Irena Budínová: DM2 přednáška 2 26.02.2018
1
ROVNICE NA ZÁKLADNÍ ŠKOLE
Irena Budínová
PROPEDEUTIKA ROVNIC
Nežli začne samotné učivo Rovnice, je důležité,
aby žáci řešili úlohy vedoucí na rovnice jinými
prostředky. Jedná se o typy úloh:
Úlohy s váhami,
Úlohy zadané příběhem,
Řešení tzv. aritmetických úloh.
Irena Budínová: DM2 přednáška 2 26.02.2018
2
ÚLOHY S VAHAMI
Kolik kroužků musíme umístit na pravou stranu
poslední váhy, aby nastala rovnováha? Jaká je
hodnota jednotlivých útvarů? (1. stupeň – 6.
ročník)
ÚLOHY S VAHAMI
Doplňte na váhy závaží tak, aby nastala
rovnováha.
11 7 2 8 9 3 5 7
Irena Budínová: DM2 přednáška 2 26.02.2018
3
SLOVNÍ ÚLOHY A STRATEGIE JEJICH ŘEŠENÍ
Na následující úloze budeme diskutovat různé
možnosti řešení:
Tatínek kupoval tři autíčka, červené, modré a zelené.
Modré stálo dvakrát více než červené, zelené stálo
tolik co červené a modré dohromady. Všechna autíčka
stála dohromady 120 Kč. Vypočítej cenu každého
autíčka.
Řešení experimentem,
Aritmetické řešení s grafickým znázorněním.
Algebraické řešení
ŘEŠENÍ ARITMETICKÉ ÚLOHY
Hledejte různé možnosti řešení následujících
úloh:
Myslím si číslo. Když k němu přičtu 7 a výsledek
vynásobím 8, dostanu 160. Které číslo si myslím?
Řešení experimentem
Aritmetické řešení od konce
Algebraické řešení
Irena Budínová: DM2 přednáška 2 26.02.2018
4
POSTUPNÉ ZAVÁDĚNÍ SYMBOLIKY POMOCÍ
SLOVNÍCH ÚLOH
1. Intuitivní zápis slovní úlohy.
2. Postupné zavádění písmena jakožto neznámé.
Ukažme možnou učitelovu intervenci na
následující úloze:
Davidova maminka váží třikrát tolik a ještě o 5 kg
více než David. Kolik kg váží David, když
maminka váží 59 kg?
POSTUPNÉ ZAVÁDĚNÍ SYMBOLIKY POMOCÍ
ÚLOH S VAHAMI
U váhy můžeme domluvit následující symboliku:
neznámé závaží … neznámá … označíme x,
známé závaží má udanou číselnou hodnotu …
číslo.
6
Irena Budínová: DM2 přednáška 2 26.02.2018
5
EKVIVALENTNÍ ÚPRAVY ROVNIC
Jedná se o takové úpravy celé rovnice, při jejichž
použití mají rovnice před úpravou a po úpravě
stejné kořeny (rovnice původní a rovnice upravená
mají stejnou množinu všech řešení).
záměna obou stran rovnice
přičtení (odečtení) stejného čísla nebo stejného výrazu
k oběma stranám rovnice
vynásobení obou stran rovnice stejným číslem různým
od nuly nebo stejným mnohočlenem, který má pro
každou proměnnou hodnotu různou od nuly
vydělení obou stran rovnice stejným číslem různým od
nuly nebo stejným mnohočlenem, který má pro každou
proměnnou hodnotu různou od nuly.
VYVOZENÍ EKVIVALENTNÍCH ÚPRAV POMOCÍ
ÚLOH S VAHAMI
62 242 4
66
6
2
2 2 2
Irena Budínová: DM2 přednáška 2 26.02.2018
6
ROVNOST
Rovnost je „binární relace a určujeme, zda daná
dvojice čísel do relace patří nebo nepatří, tedy
zjišťujeme pravdivost výroku pro daná čísla“
(Malinová, 1983).
Jedná se o relaci, která je:
reflexivní, tj. pro každé a z dané množiny a = a
symetrická, tj. pro každé a, b z dané množiny platí:
jestliže a = b, pak b = a
tranzitivní, tj. pro každé a, b, c, z dané množiny platí:
jestliže a = b a zároveň b = c, pak a = c.
tedy je to relace ekvivalence.
