VII. Divisio
VIL Dělení
G 9v VII. Divisio (arísmetrica, integrorum) est unius (maioris vel equalis) numeri per alium (et sic divisum a se) numerům minorem vel equalem (et sic consimilem sibi) distribucio (in tot partes, quot sunt unitates in minori).
G 9v       [Divisio est.] In ista parte autor similitudine divisio arismetrica ac-
exequitur de septima specie huius cipitur, quia ars imitatur náturám
artis, puta de divisione. Et dividi- in quantum potest (ex secundo
tur in tres partes, quia primo diffi- Phisicorum). Quod igitur dividi-
nit divisionem, secundo subinfert, tur, est numerus dividendus, qui
quot numeri et ordines figurarum dividit, est numerus divisor, me-
sunt necessarii in divisione, tercio diante quo dividitur, est numerus
dat seu dočet modům operandi in quociens. Constat enim, quod di-
hac specie; secunda ibi In divisio- visio est tocius alicuius signati per ne, tercia ibi Cum ergo, primo dif-finiendo divisionem dicente.
Pro meliori intellectu diffini-cionis ipsius divisionis est notan-
10
15
20
numerům dividendum a divisore per quocientem distribucio, et ut sic divisio prius ponit numerům dividendum, qui habet fieri per dum: Video, vides, vidi, visum ter- modům pacientis, alium agens per cie coniugacionis significat vide- modům agentis et tercium instru-re, inde divido, -dis, -si, -sum, id mentum et medium, quod convenit est partiri vel diversimode videre. et agenti et pacienti, scilicet quo-Vel componitur a di- et via et do. ciens, ut patet in naturalibus: ani-Et in divido quasi diversas vias do. ma est forma, corpus est materia, Et est ethymologia. Et dividere compositum medium pertinens 25 significat partiri, partes a toto se- cum utroque. Quociens enim pro-gregare, distribuere, amovere, id venit tam ex agente quam pacien-est aliquid magnum, et sic divisio te, ut patet de se, quia divisor uni-tria presupponit, scilicet quid di- tates suas mensurans in se applicat vidatur, quid dividat et mediante eas ad dividendum, cuius similiter 30 quo dividatur, ut totum aliquid si- unitatum partes ponderat et nu-cut lignum dicitur, quod dividitur, merat, e quo pondere et mensura homo, qui dividit, et securis, me- utriusque, tam dividentis quam di-diante qua lignum dividitur. Qua  videndi, elicitur quociens ambo-
VII. Dělení (aritmetické, celých čísel) je rozdělování (na tolik částí, kolik je jednotek v menším čísle) jednoho (většího nebo stejného) čísla číslem jiným (rozdílným od sebe), menším nebo stejným (a tak sobě zcela podobným).75
18b dividendum Si ] dividentem G, commentarius in F abest 7b Auctoritates 145,60 (Aristoteles, PhysicaB 2, 194a21-22)
[Dělení je.] V této části autor vykládá o sedmém úkonu tohoto umění, totiž o dělení. A výklad se dělí na tři části, protože za prvé dělení definuje, za druhé uvádí, kolik je při dělení třeba čísel a řádků číslic, za třetí podává čili učí způsob, jak při tomto úkonu postupovat; druhá část začíná slovy Při dělení, třetí Chceš-li tedy, přičemž nejprve definuje dělení a říká (viz text).
