Matematika ve starověku. Egypt a Mezopotámie Hana Vymazalová Ukázky z egyptských matematických textů In: Jindřich Bečvář (author); Martina Bečvářova (author); Hana Vymazalová (author): Matematika ve starověku. Egypt a Mezopotámie. (Czech). Praha: Prometheus, 2003. pp. 149-166. Persistent URL: http: //dmi. cz/dmlcz/401854 Terms of use: © Bečvář, Jindřich © Bečvářova, Martina © Vymazalová, Hana Institute of Mathematics of the Czech Academy of Sciences provides access to digitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these Terms of use. This document has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library http: //dml. cz 149 UKÁZKY Z EGYPTSKÝCH MATEMATICKÝCH TEXTŮ Na následujících stránkách jsou uvedeny vybrané úlohy, jež reprezentují jednotlivé typy problémů zmiňované v předchozím textu. Z mnoha příkladů, které známe, byly zvoleny ty, které daný typ úloh co nejlépe ilustrují a zároveň umožňují seznámit se s jejich formou, podobou zápisu a zvláštními výrazovými prostředky matematické mluvy. Úlohy jednotlivých papyrů jsou očíslovány. Toto číslování zpravidla odpovídá úzu zavedenému při prvním publikování textů. Písmeno před číslem příkladu určuje text, z něhož příklad pochází, např. K4 označuje čtvrtou úlohu Káh-únského matematického papyru. Zvláštností Moskevského papyru je číslování sloupců (římské číslice), do kterých je písmo tohoto textu uspořádáno. U úloh z Káhúnského papyru jsou uváděny i kódy označující jednotlivé fragmenty, jak byly popsány Griffithem [Gr]. V Rhindově papyru jsou číslovány úlohy popořadě, výjimkou je samotný úvod papyru, tedy tabulka 2 : n, jejíž výpočty zůstaly bez číslování. Při překládání úloh jsem byla vedena snahou o co nejpřesnější dodržení formy textu. Proto byla specifická matematická terminologie, jež nám známé početní operace opisuje zvláštními formulacemi (např. počítej s x, až najdeš y odpovídá y : x), ponechána ve své podobě, ačkoli v zahraničních překladech bývá většinou nahrazována moderními termíny. Symbolické zápisy nebyly v egyptských textech používány. Přeložené příklady odrážejí původní uspořádání textu a výpočtů do řádků či sloupců. Příliš dlouhé řádky byly rozděleny a očíslovány (např. řádek 4' navazuje na konec řádku 4). Chyby v textu jsou označeny sic, správné hodnoty jsou uvedeny v poznámkách pod čarou. Některé chyby písaře, jako například nevypsání tečky označující zlomek, kdy napsal 15 místo 1/15, byly opravovány automaticky a v překladu nejsou vyznačeny. Pro usnadnění chápání překladu jsou užívány různé druhy závorek: hranaté pro text poničený a při překladu doplněný, kulaté pro text napomáhající srozumitelnosti, lomené pro text omylem vynechaný a při překladu doplněný. Různé druhy písma odrážejí původní charakter textu. Podtržené písmo značí text psaný červeným inkoustem, většinou se jedná o nadpisy a důležité hodnoty. Italikou jsou psána slova, pro něž nebyl použit český ekvivalent. Jedná se zejména o jednotky, jejichž povaha i přibližná hodnota je popsána v příslušné poznámce pod čarou. Podrobnější informace o jednotkách jsou na str. 47 (viz též [Vyml], str. 29-31). Italika je užita i pro čísla, jež byla v egyptštině zapisována určitými znaky - např. 1/2 měla svůj hieroglyfický i hieratický znak, ale 1/2 hekatu se psala jiným znakem, a proto je v překladu psána italikou. Jak bylo řečeno, jedná se o stručný výběr příkladů. K vydání se připravuje úplný překlad všech známých matematických textů ze starého Egypta; bude obsahovat jazykový rozbor a podrobný komentář k jednotlivým úlohám. 