původního odhadu podle nějakých pravidel apod.) Co strategie, to numerická metoda. Ne každá numerická metoda funguje za všech okolností. Úvod do numerických metod Typy úloh v INM Problémy Numerická matematika Používání matematického softwaru „Logika" numerických metod Základní terminologie bsah Q Numerická matematika • Typy úloh v INM • Problémy • Používání matematického softwaru • „Logika" numerických metod • Základní terminologie □ t3 Úvod do numerických metod Numerická matematika Typy úloh v INM Problémy Používání matematického softwaru „Logika" numerických metod Základní terminologie Základní terminologie • O numerické metodě, která v dané situaci vede k nalezení řešení, říkáme, že konverguje k přesnému řešení. • O numerické metodě, která v dané situaci nevede k nalezení řešení, říkáme, že diverguje. • Před použitím dané numerické metody musíme rozhodnout, zda v dané situaci bude konvergovat k přesnému řešení nebo ne. Ověříme tzv. podmínky konvergence. Úvod do numerických metod Formulace problému a označení Numerické řešení Problémy při praktické realizaci Teoretické zdůvodnění iteračních metod Numerické řešení soustav lineárních rovnic Matematika 3 Numerické řešení soustav lineárních rovnic Formulace problému a označení Numerické řešení Problémy při praktické realizaci Teoretické zdůvodnění iteračních metod ■3 sa h i Q Formulace problému a označení Q Numerické řešení • Iterační metody • Jacobiho iterační metoda • Gauss - Seidelova iterační metoda Q Problémy při praktické realizaci Q Teoretické zdůvodnění iteračních metod Numerické řešení soustav lineárních rovnic Formulace problému a označení Numerické řešení Problémy při praktické realizaci Teoretické zdůvodnění iteračních metod Formulace problému Najděte řešení soustavy n lineárních rovnic o n neznámých. Numerické řešení soustav lineárních rovnic Formulace problému a označení Numerické řešení Problémy při praktické realizaci Teoretické zdůvodnění iteračních metod • Zabýváme se pouze problémem, který může mít právě jedno řešení. • Nemáme zaručeno, že problém má právě jedno řešení. (zopakujte si příslušné partie z předmětu Matematika 1) • Nemusíme striktně ignorovat technická zadání vedoucí na soustavy m x n- pokud je lze upravit do tvaru n x n. Numerické řešení soustav lineárních rovnic Formulace problému a označení Numerické řešení Problémy při praktické realizaci Teoretické zdůvodnění iteračních metod • „Dlouhý" zápis soustavy n lineárních rovnic o n neznámých x-i, x2,..., xn\ anx1 + a12x2 + ... + a1nxn = b[ a2i X| + a22x2 + ... + a2nxn = Ď2 • • • ani *i + an2x2 + ... + annXn = bn • Maticový zápis Ax = b, kde A = (a,y), /,/ = 1,..., n, b = (jb1, Ď2,..., bn)T a x je vektor neznámých. Numerické řešení soustav lineárních rovnic Formulace problému a označení Numerické řešení Problémy při praktické realizaci Teoretické zdůvodnění iteračních metod Dosud známé vs. nový poľ iled Soustavy lineárních rovnic již umíte řešit (Gaussova eliminace, Cramerovo pravidlo). Tyto způsoby jsou dobře použitelné pro „malé" soustavy s „rozumnými" koeficienty. Matematickým zápisem reálných technických problémů však bývají „velké" soustavy (tisíce rovnic) s „nerozumnými" koeficienty. Pomocí známých metod sice získáme přesné řešení, avšak tyto metody jsou těžkopádné (Cramerovo pravidlo - počítání determinantů) a obtížně algoritmizovatelné. Navíc při nich hrozí riziko zaokrouhlovacích chyb (ukázka). Dosud jsme se nezabývali otázkou původu koeficientů (měření výsledky výpočtů, jejich přesnost apod.) Numerické řešení soustav lineárních rovnic Formulace problému a označení Numerické řešení Problémy při praktické realizaci Teoretické zdůvodnění iteračních metod Obsah Iterační metody Jacobiho iterační metoda Gauss - Seidelova iterační metoda Q Numerické řešení • Iterační metody • Jacobiho iterační metoda • Gauss - Seidelova iterační metoda ■ ■ j I V A ■ V ŕ I Numerické řešení soustav lineárních rovnic Formulace problému a označení Numerické řešení Problémy při praktické realizaci Teoretické zdůvodnění iteračních metod Iterační metody Jacobiho iterační metoda Gauss - Seidelova iterační metoda N lávi rh řešení • Osamostatněním členů s x, soustavu upravíme do tvaru x^ = -L^-a12x2-...-ainxn) ^11 x2 — -—(£>2 321*1 323x3 • • • — ^2nxn) &22 • • • Xn = -— (Ďn 3ni X-| - an2*2 • • • ~ &nn-\ xn-\) • Tím rovnice převedeme do tzv. iterační tvaru. • Z hodnot x,-, / = 1,..., n, na pravé straně rovnic budeme určovat hodnoty vlevo. Označování: = (x^)... x\f\ • Takto budeme postupovat do té doby, než dosáhneme zvolené přesnosti (musíme nejprve defjQpy^., ^ Numerické řešení soustav lineárních rovnic Formulace problému a označení Numerické řešení Problémy při praktické realizaci Teoretické zdůvodnění iteračních metod Iterační metody Jacobiho iterační metoda Gauss - Seidelova iterační metoda Volba počáteční aproximac Abychom mohli zahájit výpočet, potřebujeme znát tzv. počáteční aproximaci, tj. počáteční hodnoty x/5 / = 1,..., n. • Počáteční aproximaci většinou určujeme ze znalostí úlohy, jejímž je soustava rovnic zápisem. • Metody, které si budeme ukazovat, připouštějí libovolnou volbu počáteční aproximace. • Vzhledem k chybám při výpočtu (a mechanismu jejich šíření) volíme počáteční aproximaci tak, abychom prováděli co nejméně kroků zvolené numerické metody. Numerické řešení soustav lineárních rovnic Formulace problému a označení Numerické řešení Problémy při praktické realizaci Teoretické zdůvodnění iteračních metod Iterační metody Jacobiho iterační metoda Gauss - Seidelova iterační metoda Různé n u m iei ri icl ké r TI lei tod y Při dosazování x-\ = x2 = • • • xn = máme několik možností. Podle toho, kterou zvolíme, budeme mluvit buď o Jacobiho nebo Gauss-Seidelově metodě. Numerické řešení soustav lineárních rovnic do rovnic 1 (£>i - ^12^2 - ... - a^nxn) ■— (Ď2 - ^21*1 - a23^3 • • • - 32nXn) ——{bn — an\X\ — an2X2... - ann-\xn_\) t/7/7 Formulace problému a označení Numerické řešení Problémy při praktické realizaci Teoretické zdůvodnění iteračních metod Různé numerické metody Iterační metody Jacobiho iterační metoda Gauss - Seidelova iterační metoda Pokud bychom v /c-tém kroku nejprve vypočítali hodnoty vpravo (označme x^1^) a poté řekli, že X(*+1> = (1 -,)xW+^+1', kde u je vhodný parametr, mluvili bychom o tzv. relaxačních metodách. Těmi se zabývat nebudeme - v našem případě bude vždy u = 1. Numerické řešení soustav lineárních rovnic Formulace problému a označení Numerické řešení Problémy při praktické realizaci Teoretické zdůvodnění iteračních metod Obsah Iterační metody Jacobiho iterační metoda Gauss - Seidelova iterační metoda Q Numerické řešení • Iterační metody • Jacobiho iterační metoda • Gauss - Seidelova iterační metoda ■ ■ j I V A ■ V ŕ I Numerické řešení soustav lineárních rovnic Formulace problému a označení Numerické řešení Problémy při praktické realizaci Teoretické zdůvodnění iteračních metod Iterační metody Jacobiho iterační metoda Gauss - Seidelova iterační metoda Zvolíme libovolnou počáteční aproximaci. Pomocí r-té aproximace určíme r + 1 aproximaci. Dosazujeme do vztahů: x x, 1 au 1 322 (£>1 — a-\2X2 — ■ ■ ■ — ^nxn') (0 (Ď2 — 321 x\ — 323*3 ' • • • — a2nxn') (r) X, n 1 inn (bn — 3.n\ xj ^ — Bn2X2 1 ' ' ' ~ ^nn-] Xn-^) Výpočet ukončíme, jestliže |x[r) - x (r-1) < e, pro V/c g {1,n}, kde e je požadovaná přesnost. Numerické řešení soustav lineárních rovnic Formulace problému a označení Numerické řešení Problémy při praktické realizaci Teoretické zdůvodnění iteračních metod Iterační metody Jacobiho iterační metoda Gauss - Seidelova iterační metoda • Ze sady „starých hodnot" vypočteme sadu „nových hodnot". • Výpočet ukončíme, pokud jsou přírůstky hodnot „příliš malé". Numerické řešení soustav lineárních rovnic Formulace problému a označení Numerické řešení Problémy při praktické realizaci Teoretické zdůvodnění iteračních metod Iterační metody Jacobiho iterační metoda Gauss - Seidelova iterační metoda Theorem Je-li matice A ostré řádkové nebo sloupcové diagonálne dominantní, Jacobiho metoda konverguje pro libovolnou počáteční aproximaci. Vysvětlení pojmů o řádkově: |a,y| > Y |a,y| pro / = 1,..., n • sloupcově: \ajj\ > Y \aij\ pro / = 1,..., n /=1,/'/;' Numerické řešení soustav lineárních rovnic Formulace problému a označení Numerické řešení Problémy při praktické realizaci Teoretické zdůvodnění iteračních metod Obsah Iterační metody Jacobiho iterační metoda Gauss - Seidelova iterační metoda Q Numerické řešení • Iterační metody • Jacobiho iterační metoda • Gauss - Seidelova iterační metoda ■ ■ j I V A ■ V ŕ I Numerické řešení soustav lineárních rovnic Gauss Formulace problému a označení Numerické řešení Problémy při praktické realizaci Teoretické zdůvodnění iteračních metod Iterační metody Jacobiho iterační metoda Gauss - Seidelova iterační metoda Seidelova iterační metoda Zvolíme libovolnou počáteční aproximaci. Pomocí r-té aproximace určíme r + 1 aproximaci. Dosazujeme do vztahů: x x, 1 au 1 322 (£>1 — a-\2X2 — ■ ■ ■ — 3-\nxn') (0 (0 .(0 x, n 1 inn (bn — 5n-|XJ + ^ — Bn2X2 ^ 7 • • • + änn-J\xn^~-] 0 Výpočet ukončíme, jestliže |x[r) - x (r-1) < e, pro V/c g {1,..., n}, kde e je požadovaná přesnost. Numerické řešení soustav lineárních rovnic Gauss Formulace problému a označení Numerické řešení Problémy při praktické realizaci Teoretické zdůvodnění iteračních metod Iterační metody Jacobiho iterační metoda Gauss - Seidelova iterační metoda Seidelova iterační metoda „Nové hodnoty" používáme hned, jakmile je máme k dispozici. Výpočet ukončíme, pokud jsou přírůstky hodnot „příliš malé". Numerické řešení soustav lineárních rovnic Formulace problému a označeni ...... Iteracni metody Numerické reseni . x. . , ,. Jacobího iteracni metoda Problémy pn praktické realizaci _ 0 . , , „ , x , .. , - r.A « , . Gauss - Seidelova iteracni metoda Teoretické zdůvodněni iteracnich metod Srovnání vzorců obou metod Jacobiho iterační metoda O známe r-tou aproximaci O pomocí ní určíme r + 1 aproximace všech neznámých, přitom používáme vždy r-té hodnoty O známe r + 1 aproximaci Gauss - Seidelova iterační metoda • r + 1 hodnoty používáme ve výpočtu ihned poté, co je získáme Numerické řešení soustav lineárních rovnic Formulace problému a označení Numerické řešení Problémy při praktické realizaci Teoretické zdůvodnění iteračních metod Iterační metody Jacobiho iterační metoda Gauss - Seidelova iterační metoda Theorem Je-li matice A ostře řádkově nebo sloupcově diagonálně dominantní, Gauss - Seidelova metoda konverguje pro libovolnou počáteční aproximaci. • Stejná podmínka platí u Jacobiho metody. Numerické řešení soustav lineárních rovnic Formulace problému a označeni ...... Iterační metody Numerické reseni . x. . , ,. Jacobiho iterační metoda Problémy pn praktické realizaci _ 0 . , , „ , x , .. , - r.A « , . Gauss - Seidelova iterační metoda Teoretické zdůvodněni iteracnich metod Jak postupovat v prípade, kdy konvergence zaručena není? Pokud chceme mít zajištěnou konvergenci, lze u Gauss-Seidelovy metody soustavu vynásobit zleva maticí A7. Ax = b A7Ax = A7b Při použití Gauss-Seidelovy metody na tuto soustavu rovnic bude konvergence zaručena pro libovolný počátek (přitom není podstatné, zda je matice A7A ostře řádkově / sloupcově diagonálně dominantní nebo ne). Numerické řešení soustav lineárních rovnic Formulace problému a označeni ...... Iterační metody Numerické reseni . x. . , ,. Jacobiho iterační metoda Problémy pn praktické realizaci _ 0 . , , „ , x , .. , - r.A « , . Gauss - Seidelova iterační metoda Teoretické zdůvodněni iteracnich metod Jak postupovat v prípade, kdy konvergence zaručena není? Podmínka: Matice A musí být regulární. Problém /Velmi často se zvýší počet kroků nutných k dosažení zadané přesnosti. Numerické řešení soustav lineárních rovnic Formulace problému a označení Numerické řešení Problémy při praktické realizaci Teoretické zdůvodnění iteračních metod Probléi y Při praktické realizaci výpočtu čelíme několika problémům. Example Vhodnou numerickou metodou nalezněte řešení soustavy rovnic 0,1 x1 + 150x2 - 25,4x3 + x4 = 125,7 23x! - 0,5x2 + 22,5x3 = 45 1500^ - 0,8x2 + 2,9x3 + 12x4 = 1514,1 9,2x1 + 12,3x2 - 5,3x3 - 0,2x4 = 16 Pracujte s přesností £ = 0,01. □ - - Ji = Numerické řešení soustav lineárních rovnic Formulace problému a označení Numerické řešení Problémy při praktické realizaci Teoretické zdůvodnění iteračních metod Probléi Soustava z přechozího snímku je „malá". V reálných situacích může být její rozměr např. 100 x 100 nebo 1000 x 1000. O Jak ověřit, že má soustava právě jedno řešení? O Jak zvolit počáteční aproximaci? O Jak ověřit, že je soustava ostře řádkově / sloupcově diagonálně dominantní, resp. jak to zajistit? O Jak zajistit, abychom museli provádět co nejmenší počet kroků? Q Splnění ukončovací podmínky nemusí nutně znamenat, že jsme dosáhli zadané přesnosti. Numerické řešení soustav lineárních rovnic Jacobiho i Gauss-Seidelova metoda jsou příkladem aplikace Banachovy věty o pevném bodu. Numerické řešení soustav lineárních rovnic Formulace problému a označení Numerické řešení Problémy při praktické realizaci Teoretické zdůvodnění iteračních metod Definition Nechť X je metrický prostor. Řekneme, že zobrazení F : X X je kontraktivní, jestliže existuje a e (0,1) tak, že pro každé dva prvky x, y e X platí: d{F{x),F(y)) X kontraktivní zobrazení. Pak existuje právě jeden pevný bod x zobrazení F. Pro tento bod platí x = lim xn, kde {xn}^ je tzv. posloupnost postupných aproximací definovaná takto: • x0 g X je libovolný • x/c+1 = F(xk) prok = 1,2,... Numerické řešení soustav lineárních rovnic Formulace problému a označení Numerické řešení Problémy při praktické realizaci Teoretické zdůvodnění iteračních metod Souvislost s výše uvedenými metodami Jestliže např. u Jacobiho metody využíváme vztahy x x, 1 (r) au 1 322 {b2 - a2^x\r) - a23^,;... - a2nxn') (0 .(0 x 1 (Ďn — 3ni x{ — &n2X2 ' ■ ■ ■ ~ &nn-1 Xnl-\) (r) n 1/7/7 hledáme pevný bod zobrazení F(x) = Cjx + d. Numerické řešení soustav lineárních rovnic Formulace problému a označení Numerické řešení Problémy při praktické realizaci Teoretické zdůvodnění iteračních metod Sol jví isl losi t s výše l jved er mi metodami Množina všech čtvercových matic s vhodně zvolenou „normou" je úplným metrickým prostorem. Přitom zobrazení F(x) = Cjx + d je kontraktivní za předpokladu, že tato „vhodná norma" je menší než 1. To platí mj. v případě, kdy je původní matice A ostře řádkově nebo sloupcově diagonálně dominantní. Numerické řešení soustav lineárních rovnic Před tím, než začnete řešit jakékoli příklady, si pročtěte plnou verzi učebního textu! Numerické řešení soustav lineárních rovnic Pomocí následujících mapletů si můžete usnadnit některé dílčí výpočty, zkontrolovat jejich správnost, případně si připomenout teoretické poznatky potřebné pro aplikaci numerických metod probíraných v této kapitole. O Výpočet determinantu O Analytické řešení soustavy lineárních rovnic Q Násobení matic Numerické řešení soustav lineárních rovnic Příklady pro samostatnou práci jsou uvedeny v samostatné sbírce příkladů. Kromě nich můžete pro svou samostatnou práci používat také naše doplňkové elektronické zdroje. Před spuštěním tohoto souboru je nutné nainstalovat Matlab Compiler Runtime ve verzi R2013a, 32-bit pro Windows (400 MB). Podrobné informace o Matlab Compiler Runtime získáte v nápovědě na webu firmy Mathworks. Nezapomínejte, že tyto aplikace nemohou (a ani to nedělají!) postihnout všechny nuance probírané látky! O Numerické metody řešení soustav lineárních rovnic Numerické řešení soustav lineárních rovnic Príloha Procvičování látky Příklady pro samostatnou i práci Při řešení následujících příkladů zkuste aplikovat různé strategie řešení. Všímejte si, jaká je jejich časová náročnost. Můžete využívat výpočetní techniku. Sami zvažte, nakolik při řešení těchto zadání využijete numerické metody, a jakou roli při řešení hrají teoretické poznatky získané v jiných předmětech. Numerické řešení soustav lineárních rovnic Example Označme L počet písmen Vašeho křestního jména, M počet písmen Vašeho příjmení a N ciferný součet Vašeho ID a vytvořme z těchto čísel vektory u = (/_, M, A/), v = (A/, M, /_), w = (M, A/). Chceme řešit rovnici au + bv + cw = /c, kde k = (1,1,1). Pň použití numerických metod pracujte s přesností £ = 0,01. Numerické řešení soustav lineárních rovnic Example Je dána soustava rovnic x + 2y + 3z = 1 6x + 5y + 4z = 3 ax + 4y + 6z = 5. Zvolte a = 2 nebo a = 5 tak, aby soustava měla právě jedno řešení (volbu zdůvodněte). Při použití numerických metod pracujte s přesností ^ = 0,01. Numerické řešení soustav lineárních rovnic Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody Numerické řešení jedné nelineární rovnice Matematika 3 Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody Q Formulace problému, označení a motivace 0 Separace kořenů Q Některé numerické metody • Dělení itervalu, na němž leží nějaké řešení • Newtonova metoda (metoda tečen) • Metoda prosté iterace Numerické řešení jedné nelineární rovnice F Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody Je dána reálná funkce f jedné reálné proměnné x jiného tvaru než f(x) = ax + b, kde a,beR. Najděte všechny body C e K, pro které platí, že f(() = 0. Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody Dosud známé vs. nový pohled Některé nelineární rovnice umíme řešit již ze střední školy (kvadratické, kubické, čtvrtého stupně, reciproké do stupně 9, resp. 10 včetně, logaritmické, exponenciální, goniometrické). Neumíme však řešit rovnice, kde se vyskytují současně funkce různých typů, např. ex + sin(x) = 1 nebo x3 + cos x = 3 nebo ln(x) + (x - 1 )2 + 2 = 0 apod. Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody Nelineární rovnice se vyskytují např. v různých optimalizačních úlohách. Máme-li najít minimum / maximum nějaké funkce f(x) (lokální / absolutní), musíme řešit úlohu ť(x) = 0. Tato rovnice bývá často „komplikovaného" tvaru. O f{x) = sin(x2 + 4x) Q f (x) = sin(x2 + 4x) + x2 □ S? Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody Example Najděte lokální extrémy funkce y(x) = sin (x2 + 4x). Zřejmě y'(x) = (2x + 4) cos (x2 + 4x). Body, ve kterých mohou nastávat extrémy, tedy můžeme v tomto případě určit na základě středoškolských znalostí, protože y'(x) = 0 pro x = -2 a dále pro body, kde cos (x2 + 4x) = 0, tj. tam, kde x2 + 4x = | + /ctt, kde k e Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody Example Najděte lokální extrémy funkce y(x) = sin (x2 + 4x) + x2. V tomto případě je y'(x) = (2x + 4) cos (x2 + 4x) + 2x a při řešení rovnice y'(x) = 0 již analyticky postupovat nemůžeme. Musíme tedy využít aparátu numerických metod. Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody Úlohu nelze řešit „rovnou". Musíme postupovat ve dvou krocích: O Zjistit kolik řešení zadaná rovnice má a kde tato řešení leží. tzv. (separace kořenů) Q Jakmile určíme vhodný interval, na němž leží nějaké řešení dané rovnice, začít toto řešení hledat. Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody Nalezení intervalu, kde leží nějaké řešení zadané rovnice, může být velmi obtížné. Použití softwaru je omezené - jak např. zadat rozsah pro vykreslování funkce? Example Příklad 3.3, příklad 3.4 z plné verze skript. Dále uvedeme dva nejjednodušší postupy, které lze pro separaci kořenů. I když je používáme často, jejich praktická použitelnost je omezená. Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody Theorem Je-li funkce f spojitá na intervalu (a, b) a platí-li f{a) • f{b) < 0, pak na intervalu (a, b) leží alespoň jeden kořen rovnice f{x) = 0. Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody • Jedná se o implikaci (jaký je závěr, pokud funkce spojitá není nebo pokud f (a) • f(b) < 0 neplatí?) • Předpoklad o spojitosti (jak ho ověříme?) • Přesný počet kořenů na daném intervalu takto neurčíme. Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody Při vhodném zadání lze úlohu přeformulovat: 10sin2x-x- 1 =0 ř(x) = 0 průsečík grafu f(x) s osou x 10sin2x = x + 1 ř1(x) = ř2(x) průsečík grafů U (x) a f2(x) Grafy funkcí ^ (x) a /^(x) umíme načrtnout od ruky. Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody ostupy • Znalost reálného technického problému, zkušenosti, diskuse nad zadáním (matematik řeší obecný matematický problém - obtížné; inženýr řeší konkrétní technické zadání -jednodušší, protože proměnné mohou nabývat jen některých předem odhadnutelných hodnot). • Znalost matematiky (např. ex + x6 = 0 nebo sin x - (x + 1 )2 + cos 2x = 4). • Výpočetní technika, grafická kalkulačka (s omezeními). Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody Při separaci kořenů je nutná kombinace znalostí a postupů. Zcela jistě využijete poznatky o vlastnostech elementárních funkcích ze střední školy a z 1. ročníku. Example Určete počet řešení rovnice y = in (tan V1 - x) sin - x a poté najděte to záporné řešení, které je nejblíže -75, a dále nejmenší kladné řešení. Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody Dělení itervalu, na němž leží nějaké řešení Newtonova metoda (metoda tečen) Metoda prosté iterace Q Některé numerické metody • Dělení itervalu, na němž leží nějaké řešení • Newtonova metoda (metoda tečen) • Metoda prosté iterace □ t3 Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Dělení itervalu, na němž leží nějaké řešení Separace kořenů Newtonova metoda (metoda tečen) Některé numerické metody Metoda prosté iterace Teoretické zdůvodnění Vycházíme z věty f (a) • f{b) < 0. Víme, že na nějakém intervalu leží alespoň jedno řešení rovnice f(x) = 0. Tento interval podle nějakých pravidel dělíme na menší části a zkoumáme, na které části je splněna podmínka věty o opačných znaméncích, tj. na které části intervalu leží alespoň jedno řešení. Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Dělení itervalu, na němž leží nějaké řešení Separace kořenů Newtonova metoda (metoda tečen) Některé numerické metody Metoda prosté iterace Metoda půlení intervalů (bisekce) Interval (a, b) dělíme na polovinu. a/c + bk xk = —2— Jestliže pro nějaké k e N platí bk - ak < 2e, je x/c řešení získané s danou přesností e. • Metoda konverguje vždy. • Metoda je jednoduchá. • Konvergence je pomalá. Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody Dělení itervalu, na němž leží nějaké řešení Newtonova metoda (metoda tečen) Metoda prosté iterace Metoda půlení intervalů (ar íimace) pracujeme s intervalem x Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody Dělení itervalu, na němž leží nějaké řešení Newtonova metoda (metoda tečen) Metoda prosté iterace Interval (a, b) dělíme na dvě obecně různé části. Spojíme body [a, f (ä)] a [b, f(b)]m, dělícím bodem intervalu je průsečík této úsečky s osou x. *k = k>k- jÉ^m) Výpočet zastavujeme, jestliže pro nějaké k e N platí \xk - X/c_1 I < s. • Metoda konverguje vždy. • Je náročnější na výpočet než metoda půlení interavalů. • Většinou konverguje rychleji než metoda půlení intervalů. Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody Dělení itervalu, na němž leží nějaké řešení Newtonova metoda (metoda tečen) Metoda prosté iterace Metoda regula falši (anima ce) Zvolíme interval, na kterém budeme hledat řešení Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody Dělení itervalu, na němž leží nějaké řešení Newtonova metoda (metoda tečen) Metoda prosté iterace Q Některé numerické metody 9 Dělení itervalu, na němž leží nějaké řešení • Newtonova metoda (metoda tečen) • Metoda prosté iterace Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Dělení itervalu, na němž leží nějaké řešení Separace kořenů Newtonova metoda (metoda tečen) Některé numerické metody Metoda prosté iterace Teoretické zdůvodnění Je dána rovnice f{x) = 0 a interval / = (a, b), na němž leží právě jedno řešení dané rovnice. Funkci f(x) v okolí bodu x0 g /, rozvineme do Taylorovy řady f{x) = f(xo) + r'(x0)(x - x0) + \f"{x0){x - x0)2 + ... a zanedbáme všechny členy s derivacemi vyšších řádů (funkci linearizujeme). Získáme ř(x) = ř(xo) + ř/(xo)(x-x0) a určíme řešení rovnice ř(xo) + ř/(xo)(x-x0) = 0, které označíme x-i. V okolí bodu x-i funkci ř(x) opět rozvineme do Taylorovy řady a celý postup opakujeme, z=i-= Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody Dělení itervalu, na němž leží nějaké řešení Newtonova metoda (metoda tečen) Metoda prosté iterace G eo rr íet ri c ký výzr íai m x0 = 4 x1 = 3.062233836 Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody Dělení itervalu, na němž leží nějaké řešení Newtonova metoda (metoda tečen) Metoda prosté iterace • Najdeme interval / = (a, b), na kterém leží právě jedno řešení rovnice f(x) = 0. • Zvolíme počáteční aproximaci x0 e / a ověříme podmínky konvergence. • Výpočet ukončíme, jestliže pro nějaké k e N platí \xk - X/c_1 < s. Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Dělení itervalu, na němž leží nějaké řešení Separace kořenů Newtonova metoda (metoda tečen) Některé numerické metody Metoda prosté iterace Konvergence vs. divergence Newtonova metoda může konvergovat i divergovat. Tato skutečnost závisí na tom, jak se funkce f(x) chová na intervalu (a, b), na němž hledáme řešení rovnice f(x) = 0. Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody Dělení itervalu, na němž leží nějaké řešení Newtonova metoda (metoda tečen) onvergovat... Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody Dělení itervalu, na němž leží nějaké řešení Newtonova metoda (metoda tečen) etoda oroste iterace y = f (x) Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody Dělení itervalu, na němž leží nějaké řešení Newtonova metoda (metoda tečen) Metoda prosté iterace Nechť je dána rovnice f(x) = 0 a interval I = (a, b), na němž leží právě jedno řešení této rovnice. Nechť jsou splněny následující podmínky: • funkce f(x) má na intervalu I spojitou první a druhou derivaci ť(x) a fřř(x), • na intervalu I je ť(x) ^Oa současně f"{x) nemění znaménko. Pak zvolíme-li počáteční aproximaci x0 e I tak, že platí ^ f(x0) • f"{xo) > 0, Newtonova metoda bude konvergovat. Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody Dělení itervalu, na němž leží nějaké řešení Newtonova metoda (metoda tečen) Metoda prosté iterace Pod n ní -in kyl kor wei er íce Je třeba ověřit všechny předpoklady! Samotná platnost podmínky f(x0) • f"(xo) > 0 konvergenci zaručit nemusí. Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody Dělení itervalu, na němž leží nějaké řešení Newtonova metoda (metoda tečen) Metoda prosté iterace • Metoda nemusí konvergovat. Konvergence / divergence závisí na chování funkce f(x) na intervalu /. • Ověřování podmínek konvergence je u složitějších rovnic často velmi komplikované. Často se proto ověřování podmínek konvergence vypouští. (Pozor: Je nutné znát důsledky a umět poznat, co je a co není hledané řešení!) o Metoda většinou konverguje nejrychleji z uvedených metod. Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody Dělení itervalu, na němž leží nějaké řešení Newtonova metoda (metoda tečen) Metoda prosté iterace Q Některé numerické metody Dělení itervalu, na němž leží nějaké řešení • Newtonova metoda (metoda tečen) • Metoda prosté iterace Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody Teoretické zdůvodnění Dělení itervalu, na němž leží nějaké řešení Newtonova metoda (metoda tečen) Metoda prosté iterace Rovnici f{x) = 0 upravíme na tvar x = g(x), uvážíme interval / = (a, b) a na zobrazení g : / / aplikujeme Banachovu větu o pevném bodu. Problémy O Vyjádření x = g (x) nemusí být jednoznačné. O Funkce g(x) a f(x) mohou mít odlišné definiční obory. O Pevný bod zobrazení g nemusí na intervalu / existovat. Z toho ale neplyne, že neexistuje řešení původní rovnice f{x) = 0. O atd. Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody Dělení itervalu, na němž leží nějaké řešení Newtonova metoda (metoda tečen) Example Metodou prosté iterace najděte libovolné řešení rovnice ex + 3sinx-2 = 0. Převedením rovnice do tvaru x = g(x) můžeme získat např. x = In (2 -3 sin x) Q x = arcsin (| - \tx) Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody Dělení itervalu, na němž leží nějaké řešení Newtonova metoda (metoda tečen) prosté iterace Rovnici f(x) = 0 upravíme na tvar x = g(x). Ověříme podmínky konvergence. Zvolíme počáteční aproximaci x0 e (a, b), tj. z intervalu, na němž leží alespoň jedno řešení rovnice f(x) = 0. x/c+1 = g(xk) Výpočet ukončíme, jestliže pro nějaké k e N platí \xk - X/c_1 < s. Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody Dělení itervalu, na němž leží nějaké řešení Newtonova metoda (metoda tečen) Metoda prosté iterace Jestliže definujeme metriku d předpisem d{x,y) = \x-y\ pro Vx,y g /, je dvojice (/, d) úplný metrický prostor. Abychom mohli použít Banachovu větu o pevném bodu, zobrazení g na intervalu / musí být kontrakce. To se však špatně ověřuje. Ověříme proto ekvivalentní podmínku. Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody Dělení itervalu, na němž leží nějaké řešení Newtonova metoda (metoda tečen) Metoda prosté iterace Theorem Nechť je dána funkce g : / /, kde I = (a, b). Nechť má funkce g na intervalu I derivaci a nechť existuje a e R tak, že platí max \gř(x)\ < a < 1. xel Pak na intervalu I existuje právě jeden pevný bod x zobrazení g. Zvolíme-li x0 e I libovolné, pak x = lim xn, kde x/c+1 = g(xk) pro /c = 1,2,.... Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Dělení itervalu, na němž leží nějaké řešení Separace kořenů Newtonova metoda (metoda tečen) Některé numerické metody Metoda prosté iterace Metoda prosté iterace může konvergovat... Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody Dělení itervalu, na němž leží nějaké řešení Newtonova metoda (metoda tečen) Metoda prosté iterace Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému, označení a motivace Separace kořenů Některé numerické metody Dělení itervalu, na němž leží nějaké řešení Newtonova metoda (metoda tečen) Metoda prosté iterace • Metoda nemusí konvergovat. Konvergence / divergence záleží na funkci g(x) ve vyjádření x = g(x). • Při ověřování podmínek konvergence musíme ověřit, že funkce g(x) má derivaci na daném intervalu /, a najít maximum této derivace na daném intervalu. To může být pracné. a Při volbě počáteční aproximace se musíme pohybovat uvnitř intervalu /. • Vlastní výpočet je snadný - hledáme pouze funkční hodnoty funkce g(x). Numerické řešení jedné nelineární rovnice u Príloha Procvičování látky Před tím, než začnete řešit jakékoli příklady, si pročtěte plnou verzi učebního textu! Numerické řešení jedné nelineární rovnice Príloha Procvičování látky Pomocí následujících mapletů si můžete usnadnit některé dílčí výpočty, zkontrolovat jejich správnost, případně si připomenout teoretické poznatky potřebné pro aplikaci numerických metod probíraných v této kapitole. O Výpočet funkčních hodnot 0 Grafy některých elementárních funkcí O Grafy funkcí Numerické řešení jedné nelineární rovnice Príloha Procvičování látky Příklady pro samostatnou práci Příklady pro samostatnou práci jsou uvedeny v samostatné sbírce příkladů. Kromě nich můžete pro svou samostatnou práci používat také naše doplňkové elektronické zdroje. Před spuštěním tohoto souboru je nutné nainstalovat Matlab Compiler Runtime ve verzi R2013a, 32-bit pro Windows (400 MB). Podrobné informace o Matlab Compiler Runtime získáte v nápovědě na webu firmy Mathworks. Nezapomínejte, že tyto aplikace nemohou (a ani to nedělají!) postihnout všechny nuance probírané látky! ^ Numerické metody řešení jedné nelineární rovnice Numerické řešení jedné nelineární rovnice Príloha Procvičování látky Příklady pro samostatnoi 11 Dráči Při řešení následujících příkladů zkuste aplikovat různé strategie řešení. Všímejte si, jaká je jejich časová náročnost. Můžete využívat výpočetní techniku. Sami zvažte, nakolik při řešení těchto zadání využijete numerické metody, a jakou roli při řešení hrají teoretické poznatky získané v jiných předmětech. Numerické řešení jedné nelineární rovnice Príloha Procvičování látky Příklady pro samostatnou práci Example Je dána rovnice 10sin(2x + 0.1) -x- 1 =0. Seřaďme její kladná řešení podle velikosti od nejmenšího po největší a označme je x0, x1, x2,..Libovolnou metodou s přesností s = 0,01 najděte x4 této posloupnosti. Numerické řešení jedné nelineární rovnice Príloha Procvičování látky Příklady pro samostatnou práci Example Jsou dány tyto dvě rovnice: x2 + 3 sin 2x - 4 = 0 a dále In 2x + 4x3 -2 = 0. Jedna z nich má na intervalu (2,3} řešení. Libovolnou metodou s přesností e = 0,01 ho najděte. Numerické řešení jedné nelineární rovnice Formulace problému a označení Nalezení vhodné počáteční aproximace Newtonova metoda Metoda prosté iterace r Numerické řešení soustav nelineárních rovnic Matematika 3 Numerické řešení soustav nelineárních rovnic Formulace problému a označení Nalezení vhodné počáteční aproximace Newtonova metoda Metoda prosté iterace Q Formulace problému a označení Q Nalezení vhodné počáteční aproximace Q Newtonova metoda Q Metoda prosté iterace Numerické řešení soustav nelineárních rovnic Formulace problému a označení Nalezení vhodné počáteční aproximace Newtonova metoda Metoda prosté iterace Najděte řešení soustavy n nelineárních rovnic o n neznámých. □ g ► < !■ 1 ► .11= oq.o Numerické řešení soustav nelineárních rovnic Formulace problému a označení Nalezení vhodné počáteční aproximace Newtonova metoda Metoda prosté iterace Numerické řešení soustav nelineárních rovnic Formulace problému a označení Nalezení vhodné počáteční aproximace Newtonova metoda Metoda prosté iterace • „Dlouhý" zápis soustavy n lineárních rovnic o n neznámých x-i, x2,..., xn: ři (*!,... x„) = 0 f2{x^...xn) = 0 • • • fn(Xi, . . . Xn) = 0 • Vektorový zápis F(x) = o, kde F = (ŕ-i,..., fn)1, x = (x1,..., xn)T je vektor neznámých a o je nulový vektor. Numerické řešení soustav nelineárních rovnic Formulace problému a označení Nalezení vhodné počáteční aproximace Newtonova metoda Metoda prosté iterace Dosud známé vs. nový pohled Ze střední školy umíte řešit soustavy s jednou kvadratickou a jednou lineární rovnicí, jejichž geometrická interpretace je hledání průsečíku přímky a kuželosečky. Již dříve jsme si ukázali metody na hledání řešení jedné nelineární rovnice. Nyní si ukážeme, jak podobným způsobem řešit soustavy nelineárních rovnic. Budeme modifikovat dvě z metod na řešení jedné nelineární rovnice. Numerické řešení soustav nelineárních rovnic Formulace problému a označení Nalezení vhodné počáteční aproximace Newtonova metoda Metoda prosté iterace Podobně jako v případě jedné nelineární rovnice nelze ani tuto úlohu řešit „rovnou". Opět musíme postupovat ve dvou krocích: O Zjistit kolik řešení zadaná soustava rovnic má a určit jejich přibližnou polohu. O V oblasti, kterou si určíme, hledat požadované řešení. Numerické řešení soustav nelineárních rovnic Formulace problému a označení Nalezení vhodné počáteční aproximace Newtonova metoda Metoda prosté iterace Určení oblasti, kde leží řešení Jedná se o poměrně složitou otázku. Zcela jistě nemůžeme v obecném případě využít postupy známé pro jednu nelineární rovnici. Můžeme vycházet ze zkušenosti, resp. zkoušet různé počáteční aproximace. V případě, že máme soustavu dvou nelineárních rovnic o dvou neznámých, je úloha podobně jako při separaci kořenů jedné nelineární rovnice výrazně jednodušší. Úloha je ekvivalentní hledání průsečíku dvou křivek v rovině. Tyto křivky můžeme (nechat) vykreslit. Jinými postupy se zabývat nebudeme - budeme řešit buď soustavy dvou rovnic o dvou neznámých nebo větší soustavy ale takové, u nichž bude počáteční aproximace zadána. Numerické řešení soustav nelineárních rovnic Formulace problému a označení Nalezení vhodné počáteční aproximace Newtonova metoda Metoda prosté iterace Jednoduchý příklad Example ] Určete oblast, kde leží řešení soustavy rovnic x2 + 2x + y2 - 6y = 6 4x2 - 32x + 9y2 - 72y = -64 Obě rovnice převedeme na úplný čtverec a pomocí středoškolských znalostí určíme, že máme za úkol najít průsečík kružnice a elipsy. Numerické řešení soustav nelineárních rovnic Formulace problému a označení Nalezení vhodné počáteční aproximace Newtonova metoda Metoda prosté iterace Počáteční aproximaci tedy můžeme volit např. = (0,7)7 resp. např. x(°) = (2,0)7". Numerické řešení soustav nelineárních rovnic Formulace problému a označení Nalezení vhodné počáteční aproximace Newtonova metoda Metoda prosté iterace Řešení soustavy ex+y + cos(x - y) = 0, ex y - sin(x + y) = 0, Numerické řešení soustav nelineárních rovnic Formulace problému a označení Nalezení vhodné počáteční aproximace Newtonova metoda Metoda prosté iterace Budeme modifikovat Newtonovu metodu pro jednu nelineární rovnici f(x) = 0. Připomeňme, že jsme používali vzorec */c+1 = Xk resp. jsme řešili rovnici f(xk) + ť{xk)(x - xk) = 0. Využijeme podobné myšlenky, ale musíme si uvědomit, že: • máme soustavu rovnic, nikoliv jednu rovnici, a musíme najít ekvivalent derivace ť(x) pro více neznámých. Numerické řešení soustav nelineárních rovnic Formulace problému a označení Nalezení vhodné počáteční aproximace Newtonova metoda Metoda prosté iterace Známe-li aproximaci xW, pak aproximaci x(/c+1) určíme ze vztahu x(*+1>=xM-(F'^^ Vzorec je analogií vzorce pro Newtonovu metodu pro jednu nelineární rovnici, přičemž • pracujeme nikoliv s čísly ale s maticemi a vektory, • výraz F7(xW) je matice (ne číslo), proto nemůže být ve jmenovateli zlomku; ve vzorci se vyskytuje inverzní matice (to je ale problém!). Numerické řešení soustav nelineárních rovnic Formulace problému a označení Nalezení vhodné počáteční aproximace Newtonova metoda Metoda prosté iterace Místo hodnot derivace f(Xk) v případě jedné nelineární rovnice pracujeme s maticí parciálních derivací F'(x^). ( ^L(xW) F'(xW) = dx df2 dx Ěíl dx2 8f2 dxn (x^) \ ,(XW) g(xw) dxn (xW) Hledáme hodnoty všech parciálních derivací v bodě, resp. vektoru, xW = (xf, ... ,x£)7. Numerické řešení soustav nelineárních rovnic Formulace problému a označení Nalezení vhodné počáteční aproximace Newtonova metoda Metoda prosté iterace Odvození vzorce (pokr.) Vzorec musíme upravit do vhodnějšího tvaru. x(*+i)=xW-(F'(x('t)))"1-F(xW) F'(xW) • x<*+1) = F'(xW) • xW - F(xW) F'(xW).(x(/í+1)-x(/c)) = -F(x(/f)) Označíme-li <$M = x^1) - xW = (s\k),.. .,6%))T, pak řešíme soustavu rovnic, jejíž maticový zápis je F'(XW). SW = -F(xW) Numerické řešení soustav nelineárních rovnic Formulace problému a označení Nalezení vhodné počáteční aproximace Newtonova metoda Metoda prosté iterace e Odhadneme počáteční aproximaci x(°). • Podmínky konvergence neověřujeme (ověřování přesahuje rámec předmětu). • Počítáme podle vzorce X(*+1)=XM+ÄW kde je řešením soustavy n lineárních rovnic o n neznámých F/(xW).áW = -F(xW) • Výpočet ukončíme, jestliže pro nějaké k e N platí Numerické řešení soustav nelineárních rovnic Formulace problému a označení Nalezení vhodné počáteční aproximace Newtonova metoda Metoda prosté iterace Probléi • Určení oblasti, kde leží řešení, tj. volba vhodné počáteční aproximace, je komplikované. • Musíme určit všechny parciální derivace a jejich hodnoty v příslušných bodech. • V každém kroku algoritmu řešíme soustavu n lineárních rovnic o n neznámých. Ta může mít žádné, právě jedno nebo nekonečně mnoho řešení. (Jak, tj. jakou metodou, budeme hledat její řešení? Najdeme přesné nebo jen přibližné řešení? Jak zaručíme konvergenci? Jak poznáme, že se vyskytl problém ?) • V průběhu odvozování vzorce jsme násobili inverzní maticí k matici F'(xM) - ta ale vůbec nemusí existovat. Numerické řešení soustav nelineárních rovnic Formulace problému a označení Nalezení vhodné počáteční aproximace Newtonova metoda Metoda prosté iterace Podobně jako u Newtonovy metody postupujeme analogicky jako v případu jedné rovnice. Soustavu F(x) = o upravíme na tvar x = G(x) kde G = (g-i,..., gn)T, což můžeme rozepsat jako (1) = g^{x^, x2,..., xn) *2 = 92^,X2,...,Xn) (2) Xn — 9n{X\ •> • • • •) xn) Numerické řešení soustav nelineárních rovnic Formulace problému a označení Nalezení vhodné počáteční aproximace Newtonova metoda Metoda prosté iterace Opět zvolíme počáteční aproximaci x(°) a počítáme posloupnost postupných aproximací z iteračního vztahu x(*+1> = G(xW) (3) Podobně jako v případě jedné rovnice musíme ověřit podmínky konvergence pro zvolený iterační tvar. Ověřujeme skutečnosti o řádkové nebo sloupcové normě matice, která popisuje chování parciálních derivací funkcí gh i = 1,..., n na oblasti, na které hledáme řešení soustavy rovnic. (podrobnosti viz plná verze skript) Numerické řešení soustav nelineárních rovnic Před tím, než začnete řešit jakékoli příklady, si pročtěte plnou verzi učebního textu! Numerické řešení soustav nelineárních rovnic Pomocí následujících mapletů si můžete usnadnit některé dílčí výpočty, zkontrolovat jejich správnost, případně si připomenout teoretické poznatky potřebné pro aplikaci numerických metod probíraných v této kapitole. Q Parciální derivace O Analytické řešení soustavy lineárních rovnic Numerické řešení soustav nelineárních rovnic Příklady pro samostatnou práci jsou uvedeny v samostatné sbírce příkladů. Kromě nich můžete pro svou samostatnou práci používat také naše doplňkové elektronické zdroje. Před spuštěním tohoto souboru je nutné nainstalovat Matlab Compiler Runtime ve verzi R2013a, 32-bit pro Windows (400 MB). Podrobné informace o Matlab Compiler Runtime získáte v nápovědě na webu firmy Mathworks. Nezapomínejte, že tyto aplikace nemohou (a ani to nedělají!) postihnout všechny nuance probírané látky! O Numerické metody řešení soustavy nelineárních rovnic Numerické řešení soustav nelineárních rovnic Príloha Procvičování látky Příklady pro samostatnou i práci Při řešení následujících příkladů zkuste aplikovat různé strategie řešení. Všímejte si, jaká je jejich časová náročnost. Můžete využívat výpočetní techniku. Sami zvažte, nakolik při řešení těchto zadání využijete numerické metody, a jakou roli při řešení hrají teoretické poznatky získané v jiných předmětech. Numerické řešení soustav nelineárních rovnic Example Chcete najít průsečík dvou kružnic: jedné, která má střed v bodě [3,3] a poloměr r = 2, a druhé, která má střed v bodě [1,1] a poloměr r = 3. Hledáte ten z průsečíků, jehož x-ová souřadnice je větší. Zvolte si vhodnou počáteční aproximaci a proveďte několik kroků Newtonovy metody. Poté zkuste najít počáteční aproximaci takovou, že příslušná soustava lineárních rovnic nemá právě jedno řešení. Numerické řešení soustav nelineárních rovnic Example Pro z = x + jy hledáte řešení rovnice yz2 + |z|2 - 3z + yJřz = 3 + 2y. Proveďte několik kroků Newtonovy metody pro počáteční aproximaci z0 = 1 + y. Poté zkuste najít počáteční aproximaci takovou, že příslušná soustava lineárních rovnic nemá právě jedno řešení. Numerické řešení soustav nelineárních rovnic Formulace problému a označení Interpolace algebraickými polynomy Interpolace pomocí splajnů Aproximace funkcí: interpolace Matematika 3 □ t3 Aproximace funkcí: interpolace Q Formulace problému a označení Q Interpolace algebraickými polynomy • Řešitelnost úlohy • Konstrukce interpolačního polynomu 9 Konstrukce v Lagrangeově tvaru 9 Konstrukce v Newtonově tvaru • Využití a omezení Q Interpolace pomocí splajnů • Splajn vs. interpolační polynom • Konstrukce přirozeného kubického splajnu Aproximace funkcí: interpolace F Formulace problému a označení Interpolace algebraickými polynomy Interpolace pomocí splajnů O Je dána množina bodů [x,,/,], / > 2. Najděte funkci f(x), která prochází zadanými body. Q (alternativně) Je dána funkce f(x) a interval / = (a, b). Na intervalu / nahraďte funkci f(x) funkcí, která je „jednodušší". Aproximace funkcí: interpolace F Formulace problému a označení Interpolace algebraickými polynomy Interpolace pomocí splajnů V dalším textu budeme zadané body místo [x/,y,-] označovat jako [x,-, f j], resp. [xh f(Xj)], kde • fj bude značit hodnotu hledané funkce f v bodě xh tj. zde předpokládáme, že hledáme neznámou funkci f(x), • f(Xj) bude značit funkční hodnotu funkce f v bodě xh tj. zde předpokládáme, že ke známé funkci f(x) hledáme nějakou jinou, „jednodušší". Body Xj budeme nazývat uzlové body nebo také uzly interpolace. Aproximace funkcí: interpolace Formulace problému a označení Interpolace algebraickými polynomy Interpolace pomocí splajnů Dosud známé vs. nový pohled V 1. ročníku jste se naučili nahrazovat funkce v okolí nějakého bodu. Znáte pojmy Taylorova řada a MacLaurinova řada. Rozvoj funkcí do těchto řad však předpokládá, že známe funkční předpis rozvíjené funkce. Navíc pracujeme jen v okolí nějakého bodu {středu), nikoliv obecně na intervalu. Nyní si ukážeme, jak najdeme neznámou funkci, která prochází předem danými body. Aproximace funkcí: interpolace Formulace problému a označení Interpolace algebraickými polynomy Interpolace pomocí splajnů Nejprve musíme znát odpovědi na důležité otázky: O Je tato úloha vůbec obecně řešitelná? Q Pokud je obecně řešitelná, dostaneme dostatečně „jednoduchou" funkci f(x)? Teprve poté se můžeme zabývat otázkou: O Jak funkci f(x) najít? Aproximace funkcí: interpolace Formulace problému a označení Interpolace algebraickými polynomy Interpolace pomocí splajnů Řešitelnost úlohy Konstrukce interpolačního polynomu Využití a omezení Q Interpolace algebraickými polynomy • Řešitelnost úlohy • Konstrukce interpolačního polynomu 9 Konstrukce v Lagrangeově tvaru 9 Konstrukce v Newtonově tvaru • Využití a omezení • Splajn vs. interpolační polynom • Konstrukce přirozeného kubického splajnu Aproximace funkcí: interpolace Formulace problému a označení Interpolace algebraickými polynomy Interpolace pomocí splajnů Řešitelnost úlohy Konstrukce interpolačního polynomu Využití a omezení i polynomy Problém přeformulujeme do „ambicióznějšího" tvaru: Je dána množina bodů [xh f,], / > 2. Najděte polynom Pn(x), který prochází zadanými body, tj. takový polynom, že Pn{Xi) = fj pro V/ e {0,1,..., n}. Připomeňme, že body x, nazýváme uzlové body nebo uzly interpolace. Aproximace funkcí: interpolace Formulace problému a označení Interpolace algebraickými polynomy Interpolace pomocí splajnů Řešitelnost úlohy Konstrukce interpolačního polynomu Využití a omezení • Polynomy lze jednoduše zapsat - stačí pracovat pouze s koeficienty (polynom lze chápat jako vektor koeficientů). • Polynom lze jednoduše (algoritmicky) derivovat a integrovat. • Pro polynomy existuje celá řada metod nalezení jejich kořenů (analytické i numerické metody). • Existuje celá řada metod (analytických i numerických) na odhad polohy řešení. • atd. atd. Aproximace funkcí: interpolace Formulace problému a označení Interpolace algebraickými polynomy Interpolace pomocí splajnů Řešitelnost úlohy Konstrukce interpolačního polynomu řešení Theorem Nechť jsou dány body [xh fj\, i = 0,1,..., n. Pak existuje právě jeden polynom stupně nejvýše n takový, že Pn(x,-) = fj pro V/ e {0,1,..., n}. • Úloha tedy řešitelná je - polynom navíc najdeme jednoznačně. • Stupeň polynomu závisí na počtu bodů - „nejvýše" n. (důkaz jednoznačnosti viz plná verze skript) Aproximace funkcí: interpolace I IU Cl \J£— I I Q Interpolace algebraickými polynomy • Řešitelnost úlohy • Konstrukce interpolačního polynomu • Konstrukce v Lagrangeově tvaru • Konstrukce v Newtonově tvaru • Využití a omezení • Splajn vs. interpolační polynom • Konstrukce přirozeného kubického splajnu Aproximace funkcí: interpolace Formulace problému a označení Interpolace algebraickými polynomy Interpolace pomocí splajnů Řešitelnost úlohy Konstrukce interpolačního polynomu Využití a omezení Konstru tvaru ikce inter polačnír io polynomu v Lagrangeově Předpokádejme, že polynom Pn{x) hledáme ve tvaru p„(x)= MM, i=0.....n kde Ij(xj) = 1 pro / = y a //(xy) = O pro / ^ j. Tím bude zcela jistě splněna podmínka Pn(Xj) = f,. Polynomy í,(x) pak mohou být následujícího tvaru: //(*) = n (x-xj) y=0,...,n;;//_ n (x, - xj) y=0,...,n; y// □ (3 Aproximace funkcí: interpolace Formulace problému a označení Řešitelnost úlohy Interpolace algebraickými polynomy Konstrukce interpolačního polynomu Interpolace pomocí splajnů Využití a omezení Ve jmenovateli polynomů /,(x) násobíme čísla. Výsledný polynom Pn(x) je proto tvaru Pn(x)= £ jmenovatel I, II (*"*») /=0,1,...,n \'/ y=0,...,n; ;'//' n Polynom musíme převést do tvaru Pn(x) = 5] a/x'. /=o Pokud chceme interpolaci zpřesnit a přidáme další bod „znehodnotíme" celý výpočet. Aproximace funkcí: interpolace tvaru Formulace problému a označení Řešitelnost úlohy Interpolace algebraickými polynomy Konstrukce interpolačního polynomu Interpolace pomocí splajnů Využití a omezení ího polynomu v Newtonově Předpokládejme, že polynom P„(x) hledáme ve tvaru Pn(x) = ao+ai(x-x0)+a2(x-xo)(x-x1)+.. .+an(x-x0)... (x-x„-i)- • Jak určit koeficienty a„ i = 0,1,..., n? Aproximace funkcí: interpolace Formulace problému a označení Interpolace algebraickými polynomy Interpolace pomocí splajnů Řešitelnost úlohy Konstrukce interpolačního polynomu Využití a omezení Nechť jsou dány body [x,-, f(x,)], / = 0,1,..., n. 9 Pro / = 0,1,..., n - 1 nazveme podíly f[X/,Xí+1] = f(X/+1 ) - f(Xj) poměrnými diferencemi prvního rádu. • Pro / = 0,..., n - k nazveme podíly f[xii xi+~\ 5 • • • 5 xi+k\ — ? xi+2i - i xi+k] — f\X'h */+1 i • • • i xi+k-\ ] xi+k — xi poměrnými diferencemi k-tého rádu. □ (3 Aproximace funkcí: interpolace Formulace problému a označení Interpolace algebraickými polynomy Interpolace pomocí splajnů Řešitelnost úlohy Konstrukce interpolačního polynomu Využití a omezení Poměrné diference - příkla d výpočtu V tabulce je dáno pět uzlových bodů a funkčních hodnot v nich, tj. dvojic [x/, f(Xj)]. V dalších sloupcích jsou vypočteny poměrné diference prvního až čtvrtého řádu. i */ '(*/) f[xh xi+u Xi+2] f[xhxi+u. . . ,x/+3] f[x0,. . . , X4] 0 1 1 0,5-1 -0,2-(-0,5) 0,0625-0,2 -0,015625-(-0,0625) 2-1 2,5-1 3,2-1 4-1 1 2 0, 5 0,4-0,5 2,5-2 -0,125-(-0,2) 3,2-2 0,03125-0,0625 4-2 2 2,5 0,4 0,3125-0,4 3,2-2,5 -0,078125-(-0,125) 4-2,5 3 3,2 0, 3125 0,25-0,3125 4-3,2 4 4 0, 25 Aproximace funkcí: interpolace Formulace problému a označení Interpolace algebraickými polynomy Interpolace pomocí splajnů Řešitelnost úlohy Konstrukce interpolačního polynomu Využití a omezení Využití poměrných diferen interpolačního polynomu cí při konstrukci Nechť jsou dány body [xh //], / = 0,1,..., n a polynom Pn(x) takový, že Pn(xj) = fh Je-li polynom Pn(x) zapsán ve tvaru Pn{x) = a0+ai (x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+.. .+a„(x-x0)... ), pak platí, že a0 = f(x0) aA = f[x0,xi] ■ ■ ■ Bn = ř[Xg, X-|,..., xn]. Aproximace funkcí: interpolace Formulace problému a označení Interpolace algebraickými polynomy Interpolace pomocí splajnů Řešitelnost úlohy Konstrukce interpolačního polynomu Využití a omezení P' n kl a d Mějme následující tabulku poměrných diferencí: i */ '(*/) r[x/,x/+1,x/+2] f[Xj,Xi+U . . . ,xi+3] f[XQ , . . . , x4] 0 1 1 -0, 5 0,2 -0, 0625 -0, 015625 1 2 0, 5 -0,2 0,0625 -0, 15625 2 2,5 0,4 -0, 125 0, 03125 3 3,2 0, 3125 -0, 078125 4 4 0, 25 Pak hledaný interpolační polynom je Pn(x) = 1 - 0,5(x - 1) + 0,2(x - 1 )(x - 2) - 0,0625(x - 1 )(x - 2)(x - 2,5)+ +0,015625(x - 1 )(x - 2)(x - 2,5)(x - 3,2) n o Polynom musíme opět převést do tvaru Pn(x) = aix'- i=0 Aproximace funkcí: interpolace Formulace problému a označení Řešitelnost úlohy Interpolace algebraickými polynomy Konstrukce interpolačního polynomu Interpolace pomocí splajnů Využití a omezení Speciální případ: ekvidistantní uzly V obecném případě nemusejí uzlové body interval {x0,xn) dělit na stejně velké části. Pokud jej však na stejně velké části dělí, mluvíme o tzv. ekvidistantních uzlech (a vzdálenost mezi uzly nazýváme krok). Vztahy pro výpočet diferencí jsou v tomto případě jednodušší. (podrobněji viz skripta plná verze skript) Aproximace funkcí: interpolace Formulace problému a označení Interpolace algebraickými polynomy Interpolace pomocí splajnů Řešitelnost úlohy Konstrukce interpolačního polynomu Využití a omezení O Interpolace algebraickými polynomy e Řešitelnost úlohy • Konstrukce interpolačního polynomu 9 Konstrukce v Lagrangeově tvaru 9 Konstrukce v Newtonově tvaru • Využití a omezení • Splajn vs. interpolační polynom • Konstrukce přirozeného kubického splajnu Aproximace funkcí: interpolace Formulace problému a označení Řešitelnost úlohy Interpolace algebraickými polynomy Konstrukce interpolačního polynomu Interpolace pomocí splajnů Využití a omezení Využití interpolačního polynomu O Jsou dány body [xh ř,]. Najděte polynom, který těmito body prochází. Q Funkci f(x) aproximujte na intervalu / polynomem. O Jsou dány body x, a funkční hodnoty fh i = 0,1,..., n v těchto bodech. Určete přibližnou hodnotu v bodě x takovém, že x ^ x, pro V/. Aproximace funkcí: interpolace Formulace problému a označení Řešitelnost úlohy Interpolace algebraickými polynomy Interpolace pomocí splajnů Využití a omezení Example Jsou dány následující dvojice bodů: O [-1,-2], [1,5], [2,3], [4,-1] Q tytéž body a navíc bod [5,6] Proložte jimi interpolační polynom. Aproximace funkcí: interpolace Formulace problému a označení Řešitelnost úlohy Interpolace algebraickými polynomy Interpolace pomocí splajnů Využití a omezení Červeně je zobrazen polynom ze zadání 1, modře polynom ze zadání 2. Aproximace funkcí: interpolace Formulace problému a označení Řešitelnost úlohy Interpolace algebraickými polynomy Konstrukce interpolačního polynomu Interpolace pomocí splajnů Využití a omezení Více uzlů = přesnější výsledky Example Aproximujte funkci y = ^Vj polynomem v uzlech x0 = -0,6, x} = -0,4, x2 = -0,2, x3 = 0,1, x4 = 0,4, x5 = 0,5, x6 = 1, x7 = 2. Aproximace funkcí: interpolace Formulace problému a označení Řešitelnost úlohy Interpolace algebraickými polynomy Konstrukce interpolačního polynomu Interpolace pomocí splajnů Využití a omezení Více uzlů = přesnější výsledky Example Aproximujte funkci y = ^Vj polynomem v uzlech x0 = -5, x} = -4, x2 = -3, x3 = -2, x4 = -1, x5 = 0, x6 = 1, x] = 2, x8 = 3,x9 = 4, x10 = 5. Aproximace funkcí: interpolace Formulace problému a označení Interpolace algebraickými polynomy Interpolace pomocí splajnů Splajn vs. interpolační polynom Konstrukce přirozeného kubického splajnu • Řešitelnost úlohy • Konstrukce interpolačního polynomu • Konstrukce v Lagrangeově tvaru • Konstrukce v Newtonově tvaru • Využití a omezení Q Interpolace pomocí splajnů • Splajn vs. interpolační polynom • Konstrukce přirozeného kubického splajnu Aproximace funkcí: interpolace Splaj Formulace problému a označení Interpolace algebraickými polynomy Interpolace pomocí splajnů Splajn vs. interpolační polynom Konstrukce přirozeného kubického splajnu nom Stejnou výchozí situaci - je dáno několik bodů [xh //], / = 0,1,..., n nebo funkce r(x), kterou máme nahradit -budeme nyní řešit jiným způsobem. Hledáme-li interpolační polynom, hledáme jeden polynom, který nahrazuje (neznámou) funkci na celém intervalu (x0,xn). Nyní však budeme hledat sadu polynomů, z nichž každý bude nahrazovat (hledanou) funkci jen na intervalu mezi dvěma sousedními uzly. Aproximace funkcí: interpolace Formulace problému a označení Interpolace algebraickými polynomy Interpolace pomocí splajnů Splajn vs. interpolační polynom Konstrukce přirozeného kubického splajnu Definition Splajnem řádu k pro uzly a = x0 < x-i < ... < xn = b nazveme funkci, která O je v každém intervalu (X/,X/+l), / = 0,1 ,.../7 - 1 polynom Sj(x) stupně k takový , že S/(x/+1) = S/+i(x/+1 )a O má v celém intervalu (a, ď) spojité derivace až do řádu k - 1 včetně. Podle hodnoty k mluvíme o lineárním, kvadratickém, kubickém atd. splajnu. Aproximace funkcí: interpolace Formulace problému a označení Interpolace algebraickými polynomy Interpolace pomocí splajnů Splajn vs. interpolační polynom Konstrukce přirozeného kubického splajnu Definice Definition Přirozeným kubickým splajnem pro uzly a = x0 < x1 < ... 