Pro lepší pochopení definice samotného dělení je třeba poznamenat: sloveso třetí konjugace video, vides, vidi, visum znamená vidět, z něho je odvozeno divido, -dis, -si, -sum, „dělit", tj. rozdělovat čili vidět různým způsobem. Anebo je toto sloveso složeno z di-, via a do. A divido znamená jakoby diversas vias do, „dávám různé cesty". Toto je etymologie.76 A dělit znamená rozdělovat, oddělovat části od celku, podělovat, odnímat, tj. něco velkého, a proto dělení předpokládá tři věci: totiž co je děleno, co dělí a čím se dělí; např. nějaký celek jako třeba dřevo je to, co se dělí, člověk je to, co
dělí, a sekera prostředek, kterým je dřevo děleno. A na základě této podobnosti je možno chápat aritmetické dělení, protože umění napodobuje přírodu, nakolik jen může (druhá kniha Fyziky). Tedy to, co je děleno, je číslo dělené, kdo dělí, je číslo dělitel, prostředek, kterým se dělí, je číslo kvociens. Je totiž známo, že dělení je rozdělování nějakého celku, vyznačeného číslem děleným, dělitelem prostřednictvím kvocientu, a proto se při dělení uvádí nejprve číslo dělené, které se má chovat jako trpný prvek, další činitel jako prvek činný a třetí jako nástroj a prostřední člen, protože má shodné rysy jak s prvkem činným, tak trpným, totiž kvociens, jak je to patrno v přírodě: duše je forma, tělo je materie, složený prostřední člen se vztahuje k oběma. Kvociens totiž pochází jak z prvku činného, tak trpného, jak je to o něm známo, protože dělitel měří v sobě své jednotky a přikládá je k dělenému číslu, a podobně váží a počítá části jednotek dělence, a z toho měření a vážení obou čísel, -
80
81
VII. Divisio
VIL Dělení
In divisione třes numeri sunt necessarii (et sic differt ab aliis speciebus, que necessarie tres non habent, et ideo divisio est diffi-
Při dělení jsou potřebná tři čísla (a tím se liší od jiných úkonů, které tři čísla nezbytně nepotřebují,11 a proto je dělení obtížnější
bus similis (||). Ex quibus patet, quod divisio est duplex, scilicet equalis et inequalis. Equalis divisio est eiusdem numeri per se ip-sum seccio vel est alicuius numeri per alium tot unitates habentem di-stribucio. Inequalis autem est quantitatis discrete maioris men-sure unitatum per reliquum sibi disparem particio, ut quando ma-ior di vidi tur per minorem, divisio est alicuius tocius, ut infra. | G lOr Divisio est alicuius tocius in suas partes distribucio. Et est multiplex:
Analoga est, quando aliquod totum analogům dividitur in sua analoga, ut essencie aliud substancia, aliud accidens.
Generalis est unius nature plu-rium perfeccionum in suas naturas specificas particio, ut animalium aliud homo, aliud asinus.
Specifica est nature perfecte specifice et complete in sua individua distribucio, ut hominum alius Wenceslaus, alius Iohannes.
Realis est rei totum in se ha-bentis seu totum quantitativum in G 9v suas partes qualescunque distribucio, ut ligni divisio.
Arismetrica est numeri propor-cionabilis ad quantitatem discre- 5 tarn, secundum quod dividens re-quirit, distribucio. Et sic capit acti-vitatem in se, qua numerus totus propositus dividitur. In qua divisione ista debent servari: Prima, ut 10 figura divisoris ponatur recte sub figura dividendi, et hoc, si subtrahi potest ab ea. Si autem non, ponatur sub alia. Secunda, si figura divisoris post in ven turn quocientem 15 unum vel plures a dividendo subtrahi non potest, tunc cifra circa quocientem  locetur  et divisor transferatur per unicam differen-ciam, cui iterum quociens alter in- 20 veniatur. Tercio, si aliqua cifra post totum numerům dividendum, sub qua divisor nondum fuit, superest, ilia ad quocientem apponatur numerům, quia aliquis falsum suppo- 25 neretur. Quarto, si post divisionem totam aliquid de numero dividendo, a quo divisor subtrahi non potest, residuum fuerit, illud servetur et postea probando per multiplica- 30 cionem addatur et veniet ilia proba-cio. I
[In divisione.] Ista est secunda pars principalis huius capituli, in
1 numeri sunt ] sunt numeri F
jak dělícího, tak děleného, vyplývá kvociens, podobný oběma (||). Z toho plyne, že dělení je dvojí, totiž stejné a nestejné. Stejné dělení je dělení téhož čísla sebou samým neboli podělování nějakého čísla jiným, které má stejně tolik jednotek. Nestejné dělení je však podělování určité kvantity o větší míře jednotek jiným číslem, rozdílným od sebe, např. když je větší číslo děleno menším, jde o dělení nějakého celku, jak je řečeno níže.
Dělení je rozdělování nějakého celku na jeho části. A je několikerého druhu:
Analogické dělení je, když nějaký analogický celek je dělen na svoje analogata, např. jedna část esence je substance, druhá akci-dens.
Rodové dělení je rozdělování jedné přirozenosti o různých dokonalostech na její druhové přirozenosti, např. jeden z živočichů je člověk, druhý osel.
Druhové dělení je rozdělování dokonalé druhové a úplné přirozenosti na její jednotliviny, např. jeden z lidí je Václav, druhý Jan.
Reálné dělení je rozdělování věci, mající v sobě celek čili kvan-
titativní celek, na její jakési části, např. dělení dřeva.