ROVNICE
Rovnice je
a) zápis rovnosti dvou výrazů, z nichž alespoň jeden
obsahuje neznámou,
b) výroková forma A(x), jejíž obor pravdivosti
hledáme.
Na ZŠ se žáci seznamují s lineární rovnicí s
jednou neznámou a s některými rovnicemi,
které na ni vedou.
Pro žáky je výhodou vycházet z aritmetických
dovedností (úlohy rovnicového charakteru)
Irena Budínová: DM2 přednáška 2 26.02.2018
7
LINEÁRNÍ ROVNICE O JEDNÉ NEZNÁMÉ
Rovnice typu ax+b=0.
Tato rovnice může mít vzhledem ke
koeficientům a, b
nekonečně mnoho řešení,
žádné řešení,
právě jedno řešení.
Při výuce postupujeme od nejjednodušších
tvarů rovnice, postupně zavádíme nové jevy.
ŘEŠENÍ ROVNICE
Při řešení rovnice hledáme její kořen – číslo,
které po dosazení za neznámou změní rovnici v
rovnost.
Postupujeme podle algoritmu – přesné
posloupnosti kroků, jejímž cílem je nalezení
neznámé.
Rovnici je potřeba upravovat jako celek – to
nekoresponduje s dosavadními používanými
aritmetickými metodami
Irena Budínová: DM2 přednáška 2 26.02.2018
8
ŘEŠENÍ LINEÁRNÍ ROVNICE
Ekvivalentní úpravy, které provádíme s celou
rovnicí, je nutné ze začátku zdůrazňovat:
3x – 2 = 16
3x – 2 + 2 = 16 + 2
3x : 3 = 18 : 3
x = 6
Vždy provádíme zkoušku správnosti z důvodu
eliminace numerické chyby dosazením kořene do
obou stran rovnice.
Úloha: Řešte rovnici, proveďte zkoušku:
x(4+x) = (x-2)(x+5)
ROVNICE S NEZNÁMOU VE JMENOVATELI
Na ZŠ rovnice se zlomky s neznámou ve
jmenovateli, které lze převést na lineární rovnici.
Tyto rovnice je možno řešit ekvivalentními nebo
důsledkovými úpravami
Důsledkové úpravy: úpravy, které mohou změnit
množinu řešení dané rovnice. Na ZŠ se jedná o:
vynásobení rovnice výrazem s neznámou, který je roven
nule,
vydělení rovnice výrazem s neznámou, který je roven
nule,
umocnění obou stran rovnice na druhou,
odmocnění obou stran rovnice.
Irena Budínová: DM2 přednáška 2 26.02.2018
9
ŘEŠENÍ RŮZNÝCH ROVNIC NA ZŠ
Některé důsledkové úpravy ubírají řešení zadané
rovnici, jiné naopak přidávají. Při použití
důsledkové úpravy je nutné provést zkoušku z toho
důvodu, abychom odstranili přidaná řešení.
Na ZŠ je možné se důsledkovým úpravám vyhnout.
Úloha: Řešte rovnici a) pouze ekvivalentními
úpravami, b) i důsledkovými úpravami.
ŘEŠENÍ RŮZNÝCH ROVNIC NA ZŠ
Úloha: Šířka obdélníku je o 2 větší než jeho
výška. Obsah obdélníku je 120. Jaké jsou jeho
rozměry?
Úloha: Obsah obdélníku je 72. Jeho šířka je
dvakrát větší než jeho výška. Jaké jsou rozměry
obdélníku?
Úloha: Řešte rovnici (x-3)(x+3)-1=26.
Úloha: Řešte rovnici 2x2+x+1=x2-x+1.
Irena Budínová: DM2 přednáška 2 26.02.2018
10
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC SE DVĚMA
NEZNÁMÝMI
Jedná se o soustavu rovnic typu
ax+by=c
dx+ey=f
Soustavu rovnic řešíme následujícími metodami:
dosazovací metoda
sčítací metoda
velice často se volí kombinace dvou předchozích metod
komparační metoda
grafické řešení – až po probrání lineární funkce
ŘEŠENÍ SOUSTAVY ROVNIC
Zásady:
Rovnice píšeme stále pod sebe, jednotlivé kroky
oddělujeme vodorovnou čárou.
Výsledek zapisujeme jako uspořádanou dvojici.
