Počátky počtu pravděpodobnosti
II. část: Christian Huygens: „De ratiociniis in ludo aleæ‟. Text a překlad
In: Karel Mačák (author): Počátky počtu pravděpodobnosti. (Czech). Praha: Prometheus, 1997.
pp. 41–65.
Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401659
Terms of use:
© Mačák, Karel
Institute of Mathematics of the Czech Academy of Sciences provides access to digitized documents
strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these Terms of use.
This document has been digitized, optimized for electronic delivery and
stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital
Mathematics Library http://dml.cz
II/2
CHRISTIAN HUYGENS:
O výpočtech v hazardní hře
(De ratiociniis in ludo alečB)
Text a překlad
41
CHRISTIANUS HUGENIUS
Clarissimo Viro, D. FRANCISCO SCHOTENIO
S.D,
Cum in editione elegantissimorum ingenii tui monumentorum, quam prae
manibus nunc habes, Vir Clarissime, id inter caetera te spectare sciam, ut varietate
rerurn, quarum tractationem instituisti, ostendas quam latè se protendat
divina Analytices scientia, facile intelligo etiam ilia plurimùm proposito tuo
inservire posse, quae de aleœ ratiociniis conscripsimus; quantô enim minus rationis
terminis comprehendi posse videbantur, quae fortuit a sunt atque incerta,
tantô admirabilior ars censebitur, cui ista quoque subjacent. Quare cum in
tui gratiam primùm. ilia exponenda susceperim, tuque digna existimes, quae
simul cum subtilissimis tuis inventis in lucem exeant, adeo tibi non refragabor,
ut etiam è re mea esse existimem hâc potissimùm ratione.ipsa in manus
hominum pervenire. Quippe cum in re levi ac frivola operam collocasse videri
alioqui possem, non tamen prorsus utilitatis expers ac nullius pretii censebitur,
quod tu veluti inter tua adoptaveris, nee sine multo labore è vernacula
lingua nostra in Latinam converteris. Quanquam, si quis penitiùs ea quae tradimus
examinare cceperit, non dubito quin continue) reperturus sit rem non
ut videtur ludicram agi, sed pulchrae subtilissimaeque contemplationis fundamenta
explicari. Et Problemata quidem quae in hoc genere proponuntur, nihilo
minus profundae indaginis visum iri confido, quam quae Diophanti libris continentur,
voluptatis autem aliquanto plus habitura, cum non, sicut ilia, in nuda
numerorum consideratione terminentur. Sciendum verô, quod jam pridem inter
praestantissimos totâ Galliâ Geometras calculus hic agitatus fuerit, ne quis
indebitam mihi primae inventionis gloriam hac in re tribuat. Caeterùm illi, difficillimis
quibusque quaestionibus se invicem exercere soliti, methodum suam
quisque occultam retinuêre, adeo ut a primis elementis universam hanc materiam
evolvere mihi necesse fuerit. Quamobrem ignoro etiamnum an eodem
mecum principio illi utantur; at in resolvendis Problematic pulchrè nobis convenire
saepenumero expertus sum. Horum Problematum nonnulla in fine operis
addidisse me invenies, omissa tamen analysi, cum quod prolixam nimis operam
poscebant, si perspicuè omnia exequi voluissem, turn quod relinquendum
aliquid videbatur exercitationi nostrorum, si qui erunt, Lectorum. Vale.
Dat. Hagae Com.
27 Apr. 1657.
42
CHRISTIAN HUYGENS
pozdravuje přeslavného muže.
PANA FRANCISCA SCHOOTENA.
Protože vím, přeslavný muži, že jsi ve vydání nejušlechtilejších podob svého
ducha, které máš nyní v rukou, mezi jiným mířil k tomu, abys ukázal rozličností
věcí, jejichž pojednávání jsi započal, jak široko se rozprostírá božská věda analýza,
snadno chápu, že tvému předsevzetí může prokázat mnohé služby také to,
co jsme sepsali o výpočtech náhody; oč méně se totiž jevilo možné postihnout
rozumovými pojmy to, co je nahodilé, jakož i nejisté, tím podivuhodnější bude
shledána věda, které dokonce i toto podléhá. Protože tedy na tvé přání jsem se
pustil do prvního výkladu těchto věcí a ty je shledáváš hodnými toho, aby vyšly
společně s tvými nejjemnějšími objevy, nejenom že ti v tom nebudu odporovat,
ale domnívám se dokonce, že je mi ku prospěchu dostat se do rukou lidí
právě tímto způsobem. Byť bych se jinak mohl jevit jako člověk věnující se věci
lehké a nevážné, přece nebude považováno za naprosto neužitečné a bez jakékoli
hodnoty to, co jsi přijal do své práce a s velkým úsilím přeložil z naší národní
řeči do latiny. Nicméně nepochybuji, že začal-li by někdo hlouběji zkoumat to,
co vykládáme, okamžitě by shledal, že se nejedná - jak se zdá - o zábavu, ale
o výklad bohatých a nejjemnějších zásadních úvah. A věřím, že problémy, které
jsou takto předkládány, nebudou shledány o nic méně hlubokými než ony obsažené
v Diofantových knihách, ale budou poskytovat mnohem více požitku,
protože nejsou omezeny jako ony na pouhé číselné úvahy. Aby mi někdo nepřiřkl
nezaslouženou slávu prvního objevu této věci, je třeba vědět, že tento
počet byl již před časem probírán mezi nejpřednějšími francouzskými geometry.
Ale oni, zvyklí cvičit se navzájem těmi nejobtížnějšími otázkami, drželi své
metody v tajnosti, takže jsem byl nucen rozvíjet tuto látku od prvopočátků.
Pročež stále ještě nevím, zda používají principu shodného s mým, avšak při
řešení problémů nám (můj princip) dobře vyhovuje, jak jsem přečasto vyzkoušel.
Shledáš, že mnohé z těchto problémů jsem připojil na konci díla, avšak
s vynechanými řešeními, jak proto, že by vyžadovalo příliš mnoho práce, kdybych
chtěl všechna jasně vyložit, tak proto, že se mi jevilo vhodné nechat něco
k procvičení našim čtenářům, budou-li jací. Buď zdráv!
V Haagu
27. dubna 1657.
43
D E RATIOCINIIS IN LUDO ALETE.
Etsi lusionum, quas sola sors moderatur, incerti soient esse eventus, attamen
in his, quanto quis ad vincendum quàm perdendum propior sit, certam
semper habet determinationem. Ut si quis primo jactu una tessera senarium
jacere contendat, incertum quidem an vincet; at quanto verisimilius sit eum
perdere quàm vincere, reipsâ definitum est, calculoque subducitur. Ita quoque,
si cum aliquo certem hâc ratione, ut ternis lusibus constet victoria, atque ego
jam unum lusum vicerim, incertum adhuc uter nostrum prior tertii victor sit
evasurus. Verùm quanti expectatio mea, & contra quanti illius, aestimari debeat,
certissimo ratiocinio consequi licet, atque hinc definire, si ludum. uti est
imperfectum linquere inter nos convenerit, quanto major portio ejus quod depositum
est mihi quàm adversario meo tribuenda esset: vel etiam si quis in locum
sortemque meam succedere cupiat, quo pretio me earn ipsi vendere aequum
sit. Atque hinc innumerœ quœstiones exoriri possunt inter duos, très, plurésve
collusores. Cumque minime vulgaris sit hujusmodi supputatio, & saepe utiliter
adhibeatur, breviter hîc qua ratione aut methodo expedienda sit exponam, ac
deinde etiam, quae ad aleam sive tesseras propriè pertinent, explicabo.
Hoc autem utrobique utar fundamento: nimirum, in aleae ludo tanti aestimandam
esse cujusque sortem sen expectationem ad aliquid obtinendum, quantum
si habeat, possit denuo ad similem sortem sive expectationem pervenire,
aequâ conditione certans. Ut, exempli gratia, si quis me inscio altera manu 3
solidos occultet, altera 7 solidos, mihique optionem det ex utra manu solidos
accipere malim; hoc tantundem mihi valere dico, ac si 5 solidi mihi dentur.
Quoniam quinque solidos habens, denuo eo pervenire possum, ut aequam expectationem
nanciscar ad 3 vel 7 solidos obtinendos: idque aequo lusu conten-
dens.
PROPOSITIO I.
Si a vel b expectem, quorum utrumvis teque facile mihi obtingere
possitj expectatio mea dicenda est valere g
4^-.
Ad hanc regulam non solum demonstrandam, verum etiam primitus eruendam
posito x pro pro eo quod aequivalet expectation! meae , oportet me, quum
x habeo, rursus ad similem sortem pervenire posse, aequa conditione certantem.
Ponatur itaque lusus esse talis, ut cum altero certem hac conditione, ut quisque
deponat #, ac ut victor victo traditurus sit a. Hie autem lusus Justus est, &
patet me hac ratione aequam habere sortem ad obtinendum a, si lusum perdam
scilicet; aut 2x — a, si vincam: turn enim obtineo 2x, id nempe quod depositum
est, de quo alteri erogandum est a.
44
O VÝPOČTECH V HAZARDNÍ HŘE.