Aritmetické dělení je rozdělování čísla, které je proporční k určité kvantitě, podle toho, jak to vyžaduje dělitel. A tak na sebe bere účinnou sílu, jíž je celé dané číslo děleno. A při tomto dělení se musí zachovávat tato pravidla: První, aby se číslice dělitele psala přímo pod číslici čísla děleného, a to tehdy, může-li být od ní odečtena. Jestliže však ne, napíše se pod jinou. Druhé pravidlo: Jestliže po nalezení jednoho nebo více kvocientů nemůže být číslice dělitele od dělitele odečtena, pak se vedle kvocientu umístí nula, dělitel se přenese o jedno místo a k němu se najde znovu jiný kvociens. Za třetí: Zbývá-li po dělení celého čísla nula, pod níž ještě dělitel nebyl, připíše se tato nula ke kvocientu, protože jinak by vyšlo nepravé číslo.78 Za čtvrté: Jestliže po celém dělení zůstane z děleného čísla nějaký zbytek, od něhož dělitel nemůže být odečten, pak se zachová a později, při zkoušce násobením, se přičte a ta zkouška vyjde.
[Při dělení.] Toto je druhá-hlavní část této kapitoly, v níž au-
82
83
VII. Divisio
VII. Dělení
cilior prioribus; racio, quia divisio arismetrica est similis divi-sioni reali): primus numerus dividendus (passive, ut materia se habens), et est i He, qui debet dividi (per minores unita tes) in partes, secundus numerus dividens (active, ut forma), et est ille, per quern numerus dividi tur. Et tercius quociens (vices demonstrans, ut medium), et est ille, qui denotat, quociens numerus dividens (divisor) subtrahi potest (quia proporcionat mensurando divisorem ad dividendám) a numero dividendo, ut dividendo 20 poma (vel aliud simile) vel grossos per quinque homines, tunc numerus quociens erit 4, qui demonstrat (declarat), quod 5 continetur in 20 4 (scilicet, et non plus, quia tantum quater subtrahitur) vicibus.
Cum ergo numerům unum (maiorem vel equalem) per alium (id est divisorem minorem vel equalem) vis dividere, tunc scribe
qua ostendit, quot numeri sunt ne-cessarii in divisione, secundo hoc idem per exemplum ostendit, ibi Ut dividendo. Et quoad ambas partes dicente.
Divisio differt ab aliis specie-bus, quia divisio habet tres ordi-nes, alie autem species solum ha-bent unum vel duos.
Racio, quare in divisione sunt tres numeri necessarii, quia divisio arismetrica similis est divisioni reali, scilicet quia in divisione reali concurrunt tria, ut patet in primo notabili Ergo etc.
Regula generalis ad totam di-visionem. Omnis arismetica divisio duos ordines figurarum cum
10
quociente necessario requirit, ita, 15 ut numerus divisor in numerům dividendum, in quem potest duci, ducatur et ab eo secundum possi-bilitatem quocientis subtrahatur, cifrám quocienti copulando, si di- 20 videndus numerus parvus est. Et earn, si superest, ad quocientem appone, reliquum memorialiter cu-stodiendo.
[Cum ergo numerům unum.] 25 Hic autor exequendo suum inten-tum docet primo, qualiter operari, secundo magis specificat, ibi Quo facto, tercio subinfert probacio-nem huius speciei, ibi Et si proba- 30 re. Et primo docendo modum ordinandi figuras et numeros, dicens.
než předcházející úkony; důvod toho je ten, že aritmetické dělení je podobné dělení reálnému): první je číslo dělené79(pasívně, protože se chová jako materie), a to je to, které má být rozděleno (pomocí menších jednotek) na části, druhé je číslo dělící80 (aktivně, jako forma), a to je to, kterým je číslo děleno.. A třetí je kvociens81 (ukazující podíly, jako prostředník), a to je to, které označuje, kolikrát může být číslo dělící (dělitel) odečteno (protože ho rozděluje na díly, přiměřujíc dělitele k dělenci) od čísla děleného; např. při dělení 20 jablek (či něčeho podobného) nebo grošů mezi pět lidí bude číslo zvané kvociens 4, a to ukazuje (oznamuje), že pět je ve dvaceti obsaženo čtyřikrát f tak, a nikoliv víckrát, protože se odčítá pouze čtyřikrát).
Chceš-li tedy nějaké číslo (větší nebo stejné) dělit jiným (tj. menším nebo stejným dělitelem), pak napiš číslo dělené v horním
tor ukazuje, kolik čísel je při dělení potřeba, za druhé totéž ukazuje na příkladu, tam kde jsou slova Např. při dělení. A co se týká obou částí, říká (viz text).
Dělení se liší od jiných úkonů, protože má tři řádky, jiné úkony však mají pouze jeden nebo dva.
Důvod, proč jsou při dělení potřebná tři čísla, je ten, že aritmetické dělení je podobné dělení reálnému, totiž protože při reálném dělení se setkávají tři věci, jak je zřejmé z první poznámky Tedy atd.
