I. Budínová: Vstup do algebry 1
VSTUP DO ALGEBRY. ALGEBRAICKÉ
VÝRAZY
Irena Budínová
ALGEBRA NA 2. STUPNI ZŠ
Které učivo se probírá na 2. stupni ZŠ v rámci
algebry?
Mnohočleny
Lomené výrazy
Rovnice a nerovnice
Soustavy rovnic
Funkce
I. Budínová: Vstup do algebry 2
ROZVOJ PŘED-ALGEBRAICKÉHO MYŠLENÍ
Může (mělo by) probíhat od 1. stupně ZŠ:
Dočítací úlohy
Zakreslování řetězců u úloh typu „myslím si
číslo“.
Např.: Myslím si číslo. Jestliže toto číslo vydělím
pěti, přičtu 5 a tento součet vynásobím čtyřmi,
dostanu 100. Které číslo si myslím?
Používání řízeného experimentu při řešení
slovních úloh
ROZVOJ PŘED-ALGEBRAICKÉHO MYŠLENÍ
Grafické znázorňování aritmetických vztahů ve
slovních úlohách; např. úsečkové modely
Např.: David a Michal měli dohromady 15 modelů
autíček. Michal měl dvakrát tolik a ještě o tři více
než David. Kolik autíček měl David?
Úlohy s vahami
Algebrogramy
I. Budínová: Vstup do algebry 3
ŽÁKOVSKÉ STRATEGIE PŘI ŘEŠENÍ ÚLOH
Na 1. stupni žáci nejčastěji volí metodu pokusu
a omylu
ŽÁKOVSKÉ STRATEGIE PŘI ŘEŠENÍ ÚLOH
Metoda od konce, která se objevuje méně
často. Žák řeší úlohu: „Myslím si číslo, když k
němu přičtu 7, výsledek vydělím třemi a toto
číslo vynásobím 9, dostanu 45. Které číslo si
myslím?“
I. Budínová: Vstup do algebry 4
ŽÁKOVSKÉ STRATEGIE PŘI ŘEŠENÍ ÚLOH
Již na 1. stupni se můžeme setkat s
algebraickým řešením. Všimněme si
nezvládnuté gramatiky zápisu. (Žák řeší
„myslím si číslo…“)
ÚLOHY S VELKÝMI ČÍSLY NA 2. ST. ZŠ
Neexistuje transfer mezi metodou pokusu a
omylu a algebraickým způsobem myšlení.
Žákyně počítá úlohu: „Když dvě čísla sečteš,
dostaneš 15, když odečteš od většího menší,
dostaneš 3, metodou pokusu a omylu.“
I. Budínová: Vstup do algebry 5
Stejná žákyně (9. ročník) řeší analogickou
úlohu s velkými čísly – sestaví soustavu rovnic,
není ji schopna řešit.
Žák 9. ročníku řeší úlohu pomocí logické úvahy.
(Všimněme si implikačního způsobu zápisu.)
I. Budínová: Vstup do algebry 6
Stejný žák používá stejnou úvahu na velká
čísla, není schopen je odečíst a vydělit.
Žáci naráží na mezery v aritmetických
představách.
PROČ POTŘEBUJEME POČÍTAT S OBECNÝM
VYJÁDŘENÍM A KDE SE S NÍM SETKÁME
Ve školské matematice – zobecňování vztahů:
Vztahy pro výpočty obsahů, obvodů, povrchů a
objemů geometrických útvarů;
V rovnicích;
Ve funkčních závislostech;
V ostatních předmětech – fyzika, biologie,
chemie;
V běžném životě.
I. Budínová: Vstup do algebry 7
POUŽÍVÁNÍ PÍSMEN VE VÝZNAMU ČÍSEL
Písmena mohou mít v matematice význam
proměnné veličiny, konstanty, neznámé
veličiny, nebo čísel, jejichž hodnotu
nedokážeme vyjádřit – π, e, i.
Učivu algebraické výrazy předchází číselné
výrazy, žáci musí umět pracovat s mocninami,
se zlomky.
VÝRAZY
Číselné výrazy
Výrazy s proměnnou
Polynomy, úpravy polynomů
Lomené výrazy
Úkol: Algebraické výrazy – pro podprůměrné
žáky, žáky s SPU, průměrné žáky, bystré žáky
I. Budínová: Vstup do algebry 8
HISTORICKÁ POZNÁMKA
Zhruba od roku 2000 př. n. l. začíná
verbalistické období – vztahy mezi čísly byly
vyjadřovány slovně.
Úloha z tohoto období (Egypt, Rhindův papyrus,
1650 př. n. l.): Hromada a její čtvrtina dávají
dohromady 15. Jak velká je hromada? Úloha
byla řešena metodou falešného předpokladu.