Zkoušku provádíme dosazením obou kořenů do
zadané soustavy. Je-li nekonečně mnoho řešení,
nebo není-li žádné řešení, prověřujeme správnost
řešení např. pomocí komparační metody – z obou
rovnic vyjádříme stejnou neznámou a porovnáme.
Irena Budínová: DM2 přednáška 2 26.02.2018
11
ŘEŠENÍ SOUSTAVY ROVNIC
Řešte soustavu rovnic s neznámými x, y:
Řešte soustavu rovnic:
DIOFANTICKÉ ROVNICE
Diofantické neboli neurčité rovnice jsou
rovnice, které obsahují více neznámých než
rovnic.
Nejjednodušší je řešit diofantickou rovnici 1.
stupně o dvou neznámých.
Je možné je řešit experimentálně, redukční
metodou, nebo kongruencemi.
Irena Budínová: DM2 přednáška 2 26.02.2018
12
DIOFANTICKÉ ROVNICE
Na ZŠ nejsou předmětem běžného učiva,
mohou být však obohacujícím učivem pro
bystré a nadané žáky.
Také se často objevují v Matematické
olympiádě.
Úloha: Na okně jsou pavouci a mouchy.
Dohromady mají 38 noh. Kolik je kterých?
LINEÁRNÍ NEROVNICE
Na 1. stupni – pojem nerovnosti.
Nerovnost je binární relace a>b. Tato relace je
antireflexivní, antisymetrická, tranzitivní
(uspořádání)
Zápis nerovnosti dvou výrazů, ve kterém musíme
určit neznámé číslo tak, aby daná nerovnost
platila, nazýváme nerovnice.
Řešit nerovnici znamená najít taková čísla, aby po
dosazení těchto čísel za neznámou se nerovnice
změnila ve správnou nerovnost. Nalezená čísla se
nazývají řešení dané nerovnice.
Irena Budínová: DM2 přednáška 2 26.02.2018
13
LINEÁRNÍ NEROVNICE
Rozlišujeme ostré nerovnice a neostré
nerovnice.
Žáci se musí seznámit s pojmem intervalu,
úlohy řeší v množině reálných čísel nebo
přirozených čísel. Velmi vhodné je řešení úloh
pomocí číselné osy.
Zkoušku správnosti provádíme náhodným
dosazením čísla z nalezeného intervalu.
ŘEŠENÍ LINEÁRNÍCH NEROVNIC
Nejčastěji užívané úpravy lineární nerovnice
jsou:
1. Přičítání nebo odčítání stejného výrazu k oběma
stranám nerovnice.
2. Násobení nebo dělení obou stran nerovnice
stejným číslem různým od nuly.
Irena Budínová: DM2 přednáška 2 26.02.2018
14
Úloha: Řešte nerovnici s neznámou v množině
přirozených čísel:
Úloha: Řešte soustavu nerovnic s neznámou x:
ŘEŠENÍ NEROVNIC
Úloha: Řešte nerovnici s neznámou x:
Aplikační úloha: Dokažte, že nerovnost
a2+1 ≥ 2a platí pro každé reálné číslo a.
Irena Budínová: DM2 přednáška 2 26.02.2018
15
KVADRATICKÁ ROVNICE NA SŠ
Rovnice typu ax2+bx+c=0.
Kořeny kvadratické rovnice hledáme nejčastěji
následujícími způsoby:
pomocí vzorce,
pomocí Viétových vzorců,
pomocí doplnění na úplný čtverec,
ve speciálních případech, kdy b=0 (ryze kvadratická
rovnice) nebo c=0 používáme rozklad mnohočlenů.
Úloha: Určete kořeny následujících
kvadratických rovnic:
Irena Budínová: DM2 přednáška 2 26.02.2018
16
LITERATURA
Bečvář, J., Bečvářová, M., Vymazalová, H.: Matematika ve
starověku. Egypt a Mezopotámie. Edice Dějiny matematiky, 23.
svazek. Praha: Prometheus, 2003
Czudek, P. a kol.: Slovní úlohy řešené rovnicemi. 555 úloh pro
žáky a učitele ZŠ, studenty a profesory SŠ. Praha: sdružení
podnikatelů HAV, 1998
Hejný, M.: Vyučování matematice orientované na budování
schémat: aritmetika 1. stupně. PdF UK, Praha 2014. ISBN 978-
80-7290-776-2
Tipps, S., Johnson, A., Kennedy, L. M.: Guiding Children’s
Learning of Mathematics. Wadsworth, Cangage Learning, 2011