1
Funkce na ZŠ
Irena Budínová
Funkce jsou jedním z nejnáročnějších témat školské matematiky, které činí potíže
žákům základní školy, studentům středních i vysokých škol. V učebnicích se setkáme s velice
formálním zavedením funkcí. Některé učebnice jsou názornější (např. Odvárko), jiné jsou
velmi formální (např. Coufalová).
Některé učebnice (Odvárko, Binterová) začínají orientací v pravoúhlé soustavě
souřadnic. Žáci se musí naučit, co znázorňují body v soustavě souřadnic a jak bod
zapisujeme v rovině: vždy udáváme dva údaje – dvě souřadnice, např. 𝐴[3; 2] znamená dva
dílky na ose 𝑥, tři dílky na ose 𝑦. Žáci mnohdy tento zápis vnímají jako desetinné číslo (3,2),
nebo jako dvě čísla, jejichž význam ale nechápou.
A
1
1
Pracujeme s pomocí čtverečkovaného papíru. Nejdříve z grafu zapisujeme souřadnice
bodů. Později ze souřadnic bodu zakreslujeme body do grafu. Začínáme kladnými hodnotami.
Pro větší motivaci a co nejlepší fixaci kreslíme obrázky pomocí zadaných souřadnic.
Později můžeme zadávat i záporné souřadnice.
V další fázi bychom se měli zabývat závislostmi, se kterými se setkáme v běžném
životě. Zde už se učebnice znatelně rozcházejí a odklánějí se od přirozeného vnímání
závislostí. V některých učebnicích je udána definice funkce (Odvárko), žáci se učí pracovat
s tabulkou, funkčním předpisem a grafem, přitom se nějak automaticky předpokládá, že žáci
správně pochopí výraz „právě jedno“ v definici a to, proč něco je a něco není funkce.
Vhodné je postupovat pomocí závislostí z běžného života a řešit úlohy tak, aby to žáky
nutilo vytvořit si tabulku, ze které jednoduše určí funkční předpis a zakreslí graf.
Závislosti, které nemají analytický předpis
Nejdříve je vhodné umět co nejlépe číst v grafu. Za tímto účelem volíme úlohy, kdy
žáci z grafu určují různé informace.
2
Úloha 1: Lyžař jezdil v lyžařském areálu a zaznamenával si údaje o nadmořské výšce. Z nich
pak zakreslil graf. V něm je zanesen čas a nadmořská výška v okamžiku, kdy vyjel nahoru
lanovkou, sjel dolů k lanovce nebo odpočíval.
700
800
900
1000
1100
1200
nadmořskávýška/m
9:00 9:30 10:00 10:30 11:00 11:30 12:00 12:30
čas / h:min
Z grafu odpovězte na následující otázky:
a) Kolikrát jel lyžař lanovkou?
b) Do jaké nejvyšší nadmořské výšky jel lyžař lanovkou?
c) Kolikrát během dopoledne sjel zpět do výchozí nadmořské výšky?
d) Kolik různých lanovek využil?
e) Kdy si udělal krátkou přestávku na čaj? Jak dlouho tato přestávka trvala?
f) V kolik hodin šel na oběd a jak dlouho obědval?
g) Mohl pít čaj ve stejné horské chatě, jako obědval?
h) Jakou rychlostí stoupala lanovka ve vyšší nadmořské výšce?
Výsledky: a) 6 krát, b) 1250 m.n.m., c) do 12 hodin 3 krát, d) 2, e) Přestávku na čaj si udělal
v 11 hodin a trvala čtvrt hodiny. f) Na oběd šel ve 12:15 a obědval půl hodiny. g) Pil čaj a
obědval ve stejné nadmořské výšce, proto je pravděpodobné, že se jednalo o stejnou chatu. h)
Za čtvrt hodiny vystoupala z výšky 975 m.n.m. do výšky 1250 m.n.m., tj. 275 m. Rychlost
stoupání lanovky tedy byla 1100 m/h neboli 1,1 km/h. Jedná se o rychlost stoupání, nikoli
rychlost lanovky.