I když výsledky her řízených pouze losem bývají nejisté, přece v nich lze
vždy přesně stanovit, o kolik je kdo hlí/,p k vítězství než k porážce. Kdyby se
napííklad někdo sázek že hodí šestku prvním hodem jednou kostkou, pak je sice
nejisté, zda vyhrají*, ale samotnou věcí je dáno, kolikrát je pravděpodobnější,
ze prohraje než že vyhraje, a l/o to vypočítat. Rovněž kdybych s někým hrál za
podmínky, že vítězství spočívá ve třech (vyhraných) hrách, a já bych už jednu
vyhrál, stá,1o ještě jo nejisté, který z nás dvou se stane vítězenu třetí. Avšak zcela
spolehlivým výpočtem lze vystihnout., jak má být oceněno mé očekávání proti
jeho očekávání, a z toho také určit, kolikrát větší část toho, < o je vsazeno, by
měla hýi přiřknuta mně než mému piotivnib-vi, kdybychom se dohodli nechat
(ln*u) nedokončenou, nebo /a jakou e<-nn b<, hvio spiavodlivě piodat nu'* místo
a mou sa/ku, kdybv M někdo přaí vystřídat me Také odnul mohou vzniknout
U'\y
é.-i no ot a/ky . i Aajn i -r h»a ) m«vj dvéma. 11 omi nH»o více luaéi A proto/'1
tento výpočet není nijak běžný a joh'» použití y- často píospěsné. krátce /.do
popíšu, jakého \yp'»čtu či pov.-fp.pn ]t,á l»v> pou/ho, a pak ještě vyložím, co ^e
výhradně kostek týče.
Všude však budu používat tohoto základu 1
: je samozřejmé, že v hazardní
hře je třeba něčí šancí nebo očekávání zisku ocenit tak vysoko, že s tímto oceněním
by mohl při hře za stejných podmínek dospět znovu k podobné 2
šanci
nebo očekávání. Kdyby někdo například bez mého vědomí ukrýval v jedné ruce
tři a ve druhé ruce sedm zlatých, a nechal by na mé volbě, ze které ruky bych
chtěl zlaté, pravím, že by to pro mě znamenalo právě tolik, jako kdyby mi dal
pět zlatých. Neboť mám-li pět zlatých, mohu znovu dojít k tomu, že dosáhnu
stejného očekávání na získání tří nebo sedmi zlatých, a to při stejných podmínkách
hry.
T V R Z E N Í I.
Jestliže bych očekával a nebo b. které bych obé mohl získat stejné
snadno. pak je třeba říciy že mé očekávání má hodnotu í
~ - .
Aby toto pravidlo bylo nejen dokázáno, ale také od základů odvozeno, označím
x to, co má stejnou hodnotu, jako mé očekávání; má být možné, mám-li x
a hraji-li za stejných podmínek, že dosáhnu zase podobného očekávání. Předpokládejme
tedy hru, ve které s někým hraji za podmínky, že každý vsadí x
a že vítěz má poraženému odevzdat a. Tato hra je spravedlivá a je zřejmé, že
za tohoto stavu mám stejnou šanci na získání o, totiž když hru prohraji, nebo
2x — a, když vyhraji: vždyť potom dostanu 2x, totiž to, co bylo vloženo, a dru-
1
Smysl následujícího ne zcela jasného odstavce se stane jasnějším v posledním odstavci
tvrzení I.
2
V originálu je „ad similem ...", ale fakticky je míněno „ke stejné ..." ; tato formulace
se bude v dalším textu ještě několikrát opakovat.
45
Quod si autem 2x — a tantundem valeret atque 6, aequa mihi sors obtingeret
ad a quam ad b. Pono itaque 2x — a = 6, & fit x = S
~-J pro valore mea
expectationis. Cujus demonstratio facilis est. Etenim habens s
4^ possum cum
alio certare, qui etiam - 1
deponere volet, hac conditione ut vincens victo sit
traditurus a. Qua ratione similis expectatio mihi obtinget ad obtinendum a, si
perdam, aut ad obtinendum 6, si vincam; turn enim obtineo a -f- 6, id nempe
quod depositum est, alterique inde concedo a.
In numeris. Si ad 3 vel 7 aequa sors mihi obtingat, turn expectatio mea per
hanc Propositionem valet 5; & certum est me 5 habentem rursus ad eandem
expectationem pervenire posse. Si enim cum alio certans 5 deponam, atque
ille similiter 5 deponat, hac conditione, ut, qui vincit, alteri sit daturus 3: erit
hie lusus omnino Justus, & patet mihi aequam obtingere sortem ad obtinendum
3, si perdam, aut 7, si vincam; quoniam tunc obtineo 10, de quo alteri concedo 3.
PROPOSITIO II.
Si a, b, vel c expectem. quorum unumquodque pari facilitate mihi
obtingere possii, expeciatio mea astimanda est 2±tt£t
Ad quod rursus inveniendum, ponatur, ut ante, x pro valore expectationis
meae. Oportet ergo me, cum x habeo, ad eandem expectationem pervenire posse
justo lusu. Ponatur lusus esse talis, ut cum duobus aliis ludam hac conditione,
ut quisque nostrum trium deponat #, &; ut cum. uno hoc pactum aggrediar, si
ipse victor evadat, mihi sit daturus 6, & ego ipsi traditurus sim 6, si idem mihi
obtingat. Cum altero autem hanc ineam conditionem, ut ille ludum vincens
mihi traditurus sit c, aut ego ipsi sim daturus c, si ego vincam. Et patet hunc
ludum. justum esse. JEquam autem hac ratione sortem habebo ad obtinendum
6, si nimirum primus vincat, aut c, si. secundus vincat, aut etiam 3x — b — c
si ego vincam; tunc enim obtineo 3#, quod depositum est, de quo uni concedo
6, & alteri c. Quod si 3x — b — c aequale fuerit ipsi a, eadem mihi obtingeret
expectatio ad obtinendum a, quae ad 6, aut ad c. Pono itaque 3x — b — c = a,
& fit x = ^ ± 1 ^ , pro valore meae expectationis. Eodem modo invenitur, si ad
a, 5, c, aut d aequa sors mihi obtingat, id tanti valoris esse, quanti s±kt£±At
Atque ita porro.
PROPOSITIO III.
Si numerus casuum, quibus mihi eveniet a, sit p, numerus autem
casuum quibus mihi eveniet b sit q, sumendo omnes casus (Eque in
proclivi esse: expeciatio mea valebit ^—p^-. 3
Ad hanc regulam eruendam, ponatur rursus x pro valore expectationis meae:
ergo oportet me, cum x habeo, ad eandem expectationem pervenire posse, ut
ante, justo lusu.
3
V originálu je na tomto místě zřejmá tisková chyba, protože zlomek je zapsán jako ^±21 m
46
hernu z toho musím vyplatit a.
Kdyby ale 2x — a mělo stejnou hodnotu jako 5, měl bych stejnou šanci na
(získání) a jako na (získání) 6. Položím tedy 2x — a = b a bude x = ^ ^ pro
hodnotu mého očekávání. Což lze snadno dokázat. Vždyť mám-li ^-^, mohu
hrát s někým, kdo takě rhrr vsadil -~
h
, za podmínky, že vítěz poraženému
má odevzdat a. Za téfo situare budu mít podobné ořokávání získal </, když
prohraji, nebo získat />, když vvhraji: vždyť potom dostávám a -f n, lotiž to, ro
bylo vsazeno, a dmhému noimrhám O
V r-íslerh. Jestliže by« h m^l s.cjnou sanri na (zíshánt) 3 nebo 7. pak mé očekávaní
u)á podle tohoto fvr/rní hodnotu r,; a jr jjsW\ ž-» man. )i r>, mohu znovu
dosprt k témuž očekávání. .h
v
-.iliyr b y h totiž s nrkvin hrál a, vsadil a, a on by
podobně vsadil -
K
, za podmínky. >- víte/ má diuhému dat •'<. pak tato lira bude
zcela spravedlivá a jr zó\,mé, /<• mám stmnou šanri na 'získání :\. když prohrají.
nebo 7, když vvlnaji i>rofi»/í> t."hd\ dosf;mn Mh '-* ť«'hož dnihémn dám 3
T V R Z E N Í II.
Kdybych očekával a, b nebo c, z nichž každé bych mohl získat stejně
snadno, pak je třeba ocenit mé očekávání S-t|i£,
Aby to bylo zjištěno, předpokládejme, jako v předchozím případě, že hodnota
mého očekávání je x. Má tedy být možné, mám-li x, že ve spravedlivé hře
dosáhnu téhož očekávání. Předpokládejme hru, ve které hrají se dvěma dalšími
za podmínky, že každý z nás tří vsadí x a že se s jedním dohodnu, že mi dá b,
když vyhraje, a já mu odevzdám b1
když vyhraji. S druhým se však dohodnu,
že když on vyhraje, odevzdá mi e, nebo já mu odevzdám c, když vyhraji. Tato
hra je zřejmě spravedlivá. Za tohoto stavu budu mít stejnou šanci na získání 6,
když totiž vyhraje první, nebo e, když vyhraje druhý, nebo také 3a; — 6 — c, když
vyhraji já; pak totiž obdržím 3x, které jsou vsazeny, z nichž jednomu odevzdám
b a druhému c. Protože kdyby bylo 3x - b - c rovno onomu a, měl bych stejné
očekávání získat o jako b nebo c. Položím tedy 3a; — h — c = a a bude a; = ^±|±£
pro hodnotu mého očekávání. Stejným způsobem se zjistí, že mám-li stejnou
šanci na získání a, 6, c nebo d, bude mít (mé očekávání) hodnotu 9á±±£±át
A tak dále.