1. Je známo, že hodnoty y jsou nepřesné. Najděte funkci y = f (x), která „co nejlépe" vystihuje skutečnou závislost proměnné y na proměnné x. Metoda nejmenších čtverců Formulace problému a označení Teoretický základ metody nejmenších čtverců Aproximace algebraickými polynomy Jiné případy 0 tázl ky O V jakém tvaru budeme danou funkci hledat, resp. jak se ve výsledném tvaru aproximace promítne naše zkušenost? (Vysvětlení:Z teoretických poznatů např. plyne, že v dané situaci je hledaná závislost lineární. Jak zajistíme, že závislost, kterou najdeme, bude také lineární?) O Co znamená „co nejlépe"? O Jak budou vypadat vlastní vzorce pro výpočet, resp. jaké další vstupní údaje budeme potřebovat znát? Metoda nejmenších čtverců Formulace problému a označení Teoretický základ metody nej menších čtverců Aproximace algebraickými polynomy Jiné případy Budeme používat následující označení: • [Xj,yj\ bude značit dvojici [uzlový bod, naměřená hodnota v uzlovém bodě], • skutečnou (tj. neznámou) závislost budeme hledat jako funkci y = f(x), tj. skutečné, resp. analyticky získané, hodnoty v uzlových bodech x, budeme označovat jako y(*i)> • ve vzorcích budeme předpokládat, že / = 0,... n, n > 1, • chybou aproximace v uzlovém bodě x, budeme rozumět rozdíl e j = y, - y(x/). Metoda nejmenších čtverců Zmiňovanou „co nejlepší" závislost hledáme v takovém tvaru, jaký odpovídá teoretickým poznatkům. Může se jednat o závislost polynomiální (lineární, kvadratickou, kubickou atd.), o závislost exponenciální, hledaná funkce může být periodická (tj. lze ji dobře popsat pomocí funkcí sinus a kosinus) apod. • Ze zkušenosti víme, jaký typ závislosti máme v dané situaci hledat. Podle toho postupujeme dále. Mluvíme o aproximaci metodou nejmenších čtverců pomocí přímky, pomocí paraboly pomocí křivky y = kax atd. Metoda nejmenších čtverců Formulace problému a označení Teoretický základ metody nej menších čtverců Aproximace algebraickými polynomy Jiné případy Při nějakém měření jsme získali vyznačené body. Je skutečná závislost y na x lineární nebo periodická? Metoda nejmenších čtverců Formulace problému a označení Teoretický základ metody nej menších čtverců Aproximace algebraickými polynomy Jiné případy mace Jsou dány body [xhyj\. Hledáme závislost y na x. Za „nejlepšP aproximaci považujeme takovou, kde výsledná odchylka n P2 = ef Je minimální. /=o Vzorce, které budeme odvozovat, budou prostředky matematické analýzy hledat minimum funkce p2. Lze postupovat i jiným způsobem, (viz plná verze skript, kap. „Jiný způsob odvození vzorců") Metoda nejmenších čtverců Formulace problému a označení Teoretický základ metody nej menších čtverců Aproximace algebraickými polynomy Jiné případy Aproximace pomocí přímky Aproximace pomocí paraboly Obecný případ h ■nirni mqoq nrnh omi i 3 ^7112^ 1 cui cl 1 \ji\y z.di\icivj 111 cLvJljy 1 1 c Q Aproximace algebraickými polynomy • Aproximace pomocí přímky • Aproximace pomocí paraboly • Obecný případ • Obecná lineární aproximace metodou nejmenších čtverců • Nelineární případy • Aproximace pomocí křivky y = aebx, resp. y = aď Metoda nejmenších čtverců Formulace problému a označení Teoretický základ metody nejmenších čtverců Aproximace algebraickými polynomy Jiné případy Myšlenka Aproximace pomocí přímky Aproximace pomocí paraboly Obecný případ Rovnice přímky je tedy tvar funkce p2 je n P2 = ^2{yi-co-^Xi): i=0 Jedná se o funkci dvou proměnných c0, c-i - proto označení ve skriptech jako p2(c0, c-i). Minimum funkce více proměnných určíme pomocí parciálních derivací podle všech proměnných. (odvození vzorce) Metoda nejmenších čtverců Formulace problému a označení Teoretický základ metody nej menších čtverců Aproximace algebraickými polynomy Jiné případy Geometrická interpretace Aproximace pomocí přímky Aproximace pomocí paraboly Obecný případ Hledáme přímku, pro niž je součet obsahů čtverců minimální. A y = cg + c\x XqX\ x2 • • • %n — 1 ^71 <□► < [51 ► < ^ ► < ^ ► j|= "O O' Metoda nejmenších čtverců Formulace problému a označení Teoretický základ metody nejmenších čtverců Aproximace algebraickými polynomy Jiné případy Aproximace pomocí přímky Aproximace pomocí paraboly Obecný případ Hledáme přímku y = Cq + c^x, kde c0 a c-i jsou řešením soustavy rovnic n n i=0 i=0 n n n Co^Xj + c^x? = ^XíYí i=0 i=0 i=0 v níž n + 1 je počet uzlů a příslušné sumy jsou čísla, která plynou ze znalosti hodnot [xhyi\. Metoda nejmenších čtverců Formulace problému a označení Teoretický základ metody nej menších čtverců Aproximace algebraickými polynomy Jiné případy Aproximace pomocí přímky Aproximace pomocí paraboly Obecný případ \j leoreticKy zaKiaa metody nejmensicn čtverců Q Aproximace algebraickými polynomy • Aproximace pomocí přímky • Aproximace pomocí paraboly • Obecný případ • Obecná lineární aproximace metodou nejmenších čtverců • Nelineární případy • Aproximace pomocí křivky y = aebx, resp. y = aď Metoda nejmenších čtverců Formulace problému a označení Teoretický základ metody nej menších čtverců Aproximace algebraickými polynomy Jiné případy Myšlenka Aproximace pomocí přímky Aproximace pomocí paraboly Obecný případ Uvažme obecný polynom druhého stupně, tj. polynom y = c0 + c^x + c2x , tedy tvar funkce p2 je n p2 = Y^Yi -co- c\x-, - c2x2)2 i=0 Minimum této funkce určíme analogicky jako v případě přímky. O parabole mluvíme proto, že vyjádření funkce y lze upravit na tvar y = c2 což je rovnice paraboly. 9l c2 Metoda nejmenších čtverců Formulace problému a označení Teoretický základ metody nej menších čtverců Aproximace algebraickými polynomy Jiné případy Aproximace pomocí přímky Aproximace pomocí paraboly Obecný případ Hledáme parabolu, pro niž je součet obsahů čtverců minimální. : : : : : : : x v —\—l-1-1-1-1-1-> XqX\ x2 • • • Xji — \ Xji Metoda nejmenších čtverců Formulace problému a označení Teoretický základ metody nej menších čtverců Aproximace algebraickými polynomy Jiné případy Aproximace pomocí přímky Aproximace pomocí paraboly Obecný případ Hledáme parabolu y = c0 + c^x + c2x2, kde c0, Ci a c2 jsou řešením soustavy rovnic n n n /=0 /=0 n n n /=0 /=0 /=0 n n n /=0 ;'=0 ;'=0 /=0 n Ew ;=0 /=0 v níž A7 + 1 je počet uzlů a příslušné sumy jsou čísla, která plynou ze znalosti hodnot [xhyj\. Metoda nejmenších čtverců Formulace problému a označení Teoretický základ metody nejmenších čtverců Aproximace algebraickými polynomy Jiné případy Aproximace pomocí přímky Aproximace pomocí paraboly Obecný případ Q Aproximace algebraickými polynomy • Aproximace pomocí přímky • Aproximace pomocí paraboly • Obecný případ • Obecná lineární aproximace metodou nejmenších čtverců • Nelineární případy • Aproximace pomocí křivky y = aebx, resp. y = aď Metoda nejmenších čtverců Formulace problému a označení Teoretický základ metody nej menších čtverců Aproximace algebraickými polynomy Jiné případy Myšlenka Aproximace pomocí přímky Aproximace pomocí paraboly Obecný případ • V případě aproximace pomocí přímky (= polynomu stupně 1) hledáme minimum funkce dvou proměnných. a V případě aproximace pomocí paraboly (= polynomu stupně 1) hledáme minimum funkce tří proměnných. V případě aproximace pomocí polynomů vyšších stupňů postupujeme analogicky. Dostáváme analogické vzorce. Metoda nejmenších čtverců Formulace problému a označení Teoretický základ metody nej menších čtverců Aproximace algebraickými polynomy Jiné případy Aproximace pomocí přímky Aproximace pomocí paraboly Obecný případ Hledáme polynom Pm(x) = c0 + c-|X h-----h cmxm, kde n n i=Q n i=0 i=0 + n Co(A7+1) + CiJ^X/ + ... + Cm^XJ" i=0 n + cmj2 x i=0 n E" /=0 n A77+1 _ i=0 n i=0 n ,m+1 /=0 + /=0 x/>, /=0 Metoda nejmenších čtverců Formulace problému a označení Teoretický základ metody nej menších čtverců Aproximace algebraickými polynomy Jiné případy Obecná lineární aproximace metodou nejmenších čtverců Nelineární případy al • Aproximace pomocí přímky • Aproximace pomocí paraboly • Obecný případ Q Jiné případy • Obecná lineární aproximace metodou nejmenších čtverců • Nelineární případy 9 Aproximace pomocí křivky y = aeôx, resp. y = aď □ ŕš1 Metoda nejmenších čtverců Formulace problému a označení Teoretický základ metody nej menších čtverců Aproximace algebraickými polynomy Jiné případy Obecná lineární aproximace metodou nejmenších čtverců Nelineární případy Pri * Zkoumaná závislost nemusí být polynomiální (viz úvodní obrázek). Example Jestliže hodnoty vykazují periodické chování, můžeme aproximaci hledat např. ve tvaru y = c0 + c-i cos x + c2 sin x + c3 cos 2x + c4 sin 2x. Metoda nejmenších čtverců Formulace problému a označení Teoretický základ metody nejmenších čtverců Obecná lineární aproximace metodou nejmenších čtverců Aproximace algebraickými polynomy Nelineární případy Jiné případy Jsou dány body xh i = 0,... a?, a funkční hodnoty v nich označené y. Dále jsou dány funkce yh i = 0,..., m, m < n. (Pro přímku by to byly funkce (fo(x) = 1 a 2. Najděte derivaci neznámé funkce f(x), pro kterou platí f(xj) = fj pro V/ e {0,..., n}. • (alternativně) Je dána taková funkce f(x), že určit její derivaci analyticky by bylo obtížné. Najděte její derivaci f\x). V dalším textu budeme podobně jako ve skriptech používat označování [xh f(Xj)]. Dále budeme předpokládat, že vzdálenost mezi každými dvěma sousedními uzly je konstantní - budeme ji označovat h a nazývat krok. Numerické derivování Formulace problému a označení Nástin metody Odvození často používaných vzorců Otázky a problémy Dosud známé vs. nový poľ iled Z prvního ročníku znáte základní věty o derivování. „Složitá" funkce většinou znamená totéž co několikanásobně složená funkce. Ty umíme derivovat pomocí věty o derivaci složené funkce. V některých případech může být výpočet nicméně velmi pracný. Hledat derivaci funkce v situaci, kdy neznáme funkční předpis ale jen několik bodů, jimiž neznámá funkce prochází, však neumíme. Umíme ovšem těmito body proložit interpolační polynom, resp. splajn, resp. najít nejvhodnější závislost metodou nejmenších čtverců. Numerické derivování Formulace problému a označení Nástin metody Odvození často používaných vzorců Otázky a problémy Zadanými body proložíme interpolační polynom Pn{x). Derivaci tohoto polynomu prohlásíme za přibližně rovnou derivaci hledané funkce. Je zřejmé, že s čím větším počtem uzlů budeme pracovat, tím může být vyšší stupeň interpolačního polynomu. Tj. tím komplikovanější vzorce pro numerickou derivaci budeme dostávat. Dále je zřejmé, že budeme-li interpolační polynom derivovat vícekrát, získáme přibližné vyjádření derivací vyšších řádů. Interpolační polynom ale v tom případě musí být dostatečného stupně - tj. musíme pracovat s dostatečným počtem uzlů. Numerické derivování Formulace problému a označení Nástin metody Odvození často používaných vzorců Otázky a problémy Interpolační polynom umíme hledat v Lagrangeově a v Newtonově tvaru. Pro účely numerického derivování budeme pracovat s interpolačními polynomy v Lagrangeově tvaru. □ - = Numerické derivování Formulace problému a označení Nástin metody Odvození často používaných vzorců Otázky a problémy Jsou dány dva body [xh f(Xj)], [x, + h, f{x-, + h)]. Interpolační polynom danými těmito body je L,{x) = f{xi)* *' hu + f(xi + h) X Xi x-, - x, - h Xj + h- Xj' tj- 1 (x) = -h [f(x, + h)(x - x/) - f(Xi)(x - Xj - h)] Po zderivování podle x dostáváme tedy L\(x) = l(f(Xi + h) - f(x,)) f'(Xi) = ť(Xi + h) = ji (f(x, + h)- f(x,)). s *0 O* Numerické derivování Formulace problému a označení Nástin metody Odvození často používaných vzorců Otázky a problémy P ia .1 0 o U Má-li funkce řdruhou derivaci na intervalu {x-hx-, + h), pak existují body f0, £1 £ */ + ^) tak> že Plat' = lm + h)-f(Xi))-^r^o) n*i+h) = lm+h)-f(xi))-^r^) Členy %f"(í;o), resp. jsou tzv. chybové členy. V našich výpočtech a úvahách je budeme zanedbávat. Numerické derivování Formulace problému a označení Nástin metody Odvození často používaných vzorců Otázky a problémy Je zřejmé, že pomocí interpolačního polynomu daného dvěma uzly nemůžeme takto vypočítat jinou než první derivaci. Navíc nelze očekávat, že derivace získaná tímto postupem bude příliš přesná. Numerické derivování Formulace problému a označení Nástin metody Odvození často používaných vzorců Otázky a problémy Jsou dány tři body [x, - h, f{x; - h)], [x,, r(x,-)], [x, + h, f{x; + h)]. Opět sestavíme interpolační polynom v Lagrangeově tvaru a opět jej zderivujeme. Interpolační polynom bude druhého stupně, tj. po zderivování bude na rozdíl od předchozí situace obsahovat x. Dosazením po řadě x = x,h, x = x, a x = Xj + h získáme tři vzorce pro první derivaci. Pokud bychom interpolační polynom zderivovali dvakrát, získali bychom vzorce pro druhou derivaci neznámé funkce f. Numerické derivování Formulace problému a označení Nástin metody Odvození často používaných vzorců Otázky a problémy O Platí vždy, že derivace hledané funkce se přibližně rovná derivaci interpolačního polynomu? O Jaká je přesnost uvedených vzorců? O Jakým způsobem lze výsledky zpřesňovat? O Jak postupovat v situaci, která odpovídá použití metody nejmenších čtverců namísto interpolačního polynomu, tj. jestliže víme, že hodnoty f(Xj) jsou nepřesné? Numerické derivování Formulace problému a označení Nástin metody Odvození často používaných vzorců Otázky a problémy Problém využití interpolačního polynomu Některé interpolační polynomy (zejména vyšších stupňů) neposkytují dobré aproximace hledaných funkcí. Pak neplatí, že ť(x) = P'n{x). Srovnejte např. hodnotu derivace v bodě x = 4 u hledané funkce (červeně) s hodnotou derivace interpolačního polynomu sestaveného z hodnot v uzlech x0 = -5, x^ = -4,..., x-i ^ =5 (modře). ^ *0 O* Numerické derivování Formulace problému a označení Nástin metody Odvození často používaných vzorců Otázky a problémy Pri MM Example Je dána funkce y = \. Určete y'(2). Přesná hodnota je y'(2) = -0,25. Jestliže použijeme h = 0,2, pak získáme tyto výsledky: • y'(2) = -0,2273 podle vzorce vycházejícího z interpolačního polynomu pro dva uzly a x0 = 2, x-| = 2,2, • y;(2) = -0,2778 podle vzorce vycházejícího z interpolačního polynomu pro dva uzly a x0 = 1,8, x1 =2, • y;(2) = -0,2525 podle vzorce vycházejícího z interpolačního polynomu pro tři uzly a x0 = 1,8, x2 = 2,2. Numerické derivování Formulace problému a označení Nástin metody Odvození často používaných vzorců Otázky a problémy Zpřesňování výsledků Ve vzorcích pro numerické derivace se ve jmenovateli objevuje krok h. Zmenšováním kroku h tedy větší přesnosti nedosáhneme, protože budeme dělit malým číslem a při zaokrouhlování se můžeme dopustit velkých chyb. Vzorce vycházející z interpolačních polynomů pro velký počet uzlů naopak budou příliš složité. Navíc, interpolační polynom vysokého stupně nemusí dobře aproximovat neznámou funkci (viz výše). Numerické derivování Formulace problému a označení Nástin metody Odvození často používaných vzorců Otázky a problémy Když interpolační polynom není vhodný Jestliže víme, že hodnoty r(x/) jsou zatížené chybou, a tedy není vhodné použít interpolační polynom (ani splajn), zderivujeme vyjádření neznámé funkce získané metodou nejmenších čtverců. □ - = Numerické derivování Formulace problému a označení Jednoduché metody Zpřesňování výsledků Jiné metody Numerické integrování Matematika 3 Numerické integrování Formulace problému a označení Jednoduché metody Zpřesňování výsledků Jiné metody ■3 saf Q Formulace problému a označení O Jednoduché metody • Lichoběžníková metoda • Simpsonova metoda • Geometrická interpretace O Zpřesňování výsledků • Nástin metod • Newton-Cotesovy vzorce • Složené metody Q Jir|é metody • Otevřené metody Numerické integrování Formulace problému a označení Jednoduché metody Zpřesňování výsledků Jiné metody Formulace problému Je dána funkce f(x) a čísla a,beR taková, že a < b. b Určete / f(x)dx. a Numerické integrování Formulace problému a označení Jednoduché metody Zpřesňování výsledků Jiné metody Probléi Při integrování jste v 1. ročníku využívali hodnoty primitivní funkce v integračních mezích, tj. řekli jste, že b J f{x)dx = F{b)-F{a), a kde F'(x) = f{x). Avšak: a Existují funkce, k nimž primitivní funkce neexistuje. • I když primitivní funkce k dané funkci existuje, může být její nalezení velmi obtížné, o Funkce f(x) nemusí být zadána předpisem ale např. výčtem dvojic [xh fj] (viz kapitola o numerickém derivování). V těchto případech je použití analytických postupů integrování nemožné, příp. velmi náročné. n 9 ►«»►<»► =\-= Numerické integrování Formulace problému a označení Jednoduché metody Zpřesňování výsledků Jiné metody Pří ^5 2J 1 Následující výsledky byly získány v softwaru Maple. Sami si dohledejte v nápovědě, co přesně znamenají. r Example ] • Je x dx = 9 Jy/X0~XdX » / ex-1 d* = + x In (1 - ex) + polylog(2, ex) □ t3 Formulace problému a označení Jednoduché metody Zpřesňování výsledků Jiné metody Navíc bylo pro dané typy funkcí nutné znát vhodnou strategii integrování. Example • J xtxdx integrujeme pomocí metody per partes a f 4 sin 2x + 3dx lze integrovat přímo • / F+Íx+4dx Je racionaln' lomená funkce, tedy lze buď provést rozklad na parciální zlomky (pokud je to možné) a pak integrovat nebo podle známých pravidel zvolit vhodnou substituci • / T+i*dx ^šíme pomocí substituce tx = t • atd. Numerické integrování Formulace problému a označení Jednoduché metody Zpřesňování výsledků Jiné metody Při numerické integraci nebudeme k zadané funkci hledat b primitivní funkci, ale využijeme skutečnosti, že / f(x)dx je a roven obsahu plochy vymezené funkcí ř(x), osou x a přímkami x = a, x = b. Numerické integrování Formulace problému a označení Jednoduché metody Zpřesňování výsledků Jiné metody Při pomenutí významu urč itého integrálu Numerické integrování Formulace problému a označení Jednoduché metody Zpřesňování výsledků Jiné metody Nástin metod Podobně jako u numerického derivování řekneme, že numericky získaný určitý integrál je přibližně roven příslušnému integrálu z interpolačního polynomu, tj. že platí b b J f(x)áx = J Pn{x)áx. a a Alespoň dva uzlové body, z nichž budeme sestavovat interpolační polynom, známe vždy - jedná se o body x0 = a, xn = b. Další uzly můžeme doplnit podle potřeby. Budeme pracovat s interpolačním polynomem v Lagrangeově tvaru, který budeme značit Ln(x). Numerické integrování Formulace problému a označení Jednoduché metody Zpřesňování výsledků Jiné metody Z důvodu snadné algoritmizace budeme uzlové body xh / = 0,1,..., n, volit tak, aby tvořily pravidelnou síť, tj. aby Xj - x,_1 = h, pro každé / = 1,2,..., n. Přitom h budeme nazývat krok. 9 Toto ale není nezbytně nutné, v reálných případech můžeme postupovat i jinak. Numerické integrování O Jednoduché metody • Lichoběžníková metoda • Simpsonova metoda • Geometrická interpretace \S V XX Xi I I O • Nástin metod • Newton-Cotesovy vzorce • Složené metody • Otevřené metody Formulace problému a označení , ■ ,...... Lichoběžníková metoda Jednoduché metody ....., ,, ; Simpsonova metoda Zpřesňovaní výsledku _ r Geometrická interpretace Jme metody Jsou dány body [a, f(a)], [b, f(b)]. Na intervalu (a, b) tedy můžeme funkci f(x) přibližně vyjádřit interpolačním polynomem mx) = f{a)x-4 + m' a a - b b - a tj- Li 00 = 1 (a - b) L f(a){x - b) - f(b){x - a) Numerické integrování Po zintegrování podle x dostáváme b /Mx)d*=_i_ X2 \ íx2 f(a) [ - - bx) + f(b)' tj- b í U (x)dx = b- a b f (b) + /(a)) = j f(x)dx a (úprava podrobně) □ - Numerické integrování O Jednoduché metody • Lichoběžníková metoda • Simpsonova metoda • Geometrická interpretace • Nástin metod • Newton-Cotesovy vzorce • Složené metody • Otevřené metody Formulace problému a označení „„ Lichoběžníková metoda Jednoduché metody x , ....., ,, ; Simpsonova metoda Zpřesňovaní výsledku _ r Geometrická interpretace Jme metody Jsou dány body [a, f (ä)], [b, f(b)]. K nim doplníme třetí uzel -střed intervalu (a, £>}, který označíme c, tj. c = Ze znalosti funkce f(x) dopočítáme hodnotu f(c) = f(^). Z těchto tří bodů poté sestavíme interpolační polynom i s \ Jx - c)(x - b) Ax-á){x-b) .... (x - á)(x - c) (a-c)(a-b) (c-a)(c-b) (b-a)(b-c) Vzhledem k tomu, že c = označme h = c - a = b - c. Dále místo a pišme c - ha místo Ď pišme c + /7. Označení ř(a), resp. f (b) ponecháme. Interpolační polynom je potom tvaru L2{x) = 1{a)(* -Oix-c- h) +f{c)(x-c+h)(x-c-h) +f{b){jc^c + h)(x - c) 2h2 -h* 2h2 Numerické integrování Formulace problému a označení „„ Lichoběžníková metoda Jednoduché metody x , ....., ,, ; Simpsonova metoda Zpřesňovaní výsledku _ r Geometrická interpretace Jme metody Polynom L2(x) upravíme do tvaru vhodného pro integraci a zintegrujeme podle x. Dostaneme, že b b f(x)dx = / L2(x)dx = b - a f (a) + 4ř(c) + f(b) kde c je střed intervalu (a, b). Numerické integrování Q Jednoduché metody • Lichoběžníková metoda • Simpsonova metoda • Geometrická interpretace • Nástin metod • Newton-Cotesovy vzorce « Složené metody • Otevřené metody Formulace problému a označení Jednoduché metody Zpřesňování výsledků Jiné metody Lichoběžníková metoda Lichoběžníková metoda Simpsonova metoda Geometrická interpretace Když zadanou funkci f(x) nahrazujeme interpolačním polynomem Li (x) ve dvou bodech a když říkáme, že b b b J f(x)dx = J /_1(x)dx, pak za integrál J f(x)dx prohlašujeme a a a obsah lichoběžníka s vrcholy [a, 0], [b, 0], [a, f (ä)], [b, f (b)]. Numerické integrování Formulace problému a označení Jednoduché metody Zpřesňování výsledků Jiné metody Lichoběžníková metoda Simpsonova metoda Geometrická interpretace Geometrická interpretace 1 ichoběžníkové metody Aproximace interpolačním polynomem (tj. v tomto případě přímkou) však nemusí být vůbec vhodná. a b Numerické integrování Formulace problému a označení Jednoduché metody Zpřesňování výsledků Jiné metody Lichoběžníková metoda Lichoběžníková metoda Simpsonova metoda Geometrická interpretace Example Lichoběžníkovou metodou vypočtěte / cos6x + In xdx. 2 Lichoběžníkovou metodou dostáváme 3 / cos 6x + In xdx = 1,65, zatímco výsledek získaný analyticky 2 3 je po zaokrouhlení / cos 6x + In xdx = 0,87. 2 Numerické integrování Formulace problému a označení „„ Lichoběžníková metoda Jednoduché metody ....., ,, ; Simpsonova metoda Zpřesňovaní výsledku _ x . , , . x Geometrická interpretace Jme metody Když zadanou funkci f{x) nahrazujeme interpolačním polynomem L2(x) v bodech a, b, a když říkáme, že b b b J f(x)dx = J L2(x)dx, pak za integrál J f(x)dx prohlašujeme a a a plochu omezenou parabolou L2(x), osou x a přímkami x = a, x = b. Polynom je sice vyššího stupně, ale i v této situaci může docházet k problémům. Numerické řešení předcházejího příkladu získané Simpsonovou metodou je 3 / cos 6x + In xdx = 0,65. 2 Numerické integrování Formulace problému a označení Jednoduché metody Zpřesňování výsledků Jiné metody Lichoběžníková metoda Simpsonova metoda Geometrická interpretace Geon net :r ic ká i n ter P retace < v Bimpsonovy metody Červeně je znázorněna funkce, modře interpolační polynom. Numerické integrování Formulace problému a označení Jednoduché metody Zpřesňování výsledků Jiné metody bsah Nástin metod Newton-Cotesovy vzorce Složené metody • Lichoběžníková metoda • Simpsonova metoda • Geometrická interpretace O Zpřesňování výsledků • Nástin metod • Newton-Cotesovy vzorce • Složené metody • Otevřené metody Numerické integrování Formulace problému a označeni A. Nastiň metod Jednoduché metody x _ A ^....., ,, ; Newton-Cotesovy vzorce Zpřesňovaní výsledku r ,. ,' , Složené metody Jme metody Přesnějších výsledků lze dosáhnout tím, že budeme brát v úvahu funkční hodnoty ve více uzlových bodech. Z přednášky o aproximaci funkcí víme, že lze postupovat dvěma způsoby: • hledat jeden polynom pro celý interval (a, b) nebo • hledat sadu polynomů takovou, že každý z polynomů nahrazuje hledanou funkci jen na části intervalu (a, b) mezi dvěma sousedními uzly. Oba tyto přístupy nyní aplikujeme na numerické integrování. V obou situacích budeme předpokládat, že interval (a, b) dělíme na stejné části takové, že interval mezi sousedními uzly x/,x/+1 je délky h. Tomuto číslu budeme říkat krok. Numerické integrování • Lichoběžníková metoda • Simpsonova metoda • Geometrická interpretace O Zpřesňování výsledků • Nástin metod • Newton-Cotesovy vzorce • Složené metody • Otevřené metody Formulace problému a označeni , , Nastiň metod Jednoduché metody „, x _ A -,....., ,, ; Newton-Cotesovy vzorce Zpřesňovaní výsledku r ,. ,' , Složené metody Jme metody Jestliže hledanou funkci na celém intervalu (a, b) nahradíme interpolačním polynomem Ln(x) takovým, že k uzlům a, b přidáme další uzly s krokem h, a poté řekneme, že b b J f(x)dx = J Ln(x)dx, dostaneme tzv. Newton-Cotesovy a a vzorce. o Lichoběžníková i Simpsonova metoda jsou speciální případy Newton-Cotesových vzorců. • Tento způsob nebudeme dále používat. (podrobnosti viz plná verze učebního textu) Numerické integrování • Lichoběžníková metoda • Simpsonova metoda • Geometrická interpretace O Zpřesňování výsledků • Nástin metod • Newton-Cotesovy vzorce • Složené metody • Otevřené metody Formulace problému a označeni , , Nastiň metod Jednoduché metody „, x _ A -,....., ,, ; Newton-Cotesovy vzorce Zpřesňovaní výsledku 01 „ r .. ,' . Složené metody Jme metody Z 1. ročníku víte, že pro integrování platí věta: Theorem Nechť a,Ď,cgr taková, že a < c < b. Dále nechť f{x) je reálná funkce integrovatelná na intervalu (a, b). Pak platí b c b J f(x)dx = J f{x)dx + J f{x)dx a a c Můžeme tedy interval (a, b) rozdělit s krokem h a na každou takto vzniklou část aplikovat některou (vždy tutéž) jednoduchou metodu (lichoběžníkovou, Simpsonovu, resp. jinou danou Newton-Cotesovými vzorci). Pak mluvíme o složené lichoběžníkové metodě, složené Simpsonově metodě apod. n = Numerické integrování Formulace problému a označení Jednoduché metody Zpřesňování výsledků Jiné metody Nástin metod Newton-Cotesovy vzorce Složené metody etoda Mějme uzly a = x0,X|,... • • *m = b, tj. krok h = Pak /-A77 = J f(x)dx = h Qř(x0) + ř(xO + ... + f(xm-,) + ^f{xm) a Dalšího zpřesnění výsledku můžeme dosáhnout jemnějším dělením intervalu (a, b). Nejefektivnější je ze znalosti Lm určit rovnou L2m, protože v takovém případě můžeme většinu hodnot f(Xj) znovu použít. Platí L2m = ^Lm + (ř(Xi) + f(x3) + ... + ř(x2A7?_1)) Numerické integrování Formulace problému a označení Jednoduché metody Zpřesňování výsledků Jiné metody Nástin metod Newton-Cotesovy vzorce Složené metody Geometrická interpretace složené lichoběžníkové metody CL — «3^0 X\ X*2, ... Xyi — ]_ X ji — b Požadujeme-li přesnost výpočtu e, výpočet nejčastěji ukončujeme, jestliže pro nějaké m e N platí \L2m - Lm\ < = -= Numerické integrování Formulace problému a označeni , , Nastiň metod Jednoduché metody „, x _ A -,....., ,, ; Newton-Cotesovy vzorce Zpřesňovaní výsledku 01 „ r .. ,' . Složené metody Jme metody Složená lichoběžníková metoda Example Složenou lichoběžníkovou metodou pro různá dělení intervalu 2,3} vypočtěte cos 6x + Inxdx Dostáváme LA = 1,6480, L2 = 0,9023, L4 = 0,8799, /_5 = o, 8776, ..., LQ = 0,8753. Přitom analyticky získaný 3 výsledek je po zaokrouhlení / cos 6x + In xdx = 0,87. 