Žáci se tímto způsobem mohou seznamovat s různými závislostmi: závislost výšky či
hmotnosti dítěte na čase, závislost teploty na čase během dne, atd. Závislosti mohou spojité i
diskrétní.
Funkce přímá úměrnost
Také u funkce přímá úměrnost můžeme začít čtením informací z grafu. Nedefinujeme
nové pojmy, pouze žáky postupně učíme pojmy používat, aby je intuitivně chápali.
3
Úloha 2: Z následujícího grafu zjistěte, jakou má pan Novák hodinovou mzdu. Kolik peněz
vydělá za osmihodinovou pracovní dobu?
počet odpracovaných hodin
výdělek / Kč
1000
1
[vydělá 200 Kč za hodinu, za 8 hodin vydělá 1600 Kč]
Úloha 3: Jeden jogurt stojí 12,50 Kč. Zakreslete graf závislosti ceny jogurtů na jejich počtu.
Žáci obvykle postupují přes tabulku. Do prvního řádku si zapíší počet jogurtů, do druhého
cenu. Do posledního sloupce pak zapíšeme obecný zápis.
Počet jogurtů / ks 1 2 3 𝑥
Cena jogurtů / Kč 12,50 25 37,50 12,50 𝑥
Z tabulky zakreslí graf. Jedná se o diskrétní závislost, proto jsou grafem izolované body. Lze
si ale všimnout, že body leží na úsečce.
Postupně lze zavést pojmy definiční obor a obor hodnot. Tyto pojmy nedefinujeme,
pouze žákům sdělíme, jak je určujeme: definiční obor je množina všech hodnot, kterých
nabývá proměnná na ose 𝑥, obor hodnot je množina všech hodnot, kterých nabývá proměnná
na ose 𝑦. Učíme se, jak to zapsat: 𝐷 = {1, 2, 3, … , 𝑥}, 𝐻 = {12,50; 25; 37,50; … ; 12,50 𝑥}.
Pokud by bylo řečeno, že se koupí maximálně 4 jogurty: 𝐷 = {1, 2, 3, 4}, 𝐻 =
{12,50; 25; 37,50; 50}.
Je také potřeba zavést pojmy nezávisle a závisle proměnná. Ptáme se takto: Závisí
počet jogurtů na jejich ceně, nebo cena jogurtů na jejich počtu? Podle toho poznáme, že počet
je nezávisle proměnná a vynáší se na osu 𝑥, cena je závisle proměnná a vynáší se na osu 𝑦.
Z tabulky je vidět také funkční předpis: 𝑦 = 12,50 𝑥.
Úloha 4: Jeden litr benzínu stojí 28 Kč. Zakreslete graf závislosti ceny benzínu na objemu
natankovaného benzínu, když nádrž má 40 litrů.
4
Tuto závislost můžeme považovat za spojitou – také platit můžeme v podstatě spojitě, když
platíme kartou. Opět určíme nezávisle a závisle proměnnou, definiční obor a obor hodnot je
již nutné zapsat intervalem: 𝐷 = 〈0, 40〉, 𝐻 = 〈0, 1 120〉. Z tabulky určíme funkční předpis:
𝑦 = 28 𝑥.
Úloha 5: Hana, Lucka, Štěpán a Ondra jsou čtyři sourozenci. Nejmladší Hana dostává
kapesné 20 Kč za týden, starší Lucka 50 Kč za týden, Štěpán 75 Kč za týden a nejstarší Ondra
100 Kč za týden. Děti si peníze spoří, ale neutrácejí. Zakreslete graf závislosti uspořených
peněz jednotlivých dětí na čase (v týdnech).
Jedná se o diskrétní závislosti. Grafy závislostí leží na čtyřech úsečkách, které se liší sklonem,
všechny procházejí počátkem soustavy souřadnic. Určíme definiční obory a obory hodnot,
funkční předpisy: ℎ: 𝑦 = 20𝑥, 𝑙: 𝑦 = 50 𝑥, š: 𝑦 = 75 𝑥, 𝑜: 𝑦 = 100 𝑥. Kolikrát větší je číslo u
𝑥, tolikrát rychleji graf roste.