T V R Z E N Í III.
Jestliže by počet případů, v nichž mi připadne a, byl roven p. ale
počet případů, v nichž mi připadne b, byl roven q, pak za předpokladu,
že všechny případy jsou stejně možné, mé očekávání bude mít
hodnotu 2 ^ .
P+q
Aby toto pravidlo bylo nalezeno, předpokládejme opět, že hodnota mého
očekávání je x: má tedy být možné, mám-li x, že ve spravedlivé hře dosáhnu
stejně jako v předchozím případě téhož očekávání.
47
Ad hoc autem tot collusores sumam, ut una mecum numerum ipsius p + q
efficiant, quorum deponat quisque xy ita ut depositum sit px + qx, & quisque
sibi ludat aequa expectatione ad vincendum. Porro cum tot ex hisce collusoribus,
quot indicat numerus q, sigillatim hoc pactum inibo, ut eorum qui vincat
mihi sit daturus 6, aut ego contra ipsi idem 6, si vincam. Similiter cum reliquis
collusoribus, constituentibus p— 1 sigillatim hanc conditionem aggrediar, ut eorum
quisque, qui ludum vincit, mihi sit daturus a, & ego tantundem (a scilicet)
ipsi, si ego vincam. Et patet hunc lusum hac conditione justum esse, nemine
videlicet injuriam patiente. Deinde patet me nunc q expect ationis habere ad
6, & p — 1 expectationes ad a, & 1 expectationem (me nempe vincente) ad
px + qx — bq — ap + a, tunc enim obtineo px + qx, id quod depositum est, de
quo tradere debeo b unicuique q lusorum, k a unicuique p — 1 lusorum, qua?
simul conficiunt bq + pa — a. Si itaque qx + px — bq — ap + a 4
aequale esset ipsi
a, haberem p expectationes ad a, (quandoquidem jam p — 1 expectationes ad
id habebam) k q expectationes ad b1 k sic ad priorem meam expectationem
rursus pervenissem. Quocirca porro px + qx — bq — ap + a = a, k fit x = ^ ± ^ ,
pro valore expectations meae, omnino ut in initio positum fuit.
In numeris. Si 3 mihi expectationes forent ad 13, k 2 expectationes ad 8,
haberem per hanc regulam tantundem ac 11. Et facile est ostendere, me, si 11
habeam, rursus ad eandem expectationem pervenire posse. Ludens enim contra
4 alios, k quisque nostrum quinque deponens 11, cum duobus ex illis sigillatim
pactum inibo, ut horum qui vincat mihi sit daturus 8, aut ego ipsi idem 8,
si vincam. Similiter cum duobus reliquis, ut eorum quisque, qui ludum vincit,
mihi sit daturus 13, aut ego ipsi tantundem, si ego vincam. Qui quidem lusus
Justus est. Et patet me hoc modo duas habere expectationes ad 8, nimirum si
alteruter eorum, qui mihi 8 promiserunt, vincat, k 3 expectationes ad 13, ni~
mirum si alteruter reliquorum duorum, qui mihi 13 tradere debent, vincat, aut
si ipse ludum vincam: ego enim ludum vincens obtineo depositum, id est, 55,
de quo unicuique duorum tradere debeo 13, & unicuique reliquorum duorum
8, ita ut k mihi reliquatur 13.
PROPOSITI© IV.
Ut igitur ad primd propositam qumstionem veniamus, nimirum, de
facienda distributions inter diversos collusores, quando eorum sortes
incequales sunt, opus est ut a facilioribus incipiamus.
Sumpto itaque me cum aliquo certare, hoc pacto: ut qui prius ter vicerit,
quod depositum est, lucretur, k me jam bis vicisse, alterum vero semel. Scire
cupio, si lusum prosequi non velimus, sed pecuniam, de qua certamus, prout
aequum est, partiri, quantum ejus mihi obtingeret.
Primo considerare oportet lusus, qui utrobique deficiunt. Certum enim est,
si inter nos convenerit, verbi gratia, ut quod depositum est lucretur is, qui prius
vigesies vicerit, & ego decies & novies vicero, at alter decies & octies, tanto
4
V originálu je na tomto místě zřejmá tisková chyba, protože je zde psáno qx + bx — bq —
ap -f a.
48
K tomu předpokládám tolik hráčů, aby se mnou tvořili počet rovný právě
p + g, z nichž každý vsadí #, takže bude vsazeno px + qx, a všichni mají
stejné podmínky k vítězství. Pak s tolika z těchto hráčů, kolik odpovídá číslu
g, jednotlivě uzavřu dohodu, že ten z nich, který vyhraje, mi dá 6, a já mu
naopak dám 6, když vyhraji. Podobně se s ostatními hráči, jejichž počet je
p - 1, jednotlivě dohodnu na podmínce, že ten z nich, který vyhraje, mi dá
a, a já mu dám právě tolik (tj. a), když vyhraji. A zřejmě je tato hra za
této podmínky spravedlivá, neboť nikdo netrpí bezprávím. Pak zřejmě mohu
g-krát očekávat 6, ( p - l)-krát očekávat a a jednou očekávat (když sám vyhraji)
px + qx — bq — ap + a, neboť tehdy obdržím px + qx, které bylo vsazeno, z čehož
jsem povinen předat b každému z g hráčů a a každému z p— 1 hráčů, což celkem
dá bq + pa - a. Kdyby tedy qx + px - 6g - ap + a bylo rovno a, mohl bych
p-krát očekávat a (protože p - 1 očekávání na ně jsem už měl) a q-krát očekávat
6, a tak bych se mohl dostat zpět ke svému dřívějšímu očekávání. Pročež dále
px + qx - bq - ap + a = a a bude x = ai
^tq
- pro hodnotu mého očekávání, tak
jak bylo na začátku předpokládáno.
Číselný příklad. Kdybych mohl třikrát očekávat 13 a dvakrát očekávat 8,
měl bych podle tohoto pravidla právě 11. A snadno lze ukázat, že měl-li bych
11, mohl bych opět dospět ke stejnému očekávání. Hraji-li totiž proti čtyřem
jiným a každý z nás pěti vloží 11, se dvěma z nich jednotlivě uzavřu dohodu,
že ten z nich, který vyhraje, mí dá 8, nebo já jemu 8, když vyhraji. Podobně
se dvěma zbývajícími, že každý z nich mi dá 13, když vyhraje, nebo já jemu
právě tolik, když vyhraji. Což je zajisté spravedlivá hra. A zřejmě přitom mohu
dvakrát očekávat 8, totiž když vyhraje jeden z těch, kteří mi slíbili 8, a třikrát
očekávat 13, totiž když vyhraje jeden ze zbývajících dvou, kteří mi mají odevzdat
13, nebo když já sám hru vyhraji: když totiž vyhraji hru, získám, co je
vsazeno, to jest 55, z čehož každému ze dvou musím odevzdat 13 a každému ze
dvou zbývajících 8, takže i mně zbude 13.
TVRZENÍ IV.
Abychom tedy přistoupili k otázce na začátku ohlášené, totiž o rozdělení
mezi různé spoluhráče, jsou~li jejich šance nestejné, je třeba,
abychom začali od snadnějších.
Předpokládejme tedy, že s někým hraji za takové podmínky, že to, co je
vsazeno, získává ten, kdo první třikrát vyhraje, a já jsem už dvakrát vyhrál,
zatímco druhý jen jednou. Chci vědět, kolik by mi připadlo, kdybychom nechtěli
ve hře pokračovat, ale chtěli bychom spravedlivě rozdělit peníze, o které
hrajeme.
Nejprve je třeba posoudit hry, které oběma stranám chybějí. Je totiž jisté,
že kdybychom se například dohodli, že vsazenou částku získává ten, kdo první
vyhraje dvacetkrát, a já bych vyhrál devatenáctkrát, zatímco druhý osmnáct-
49
meliorem fore eo casu sortem meam quanto hie melior est, ubi a tribus lusibus
binos consequutus sum, ille verro unani duntaxat: quia nimirum utrobique mihi
unus tantummodo lusus sed ipsi duo deficiunt.
Porro ad inveniendum quanta pars utrique debeatur, advertendum est quid
fieret, si in lusu pergeremus. Certum enim est, si primum ludum vincerem, me
praescriptum numerum impleturum & omne depositum consecuturum, id quod
vocetur a. Quod si autem alter primum ludum vinceret, tunc aequata utriusque
sors foret, (quippe utrique uno adhuc deficiente ludo,) adeoque cederet cuique
|a. Manifestum autem est me aequam habere sortem ad primum ludum vincendum
aut perdendum, ita ut mihi nunc aequa sit expectatio ad obtinendum a
aut | a : quod ipsum per Jm a m
Propositionem tantum est ac si utriusque sortis
dimidium, id est, | a , haberem; k, relinquitur alteri meo collusori | a , quae ipsius
portio statim ab initio eodem modo reperiri potuisset. Unde patet, eum, qui
ludum meum in se recipere vellet, mihi | a pro eo tradere debere; ac proinde
semper tria contra unum deponere eum posse, qui unum ludum vincere contendat,
priusquam alter duos vincat.