2 Numerické integrování Formulace problému a označeni , Nastiň metod Jednoduché metody ± _ ± ....., „ o Newton-Cotesovy vzorce Zpřesňovaní výsledku „. „ í , r Složené metody Jme metody Složená Simpsonova metoda Mějme uzly a = x0,X|,....xA77_1.xm = 6, tj. krok /7 = Dělení intervalu (a, ď) volme tak, aby m bylo sudé. Pak Sm = f f(x)dx = a = § (7(x0) + 4/(xi) + 2f(x2) + 4/(x3) + ... + 2f{xm_2) + 4/(xA77_1) + /(*„,)) (odhad chyby viz skripta) □ s Numerické integrování • Lichoběžníková metoda • Simpsonova metoda e Geometrická interpretace • Nástin metod • Newton-Cotesovy vzorce • Složené metody Q Jiné metody • Otevřené metody Numerické integrování Formulace problému a označení Jednoduché metody Zpřesňování výsledků Jiné metody Otevřené metody Společným rysem všech výše zmiňovných metod je to, že krajní body intervalu (a, b) považujeme za uzly kvadratury. Další dělící body dostáváme tak, že interval (a, b) dělíme s krokem h. Takovým metodám říkáme uzavřené. Pokud bychom krajní body intervalu (a, b) nepovažovali za uzly kvadratury a uzlové body by byly symetricky rozloženy podle středu intervalu (a, b), hovořili bychom o tzv. otevřených metodách. Dále bychom postupovali stejně jako u uzavřených metod. Nejjednodušším příkladem otevřených metod je tzv. obdélníková metoda. Otevřenými metodami se nebudeme zabývat. Numerické integrování Formulace problému a označení Jednoduché metody Zpřesňování výsledků Jiné metody Otevřené metody Geometrická interpretace obdélníkové metody Numerické integrování Formulace problému a označení Jednoduché metody Zpřesňování výsledků Jiné metody Otevřené metody Otevřenými metodami se nebudeme zabývat. Numerické integrování Před tím, než začnete řešit jakékoli příklady, si pročtěte plnou verzi učebního textu! Numerické integrování Pomocí následujících mapletů si můžete usnadnit některé dílčí výpočty, zkontrolovat jejich správnost, případně si připomenout teoretické poznatky potřebné pro aplikaci numerických metod probíraných v této kapitole. O Výpočet funkčních hodnot O Integrování: výpočet určitého integrálu O Integrování: hledání primitivní funkce Numerické integrování Příklady pro samostatnou práci jsou uvedeny v samostatné sbírce příkladů. Kromě nich můžete pro svou samostatnou práci používat také naše doplňkové elektronické zdroje. Před spuštěním tohoto souboru je nutné nainstalovat Matlab Compiler Runtime ve verzi R2013a, 32-bit pro Windows (400 MB). Podrobné informace o Matlab Compiler Runtime získáte v nápovědě na webu firmy Mathworks. Nezapomínejte, že tyto aplikace nemohou (a ani to nedělají!) postihnout všechny nuance probírané látky! O Numerický výpočet určitého integrálu Při řešení následujících příkladů zkuste aplikovat různé strategie řešení. Všímejte si, jaká je jejich časová náročnost. Můžete využívat výpočetní techniku. Sami zvažte, nakolik při řešení těchto zadání využijete numerické metody, a jakou roli při řešení hrají teoretické poznatky získané v jiných předmětech. Example 0,7 Je dána funkce f (x) = 3 cos 2x. Numericky určete / f(x)dx. -0,5 Pracujte různými metodami pro různá dělení. Výsledky srovnávejte s přesným analyticky získaným řešením. Numerické integrování Example Najděte funkci f (x) a vhodný interval (a, b) tak, aby pro výpočet b J f(x)dx pro dělení intevalu na 2 části a • postačovalo použít lichoběžníkovou metodu, • bylo naprosto nevhodné použít lichoběžníkovou metodu, • výsledky získané Simpsonovou a lichoběžníkovou metodou byly zásadně odlišné, avšak právě jeden z nich byl dostatečně přesný. Za „dostatečnou" přesnost přitom považujte stav, kdy se numerický výsledek od přesného analyticky získaného výsledku neliší o více než 5%. 1_F Numerické integrování Formulace problému a označení Myšlenka numerických metod Jednotlivé numerické metody Problémy a omezení Numerické řešení diferenciálních rovnic Matematika 3 Numerické řešení diferenciálních rovnic Q Formulace problému a označení £ Myšlenka numerických metod O Jednotlivé numerické metody 9 Jednokrokové metody • Eulerova metoda • Modifikace Eulerovy metody a Metoda Rungeho-Kutty • Vícekrokové metody • Nástin metod Q Problémy a omezení • Šíření chyb • Shrnutí možností řešení diferenciálních rovnic 4 □ ► 4 ► Numerické řešení diferenciálních rovnic Formulace problému a označení Myšlenka numerických metod Jednotlivé numerické metody Problémy a omezení Dosud známé vs. nový pohled Doposud jsme partikulární řešení diferenciálních rovnic hledali ve dvou krocích: O Našli jsme obecné řešení zadané diferenciální rovnice. Q S jeho pomocí a s pomocí zadanách podmínek (počátečních nebo okrajových) jsme našli příslušné partikulární řešení. Přitom obecné řešení zadané diferenciální rovnice jsme hledali postupem, který závisel na typu zadané rovnice. Numerické řešení diferenciálních rovnic Formulace problému a označení Myšlenka numerických metod Jednotlivé numerické metody Problémy a omezení Příklady hledání obecného řešení Example • Rovnici y"(x) = x2 řešíme dvojí integrací pravé strany. • Rovnice y'(x) = x sin (y + 1) je rovnice se separovanými proměnnými y'{x) = ř(x) • g(y), při jejímž řešení využíváme integrování / f(x)dx a / • Lineární diferenciální rovnici y;(x) + y(x) sin x = cos x řešíme metodou variace konstanty. • Homogenní diferenciální rovnice řešíme pomocí vhodné substituce. • Bernoulliho rovnici (která je speciálním případem Riccatiho rovnice) řešíme pomocí jiné vhodné substituce. Numerické řešení diferenciálních rovnic Formulace problému a označení Myšlenka numerických metod Jednotlivé numerické metody Problémy a omezení Dosud známé vs. nový pohled Nyní se nebudeme zabývat řešením konkrétních typů rovnic, ale budeme se věnovat hledání partikulárního (tj. jednoho konkrétního) řešení libovolné diferenciální rovnice daného řádu. Omezíme se přitom na obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu, resp. na tyto rovnice se zadanou počáteční podmínkou. Numerické řešení diferenciálních rovnic Formulace problému a označení Myšlenka numerických metod Jednotlivé numerické metody Problémy a omezení Formulace problému Najděte řešení počáteční úlohy y' = f(x,y), y(x0) = y0, kde y je funkce proměnné x. 9 Toto lze např. zapsat také jako y'(x) = f(x,y(x)), y(*o) = y0- • V reálných aplikacích se používají i jiné zápisy, např. se uvažuje proměnná t místo x. Místo „generického" matematického x,y se používá označení platné pro daný inženýrský kontext, tj. např. /(ř), v(t) apod. Často se místo y\x) používá zápis %. Numerické řešení diferenciálních rovnic Formulace problému a označení Myšlenka numerických metod Jednotlivé numerické metody Problémy a omezení Kromě nalezení vlastního řešení zadané počáteční úlohy musíme vždy umět odpovědět na mnohem důležitější otázky: O Je, příp. na jakém intervalu je, zadaná úloha (jednoznačně) řešitelná? Jinými slovy, kdy a za jakých podmínek má vůbec smysl úlohu řešit? Q Je získané řešení stabilní? Jinými slovy, je řešení, které získáme, relevantní? (Na otázku 1 odpovíme jen velmi stručně, odpověď na otázku 2 překračuje rámec Bc. studia.) Numerické řešení diferenciálních rovnic Formulace problému a označení Myšlenka numerických metod Jednotlivé numerické metody Problémy a omezení Existence a jednoznačnost řešení Velmi důležitou součástí řešením problému, jehož matematickým zápisem je diferenciální rovnice, je otázka existence a jednoznačnosti řešení. Tato otázka by měla být zodpovězena vždy, než začneme zadanou diferenciální rovnici, resp. počáteční úlohu, řešit. Problematikou existence a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy y' = f(x,y), y(x0) = y0 se podrobně zabývat nebudeme. Nebudeme dokonce ani definovat, co znamená jednoznačné řešení- tento pojem budeme chápat intuitivně. Rovnice, které budeme řešit, budou mít jednoznačné řešení ve smyslu běžně používané definice. Numerické řešení diferenciálních rovnic Formulace problému a označení Myšlenka numerických metod Jednotlivé numerické metody Problémy a omezení Existence a jednoznačnost řešení Uvedeme pouze následující větu: Theorem Je-li funkce f(x, y) spojitá na obdélníku R = {(x,y) : |x-x0| < a, \y - y0\ < b, a>0,b> 0}, pak existuje řešení počáteční úlohy yf = f(x,y), y(x0) = yo na intervalu (x0 - a, x0 + a), kde a = min(a, kde M = maxfl |ř(x, y)|. Je-// dá/e funkce af(*;y) ohraničená na obdélníku R, pak je toto řešení jediné. w Testujeme spojitost a ohraničenost funkcí. Jak přesně budeme při tomto ověřování postupovat? • Věta je implikací, tj. nepopisuje případ, kdy předpoklady splněny nejsou. 9 Pro speciální kontexty zadání existují speciální podmínky. Numerické řešení diferenciálních rovnic Formulace problému a označení Myšlenka numerických metod Jednotlivé numerické metody Problémy a omezení Řešíme-li diferenciální rovnici analyticky, získáme obecné řešení, tj. sadu nekonečně mnoha funkcí (červeně). Z něj vybereme jedno partikulární řešení, tj. jednu konkrétní funkci (modře). Zobrazena je situace pro rovnice 1. řádu; y(0) = 1. í í^WWW ///-WWW / //WW W /w i / //w\y(* / ///w / /^--\ ) tli / /V — N . / / / — / // W~ / / / / /A W W WW \ \ \ W W// u\\\w .WWW/// M.\\\\\v//| <í\\\\\w/// / \\-\\\^-//1 ! \|w w-// / / ^vtttt v// / / / /x/ / í / I /// / / /// / / / /"7. / / / / ///// /./ /// / / ///// //// // / / / í í I í Numerické řešení diferenciálních rovnic Formulace problému a označení Myšlenka numerických metod Jednotlivé numerické metody Problémy a omezení Při numerickém řešení získáme pouze přibližné hodnoty partikulárního řešení v předem daných bodech. Místo funkce, resp. obecného návodu, jak vybrat vhodnou funkci v závislosti na dodatečných podmínkách kladených na řešení, získáme pouze konečný počet dvojic bod - přibližná hodnota řešení v něm. Zobrazena je situace pro stejnou rovnici jako na předcházející obrazovce, podmínka y(0) = 1, výpočet ukončujeme pro x = 0,5. -2- -3J Numerické řešení diferenciálních rovnic Formulace problému a označení Myšlenka numerických metod Jednotlivé numerické metody Problémy a omezení Získanými body [x/,y,] pak můžeme proložit např. interpolační polynom nebo splajn, abychom získali přibližné vyjádření hledaného řešení zadané počáteční úlohy, resp. hodnoty řešení v jiných než uzlových bodech. Numerické řešení diferenciálních rovnic Formulace problému a označení Myšlenka numerických metod Jednotlivé numerické metody Problémy a omezení Výhody a nevýhody numerického řešení Výhody: 9 Numerické metody jsou aplikovatelné na libovolný typ rovnice prvního řádu. • Odpadá nutnost derivování a integrování. • Algoritmizovatelné. Nevýhody (= cena za výhody): • Numericky nenalezneme funkci, ale přibližné hodnoty řešení v izolovaných bodech. • Nutnost interpolace; problém extrapolace. • Problém výběru vhodné metody, délky kroku, šíření chyb apod. (později) 4 □ ► < & Numerické řešení diferenciálních rovnic Formulace problému a označení Myšlenka numerických metod Jednotlivé numerické metody Problémy a omezení Vyjdeme z formulace úlohy, tj. ze zápisu y' = f(x,y), y(x0) = y0. Předem si stanovíme, na jakém intervalu / = (x0, b) budeme hledat řešení. Interval / rozdělíme s krokem h. Tak získáme tzv. pravidelnou síť {x0, x-i ..., xn}. Dále budeme hledat hodnoty y, v bodech x/5 / = 1,..., n. i 0 1 2 . . . n Xi Xo x^ x2 . . . Xn yo 9 ■ 9 ■ . . . 9 ■ Jednotlivé metody se budou lišit ve způsobu hledání hodnot označených otazníkem. Numerické řešení diferenciálních rovnic Formulace problému a označení Myšlenka numerických metod Jednotlivé numerické metody Problémy a omezení Princip numerického řešení počáteční úlohy y' = f(x, y), y{x0) = y0; y(x) je přesné řešení (červeně), numericky získáme přibližné hodnoty // v bodech x-, (modře), které se ovšem neshodují s hodnotami y(x) v bodech x-, , /' = 0, 1, . . . , n (červeně). }y(xn) Numerické řešení diferenciálních rovnic Formulace problému a označení Myšlenka numerických metod Jednotlivé numerické metody Problémy a omezení Jednokrokové metody Vícekrokové metody 0 b s at O Jednotlivé numerické metody • Jednokrokové metody • Eulerova metoda • Modifikace Eulerovy metody 9 Metoda Rungeho-Kutty Vícekrokové metody • Nástin metod • Šíření chyb • Shrnutí možností řešení diferenciálních rovnic Numerické řešení diferenciálních rovnic Formulace problému a označení Myšlenka numerických metod Jednotlivé numerické metody Problémy a omezení Eulerova metoda V zadání úlohy y' = f{x,y) nahradíme derivaci y' numerickou derivací podle jednoho ze vzorců, které jsme odvodili na přednášce o numerickém derivování. Dostáváme 1 r h y(x/+1) - y(xi) =f(xi,y(Xj)) tj. nahradíme-li hodnotu y(x,) přibližnou hodnotou y, y+i = v\ + hf(xh yí) pro / = 1,..., n - 1, přičemž y0 známe z počáteční podmínky y(*o) = yo- □ (3 Numerické řešení diferenciálních rovnic Formulace problému a označení Myšlenka numerických metod Jednokrokové metody Jednotlivé numerické metody Vícekrokové metody Problémy a omezení Eulerova metoda y V4- yi y3: 2/2 o y y (x) x Xq X\ x2 x3 x4 Funkce y(x) (zeleně) je hledaným analytickým řešením zadané počáteční úlohy, světle červeně je zakresleno směrové pole. Bod [x0, /q] viz počáteční podmínka, body x, jsou uzly sítě, hodnoty // získány Eulerovou metod^j.-^ Numerické řešení diferenciálních rovnic Formulace problému a označení Myšlenka numerických metod Jednotlivé numerické metody Problémy a omezení Jednokrokové metody Vícekrokové metody U Eulerovy metody postupujeme tak, že hodnotu y+1 získáme z numerického vyjádření hodnoty první derivace v bodě x,. Mezi uzly x, a x/+1 se však hodnota derivace hledané funkce (a tedy i řešení dané počáteční úlohy) může dost podstatně změnit. To hrozí zejména v případech velkého h. Budeme proto hledat způsoby, jak hodnotu y+1 získat „sofistikovaněji". Numerické řešení diferenciálních rovnic Formulace problému a označení Myšlenka numerických metod Jednotlivé numerické metody Problémy a omezení Jednokrokové metody Vícekrokové metody + h/2xn+i Numerické řešení diferenciálních rovnic Formulace problému a označení Myšlenka numerických metod Jednotlivé numerické metody Problémy a omezení Jednokrokové metody Vícekrokové metody Výše uvedeným obrázkům odpovídají následující vzorce. Ki = f{Xi,yi) ki = f{XhYi) k2 = /(x/ + lft,y/ + l^i) k2 = f(Xi + h,yi + hk,) y/+i = y-, + hk2 = // + + kz) Mluvíme o tzv. první a druhé modifikaci Eulerovy metody. Numerické řešení diferenciálních rovnic Formulace problému a označení Myšlenka numerických metod Jednotlivé numerické metody Problémy a omezení Jednokrokové metody Vícekrokové metody aR US li tty Dalšími, ještě „sofistikovanějšími", postupy bychom dostávali podobně vypadající vzorce. Všechny by byly tvaru y/+i = yi + h(wAkA + ... + wsks), kde /c-i = f(xj, y,), čísla kh / = 2,..., s jsou funkční hodnoty funkce f(x,y) ve vhodných bodech a číslo s je předem dané. Tyto vzorce se souhrnně nazývají metoda Rungeho-Kutty. Eulerova metoda a její modifikace jsou speciálním případem metody Rungeho-Kutty. Numerické řešení diferenciálních rovnic Formulace problému a označení Myšlenka numerických metod Jednokrokové metody Jednotlivé numerické metody Vícekrokové metody Problémy a omezení Metoda Rungeho-Kutty Nejčastěji se v praxi používá metoda Rungeho-Kutty 4. řádu Vzorce a definice pojmu „řád metody" viz skripta. (u zkoušky bude vyžadováno) Numerické řešení diferenciálních rovnic Q Jednotlivé numerické metody • Jednokrokové metody • Eulerova metoda • Modifikace Eulerovy metody • Metoda Rungeho-Kutty • Vícekrokové metody 9 Nástin metod • Šíření chyb • Shrnutí možností řešení diferenciálních rovnic □ <3 Numerické řešení diferenciálních rovnic Formulace problému a označení Myšlenka numerických metod Jednotlivé numerické metody Problémy a omezení Jednokrokové metody Vícekrokové metody U všech dosavadních metod jsme postupovali tak, že jsme hodnotu y/+1 určili ze znalosti yh tj. v následující tabulce jsme hledali hodnoty označené otazníkem. / 0 1 2 . . . n Xi x2 . . . Xn y yo 9 ■ 9 ■ . . . 9 ■ Numerické řešení diferenciálních rovnic Formulace problému a označení Myšlenka numerických metod Jednotlivé numerické metody Problémy a omezení Jednokrokové metody Vícekrokové metody Hodnotu y/+1 je však možné (a přesnější) určit ze znalosti více (v tabulce k + 1) předcházejících hodnot. Příslušná tabulka tedy může vypadat takto: / 0 1 ... k /c+1 . . . n Xi ... xk . . . Xn yo yi ... yk 9 ■ . . . 9 ■ Numerické řešení diferenciálních rovnic Formulace problému a označení Myšlenka numerických metod Jednotlivé numerické metody Problémy a omezení Jednokrokové metody Vícekrokové metody Jak získat hodnoty y0,..., y,== Základy statistického zpracování dat Základní informace • Priblížení základních pojmů • Rozdělení četností • Charakteristiky polohy • Charakteristiky variability □ t3 Základy statistického zpracování dat st ika Popisná statistika se zabývá shromažďováním, tříděním a popisem souborů dat. Někdy se pod pojmem statistika myslí přímo nashromážděná data, jindy spíše činnost spojená s jejich získáváním a zpracováním. Předmětem statistiky je také hledání zákonitostí v těchto datech a předpověď budoucího vývoje. Základy statistického zpracování dat Základní informace _„......... , , , Kl .„ „, Přiblíženi základních pojmu Nejčastěji používané kvantitativní znaky Statistické jednotky / soubory / znaky a Zkoumané objekty nazýváme statistickými jednotkami. Množinu všech statistických jednotek nazveme statistickým souborem. • Vlastnosti statistických jednotek vyjadřují statistické znaky. • Zjišťujeme-li u každé statistické jednotky pouze jeden statistický znak, získáváme tak soubor jednorozměrný. Zjišťujeme-li dva nebo více znaků a zkoumáme-li jejich vzájemné vztahy, hovoříme o souborech dvourozměrných, resp. vícerozměrných. Základy statistického zpracování dat Základní informace _„......... , , , Kl .„ „, Přiblíženi základních pojmu Nejčastěji používané kvantitativní znaky Statistické jednotky / soubory / znaky Podle rozsahu zkoumané soubory dělíme na: • Základní soubor (populace) - obsahuje všechny vymezené jednotky. • Výběrový soubor (výběr) - obsahuje pouze některé jednotky. Z vlastností výběrového souboru se snažíme zobecnit závěry na celý základní soubor. Proto si při výběru prvků musíme počínat opatrně, výběrový soubor by měl být reprezentativní. Základy statistického zpracování dat Základní informace _„......... , , , Kl .„ „, Přiblíženi základních pojmu Nejčastěji používané kvantitativní znaky Statistické jednotky / soubory / znaky Statistické znaky dělíme na: • Kvantitativní - jsou popsané číselnou hodnotou. Tyto znaky můžeme dále rozdělit na • spojité - mohou nabývat kterékoli hodnoty z určitého intervalu (např. spotřeba elektřiny), • nespojité (diskrétní) - mohou nabývat pouze hodnot z určité konečné nebo spočetné množiny , často se jedná o celočíselné hodnoty (např. počet dětí v rodině). • Kvalitativní- jsou popsány slovně. Zabývat se budeme převážně znaky kvantitativními. □ - = Základy statistického zpracování dat V dalším textu budeme zkoumat jednorozměrný statistický soubor o celkovém rozsahu n statistických jednotek. <□► < ► < ► < -ě: Základy statistického zpracování dat • Priblížení základních pojmů O Nejčastěji používané kvantitativní znaky • Rozdělení četností • Charakteristiky polohy • Charakteristiky variability □ t3 Základy statistického zpracování dat Rozdelení četnosti Základni informace .. .„ „, , . . Charakteristiky polohy Nejčastěji používane kvantitatívni znaky Charakteristiky variability Budeme chtít popsat, jakých hodnot zkoumaný znak nabývá. □ - = Základy statistického zpracování dat Rozdelení četnosti Základni informace .. .„ „, , . . Charakteristiky polohy Nejčastěji používane kvantitatívni znaky Charakteristiky variability Absolutní četnost diskrétních znaků Definition Předpokládejme, že v souboru o rozsahu n může sledovaný znak x nabývat k různých hodnot (variant) x1, x2,..., xk. Četnost varianty x, je počet výskytů této hodnoty ve sledovaném souboru a označíme ji nh i = 1,..., k. Pak platí n1 + n2 H-----h nk = n. Místo četnosti mluvíme také o absolutní četnosti, abychom ji odlišili od tzv. relativní četnosti. Základy statistického zpracování dat Rozdelení četnosti Základni informace .. .„ „, , . . Charakteristiky polohy Nejčastěji používane kvantitatívni znaky Charakteristiky variability elativní četnost diskrétních znaků Definition Relativní četnost varianty x, zavedeme jako Pro relativní četnosti platí r , , r A71 , A7/c A71 + ' ' ' + nk h + — - + Tk =--\- — - — =-= i. n n n • Relativní četnost se často vyjadřuje v procentech. Základy statistického zpracování dat Rozdelení četnosti Základni informace .. .„ „, , . . Charakteristiky polohy Nejčastěji používane kvantitatívni znaky Charakteristiky variability Četnosti graficky vyjadřujeme např. spojnicovým (vlevo) nebo sloupcovým grafem (vpravo). 40 30 20 10 18 19 20 21 22 23 věk (xí 18 19 20 21 22 23 věk (x{ Tyto grafy jsou vhodné zejména pro nízké počty variant. Základy statistického zpracování dat Rozdelení četnosti Základni informace .. .„ „, , . . Charakteristiky polohy Nejčastěji používane kvantitatívni znaky Charakteristiky variability Definition Kumulativní četnost varianty x, udává, kolik jednotek má hodnotu znaku menší nebo rovnou vybrané variantě x,. Rozlišujeme kumulativní absolutní četnost a kumulativní relativní četnost. Základy statistického zpracování dat Rozdelení četnosti Základni informace .. .„ „, , . . Charakteristiky polohy Nejčastěji používane kvantitatívni znaky Charakteristiky variability Četnosti spojitých znaků Pro spojité znaky a pro diskrétní znaky s vysokými počty variant používáme tzv. intervalové rozdělení četností. Interval, do něhož všechny získané znaky spadají, rozdělíme na několik částí a všímáme se četností (relativních i absolutních) hodnot z daného subintervalu. Počet částí intervalu často určujeme podle vzorce k = 1 + log2 n = 1 +3,3 log n, kde n je rozsah souboru. Základy statistického zpracování dat Rozdelení četnosti Základni informace .. .„ „, , . . Charakteristiky polohy Nejčastěji používane kvantitatívni znaky Charakteristiky variability Ke grafickému znázornění intervalového rozdělení četnosti používáme např. histogram (vlevo), příp. normovaný histogram, kde součet obsahů obdélníků je 1 (vpravo). 20-15-10 5 6 7 8 9 10 spotřeba 0,8 0,6 4- 0,4 0,2 6 7 8 9 10 spotřeba Základy statistického zpracování dat Rozdelení četnosti Základni informace .. .„ „, , . . Charakteristiky polohy Nejčastěji používane kvantitatívni znaky Charakteristiky variability Example_J Príklady 10.2 a 10.3 z plné verze skript. Základy statistického zpracování dat • Priblížení základních pojmů O Nejčastěji používané kvantitativní znaky • Rozdělení četností • Charakteristiky polohy • Charakteristiky variability □ t3 Základy statistického zpracování dat Základní informace Nejčastěji používané kvantitativní znaky Učel Rozdělení četností Charakteristiky polohy Charakteristiky variabilit ty y Budeme chtít popsat, kolem jakých hodnot se zkoumaný znak zhruba pohybuje. Základy statistického zpracování dat Rozdelení četnosti Základni informace .. .„ „, , . . Charakteristiky polohy Nejčastěji používane kvantitatívni znaky Charakteristiky variability Definition Máme-li soubor rozsahu n a zjištěné hodnoty znaku jsou x1,..., xn, pak jejich aritmetický průměr je - *i + x =- + *A7 A7 1 " - Vx,-. A? ^ /=1 Jestliže sledovaný znak x může nabývat k různých hodnot x-i, x2,..., xk a pro každou hodnotu x/5 / = 1,..., k, známe její četnost n,-, resp. relativní četnost fh pak ^ k k /=1 /=1 Základy statistického zpracování dat Rozdelení četnosti Základni informace .. .„ „, , . . Charakteristiky polohy Nejčastěji používane kvantitatívni znaky Charakteristiky variability Definition Modus statistického znaku je hodnota, která se v souboru vyskytuje nejčastěji. Modus značíme x. • U spojitých znaků - známe-li intervalové rozdělení četností - stanovujeme tzv. modálni (nej četnější) interval. Za přibližnou hodnotu modu pak můžeme brát střed modálního intervalu. Základy statistického zpracování dat Rozdelení četnosti Základni informace .. .„ „, , . . Charakteristiky polohy Nejčastěji používane kvantitatívni znaky Charakteristiky variability Definition Medián statistického znaku je prostřední hodnota ze souboru uspořádaného podle velikosti. Značíme jej x nebo též x0,5- Označíme-li prvky uspořádané podle velikosti jako x1, x2,..., a počet prvků n je o liché číslo, pak je medián přímo prostřední hodnota, tj. x = x(n+1)/2 • • sudé číslo, je medián průměr ze dvou prostředních prvků, tj- 1 * = 2 (Xn/2 + x(n/2)+1) • Základy statistického zpracování dat Rozdelení četnosti Základni informace .. .„ „, , . . Charakteristiky polohy Nejčastěji používane kvantitatívni znaky Charakteristiky variability Definition Pro p e (0,1) je kvantilxp neboli p-kvantiltakové číslo, které odděluje nejmenších p • 100 % hodnot statistického znaku od největších (1 - p) • 100 % hodnot. Každý software určuje kvantily podle svého vlastního algoritmu. Výsledky získané v různých programech se proto pro daný statistický soubor mohou lišit! Základy statistického zpracování dat • Medián x0,5 - dělí soubor seřazený podle velikosti zkoumaného znaku na poloviny. • Kvartilyx025, £0,5, x0j5 - dělí soubor na čtvrtiny. Hodnotu ^0,25 nazýváme první kvartil, druhý kvartil splývá s mediánem a hodnotu x0,75 nazýváme třetí kvartil. • Decily x0,i, • • •, *o,9 - dělí soubor na desetiny. Mluvíme o prvním, druhém, až devátém decilu. • Percentily x00i,..., x0,99 - dělí soubor na setiny. Základy statistického zpracování dat • Priblížení základních pojmů O Nejčastěji používané kvantitativní znaky • Rozdělení četností • Charakteristiky polohy • Charakteristiky variability □ t3 Základy statistického zpracování dat Základní informace Nejčastěji používané kvantitativní znaky Rozdělení četností Charakteristiky polohy Charakteristiky variability Budeme chtít popsat, jak jsou hodnoty ve statistickém souboru rozptýleny. Zejména nás zajímá, jak jsou hodnoty rozptýleny kolem aritmetického průměru. Základy statistického zpracování dat Rozdelení četnosti Základni informace .. .„ „, , . . Charakteristiky polohy Nejčastěji používane kvantitatívni znaky...... . ..ľí Charakteristiky variability Definition Variační rozpětí\e rozdíl největší a nejmenší hodnoty znaku: R — ^max ^min- Základy statistického zpracování dat Rozdelení četnosti Základni informace .. .„ „, , . . Charakteristiky polohy Nejčastěji používane kvantitatívni znaky...... . ..ľí Charakteristiky variability Definition Mezikvartilové rozpětí\e rozdíl třetího a prvního kvartilu *0,75 - *0,25 Základy statistického zpracování dat Rozdelení četnosti Základni informace .. .„ „, , . . Charakteristiky polohy Nejčastěji používane kvantitatívni znaky...... . ..ľí Charakteristiky variability Rozptyl a směrodatná odchylka Definition Rozptyl statistického znaku v populaci označíme a2 a definujeme jej jako a2 = 7jX>-*)2- /=1 Směrodatnou odchylku definujeme jako Základy statistického zpracování dat Rozdelení četnosti Základni informace .. .„ „, , . . Charakteristiky polohy Nejčastěji používane kvantitatívni znaky...... . ..ľí Charakteristiky variability Rozptyl a směrodatná odchylka Rozptyl udává, jak se hodnoty statistického znaku průměrně liší od průměrné hodnoty, ovšem ve druhé mocnině. Proto pracujeme se směrodatnou odchylkou. Rozptyl často určujeme pomocí následujícího vztahu: Theorem Základy statistického zpracování dat Rozdelení četnosti Základni informace .. .