Zobecnění:
Funkce přímá úměrnost je dána předpisem 𝑦 = 𝑎𝑥, kde 𝑎 je libovolné kladné reálné
číslo. Definičním oborem je množina všech reálných čísel. Grafem je přímka, která prochází
počátkem soustavy souřadnic.
V mnoha příkladech ze života lze za 𝑥 volit jen kladné číslo a grafem je pouze
polopřímka. Definičním oborem pak je množina nezáporných reálných čísel.
Lineární funkce
Úloha 6: Jarošovi chtějí koupit jablka na zimu na uskladnění. V supermarketu, který je
v blízkosti jejich bydliště, stojí kilo jablek 25 Kč. V sadě, který je vzdálen 25 km od jejich
domova, stojí kilo jablek 13 Kč. Auto Jarošových má spotřebu 6 litrů na 100 km. Aktuální
cena benzínu byla 36 Kč.
a) Zakreslete graf závislosti pro obě možnosti koupě jablek.
b) Kolik peněz zaplatí Jarošovi za 10 kg jablek v sadě? Kolik zaplatí za stejné množství
v supermarketu?
c) Určete funkční předpisy jednotlivých závislostí.
d) Z grafu určete a poté vypočtěte, od kolika kilogramů je pro Jarošovy výhodnější jet
pro jablka do sadu.
Řešení: b) V sadě: musíme uvažovat i cestu autem. Na 25 km má auto spotřebu 1,5 litru, to
odpovídá ceně za benzín 54 Kč. Musíme uvažovat i cestu zpět. Celkem Jarošovi zaplatí
108 Kč + 10 ∙ 13 Kč = 238 Kč. V supermarketu zaplatí 250 Kč. c) 𝑦 = 25𝑥, 𝑦 = 13𝑥 +
5
54, d) Řešení rovnicí: 108 + 13𝑥 = 25𝑥, 𝑥 = 9, tj. již od 9 kg se vyplatí jet do sadu. (Pozor,
uvedený graf nezapočítává cestu zpět, vytvořte si jej správně.)
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
hmotnost jablk / kg
cena/Kč
supermarket
sad
Úloha 7: Jakub vyšel v 7:30 z domova do školy, šel rychlostí 3 km/h. Jeho starší sestra Dana
zjistila, že zapomněl svačinu a rozhodla se ho dohnat. Vyšla z domova v 7:40 rychlostí 6
km/h. Zakreslete graf závislostí ujitých kilometrů na čase. Z grafu vyčtěte, za jak dlouho Dana
dožene Jakuba a jak daleko od domova. Určete funkční předpisy jednotlivých závislostí.
Řešení: Dana dožene Jakuba v 7:50.
1
2
3
7:30 7:40 7:50 8:00 8:10
čas / h:min
dráha/km
Funkční předpisy: 𝑦 = 3𝑥, 𝑦 = 6 𝑥 − = 6𝑥 − 1
Úloha 8: Dvě kamarádky ze sousedních vesnic se rozhodly, že si dají sraz uprostřed mezi
jejich vesnicemi a pak se rozhodnou, jak stráví zbytek dopoledne. Domluvily se, že si vyrazí
naproti v 9 hodin.
Barča je z vesnice B a vyrazila přesně na čas. Šla pěšky. Andrea je z vesnice B a
vyrazila o několik minut později, proto jela na koloběžce. Chvíli ještě na Barču čekala. Pak se
chvíli domlouvaly, co budou dělat a pak šly společně dál.
6
2
4
A
B
9:00 10:00
vzdálenost/km čas / h:min
9:30 10:30
Z grafu vyčti následující informace:
a) Jak daleko od sebe jsou vesnice?
b) O kolik minut vyrazila Andrea později, než měla?
c) Jakou rychlostí šla Bára?
d) Jakou rychlostí jela Andrea?
e) Jak dlouho čekala na Barču?
f) Jak dlouho se holky domlouvaly, co budou dělat?
g) Kam se potom vydaly a jakou rychlostí?