Obecné pravidlo pro veškeré dělení: Každé aritmetické dělení vyžaduje dva řádky číslic a ne-
zbytný kvociens, a to proto, aby číslo dělitel bylo do děleného čísla, do něhož může být zahrnuto, násobením včleněno a od něho podle velikosti kvocientu odečteno, přičemž se, je-li dělené číslo malé, připojuje ke kvocientu nula. A tu, jestliže zbývá, přidej ke kvocientu a zbytek podrž v paměti.
[Chceš-li tedy nějaké číslo.] Zde autor vykládaje svůj záměr za prvé učí, jak postupovat, za druhé to blíže specifikuje, to začíná slovy Když se tak stalo; za třetí uvádí zkoušku tohoto úkonu, tam, kde jsou slova A chceš-li si ověřit. A nejprve učí, jak uspořádat číslice a čísla, a říká (viz text).
4 secundus ] et secundus F- est ] sie est F - 5 numerus ] primus numerus F - 6 denotat ] denotatur F - 10 continetur in 20 ] in viginti continetur F - 12 numerum unum ] unum numerum F - 13 vis ] om. F - 23b appone Si ] apponere G, commentarius in F abest
84
1
85
VII. Divisio
VII. Dělení
numerům dividendum in superioři ordine (quia dignior propter constanciam materie) per suas differencias (ipsum describens), et semper debet esse maior vel equalis numero divisoři (et hoc, si sit divisio per integrum et non per minucias, ut si habueris octo denarios, non po tes eos dividere inter 9 homines divisione per integrum, nisi dividas denarium per assem, et ut sic non est divisio per integrum), numerům vero dividentem seu divisorem in inferiori ordine (propter fluxum forme, licet agat) tali modo, quod ultima divisoris sit sub ultima dividendi, penultima sub penultima et sic consequenter de aliis, et hoc si numerus divisor poterit subtrahi a figuris (a numero dividendo) sibi suprapositis; et si non (id est, si non potest poni ultima sub ultimum; propter duas causas. Prima, quia aut ultima divisoris non potest subtrahi ab ultima dividendi, eo quod minor est superior inferiori. Secun-da, quia licet ultima inferioris possit aliquociens subtrahi a sibi superioři, relique tarnen non possunt, ut       tunc ultimam divi-
G lOr soris pone sub penultima numeri dividendi | et sic de aliis consequenter, ponendo figurám sub figura.
Quo facto (hiis ita ordinatis) vide, quociens figura ultima numeri divisoris continetur in figura sibi supraposita (scilicet, et
F 44r tociens subtrahe), vel, quod melius est, | vide, quociens numerus divisor continetur in figuris sibi directe suprapositis (quia sem-
G lOr
[Tali modo.]
[Et si non.]
4 48 12
192 24
Quo facto vide. Hic magister dando specialiter modum operandi et dividendi unumquemque numerům docet, qualiter sit operandům ordinatis figuris utriusque numeri. Et di vidi tur, quia primo docet di-visionem seu operacionem ultime
2 differencias ] figuras F - 3 divisoři ] divisore F - 7 divisorem ] divisorem pone F - 9 dividendi ] numeri dividendi F - penultima sub penultima ] et pen ultimam sub penultima F - 11 sibi ] om. F - 17 de aliis consequenter ] fac de aliis F - 19 ultima ] om. F - 20 supraposita ] directe supraposita F - 21 quod melius est ] melius et subtilius F - 26b unumquemque Si ] unumquodque G, commentarius in F abest
10
15
20
25
30
řádku (protože je důstojnější kvůli stálosti materie) podle jeho číslic (když ho píšeš), přičemž musí být vždy větší nebo rovno číslu děliteli (a to tehdy, j de-li o dělení na celá čísla a ne na zlomky, např. jestliže bys měl osm denárů, nemůžeš je rozdělit mezi devět lidí dělením na celá čísla, ledaže bys rozdělil denár na asy, a pak to není dělení na celky), číslo dělící čili dělitele do spodního řádku (kvůli pomíjivosti formy, ačkoliv je činné) takovým způsobem, aby poslední číslice dělitele byla pod poslední číslicí čísla děleného, předposlední pod předposlední a tak podobně u ostatních číslic; a to tehdy, jestliže číslo dělící může být odečteno od číslic (od čísla děleného) napsaných nad ním; jestliže však ne (tj. jestliže nemůže být poslední číslice napsána pod poslední; ze dvou důvodů. První je ten, že poslední číslice dělitele nemůže být odečtena od poslední číslice čísla děleného, protože horní je menší než spodní. Druhý je ten, že ačkoliv poslední číslice spodního řádku může být od horní číslice několikrát odečtena, ostatní nemohou, např. 6|°j, pak poslední číslici dělitele napiš pod předposlední číslici čísla děleného a tak podobně u ostatních, dávaje číslici pod číslici.82
Když se tak stalo (po takovém uspořádání číslic), podívej se, kolikrát je poslední číslice čísla dělícího obsažena v číslici napsané nad ní (tak učiň, a tolikrát odečti), nebo - což je lepší -podívej se, kolikrát je číslo dělící obsaženo v číslicích napsaných
[Takovým způsobem.] 4 48 12
[Jestliže však ne.]