„ „, , . . Charakteristiky polohy Nejčastěji používane kvantitatívni znaky...... . ..ľí Charakteristiky variability Rozptyl a směrodatná odchylka Theorem Rozptyl znaku, který nabývá hodnot x1,x2,...,x/(s četnostmi n-, a relativními četnostmi fh i = 1,... ,k, lze vypočítat jako G — — /=1 \ ;'=1 / -X2 případně jako a2 = $> - x)2 .f,= (J2 /=1 V ;'=1 tt2 Xf-fi\-X O) Základy statistického zpracování dat Rozdelení četnosti Základni informace .. .„ „, , . . Charakteristiky polohy Nejčastěji používane kvantitatívni znaky...... . ..ľí Charakteristiky variability Následující dva soubory mají stejný průměr, ale liší se v rozptylu. Na obrázku vlevo je rozptyl menší, na obrázku vpravo větší. Pro ilustraci používáme normovaný histogram. (fi) 0,4 0,3 0,2- 0,1 (fi) 0,4 0,3 0,2- 0,1 6 8 10 12 14 16 (x; 6 8 10 12 14 16 (x; Základy statistického zpracování dat Rozdelení četnosti Základni informace .. .„ „, , . . Charakteristiky polohy Nejčastěji používane kvantitatívni znaky...... . ..ľí Charakteristiky variability Populační vs. výběrový rozptyl Máme-li k dispozici data pouze pro výběrový soubor (ne populaci), mluvíme o tzv. výběrovém rozptylu a výběrové směrodatné odchylce. Příslušné vzorce jsou mírně odlišné. Definition Výběrový rozptyl definujeme jako / = 1 (2) Značíme jej jako s2. Výběrovou směrodatnou odchylku definujeme jako odmocninu z výběrového rozptylu, s = (3) a značíme ji jako s. Základy statistického zpracování dat Základní informace Nejčastěji používané kvantitativní znaky Rozdělení četností Charakteristiky polohy Charakteristiky variability Populační vs. výběrový ro zptyl Theorem Platí S — , (7 . n - 1 Tedy Základy statistického zpracování dat Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Pravděpodobnostní modely Matematika 3 Pravděpodobnostní modely Q Úvod do pravděpodobnosti • Dosud známe vs. nový pohled • Definice pojmů a označování O Klasická pravděpodobnost Q Další pravděpodobnostní modely • Diskrétní pravděpodobnost • Geometrická pravděpodobnost Q Podmíněná pravděpodobnost • Podmíněná pravděpodobnost • Nezávislost jevů • Úplná pravděpodobnost Pravděpodobnostní modely Q Úvod do pravděpodobnosti • Dosud známe vs. nový pohled • Definice pojmů a označování ^B^^ i /i i v i • Diskrétní pravděpodobnost • Geometrická pravděpodobnost • Podmíněná pravděpodobnost • Nezávislost jevů • Úplná pravděpodobnost □ t3 Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Obsah Q Úvod do pravděpodobnosti • Dosud známe vs. nový pohled • Definice pojmů a označování i/i ' \ ^ iv ii __i • Diskrétní pravděpodobnost • Geometrická pravděpodobnost • Podmíněná pravděpodobnost • Nezávislost jevů • Úplná pravděpodobnost Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Dosud známe vs. nový pohled Definice pojmů a označování Dosud známe vs. nový poľ iled O pravděpodobnosti dosud pravděpodobně víte, že: • věci se dějí s jistou pravděpodobností, která často vyjadřuje subjektivní míru jistoty („Přijdu asi na 80%."), • pravděpodobnost se vyjadřuje procenty v rozsahu 0-100%, • „vědecky pojatá" pravděpodobnost příliš nesouvisí s reálným světem a životem (např. pravděpodobnost výhry prvního pořadí ve Sportce), • s pravděpodobností nějak souvisí statistika, • statisticky lze dokázat naprosto cokoliv, • „Věřím jen té statistice, kterou jsem sám zfalšoval." (Winston Churchill) Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Dosud známe vs. nový pohled Definice pojmů a označování Dosud známe vs. nový poľ iled Ukážeme si, že pravděpodobnost a statistika mají důležité místo v nejrůznějších oborech lidské činnosti. Budeme přesně definovat základní pojmy pravděpodobnosti a statistiky a ukážeme jejich použití v praxi. Protože jste se ve svém studiu s teorií pravděpodobnosti dosud nesetkali, budeme se věnovat jen naprostému úvodu do této matematické disciplíny. Na různých příkladech budeme ukazovat rozpor mezi závěry učiněnými na základě intuitivního chápání pravděpodobnosti a závěry podloženými přesným rozborem situace a výpočty. Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Dosud známe vs. nový pohled Definice pojmů a označování Example Jaká je pravděpodobnost, že hodíme-li kostkou, padne 6? J Intuitivní odpověď: g Tato odpověď může ale také nemusí být správná. Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Dosud známe vs. nový pohled Definice pojmů a označování Výsledek g ohlásíme, protože předpokládáme, že • hážeme šestistěnnou kostkou (ale existují i dvanáctistěnné nebo dvacetistěnné - např. ve hrách typu „Dračí doupě"), • uvažujeme kostku, na jejíž každé stěně je uvedeno právě jedno z čísel 1,2,3,4,5,6 (ale na kostkách např. pro dětské hry mohou být obrázky) • kostka je dobře vyvážená, tj. všechny výsledky jsou stejně pravděpodobné, • kostka nedopadne na hranu, po hodu se neztratí, číslo budeme schopni přečíst a podobné „nepravděpodobnosti". Můžeme to ale vždy předpokládat? Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Dosud známe vs. nový pohled Definice pojmů a označování Example Jaká je pravděpodobnost, že se v běžném platebním styku setkám s něčím podobným jako na obrázku? E37 666646 Intuitivní odpoveď: malá Správná odpověď: nelze určit Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Dosud známe vs. nový pohled Definice pojmů a označování Protože reálnou situaci převádíme na matematický model, musí být každá úloha vždy přesně zadaná. Na co přesně se v zadání ptáme? Předpokládejme, že úlohu definujeme jako např.: „Jaká je pravděpodobnost, že já dostanu do rukou pětistovku s pěti stejnými číslicemi v sériovém čísle?" • Víme, kolik bylo vytištěno sérií, v jakém rozsahu, a jaká část z tohoto objemu byla uvolněna do oběhu? • Víme, jaký objem nominálu byl stažen z oběhu? (opotřebení) • Jak zohledníme skutečnost, že lidé většinou vybírají peníze ze stejných bankomatů (přitom každý přednostně nabízí jiné bankovky)? Jsem já reprezentativní vzorek? Některé z těchto informací lze (s různou obtížností) dohledat. Některé jsou ovšem tajné. Proto ani na zpřesněnou formulaci zadání odpovědět nelze. n -►,»►,»►,., Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Dosud známe vs. nový pohled Definice pojmů a označování Q Úvod do pravděpodobnosti • Dosud známe vs. nový pohled • Definice pojmů a označování ^H^^ I XI I r ■ v I _ |_ i • Diskrétní pravděpodobnost • Geometrická pravděpodobnost • Podmíněná pravděpodobnost • Nezávislost jevů 9 Úplná pravděpodobnost Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Dosud známe vs. nový pohled Definice pojmů a označování Probléi m V teorii pravděpodobnosti konáme pokusy, všímáme si jejich výsledků a ptáme se, jaká je pravděpodobnost, že některé z těchto výsledků nastanou. Abychom na tuto otázku mohli smysluplně odpovědět, musíme zejména • vědět, co rozumíme pokusem, • zajistit, aby pokus byl „náhodný", • umět popsat možné výsledky pokusu, zajistit, aby byly „náhodné", a popsat případné vazby mezi jednotlivými výsledky, 9 přesně definovat ty výsledky, které nás zajímají, a to vše pomocí matematického aparátu v situaci, kdy se zabýváme úlohou z reálného života. Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Dosud známe vs. nový pohled Definice pojmů a označování Řešení Proto se nyní budeme věnovat tzv. axiomatické teorii pravděpodobnosti. Ukážeme, že intuitivně chápaný pojem pravděpodobnosti (viz příklad o kostce s výsledkem 1) je jen jednou z možných podob pojmu pravděpodobnost. Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Dosud známe vs. nový pohled Definice pojmů a označování Ko n texl t za d á n 1 Příklady z pravděpodobnosti často využívají šablonovitá zadání. Hovoří se např. o házení kostkou nebo mincí, tahání karet, kuliček z urny apod. To umožňuje soustředit se na matematickou podstatu problému a nerozptylovat pozornost studiem vnějších projevů jednotlivých reálií. Velmi často se v příkladech hovoří o „výrobcích" a „zmetcích Tato slova jsou synonymem pro slova „pokus" a „neúspěch". V reálných aplikacích jsou ovšem reálie velmi důležité, protože mají vliv na vlastnosti matematického modelu zadání! Znalost reálií však získáte v odborných předmětech. Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Dosud známe vs. nový pohled Definice pojmů a označování Example • Jedenkrát hodíme běžnou šetistěnnou kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne trojka? 9 Malému dítěti, které čerstvě pozná písmena, napíšeme šest zkratek: USA, ČR, SRN, EU, IBM, UK. Požádáme jej, aby označilo tu zkratku, která mezi ostatní nepatří. Jaká je pravděpodobnost, že vyřadí zkratku IBM? • Dítěti, které právě začalo chodit do školy, napíšeme šest zkratek: USA, ČR, SRN, EU, IBM, UK. Požádáme jej, aby označilo tu zkratku, která mezi ostatní nepatří. Jaká je pravděpodobnost, že vyřadí zkratku IBM? Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Dosud známe vs. nový pohled Definice pojmů a označování Definition Předpokládejme, že provádíme náhodný pokus. Označme Q množinu všech možných výsledků tohoto pokusu. Množinu Q nazveme základní prostor. Example Házíme kostkou, dokud nepadne šestka. Určete základní prostor. ft = {[6],[1,6],...,[5,6],[1,2,6],...[1,5,6], [2,1,6],...,[5,1,6],...,[5,5,6],[1,1,1,6],...} Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Dosud známe vs. nový pohled Definice pojmů a označování Definition Buď Q ^ 0 a S systém podmnožin množiny Q, který má tyto vlastnosti Q e S, O jestliže A e S, pak také Ä = Q\A e S, oo O jestliže Ak e S, k = 1,2,..., pak také (J Ak eS. /c=1 Pak S nazveme množinovou a-algebrou a dvojici (0,5) nazveme jevovým polem. Jestliže má základní prostor alespoň dva prvky, není 5, a tedy ani jevové pole, určeno jednoznačně, (ukázka pro Q = {1,2,3} viz plná verze skript) -1 = -OQ^o Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Dosud známe vs. nový pohled Definice pojmů a označování N láí nodi ié j e vy Definition Množinu A c Q nazveme náhodným jevem, jestliže A e S. Náhodné jevy budeme většinou označovat počátečními písmeny abecedy. Některé náhodné jevy mají význačné postavení: • Náhodný jev Q nazýváme jistý jev. • Náhodný jev 0 nazýváme nemožný jev. • Je-li cj e ft, pak náhodný jev {u} nazýváme elementární jev. Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Dosud známe vs. nový pohled Další pravděpodobnostní modely Definice pojmů a označování Podmíněná pravděpodobnost Další základní pojmy Nechť / je libovolná indexová množina. Pak • f| Aj nazýváme společné nastoupení jevů Ah i e /, iei • U Aj nazýváme nastoupení alespoň jednoho z jevů Aj, • Aj = Q \ Aj nazýváme opačný jev k jevu A,, i e /, • skutečnost, že pro u e Q platí, že u e A/, i e /, znamená, že možný výsledek náhodného pokusu u je příznivý jevu Aj, i g /. Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Dosud známe vs. nový pohled Definice pojmů a označování Da Iši i za kl la d n 1 poj m Nechť 1,2 g /, kde / je indexová množina. Pak • symbolem \ A2 označujeme nastoupení jevu A^ za nenastoupení jevu A2, • jestliže /A-i c A2, řekneme, že jev A^ má za důsledek jev • jestliže A| n A2 = 0, řekneme, že jevy A^, A2 jsou neslučitelné. Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Dosud známe vs. nový pohled Definice pojmů a označování Pri * Example Házíme kostkou, dokud nepadne šestka. Vypište všechny možné výsledky příznivé nastoupení jevu A pokus skončí při třetím hodu, jevu B pokus skončí při třetím hodu, přičemž v prvních dvou hodech padlo vždy sudé číslo a jevu C pokus skončí při třetím hodu, přičemž v prvním hodu padlo liché číslo. A = {[x,y,6] : x,y e {1,2,3,4,5}} B = {[x,y,6] : x,ye{2,4}} C = {[x, y, 6] : xe{1,3,5},y g {1,2,3,4,5}} Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Definition Nechť (Í2,«S) je jevové pole. Pravděpodobností nazveme reálnou množinovou funkci P : S -> M, která splňuje následující axiomy: O nezápornosti, tj. P(A) > 0 pro každé S Q normovanosti, tj. P(Q) = 1 O spočetné aditivity, tj. jestliže je každá dvojice jevů A, Aj, i ^ j neslučitelná, pak oo oo ,/=1 /=1 Trojici P) nazýváme pravděpodobnostní prostor. 13 Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Dosud známe vs. nový pohled Definice pojmů a označování Vlastnosti pravděpodobnos >ti Z výše uvedených axiomů vyplývá několik více či méně zřejmých, resp. známých, vlastností pravděpodobnosti. Pro každé A,BeS platí: O P(0) = 0 < P(A) < P(fi) = 1 Q P{A UB) = P{A) + P{B) - P(A n B) O jestliže AcB, pak P{A) < P(B) O P(A) = 1 - P{A) □ gi - = Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Dosud známe vs. nový pohled Definice pojmů a označování Pokud bychom chtěli vlastnost 2 zobecnit na n jevů, dostali bychom: / n \ n—Á n— 1 n P U A = E E E P(A-n4y)+ \/=i / /=1 /=1 y=/+i n—2 n—1 n + E E E P(An/\ynAt)-... /=1 y=/+1 k=j+2 ... + (-1 )n-1 n A2 n... n An) Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost • Dosud známe vs. nový pohled • Definice pojmů a označování Q Klasická pravděpodobnost • Diskrétní pravděpodobnost • Geometrická pravděpodobnost • Podmíněná pravděpodobnost • Nezávislost jevů • Úplná pravděpodobnost Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Definice klasické pravděpodobnosti Definition Nechť základní prostor Q je konečná neprázdná množina a nechť S obsahuje všechny podmnožiny základního prostoru. Označme |Q| počet všech možných výsledků nějakého náhodného pokusu a pro libovolný jev A e S označme \A\ počet možných výsledků příznivých jevu A. Klasickou pravděpodobnostínazýváme reálnou množinovou funkci P : S R definovanou pro všechna A e S vztahem P(A) A přičemž každému elementárnímu jevu přiřazujeme stejnou pravděpodobnost 1 Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Example V osudí je pět míčků - červený, modrý, bílý, černý, zelený. Náhodně vybíráme jeden z nich. Pravděpodobnost, že vybereme zelený, je ji. Odpověď g dáváme proto, že jsou splněny všechny předpoklady definice a úloha je zadána korektně. Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Example V osudí je pět míčků. Náhodně vybíráme jeden z nich. Jaká je pravděpodobnost, že vybereme zelený? Na tuto otázku nelze odpovědět. Example V osudí je pet micku, které představují uchazeče o verejnou zakázku. Zástupce magistrátu náhodně vybírá jeden míček. Jaká je pravděpodobnost, že vybere firmu XY? Opravdu se jedná o příklad na klasickou pravděpodobnost? Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Diskrétní pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost ■3 saf • Dosud známe vs. nový pohled • Definice pojmů a označování Q Další pravděpodobnostní modely • Diskrétní pravděpodobnost • Geometrická pravděpodobnost • Podmíněná pravděpodobnost • Nezávislost jevů • Úplná pravděpodobnost Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Diskrétní pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost N e ko n iečr íé r ni 10 Zl ny Nekonečné množiny můžeme klasifikovat. Definition 9 Nekonečnou množinu, jejíž prvky lze uspořádat do posloupnosti, nazveme spočetnou a řekneme, že má spočetně mnoho prvků. • Nekonečnou množinu, jejíž prvky nelze uspořádat do posloupnosti, nazveme nespočetnou a řekneme, že má nespočetně mnoho prvků. • Množinu, která je konečná nebo spočetná, nazveme nejvýše nespočetnou. Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti r Klasická pravděpodobnost Diskrétní pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Geometrická pravděpodobnost Podmíněná pravděpodobnost Nekonečné množiny Example Spočetnými množinami jsou např. množina všech sudých čísel N, Z, Q. Example Každý interval / c R je nespočetný. Lze ukázat, že zatímco všechny spočetné množiny mají stejný počet prvků, nespočetné množiny mají více prvků než spočetné. Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Diskrétní pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost ■3 saf • Dosud známe vs. nový pohled • Definice pojmů a označování Q Další pravděpodobnostní modely • Diskrétní pravděpodobnost • Geometrická pravděpodobnost • Podmíněná pravděpodobnost • Nezávislost jevů • Úplná pravděpodobnost Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Diskrétní pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Defi nice d is krétní pravd ep odobnosti Definition Nechť základní prostor Q je nejvýše spočetná, tj. konečná nebo spočetná, neprázdná množina a nechť S obsahuje všechny podmnožiny základního prostoru. Předpokládejme, že jednotlivým elementárním jevům {cj,}, / = 1,2,... přiřadíme navzájem obecně různé pravděpodobnosti P({cj,}), tak, že součet pravděpodobností všech elementárních jevů {o;,-} je roven 1. Pravděpodobnost jevu AcQ definujeme jako P{A) = ]T P(M) Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Diskrétní pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Pří * Příklad na užití klasické pravděpodobnosti: Example S jakou pravdepodobností padne na bežné šestisténné kostce liché číslo? Príklad na užití diskrétni pravdepodobnosti: Example S jakou pravděpodobností padne liché číslo na šestisténné kostce, která má posunuté těžiště tak, aby šestka padala s pravděpodobností 0,79, jednička s pravděpodobností 0,01 a ostatní čísla každé se stejnou pravděpodobností? Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Diskrétní pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost ■3 saf • Dosud známe vs. nový pohled • Definice pojmů a označování Q Další pravděpodobnostní modely • Diskrétní pravděpodobnost • Geometrická pravděpodobnost • Podmíněná pravděpodobnost • Nezávislost jevů • Úplná pravděpodobnost Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Diskrétní pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost V matematické analýze, resp. ve formálně přesně budované teorii pravděpodobnosti, se zavádí pojem míra množiny, resp. objem borelovské množiny. Zavedení těchto pojmů výrazně přesahuje možnosti našeho předmětu. Pro dvourozměrné množiny G proto označme symbolem /i(G) intuitivně chápaný obsah oblasti G c IR2. Pro trojrozměrné množiny G budeme symbolem /i(G) chápat objem množiny, pro jednorozměrné pak délku příslušné úsečky. Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Diskrétní pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Geometrická pravděpodobnost Podmíněná pravděpodobnost Definice geometrické pravděpodobnosti Definition Je-li dán základní prostor jako oblast Q c IR2 takový, že každý výsledek pokusu nastává se stejnou pravděpodobností, pak pravděpodobnost, že výsledek pokusu bude ležet v oblasti A c ft, definujeme vztahem • Ve skutečnosti předpokládáme, že Q je libovolná nespočetná množina. (Požadavek „oblast Q c R2 "je sice velkým zjednodušením, avšak pro naše účely postačuje.) • K určení čísel fi(A), resp. /i(íí), je velmi často nutné využít integrování. < □ * >«i -= z= ■ Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Diskrétní pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Geometrická pravděpodobnost Podmíněná pravděpodobnost Example Vezmeme špejli a náhodně ji rozřízneme na tři části. Jaká je pravděpodobnost, že z nich složíme trojúhelník? Uvažujeme v reci intervalů a nekonečných množin, proto otázka, které řezy jsou technicky proveditelné, je irelevantní! Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Diskrétní pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Uvážíme jednotkovou špejli a řezy x, y tak, že x < y. Základní prostor Q je Q = {[x,y]eM2;x,ye(0,1),x 0. Pak platí P ( p| A ] = P(A) • P{A2\A,) • P(/\3|/\i nA2) • P{An\A, nA2 n ... n A,-0 Pravděpodobnostní modely • Dosud známe vs. nový pohled * Definice pojmů a označování l/i ■ | r iv li __■ • Diskrétní pravděpodobnost • Geometrická pravděpodobnost Q Podmíněná pravděpodobnost • Podmíněná pravděpodobnost • Nezávislost jevů 9 Úplná pravděpodobnost Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Podmíněná pravděpodobnost Nezávislost jevů Úplná pravděpodobnost Definition Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (íí, Example • Jestliže současně hodíme dvěma kostkami, jevy na jedné kostce padlo sudé číslo a padl součet 10. • Jevy tažená karta z balíčku karet je eso a tažená karta z balíčku je král za předpokladu, že první kartu nevrátíme zpět a balíček nezamícháme. • Možné výsledky různých rozhodovacích strategií. Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Podmíněná pravděpodobnost Nezávislost jevů Úplná pravděpodobnost Example Z běžného balíčku karet vytáhneme postupně dvě karty. Jaká je pravděpodobnost, že obě tažené karty budou esa? o Závislost, resp. nezávislost jevů nemusí být na první pohled zřejmá! (řešení příkladu viz sbírka příkladů, př. 2.10.) Pravděpodobnostní modely Úvod do pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Další pravděpodobnostní modely Podmíněná pravděpodobnost Podmíněná pravděpodobnost Nezávislost jevů Úplná pravděpodobnost Pojem nezávislosti lze rozšířit i na případ n jevů. Pak bychom ověřovali platnost všech vztahů V7 < j V/ R taková, že pro každé x e R je {u g Q: X(cj) < x} g 5, se nazývá náhodná veličina na pravděpodobnostním prostoru (Q, 5, P). • Zjednodušeně lze říci, že náhodná veličina je funkce, která prvkům základního prostoru Q přiřazuje reálná čísla. • Jedná se o veličinu, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem nějakého náhodného pokusu. a Náhodné veličiny obvykle značíme velkými písmeny, nejčastěji X. Náhodná veličina Dosud známé vs. nový pohled Náhodná veličina Distribuční funkce Je-li dána nějaká množina B, pak symbol [X g B] označuje množinu takových možných výsledků u nějakého náhodného pokusu, pro které platí, že X(lj) g 6, tj. [X g B] := {u g Q : X (u) g B}. Symbol [X g B] čteme „náhodná veličina X se realizuje v množine S . • Zápis P(X g 6) čteme „pravděpodobnost, že se náhodná veličina realizuje v množině 6". Náhodná veličina Dosud známé vs. nový pohled Náhodná veličina Distribuční funkce Oz n iačei n 1 Jestliže je množina S jednoprvková, tj. např. B = {x}, pak místo [X g B] píšeme [X = x] a říkáme, že „náhodná veličina X se realizuje hodnotou x." Symbolicky [X = x] := {cj e ft : X (u) = x}. • Pozor na rozlišování X (náhodná veličina) a x (reálné číslo, konkrétní realizace náhodné veličiny)] • Podobně můžeme zavést symboly [X < x] („náhodná veličina se realizuje hodnotou menší než x"), [X < x], [X > x], [X > x], [x < X < y] a další. • Vyjádření výše uvedených podmínek může obsahovat logické spojky a, v, -i, =4>, Náhodná veličina Dosud známé vs. nový pohled Náhodná veličina Distribuční funkce Example Náhodná veličina X udává číslo, které padne při hodu kostkou. Zapište „pravděpodobnost, že padne sudé číslo". Požadavek můžeme zapsat např. jako P(X e {2,4,6}) nebo P(X = 2 v X = 4 v X = 6). Protože podmínky [X = 2], [X = 4] a [X = 6] jsou neslučitelné, můžeme hledanou pravděpodobnost určit jako součet P(X = 2) + P(X = 4) + P(X = 6). Náhodná veličina Dosud známé vs. nový pohled Náhodná veličina Distribuční funkce K nejčastějším typům náhodných veličin patří: O diskrétní náhodné veličiny-ty, které mohou nabývat pouze hodnot z určité konečné nebo spočetné množiny O spojité náhodné veličiny -ty, které mohou nabývat kterékoli hodnoty z určitého intervalu Poznámka: nejedná se o přesné definice. • U některých z dále uváděných pojmů, resp. vzorců, budou nutné rozlišovat typ náhodné veličiny, kterou uvažujeme. Náhodná veličina Dosud známé vs. nový pohled Náhodná veličina Distribuční funkce Q Distribuční funkce Náhodná veličina D Dosud známé vs. nový pohled Náhodná veličina Distribuční funkce Definition Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (íí, A, P) a náhodná veličina X. Funkce F : R -> R definovaná pro každé x e R předpisem F (x) = P(X < x) se nazývá distribuční funkce náhodné veličiny X vzhledem k pravděpodobnosti P. Náhodná veličina Dosud známé vs. nový pohled Náhodná veličina Distribuční funkce Poz n iái m kyl k d el fi n ■ i ICI • Někdy se v definici distribuční funkce používá ostrá nerovnost (viz např. stará verze skript). To však má vliv na formu vzorců a na veškeré výpočty! • I když je oborem hodnot distribuční funkce celé IR, ve skutečnosti nabývá distribuční funkce jen hodnot z intervalu (0,1). o Pojem distribuční funkce se váže ke všem typům náhodných veličin. To je odlišnost od některých dalších pojmů (např. pravděpodobnostní funkce nebo hustota pravděpodobnosti), které jsou definovány jen pro určité typy náhodných veličin. Náhodná veličina Dosud známé vs. nový pohled Náhodná veličina Distribuční funkce Vlastnosti distribuční funkce Distribuční funkce má následující vlastnosti: O 0 < F(x) < 1 pro každé x e M, ô F je neklesající, tj. když a < b, pak F(a) < F(b), O lim F{x) = 0, lim F{x) = 1, O P{X > a) = 1 - F(a) pro každé a e R, Q P(a < X < b) = F(ď) - F(a) pro každé a,ďgk,a<ď © F je zprava spojitá, tj. lim F(ŕ) = F(x). Dále budeme rozlišovat diskrétní a spojité náhodné veličiny. Bude-li náhodná veličina spojitá, bude vlastnost 6 modifikována na „funkce je spojitá." Náhodná veličina Dosud známé vs. nový pohled Náhodná veličina Distribuční funkce Theorem Má-// nějaká funkce F : R R vlastnosti 2, 6 a 3, pak existuje pravděpodobnostní prostor (íí, S, P) a na něm definovaná náhodná veličina X tak, že F je distribuční funkce této náhodné veličiny X. Náhodná veličina Dosud známé vs. nový pohled Náhodná veličina Distribuční funkce Konrétní příklady uvedeme v dalších kapitolách pro jednotlivé typy náhodných veličin. □ - = Náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Diskrétní náhodná veličina Matematika 3 Diskrétní náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin ■3 saf Q Definice Q Pravděpodobnostní funkce Q Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny O číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin • Střední hodnota • Rozptyl a směrodatná odchylka • Odhady pravděpodobností pomocí EX a DX Diskrétní náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin ■3 saf Q Definice Ciselne charakteristiky diskrétních náhodných veličin • Střední hodnota • Rozptyl a směrodatná odchylka • Odhady pravděpodobností pomocí EX a DX Diskrétní náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Definice (intuitivně a zjednodušeně) Definition Náhodnou veličinu X nazýváme diskrétní, jestliže jejím oborem hodnot je množina, která je konečná nebo spočetná. Hodnoty, kterých může diskrétní náhodná veličina nabýval značíme většinou x-|, x2,.... Počet možných výsledků pokusu většinou značíme n. Přitom může být také n = oc. Diskrétní náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Example • Náhodným pokusem rozumíme střílení do terče, dokud se netrefíme. Počet spotřebovaných nábojů je diskrétní náhodná veličina. • Náhodným pokusem rozumíme hod kostkou. Pokus několikrát opakujeme. Diskrétní náhodnou veličinou je např. celkový počet šestek nebo celkový počet lichých / sudých čísel, která padnou. • Náhodným pokusem rozumíme narození dítěte. Diskrétní náhodnou veličinou je počet narozených chlapců (tj. 0 nebo 1). Diskrétní náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin ■3 saf Q Pravděpodobnostní funkce Ciselne charakteristiky diskrétních náhodných veličin • Střední hodnota • Rozptyl a směrodatná odchylka • Odhady pravděpodobností pomocí EX a DX Diskrétní náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Defi n ice Jestliže možné výsledky pokusu nastávají s obecně různou pravděpodobností, potřebujeme nástroj, jak tuto „obecně různou" pravděpodobnost popsat. Definition Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (íí, A, P) a diskrétní náhodná veličina X. Funkce p : R -> R definovaná pro každé x e IR předpisem p(x) = P(X = x) se nazývá pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny X. Diskrétní náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin • Podobně jako u distribuční funkce, i zde je sice formálně vzato oborem hodnot množina celá IR, avšak ve skutečnosti je to jen interval (0,1}. • Někdy se místo názvu pravděpodobnostnífunkce používá označení frekvenční funkce. Tu značíme f. Diskrétní náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Vlastnosti pravděpodobnostní funkce Theorem Pravděpodobnostní funkce má následující vlastnosti: O jo všude nulová s výjimkou nejméně jednoho a nejvýše spočetně mnoha bodů, O Vx g R platí, že 0 < p(x) < 1, O E P(x/) = 1 - X/:p(X/)>0 n Vlastnost 3 lze zapsat také jako Y, P(x/) = 1 ■ /=1 Diskrétní náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Jestliže nějaká funkce p : R -> R má následující vlastnosti: • Vx g R platí, že p(x) > 0, tj. mírně modifikovaná vlastnost 2, a • Yl P(xi) = 13 tj- vlastnost 3, X/:p(x/)>0 pak existuje pravděpodobnostní prostor (íí, S, P) a na něm definovaná diskrétní náhodná veličina X taková, že p(x) je její pravděpodobnostní funkcí Diskrétní náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Example Taháme vždy jednu kartu z běžné karetní hry 32 karet (4 bravy po 8 kartách). Když vybereme eso, zapíšeme na papír číslo 1 a „hra" končí. Když vytáhneme figuru, zapíšeme na papír číslo 2 a „hra" končí. Když vytáhneme něco jiného, kartu vrátíme a balíček promícháme. Táhneme znovu. Když nyní vytáhneme eso, zapíšeme na papír číslo 3 a „hra" končí. Když vytáhneme figuru, zapíšeme číslo 4 a „hra" končí. Když vytáhneme něco jiného, zapíšeme číslo 5 a „hra" končí. Náhodná veličina X udává číslo, které jsme si zapsali. Určete její pravděpodobnostní funkci. Diskrétní náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Řešení Předně si musíme uvědomit, jakých hodnot může náhodná veličina nabývat. Zde máme X e {1,2,3,4,5}. Proto také P(*) = 0 prox 0 {1,2,3,4,5} ? pro x g {1,2,3,4,5} Hodnoty označené otazníkem budou nenulové. Určíme je pomocí klasické pravděpodobnosti. Zde zřejmě p(l) = ^ = 1, p(2) = ±§ = |. Díky tomu, jak je situace popsána, můžeme psát, že p(3) = 32-4-12 = Tě' P(4) = 32-4-12 12 32 32 n Vzhledem k tomu, že Y, p(x,) = 1, je /=1 p(5) = 1 ------- HK J 8 8 16 32 32 16" 16 1 4 Diskrétní náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Problém Zadání je poměrně podrobné. Jak jej můžeme upravit, aniž bychom změnili platnost výpočtu? Přitom chceme, aby pokus zůstal stejný. Diskrétní náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Znázornění pravděpodobn ostní funkce Na obrázcích je p(0) = §, p(1) = §, p(3) p(x) = 0 pro x £ {0,1,2,3,4}. 