Řešení: a) Vesnice jsou vzdáleny 6 km. b) Andrea vyrazila o 10 minut později. c) Barča ušla
za půl hodiny 2 km, tedy šla rychlostí 4 km/h. d) Andrea ujela za půl hodiny 3 km a jela tedy
rychlostí 6 km/h. e) Andrea čekala na Barču 5 minut. f) Holky se domlouvaly 5 minut. g)
V 9:50 se vydaly do vesnice A, rychlostí 4 km/h.
Pomocí úloh zakreslujeme grafy, určujeme funkční předpis. Určujeme vlastnosti
funkcí, jako je definiční obor, obor hodnot, monotonie, omezenost, minimum, maximum.
Úloha 9: Katka má v kasičce 500 Kč. Rozhodla se, že každý den utratí 100 Kč. Určete
funkční předpis závislosti a zakreslete graf. Za kolik dní utratí všechny peníze?
Řešení: Funkční předpis: 𝑦 = 500 − 100𝑥, 𝐷 = {0; … ; 5}, 𝐻 = {0; 100; 200; … ; 500}.
Funkce je klesající, omezená, minimum má v bodě 𝑥 = 5, 𝑦 = 0, maximum má v bodě 𝑥 =
0, 𝑦 = 500.
Zobecnění lineární funkce
Lineární funkce má předpis 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, kde 𝑎, 𝑏 jsou reálná čísla. Grafem je přímka. Je-li 𝑎
kladné, je funkce rostoucí, je-li 𝑎 záporné, je funkce klesající, je-li 𝑎 = 0, je funkce
konstantní. Koeficient 𝑏 určuje posunutí po ose 𝑦.
7
Úloha 10: Simona si napouštěla vanu. Nejdříve do vany přitékala 7 minut voda konstantním
přítokem 0,5 l za sekundu. Pak se Simona půl hodiny koupala, voda nepřitékala ani
neodtékala. Potom se voda vypouštěla konstantním odtokem 0,3 l za sekundu. Kolik litrů
vody si Simona napustila? Jak dlouho se voda vypouštěla?
Pro funkční závislost objem vody ve vaně na čase zakreslete graf, určete funkční předpisy a
určete vlastnosti.
Řešení: Simona napustila do vany 210 litrů vody. Voda se vypouštěla přibližně 12 minut
(210:0,3=700, 700:60=11,7).
Funkční předpisy: 𝑓 : 𝑦 = 0,5𝑥, 𝑓 : 𝑦 = 210, 𝑓 : 𝑦 = −0,4(𝑥 − 37) = −0,4𝑥 + 14,8, 𝑓 =
𝑓 + 𝑓 + 𝑓 , 𝐷 = 〈0; 49〉, 𝐻 = 〈0; 210〉, funkce je rostoucí na intervalu 〈0; 7〉, konstantní na
intervalu 〈7; 37〉, klesající na 〈37; 49〉, je omezená, má minimum 𝑦 = 0 pro 𝑥 ∈ {0; 49} a
maximum 𝑦 = 210 pro 𝑥 ∈ 〈7; 37〉.
Určování monotonie
Někdy je problém žákům vysvětlit, kdy je funkce rostoucí a kdy klesající – nepoznají to
z grafu. V učebnici Fraus (9. ročník) je následující obrázek pro monotonii funkce:
8
Problém je v tom, že se žák může zeptat, co když půjdu z pravé strany. Začne složité
vysvětlování, že osy vedou zleva doprava, což stále některým žákům není dostatečně jasné.
Vhodné jsou proto časové závislosti, jako v předchozím příkladě. Je celkem jasné, že nejdříve
množství vody ve vaně roste a posléze klesá.
Co je a není funkce
Definice funkce na ZŠ říká: Funkce f je předpis, který každému číslu x z nějaké množiny
přiřazuje právě jedno číslo y. Problém je výraz „právě jedno“. Žáci intuitivně nechápou, proč
by tomu tak mělo být.