192 24
Když se tak stalo, podívej se. Zde učitel uvádí postup a způsob dělení zvlášť pro každé z čísel a učí, jak se po uspořádání číslic obou čísel postupuje. A výklad je rozdělen, protože za prvé učí dělení čili postup u poslední číslice děleného čísla, za druhé dovozuje, že totéž je třeba činit u jiných čís-
86
87
VII. Divisio
VII. Dělení
per quociens ultima divisoris subtrahitur ab ultima dividendi, tociens quelibet divisoris subtrahitur a sibi supraposita); et non contingit plus quam novies et non minus quam semel (quia quociens debet semper esse digittus, qui maximus est 9 et minimus 1). Et hune numerům (iam inventuru) denominantem quociens scribe supra caput (scilicet directe, propter dignitatem, quia est ut compositum in natura) illius figure numeri dividendi, sub qua est prima numeri (versus sinistram legendo) divisoris. Et tunc multiplica omnes figuras numeri divisoris per ilium quocientem (scriptum superius) et productum scribe in medio (quia iste debet subtrahi) inter numerům dividendum et divisorem, ponendo semper primam figurám numeri producti (ex multiplicacione per quocientem) supra capud eius figure (numeri divisoris), quam multiplicas per quocientem, et secundam supra secundam versus sinistram (et sic de aliis figuris, id est infinitis). Et tunc subtrahe totum productum ex multiplicacione a figuris (numeri dividendi) sibi suprapositis.
Quo facto (multiplicatis iam omnibus figuris) scribas primam figurám numeri divisoris sub proxima figura superioris ordinis (transpositis figuris per unam differenciam) versus dextram et
figure numeri dividendi, secundo hoc idem concludit esse faciendum de aliis figuris, ibi Quo facto scribas; et quoad primum dicente.
6	2	2	11	2
120	90	689	968	937
20	39	34	83	324
[Novies.]
9 36 4
Et tunc multiplica. Hie docet, quid sit faciendum invento et lo-cato numero quociente, dicens Et tunc, postquam inveneris numerům quocientem et posueris eum supra capud illius figure numeri dividendi, sub qua est prima figura numeri divisoris.
[Quo facto scribas.] Hic autor concludit hoc idem esse faciendum de aliis figuris. Et primo facit hoc, secundo subinfert cautelam
10
15
20
25
30
nad ním (protože platí, že kolikrát se poslední číslice dělitele odčítá od poslední číslice dělence, tolikrát se každá číslice dělitele odčítá od číslice napsané nad ní); a nebývá to víc než devětkrát a méně než jednou (protože kvociens musí být vždy digitus, a ten je největší 9 a nejmenší 1). A toto číslo (už nalezené), určující kvociens, napiš nahoru (totižpřímo, kvůli důstojnosti, protože má vlastnosti jako složený celek v přírodě)12 nad tu číslici čísla děleného, pod níž je první (při čtení směrem doleva) číslice čísla dělitele. A pak násob všechny číslice dělitele oním kvocientem (napsaným nahoře) a výsledek napiš doprostřed (protože ten musí být odečten) mezi číslo dělené a dělitele,84 dávaje vždy první číslici čísla výsledného (z násobení kvocientem) nad tu číslici (dělitele), kterou násobíš kvocientem, a druhou nad druhou směrem doleva (a tak u ostatních číslic, tj. všech). A pak odečti celý výsledek násobení od číslic (děleného čísla) nad ním napsaných.
Když se tak stalo (už po vynásobení všech číslic), napiš první číslici dělitele pod nejbližší číslici horního řádku (přenesením číslic o jedno místo) směrem doprava a tak učiň s ostatními
lic, tento úsek začíná slovy Když se tak stalo, napiš; a pokud jde o první úsek, říká (viz text).
6	2	2	11	2
120	90	689	968	937
20	39	34	83	324
[Devětkrát.]
9 36 4
A pak násob. Zde učí, co je třeba dělat po nalezení a umístění čísla kvocientu, a říká A pak, tedy potom, cos našel číslo kvociens a napsals je nahoru nad tu číslici čísla děleného, pod níž je první číslice dělitele.