0,6 0,4 i 0,2- 27' P(^) ~~ 81 ' 0,6- 0,4- 0,2- 4 x 4 x Diskrétní náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Example Házíme kostkou, dokud nepadne šestka. Hodit můžeme nejvýše pětkrát. Náhodná veličina X udává počet hodů. Určete její pravděpodobnostní funkci. • Chceme-li určovat pravděpodobnostní, musí být zřejmé, co popisuje náhodná veličina! Diskrétní náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin ■3 saf Q Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny r — I I— I ■ ■ _ ■ ■ I i ■ ■ r i r i r i i y i i ■ v ■ HP Ciselne charakteristiky diskrétních náhodných veličin • Střední hodnota • Rozptyl a směrodatná odchylka • Odhady pravděpodobností pomocí EX a DX Diskrétní náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Definice Definici distribuční funkce a její vlastnosti jsme uváděli v minulé kapitole. Ve speciálním případě, kdy je náhodná veličina X diskrétní, má distribuční funkce schodovitý tvar. Diskrétní náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Vztah distribuční a pravděpodobnostní funkce Theorem Je-li X diskrétní náhodná veličina, F její distribuční funkce a p její pravděpodobnostní funkce nabývající nenulových hodnot v bodech th / = 1,2,..pak platí def F(x)^P(X' P(x>) Xj:p(Xj)>0 nazýváme střední hodnotou náhodné veličiny X vzhledem k pravděpodobnosti P. • Budeme také používat časté (a vhodnější) označení E(X). • Místo E lze psát také f;. X/:p(X/)>0 /=1 Diskrétní náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Odhady pravděpodobností pomocí EX a DX • V uvedené definici předpokládáme, že řadu lze sečíst. Pokud tomu tak není, řekneme, že střední hodnota neexistuje. • Řada v definici střední hodnoty může být konečná i nekonečná (se spočetně mnoha členy). Diskrétní náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Odhady pravděpodobností pomocí EX a DX Example Kdybychom spočetněkrát házeli běžnou šestistěnnou kostkou a ze získaných výsledků poté vypočetli průměr, jakou hodnotu bychom získali? Diskrétní náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Odhady pravděpodobností pomocí EX a DX Pří * Řešení: Náhodná veličina X udává číslo, které může padnout na šestistěnné kostce, tj. nabývá hodnot z množiny {1,2,3,4,5,6}. Pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny X je p(x) = l i prax e {1,2,3,4,5,6} K ' \ 0 jinak Střední hodnota EX tedy je ,1 «1 „ 1 .1 r- 1 „ 1 EX = 1 .-+2.-+3.-+4.-+5.-+6.- 6 6 6 6 6 6 1 6 5Ľ' = ^ = 3,5. /=1 □ S1 Diskrétní náhodná veličina Definice ... , ,. , . ,, Strední hodnota Pravděpodobnostní funkce _ x , „ .. . ,A , Rozptyl a směrodatná odchylka Distribuční funkce diskrétni náhodne veličiny r' .„ ' , a. , , , ,, ■ ,. , - , , , - , Odhady pravdepodobnosti pomoci EX a DX Ciselne charakteristiky diskrétních náhodných veličin Počítání se střední hodnotou » Jestliže X, V jsou náhodné veličiny (ne nutně diskrétní), EX, EV jejich střední hodnoty a a,b,c eR libovolné, pak O E(a) = a O E(cX) = c ■ EX O E(X± V) = EX±EV O E(a + bX+cY) = a+ b-EX + c-EY Q E(X - EX) = 0 • Jestliže X, V jsou diskrétní náhodné veličiny takové, že pro každou dvojici hodnot x, y e R platí P([X = x] n [Y = y}) = P(X = x)-P(Y = y), tj. náhodné veličiny X, V jsou nezávislé, pak Q E(X- y) =EXEV Diskrétni náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Odhady pravděpodobností pomocí EX a DX ■3 saf O číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin • Střední hodnota • Rozptyl a směrodatná odchylka • Odhady pravděpodobností pomocí EX a DX Diskrétní náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Odhady pravděpodobností pomocí EX a DX M lot iva ce Máme-li dán nějaký datový soubor, který se skládá z číselných hodnot, můžeme snadno vypočítat průměr těchto hodnot. Mimo to můžeme chtít určit např. charakteristiky variability - a z nich např. chtít jedním číslem vyjádřit „globální" odchylku v celém datovém souboru, tj. rozptyl, resp. směrodatnou odchylku. Diskrétní náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Odhady pravděpodobností pomocí EX a DX Example Ve skupině xx byly získány následující bodové výsledky písemky (seřazeno vzestupně): 0-0-1-2-2-3-4-4-4-5-5-6-7-8-8-8-8-9-9-10-10 Najdete prumer těchto hodnot a poté určete, jak se výsledky písemky průměrně liší od průměru. Diskrétní náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Odhady pravděpodobností pomocí EX a DX M lot iva ce V mnoha případech ale umíme určit hodnoty pravděpodobnostní funkce příslušné náhodné veličiny (která může být definována až pro spočetně mnoho hodnot). Zkusme určit nějakou analogii pojmu rozptyl statistického znaku, resp. směrodatná odchylka statistického znaku, podobně jako jsme to udělali u pojmu průměr. Diskrétní náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Definice Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Odhady pravděpodobností pomocí EX a DX Definition Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (íí,«S, P), diskrétní náhodná veličina X, její střední hodnota EX. Pak číslo DX = E[(X - EX)2] nazýváme rozptylem náhodné veličiny X vzhledem k pravděpodobnosti P a kladnou hodnotu VdX nazýváme směrodatnou odchylkou náhodné veličiny X vzhledem k pravděpodobnosti P. • Budeme také používat časté (a vhodnější) označení D(X). Diskrétní náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Odhady pravděpodobností pomocí EX a DX • V uvedené definici předpokládáme, že střední hodnota náhodné veličiny (X - EX)2 existuje. Diskrétní náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Odhady pravděpodobností pomocí EX a DX Vzorec pro výpočet rozptyl U Vzorec DX = E[(X - EX)2] lze upravit do tvaru DX = E(X2)-(EX)2, kde E(X2) je střední hodnota náhodné veličiny X2, tj. E(X2)= Yl xf-PW xr.p(Xj)>0 Diskrétní náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Odhady pravděpodobností pomocí EX a DX Example Kdybychom spočetněkrát házeli běžnou šestistěnnou kostkou, ze získaných výsledků poté vypočetli průměr a poté náhodně vybrali výsledek jednoho hodu, o jakou hodnotu by se od tohoto průměru s největší pravděpodobností nejvýše lišil? Diskrétní náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Odhady pravděpodobností pomocí EX a DX • Náhodná veličina X udává číslo, které může padnout na šestistěnné kostce, tj. nabývá hodnot z množiny {1,2,3,4,5,6}. • Pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny X je D(x\ = [ l Prox G {1,2,3,4,5,6} HK ) \ 0 jinak • Střední hodnotu náhodné veličiny X jsme určili jako EX = |. • V zadání se ptáme na směrodatnou odchylku, tedy kladnou odmocninu z rozptylu. Nejprve musíme najít náhodnou veličinu X2 a její střední hodnotu EX2. 111 1 1 116 13 E(X2) = 1.-+4.-+9.- + 16.-+25.-+36.- = - V /2 = — v 7 6 6 6 6 6 66^ť 2 /=1 • Proto rozptyl DX = -^-(|)2 = ffa směrodatná odchylka 7ĎX= = 1.71. Diskrétní náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Počítání s rozptylem Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Odhady pravděpodobností pomocí EX a DX Jestliže X, y jsou náhodné veličiny (ne nutně diskrétní) DX, D Y jejich rozptyly aa,í),cgk libovolné, pak O D(a) = 0 O D(a + bX) = b2-DX Jestliže X, y jsou náhodné veličiny (ne nutně diskrétní) takové, že pro každou dvojici hodnot x,/gR platí P([X = x]n[Y = y]) = P(X = x) • P{Y = y), tj. náhodné veličiny X, y jsou nezávislé, pak O D(X± Y) = DX±DY Diskrétní náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Odhady pravděpodobností pomocí EX a DX ■3 saf O číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin • Střední hodnota • Rozptyl a směrodatná odchylka • Odhady pravděpodobností pomocí EX a DX Diskrétní náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Odhady pravděpodobností pomocí EX a DX Se znalostí střední hodnoty a rozptylu můžeme v určitých případech odhadnout jisté pravděpodobnosti. Tyto odhady překračují rámec našeho předmětu a uvádíme je jen pro zajímavost. Diskrétní náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Odhady pravděpodobností pomocí EX a DX Theorem Jestliže je dána náhodná veličina (ne nutne diskrétní) taková, že P(X > 0) = 1, a jestliže existuje její střední hodnota EX, pak pro všechna t > 0, t e R platí P(X > t • EX) < y Diskrétni náhodná veličina Definice Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Odhady pravděpodobností pomocí EX a DX Theorem Jestliže je dána náhodná veličina X a jestliže existují její strední hodnota EX a rozptyl DX, pak pro všechna t > 0, t e IR platí P(|X-EX| > t-VĎX) < -, ř2 Diskrétní náhodná veličina Před tím, než začnete řešit jakékoli příklady, si pročtěte plnou verzi učebního textu! Diskrétní náhodná veličina Příklady pro samostatnou práci jsou uvedeny v samostatné sbírce příkladů. Diskrétní náhodná veličina Example Je dána pravděpodobnostní funkce nějaké náhodné veličiny X P(*) = k-0,8x proxe {1,2,3,...} 0 jinak desetinným číslem vyjádřete P(X > 4) a určete F(3,5). Diskrétní náhodná veličina Example Šestkrát za sebou náhodně najednou vybereme 5 karet z běžného balíčku 32 karet. Po každém výběru karty vrátíme a balíček promícháme. Náhodná veličina X udává, kolikrát takto vybereme alespoň jedno eso nebo alespoň jednu dámu nebo alespoň jednoho krále. Nakreslete graf distribuční funkce náhodné veličiny X. Najděte EX a DX. □ - = _i = Diskrétní náhodná veličina Myšlenka rozdělení pravděpodobnosti Některá významná diskrétní rozdělení Významná rozdělení diskrétních náhodných veličin Matematika 3 Významná diskrétní rozdělení Myšlenka rozdělení pravděpodobnosti Q Některá významná diskrétní rozdělení • Degenerované a alternativní rozdělení pravděpodobnosti • Binomické rozdělení pravděpodobnosti • Geometrické rozdělení pravděpodobnosti • Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti • Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti Významná diskrétní rozdělení Myšlenka rozdělení pravděpodobnosti • Degenerované a alternativní rozdělení pravděpodobnosti • Binomické rozdělení pravděpodobnosti • Geometrické rozdělení pravděpodobnosti • Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti • Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti Významná diskrétní rozdělení Jestliže máme za úkol určit hodnoty pravděpodobnostní funkce nějaké náhodné veličiny, resp. její střední hodnotu a rozptyl, musíme zvážit • co rozumíme pojmem pokus, • co popisuje náhodná veličina, • jakých může náhodná veličina nabývat hodnot a poté • s přihlédnutím k dalším okolnostem vypočítat jednotlivé hodnoty pravděpodobnostní funkce, resp. pomocí těchto hodnot určit střední hodnotu a rozptyl. V mnoha případech se přitom jednotlivá zadání liší pouze ve slovním vyjádření a jejich matematická podstata \g stejná.^ ^ Nyní proto - pro určité typové situace - ukážeme, jakých hodnot nabývá pravděpodobnostní funkce příslušné náhodné veličiny. To nám umožní v těchto typových situacích vypočítat hodnoty EX, DX (a VĎX), resp. jiné číselné charakteristiky. Jestliže poté zjistíme, že zadaný problém splňuje charakteristiky dané typové situace, budeme schopní ihned psát hodnoty pravděpodobnostní funkce příslušné náhodné veličiny (a pomocí ní určovat potřebné pravděpodobnosti) a bez větších problémů určit hodnoty EX, DX (a VĎX), resp. dalších číselných charakteristik. Pro tyto typové situace budeme používat označení rozdělení pravděpodobnosti nebo rozdělení náhodné veličiny. Protože se nyní budeme věnovat rozdělení pravděpodobnosti v situacích, kdy budeme pracovat s diskrétní náhodnou veličinou, budeme mluvit o diskrétních rozděleních pravděpodobnosti, resp. rozděleních diskrétní náhodné veličiny. Místo pojmu „rozdělení" se často používá termín „rozložení". Významná diskrétní rozdělení Myšlenka rozdělení pravděpodobnosti Některá významná diskrétní rozdělení Každé rozdělení pravděpodobnosti, které má svůj název, má určité význačné parametry. Skutečnost, že náhodná veličina X má toto rozdělení s těmito parametry zapisujeme jako X ~ zkratka(parametr 1,..., parametr n) Významná diskrétní rozdělení Myšlenka rozdělení pravděpodobnosti Některá významná diskrétní rozdělení bsah Degenerované a alternativní rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení pravděpodobnosti Geometrické rozdělení pravděpodobnosti Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti Q Některá významná diskrétní rozdělení 9 Degenerované a alternativní rozdělení pravděpodobnosti • Binomické rozdělení pravděpodobnosti • Geometrické rozdělení pravděpodobnosti • Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti • Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti Významná diskrétní rozdělení Degenerované a alternativní rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení pravděpodobnosti Geometrické rozdělení pravděpodobnosti Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti 9 Myšlenka rozdělení pravděpodobnosti Q Některá významná diskrétní rozdělení • Degenerované a alternativní rozdělení pravděpodobnosti • Binomické rozdělení pravděpodobnosti • Geometrické rozdělení pravděpodobnosti • Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti • Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti Myšlenka rozdělení pravděpodobnosti Některá významná diskrétní rozdělení Významná diskrétní rozdělení Myšlenka rozdělení pravděpodobnosti Některá významná diskrétní rozdělení Degenerované a alternativní rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení pravděpodobnosti Geometrické rozdělení pravděpodobnosti Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti Degenerované rozdělení: X ~ Dg(p) Popis: Náhodná veličina X nabývá pouze konstantní hodnoty p. Označení: X ~ Dg(p) Pravděpodobnostní funkce: P(*) = 1 pro x = p 0 jinak Střední hodnota a rozptyl: EX = p, DX = 0 Významná diskrétní rozdělení Popis: Náhodná veličina X nabývá pouze hodnot 0 nebo 1, znamenající např. absenci nebo přítomnost úspěchu, jehož pravděpodobnost je ů, kde # e (0,1). Označení: X ~ A(#) Pravděpodobnostní funkce: ( 1 - ů pro x = 0 Střední hodnota a rozptyl: EX = ů, DX = -tf) pro x jinak Významná diskrétní rozdělení Myšlenka rozdělení pravděpodobnosti Některá významná diskrétní rozdělení bsah Degenerované a alternativní rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení pravděpodobnosti Geometrické rozdělení pravděpodobnosti Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti Q Některá významná diskrétní rozdělení 9 Degenerované a alternativní rozdělení pravděpodobnosti • Binomické rozdělení pravděpodobnosti • Geometrické rozdělení pravděpodobnosti • Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti • Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti Významná diskrétní rozdělení Myšlenka rozdělení pravděpodobnosti Některá významná diskrétní rozdělení Degenerované a alternativní rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení pravděpodobnosti Geometrické rozdělení pravděpodobnosti Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti Definition Náhodná veličina X udává celkový počet úspěchů v posloupnosti n nezávislých opakováních téhož pokusu, přičemž v každém opakování tohoto pokusu nastává buď úspěch s pravděpodobností p nebo neúspěch s pravděpodobností 1 - p. Označení: X ~ Bi(n,p) Významná diskrétní rozdělení Myšlenka rozdělení pravděpodobnosti Některá významná diskrétní rozdělení Jednoduché příklady Degenerované a alternativní rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení pravděpodobnosti Geometrické rozdělení pravděpodobnosti Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti Example • Dvacetkrát za sebou hodíme kostkou. Náhodná veličina X udává, kolikrát padne 4. • V testu je deset otázek, každá nabízí odpovědi a) - d). Náhodně tipujeme správné odpovědi. Náhodná veličina X udává, kolik otázek tipneme správně. • Stokrát za sebou hodíme mincí. Náhodná veličina X udává, kolikrát padne panna. • Máme vzorek 100 dětí, každé od jiných rodičů z jiného státu světa. Náhodná veličina X udává počet chlapců v tomto vzorku. Významná diskrétní rozdělení Myšlenka rozdělení pravděpodobnosti Některá významná diskrétní rozdělení Degenerované a alternativní rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení pravděpodobnosti Geometrické rozdělení pravděpodobnosti Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti Složitější příklady Example • Podle rozsáhlého průzkumu veřejného mínění věří 90% občanů USA, že jestliže byl Jára Cimrman geniálním vynálezcem, pak to byl Američan. Náhodně vybereme 500 občanů USA. Náhodná veličina X udává počet Američanů z těchto 500, kteří věří, že jestliže byl Jára Cimrman geniálním vynálezcem, pak to byl Američan. • Šestkrát za sebou náhodně najednou vybereme 4 karty z běžného balíčku 32 karet. Po každém výběru karty vrátíme a balíček promícháme. Náhodná veličina X udává, kolikrát takto vybereme alespoň jedno eso nebo alespoň dva krále. Významná diskrétní rozdělení Myšlenka rozdělení pravděpodobnosti Některá významná diskrétní rozdělení Důležité Degenerované a alternativní rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení pravděpodobnosti Geometrické rozdělení pravděpodobnosti Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti • Vždy musí být jasné, co je pokus a co považujeme za úspěch! • Vždy také musíme ověřit, zda jsou opakování pokusu nezávislá! Významná diskrétní rozdělení Myšlenka rozdělení pravděpodobnosti Některá významná diskrétní rozdělení Degenerované a alternativní rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení pravděpodobnosti Geometrické rozdělení pravděpodobnosti Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti Matematické, avšak téměř reálné zadání Example Šestkrát za sebou náhodně najednou vybereme 4 karty z běžného balíčku 32 karet. Po každém výběru karty vrátíme a balíček promícháme. Jaká je pravděpodobnost, že takto právě třikrát vybereme alespoň jedno eso nebo alespoň dva krále? Reálné zadání se nebude týkat tahání karet z balíčku - jeho matematická podstata však může být úplně stejná. V reálném zadání budou vystupovat skutečné objekty -skutečnost, že se jedná o nezávislá opakování téhož pokusu nebude tak zřejmá jako v „matematickém zadání". V reálném zadání nebude věta: „Náhodná veličina X popisuje..." Významná diskrétní rozdělení Myšlenka rozdělení pravděpodobnosti Některá významná diskrétní rozdělení Degenerované a alternativní rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení pravděpodobnosti Geometrické rozdělení pravděpodobnosti Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení: X ~ Bi(n,p) Pravděpodobnostní funkce: n(r\ = \ (>r(1 P"°r = 0,1,...,n PV) \ 0 jinak Střední hodnota a rozptyl: EX = np, DX = np(1 - p) Významná diskrétní rozdělení Myšlenka rozdělení pravděpodobnosti Některá významná diskrétní rozdělení Degenerované a alternativní rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení pravděpodobnosti Geometrické rozdělení pravděpodobnosti Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti V kapitole „Normální rozdělení" ukážeme, že pro velká n lze diskrétní náhodnou veličinu X ~ Bi(n,p) nahradit spojitou náhodnou veličinou (pojem bude definován později). Významná diskrétní rozdělení Myšlenka rozdělení pravděpodobnosti Některá významná diskrétní rozdělení bsah Degenerované a alternativní rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení pravděpodobnosti Geometrické rozdělení pravděpodobnosti Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti Q Některá významná diskrétní rozdělení 9 Degenerované a alternativní rozdělení pravděpodobnosti • Binomické rozdělení pravděpodobnosti • Geometrické rozdělení pravděpodobnosti • Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti • Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti Významná diskrétní rozdělení Degenerované a alternativní rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení pravděpodobnosti Geometrické rozdělení pravděpodobnosti Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti Poissonovo rozdělení DravděDodobnosti X ~ Ge(r) Popis: Náhodná veličina X udává celkový počet neúspěchů, které v nekonečné posloupnosti nezávislých opakování nějakého pokusu předcházejí prvnímu úspěchu. Přitom v každém opakování může nastat buď úspěch s pravděpodobností r nebo neúspěch s pravděpodobností 1 - r. Označení: X ~ Ge(r) Pravděpodobnostní funkce: P(*) = (1-r)V 0 pro x = 0,1,... jinak Střední hodnota a rozptyl: EX 1- r r DX = 1- r Významná diskrétní rozdělení Myšlenka rozdělení pravděpodobnosti Některá významná diskrétní rozdělení Jednoduchý príklad Degenerované a alternativní rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení pravděpodobnosti Geometrické rozdělení pravděpodobnosti Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti Example Hážeme kostkou, dokud nepadne pětka nebo šestka. Po kolika hodech lze očekávat, že pokus skončí? Jestliže náhodná veličina X označuje počet neúspěchů předcházejících prvnímu úspěchu a jestliže za úspěch považujeme, že padne pětka nebo šestka, pak EX = 1^1 1 3 = 2 Lze tedy očekávat, že pokus skončí ve druhém hodu. Významná diskrétní rozdělení Myšlenka rozdělení pravděpodobnosti Některá významná diskrétní rozdělení bsah Degenerované a alternativní rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení pravděpodobnosti Geometrické rozdělení pravděpodobnosti Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti Q Některá významná diskrétní rozdělení 9 Degenerované a alternativní rozdělení pravděpodobnosti • Binomické rozdělení pravděpodobnosti • Geometrické rozdělení pravděpodobnosti • Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti • Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti Významná diskrétní rozdělení Myšlenka rozdělení pravděpodobnosti Některá významná diskrétní rozdělení Degenerované a alternativní rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení pravděpodobnosti Geometrické rozdělení pravděpodobnosti Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti Hypergeometrické rozdělení: X ~ Hg(/V, M, n) Popis: Máme množinu o N prvcích, z nichž M má sledovanou vlastnost a zbývajících N - M ji nemá. Náhodně vybereme (najednou nebo postupně, ale bez vracení) n prvků. Náhodná veličina X udávající, kolik z vybraných n prvků má sledovanou vlastnost, má hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti. Označení: X ~ Hg(/V, M, n) Pravděpodobnostní funkce: (M\ (N-M\ \k) '\n-k) P(*) = k = max{0, n - (N - M)},..., min{n, M} Střední hodnota a rozptyl: EX = DX = (1 - g) jjj^ M\ A/-/7 Významná diskrétní rozdělení Myšlenka rozdělení pravděpodobnosti Některá významná diskrétní rozdělení Jednoduchý príklad Degenerované a alternativní rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení pravděpodobnosti Geometrické rozdělení pravděpodobnosti Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti Example Máme 50 výrobků, z nichž 6 je vadných. Náhodně vybereme 8 výrobků. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi budou 2 —4 vadné? Náhodná veličina X udává počet vadných výrobků ve výběru 8 výrobků. Je zřejmé, že X ~ Hg(50,6,8). Ptáme se na P{X g {2,3,4}), tj. hledáme p(2) + p(3) + p(4). Po dosazení P(2) = (5B°) = 0,1972. Podobně p(3) = 0,0405 a p(4) = 0,0038. Hledaná pravděpodobnost je tedy celkem cca 0,2415D g, < t, , t, ^ , •o Významná diskrétní rozdělení Myšlenka rozdělení pravděpodobnosti Některá významná diskrétní rozdělení Degenerované a alternativní rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení pravděpodobnosti Geometrické rozdělení pravděpodobnosti Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti Vztah hypergeometrického a normálního rozdělení Theorem Jestliže náhodná veličina X má hypergeometrické rozdělení X ~ Hg(N, M, n), kde n je v porovnání s N velmi malé (N > 20n), pak se pro popis X může využít binomické rozdělení s parametry n a p = M/N. Významná diskrétní rozdělení Myšlenka rozdělení pravděpodobnosti Některá významná diskrétní rozdělení Jednoduchý príklad Degenerované a alternativní rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení pravděpodobnosti Geometrické rozdělení pravděpodobnosti Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti Example • V balíčku je 16 oříšků, z nichž 4 jsou kešu. Odsypeme 5 v r v ■ o orisku. • V přepravce je 1000 oříšků, z nichž 250 je kešu. Nabereme 5 oříšků. V obou případech popište rozdělení náhodné veličiny X, která udává počet kešu oříšků ve výběru. Porovnejte situaci, kdy X ~ Bi a X ~ Hg. Předpokládáme, že obě směsi jsou dobře promíchané a že náš výběr je náhodný. Významná diskrétní rozdělení Myšlenka rozdělení pravděpodobnosti Některá významná diskrétní rozdělení Jednoduchý príklad Degenerované a alternativní rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení pravděpodobnosti Geometrické rozdělení pravděpodobnosti Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti V prvním případě (vlevo) je N = 16 a n = 5, tj. N = 3,2n, zatímco ve druhém je N = 1000 a n = 5, tj. N = 200n. 1 2 3 4 5 a; 1 2 3 4 5 a; Významná diskrétní rozdělení Myšlenka rozdělení pravděpodobnosti Některá významná diskrétní rozdělení bsah Degenerované a alternativní rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení pravděpodobnosti Geometrické rozdělení pravděpodobnosti Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti Q Některá významná diskrétní rozdělení 9 Degenerované a alternativní rozdělení pravděpodobnosti • Binomické rozdělení pravděpodobnosti • Geometrické rozdělení pravděpodobnosti • Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti • Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti Významná diskrétní rozdělení Myšlenka rozdělení pravděpodobnosti Některá významná diskrétní rozdělení Degenerované a alternativní rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení pravděpodobnosti Geometrické rozdělení pravděpodobnosti Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti Poissonovo rozdělení: X ~ Po(A) Označení: X ~ Po(A) Toto významné diskrétní rozdělení úzce souvisí s exponenciální rozdělením pravděpodobnosti, které je spojité. Oběma rozdělením současně se budeme věnovat v kapitole Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti. Významná diskrétní rozdělení Příloha Procvičování látky Před tím, než začnete řešit jakékoli příklady, si pročtěte plnou verzi učebního textu! Významná diskrétní rozdělení Příklady pro samostatnou práci jsou uvedeny v samostatné sbírce příkladů. Kromě nich můžete pro svou samostatnou práci používat také naše doplňkové elektronické zdroje. Q Binomické rozdělení Q Aproximace binomického rozdělení normálním (teoretický základ je až v kapitole „Normální rozdělení a statistické testy") O Geometrické rozdělení O Hypergeometrické rozdělení Q Poissonovo rozdělení (je uvedeno spolu s exponenciálním rozdělením v kapitole „Významná spojitá rozdělení pravděpodobnosti") Príloha Procvičování látky Example Je dána pravděpodobnostní funkce nějaké náhodné veličiny X P(x) = /c-0,8x proxe {1,2,3,...