Vhodné jsou opět časové závislosti. Můžeme do grafu zakreslovat různé úsečky třeba
pro závislost vody ve vaně na čase. Úsečky vyjadřují, buď že voda přitékala, nebo odtékala,
nebo se s ní nic nedělo. Co by ale znamenala svislá úsečka? To, že v jednom čase byly ve
vaně různé objemy vody. To není možné.
Statické a dynamické zakreslování grafu lineární funkce
Žáci by měli v průběhu řešení slovních úloh získat poznatek, že grafem lineární funkce
je přímka a znát transformace, kterými základní funkci 𝑦 = 𝑥 postupně upravujeme.
Rozlišujeme statické a dynamické metody zakreslování grafu. V případě statických
metod postupuje žák pomocí dosazení několika hodnot za 𝑥. Vytvoří tabulku a zakreslí graf.
V případě dynamických metod postupuje od základní funkce a postupně ji transformuje.
Ukazuje se, že první metoda je nevhodná zejména z toho důvodu, že ji žáci používají i u
dalších funkcí, např. kvadratické nebo nepřímé úměrnosti. Jenže když žák neví, že nepřímá
úměrnost má bod nespojitosti, nemůže graf správně zakreslit.
Úloha 11: Zkreslete graf funkce 𝑦 = 𝑥 − 3. Postupujte a) staticky, b) dynamicky.
Funkce nepřímá úměrnost
S nepřímou úměrností se žáci setkávali již od 7. ročníku. Můžeme připomenout na
slovní úloze, jak se s nepřímou úměrností pracovalo.
Úloha 12: Fotbalové hřiště je od školy vzdáleno 3 km. Jenda jde po škole na fotbal pěšky
průměrnou rychlostí 4 km/h, Tonda jede na koloběžce průměrnou rychlostí 9 km/h, pan
Loučka veze Edu autem průměrnou rychlostí 30 km/h. Jak dlouho bude klukům trvat
přemístění ze školy na hřiště?
9
Řešení: Jenda jde tři čtvrtě hodiny, tedy 45 minut, Tonda jede třetinu hodiny, tedy 20 minut a
Eda jede desetinu hodiny, tedy 6 minut.
Kolikrát větší rychlostí se pohybují, tolikrát kratší dobu to trvá.
Závislost z příkladu můžeme zapsat jako 𝑡 = . Vyneseme si několik hodnot do tabulky a
zakreslíme graf.
𝑣 (rychlost v km/h) 0,5 1 2 3 4 5
𝑡 = (potřebný čas v h) 6 3 1,5 1 3
4
3
5
Vznikne křivka, která je částí hyperboly.
Úloha 13: Obdélník má obsah 24 čtverečních jednotek. Jaké mohou být délky jeho stran?
Řešení: Žáci mohou nejdříve postupovat experimentem, kdy určují strany obdélníku. Pak si je
mohou zanést do tabulky:
𝑎 (délka strany obdélníku) 1
2
1 2 4 6
𝑏 =
24
𝑎
48 24 12 6 4
Zobecnění
Funkce nepřímá úměrnost je dána předpisem 𝑦 = , kde 𝑘 je libovolné reálné číslo
různé od 0 a nazývá se koeficient nepřímé úměrnosti. Grafem nepřímé úměrností je
hyperbola. Definičním oborem nepřímé úměrnosti je množina reálných čísel bez nuly.
Úloha 14: Zakreslete grafy funkcí a) 𝑦 = , b) 𝑦 = −
,
. Určete vlastnosti těchto funkcí.
U zakreslování grafů postupujeme dynamicky, i tak však potřebujeme 3 body
k zakreslení každé větve hyperboly.
10
Kvadratická funkce
Můžeme začít závislostí obsahu čtverce na délce jeho strany. Vytvoříme tabulku, do
které budeme doplňovat hodnoty a z nich zakreslíme graf.
Délka strany 𝑎 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
Obsah čtverce 𝑎 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9 12,25 16
Žáci dostanou část křivky, která se nazývá parabola. Jestliže ji zobrazí v osové
souměrnosti podle osy 𝑦, dostanou celou parabolu.