PROPOSITI© V.
Ponamus unum mihi deficere ludum & collusori meo tres lusus.
Oporiei hie facere distributionem.
Advertamus itaque rursus, in quo essemus statu, si ego vel ipse primum
vinceret lusum. Si ego vincerem, obtinerem depositum, id est, a; quod si autem
ille primum ludum vinceret, deficerent ipsi duo lusus & mihi unus; ac proinde
in eodem statu essemus, qui in praecedenti Propositione positus fuit, mihique
obtingeret fa, ut ibi ostensum est. Itaque pari facilitate vel a mihi obtinget
vel fa, id quod tantum est, per Imam
Propositionem, ac | a . Et relinquitur | a
collusori meo; ita ut mea sors ad sortem illius se habeat, sic ut 7 ad 1.
Quemadmodum autem ad hunc calculum requisitus est praecedens, ita rursus
hicce inservit sequent!: nimirum, si ponamus mihi unum ludum deficere &
collusori meo 4or
lusus. Et invenitur eodem modo, mihi deberi ~| istius quod
depositum est, & ipsi —-.
PROPOSITIO VI.
Ponamus mihi deficere duos lusus & collusori meo très lusus.
Fiet itaque primo lusu; vel ut mihi unus lusus deficiat & ipsi très (unde mihi
per praecedentem Propositionem obtinget |a); vel ut cuique nostrum adhuc duo
lusus deficiant, unde mihi debebitur | a , quandoquidem sic utrique aequa sors
futura est. Est mihi autem aequalis facilitas ad primum ludum vincendum aut
perdendum; ita ut mihi aequa sit expectatio ad obtinendum | a aut | a , id quod
mihi valet j | a , per Imarn
Propositionem. Et debentur mihi 11 partes ejus quod
depositum est, & collusori meo 5 partes.
50
krát, pak moje šance bude o tolik lepší než jeho, o kolik je lepší, když jsem
získal dvě hry ze tří, zatímco on jen jednu: v obou případech mně totiž chybí
jen jedna hra, ale jemu dvě.
Pak ke zjištění toho, jaká část každému přísluší, je třeba věnovat pozornost
tomu, co by se stalo, kdybychom ve hře pokračovali. Je totiž jisté, že kdybych
vyhrál první hru, splnil bych předepsaný počet a získal bych vše, co je vloženo,
což označíme a. Kdyby však vyhrál první hru druhý, pak by se vyrovnaly šance
obou (protože oběma by ještě chybělo po jedné hře), a tak by každému připadlo
| . Je však zřejmé, že v první hře mám stejnou šanci na výhru nebo prohru,
takže nyní mohu očekávat stejně a nebo | : což podle prvního tvrzení je právě
tolik, jako kdybych měl polovinu obou šancí, to jest | a , a mému spoluhráči
bude zbývat | a , kterýžto podíl bylo možné spočítat hned na začátku stejným
způsobem. A odtud je zřejmé, že kdo by chtěl převzít mou hru, musí mi za
to dát | a ; stejně tak vždy může vsadit tři proti jedné ten, kdo by se sázel, že
vyhraje jednu hru dříve, než druhý vyhraje dvě.
TVRZENÍ V.
Předpokládejme, že mně chybí jedna hra a mému spoluhráči tři hry.
Má se zde provést rozdělení.
Podívejme se opět, v jakém bychom byli stavu, kdybych já nebo on vyhrál
první hru. Kdybych já vyhrál, obdržel bych vsazené, to jest a; kdyby však
on vyhrál první hru, chyběly by mu dvě hry a mně jedna, takže bychom byli
v tomtéž stavu, jaký nastal v předešlém tvrzení, a mně by tedy připadlo | a ,
jak tam bylo dokázáno. Tedy stejně snadno mi může připadnout buď a nebo
| a , což je podle prvního tvrzení tolik, jako | a . A mému spoluhráči zbude | a ,
takže poměr mé šance k jeho šancí je 7 ku 1.
Avšak stejně, jak podle tohoto výpočtu bylo nalezeno předešlé, tak může posloužit
i k dalšímu: když totiž předpokládáme, že mně chybí jedna hra a mému
spoluhráči čtyři hry, A týmž způsobem se zjistí, že mně přísluší | | toho, co
bylo vsazeno, a jemu j-r.
TVRZENÍ VI.
Předpokládejme, že mně chybějí dvě hry a mému spoluhráči tři hry.
Bude tedy provedena první hra; buď mí pak chybí jedna hra a jemu tři
(a podle předešlého tvrzení mi připadne | a ) , nebo pak každému z nás chybějí
dvě hry a mně tedy bude příslušet | a , protože oba budeme mít stejnou šanci.
Pro mě je však stejně snadné první hru vyhrát nebo prohrát, takže mám stejnou
naději na získání | a nebo | a , což pro mě má hodnotu ~ a podle prvního
tvrzení. A přísluší mi 11 dílů toho, co je vsazeno, a mému spoluhráči 5 dílů.
51
PROPOSITIO VII.
Ponamus mihi deficere duos lusus & collusori meo quatuor,
Fiet itaque, ut, si primum ludum vincam, unum ludum vincere debeam &
alter quatuor; vel, si eundem perdam, duos k, alter tres. Ita ut aequa mihi sors
obtingat ad |§a aut | | a , id quod tantum valet ac y|a, per Irnam
Propositi©nem.
Unde patet, eum meliorem habere sortem, qui duos lusus vincere debet
dum alter quatuor, quam eum, qui unum dum alter duos. In hoc enim posteriori
casu, nimirum ipsius 1 ad 2, portio mea, per 4tam
Propositionem, est fa,
quae minor est quam ~ a .
PROPOSITIO VIII.
Nunc verd ponamus ires esse collusores, quorum prima ut & secundo
unus lusus deficiat, sed teriio duo lusus.
Ut igitur inveniatur primi pars, rursus advertendum est, quid ipsi deberetur,
si vel ipse vel alter reliquorum duorum primum lusum vinceret. Si ipse vinceret,
haberet depositum, id quod sit a. Quod si secundus vinceret, primus nihil
haberet, quoniam secundus sic lusui finem imposuisset. At si tertius vinceret,
tunc cuique trium adhuc unus deficeret lusus, ideoque tarn primo quam utrique
reliquorum deberet |a. Et fit primo una expectatio ad a, una ad 0, & una ad
|a, (quandoquidem aeque facile contingere potest cuique trium ut primum ludum
vincat,) quod ipsi tantundem valet ac |a, per 2darn
Propositionem. Et fit
similiter secundo |a, & remanet tertio |a. Cujus pars separatim etiam inveniri
potuerat, atque inde reliquorum partes determinari.
PROPOSITIO IX.
Ut tot collusorum, quot quis voluerit, ex quibus uni plures & alii
pauciores lusu deftciunt, cujusque pars inveniatur, considerandum
est, quid Mi, cujus partem invenire volumus, deberetur, si vel ipse,
vel quislibet reliquorum primum sequentem ludum vinceret, Horum
autem partes si in unam summam colligantur, & aggregatum per
numerum collusorum dividatur, quotiens ostendet unius qumsitam
partem.
Ponamus tres esse collusores A, B, & C, & ipsi A unum ludum deficere, ipsi
B duos lusus, & ipsi C similiter duos lusus. Invenire oportet, quid ipsi B1 ejus
quod depositum est, debeatur. Id quod vocetur q.
Primo examinandum est, quid ipsi B deberetur, si vel ipse, vel A1 vel C
primum sequentem ludum vinceret.
Si A vinceret, ludo finem imposuisset, ac per consequens ipsi B deberetur 0.
Si ipse B vinceret, deficeret ill! adhuc unus lusus, & ipsi A unus lusus, at ipsi C
duo lusus. Quocirca ipsi B hoc in casu deberetur |g, per 8vam
Propositionem.
52
TVRZENÍ VII.
Předpokládejme, že mně chybí dvě hry a mému spoluhráči čtyři.
Stane se tedy, že vyhraji-li první hru, měl bych vyhrát ještě jednu hru
a druhý čtyři; nebo, když ji prohrají, dvě a on tři. Měl bych tedy stejnou šanci
na (získání) j | a nebo |™a, což má hodnotu y|a podle prvního tvrzení. Odtud
je zřejmé, že lepší šanci má ten, kterému chybějí k vítězství dvě hry, zatímco
druhému čtyři, než ten, komu chybí jedna hra, zatímco druhému dvě. V tomto
druhém případu (tedy v případu 1 ku 2) je totiž můj podíl podle čtvrtého tvrzení
| a , což je méně než | | a .
TVRZENÍ VIII.
Nyní však předpokládejme, že jsou tři hráči, z nichž prvnímu a druhému
chybí po jedné hře, zatímco třetímu dvě hry.