} 0 jinak desetinným číslem vyjádřete P(X > 4) a určete F(3,5). Významná diskrétní rozdělení Následující příklad jste řešili v předcházející kapitole. Nyní jej řešte pomocí teoretického aparátu, se kterým jste se právě seznámili. Example Šestkrát za sebou náhodně najednou vybereme 5 karet z běžného balíčku 32 karet. Po každém výběru karty vrátíme a balíček promícháme. Náhodná veličina X udává, kolikrát takto vybereme alespoň jedno eso nebo alespoň jednu dámu nebo alespoň jednoho krále. Nakreslete graf distribuční funkce náhodné veličiny X. Najděte EX a DX. Príloha Procvičování látky Znění příkladu z předchozí obrazovky upravte tak, aby bylo náhodná veličina, která v příkladu vystupuje, měla jiná rozdělení pravděpodobnosti než v původním znění - avšak taková, která jsou probírána v této kapitole. Významná diskrétní rozdělení Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Spojitá náhodná veličina Matematika 3 Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin ■3 saf Q Definice O Hustota pravděpodobnosti Q Distribuční funkce spojité náhodné veličiny O číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin • Střední hodnota • Rozptyl a směrodatná odchylka • Kvantil Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin ■3 saf O Defi nice • Střední hodnota • Rozptyl a směrodatná odchylka • Kvantil Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Definice (zjednodušeně) Definition Náhodnou veličinu nazýváme spojitá, jestliže jejím oborem hodnot je nespočetná množina (typicky interval). Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin P' n * y Example Jestliže předpokládáme přesné měření, pak např. • doba čekání na nějakou událost nebo • životnost nějakého výrobku nebo • délka, výška, teplota, tlak, napětí, odpor, atd. jsou spojité náhodné veličiny. Spojitá náhodná veličina O Hustota pravděpodobnosti • Střední hodnota • Rozptyl a směrodatná odchylka • Kvantil Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Definice hustoty pravděpodobnosti Definition Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (íí,«S, P) a spojitá náhodná veličina X. Po částech spojitá funkce f: R -> R definovaná pro každé x g IR a libovolnou dvojici a, Ď g IR u {±00} takovou, že a < b, předpisem b P(a < X < b) = J ř(x)dx se nazývá hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny X. V plné verzi skript je uvedena alternativní ekvivalentní definice. Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Červeně je znázorněna hustota pravděpodobnosti f{x) nějaké náhodné veličiny X. Pravděpodobnost P(2 < X < 3) = P(X e (2,3)) je znázorněna šedě. 1 2 3 4 5 Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Geo rr íeti 'ic ký výzr íai m Protože / f(x)dx = 0 pro libovolné a g IR, platí pro spojitou a náhodnou veličinu P(X = a) = 0 pro libovolné a e IR! Example Doba životnosti nového plazmového televizoru je náhodná veličina s hustotou pravděpodobnosti f(x). Výrobce udává: „Životnost: 100.000 hodin". Určete P(X e {1,2,..., 100.000}). 100.000 P(X g {1,2,..., 100.000}) = Yl í f{x)dx = 0. /=1 ; Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Hustota pravděpodobnosti v bodě Theorem Pro malé hodnoty Ax > 0 platí: P(x < X < x + Ax) = f(x) ■ Ax Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Vlastnosti hustoty pravděpodobnosti Theorem Hustota pravděpodobnosti má následující vlastnosti: O f(x) > 0 pro Vx e M, oo O / f(x)dx = 1, —OO • Hustota pravděpodobnosti nemusí být spojitá funkce! Musí však být po částech spojitá. □ - = _i = Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Theorem Má-// nějaká po částech spojitá funkce f \R—>R vlastnosti 1 a 2, pak existuje pravděpodobnostní prostor (íí, S, P) a na něm definovaná spojitá náhodná veličina X tak, že f je hustotou pravděpodobnosti této náhodné veličiny X. Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Example Je dána funkce f: R -> R předpisem x x g (0,1) f (x) = { x + a x e (1,2) 0 jinak Určete parametr a tak, aby funkce f (x) byla hustotou pravděpodobnosti nějaké náhodné veličiny X. (řešení sami) Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin ■3 saf ^■^^^ I I \*A \_/ L V-/ IMi I V \»/ w N-^ w KS I I w \»/ L I Q Distribuční funkce spojité náhodné veličiny O Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin • Střední hodnota • Rozptyl a směrodatná odchylka • Kvantil Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Definice Definici distribuční funkce a její vlastnosti jsme již uváděli. Ve speciálním případě, kdy je náhodná veličina X spojitá, je distribuční funkce spojitá funkce. y = F (x) x Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin P' n * Example Můžeme funkci f \R—>R (0 pro x < 0 f proxe<0,1) 1 pro x > 1 prohlásit za distribuční funkci nějaké spojité náhodné veličiny? Odpověď zdůvodněte. Pokud ano, vypočtěte P(X e (0,5; 1}). (řešení sami) Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Vztah distribuční funkce a hustoty pravděpodobnosti Je-li X spojitá náhodná veličina, F její distribuční funkce a f její hustota pravděpodobnosti, pak a) pro každé x g IR u {00} platí X F (x) d=F P(X 12 Najděte distribuční funkci této náhodné veličiny. Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Vztah distribuční funkce a hustoty pravděpodobnosti Řešení 0 X J I - 2dř = - 2x + 8 _ ) 8 F{x) = { x x < 8 8 < x < 10 5 + /-? + 3 = -f+ 3x-17 10 12 X Distribuční funkce je spojitá, proto \ + J ... 10 1 2 10; ~8 -2-10 + 8. Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Graf získané distribuční funkce Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Kvantil O číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin • Střední hodnota • Rozptyl a směrodatná odchylka 9 Kvantil □ - Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Kvantil Již dříve jsme pro diskrétní náhodnou veličinu definovali pojmy střední hodnota, rozptyl a směrodatná odchylka. Myšlenka těchto pojmů je pro spojitou náhodnou veličinu stejná. Liší se však vzorce pro jejich výpočet. Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Kvantil O číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin • Střední hodnota • Rozptyl a směrodatná odchylka 9 Kvantil □ - Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Kvantil Střední hodnota je analogií průměru číselných hodnot získaných opakováním nějakého pokusu. Na rozdíl od průměru se jedná o očekávaný průměr. V případě diskrétní náhodné veličiny počítáme střední hodnotu pomocí hodnot pravděpodobnostní funkce pomocí vztahu EX = Yl xi' Pí*) Xj:p(Xj)>0 Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Definice Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Kvantil Definition Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (íí,«S, P), spojitá náhodná veličina X a její hustota f(x). Pak číslo oo EX = j x ■ f(x)dx —OO nazýváme střední hodnotou náhodné veličiny X vzhledem k pravděpodobnosti P. Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Kvantil • V uvedené definici předpokládáme, že nevlastní integrál konverguje. Pokud tomu tak není, řekneme, že střední hodnota neexistuje. • Budeme také používat časté (a vhodnější) označení E(X). Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Kvantil Počítání se střední hodnotou Pro počítání se střední hodnotou platí vztahy, které jsme si uváděli v kapitole Diskrétní náhodná veličina. Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Kvantil O číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin • Střední hodnota • Rozptyl a směrodatná odchylka • Kvantil □ - Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Kvantil Pi * ■ ri por ti iei n ul tí Rozptyl diskrétní náhodné veličiny X se ukázal být nejvhodnější analogií jakési „globální" odchylky číselných hodnot získaných opakováním nějakého pokusu od průměru těchto hodnot. V případě diskrétní náhodné veličiny počítáme (nikoliv definujeme) rozptyl pomocí hodnot pravděpodobnostní funkce a vztahu DX = E(X2)-(EX)2, kde E(X2) je střední hodnota náhodné veličiny X2, tj. E(X2)= xf-PW xr.p(Xj)>0 Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Kvantil Směrodatnou odchylku jsme definovali jako kladnou odmocninu z rozptylu. Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Kvantil Defi n ice Definition Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (íí,«S, P), spojitá náhodná veličina X, její střední hodnota EX. Pak číslo DX = E[(X - EX)2] nazýváme rozptylem náhodné veličiny X vzhledem k pravděpodobnosti P a kladnou hodnotu VdX nazýváme směrodatnou odchylkou náhodné veličiny X vzhledem k pravděpodobnosti P. Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Kvantil • V uvedené definici předpokládáme, že střední hodnota náhodné veličiny (X - EX)2 existuje. • Budeme také používat časté (a vhodnější) označení D(X). Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Kvantil Vzorec pro výpočet rozptyl U Vzorec DX = E[(X - EX)2] ze upravit do tvaru DX = E(X2) - (EX): kde E(X2) je střední hodnota náhodné veličiny X2, tj oo E(X2)= í x2-f(x)dx —OO □ s Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Počítání s rozptylem Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Kvantil Pro počítání s rozptylem platí vztahy, které jsme si uváděli v kapitole Diskrétní náhodná veličina. Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Kvantil Pří * Example Chování spojité náhodné veličiny X je popsáno hustotou pravděpodobnosti ( 0 m = i -f+3 0 x < 8 8 < x < 10 10 < x < 12 x > 12 Najděte střední hodnotu a rozptyl této náhodné veličiny. (řešení sami) Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Kvantil O číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin • Střední hodnota • Rozptyl a směrodatná odchylka • Kvantil □ - Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Kvantil Jako jednu z číselných charakteristik statistického souboru jsme si uváděli i kvanitl. V případě náhodné veličiny je myšlenka vedoucí k tomuto pojmu analogická. Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Kvantil Defi n ice Definition Nechť X je spojitá náhodná veličina a a e (0,1) je libovolné. Pak a-kvantilem spojité náhodné veličiny X nazýváme takové číslo xa, pro které platí Ol = F(xa) • Protože F{xa) = P{X < xa), je a-kvantil hraniční hodnota, pod kterou zůstane a • 100% hodnot náhodné veličiny X. Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Kvantil „Prakti cl ký" vý počel t Vzhledem ke vztahu distribuční funkce a hustoty pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny platí a = J f(x)dx. —oo Tento integrál ovšem mnohdy nelze vypočítat analyticky. Kvantily některých spojitých rozdělení pravděpodobnosti proto bývají tabelovány. Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Kvantil Geometrické znázornění a -kvantilu Na obrázcích vidíme myšlenku 0,75 kvantilu dané náhodné veličiny zobrazenou pomocí funkce hustoty pravděpodobnosti (vlevo) a pomocí distribuční funkce (vpravo). Spojitá náhodná veličina Definice Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Číselné charakteristiky spojitých náhodných veličin Střední hodnota Rozptyl a směrodatná odchylka Kvantil Podobně jako u statistických souborů, mají i u náhodných veličin některé významné a-kvantily svá jména. o Kvantil x0?5 nazýváme medián. o Kvantil x0j5 nazýváme horníkvartil. • Kvantil x0?25 nazýváme dolní kvartil. • Rozdíl x0?75 - x0?25 nazýváme mezikvartilové rozpětí. Mluvíme také o decilech a percentilech. Spojitá náhodná veličina Před tím, než začnete řešit jakékoli příklady, si pročtěte plnou verzi učebního textu! Spojitá náhodná veličina Príloha Procvičování látky n^riw oom^ototnn,, práci a možnosti opakování Příklady pro samostatnou práci jsou uvedeny v samostatné sbírce příkladů. Kromě nich můžete pro svou samostatnou práci používat také naše doplňkové elektronické zdroje. O Výpočet distribuční funkce z hustoty O Výpočet neurčitého integrálu O Výpočet určitého integrálu O Integrování metodou per partes O Substituce v integrálu Spojitá náhodná veličina Example Je dána funkce ex + a £ + b x + c O prox g (0,1) prox g (1,2) pro x g (2,3) jinak Zvolte konstanty a, b, c tak, aby funkce f(x) byla hustotou pravděpodobnosti nějaké náhodné veličiny X. Volbu konstant zdůvodněte. Dále určete P(X g (1, §}). Odpověď je možno vyjádřit buď desetinným číslem nebo pomocí konstant a, b, c. Spojitá náhodná veličina Príloha Procvičování látky Příklady pro samostatnou i práci Example Jedna z následujících funkcí je distribuční funkcí nějaké náhodné veličiny X. Určete EX a DX. f(x) = 0 pro x < 0, r ^ Hn , 0,04*2 ploxe{0,5), g(X)={ Jn* ^£(0'107r) 1 pro x > 5, h(x) = 0,2 pro x = 0; 0,8 pro x = 1. 0 jinak. Spojitá náhodná veličina Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti Exponenciální (a Poissonovo) rozdělení pravděpodobnosti Weibullovo rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení pravděpodobnosti I Významná rozdělení spojitých náhodných veličin Matematika 3 Významná spojitá rozdělení Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti Exponenciální (a Poissonovo) rozdělení pravděpodobnosti Weibullovo rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení pravděpodobnosti Q Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti 0 Exponenciální (a Poissonovo) rozdělení pravděpodobnosti Q Weibullovo rozdělení pravděpodobnosti Q Normální rozdělení pravděpodobnosti Významná spojitá rozdělení Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti Exponenciální (a Poissonovo) rozdělení pravděpodobnosti Weibullovo rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení pravděpodobnosti Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti v-* 1 3 = -oc^o Významná spojitá rozdělení Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti Exponenciální (a Poissonovo) rozdělení pravděpodobnosti Weibullovo rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení pravděpodobnosti Rovnoměrné rozdělení: X ~ Ro(a, b) Popis: Náhodná veličina X nabývá se stejnou pravděpodobností kterékoliv hodnoty z intervalu (a, b). Označení: X ~ Ro(a, b), někdy X ~ RS(a, b) podle „rovnoměrné spojité rozdělení", protože existuje i rovnoměrné diskrétní rozdělení Hustota pravděpodobnosti: ř(x) " ^ 0 a jinak pro x g (a, b) Střední hodnota a rozptyl: EX = ^, DX = í^f* □ s Významná spojitá rozdělení Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti Exponenciální (a Poissonovo) rozdělení pravděpodobnosti Weibullovo rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení pravděpodobnosti Pri * Example Pan Krátký si nepamatuje jízdní řád autobusu, kterým jezdí do práce. Na zastávku chodívá každý den vždy mezi 7:00 a 7:15, a to vždy naprosto náhodně bez jakýchkoliv vnějších vlivů. Autobus jede 7:03. Když panu Krátkému autobus ujede, přijde pan Krátký do práce pozdě. Jaká je pravděpodobnost, že počet jeho pozdních příchodů během 10 pracovních dnů bude nižší než lze očekávat? (Neuvažujeme žádné vnější vlivy ani změnu kvality paměti pana Krátkého.) • V praktických zadání se může vyskytovat více náhodných veličin s různými rozloženími! Významná spojitá rozdělení Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti Exponenciální (a Poissonovo) rozdělení pravděpodobnosti Weibullovo rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení pravděpodobnosti O Exponenciální (a Poissonovo) rozdělení pravděpodobnosti Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti Exponenciální (a Poissonovo) rozdělení pravděpodobnosti Weibullovo rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení pravděpodobnosti ropi is Předpokládejme následující situaci: Opakovaně dochází k výskytu náhodné události, přičemž: • v jednom okamžiku může nastat nanejvýš jedna událost (tedy nemohou nastat dvě zcela současně), • události přicházejí nezávisle na sobě, (počty vzniklých událostí v disjunktních časových intervalech jsou nezávislé). • pravděpodobnost, že událost nastane v intervalu (ř, t + h), závisí na h (délce intervalu), ale nikoli na t (umístění intervalu na časové ose). Významná spojitá rozdělení Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti Exponenciální (a Poissonovo) rozdělení pravděpodobnosti Weibullovo rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení pravděpodobnosti Za těchto předpokladů můžeme zkoumat buď dobu mezi dvěma výskyty takových událostí nebo počet výskytů takových událostí za jednotku času. V prvním případě pracujeme se spojitou náhodnou veličinou, ve druhém s diskrétní. Významná spojitá rozdělení Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti Exponenciální (a Poissonovo) rozdělení pravděpodobnosti Weibullovo rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení pravděpodobnosti H 1 i 1 avděpodobnosti Definition Mějme náhodnou veličinu X, která popisuje dobu mezi dvěma výskyty náhodně opakované události v situaci, která byla zmíněna výše. Tato náhodná veličina je spojitá. Řekneme, že X má exponenciální rozdělení pravděpodobnosti a píšeme X ~ Exp(A). Přitom A je průměrný počet událostí za časovou jednotku. Významná spojitá rozdělení Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti Exponenciální (a Poissonovo) rozdělení pravděpodobnosti Weibullovo rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení pravděpodobnosti Hustota pravděpodobnosti: f{x) = 0 pro x < 0 Xe~Xx pro x > 0 (odvození viz skripta) j i = <\cy Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti Exponenciální (a Poissonovo) rozdělení pravděpodobnosti Weibullovo rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení pravděpodobnosti Střední hodnota a rozptyl: EX = 1, DX = ^ Vidíme tedy, že k výskytu události skutečně dochází průměrně 1 A jednou za l časových jednotek, tj. A-krát za časovou jednotku Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti Exponenciální (a Poissonovo) rozdělení pravděpodobnosti Weibullovo rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení pravděpodobnosti Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti Definition Předpokládejme tutéž situaci jako na začátku, ale uvažme náhodnou veličinu Y, která popisuje počet výskytů události za zvolenou časovou jednotku. Tato náhodná veličina je diskrétní. Řekneme, že Y má Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti a píšeme X ~ Po(A). Přitom A je průměrný počet událostí za časovou jednotku. Významná spojitá rozdělení Pravděpodobnostní funkce: p{k) = P{Y = k) = \ i* Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti Exponenciální (a Poissonovo) rozdělení pravděpodobnosti Weibullovo rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení pravděpodobnosti Střední hodnota a rozptyl: EY = A, DY = A (odvození viz skripta) Opět vidíme, že k výskytu události skutečné dochází průměrné 1 A jednou za i časových jednotek, tj. A-krát za časovou jednotku. □ Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti Exponenciální (a Poissonovo) rozdělení pravděpodobnosti Weibullovo rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení pravděpodobnosti Příklady Example Při nějakém nastavení filtrů příchozí pošty chodí do emailové schránky průměrně 24 spamů denně. Jaká je pravděpodobnost, že: O Během 90ti minutové přednášky přijde alespoň jeden? O Během půlhodinové pauzy na oběd nepřijde žádný? O Přes noc, tj. mezi 22:00 a 7:00, jich přijde více než pět? • Zadání 1 a 2 můžeme řešit jak pomocí exponenciálního tak i pomocí Poissonova rozdělení. • Je nutné si správně zvolit vhodné časové jednotky. Podle nich poté určíme parametr A a zformulujeme požadavek na výpočet. Významná spojitá rozdělení Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti Exponenciální (a Poissonovo) rozdělení pravděpodobnosti Weibullovo rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení pravděpodobnosti (projděte si sami jednotlivé typové příklady ve skriptech) □ t3 Významná spojitá rozdělení Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti Exponenciální (a Poissonovo) rozdělení pravděpodobnosti Weibullovo rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení pravděpodobnosti Náhrada binomického rozdělení Poissonovým V jistých situacích lze Poissonovým rozdělením nahradit binomické rozdělení. Theorem Nechť je dána náhodná veličina X. Jestliže X ~ Bi(n, p) tak, že n> 30, p < 0,1, pak P(X = r) = (^p'(1 - p)"-' = n_r . (np)'_ np r\ □ S1 Významná spojitá rozdělení Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti Exponenciální (a Poissonovo) rozdělení pravděpodobnosti Weibullovo rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení pravděpodobnosti N irad a bii nor n icl 10 roz :dělení Poissonovým Více o náhradách jednoho rozdělení druhým viz kapitola Normální rozdělení a statistické testy. Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti Exponenciální (a Poissonovo) rozdělení pravděpodobnosti Weibullovo rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení pravděpodobnosti a\ 1 Q Weibullovo rozdělení pravděpodobnosti Významná spojitá rozdělení Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti Exponenciální (a Poissonovo) rozdělení pravděpodobnosti Weibullovo rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení pravděpodobnosti Weibullovo rozdělení: X ~ Wb(ô,e) Popis: Náhodná veličina X vyjadřuje dobu čekání na nějakou událost, která se každým okamžikem může dostavit se šancí úměrnou mocninné funkci dosud pročekané doby. Přitom čísla S > 0 a e > 0 se nazývají parametry měřítka a formy. Označení: X ~ Wb(5, e) Hustota pravděpodobnosti: f(x) _ { eô{ôx)£-^ e("^)£ pro x > 0 W ~ \ 0 pro x < 0 Střední hodnota a rozptyl: přesahuje rámce předmětu. Významná spojitá rozdělení Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti Exponenciální (a Poissonovo) rozdělení pravděpodobnosti Weibullovo rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení pravděpodobnosti Weibullovo rozdělení se často využívá při zkoumání životnosti nějakého zařízení. „Událostí" je zde porucha zařízení. Všimněte si, že exponenciální rozdělení na zkoumání životnosti většiny zařízení použít nelze - doba čekání na událost, tj. poruchu, zde totiž nezáleží na dosud pročekané době. U exponenciálního rozdělení tedy neuvažujeme opotřebení zařízení. Významná spojitá rozdělení Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti Exponenciální (a Poissonovo) rozdělení pravděpodobnosti Weibullovo rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení pravděpodobnosti / Q Normální rozdělení pravděpodobnosti □ s — Ji = <\cy Významná spojitá rozdělení Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti Exponenciální (a Poissonovo) rozdělení pravděpodobnosti Weibullovo rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení Normální rozdělení je nejdůležitějším spojitým rozdělením. Budeme se mu proto věnovat v samostatné kapitole. Významná spojitá rozdělení Před tím, než začnete řešit jakékoli příklady, si pročtěte plnou verzi učebního textu! Významná spojitá rozdělení Příklady pro samostatnou práci jsou uvedeny v samostatné sbírce příkladů. Kromě nich můžete pro svou samostatnou práci používat také naše doplňkové elektronické zdroje. Q Exponenciální rozdělení O Poissonovo rozdělení Q Binomické rozdělení Významná spojitá rozdělení Example Řidič se z místa A do místa B může dostat dvěma různými způsoby. První je kratší, ale při prvním odbočení se auto dostane na ulici, kde jsou tramvajové koleje, přičemž šířka vozovky nikde nedovoluje tramvaj podjet. Na lince jezdí jediná tramvaj, a to v pravidelných osmiminutových intervalech. Pokud na křižovaku přijela tramvaj o méně než 3 minuty dříve než auto, auto a tramvaj se potkají (a tedy tramvaj auto zbrzdí). Nelze předpokládat, že by se řidič auta při výběru času odjezdu z místa A řídil jízdním řádem tramvaje. Řidič auta jezdí trasu každý den, vždy jednou denně. Kolikrát lze očekávat, že ho tramvaj zbrzdí za měsíc? Jaká je pravděpodobnost, že tramvaj řidiče zbrzdí alespň třikrát? (Jízdní řád tramvaje je každý den v době, kdy řidič auta trasu jezdí, stejný, měsíc = 20 pracovních dní. Pokud se rozhodnete nahrazovat nahrazovat nějaké rozdělení pravděpodobnosti jiným, rozmyslete si, proč je to možné.) Významná spojitá rozdělení Example Dělník na tovární lince musí čas od času potvrdit svou přítomnost na pracovním místě. V pracovní době (mimo povinné přestávky a mimo dobu, kdy se z pracovního místa elektronicky odhlásí) se mu u pracovního místa rozsvítí kontrolka. Dělník v tu chvíli musí stisknout kontrolní tlačítko. Kontrolka se rozsvěcuje naprosto náhodně a nepředvídatelně, avšak tak, že za 5 pracovních směn (= 40 hodin) se rozsvítí v průměru dvacetkrát. Dělník si chce udělat čtvrthodinovou přestávku, aniž by se elektronicky odhlašoval. Jaká je pravděpodobnost, že se v této době nerozsvítí kontrolka? Významná spojitá rozdělení Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Normální rozdělení a statistické testy Matematika 3 Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy ■sir saf Q Normální rozdělení pravděpodobnosti • Základní údaje • Standardizované normální rozdělení • Rozdělení součtu a průměru náhodných veličin s normálním rozdělením • Centrální limitní věta • Využití normálního rozdělení Q Statistické testy • Základní principy statistických testů • LMest • Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu • Chyby ve statistických testech Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy bsah Základní údaje Standardizované normální rozdělení Rozdělení součtu a průměru náhodných veličin s normálním rozdě Centrální limitní věta Využití normálního rozdělení Q Normální rozdělení pravděpodobnosti • Základní údaje • Standardizované normální rozdělení • Rozdělení součtu a průměru náhodných veličin s normálním rozdělením • Centrální limitní věta • Využití normálního rozdělení 9 Základní principy statistických testů • LMest • Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu • Chyby ve statistických testech Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Základní údaje Standardizované normální rozdělení Rozdělení součtu a průměru náhodných veličin s normálním rozdě Centrální limitní věta Využití normálního rozdělení Význam normálního rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení pravděpodobnosti je nejvýznamnějším spojitým rozdělením pravděpodobnosti. Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Základní údaje Standardizované normální rozdělení Rozdělení součtu a průměru náhodných veličin s normálním rozdě Centrální limitní věta Využití normálního rozdělení N lor rr lál n 1 1 rozd ělení: X ~ N(/x, a2) Popis: uvedeme později Označení: X ~ n(/í, a2) Hustota pravděpodobnosti: x/ x 1 _(*-^)2 f(x) = —=e 2.2 a y ČTI Střední hodnota a rozptyl: EX = /i, DX = a2 Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Základní údaje Standardizované normální rozdělení Rozdělení součtu a průměru náhodných veličin s normálním rozdě Centrální limitní věta Využití normálního rozdělení Definition Náhodná veličina X má normální rozdělení pravděpodobnosti, jestliže se ke konstantní střední hodnotě fi přičítá velké množství nezávislých náhodných veličin („náhodných vlivů"), kolísajících nepatrně kolem nuly. Vzniklá variabilita je charakterizována směrodatnou odchylkou a. Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Vyjasnění Základní údaje Standardizované normální rozdělení Rozdělení součtu a průměru náhodných veličin s normálním rozdě Centrální limitní věta Využití normálního rozdělení Example Automatizová výroba nějakého výrobku. Tvar výrobku je daný šablonou, avšak vlivem materiálu, mírně odlišné teploty, tlaku apod. nebo díky dalším vlivům nejsou žádné dva výrobky naprosto identické. Měření nějaké fyzikální veličiny. Při opakovaném měření většinou nenaměříme naprosto identické hodnoty. Rozložení IQ v populaci. Průměrná „ideální" hodnota je 100, avšak pro náhodně vybraného jedince se díky mnoha různým vlivům od „ideálu" liší. Normální rozdělení a statistické testy Základní údaje , , , , ±. Standardizované normální rozdělení Normálni rozdelení pravdepodobnosti . „ , Rozdelení součtu a prumeru náhodných veličín s normálním rozde Statistické testy _ ,.. Centrálni limitní veta Využití normálního rozdělení Graf hustoty pravděpodobnosti normálního rozdělení Normální rozdělení a statistické testy Základní údaje , .„. , , . x. Standardizované normální rozdělení Normálni rozdelení pravdepodobnosti c+ +■ +■ Lr't Rozdelení součtu a průměru náhodných veličin s normálním rozde otatistické testy _ , ,.. ., , Centrálni limitní veta Využití normálního rozdělení Graf hustoty pravděpodobnosti normálního rozdělení Grafy hustoty pravděpodobnosti pro stejné střední hodnoty a různé rozptyly. Zde /i = 2. Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Výpočet pravděpodobnosti Základní údaje Standardizované normální rozdělení Rozdělení součtu a průměru náhodných veličin s normálním rozdě Centrální limitní věta Využití normálního rozdělení Jestliže hledáme P(X e (a, b)), tj. P(a < X < b), počítáme b 1 g\Í2.rk e 2a2 dX. Tento integrál nelze určit analyticky. Proto musíme hledat jiné způsoby určení P(a < X < b) Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy bsah Základní údaje Standardizované normální rozdělení Rozdělení součtu a průměru náhodných veličin s normálním rozdě Centrální limitní věta Využití normálního rozdělení Q Normální rozdělení pravděpodobnosti • Základní údaje • Standardizované normální rozdělení • Rozdělení součtu a průměru náhodných veličin s normálním rozdělením • Centrální limitní věta • Využití normálního rozdělení 9 Základní principy statistických testů • LMest • Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu • Chyby ve statistických testech Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Základní údaje Standardizované normální rozdělení Rozdělení součtu a průměru náhodných veličin s normálním rozdě Centrální limitní věta Využití normálního rozdělení Transformace náhodných veličin Náhodné veličiny můžeme tzv. transformovat. Teorie týkající se transformace náhodných veličin přesahuje rámec předmětu, následující výklad bude proto zjednodušený. Definition Jestliže je dána náhodná veličina X ~ n(/í, a2), pak náhodná veličina je taková, že U ~ n(0,1). Takovou náhodnou veličinu nazýváme standardizovaná. Rozdělení n(0,1) nazýváme standardizované normální rozdělení. / <□► < ► < ► Ji|= ^)Q,0 Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Základní údaje Standardizované normální rozdělení Rozdělení součtu a průměru náhodných veličin s normálním rozdě Centrální limitní věta Využití normálního rozdělení Jestliže l/~n(0,1), pak a distribuční funkci náhodné veličiny U označujeme místo F(x) většinou jako (x). Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Základní údaje Standardizované normální rozdělení Rozdělení součtu a průměru náhodných veličin s normálním rozdě Centrální limitní věta Využití normálního rozdělení Grafy hustoty (vl l/~N(0,1) evo) a d istribuční funkce (vpravo) Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Základní údaje Standardizované normální rozdělení Rozdělení součtu a průměru náhodných veličin s normálním rozdě Centrální limitní věta Využití normálního rozdělení Využití standardizovaného normálního rozdělení Hodnoty distribuční funkce standardizovaného normálního rozdělení jsou tabelovány. Proto je-li dána náhodná veličina X ~ n(/í, a2) a máme-li určit P(X e (a, £>)), tj. P(a < X < b), pak místo počítání I f{x)áx a O náhodnou veličinu standardizujeme, tj. místo P(a < X < b) hledáme P(^ < U < ^) O pro výpočet hledané pravděpodobnosti využijeme vztahu P(a < X < b) = F(b) - F(a), přičemž hodnoty distribuční funkce náhodné veličiny U ~ n(0, 1) najdeme ve statistických tabulkách. Vzhledem k tomu, že X, resp. U, je spojitá náhodná veličina, můžeme uvažovat i neostré nerovnosti. =, =, Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Základní údaje Standardizované normální rozdělení Rozdělení součtu a průměru náhodných veličin s normálním rozdě Centrální limitní věta Využití normálního rozdělení Graf hustoty standardizovaného normálního rozdělení je V* *\ 2/ = \ 1 - —u u u Platí tedy (u) + (-u) = 1, tj. 5, • DX = np(1 - p) > 5, • p není „příliš blízké" 0 ani 1. Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Jiné podmínky aproximace Základní údaje Standardizované normální rozdělení Rozdělení součtu a průměru náhodných veličin s normálním rozdě Centrální limitní věta Využití normálního rozdělení Lze se také např. setkat s podmínkami (opět musejí platit současně) • DX = np(1 - p) > 9, • tÍt + 0,5). Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy bsah Základní údaje Standardizované normální rozdělení Rozdělení součtu a průměru náhodných veličin s normálním rozdě Centrální limitní věta Využití normálního rozdělení Q Normální rozdělení pravděpodobnosti • Základní údaje • Standardizované normální rozdělení • Rozdělení součtu a průměru náhodných veličin s normálním rozdělením • Centrální limitní věta • Využití normálního rozdělení i ■_ ■__i ■ _ ^ j_ _ j_ T TI ř"^ i I f*\s f\ f f \ ^>T\ / • Základní principy statistických testů • IMest • Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu • Chyby ve statistických testech Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Základní údaje Standardizované normální rozdělení Rozdělení součtu a průměru náhodných veličin s normálním rozdě Centrální limitní věta Využití normálního rozdělení Využití normálního rozdělení Díky své charakteristice, centrální limitní větě a jejím důsledkům velmi široké. Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy bsah Základní principy statistických testů U-test Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech • Základní údaje • Standardizované normální rozdělení • Rozdělení součtu a průměru náhodných veličin s normálním rozdělením • Centrální limitní věta • Využití normálního rozdělení Q Statistické testy • Základní principy statistických testů • LMest • Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu • Chyby ve statistických testech Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Nástin Základní principy statistických testů U-test Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech V této části si ukážeme základní principy statistických testů. Bude se klást důraz na pochopení základních principů statistických testů a na filozofii statistického testování. Věnovat se budeme pouze několika málo základním typům statistických testů. Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Základní principy statistických testů U-test Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech Co statistickým testem „dokážeme" Při statistickém testování přijímáme, resp. odmítáme, hypotézy, které si sami předem stanovíme. Hypotézy přijímáme, resp. odmítáme, na základě kritérií, která si sami předem stanovíme. • Statistický test není důkaz platnosti nebo neplatnosti nějakého tvrzení! • Při nepochopení pojmů a při (neúmyslně nebo i záměrně) nesprávném nastavení parametrů testu lze statistickým testem „dokázat" téměř libovolnou hloupost! Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Krok 1: Stanovení hypotéz Základní principy statistických testů U-test Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech Při statistickém testu porovnáváme dvě hypotézy - H0 (tzv. nulovou hypotézu) a H-i (tzv. alternativní hypotézu). Budeme-li předpokládat, že • H0 = konstanta, pak H-i můžeme zformulovat několika způsoby: • H-i > konstanta, • H-| < konstanta, • H-i 7^ konstanta, • H-i = konstanta 2. Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Základní principy statistických testů U-test Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech Význam hypotéz: problém alternativní hypotézy Při statistickém testování předpokládáme, že nulová hypotéza platí. Na základě nějakého testovacího kritéria a za použití jistého parametru poté rozhodneme, zda předpoklad o platnosti nulové hypotézy přijmeme nebo ne. Jestliže jej nepřijmeme, automaticky přijímáme alternativní hypotézu. • Musíme proto vždy zvážit, kterou z formulací alternativní hypotézy použijeme. Rozlišujeme mj. oboustranné a jednostranné {levostranné a pravostranné) testy. Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Krok 2: Náhodný pokus Základní principy statistických testů U-test Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech Po stanovení hypotéz provedeme nějaký náhodný pokus. Na základě výsledku tohoto náhodného pokusu poté budeme rozhodovat o hypotézách. Možný výsledek náhodného pokusu bude popisovat nějaká náhodná veličina, která bude mít nějaké rozdělení pravděpodobnosti. • My budeme vždy předpokládat, že tato náhodná veličina bude mít normální rozdělení. Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Základní principy statistických testů U-test Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech Krok 3: Stanovení h iladi ny > /ýznamnosti testu Náhodná veličina, která je výsledkem náhodného pokusu, může nabývat nějakých hodnot. Tyto hodnoty nyní rozdělíme na dvě disjunktní části takové, že do jedné z nich patří jen velmi málo hodnot -typicky 5% nebo 10% (na obrázku šedě). Dělící hodnotu označíme Tk a nazveme ji kritickou hodnotou (na obrázku Tk = 2). / 0-2; / o.v I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 II 1^^ -1-1-1-1-1-1-1-1-1- -3 -2 -1 u 12 3 Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Základní principy statistických testů U-test Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech Krok 3: Stanovení hladiny významnosti testu Menší část hodnot může být rozdělená na dvě části, které jsou v případě normálního rozdělení stejně velké (na obrázku šedě). Pak hledáme dvě kritické hodnoty Td a Tn, pro které platí li - Td = 11- Th\ (na obrázku Td = -2 a Tn = 2). Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Základní principy statistických testů U-test Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech Krok 3: Stanovení hladiny významnosti testu Při rozdělování hodnot náhodné veličiny na dvě disjunktní části hledáme a-kvantily, resp. f-kvantily, příslušné náhodné veličiny. Číslo a nazýváme hladina významnosti testu. Šedé oblasti grafů na předchozích obrazovkách nazýváme kritický obor. Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Základní principy statistických testů U-test Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech Provedeme a vyhodnotíme pokus, který nám slouží jako testovací kritérum. Následně můžeme • buď zjišťovat, zda získaná hodnota leží v kritickém oboru a nebo stanovit, jaká je pravděpodobnost, že výsledek pokusu bude takový, jako jsme získali, nebo „extrémnější". (detaily viz plná verze skript včetně myšlenky p-hodnoty) Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Základní principy statistických testů U-test Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech Krok 5: Rozľ 1 Jestliže výsledek náhodného pokusu padne do bílé větší části hodnot, pak přijmeme nulovou hypotézu. V opačném případě ji zamítneme a přijmeme alternativní hypotézu (analogicky pro p-hodnotu). / 0.2: / o.v 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 II 1^^ -1-1-1-1-1-1-1-1-1- -3 -2 -1 u 12 3 Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Základní principy statistických testů IMest Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech P rob léi ÍT V každém kroku musíme postupovat korektně. Tj. zejména musíme: • vhodně stanovit hypotézy, • vhodně zvolit náhodný pokus, kterým budeme hypotézy testovat, • vhodně stanovit hladinu významnosti testu. Nekorektní postup v těchto bodech vede k nekorektním závěrům! Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy bsah Základní principy statistických testů U-test Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech • Základní údaje • Standardizované normální rozdělení • Rozdělení součtu a průměru náhodných veličin s normálním rozdělením • Centrální limitní věta • Využití normálního rozdělení Q Statistické testy • Základní principy statistických testů • LMest • Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu • Chyby ve statistických testech Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Příklad Základní principy statistických testů U-test Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech Výše uvedené principy nyní aplikujeme na konkrétní zadání. (Text zadání je záměrně zvolen tak, aby ilustroval šíři záběru statistického testování i „testování".) Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Základní principy statistických testů U-test Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech 1 Situace: Vývojář firmy Tepodong vyvinul nový postup na prodloužení doletu kuliček z automatického praku. Chce se přesvědčit o tom, že jeho vynález „funguje". Předpokládejme, že vývojář se bude rozhodovat na základě statistického testu. Dále předpokládejme, že dolet kuliček z automatického praku je náhodná veličina X, kterou lze popsat normálním rozdělením, např. X ~ n(/i = 80a7?, a2 = 36). Normální rozdělení a statistické testy Základní principy statistických testů Normální rozdělení pravděpodobnosti LMest Stanovení hypotéz Statistické testy Chyby ve statistických testech Tvrzení „střední hodnota doletu kuliček vystřelených novým postupem se nezmění" označíme jako nulovou hypotézu H0. K ní nyní zformulujeme alternativní hypotézu H-i. • Jestliže vývojář bezpečně ví, že jeho „vynález" nemůže dolet kuliček snížit, může zformulovat alternativní hypotézu H-i jako „střední hodnota doletu kuliček vystřelených novým postupem se zvýší". • Jestliže vývojář neví, jaký má jeho „vynález" vliv na dolet kuliček, měl by zformulovat alternativní hypotézu H-i jako „střední hodnota doletu kuliček vystřelených novým postupem se změní". Pro účely tohoto příkladu předpokládejme formulaci H-i jako „střední hodnota doletu kuliček se změní". ^ Normální rozdělení a statistické testy Základní principy statistických testů Normální rozdělení pravděpodobnosti LMest Statistické testy Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech Náhodný pokus Dále je třeba provést nějaký pokus, na základě jehož výsledku budeme o hypotézách rozhodovat. V naší situaci tímto pokusem může být: • vystřelení jedné kuličky novým postupem, • vystřelení více kuliček novým postupem. Pro jednoduchost předpokládejme první volbu. Předpokládejme, že dolet kuličky byl 90 metrů. Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Základní principy statistických testů U-test Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech Stanovení hladiny významr losti testu Zvolme vhodnou hladinu významnosti testu, např. a = 0,1. Normální rozdělení a statistické testy Základní principy statistických testů Normální rozdělení pravděpodobnosti LMest Statistické testy Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech Výpočet kritických hodnot Předpokládejme, že dolet kuliček novým postupem lze popsat náhodnou veličinou X se stejným rozdělením pravděpodobnosti jako dolet kuliček původním postupem, tj. X ~ N(/i = 80A77, a2 = 36). Jestliže jsme zvolili a = 0,1 a zformulovali hypotézu H-i jako „střední hodnota doletu kuliček se změní", pak musíme najít takové kritické hodnoty Td a Th tak, že P(XTh) = ^ = 0,05, tj. P(X < Td) + P(X > Th) = a a Td, Th jsou stejně vzdálené od střední hodnoty X. Normální rozdělení a statistické testy Základní principy statistických testů Normální rozdělení pravděpodobnosti LMest Statistické testy Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech Výpočet kritických hodnot Hodnoty Td a Th určíme pomocí n(0,1) P(X < Td) p(u<»-T« P U< 0 a 80 — 6 80 — 6 Ze statistických tabulek určíme, že 80- Td = 0,05 = 0,05 = 0,05 = 0,05 = 1,64, tj. Td = 70,16. Protože graf hustoty normálního rozdělení je funkce symetrická podle přímky x = /i, je 7), = 89,84. „ n , < s „ < t „ < t, Normální rozdělení a statistické testy Základní principy statistických testů Normální rozdělení pravděpodobnosti LMest Statistické testy Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech Rozhodnutí Dolet kuličky vystřelené novým postupem byl 90 metrů. Protože 90 0 (Td, Th), zamítáme hypotézu H0 „střední hodnota doletu kuliček se nezmění" a přijímáme hypotézu H-i „střední hodnota doletu kuliček se změní". Proto může vývojář firmy Tepodong tvrdit, že statistickým testem dokázal, že jeho vynález „funguje". Normální rozdělení a statistické testy Základní principy statistických testů Normální rozdělení pravděpodobnosti LMest Statistické testy Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech Statistický test vs. realita Ve skutečnosti ale • na základě jednoho pokusu, • na hladině významnosti a = 0,1 a • za předpokladu, že dolet kuliček lze skutečně popsat normálním rozdělením s uvedenými parametry tvrdí, že zamítá hypotézu, že střední hodnota doletu kuliček se nezmění a přijímá hypotézu, že se změní. Normální rozdělení a statistické testy Základní principy statistických testů Normální rozdělení pravděpodobnosti LMest Statistické testy Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech Oboustranný vs. jednostranný test Ve výše uvedeném příkladě jsme hypotézu H-i formulovali ve tvaru H-i ^ konstanta. V takovém případě hovoříme o oboustranném testu. Jestliže bychom hypotézu H-i formulovali ve tvaru > konstanta, resp. H-i < konstanta, hovořili bychom o jednostranném testu {levostranném nebo pravostranném testu). Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy bsah Základní principy statistických testů U-test Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech • Základní údaje • Standardizované normální rozdělení • Rozdělení součtu a průměru náhodných veličin s normálním rozdělením • Centrální limitní věta • Využití normálního rozdělení Q Statistické testy • Základní principy statistických testů e (V-test • Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu • Chyby ve statistických testech Normální rozdělení a statistické testy Náhodným výběrem nazveme vektor (X1, X2,..., Xn), kde X1, X2,..., Xn jsou navzájem nezávislé náhodné veličiny, které mají všechny stejné rozdělení pravděpodobnosti. Označme /=1 Xje náhodná veličina, kterou nazveme výběrový průměr. 4U>4^>< = >4 = > _š | Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Základní principy statistických testů U-test Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech Rozdělení pravděpodobnosti výběrového průměru Theorem Jestliže Xj ~ n(/í, a2), i = 1,..., n, pak X~N(m,-) n Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Příklad Základní principy statistických testů U-test Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech Situace: Vývojář firmy Tepodong vyvinul nový postup na prodloužení doletu kuliček z automatického praku. Chce se přesvědčit o tom, že jeho vynález „funguje". Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Předpoklady Základní principy statistických testů U-test Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech Na rozdíl od předchozího situace budeme nyní nový postup testovat tak, že vystřelíme více kuliček. Vše ostatní zůstane stejné, tj. 9 dolet kuliček je náhodná veličina X ~ N(/i = 80A77, a2 =36), • nulová hypotéza H0 je tvrzení „střední hodnota doletu kuliček se nezmění", • alternativní hypotéza H* je tvrzení „střední hodnota doletu kuliček se změní". Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Předpoklady Základní principy statistických testů U-test Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech Předpokládejme, že bylo provedeno n = 10 pokusů s těmito výsledky v metrech: 85-81 -77-76-79,5-82,8-90-88,3-85,7-85, tj. průměr těchto hodnot je x = 83,03. • Pozor na označování: zatímco X značí výběrový průměr, tj. náhodnou veličinu, x je průměr z konkrétních číselných hodnot. Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Základní principy statistických testů U-test Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech Výpočet kritických hodnot: jiné Hodnoty Td a Th určíme pomocí N(0,1). Hledáme pravděpodobnost, že výběrový průměr bude menší než kritická hodnota. P(X< Td) = 0,05 P U< n p u< 4> 80- Td 80- Td v^6 = 0,05 = 0,05 = 0,05 Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Základní principy statistických testů U-test Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech Výpočet kritických hodnot: jiné Ze statistických tabulek určíme, že 80- Td V3T6 = 1,64, tj. Td = 76,888. Protože graf hustoty normálního rozdělení je funkce symetrická podle přímky x = \i, je Th = 83,111. Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Rozhodnutí: analogické Základní principy statistických testů U-test Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech Průměrný dolet kuličky vystřelené novým postupem byl 83,03 metrů. Protože 83,03 e (7^, Th), přijímáme hypotézu H0 „střední hodnota doletu kuliček se nezmění". Proto můžeme tvrdit, že vývojář firmy Tepodong statistickým testem nedokázal, že jeho vynález „funguje". Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Základní principy statistických testů U-test Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech Rozhodnutí pomocí p-hodnoty V obou případech také můžeme zkoumat, jaká je pravděpodobnost, že kulička doletí tak daleko, jak doletěla, resp. že průměr z 10 pokusů bude takový, jaký byl. (Detaily viz kapitola skript „Testování pomocí p-hodnoty"). Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Problém Základní principy statistických testů U-test Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech Tvrdíme, že vývojář testem nedokázal, že jeho vynález „funguje". Můžeme ale tvrdit, že dokázal, že nefunguje? Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy Problém Základní principy statistických testů U-test Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech V obou případech jsme předpokládali, že rozptyl a2 známe. V našem případě (a ve většině reálných situací) ovšem známý není (a ani být nemůže). Pak ovšem nepracujeme s normálním rozdělením, ale s ř-rozdělením a hovoříme o tzv. t-testu. Normální rozdělení a statistické testy Normální rozdělení pravděpodobnosti Statistické testy bsah Základní principy statistických testů U-test Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech • » I I I I I I I I I I I I %_,-4_ V I | m/*J I | • Základní údaje • Standardizované normální rozdělení • Rozdělení součtu a průměru náhodných veličin s normálním rozdělením • Centrální limitní věta • Využití normálního rozdělení O Statistické testy • Základní principy statistických testů • U-test • Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu • Chyby ve statistických testech Normální rozdělení a statistické testy Základní principy statistických testů Normální rozdělení pravděpodobnosti LMest Statistické testy Chyby ve statistických testech Dva druhy chyb Při statistickém testování se dopouštíme dvou druhů chyb: O Zamítneme nulovou hypotézu H0, která ve skutečnosti platí. Q Přijmeme nulovou hypotézu H0, která ve skutečnosti neplatí. Chyba v bodě 1 se nazývá chyba 1. druhu, chyba v bodě 2 se nazývá chyba 2. druhu. Lze ukázat, že snižování chyby jednoho druhu vede ke zvyšování chyby druhého druhu. Normální rozdělení a statistické testy Základní principy statistických testů Normální rozdělení pravděpodobnosti U-test Statistické testy Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech i 11 i1 r ■ ■ ■ ■ Hladina významnosti testu Hladina významnosti testu je pravděpodobnost chyby 1. druhu. Normální rozdělení a statistické testy Základní principy statistických testů Normální rozdělení pravděpodobnosti LMest Statistické testy Test střední hodnoty průměru při známém rozptylu Chyby ve statistických testech Definition Označíme-li (3 pravděpodobnost chyby 2. druhu, pak číslo 1 - (3 vyjadřuje pravděpodobnost, že správně zamítneme hypotézu Ho, jestliže platí hypotéza H-i. Číslo 1 - /3 nazýváme síla testu. Normální rozdělení a statistické testy Příloha Procvičování látky Před tím, než začnete řešit jakékoli příklady, si pročtěte plnou verzi učebního textu! Normální rozdělení a statistické testy Príloha Procvičování látky Příklady pro samostatnou práci jsou uvedeny v samostatné sbírce příkladů. Kromě nich můžete pro svou samostatnou práci používat také naše doplňkové elektronické zdroje. O Normální rozdělení - výpočet pravděpodobnosti 0 Normální rozdělení - výpočet kvantilu O Aproximace binomického rozdělení normálním Normální rozdělení a statistické testy Example Test má 120 otázek. Každá nabízí 6 možných odpovědí, přičemž správně je vždy právě 1. Každá správná odpověď je hodnocena 1 bodem, špatná odpověď 0 body. Zadání vůbec nerozumíme, proto náhodně tipujeme. Určete pravděpodobnost, že získáme alespoň polovinu bodů, které lze při náhodném tipování v tomto testu očekávat. Poté požadavek „alespoň polovinu bodů" nahraďte požadavkem „nejvýše čtyři pětiny bodů". Príloha Procvičování látky Example Je známo, že hmotnost ročního dítěte lze popsat normálním rozdělením se střední hodnotou /i = 10,25/cg a rozptylem a2 = 1,2. Náhodně vybranému vzorku 100 dětí byla podávána nová umělá výživa. Průměrná hmotnost dětí z uvedeného vzorku byla v jednom roce 12,5/cg. Na hladině významnosti a testujte hypotézu, že nová umělá výživa má vliv na váhu dětí. Tento příklad je zjednodušením reálné situace -předpokládejme, že váhu mohlo ovlivnit pouze podávání nového typu umělé výživy. Proveďte Q oboustranný test pro a O jednostranný test pro a O jednostranný test pro a O jednostranný test pro a 0,04 0,04 0,02 0,08 Poté některé z testů proveďte pro vzorek 1000 dětí (další parametry zadání se nezmění). 1_F Normální rozdělení a statistické testy