Dále můžeme daný příklad různě modifikovat. Žáci mohou do jednoho grafu nakreslit
následující závislosti: závislost obsahu obdélníku na délce jedné jeho strany 𝑥, je-li druhá jeho
strana rovna 𝑥; závislost obsahu trojúhelníku se základnou 𝑥, je-li jeho výška 4𝑥; závislost
obsahu kruhu, je-li jeho poloměr 𝑥. Žáci si mohou uvědomit, jaký vliv na tvar paraboly má
koeficient.
Zobecnění
Funkci, jejíž předpis můžeme vyjádřit rovnicí ve tvaru 𝑦 = 𝑎𝑥 , kde 𝑎 je libovolné
nenulové číslo, nazýváme kvadratická funkce. Definičním oborem funkce je množina všech
reálných čísel. Grafem kvadratické funkce je parabola.
Dále se učíme zakreslovat grafy – pokud možno dynamicky (vždy potřebuji 3 body).
Šikovnějším žákům je možno ukázat i posunování paraboly po osách.
Úloha 15: Zakreslete grafy funkcí a) 𝑦 = 0,5𝑥 + 2, b) 𝑦 = −(𝑥 − 1) . Určete vlastnosti
daných funkcí.
Postupujeme už jedině dynamicky!
Na střední škole žáci rozšiřují poznatky o kvadratických funkcích, učí se zakreslovat
graf obecné kvadratické funkce.
Úloha 16: Zakreslete graf funkce 𝑦 = −𝑥 − 𝑥 + 6 a určete její vlastnosti.
Řešení: Průsečíky s osou 𝑥 jsou -3 a 2. Graf je posunutý o − po ose 𝑥 a o 6,25 po ose 𝑦.
11
Goniometrické funkce
Goniometrické funkce jako takové se na ZŠ nevyučují. Žáci pouze pracují s poměry
stran v pravoúhlém trojúhelníku. Nejčastěji se proto s funkcemi sin, cos, někdy tg setkají
v geometrii, při výuce podobnosti trojúhelníků. Nezakreslují však graf goniometrických
funkcí, neurčují jejich vlastnosti.
Pro podobné trojúhelníky platí, že poměr délek dvou odpovídajících si stran je
konstantní číslo. Toto konstantní číslo označíme následovně:
𝑎
𝑐
= sin 𝛼
Poměr protilehlé odvěsny úhlu 𝛼 a přepony označíme jako sinus úhlu 𝜶.
𝑏
𝑐
= cos 𝛼
Poměr přilehlé odvěsny k úhlu 𝛼 a přepony označíme jako kosinus úhlu 𝜶.
𝑎
𝑏
= tg 𝛼
Poměr protilehlé odvěsny úhlu 𝛼 a přilehlé odvěsny označíme jako tangens úhlu 𝜶.
Žáci dosazují do těchto vzorců a počítají buď velikosti úhlů, nebo délky stran.
S goniometrickými funkcemi jakožto funkcemi se setkávají až studenti středních škol.
Učí se pracovat s grafem, jednotkovou kružnicí, určují vlastnosti funkcí (přidá se i funkce
kotangens).