Aby tedy byl zjištěn podíl prvního, je třeba opět věnovat pozornost tomu,
co by mu příslušelo, kdyby buď on nebo někdo ze zbývajících dvou vyhrál první
hru. Kdyby on vyhrál, měl by, co bylo vsazeno, to jest a. Kdyby vyhrál druhý,
první by neměl nic, protože druhý by tím ukončil hru. Kdyby však vyhrál třetí,
pak každému ze tří by stále chyběla jedna hra, a proto jak prvnímu, tak zbývajícím
dvěma by příslušela \a. První tedy bude moci jednou očekávat a, jednou
0 a jednou | a (protože každý ze tří může v první hře stejně snadno dosáhnout
vítězství), což podle druhého tvrzení má pro něho hodnotu | a . Podobně druhý
bude mít | a , a třetímu zbývá | a . Jeho podíl bylo také možno stanovit zvlášť
a odtud stanovit podíly ostatních.
TVRZENÍ IX.
Abychom mohli vypočítat podíl každého hráče při libovolně mnoha
hráčích, z nichž některému chybí více a jinému méně her, je třeba
uvážit, co náleží hráči, jehož podíl má být stanoven, když on sám
nebo nějaký jiný hráč vyhraje následující hru. Sečtou-li se takto získané
části dohromady a dělí-li se tento součet počtem hráčů, obdrží
se hledaný podíl dotyčného hráče.
Předpokládejme, že jsou tři hráči i , / 3 a C , a hráči A chybí jedna hra, hráči
B dvě hry a hráči C také dvě hry. Má být zjištěno, kolik přísluší hráči B z toho,
co bylo vloženo a co je označeno q.
Nejprve je třeba vyšetřit, kolik by příslušelo hráči B, kdyby první následující
hru vyhrál buď on, nebo hráč A, nebo hráč C.
Kdyby A vyhrál, ukončil by (tím) hru a v důsledku toho by hráči B příslušela
0. Kdyby B vyhrál, chyběla by mu stále ještě jedna hra a hráči A také
jedna hra, ale hráči C dvě hry. Pročež by hráči B v tomto případě příslušely
|g dle osmého tvrzení.
53
Denique si C primum sequentem ludum vinceret, tunc ipsis A h C singulis
unus deficeret lusus, sed ipsi B duo lusus, ac per consequens ipsi B deberetur |g,
per eandem Propositionem g
vam
, Nunc autem in unam summam colligendum
est, id quod in tribus hisce casibus ipsi B deberetur: nimirum, 0, |g, |g: quorum
summa est |g. Quod ipsum divisum per 3, numerum collusorum, dat ^q. Quae
ipsius B quaesita pars est. Demonstratio autem hujus patet ex 2
da
Propositione.
Quoniam enim B aequam habet sortem. ad obtinendum 0, |g, vel |g, habet per
Propositionem tantundem ac o+iq+iч , id est, ~q. Et certum est, hune
divisorem 3 esse numerum collusorum.
Ut autem inveniatur, quid cuipiam debeatur in quolibet casu, videlicet si vel
ipse vel aliquis reliquorum primum sequentem ludum vincat: oportet simpliciores
casus primo investigare, & horum medio sequentes. Nam sicut hie ultimus
casus solvi non potuit priusquam ille octavae Propositionis calculo subductus
esset, in quo deficientes lusus erant 1, 1, 2, ita etiam cujusque pars supputari
nequit in tali casu, ubi deficientes lusus sunt 1, 2, 3, quin primum calculo subductus
sit casus deficientium lusuum 1, 2, 2, quemadmodum jam fecimus, &
praeterea ille, in quo lusus deficientes sunt 1,1,3; qui similiter per gvam
Propositionem
supputari potuisset. Atque hoc quidem pacto consequenter supputare
licet casus omnes, qui in sequent! tabula comprehenduntur, & infinitos alios.
Tabula pro 3 collusoribus.
Lusus, qui ipsis
defìciunt.
1,1,2 1,2,2 1, 1, 3 1, 2, 3 1,1,4
Eorum partes. 4,4, 1 17, 5, 5 13, 13, 1 TíэTбľ^ 40, 40, 1
9 27 27 27 81
Lusus, qui ipsis
deficìunt.
1, 1, 5 1,2,4 1,2,5 1. 3, 3
Eorum partes. 121, 121, 1 178, 58, 7 542, 179, 8 65, 8, 8
243 243 729 81
Lusus, qui ipsis
deficiunt.
1,3,4 1, 3, 5 2,2,3 2,2,4
Eorum partes. 616, 82, 31 629 87, 13 34, 34, 13 338, 338, 53
729 729 81 729
Lusus, qui ipsis
deficiunt.
2,2,5 2, *, 3 2, 3, 4 2,3,5
Eorum partes. 353, 353, 23 133, 55, 55 451, 195, 83 1433, 635, 119
729 243 729 2187
54
Konečně kdyby C vyhrál první následující hru, pak by hráčům /i i C chybělo
po jedné hře, ale hráči B dvě hry, a v důsledku toho by hráči 15 příslušela |g
dle téhož osmého tvrzení. Nyní však je třeba shrnout do jednoho součtu to, co
v těchto třech případech přísluší hráči JB, totiž 0, |g, |g, čehož součet je |g.
Je~li to děleno počtem hráčů 3, dostaneme ~g, což je hledaný podíl hráče B.
Důkaz toho je zřejmý z druhého tvrzení. Protože totiž B má stejnou šanci na
získání 0, |g, nebo |g, má podle druhého tvrzení právě tolik jako •" ^ -^, to
jest 7~q. Zřejmě dělitel 3 je počet spoluhráčů.
Aby však bylo zjištěno, kolik přísluší komukoli v kterémkoli případu, když
buď sám nebo někdo ze zbývajících vyhraje první následující hru, je třeba nejprve
vyšetřovat jednodušší případy, jejich prostřednictvím pak další. Neboť tak
jako zde nemohl být vyřešen poslední případ, dokud nebyl proveden výpočet
v osmém tvrzení, kde počet chybějících her byl 1, 1, 2, tak také není možné
vypočítat podíl každého hráče v takovém případu, kdy počet chybějících her
je 1, 2, 3, než že je dříve vypočítán případ s počty chybějících her 1, 2, 2, což
jsme už učinili, a kromě toho případ, ve kterém počty chybějících her jsou 1,
1, 3, což by bylo možné vypočítat podobně podle osmého tvrzení. A dále lze
ovšem stejným způsobem vypočítat všechny případy shrnuté v následující tabulce
a nekonečně mnoho jiných.
Tabulka pro 3 spoluhráče
Hry, které jim
chybí.
1,1,2 1,2,2 1, 1, 3 1,2,3 1, 1,4
Jejich podíly. 4, 4, 1 17, 5, 5 13, 13, 1 19, 6, 2 40, 40, 1
9 27 27 27 81
Hry, které jim
chybí.
1, 1, 5 1,2,4 1,2,5 1, 3, 3
Jejich podíly. 121, 121, 1 178, 58, 7 542, 179, 8 65, 8, 8
243 243 729 81
Hry, které jim
chybí.
1,3,4 1, 3, 5 2, 2, 3 2,2,4
Jejich podíly. 616, 82, 31 629, 87, 13 34, 34, 13 338, 338, 53
729 729 81 729
Hry, kt.єré jim
chybí.
2, 2, 5 2, 3, 3 2, 3, 4 2, 3, 5
Jejich podíly. 353, 353, 23 133, 55, 55 451, 195, 83 1433, 635, 119
729 243 729 2187
55
De tesseris x
Quod ad tesseras attinet, de iis hae qusestiones proponi possunt: videlicet,
quota vice una tessera senarium jacere periclitandum sit, aut aliquod reliquorum
punctorum. Item quota vice duos senarios duabus tesseris, aut tres senarios
tribus tesseris jacere sit tentandum. Et plures aliae hujusmodi quaestiones. Ad
quas solvendas advertendum est.
Primo unius tesserae sex esse jactus diversos, quorum quivis aeque facile
eveniat. Sumo enim tesseram habere figuram cubi perfectam,
Porro duarum tesserarum 36 esse diversos jactus, quorum similiter quivis
aeque facile obtingere potest. Nam ratione cujusque jactus unius tesserae potest
unus sex jactuum alterius tesserae simul contingere. Et sexies 6 efficiunt 36
jactus.
Item trium tesserarum esse 216 jactus diversos. Nam ratione cujusque 36
jactuum duarum tesserarum potest unus sex jactuum, qui in 3 t m
sunt, evenire,
Et sexies 36 efficiunt 216 jactus.
Eodem modo patet, quatuor tesserarum jactus esse sexies 216, id est, 1296;
atque sic ulteriiis jactus quotlibet tesserarum supputari posse, sumendo semper
pro accessione unius tesserae sexies jactus praecedentis.
Porro notandum, duarum tesserarum unum duntaxat esse jactum, qui 2
aut 12 puncta efficiat, duos verro jactus, qui 3 aut 11 puncta eficiant. Si enim
tesseras vocemus A & J3, patet, ad 3 puncta jacienda in A unum & in B duo, vel
in B unum & in A duo puncta reperiri posse. Similiter ad 11 puncta jacienda
in A quinque & in B sex, vel in A sex & in 5 quinque puncta patere posse.