150 rhindúv papyrus Tabulka 2/n I . i 11 4 A 2 4 JL I 28 * 4 \4 3 i 1 i i 1 2 4 28 1 7 2 14 \4 28 Vyděl 2 ; 29 ^ lil 1 6 24 JL 58 1 1T4 1 232 1 8 řešení: \1 \2 24 58 1 174 1 232 1 6 1 8 1 Vyděl 2: 41 24 1 3 24 246. 1 6 1 328 řešení: § 271 I 13 § 6 "36 i o 1 J. 12 °3 12 \ 24 zbytek 1 3 24 1 1 6 8 2' 3' 1 \2 41 82 celkem \ 4 164 \6 i 246 \8 328 8 R6 Počítání 9 chlebů pro 10 mužů. Postup: Počítej s 10-krát. 1 3 5 30 3 5 30 \ A i 2 J_ J_ 1 3 10 30 4 \8 ■) ii ° 2 10 celkem 9 chlebů, je to ono. ★ ★ 151 R7 Metoda doplňování ó 2 28 J_ 56 1 2 J_ 16 1 ; 1 1 2 4 celkem i 112 \ 4 R8 1 celkem j_ 12 ii 1 2 R21 ftekne se ti: co doplní 2 -i- do 1 ? 3 15 UU 1 ' 10 i celkem 11, zbytek je 4. Počítej s 15, až najdeš 4. 1 j_ 10 15 1 celkem 4 Tedy | ^ se k tomu přičtou. Metoda zkoušky: doplní se j_ 15 15 k 1. jine i j_ 5 10 se přičtou 10 ★ ★ ★ 152 r24 1 Množstvi'» Jehož ^ k němu přidaná dá 19. 2 \1 7 18 \I 2 \1 2\\ 3 \f 1 \2 16 \| 1 \2 4|I i 4 \4 91 i' Množství 2' postup 161| 3' i o i i -j 2 ± § celkem 19 r30 Když ti písař řekne: výsledek j^*%c je § ^ z čeho? Ať slyší: Počítej s § ^ až najdeš 10. \ 1 | jq S ^ se počítá 23-krát, než se najde | j^. 2 ^11 celkem to množství, o něž se jedná, je 13 \ 4 3 Jjr 1 13 ^ \« fi _L JL \2 o 2 i i \ ° u 10 30 \ 3 ° 3 46 138 celkem 13 ^ \ i 11 n áo celkem 10. 1 Správně má být 10; písař zde omylem napsal nad číslo 10 tečku, čímž z něho udělal ~. 153 R31 Množství, jehož § | 7 k němu přidané dají 33. 1 1 2 11 1 1 3 2 7 \ 2 4 I 1 i \ ^ ^ 3 4 28 \ 4 9 II \ ^ ° 6 18 \ 8 18 \ 1 3 7 1 i I I i 2 2 3 4 14 \\ celkem 321, zbytek \ \ I- I \ 97 42 \ 1__1__1_ _1_ 56 679 776 21 \ JL II \ 194 84 2 \ JL \ 388 1 1 168 4 1 1 1 1 1 7 8 14 28 28 6 «1 3 »i 1 I 1 2 "i 31| \ 21 celkem 33. 42 28 21 6 celkem 99s 2 Správně má být 9 ~ ^. 3 Správně má být 97. 154 r38 1 Vstoupil jsem 3-krát do (míry) hekat,4 se svou ^ jsem byl úplný. \1 \2 W celkem 1 2 i 7 3* Vyděl 1 : 3 i 22 J_ 11 1 J_ 6 66 1 7 1 _1_ 4 28 1 J_ 2 14 S y se počítá 22 [-krát] až se nalezne 3 \ celkem 1 ť 1 320 29 i 2' Metoda zkoušky: 2 3 213 i \ 22 14IJ-2 22 3' i 1111 6 11 22 66 1 3 1061 \ 66 4 2 1 1 ^ 3 6 66 4' n 1111 2 11 33 66 \i 53| celkem 101 2 JL JL _L xux 3 11 22 66 5' \ celkem 1 vypočte se ^-krát 7, než se najde ... 3" 4" Metoda zkoušky: \1 \2 W 101 2 i i J_ AUX 3 11 22 66 203 i i i -L 2 11 33 66 14 i A^ 2 22 celkem 1. Vypočítat pro obilí 1 2 i 7 1 JĽ 4 /6 32 2 i 3 11 _L JL 22 66 li ■)«, íiii 2 S ° /u 2 11 33 66 4ro Ji celkem 319 1 1 1 1 l 1 1 1 11 11 22 22 33 66 66 3 6 6 3 3 2 1 1 22 4 Dutá míra užívaná zejména pro měření obilí. Odpovídá přibližně 4,8 litru, dělila se na 320 ro. Lze pro ni užít českého termínu „měřice". 