12
Rozvoj funkčního myšlení
Primárním cílem vzdělávání žáků v oblasti funkcí je osvojení určitých znalostí a
dovedností, které umožňují řešit různé úkoly spojené s funkcemi. Druhým, ne tak patrným
cílem, je rozvoj funkčního myšlení. Funkční myšlení používáme tehdy, když si utváříme
názorné představy o vztahu dvou proměnných. Následující typy úloh pomáhají žákům utvářet
funkční myšlení (Eisenmann, P., 2005, 2006):
1) Grafy vpravo vyjadřují závislost rychlosti lyžaře v(t) na čase t. Jen jeden z nich odpovídá
situaci zachycené na obrázku vlevo. Zaškrtněte jej. (Správná odpověď je A)
2) Nádoba se v čase t = 0 začne naplňovat stálým přítokem vody. Grafy vpravo vyjadřují
závislost výšky hladiny h(t) na čase t. Jen jeden z nich odpovídá této situaci. Zaškrtněte
jej. (Správná odpověď je C)
3) Grafy vpravo vyjadřují závislost obsahu vyšrafované části trojúhelníku S(x) na vzdálenosti
x. Jen jeden z nich odpovídá této situaci. Zaškrtněte jej. (Správná odpověď je B)
13
4) Kulečníková koule je odpálená z bodu P ve směru čárkované čáry. Grafy vpravo vyjadřují
závislost vzdálenosti d(x) koule od horní hrany stolu na vzdálenosti x. Jen jeden z nich
odpovídá této situaci. Zaškrtněte jej. (Správná odpověď je D)
Definice
Nyní si uvedeme základní definice pojmů, se kterými pracujeme v učivu funkcí na
základní škole. Ve výuce se ale snažíme vyvarovat formalismu. Definice pojmu by se proto
neměla objevit v úvodu probírání daného pojmu, ale po vyřešení dostatečného počtu úloh,
které žáci začnou chápat. Některé definice (např. graf funkce, monotonie) je lepší neuvádět
vůbec a vycházet z intuitivního vnímání pojmu žáky.
Funkce (ZŠ): Předpis, podle kterého je každému číslu x z určité množiny přiřazuje právě
jedno y.
Reálná funkce jedné reálné proměnné (VŠ): Zobrazení, které přiřazuje každému reálnému
číslu 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) právě jedno reálné číslo 𝑦 ∈ 𝑅. Množina 𝐷(𝑓) se nazývá definiční obor
funkce.
Grafem funkce f nazýváme množinu všech bodů [𝑥, 𝑦] roviny 𝑂 , jejichž kartézské
souřadnice jsou sobě přiřazené hodnoty proměnné x a funkční hodnoty f(x).
Specifické vlastnosti funkcí probíraných na ZŠ:
Funkce f se nazývá zdola omezená na množině 𝑀𝐷(𝑓), jestliže existuje 𝑑 ∈ 𝑅 takové, že
pro všechna 𝑥 ∈ 𝑀 platí: 𝑓(𝑥) ≥ 𝑑.
Funkce f se nazývá shora omezená na množině 𝑀𝐷(𝑓), jestliže existuje ℎ ∈ 𝑅 takové, že
pro všechna 𝑥 ∈ 𝑀 platí: 𝑓(𝑥) ≤ ℎ.
Funkce se nazývá omezená na množině M, je-li na dané množině omezená zdola i shora.
Funkce se nazývá rostoucí na množině 𝑀𝐷(𝑓), jestliže pro všechna 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑀 platí:
Jestliže 𝑥 < 𝑥 , pak 𝑓(𝑥 ) < 𝑓(𝑥 ).
Funkce se nazývá klesající na množině 𝑀𝐷(𝑓), jestliže pro všechna 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑀 platí:
Jestliže 𝑥 < 𝑥 , pak 𝑓(𝑥 ) > 𝑓(𝑥 ).
14
Funkce se nazývá neklesající na množině 𝑀𝐷(𝑓), jestliže pro všechna 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑀 platí:
Jestliže 𝑥 < 𝑥 , pak 𝑓(𝑥 ) ≤ 𝑓(𝑥 ).
Funkce se nazývá nerostoucí na množině 𝑀𝐷(𝑓), jestliže pro všechna 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑀 platí:
Jestliže 𝑥 < 𝑥 , pak 𝑓(𝑥 ) ≥ 𝑓(𝑥 ).
Rostoucí, resp. klesající funkce na dané množině se souhrnně nazývají ryze monotónní
funkce na dané množině. Neklesající, resp. nerostoucí funkce na dané množině se souhrnně
nazývají monotónní funkce na dané množině.
Programy pro práci s funkcemi
Pro výuku funkcí na ZŠ je možno doporučit dva programy: Geogebru a Graph.