Quatuor punctorum tres sunt jactus, videlicet, ipsius A 1 & B 3 puncta; vel
ipsius A 3 & B 1 punctum; vel ipsius A2 h B 2 puncta.
Decern punctorum similiter tres sunt jactus.
Quinque vel novem punctorum 4o r
sunt jactus.
Sex vel octo punctorum 5que
sunt jactus.
Septem punctorum 6 sunt jactus.
In tribus tesseris reperiuntur
3 vel 18 '
4 vel 17
5 vel 16
6 vel 15
7 vel 14
8 vel 13
9 vel 12
10 vel 11
> punctorum <
i
3
6
10
15
21
25
27
> jactus.
1
Tento titulek v Huygensovu textu není; do Huygensova textu byl zařazen Bernoullim
([7J, str. 20 latinského textu). Dle našeho názoru přispívá k přehlednosti a logickému členění
pojednání a proto jsme se rozhodli zařadit ho i do našeho textu.
56
O hře v kostky
Pokud se kostek týče, lze o nich klást tyto otázky: totiž, kolikrát je třeba
zkoušet jednou kostkou hodit šestku nebo nějaký jiný počet bodů. Podobně
kolikrát je třeba zkoušet dvěma kostkami hodit dvě šestky nebo třemi kostkami
tři šestky. A mnohé podobné otázky, k jejichž řešení je třeba přistoupit.
Nejprve jednou kostkou je šest různých hodů, z nichž každý nastane stejně
snadno. Předpokládám totiž, že kostka má tvar dokonalé krychle.
Dále dvěma kostkami je 36 různých hodů, z nichž podobně každý může
nastat stejně snadno. Neboť ke každému z hodů jednou kostkou se může připojit
jeden ze šesti hodů druhou kostkou. A šestkrát 6 dává 36 hodů.
Podobně třemi kostkami je 216 různých hodů. Neboť ke každému z 36 hodů
dvěma kostkami se může připojit jeden ze šesti hodů, které jsou na třetí kostce.
A šestkrát 36 činí 216 hodů.
Stejným způsobem je zřejmé, že počet různých hodů čtyřmi kostkami je
šestkrát 216, to jest 1296; a takto lze dále spočítat hody pří libovolném počtu
kostek, bereme-li stále pro každou přidanou kostku šestkrát předešlý výsledek.
Dále je třeba poznamenat, že při dvou kostkách je právě jeden hod, který
dá 2 nebo 12 bodů, naproti tomu ale dva hody, které dají 3 nebo 11 bodů.
Když totiž kostky nazveme i a 5, je zřejmé, že k tomu, aby padly 3 body,
může se objevit na A jeden a na B dva body, nebo na B jeden a na A dva
body. Podobně k padnutí 11 bodů se může objevit na A pět a na i? šest bodů,
nebo na A šest a na B pět bodů. Pro čtyři body jsou tři hody, totiž ten, při
kterém je na A jeden a na B tři body, nebo ten, při kterém jsou na A tři a na
B jeden bod, nebo ten, při kterém jsou na A dva a na B dva body.
Pro deset bodů jsou podobně tři hody.
Pro pět nebo devět bodů jsou čtyři hody. Pro šest nebo osm bodů je pět
hodů.
Pro sedm bodů je šest hodů.
Při třech kostkách se objeví
3 nebo 18 '
4 nebo 17
5 nebo 16
6 nebo 15
7 nebo 14
8 nebo 13
9 nebo 12
10 nebo 11
^ bodů při <
i
3
6
10
15
21
25
27
> hodech.
57
PROPOSITIO X.
Invenire, quot vicibus suscipere quis possit, ut una tessera 6 puncta
jaciat.
Si quis prima vice senarium jacere contendat, apparet unum esse casum,
quo vincat, habeatque id, quod pignoris loco depositum est; quinque verô esse
casus, quibus perdat, & nihil habeat. Sunt enim 5 jactus contra ipsum, &
tantùm unus pro ipso. Quod autem depositum est vocetur a. Est itaque ipsi
unica expectatio ad obtinendum a, sed quinque ad obtinendum 0; id quod per
2dam
Propositionem 2
tantundem valet ac |a. Et manet pro eo qui ipsi hunc
casum offert |a. Ita ut tantummodo 1 contra 5 deponere possit, qui prima vice
suscipere velit.
Qui duabus vicibus semel senarium jacere certet, sors ejus hoc pacto computatur.
Si prima vice 6 jaciat, obtinet a. Si diversum eveniat, unus ipsi restât
jactus, qui ex praecedenti tantum valet, quantum |a. Atqui ut prima vice 6 jaciat,
unus tantùm casus est, & quinque casus, quibus diversum eveniat, Itaque
ab initio unus casus est, qui det ipsi a; & quinque qui dent |a, id quod per
2dam
Propositionem valet §§a. Unde contracertanti lusori cedit reliquum §§a;
adeo ut sors utriusque sive aestimatio expectationis earn servet rationem, quam
11 ad 25; id est minus quàm 1 ad 2.
Hinc eodem modo calculo subducitur, quôd sors ejus, qui tribus vicibus
semel senarium jacere suscipit, sit futura ^ a ; ita ut 91 contra 125 deponere
possit; id est, paulô minus quàm 3 ad 4.
Qui quatuor vicibus idem suscipit, sors ejus est jf^a; ita ut 671 contra 625
deponere possit; id est, plus quam 1 ad 1.
Qui quinque vicibus idem suscipit, sors ejus est ffffa, & potest 4651 contra
3125 deponere; id est, paulô minus quàm 3 ad 2.
Qui sex vicibus idem suscipit, sors ejus est §§§§§«? & potest 31031 contra
15625 deponere; id est, paulô minus quàm 2 ad 1.
Atque ita consequenter quilibet jactuum numerus inueniri potest. Sed licet
majori compendio progredi, ut in sequent! Propositione ostendetur; sine quo
calculus alias multô prolixior foret.
PROPOSITIO XL
Invenire, quot vicibus suscipere quis possit, ut duabus tesseris 12
puncta jaciat.
Si quis prima vice duos senarios jacere contendat, apparet unum esse casum,
quo vincat, id est, ad obtinendum a; k 35 esse casus, quibus perdat sive nihil
habeat, quoniam 36 sunt jactus. Itaque habet, per 2dam
Propositionem, j^a.
2
V originálu je zřejmá-tisková chyba, protože popsanou situaci řeší ve skutečnosti Proposiiio
III. Tato chyba se ještě několikrát opakuje a v překladu je opravována bez dalších
poznámek.
58
TVRZENÍ X.
Zjistit, kolika hody se lze odvážit jednou kostkou hodit šest bodů.
3
Jestliže by se někdo vsadil, že prvním hodem hodí šestku, pak zřejmě je
jeden případ, kdy vyhrává a dostává to, co je vloženo jako základ; naproti
tomu je pět případů, kdy prohrává a nedostává nic. Je tedy 5 hodů proti němu
a jen jeden pro něho. Označme a to, co je vsazeno. Může tedy jednou očekávat
a, ale pětkrát 0, což má podle třetího tvrzení hodnotu | a . A zůstává | a pro
toho, kdo mu tuto příležitost nabídl. Může tedy vsadit jen 1 proti 5, kdo by
chtěl uspět napoprvé.
Jestliže by se někdo vsadil, že hodí dvěma hody jednou šestku
4
, jeho šance
se vypočítá následujícím způsobem. Když hodí prvním hodem šestku, obdrží a.
Při jiném výsledku mu zůstává jeden hod, který má podle předešlého hodnotu
| a . Avšak je jen jeden případ, ve kterém prvním hodem hodí 6, a pět případů,
které dopadnou jinak. Je tedy od počátku jeden případ, který mu dá a, a pět,
které dají | a , což má podle třetího tvrzení hodnotu | | a . A tak protihráči
připadne zbývajících | | a , takže šance obou čili hodnoty jejich očekávání jsou
v poměru 11 ku 25, to jest méně než 1 ku 2.
Odtud se stejným způsobem výpočtu vyvozuje, že šance toho, kdo se vsadí,
že třemi hody hodí jednou šestku, bude ^ a , tedy že by mohl vsadit 91 proti
125, tj. trochu méně než 3 ku 4.
Kdo se pokusí o totéž čtyřmi hody, má šanci ~^a; mohl by tedy vsadit
671 proti 625, tj. trochu více než 1 ku 1.
Kdo se pokusí o totéž pěti hody, má šanci fff|a a může vsadit 4651 proti
3125, tj. trochu méně než 3 ku 2.
Kdo se pokusí o totéž šesti hody, má šanci §|§§§« a může vsadit 31031 proti
15625, tj. trochu méně než 2 ku 1.
A tak lze stejným způsobem vyšetřit libovolný počet hodů. Může se ale postupovat
stručněji, jak bude ukázáno v následujícím tvrzení; bez toho by jinak
byl výpočet mnohem rozvláčnější.
TVRZENÍ XI.
Zjistit, kolika hody se lze odvážit dvěma kostkami hodit 12 bodů.