155 R40 100 chlebůpro 5 mužů, i zc 3 horních 2 pro 2 muže dole. \- 23 3 Jaký je rozdíl ? \- 17 l- 4 Postup: rozdíl je 5 | \" 12 5 V 6| 6 \- 1 celkem 60. ľ 2' 3' 4' 5' \1 \3 60 40 počítej 23-krát, výsledek je 38 | 17 i 12 6i u 2 1 celkem 60 29 i 20 celkem 100. R44 1 Metoda počítání čtverhranné obilnice, jejíž délka je 10, šířka 10 a výška 10. Co je to, co do ní vejde v obilí? 2 Počítej s 10 10-krát, vyjde 100. Počítej se 100 10-krát, vyjde 1000. Připočti | z 1000, je to 500, vyjde 1500. To je její objem 3 v c/íor.5 Vypočti ^ z 1500, vyjde 75. To je to, co do ní vejde v jednotkách 100-4-hekat6: 75 100-4-hekat obilí. 4 metoda řešení tohoto: 1 10 1 1000 1 1500 5 10 1000 1 2 500 i 10 150 6 1 100 i 20 75 4' 1 75 i 10 150 5' 10 750 -i- z i 10 A 10 15 6' \ 20 1500 3 ^ 10 ^ 10 z toho je 10 5 Jednotka char („pytel") je dvacetinásobkem jednotky hekat, odpovídá tedy přibližně 96,1 litru. 6 Jedná se o stovky čtyřnásobného hekatu. 156 r50 1 Metoda výpočtu (obsahu) kruhové plochy o (průměru) 9 diet? 2 Jaký je obsah její plochy? Odečti \ z toho, je to 1, 3 zbytek je 8. Počítej s 8 8-krát, 4 vyjde 64. Toto je její obsah v ploše: 64 secat.8 1 9 ť 2' postup: | z toho 1 3' odečíst od toho, zbytek 8 4' 1 8 4 32 5' 2 16 \8 64 obsah její plochy 64 secat-johet R52 i Metoda výpočtu lichoběžníkového pole. Rekne-li se ti: lichoběžníkové pole 2 jež má 20 diet na výšku, jeho (dolní) základna je 6 a 4 chet má (horní) základna. Jaký je (obsah) jeho plochy? 3 Sečti (dolní) a (horní) základnu, vyjde 10. Vypočti | z 10, je to 5, pro udání jeho obdélníka. 4 Počítej s 20 5-krát, vyjde 10, to je (obsah) jeho plochy. Postup: 2' 20 chet 1000 \ 1 2000 500 2 4000 \ 4 8000 celkem 10000 5 převeď na plochu: 20s,c9 - to je obsah jeho plochy. 3' I 2 4' chet 6 chet 7 Délková jednotka odpovídající 100 loktů, čili 52,5 m. 8 Plošná míra odpovídající čtverci o straně 1 chet, tedy 10 000 čtverečních loktů. 9 Správně má být 10; tato hodnota je v jednotkách cha-ta, jež odpovídají 10 secat. 157 R56 1 Metoda počítání pyramidy o straně 360 a výšce 250. 2 Udej mi její sklon. Vypočti § z 360, vyjde 180. Počítej 3 s 250, až najdeš 180, vyjde J|i lokte.10 1 loket je 7 dlaní, počítej se 7: ľ 1 7 2' 1 2 3 1 2 3' 1 5 1 1 1 3 15 4' 1 50 1 1 10 25 R61 její sklon 5 ^ dlaně. je to h h Počítání \ z lichého zlomku. 3 Z 3 Je ^° 3 9 * UUUUJ" 3 I z I je to | i Řekne-li se ti: | z | i i Co jsou | z i? | z | n 3Í3 Počítej s tím 2-krát | z | z toho, je to \ a 6-krát, toto jsou | z toho. | z | z toho, je to | Hle, ať se počítá podobně | z | z toho, je to yj pro každý lichý zlomek, ~ z | z toho, je to ^ který se vyskytne. I z I Je TŠU \ f z toho, je to i [i] [ 1 - | z toho, je to i 20 i 7 - | [z toho], je to i 14 1 42 1 7 - | z toho i 14 I II - | [z toho, je to] 1 22 1 66 | z toho 1 33 I II - | z toho 1 22 \ z toho 1 44 10 Loket, základní egyptská jednotka délky, odpovídal 52,5 cm. Sestával ze 7 dlaní, dlaň měla 4 prsty. 