[Když se tak stalo, napiš.] Zde autor dovozuje, že stejně je třeba postupovat u ostatních číslic. A za prvé tak činí, za druhé uvádí upo-
7 figure ] om. F - 8 et ] om. F -12 semper ] supra F - 13 eius ] illius F - 14 supra secundam Si ] sub secunda GF - 15 et tunc ] tunc F
88
89
Vil. Divisio
Víl. Dělení
sic fac cum aliis figuris numeri divisoris. Et iterum invenies numerům quocientem (alium post transposicionem figurarum), quem scribe ante priorem quocientem supra capud figure pre-G lOv cedentis | versus dextram, et multiplica per eum omneš figuras numeri divisoris et producfum subtrahe ut prius (dictum est).
Et si contingat (post anterioracionem ordinis), quod numerus productus (id estproveniens) non posset subtrahi a figuris sibi su-prapositis (id est a numero dividendo), tunc per unum locum re-mocius ponendo scribe cifrám (circa quocientem vel in ordine) supra capud (scilicet directe) figuře in loco quocientis, sub qua est prima numeri divisoris, et transponas (id est anteriora) figuras omneš inferioris ordinis (numeri divisoris) ad loca inmediate precedencia versus dextram. Et iterum invenias quocientem (scilicet alium, de novo), quem scribas ante cifrám versus dextram (scilicet manům). Hoc fac (id est operare) continue, donee prima figura numeri divisoris sit subtracta a prima numeri dividendi.
Quo facto si totum surgit, numerus quociens ostendit tibi, quociens numerus divisor continetur in numero dividendo. Si autem aliquid erit residuum, hoc serva ad partem (exterius in tabula); et semper debet (numerus residuus) esse minor numero divisore.
G lOv
post anterioracionem figurarum divisoris evenientem, ibi Et si contingat. Et primo docendo anterioracionem figurarum numeri divisoris dicens. |
Et si contingat. Hic autor sub-infert unam cautelam, que evenit post anterioracionem figurarum numeri divisoris, dicens.
[Scribe cifrám.] Racio istius, quia ipsa auget numerům, nam cifra apposita ad numerům signifi-cantem auget sibi plus numerům, quia si apposita ad tercium locum, significabit centum et sic de aliis.
[Quo facto si totum surgit.] Hic autor ostendit finem et utili-tatem ipsius divisionis, et hoc, si
10
15
20
25
číslicemi dělitele. A znovu najdi číslo kvociens (jiné, po přenesení číslic), a napiš je před první kvociens nahoru nad předcházející číslici směrem doprava a násob jím všechny číslice dělitele a výsledek odečti jako předtím (jak bylo řečeno).*5
A jestliže by se stalo (po posunutí řádku dopředu), že výsledné číslo (tj. vycházející) by nemohlo být odečteno od číslic nad ním napsaných (tj. od čísla děleného), pak napiš o jedno místo dál nulu (vedle kvocientu čili do řádku) nahoru nad (totiž přímo) číslici v místě kvocientu, pod níž je první číslice dělitele, a přenes (tj. posuň dopředu) všechny číslice spodního řádku (dělitele) směrem doprava na místa bezprostředně předcházející. A znovu najdi kvociens (totiž jiný, znovu) a napiš ho před nulu směrem doprava (totiž k pravé ruce)}6 Toto dělej (tj. postupuj) neustále, dokud první číslice dělitele nebude odečtena od první číslice čísla děleného.
Jestliže po tom, co se tak stalo, nezůstane nic, kvociens ti ukáže, kolikrát je dělící číslo obsaženo v čísle děleném. Jestliže však bude nějaký zbytek, napiš ho stranou (vedle na tabulce); a vždy musí být (zbylé číslo) menší než číslo dělící.
zornění, které se uplatňuje po posunutí číslic dělitele dopředu; to začíná slovy A jestliže by se stalo. A napřed učí posunutí číslic dělitele dopředu a říká (viz text).
A jestliže by se stalo. Zde autor uvádí jedno upozornění, které se uplatňuje po posunutí čísel dělitele dopředu a říká (viz text).
[Napiš... nulu.] Důvod toho je ten, že nula zvětšuje číslo, neboť přidaná k významové číslici zvětšuje její velikost. Je-li tedy přidána ke třetímu místu, bude znamenat sto a podobně u ostatních míst.