Kdyby se někdo sázel, že hodí prvním hodem dvě šestky, pak zřejmě je
jeden případ, kdy by vyhrál, to jest získal by a, a 35 případů, kdy by prohrál
čili nedostal by nic, což je 36 hodů. Podle třetího tvrzení má tedy ~ a .
3
Toto ne zcela jasné zadání je vysvětleno v posledním odstavci tvrzení XI, kde je řečeno,
že ..... jde hlavně o stanovení počtu hodů, při kterém se začínají vyrovnávat šance toho,
kdo se pokouší, s šancemi toho, kdo vyzývá." Z textu tvrzení X a XI je zřejmé, že je zde
studována úloha, při které je hráči A (z jehož hlediska je úloha řešena) nabídnuta hráčem B
(vyzývatelem) sázka týkající se toho, kolikátým hodem hráč A hodí šestku, případně dvěma
kostkami dvě šestky; hráč A se může rozhodnout (odvážit) sázku přijmout.
4
Přesně řečeno: aspoň jednou šestku; tato poznámka platí v celém tvrzení X a její analogie
i v tvrzení XI a XII.
59
Qui duabus vicibus idem suscipit, si prima vice duos senarios jaciat, obtinebit
a; si vero prima vice diversum eveniat, unus ipsi restat jactus, id quod
ipsi, per illud quod jam dictum est, valet ~ a .
Atqui ut prima vice duos senarios jaciat, unus tantum est casus, sed 35
casus, quibus diversum eveniat. Itaque ab initio unus casus est, qui det ipsi a,
& 35 qui dent jjra; id quod per 2dam
Propositionem valet j^a. Et remanet
contracertanti ||§§a.
Ex his invenire licet, qualis sit ei sors aut pars, qui idem suscipit quaternis
jactibus, praetereundo casum eum, cum quis illud ternis jactibus suscipit.
Etenim; qui 4or
vicibus duos senarios jacere contendit, si illud lma
aut 2da
vice faciat, obtinet a; sin minus, restant ipsi duo jactus, qui per illud quod
superius dictum est, valent xMea
* ^e(
^ Pro
P^er
eandem rationem habet etiam
71 casus, ut ex duobus primis jactibus semel duos senarios jaciat, contra 1225
casus, quibus diversum eveniat. Habet itaque ab initio 71 casus, qui ipsi dent
a, & 1225 casus, qui dent ipsi T ^ a . Quod ipsi per 2dam
Propositionem valet
.178991 a> j ^r e m a n e t contracertanti yp§iff a. ^ QL110
^ ostendit eorum sortes1679616"" ^M-XXUI^V W i i , i a ^ n ; a u W 1679616
esse ad se invicem, ut 178991 ad 1500625.
E quibus porro eadem ratione invenitur expectatio ejus, qui 8 vicibus semel
duos senarios jacere certat, Ac inde rursus expectatio ejus, qui idem suscipit 18
vicibus. Atque ex hujus expectatione, ut etiam ex expectatione illius, qui istud
8 vicibus suscipit, invenitur expectatio ejus, qui illud 24 vicibus in se recipit.
In qua operatione, quoniam praecipue quaeritur in quo numero jactuum aequalis
sors incipiat, inter eum qui id suscipit & eum qui offert, licebit a numeris,
qui alioquin in immensum excrescerent, posteriores aliquot characteres auferre.
Atque ita quidem reperio ei, qui illud 24 vicibus suscipit, adhuc aliquid deficere;
tumque demum eum potiorem conditionem inire, cum 25 jactibus aggreditur.
PROPOSITIO XII.
Invenire quot tesseris suscipere quis possit, ut prima vice duos senarios
jaciat.
Hoc autem tantundem est, ac si quis scire velit, quoto jactu quispiam una
tessera suscipere possit, ut bis senarium jaciat. Quod si quis duobus jactibus
susciperet, obtingeret ei, per ea quae ante ostensa sunt, ™-a. Qui illud tribus
jactibus in se reciperet, si primus ejus jactus senarius non foret, haberet adhuc
duos jactus, quorum uterque senarius esse deberet, id quod tantundem valere
dictum est ac ~ a . At vero primo ejus jactu existente senario, opus est ut ex
duobus jactibus non nisi semel senarium jaciat. Quod per 10 Propositionem
tantundem valet ac si | | a haberet. Atqui certum est ipsum unum habere casum,
quo prima vice senarium jaciat, & quinque casus quibus diversum eveniat.
Habet itaque ab initio unum casum ad | | a , & 5 casus ad —a, id quod per 2darn
Propositionem tantundem valet ac ~?a seu ^ a . Hoc pacto assumendo continue
unum jactum amplius, invenitur 10 jactibus una tessera, aut 10 tesseris
primo jactu suscipi posse, ut duo senarii jaciantur, idque cum lucro.
60
Kdo se pokusí o totéž dvěma hody, obdrží a, když prvním hodem hodí dvě
šestky; když to napoprvé dopadne jinak, zůstává mu jeden hod, který pro něj
má hodnotu ^ a , jak už bylo řečeno.
Avšak je jen jeden případ, kdy v prvním hodu padnou dvě šestky, ale 35
případů, které dopadnou jinak. Tedy od počátku je jeden případ, který mu
dá a, a 35, které mu dají ^ a , což má podle třetího tvrzení hodnotu j ^ a .
Protihráči zůstane jfffa.
Z toho lze zjistit, jaká je jeho šance nebo podíl, když se pokusí o totéž
čtyřmi hody, přičemž lze vynechat případ se třemi hody.
Vždyť přece kdo se pokouší hodit dvě šestky čtyřmi hody, získá a, když to
učiní prvním nebo druhým hodem; jestliže však ne, zůstávají mu dva hody,
které podle toho, co bylo řečeno výše, mají hodnotu j^a> Ale podle téhož
výpočtu je 71 případů, kdy ve dvou prvních hodech jednou padnou dvě šestky,
proti 1225 případům, které dopadnou jinak. Je tedy od začátku 71 případů,
které mu dají a, a 1225 případů, které mu dají jf§ga, což má pro něj podle
třetího tvrzení hodnotu /ff/gfl, a protihráči zůstane xpffffa. To dokazuje,
že jejich šance jsou ve vzájemném poměru 178991 ku 1500625.
Z toho se dále stejným výpočtem zjistí očekávání toho, kdo se pokouší osmi
hody jednou hodit dvě šestky. A z toho zase dále očekávání toho, kdo se o to
pokusí šestnácti hody. A dále z tohoto očekávání a z očekávání onoho, kdo se
o to pokouší osmi hody, se zjistí očekávání toho, kdo se o to pokouší 24 hody.
Protože jde hlavně o stanovení počtu hodů, při kterém se začínají vyrovnávat
šance toho, kdo se odvažuje 5
, s šancemi toho, kdo (sázku) nabízí, je možné
při tomto postupu vynechat několik posledních číslic u čísel, která by jinak
nadměrně vzrůstala. A tak zjišťuji, že tomu, kdo se pokusil (hodit dvě šestky)
čtyřiadvaceti hody, se stále něco nedostává; lepší podmínky mu začínají teprve
tehdy, když se pokusí (hodit dvě šestky) pětadvaceti hody.
TVRZENÍ XII.
Zjistit, kolika kostkami by se někdo mohl odvážit Kodit prvním hodem
dvě šestky.
To je pak ovšem totéž, jako chtěl-li by někdo vědět, kolika hody jednou
kostkou by se mohl pokusit hodit dvakrát šestku. Kdyby se o to někdo pokoušel
dvěma hody, připadla by mu podle toho, co bylo dříve ukázáno, ^ a . Kdyby
toho někdo chtěl dosáhnout třemi hody a kdyby jeho první hod nebyla šestka,
měl by ještě dva hody, z nichž oba by mu musely dát šestky, o čemž už bylo
řečeno, že to má hodnotu ™a. Když však naopak v prvním hodu padne šestka,
stačí, aby ze dvou (zbývajících) hodů padla jen jedna šestka, což by mělo podle
desátého tvrzení hodnotu ~|a. Je však jisté, že má jen jednu příležitost, kdy
prvním hodem hodí šestku, a pět příležitostí, které dopadnou opačně. Má tak
od počátku jednu příležitost k získání | | a a pět příležitostí k získání ™a, což
má podle třetího tvrzení hodnotu ™^a čili J-a. Přidává-li se tímto způsobem
postupně jeden hod navíc, zjistí se, že burf deseti hody jednou kostkou nebo
5
Tj. kdo se odvažuje přijmout sázku.
61
PROPOSITIO XIII.
Si cum alio ludam duabus tesseris unum solummodo j actum, hac
conditione, ut, si septenarius eveniat, ego vincam; at Me, si denarius
obtingat; si vero quidquam aliud accidat, ut turn id quod de~
positum est mqualiter dividamus: Invenire qualis istius pars cuique
nostrum debeatur.