158 r62 Metoda výpočtu pytle s mnohými drahými kovy. Rekne-li se ti: pytel, v němž je zlato, stříbro a cín. Tento pytel může být získán za 84 šatej.11 Co je to, co přísluší každému kovu, když za deben12 zlata se dá 12 šatej, (pro) stříbro to je 6 šatej a (pro) deben cínu to je 3 šatej. Sečti to, co se dá za šatejS1C všech kovů, vyjde 21. Počítej s těmi 21, až najdeš 84 šatej. To je za co je možné získat tento pytel. Vyjde 4. To dáš za každý kov. Postup: Počítej se 4 12-krát, vyjde: zlato je 48 to je to, co mu přísluší. 6 stříbro 24 3 cín 12 21 celkem 84 r74 1 Další: 1000 chlebů (o pesu) 5 nahradit pesu 10 a 20. Jaké je příslušné nahrazení? Převeď těch 1000 chlebů (o pesu) 5, vyjde 200 měřic hornoegyptského ječmene. 2 Řekni: toto je mouka. Vypočítej | z 200 měřic, tedy 100. Počítej se 100 měřicemi 10-krát, vyjde 1000. To je podíl 3 pesu 10. Počítej s tím 100 měřic 20-krát, vyjde 2000. To je podíl pesu 20. Postup: 1 1000 chlebů (o pesu) 5 převést na mouku 200 měřic 2 nahradit 1000 (chleby o pesu) 10 100 měřic 3 nahradit 2 000 (chleby o pesu) 20 100 měřic 11 Jednotka hodnoty; lze ji chápat jako cenu. 12 Základní váhová jednotka odpovídající v době Střední říše 13,6 g, od Nové říše 91 g. 13 Správně má být deben. R79 Majetek: 1 2 801 2 5 602 4 11204 Celkem 19 607 domy 7 kočky 49 myši 343 pšenice 2 301s hekat 16807 celkem 19 607 14 Správně má být 2401. 160 moskevský papyrus m4 IV [Metoda] výpočtu (obsahu) trojúhelníkové plochy. [ftekne-li se ti:] trojúhelník, jehož výška je 10 a základna 4. Udej mi (obsah) jeho plochy. Vypočti | ze 4, je to 2, pro udání jeho obdélníka. Počítej s 10 2-krát, vyjde 20. To je (obsah) jeho plochy. V 1 4 1 [10] i 2 \2 [20] M6 VIII Metoda výpočtu pravoúhelníka Rekne-li se ti: pravoúhelník o (obsahu) plochy (12), kde \ \i délky přísluší šířce. Počítej s 1|, až najdeš 1, vyjde 11. Počítej s těmito 12, což je (obsah) plochy, 1 |-krát, vyjde 16. Vypočti odmocninu (z toho), vyjde 4 pro délku, 11, je to 3, pro šířku. Postup: 4 \1 4 12 I 3 \2 16 161 M8 X Metoda výpočtu 100 chlebů {pesu) 20. ftekne-li se ti: 100 chlebů {pesu) 20 převést na pivo, jež má pesu 4; | | sladu pro datle. Vypočti podíl těch 100 chlebů pesu 20, vyjde 5. Počítej s \ | sladu pro datle, až najdeš 1, vyjde | XI Vypočti | z 5, vyjde 2 |. Počítej s 2 | 4-krát, vyjde 10. Toto (tedy) řekni: Hle, to je příslušné pivo. Nalezl jsi správně. - * * - * - * *-- M10 XVIII Metoda výpočtu koše. Řekne-li se ti: koš {o 4 |) v tep-er ku 4 | na od£15 Nuž, udej mi jeho plochu. Vypočti | z 9, neboť koš, to je i [ ], vyjde 1. XIX Vypočti zbytek, je to 8. Vypočti i- z 8, yyJde II Tš- Vypočti zbytek z těch 8 za těmi || jj, vyjde 7 |. XX Počítej se 7 | 4 |-krát, vyjde 32. Hle, toto je jeho plocha. Nalezl jsi správně. - * * - * - * * - 14 Výrazy tep-er a adž popisují rozměry zadaného objektu. O přesném významu těchto specifických termínů se - stejně jako o povaze onoho zadaného košíku - vedou horlivé diskuse. Jediným vodítkem je samotná úloha, neboť tyto termíny nejsou doloženy v jiných textech. 