HISTORICKÁ POZNÁMKA
Kolem roku 500 př. n. l. nastává geometrická
algebra Řeků.
Úloha z tohoto období: Obdélník, jehož jedna
strana je o jednotku kratší než druhá strana,
má obsah plochy 12 jednotek. Jak dlouhé
strany? Lze řešit aritmeticky, rozkladem na
součin.
I. Budínová: Vstup do algebry 9
HISTORICKÁ POZNÁMKA
250 př. n. l. Diofantos z Alexandrie –zahájil
synkopické období: některé vztahy byly zapisovány
větami, jiné speciálními symboly.
Diofantův epitaf: Zde tento náhrobek přikrývá
Diofanta – zázrak na pohled! Aritmetickým
uměním sděluje kámen jeho věk. Šestinu života
popřál mu Bůh být chlapcem, když pak dvanáctina
uplynula, nechal mu vyrašit vous. Ještě sedmina,
tu rozžehl mu svatební pochodeň, a pět let nato
mu dal synáčka. Běda nešťastné dítě! Dosáhlo
teprve poloviny otcova věku, když přijal ho Hádes,
ten strašný. Ještě čtyři roky snášel Diofantos
bolest, žije vědě. A nyní řekni věk, kterého dosáhl.
HISTORICKÁ POZNÁMKA
Nejvýznamnějším matematikem synkopického
období byl Al Chovarizmi (9. st. n. l.). Spis Aljabr
v‘almukabala obsahuje nauku o rovnicích.
13. st. – Leonardo Pisánský používal písmena k
označení čísel ve spisu Liber Abaci.
Od 15. století začíná období symbolické
Francois Viéte ve spisu Logistica speciosa navrhuje
označovat známé veličiny souhláskami, neznámé
samohláskami.
René Descartes (17. st.) – zdokonalení symboliky
I. Budínová: Vstup do algebry 10
FORMÁLNÍ (AVŠAK NÁZORNÉ) ZAVÁDĚNÍ
ALGEBRAICKÝCH VZORCŮ, ETAPA 2
Třetí fáze práce s binomickou krychlí: předchází
zavedení vzorců a v devátém
ročníku.
Žáci nejdříve pracují se stěnou krychle a
později s celou krychlí.
Výhodná je práce se čtverečkovaným papírem
ALGEBRAICKÉ VROZCE
Žákům může pomoci
geometrická interpretace
algebraických výrazů.
Číslo ↔ délka úsečky,
součin ↔ obsah obdélníku,
kvadrát ↔ obsah čtverce,
třetí mocnina ↔ objem
krychle
Odvození vzorce
pomocí čtverce.
4 cm 6 cm
I. Budínová: Vstup do algebry 11
ODVOZOVÁNÍ DALŠÍCH ALGEBRAICKÝCH
VZORCŮ POMOCÍ ČTVEREČKOVANÉHO PAPÍRU
b
a a+b
a-b
ALGEBRAICKÉ VÝRAZY
Nejvíce náročné je vytvořit geometrickou
představu pro vzorec .
b
a
I. Budínová: Vstup do algebry 12
ROZNÁSOBOVÁNÍ ZÁVOREK
3.(6+2)=3.6+3.2
Zobecnění: a(b+c)=ab+ac
(3+1).(6+2)=3.6+3.2+1.6+1.2
Zobecnění:
ALGEBRAICKÉ VÝRAZY
Po fázi modelování musí následovat fáze
zapamatování a fixace.
Pro efektivní fixaci mohou sloužit různé
didaktické hry, jako např. práce s kartičkami:
,
,
,
,
,
,
,
I. Budínová: Vstup do algebry 13
ALGEBRAICKÉ VÝRAZY
Děti mohou mít i přes názorný úvod do algebry
později problémy s interpretací algebraických
výrazů. Stávají se jim potom chyby typu
2 3 apod. Těmto chybám lze předcházet
dvěma způsoby:
opakovaně se vracet k dosazování číselných
hodnot, např. 	5 2 · 5 5 5 2 5 · 7 35.
algebraickým zápisům přisuzovat geometrický
význam, tj. a je úsečka, a2 je čtverec, ab je
obdélník, a3 je krychle.
LITERATURA
Balada, F. (1959). Z dějin elementární
matematiky. Praha: SPN
Bečvář, J., Bečvářová, M., Vymazalová, H.
(2003). Matematika ve starověku. Egypt a
Mezopotámie. Edice dějiny matematiky, 23.
svazek. Praha: Prometheus
Hejný, M. (1990). Teória vyučovania
matematiky2. Bratislava: SPN