Quoniam 36 jactuum, qui duabus tesseris proveniunt, 6 jactus existunt septem
punctorum, k 3 jactus decern punctorum, restant adhuc 27 jactus, qui
ludum aequare possunt; id quod si fiat, cuique nostrum debebitur |a, Verum
si id non obtingat, habebo 6 casus, quibus vincam, id est, ut a habeam; k 3
casus, quibus diversum eveniat, nihilque habeam: id quod per 2dam
Propositionem
tantundem est ac si tali casu | a haberem. Habeo itaque ab initio 27
casus ad ~a k 9 casus ad fa, id quod, per 2dam
Propositionem, tantundem est
\r
\ 11
ac Ha, Et remanet contracertanti ||a.
PROPOSITIO XIV.
Si ergo & alius duabus tesseris alternatim jaciamus, hac conditione,
ut ego vincam simul atque septenarium jaciam, Me vero quam
primum senarium jaciat; ita videlicet, ut ipsi primum jactum concedam:
invenire rationem mem ad ipsius sortem.
Ponatur, sortem meam valere x, k id quod depositum est vocari a; eritque sors
alterius = a - x. Et patet, quandocunque ipsius vices jaciendi revertuntur,
sortem meam turn rursus debere esse = x. At quandocunque meae vices sunt ut
jaciam, sors mea pluris aestimanda est. Ponatur itaque pro ejus valore y. Jam
quoniam ex 36 jactibus reperiuntur 5 in 2 tesseris, qui collusori meo senarium
dare lususque victorem reddere possunt; & 31 jactus, quibus diversum eveniat,
id est, qui meas jaciendi vices promovent: habebo, priusquam jacit, 5 casus
ad obtinendum 0, k 31 casus ad obtinendum y id quod per 3Uarn
Propositionem
valet ~|-. Posuimus autem casum meum a principio esse = x. Quocirca
erit ^ = rT, adeoque y = ~f. Deinde positum fuit, vicibus meis venientibus,
sortem meam valere y. Ego vero jacturus, habeo 6 casus ad obtinendum a,
quandoquidem 6 jactus reperiuntur 7 punctorum, qui me victorem reddunt;
habeoque 30 casus, quibus vices collusoris mei revertuntur, id est, ut mihi obtineam
x id quod per 3tiarn
Propositionem valet -6a
+|0;r
j ^ o c a u tem cum sit
= y, erit, invento, ut ante, ™f = y, ^ | ^ = ^ . Unde invenitur x = ff,
valor meae sortis. Et per consequens collusoris mei erit -^~; ita ut ratio sortis
meae ad illius sortem sit, ut 31 ad 30.
62
prvním hodem deseti kostkami je možno se pokusit, aby padly dvě šestky, a to
se ziskem.
TVRZENÍ XIII.
Zjistit, jaký podíl každému z nás přísluší, jestliže bych hrál s někým
jen na jeden hod dvěma kostkami za podmínky, že vyhraji, padneli
sedm bodů, a naopak vyhraje on, padne-li deset bodů; jestliže by
však nastalo něco jiného, pak to, co je vsazeno, rozdělíme rovným
dílem.
Protože z 36 hodů, které jsou možné na dvou kostkách, 7 bodů se vyskytuje
při šesti hodech a 10 bodů při třech hodech, zbývá dále 27 hodů, kdy je hra
nerozhodná; kdyby se to stalo, připadlo by každému z nás | a . Jestliže by se
to však nestalo, bude 6 případů, kdy vyhraji, tj. budu mít a, a 3 případy, kdy
nastane opak a nebudu mít nic, což je podle třetího tvrzení totéž, jako bych
v takovém případě měl §a. Mám tedy od začátku 27 příležitostí k (získání)
| a a 9 příležitostí k (získání) | a , což je podle třetího tvrzení totéž jako | | a .
A soupeři zůstává |~a.
TVRZENÍ XIV.
Zjistit poměr našich šancí, jestliže bychom já a někdo jiný střídavě
házeli dvěma kostkami za podmínky, že já vyhraji, jakmile hodím
sedm bodů, naproti tomu on vyhraje, jakmile hodí šest bodů, přičemž
mu přenechám první hod.
Předpokládejme, že moje šance má hodnotu x a to, co je vloženo, označme
a; šance druhého tedy bude rovna a — x. A je zřejmé, že kdykoli se hody vrátí
k němu, musí být moje šance zase rovna x. Kdykoli však mám házet já, musí
moje šance být oceněna více. Označme tedy její hodnotu y. Dále pak, protože
mezi 36 hody dvěma kostkami se vyskytuje pět, které mému spoluhráči dají
šest bodů a umožní mu vítězství, a 31 hodů, které dopadnou jinak, tj. přesunou
házení kostkami ke mně, budu mít dříve, než hodil, 5 příležitostí k získání 0
a 31 příležitostí k získání y, což podle třetího tvrzení má hodnotu ~g-. Předpokládali
jsme ale na začátku, že moje šance je rovna x, pročež -gg- = x, takže
y =
ZŘ*Lm
Bále bylo předpokládáno, že moje šance má hodnotu y, když budu
házet. Když však budu házet, mám 6 příležitostí k získání a, ježto právě při
šesti hodech padne 7 bodů, které mě učiní vítězem, a 30 příležitostí, které vracejí
hody mému spoluhráči a mě přenechávají x, což má dle třetího tvrzení
hodnotu -^±p£. Protože to však je rovno y, nalezneme jako dříve 4™ = y,
3 0
^+
6
~ = —-. Z toho se najde hodnota mé šance x = ^f. A v důsledku toho
36 — 31 * ^ ЬKJLLKJ
^ " < * J ^ u w ш ш ш ш v , ú
^ - 61
- - - • • Зüa
61
bude hodnota šance mého spoluhráče ^ ; takže poměr mé a jeho šance je 31
ku 30.
63
Coronidis loco subjungantur sequentia Problemata.
PROBLEMA I.
A k B una ludunt duabus tesseris, hac conditione, ut A vincat, si senarium
jaciat, at B si septenarium jaciat. A primo unum jactum instituet; deinde B
duos jactus consequenter; turn rursus A duos jactus, atque sic deinceps, donee
hie vel ille victor evadat. Quaeritur ratio sortis ipsius A ad sortem ipsius Bl
Resp. ut 10355 ad 12276.
PROBLEMA II.
Tres collusores A, B & C assumentes 12 calculos, quorum 4 albi & 8 nigri
existunt, ludunt hac conditione: ut, qui primus ipsorum velatis oculis album
calculum elegerit, vincat; & ut prima electio sit penes A, secunda penes B, Sk
tertia penes C, & turn sequens rursus penes A) atque sic deinceps alternatim.
Quaeritur, quaenam futura sit ratio illorum sortium?
PROBLEMA III.
A certat cum B quod ipse ex 40 chartis lusoriis, id est, 10 cujusque speciei, 4
chartas extracturus sit; ita ut ex unaquaque specie habeat unam. Et invenitur
ratio sortis ,4 ad sortem B ut 1000 ad 8139.
PROBLEMA IV.
Assumptis, ut ante, 12 calculis, 4 albis & 8 nigris, certat A cum B, quod
velatis oculis 7 calculos ex iis exempturus sit, inter quos 3 albi erunt. Quaeritur
ratio sortis ipsius A ad sortem ipsius B,
PROBLEMA V.
A & B assumentes singuli 12 nummos ludunt tribus tesseris hac conditione:
ut, si 11 puncta jaciantur, A tradat nummum ipsi B; at si 14 puncta jaciantur,
B tradat nummum ipsi A; & ut ille ludum victurus sit, qui primum omnes
habuerit nummos. Et invenitur ratio sortis ipsius A ad sortem ipsius B, ut
244140625 ad 282429536481.
F I N I S
64
Na závěr připojme následující úlohy.
ÚLOHA I.
A a B hrají se dvěma kostkami tak, že A vyhraje, když hodí šest bodů,
a B vyhraje, když hodí sedm bodů. A začíná hru jedním hodem, pak hází B
dvakrát za sebou, pak má A dva hody a tak dále, dokud jeden z nich nevyhraje.
Jaký je poměr šance A ku šanci B?
Odpověď: 10355 : 12276.
ÚLOHA II.
Tři hráči A, B a C mají dvanáct kamenů, z nichž čtyři jsou bílé a osm
je černých, a hrají spolu tak, že zvítězí ten z nich, který jako první naslepo
vytáhne bílý kámen; jako první táhne A1 pak i?, poté C, pak zase A a tak dále
stále střídavě. Jaký bude poměr jejich šancí?
ÚLOHA III.
A se sází s J3, že ze čtyřiceti hracích karet, po deseti každého druhu, vytáhne
čtyři karty tak, že z každého druhu bude jedna. Je nalezen poměr šance
A k šanci B 1000 : 8139.
ÚLOHA IV.
Hráči i a B mají opět dvanáct kamenů, čtyři bílé a osm černých, a hráč A
se sází s B, že naslepo vytáhne sedm kamenů, mezi nimiž budou tři bílé. Jaký
je poměr šance hráče A k šanci hráče B?
ÚLOHA V.
A a B mají po dvanácti mincích a hrají třemi kostkami tak, že padne»li
jedenáct bodů, A dá B jednu minci, padne-li ale čtrnáct bodů, B dá A jednu
minci. Hru vyhrává ten hráč, který jako první získá všechny mince. Je nalezen
poměr šance hráče A k šanci hráče B 244 140 625 : 282 429 536 481.
K O N E C
65