[Jestliže po tom, co se tak stalo, nezůstane nic] Zde autor ukazuje účel a užitečnost samotného
30
3 quocientem ] om. F - 4 dextram, et ] dextram manům F -9 scribe ] figuras scribas F - 11 prima ] prima figura F - figuras omneš ] omneš figuras F - 12 ad loca ] ad omnia loca F -13 invenias ] invenies F- 14 scribas ] scribes F -15 prima ] a prima F -16 a prima ] prima figura F - 20 semper debet esse minor numero ] debet semper minus fore F
90
91
VIL Divisio
VII. Dělení
Et si probare vis, utrum bene feceris, tunc multiplica quociens | •44v per divisorem et cum producto adde illud, quod remansit (si remansit) post divisionem, et proveniet tibi numerus dividendus (cum eisdem figuris), si bene es operatus. Et ita multiplicacio probat divisionem et econverso.
nichil fuerit residuum, secundo o-stendit, quid sit faciendum, si post divisionem alique figure fuerint residue, ibi Si autem aliquid. Et ad ambas partes dicente.
Secunda cautela.
107 1500 14
[Et si probare vis.] Hic autor ponit probacionem divisionis per multiplicacionem et econverso multiplicacionis per divisionem. Nota circa hoc, ubi dicit autor Et econverso, dat intelligere, quod hec due species, scilicet multiplicacio cum divisione, non possunt una sine alia scire, quia una probat aliam, ut sint ambe vcre.
Et nota, quod preter illam probacionem textus adhuc est alia probacio, per quam probare posset alias, utrum bene fecit vel non. Et posito casu, quod sint 144 denarii dividendi equal iter pauperibus 12. Et tunc cuilibet cedent 12. Si ergo
vis probare, tunc scribe numerům dividendum superius et divisorem inferius, sic ||4 erit. Quia expertům est, quod numerus denotans 10 quociens est 12, summe ergo pro-bam numeri dividendi coniungen-do figuras adinvicem et habebis 9, removeas 9 et manebit 0 sive nichil. Similiter figuras divisoris 15 coniunge et sunt tria. Similiter coniunge figuras numeri deno-tantis quociens et sunt eciam tria. Due ergo próbam divisoris in pro-bam denotantis quociens, dicendo 20 ter tria sunt 9, abicias 9 et manet nichil. Sic ergo quando probacio numeri dividendi est equalis probe numeri divisoris ducte in probam numeri denotantis quociens, tunc 25 bene est operacio facta. Si autem proba numeri dividendi non est equalis probe numeri divisoris ducte in probam numeri denotantis quociens, tunc male est operacio 30 facta.
A chceš-li si ověřit, zda jsi dobře počítal, vynásob kvociens dělitelem a k výsledku přičti to, co po dělení zůstalo (jestliže něco zůstalo) a vyjde ti číslo dělené (se stejnými číslicemi), jestliže jsi počítal dobře. A tak násobení ověřuje dělení a naopak.
dělení, a to jestliže nic nezbylo, za druhé ukazuje, co je třeba dělat, jestliže po dělení zůstávají nějaké číslice; to začíná slovy Jestliže však bude. A k oběma částem říká (viz text).
Druhé upozornění. 107 1500 14
[A chceš-li si ověřit.] Zde autor uvádí zkoušku dělení pomocí násobení a naopak násobení pomocí dělení. Zde si všimni, že když autor říká A naopak, dává tím na srozuměnou, že tyto dva úkony, totiž násobení a dělení, nelze ovládnout jeden bez druhého, protože se navzájem prověřují, zda jsou oba pravdivé.
A všimni si, že kromě té zkoušky, která je v textu, existuje ještě jiná zkouška, jíž se dá ověřit jiným způsobem, zda někdo postupoval dobře či ne. Dejme tomu, že 144
denárů se má stejným dílem rozdělit 12 chudým. A tu na každého vyjde 12. Chceš-li si to ověřit, pak napiš dělené číslo nahoru a dělitele dolů, což bude takto: j4/*. Protože bylo zjištěno, že číslo označující kvociens je 12, proveď próbu87 děleného čísla tak, že sečteš číslice dohromady, a budeš mít 9, odečti 9 a zůstane 0 čili nic. Podobně sečti číslice dělitele a vyjdou tři. Stejně sečti číslice čísla označujícího kvociens a vyjdou rovněž tři. Nyní násob probu dělitele próbou kvocientu, řekni třikrát tři je 9, odečti 9 a nezůstane nic. Když tedy proba děleného čísla je rovna probě dělitele násobené probou čísla označujícího kvociens, pak úkon byl proveden dobře. Jestliže však proba děleného čísla není rovna probě dělitele násobené probou čísla označujícího kvociens, pak byl postup proveden špat-
1 probare vis ] vis probare F - feceris ] es operatus F - quociens ] quo-cientem F
92
93
VIII. Progressio
VIII. Posloupnost
Dividas ergo 91471800 per 2030. Tunc quociens erit 45060, G lir hune si multiplicaveris | per divisorem, scilicet per 2030, prove-niet prior numerus, scilicet 91471800.