162 m14 XXVII Metoda výpočtu komolé pyramidy. Rekne-li se ti: komolá pyramida o výšce 6, dolní základně 4 a horní základně 2. Vypočti tyto 4 v mocnině, vyjde 16. Zdvojnásob 4, vyjde 8. Vypočti tyto 2 v mocnině, vyjde 4. XXVIII Sečti těch 16 s těmi 8 a těmi 4, vyjde 28. Vypočti | z 6, vyjde 2. Počítej s 28 2-krát, vyjde 56. Hle, je to 56. Nalezl jsi správně. XXIX 2 přijde 4 1 28 2 56 4 4 přijde 16, 8. celkem 28. - * * - * - ★ m19 XXXVI Metoda výpočtu množství. To, co se vypočte 1 |-krát se 4 tak, aby to přišlo k 10, je množství, o kterém se hovoří. Vypočti velikost těch 10 nad těmi 4, vyjde 6. Počítej s 11, až najdeš 1, vyjde §. Vypočti | z těch 6, vyjde 4. Hle, 4 je to, oč se jedná. Nalezl jsi správně. 163 M22 XL Metoda výpočtu 10 hekat hornoegyptského ječmene. Řekne-li se ti: 10 hekat hornoegyptského ječmene převést na 100 chlebů, není-li známo jejich pesu, zbytek na 10 (džbánů) piva {pesu) 2; | \ sladu pro datle. Hle, | \ sladu pro datle. Hle, je to 2, vypočti podíl těch 10 džbánů piva (pesu) 2, vyjde 5. Vypočti zbytek těch 10 za těmi 5 hekat hornoegyptského ječmene, XLI vyjde 5. Počítej s těmi ~ | sladu pro datle, až najdeš 1. Hle, | \ sladu pro datle a (pesu) je 2. Vyjde |. Vypočti | z 5, vyjde 2|. - -k - * —-- * *-- M23 XLII Metoda počítání prací výrobce sandálů. Řekne-li se ti: práce výrobce sandálů: když řeže, je to 10 za den; když dokončuje, je to 5 za den. Když řeže i dokončuje, kolik udělá za den? Sečti dobu těch 10 s těmi 5, vyjde celkem 3. Počítej s tím, až najdeš 10, vyjde 3 |-krát. Hle, 3 |-krát je to pro jeden den. Nalezl jsi správně. * ★ * 164 káhúnské papyry k2 - iv.3 110 \ 1 k4 - lv.3 §[ ] l zbytek [5]. Kdo to říká? Vypočti [velikost 1] za ||, vyjde f. Počítej s \, až najdeš 1, vyjde 4-krát. Počítej s 5 4-krát, vyjde 20. 20 to říká. i j_ 3 12 iq 2 X 0 2 i 10 3 12 16 3 6 12 2 11 4 i 2 " 3 6 12 * 1 3 12 A \8 3| 11 | ^ celkem 3 | ^ AU 3 12 q 11 A. " 3 6 12 o 2 1 6 3 12 7 2 1 X ' 3 6 12 7 i ' 12 6 i 1 ° 6 12 165 BERLÍNSKÝ PAPYRUS Bl 1 Jiný [výpočet množství.] Řekne-li se ti: [100 je (zadané) množství a | \ z] 2 prvního množství je pro druhé. Nuže, udej mi [první a druhé množství.] 3 Vypočti pravoúhelník z prvního a vypočti | | z jedné. [Vypočti] 4 11 z prvního množství pro druhé, vyjde | |. Vypočítej to [pro druhé množství.] 5 Tedy první množství je 1 a druhé \ \ . Přidej celé první ke druhému, sečti je, 6 vyjde 11 \ x£-Ätc15 Vypočti odmocninu z toho, vyjde 1 \. Vypočti odmocninu ze 100, 7 vyjde [10]. Počítej s 11, až najdeš 10, vyjde 8-krát. [To je první množství.] 8 Vypočti \ \ z 8, vyjde [6, to je druhé množství.] - * ★ - * —— * * —— Správně má být 1 \ I. 166 PAPYRUS ANASTASI i. Al Hle, jsi zručný písař, který stojí v čele armády. Má být zbudována rampa o 730 loktech, 55 loktů na šířku, sestávající ze 120 dutých prostorů vyplněných rákosem a trámky; na výšku má mít 60 loktů v nej vyšším bodě, ve střední části 30 loktů, se sklonem 15 loktů, jeho základna (?) má 5 loktů. Dotaz na její potřebu cihel je předložen veliteli armády. Všichni písaři dohromady nejsou (dostatečně) znalí. Důvěřují ti zcela, řkouce: Ty jsi zručný písař, můj příteli, rozhodni pro nás rychle. Hle, tvé jméno je známé. Ať je na tomto místě nalezen jeden, který (tak) vyzdvihne (i) ostatních 30. Nedopusť, aby se o tobě říkalo, že je něco, co neznáš. Zodpověz pro nás její potřebu cihel. Pohleď, její rozměry jsou před tebou. Každý z jejích dutých prostorů má mít 30 loktů a na šířku 7 loktů. ★ ★ ★ ★ ★