Pomohou nám dokreslit představu vytváření grafu pro některé funkce. Programy je však vždy
nutné začít využívat až tehdy, když je učivo řádně probrané a žáci mu do značné míry rozumí.
Není možné nahradit zakreslování grafu na papíře vykreslováním pomocí počítačového
programu.
Geogebra
Výhody: dá se pracovat on-line, umožňuje provádět dynamické změny
www.geogebra.org
Vybereme si možnost pracovat on-line nebo stáhnout program – je zdarma. Zvolíme algebru.
Lineární funkce:
 Kontrola správného zakreslení grafu: Žák nejdříve ručně zakreslí graf funkce (např.
𝑦 = 3𝑥 + 1), do políčka „vstup“ zapíše funkční předpis funkce, dá „enter“ a vykreslí
se mu graf.
 Zobrazení v osové souměrnosti s osou souměrnosti y: Na horní liště vybereme políčko
„zobrazení“, osovou souměrnost. Vybereme graf funkce, potom osu y, obrazem je
přímka 𝑦 = −3𝑥 − 1.
 Zobrazení v osové souměrnosti s osou souměrnosti x: Na horní liště vybereme políčko
„zobrazení“, osovou souměrnost. Vybereme graf funkce, potom osu x, obrazem je
přímka
 Dynamické změny. Zvolíme funkci 𝑦 = 𝑎𝑥 − 1, enter, zobrazí se „vytvořit posuvník
pro a“, kliknutím na číslo na posuvníku můžeme měnit meze (předdefinováno -5 až 5).
Kliknutím mimo do okénka se vrátí posuvník. Zapneme „play“, graf se začne otáčet
kolem bodu [0; −1]. Můžeme graf zastavit v určité poloze, zjisti funkční předpis a
diskutovat – posunutí po osách, rostoucí/klesající. Dále „vstup“, zadáme 𝑦 = 3𝑥 + 𝑎,
bude se posouvat po ose y (resp. po ose x).
15
Nepřímá úměrnost:
 Zadáme funkční předpis 𝑦 = , sledujeme, jak se mění graf.
Kvadratická funkce:
 Zadáme předpis 𝑦 = 𝑎𝑥 (napíšeme x a pak klikneme dole na zobrazené klávesnici na
„𝑎 “), díváme se, jak se parabola mění (přechází přes přímku 𝑦 = 0, můžeme
diskutovat, proč nemůže být 𝑎 = 0).
 Zadáme 𝑦 = 𝑥 + 𝑎, pozorujeme posunutí po ose 𝑦.
 Zadáme 𝑦 = (𝑥 + 𝑎) , pozorujeme posunutí po ose x.
Graph:
Zadáme „graph“ do Googlu, vyhledáme např. na www.stahuj.cz. Lze zdarma stáhnout do
počítače.
Výhoda: Můžeme si obrázek uložit jako jpg.
 Volíme si osy – jejich popis, ocejchování.
 Zadáme předpis funkce – mocninu musíme psát jako x^2 (anglická klávesnice), krát
jako *.
Literatura:
Binterová, H., Fuchs, E., Tlustý, P.: Matematika. Algebra. Učebnice pro základní školy a
víceletá gymnázia. Plzeň: Fraus, 2010
Budínová, I.: Vazba mezi systémem vzdělávacích cílů a reálných výukových výstupů na
příkladu učiva o funkcích na ZŠ. Disertační práce. Brno: MU, 2010
Eisenmann, P.: Test funkčního myšlení žáků a studentů. In: Matematika – fyzika –
informatika 15, 2005/2006. ISSN 1210-1761
Eisenmann P.: Možnosti rozvoje funkčního myšlení žáků ve výuce matematiky na základní
škole. In: Sborník příspěvků celostátní konference Jak učit matematice žáky ve věku 11 – 15
let. JČMF, Hradec Králové, 2006, 53 - 62
Kuchařová, L.: Přístupy k zavedení lineární a kvadratické funkce na různých stupních škol.
Bakalářská práce. Brno: MU, 2016
Polák, J.: Didaktika matematiky. Plzeň: Fraus, 2014