VUT. Progressio (arismetica, integrorum) est agregacio (col-leccio seu composicio) numerorum (plurium) ab unitate vel a dualitate inceptorum (vel ab aliis numer is incipiencium) per equales excessus (per similes excessus) continue sumptorum (quia numerus sumptus continue unus excedit reliquum in unitate, ut patet numerando 1, 2, 3, 4, 5 etc.). Et est duplex (id est de numero progressionum, alia naturalis, alia intercisa), scilicet naturalis et intercisa.
10
Děl tedy 91471800 číslem 2030. Pak kvociens bude 45060, a když jej znásobíš dělitelem, totiž 2030, vyjde původní číslo, totiž 91471800.89
VIH. Posloupnost (aritmetická, celých čísel) je shromažďování (sbírání či skládání) čísel (více), začínajících od jedničky nebo od dvojky (či počínajících od jiných čísel), braných stále (protože číslo nepřerušovaně přibírané převyšuje jedno druhé o jednotku, jak je zřejmé při počítání 1, 2, 3, 4, 5 atd.) se stejnými odstupy (totožnými odstupy). A je dvojí (totiž co se týče počtu posloupností, jedna přirozená, druhá přerušovaná), totiž přirozená a přerušovaná.90
[Dividas ergo.] Hic ponit exemplum, in quo varietates et cautele ipsius divisionis continen-tur, dicens.
Pro tota operacione sint iste figure: 91471800 2030 | G lir [Progression Hic autor exe-quitur de octava specie huius artis, scilicet de progressione. Et dividi-tur, quia primo diffinit progressio-nem, secundo dividit earn, ibi Et est duplex, et tercio ponit regulas de progressione, ibi Nota duas etc.
Gradior, graderis significat gradatim procedere seriatimque si-turn accedere seu terminům. Inde progredior et significat procul seu remote vel ante gradatim et seriatim incedere. Inde progressio, id est gradualis et seriatus per varios
situs ad terminům processus. Et inde progressio arismetica et est continuus processus numerorum 15 per equales excessus ad agregacio-nem tocius šumme habendam. Un-de sieut progressio realis habet in se tria, videlicet terminům a quo, et medium, per quod devenitur ad 20 terminům intentum, et terminům ad quern, sic similiter progressio arismetica ad sui perfeccionem exigit tria: habet enim situm a quo, videlicet unitatem vel dualitatem 25 vel reliquos numeros, habet secundo media, scilicet numeros inter-medios, et tercio situm vel terminům ad quern, videlicet ultimum numerům. 30
Et est duplex. Hic autor dividit progressionem dicente. Et nota, quod progressio naturalis dicitur
1 erit 45060, hunc ] est 4060, quem F - 2 proveniet ] proveniet tibi F -6 a ] om. F -10 alia intercisa Si ] alia G, commentarius in F abest - scilicet ] om. F
[Děl tedy.] Zde uvádí příklad, v němž jsou obsaženy různé varianty a upozornění týkající se dělení, a říká (viz text).
Pro celý úkon buďtež tyto číslice: 91471800 2030
[Posloupnost.] Zde autor vykládá o osmém úkonu tohoto umění, totiž o posloupnosti. A výklad je rozdělen, protože za prvé posloupnost definuje, za druhé ji dále dělí, to začíná slovy A je dvojí, a za třetí uvádí pravidla týkající se posloupnosti, tam, kde jsou slova Zapamatuj si dvě atd.
Gradior, graderis, „kráčet", znamená krok za krokem postupovat dopředu a popořadě dosahovat určité polohy či mezníku. Z toho je odvozeno progredior, „postupovat", a znamená jít daleko čili do dálky nebo dopředu krok za krokem a popořadě. Odtud je od-
vozeno progressio, „posloupnost", tj. postup po stupních a po řadě skrze různé pozice ke konečné hranici. A z toho pochází posloupnost aritmetická; to je nepřetržitá řada čísel se stejnými odstupy, u-spořádaná tak proto, abychom získali součet celého souboru. A tak jako reálná posloupnost má v sobě tři prvky, totiž mez, od níž se vychází, prostředek, přes nějž se postupuje k vytčenému cíli, a cílový mezník, k němuž se jde, tak podobně posloupnost aritmetická potřebuje ke své dokonalosti tri prvky: má totiž místo, od něhož se vychází, totiž jedničku či dvojku či jiná čísla, za druhé má střední místa, totiž meziležící čísla, a za třetí místo či mezník, k němuž se postupuje, totiž poslední číslo.
A je dvojí. Zde autor posloupnost dále dělí a říká (viz text). -• A všimni si, že přirozená posloup-
94
95